Tugas Kalkulus 2008

5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008

1/40

1

Tugas :

a.

ALJABAR VEKTOR

7.46 Jika diketahui sebarang dua vektor A dan B, gambarkanlah secara geometric kesamaan 4 A +

3( BA )= A + 3B

Jawab :

dik : dua vektor A dan B, maka gambar secara geometrik kesamaan

4 A + 3( BA )= A + 3B adalah :

7.47 Seorang pria bergerak sejauh 25 mil ke arah timur laut, 15 mil ke arah timur dan 10 mil ke

selatan. Dengan menggunakan skala yang sesuai, tentukan secara grafik (a)seberapa jauh

dan (b) kea rah mana ia berada dari titik awalnya. Apakah mungkin untuk menentukan jawaban

secara analitik?

Jawab :

Vektor OP atau A merepresentasikan perpindahan 25 mil arah timur laut

Vektor PQ atau B merepresentasikan perpindahan 15 mil arah timur

A

B

A B

AB

A4

)(3 AB

)(34 ABA

B3

A

BA 3

W

N

S

EO

10

25

15

P Q

R

A

B

C

D=A+B+C

A+B

450

P

R

Satuan = 5 mil


2/40

2

Vektor QR atau C merepresentasikan perpindahan 10 mil arah selatan Vektor OR atau D

merepresentasikan resultant perpindahan (jumlah vektor-vektor A, B dan C), yaitu CBAD

a. Penentuan resultante secara grafik. Tempatkan satu satuan 5 mil pada vektor OR, untukmenentukan besr kira-kira 33,567 mil.

Sudut EOR . ..0

dengan menggunakan busur derajat, maka vektor

OR memiliki besar 33, 57 mil dan arah ...0timur ...

b. Penentuan resultante secara analitis. Dari 'OPP siku-siku di P,

OP

PPPOP

')'sin( 677,172

2

25'

25

'45sin 0 PP

PPmil.

PP = OP, sehingga RR=OP- QR = 17,677-10 = 7,677 mil, dan

OR=PQ = PP+PQ = 17,677+15=32,677 mil.

Dari 'ORR , siku-siku di R, maka

567,33722,1126)677,32()67,7(' 2222 RROROR .

7.48 Jika A dan B adalah sebarang 2 vektor bukan nol dengan arah yang berbeda, buktikanlah

bahwa mA + nB adalah sebuah vektor yang terletak dalam bidang yang ditentukan oleh A dan

B.

Jawab :

A dan B sebarang dua vektor tak nol dengan arah berbeda. Buktikan bahwaBA

nm adalahsebuah vektor yang terletak dalam bidang yang ditentukan oleh A dan B.

Misalkan A dan B vektor- Vektor di3R dengan

),,( 111 zyxA

),,( 222 zyxB

berpangkal di titik asal

)0,0,0( dan tidak segaris,

maka rentang (A , B ) adalah

sebuah bidang yang melalui

titik asal dan melalui titik-

titik ujung vektor-vektor

Am

Bn A

B

BA nm

0

bidang (A,B)


3/40

3

A dan B .

Vektor-vektor ),,( 111 mzmymxm A dan ),,( 222 nznynