tugas mekanika kelompok ramli

20
Penentuan Lain Dua Axes Principal Ketika Satu Apakah Dikenal Dalam banyak kasus tubuh memiliki simetri yang cukup sehingga setidaknya satu sumbu utama dapat ditemukan dengan pemeriksaan, yaitu, poros dapat dipilih sehingga membuat dua dari tiga produk inersia lenyap. Jika demikian halnya, maka dua sumbu utama lainnya dapat ditentukan sebagai berikut. Gambar 9.2.3 adalah pandangan depan bilah kipas pada Gambar 9.2.2. A-axis adalah sumbu simetri dan bertepatan dengan sumbu utama ketiga dari bilah kipas. Dengan demikian, untuk kasus- kasus seperti itu, kita mempunyai : (9.2.7) Dua sumbu utama lainnya masing-masing tegak lurus terhadap sumbu-z. Mereka harus terletak pada bidang xy. Misalkan tubuh berputar sekitar satu dari dua ini, belum diketahui, sumbu utama. Jika demikian, objek berputar secara dinamis skor seperti yang digambarkan oleh bilah kipas pada Gambar 9.2.3. momentum sudut vektor L terletak pada arah yang sama dengan sudut vektor kecepatan ω, sehingga (9.2.8) di mana I 1 salah satu dari dua momen inersia utama yang bersangkutan. Selain itu, dalam notasi matriks, momentum sudut L, dalam kerangka acuan xyz, diberikan oleh (9.2.9) (Ingat, produk inersia tentang sumbu-z adalah nol.) Dengan demikian, menyamakan komponen dari momentum sudut yang diberikan oleh dua ekspresi ini memberikan (9.2.10a) (9.2.10b)

description

anu ujang makalah

Transcript of tugas mekanika kelompok ramli

Page 1: tugas mekanika kelompok ramli

Penentuan Lain Dua Axes Principal Ketika Satu Apakah Dikenal

Dalam banyak kasus tubuh memiliki simetri yang cukup sehingga setidaknya satu sumbu utama dapat ditemukan dengan pemeriksaan, yaitu, poros dapat dipilih sehingga membuat dua dari tiga produk inersia lenyap. Jika demikian halnya, maka dua sumbu utama lainnya dapat ditentukan sebagai berikut. Gambar 9.2.3 adalah pandangan depan bilah kipas pada Gambar 9.2.2. A-axis adalah sumbu simetri dan bertepatan dengan sumbu utama ketiga dari bilah kipas. Dengan demikian, untuk kasus-kasus seperti itu, kita mempunyai :

(9.2.7)

Dua sumbu utama lainnya masing-masing tegak lurus terhadap sumbu-z. Mereka harus terletak pada bidang xy. Misalkan tubuh berputar sekitar satu dari dua ini, belum diketahui, sumbu utama. Jika demikian, objek berputar secara dinamis skor seperti yang digambarkan oleh bilah kipas pada Gambar 9.2.3. momentum sudut vektor L terletak pada arah yang sama dengan sudut vektor kecepatan ω, sehingga

(9.2.8)

di mana I1 salah satu dari dua momen inersia utama yang bersangkutan. Selain itu, dalam notasi matriks, momentum sudut L, dalam kerangka acuan xyz, diberikan oleh

(9.2.9)

(Ingat, produk inersia tentang sumbu-z adalah nol.) Dengan demikian, menyamakan komponen dari momentum sudut yang diberikan oleh dua ekspresi ini memberikan

(9.2.10a)(9.2.10b)

Biarkan θ menunjukkan sudut antara sumbu x dan sumbu utama I1 tentang mana tubuh berputar (lihat Gambar 9.2.3). Kemudian ωy/ωz= tan 0, jadi, dengan membagi ωx kita dapatkan

(9.2.11a)(9.2.11b)

Eliminasi dari I1 antara dua persamaan hasil

(9.2.12)

Page 2: tugas mekanika kelompok ramli

dimana θ dapat ditemukan. Dalam perhitungan ini akan sangat membantu untuk menggunakan trigonometri yang identitas tan 2θ = 2 tan θ (1 - tan 2 θ). Hal ini memberikan

(9.2.13)

Dalam interval 0 ° sampai 1800 ada dua nilai dari θ, berbeda dengan 900, yang memenuhi Persamaan 9.2.13, dan ini memberikan arah dua sumbu utama dalam bidang xy.

Dalam kasus Ixx = Iyy, tan 2θ = ∞ sehingga dua nilai θ adalah 45 ° dan 135 °. (Ini adalah kasus untuk lamina persegi Contoh 9.1.1 ketika asal adalah di sudut.) Juga, jika Ixy= 0 persamaan puas dengan dua nilai θ = 00 dan θ = 90 °, yaitu, sumbu x dan sumbu y merupakan sumbu utama.

Contoh 9.2.4

Menyeimbangkan roda Bengkok

Misalkan sebuah roda mobil, melalui beberapa cacat atau kecelakaan, memiliki sumbu rotasi (poros) sedikit menekuk relatif terhadap sumbu simetri roda. Situasi dapat diatasi dengan menggunakan bobot penyeimbang sesuai terletak di tepi sehingga membuat poros sumbu utama untuk total sistem: roda ditambah beban. Untuk kesederhanaan kita akan memperlakukan roda sebagai disc melingkar seragam tipis radius a dan massa m. Gambar 9.2.4. Kami memilih Oxyz sumbu sedemikian rupa sehingga disk terletak pada bidang yz, dengan sumbu x sebagai sumbu simetri disk. Sumbu rotasi (poros) diambil sebagai sumbu-1 cenderung oleh sudut θ relatif terhadap sumbu x dan berbaring di bidang xy, seperti yang ditunjukkan. Dua bobot balancing, masing-masing massa m, yang melekat pada roda melalui dukungan cahaya dengan panjang b. Bobot kedua terletak pada bidang xy, seperti yang ditunjukkan. Roda adalah dinamis seimbang jika 123 sumbu koordinat adalah sumbu utama untuk total sistem.

Sekarang, dari simetri relatif terhadap bidang xy, kita melihat bahwa sumbu z adalah sumbu utama untuk roda ditambah bobot: z adalah nol untuk bobot, dan bidang xy membagi roda menjadi dua bagian yang sama memiliki tanda-tanda yang berlawanan untuk produk zx dan zy. Akibatnya, kita dapat menggunakan Persamaan 9.2.13 untuk menemukan hubungan antara θ dan parameter lainnya.

Dari bab sebelumnya kita tahu bahwa untuk roda saja momen inersia tentang sumbu-x

dab sumbu-y adalah 12

m a2, dan

14

m a2, masing-masing. Dengan demikian, untuk bobot roda

ditambah

Page 3: tugas mekanika kelompok ramli

Sekarang produk xy inersia untuk roda sendiri adalah nol, sehingga kita perlu mempertimbangkan hanya bobot untuk menemukan Ixy untuk sistem, yaitu,

Perhatikan bahwa ini adalah jumlah yang positif bagi pilihan kita untuk sumbu koordinat. Persamaan 9.2.13 kemudian memberikan kecenderungan dari sumbu-1:

Jika, seperti yang khas, θ adalah sangat kecil, dan m 'kecil dibandingkan dengan m, maka kita dapat mengekspresikan hubungan sebelumnya dalam bentuk perkiraan dengan mengabaikan istilah kedua di penyebut dan menggunakan fakta bahwa tan u ≈ u untuk u kecil. Hasilnya adalah

Sebagai contoh numerik, biarkan θ = 10 = 0,017 rad, a = 18 cm, b = 5 cm, m = 10kg. Pemecahan untuk m ', kita menemukan

untuk bobot keseimbangan yang diperlukan.

Page 4: tugas mekanika kelompok ramli

Menentukan Sumbu Utama dengan Mendiagonalkan Momen Inersia Matrix

Misalkan tubuh kaku tidak memiliki sumbu simetri. Meski begitu, tensor yang mewakili momen inersia tubuh seperti itu, ditandai dengan nyata, simetris 3 x 3 matriks yang dapat didiagonalisasi (lihat Persamaan 9.1.11). Elemen diagonal yang dihasilkan adalah nilai-nilai momen inersia utama dari tubuh kaku. Sumbu sistem koordinat, di mana matriks ini adalah diagonal, adalah sumbu utama dari tubuh, karena semua produk inersia telah lenyap. Dengan demikian, menemukan sumbu utama dan momen inersia dari badan kaku, simetris atau tidak sesuai, sama saja dengan diagonalisasi momen inersia matriks.

Ada sejumlah cara untuk diagonalisasi nyata, matrix simetris2. Kami hadir di sini dengan cara yang cukup standar. Pertama, mari kita misalkan bahwa kita telah menemukan sistem koordinat di mana semua produk inersia lenyap dan momen yang dihasilkan inersia tensor sekarang diwakili oleh matriks diagonal dengan koefisien diagonal adalah saat-saat utama inersia. Biarkan ei menjadi vektor satuan yang mewakili sistem koordinat ini, yaitu, mereka menunjuk sepanjang arah sepanjang tiga sumbu utama dari tubuh kaku. Jika momen inersia tensor adalah "dihiasi" dengan salah satu vektor satuan ini, hasilnya adalah setara dengan perkalian sederhana dari vektor satuan dengan kuantitas skalar

I . ei = λiei (9.2.14)

Kuantitas skalar λ1 hanya momen inersia utama tentang sumbu utama masing-masing. Masalah menemukan sumbu utama adalah salah satu menemukan vektor ei yang memenuhi kondisi

(I – λI) . ei = 0 (9.2.15)

Secara umum kondisi ini tidak puas untuk setiap set sewenang-wenang ortonormal vektor-vektor satuan ei. Hal ini memenuhi hanya dengan satu set vektor-vektor satuan sejajar dengan sumbu utama dari tubuh kaku. Setiap xyz yang berubah-ubah sistem koordinat selalu dapat diputar sedemikian rupa sehingga sumbu koordinat berbaris dengan sumbu utama. Vektor satuan menetapkan ini sumbu koordinat kemudian memenuhi kondisi dalam Persamaan 9.2.15. Kondisi ini setara dengan lenyapnya determinant berikut

| I – λI | = 0 (9.2.16)

Secara eksplisit, persamaan ini berbunyi

(9.2.17)

Ini adalah kubik di λ, yaitu,

Page 5: tugas mekanika kelompok ramli

-λ3 + Aλ2 + Bλ + C = 0 (9.2.18)di mana A, B, dan C adalah fungsi dari i. Tiga akar, λ1, λ2 dan λ3 adalah tiga momen inersia utama.

Kami sekarang memiliki momen inersia utama, tapi tugas menentukan komponen vektor satuan mewakili sumbu utama dalam hal sistem kami awal koordinat masih harus diselesaikan. Di sini kita bisa memanfaatkan fakta bahwa ketika tubuh kaku berputar sekitar satu sumbu utamanya, vektor momentum sudut berada di arah yang sama dengan vektor kecepatan sudut. Biarkan sudut salah satu kepala sekolah sumbu relatif terhadap xyz awal sistem koordinat akan α1, β1 dan γ1 dan biarkan tubuh memutar tentang sumbu ini. Oleh karena itu, vektor satuan menunjuk ke arah sumbu utama ini memiliki komponen (cos α1, cos β1, cos γ1). Momentum sudut diberikan oleh

L = I . ω = λ1ω (9.2.19)

di mana λ1, saat pokok pertama dari tiga (λ1, λ2, dan λ3), diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 9.2.18. Dalam matriks bentuk Persamaan 9.2.19 dibaca

(9.2.20)

Kita telah ektstrak faktor umum dari masing-masing komponennya, sehingga, secara langsung mengekspos sumbu utama vektor satuan yang diinginkan. Persamaan yang dihasilkan setara dengan kondisi yang diungkapkan oleh Persamaan 9.2.14, yaitu, bahwa produk titik momen inersia tensor dengan sumbu vektor satuan utama sama saja dengan mengalikan vektor yang oleh kuantitas skalar λ1, yaitu,

I . e1 = λ1e1 (9.2.21)Persamaan vektor ini dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut

(9.2.22)

Cosinus arah dapat ditemukan dengan memecahkan persamaan di atas. Solusi tidak independen. Mereka tunduk pada kendala

(9.2.23)

Page 6: tugas mekanika kelompok ramli

Dengan kata lain resultan vektor e1 ditentukan oleh komponen ini adalah vektor satuan. Dua vektor lainnya dapat ditemukan dengan mengulangi proses sebelumnya untuk lainnya dua

momen utama λ2 dan λ3.

Contoh 9.2.5

Cari momen inersia utama dari piring persegi sekitar sudut.

Solusi:Kami memilih sistem xyz sama seperti awalnya dipilih dalam Contoh 9.1.1. Kami memiliki semua momen inersia relatif terhadap mereka sumbu. Mereka adalah sama seperti pada Contoh 9.1.1. Lenyapnya determinan dinyatakan oleh Persamaan 9.2.17 dibaca

(Catatan: Kitai telah ekstrak faktor ma2 umum, yang akan meninggalkan kita dengan hanya angka koefisien yang diinginkan untuk setiap nilai λ Kami kemudian harus menempatkan faktor ma2 kembali untuk mendapatkan nilai akhir untuk saat-saat utama.)

Mengevaluasi persamaan determinan sebelumnya memberikan

Faktor kedua memberikan

Faktor pertama memberikan

Contoh 9.2.6

Menemukan arah dari sumbu utama dari pelat persegi sekitar sudut.

Solusi:Persamaan 9.2.22 memberi

Page 7: tugas mekanika kelompok ramli

Kami akan menebak bahwa setidaknya salah satu sumbu utama (misalnya, sumbu ketiga) tegak lurus terhadap bidang pelat persegi, yaitu, γ3 = 00, dan α3 = β3 = 90 °. Kami juga akan menebak dari melihat persamaan sebelumnya bahwa saat pokok tentang sumbu ini akan

menjadi λ3 = 23

(ma2). Pilihan seperti akan memastikan bahwa persamaan ketiga dalam

kelompok sebelumnya secara otomatis akan lenyap seperti yang akan dua yang pertama, karena kedua cos α3 dan cos β3 akan identik dengan nol. Sumbu yang tersisa dapat ditentukan dengan memasukkan dua momen utama lainnya ke dalam quations sebelumnya. Jadi, jika

kita set λ1 = 1

12(ma)2, kita memperoleh kondisi yang

cos α1 – cos β1 = 0 cos γ1 = 0

yang dapat dipenuhi hanya dengan α1 = β1 = 45 ° dan γ1 = 900. Sekarang, jika kita

memasukkan momen utama akhir λ2 = 712

(ma)2 ke dalam persamaan sebelumnya, kita

memperoleh kondisi cosa2 + cosfi2 = 0 = 0 cosy2.

cos α2 + cos β2 = 0 cos γ2 = 0

yang bisa dipenuhi jika α1 = 135 °, β1 = 45 °, dan γ2 = 900. Dengan demikian, dua dari sumbu utama terletak pada bidang piring, salah satunya adalah diagonal, tegak lurus lainnya ke diagonal. Yang ketiga adalah normal ke piring. Momen inersia matriks koordinat representasi ini, dengan demikian,

dan sumbu utama yang sesuai dalam sistem koordinat asli diberikan oleh vektor

Sumbu utama dapat diperoleh oleh 450 rotasi sederhana dari asli koordinat sistem dalam arah yang berlawanan tentang z-sumbu.

9.3 Persamaan Euler dari Gerak Tubuh kaku

Page 8: tugas mekanika kelompok ramli

Sekarang kita sampai apa yang dapat kita sebut fisika penting dari bab ini, yaitu, rotasi tiga-dimensi sebenarnya tubuh kaku di bawah tindakan kekuatan eksternal. Seperti yang kita pelajari dalam Bab 7, persamaan dasar yang mengatur bagian rotasi dari gerakan sistem apapun, dirujuk ke sistem koordinat inersia, adalah.

N = d Ldt

(9.3.1)

di mana N adalah jaring diterapkan torsi dan L adalah momentum sudut. Untuk benda tegar, kita telah melihat bahwa L paling hanya diungkapkan jika koordinat sumbu sumbu utama bagi tubuh. Dengan demikian, secara umum, kita harus menggunakan sistem koordinat yang telah diperbaiki pada tubuh dan berputar dengan itu. Artinya, kecepatan sudut tubuh dan kecepatan sudut dari sistem koordinat adalah satu dan sama. (Ada pengecualian: Jika dua dari tiga momen utama I1, I2, dan I3 adalah sama satu sama lain, maka sumbu koordinat tidak perlu diperbaiki dalam tubuh menjadi sumbu utama kasus ini jika dipertimbangkan kemudian..) Dalam setiap kasus, sistem koordinat kita bukanlah satu inersia.

Mengacu pada teori berputar sistem koordinat yang dikembangkan dalam Bab 5, kami

tahu bahwa laju perubahan terhadap waktu dari momentum sudut vektor dalam tetap (inersia)

sistem versus sistem rotasi diberikan oleh rumus (lihat Persamaan 5.2.9 dan 5.2.10)

(9.3.2)

Dengan demikian, persamaan gerak dalam sistem berputar

(9.3.3)

Dimana

(9.3.4a)(9.3.4b)

Produk cross terakhir dalam Persamaan 9.3.4b dapat ditulis sebagai determinan

(9.3.4c)

dimana komponen ω diambil sepanjang arah sumbu utama. Dengan demikian,Persamaan 9.3.3 dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai

Page 9: tugas mekanika kelompok ramli

(9.3.5)

Ini dikenal sebagai persamaan Euler untuk gerakan tubuh kaku dalam komponen alongthe sumbu utama tubuh.

Tubuh Dibatasi untuk Putar Sekitar Sumbu Tetap

Sebagai aplikasi pertama dari persamaan Euler, kami mengambil kasus khusus dari tubuh kaku thatis dibatasi untuk memutar pada sumbu tetap dengan kecepatan sudut konstan. Kemudian

(9.3.6)

dan persamaan Euler dikurangi menjadi

(9.3.7)

Ini memberikan komponen torsi yang harus diberikan pada tubuh dengan dukungan menghambat.

Secara khusus, anggaplah bahwa sumbu rotasi adalah sumbu utama, mengatakan 1-sumbu. Kemudian ω2 = ω3 = 0, ω = ω1 Dalam hal ini ketiga komponen lenyap torsi:

N1 = N2 = N3 = 0 (9.3.8)

Artinya, tidak ada torsi sama sekali. Hal ini sesuai dengan diskusi kita mengenai balancing dinamis di bagian sebelumnya.

9.4 Rotasi bebas dari tubuh Rigid: Keterangan geometris Motion

Mari kita mempertimbangkan kasus dari tubuh kaku yang bebas berputar ke segala arah sekitar titik tertentu 0. Tidak ada torsi bertindak pada tubuh. Ini adalah kasus rotasi bebas dan dicontohkan, misalnya, dengan tubuh yang didukung pada poros halus pada pusat massanya. Contoh lain adalah bahwa dari tubuh kaku bergerak bebas di bawah tidak ada kekuatan atau jatuh bebas dalam medan gravitasi seragam sehingga tidak ada torsi. Titik 0 dalam hal ini adalah pusat massa.

Dengan torsi nol momentum sudut tubuh, seperti yang terlihat dari luar, harus tetap konstan dalam arah dan besarnya sesuai dengan prinsip umum kekekalan momentum sudut. Sehubungan dengan sumbu berputar tetap dalam tubuh, namun, arah vektor momentum sudut bisa berubah, meskipun besarnya harus tetap konstan. Fakta ini dapat dinyatakan dengan persamaan

Page 10: tugas mekanika kelompok ramli

L . L = Konstan (9.4.1)Dalam hal komponen disebut sumbu utama dari tubuh, Persamaan 9.4. la membaca

(9.4.2)

Seperti tubuh berputar, komponen (0 dapat bervariasi, tetapi mereka harus selalu memuaskanPersamaan 9.4.lb.

Sebuah hubungan kedua diperoleh dengan mempertimbangkan energi kinetik rotasi. Sekali lagi, karena ada nol torsi, total energi kinetik rotasi harus tetap konstan. Ini dapat dinyatakan sebagai

(9.4.3)

atau, ekuivalen dalam hal komponen,

(9.4.4)

Kita sekarang melihat bahwa komponen ω harus secara bersamaan memenuhi dua persamaan yang berbeda mengungkapkan keteguhan energi kinetik dan besarnya momentum sudut. (Kedua persamaan juga dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan Euler. Lihat Soal 9.7.) Ini adalah persamaan dari dua ellipsoids yang sumbu utama bertepatan dengan sumbu utama tubuh. Ellipsoid pertama (Persamaan 9.4.lb) memiliki diameter utama dalam rasio I1

-1 : I2-1 : I3

-1. The ellipsoid kedua (Persamaan 9.4.2b) memiliki diameter utama dalam rasio I1

-1/2 : I2-1/2 : I3

-1/2. dikenal sebagai Poinsot ellipsoid. Seperti tubuh berputar, yang

ekstremitas dari vektor kecepatan sudut , dengan demikian , menggambarkan kurva yang merupakan persimpangan dari dua ellipsoids . Hal ini diilustrasikan pada Gambar 9.4.1 .

Dari persamaan dari ellipsoids berpotongan , ketika sumbu rotasi awal bertepatan dengan salah satu sumbu utama tubuh , maka kurva perpotongan berkurang ke titik . Dengan kata lain, dua ellipsoids hanya menyentuh pada diameter kepala , dan tubuh berputar terus tentang sumbu ini . Hal ini benar , namun , hanya jika rotasi awal adalah sekitar sumbu baik

Page 11: tugas mekanika kelompok ramli

terbesar atau terkecil saat inersia. Jika ini adalah tentang sumbu menengah, mengatakan 2- sumbu di mana I3 > I2 > I1 maka persimpangan dua ellipsoids bukanlah titik, tetapi kurva yang berlangsung seluruhnya sekitar kedua, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 9.4.2. Dalam hal ini rotasi tidak stabil, karena sumbu rotasi presisi seluruh tubuh. Lihat Soal 9.19. (Jika sumbu rotasi awal adalah hampir, tapi tidak persis, bersama salah satu dari dua sumbu stabil, maka vektor kecepatan sudut menggambarkan kerucut ketat tentang sumbu yang sesuai.) Fakta-fakta ini dapat dengan mudah diilustrasikan dengan melempar sebuah blok persegi panjang , sebuah buku , atau dayung Ping -Pong ke udara.

9.5 Rotasi bebas dari tubuh kaku dengan Sumbu Simetri: Pentafsiran Analytical

Meskipun deskripsi geometris dari gerak tubuh kaku diberikan dalam bagian sebelumnya sangat membantu dalam memvisualisasikan rotasi bebas di bawah tidak ada torsi, metode ini tidak segera memberikan nilai numerik. Sekarang kita lanjutkan untuk menambah deskripsi dengan pendekatan analitis didasarkan pada integrasi langsung persamaan Euler.

Kita akan memecahkan persamaan Euler untuk kasus khusus di mana tubuh memiliki sumbu simetri, sehingga dua dari tiga momen inersia utama adalah sama. Contoh dari benda seperti ditunjukkan pada Gambar 9.5.1. Biasanya, orang dapat melihat itu yang dilemparkan sekitar main-main dengan pria lain tumbuh setiap akhir pekan musim gugur di stadion-stadion besar di seluruh negara. Panjang, poros tengah dari objek adalah porosnya simetri. Tujuannya adalah bulat yg tersebar luas, lebih dikenal sebagai bola.

Page 12: tugas mekanika kelompok ramli

Mari kita memilih 3-sumbu sebagai sumbu simetri. Kami memperkenalkan notasi berikut:

Is = I3 momen inersia terhadap sumbu simetri

I = I1 = I2 momen tentang sumbu normal terhadap sumbu simetri

Untuk kasus nol torsi, persamaan Euler (9.3.5) kemudian membaca

(9.5.1a)(9.5.1b)(9.5.1c)

Dari persamaan terakhir ini berarti bahwa

(9.5.2)

Mari kita mendefinisikan konstan

(9.5.3)

Persamaan 9.5. la dan b dapat ditulis

(9.5.4a)(9.5.4b)

Untuk memisahkan variabel dalam persamaan 9.5.4 a dan b, kita membedakan pertama terhadap t dan memperoleh

(9.5.5)

Pemecahan untuk (02 dalam Persamaan 9.5.4b dan memasukkan hasilnya ke dalam Persamaan 9.5.5, kita menemukan (9.5.6)

(9.5.6)

Ini adalah persamaan untuk gerakan harmonis sederhana. Solusinya adalah

(9.5.7a)

Page 13: tugas mekanika kelompok ramli

di mana ω0 adalah konstanta integrasi. Untuk menemukan ω2, kita membedakan Persamaan 9.5.7a sehubungan dengan t dan masukkan hasilnya ke dalam Persamaan 9.5.4a. Kita kemudian dapat memecahkan 2 untuk mendapatkan

(9.5.7b)

Dengan demikian, ω1 dan ω2 bervariasi harmonis dalam waktu dengan frekuensi Ω, sudut dan fase mereka berbeda dengan, π/2. Ini mengikuti bahwa proyeksi ω pada 1, 2 pesawat menggambarkan lingkaran dengan jari-jari ω0 pada frekuensi sudut Ω (lihat Gambar 9.5.2).

Kita dapat meringkas hasil sebelumnya sebagai berikut: Dalam rotasi bebas dari tubuh kaku dengan sumbu simetri, vektor kecepatan sudut menggambarkan gerakan kerucut (precesses) tentang sumbu simetri. Seorang pengamat, oleh karena itu, dalam kerangka acuan yang melekat pada tubuh berputar, akan melihat ω sebuah kerucut sekitar sumbu simetri tubuh (disebut kerucut tubuh). (Lihat Gambar 9.6.4.) Frekuensi sudut presesi ini adalah konstan Ω yang didefinisikan oleh Persamaan 9.5.3. Biarkan α melambangkan suatu sudut antara sumbu simetri (3-sumbu) dan sumbu rotasi (arah ω) seperti terlihat pada Gambar 9.5.2. Kemudian ω3 = ω cos α , jadi

(9.5.8)

memberikan tingkat presesi vektor kecepatan sudut terhadap sumbu simetri. (Beberapa contoh spesifik dibahas pada akhir bagian ini.)

Kita sekarang dapat melihat hubungan antara analisis sebelumnya dari rotasi torsi bebas dari tubuh kaku dan deskripsi geometris dari bagian sebelumnya. Jalur melingkar radius ω0 ditelusuri oleh ujung dari vektor kecepatan sudut hanya persimpangan dua ellipsoids Gambar 9.4.1.

Page 14: tugas mekanika kelompok ramli

*Rotasi Bebas dari Tubuh kaku dengan Tiga Moments Principal berbeda: Solusi Numerik

Pada bagian sebelumnya kita membahas rotasi bebas dari tubuh kaku yang memiliki sumbu tunggal simetri sehingga dua sumbu tegak lurus terhadap sumbu itu adalah prinsip yang saat inersia yang identik. Dalam kasus di sini, kita akan rileks dan kondisi ini membahas rotasi bebas dari tubuh kaku dengan tiga momen inersia utama yang tidak sama I1 < I2 < I3. Tubuh kaku kita anggap adalah ellipsoid distribusi massa yang seragam yang permukaan

diberikan oleh persamaan

(9.5.9)

dimana a > b > c adalah sumbu semimajor dari ellipsoid (Gambar 9.5.3). Kami memecahkan persamaan Euler (9.3.5) bagi tubuh ini secara numerik menggunakan Mathematica, dan kita melihat bahwa meskipun gerakan yang dihasilkan adalah sedikit lebih rumit dari itu dari tubuh dengan sumbu simetri, banyak hasil umum yang sama diperoleh.

Pertama, kita memecahkan untuk saat-saat utama inersia diberikan oleh Persamaan 9.1.7a, b, dan c diubah sesuai dengan bentuk integral seperti pada Persamaan 9.1.9a. demikian

(9.5.10)

dengan ekspresi analog untuk lainnya dua momen utama I1 dan I2. Faktor dari 8 di Persamaan 9.5.10 muncul karena kita telah dipanggil simetri untuk menghilangkan setengah dari integrasi tentang masing-masing dari tiga sumbu utama. Selain itu, tidak ada kerugian umum jika kita menetapkan 8ρ = 1, karena membatalkan pula bila digunakan dalam Persamaan Euler, yang homogen tanpa adanya torsi eksternal.

Page 15: tugas mekanika kelompok ramli

Kami menggunakan fungsi N lntegrate Mathematica (lihat Bagian 8.1) untuk mengevaluasi massa dan tiga momen inersia utama (ingat, 8p = 1) untuk ellipsoid yang semimajor sumbu a = 3, b = 2, dan c = 1. Hasilnya: M = π , I1 = π, I2 = π, I3 = 8,168 dan. Persamaan Euler untuk rotasi bebas dari ellipsoid ini kemudian menjadi

(9.5.11)

dimana A1 = (I2 - I3) / Il = -0.6, A2 = (I3-I1) / I2 = 0,8, dan A3 = (I1 - I2) / I3 = -0,385. Kami memecahkan tiga, orde pertama, ditambah persamaan diferensial secara numerik dengan panggilan untuk Mathematica 's ND Memecahkan (lihat Bagian 7.4, The Trojan Asteroids). Panggilan relevan

Nama : Ramli Muh. Azhari

NIM : 1211207064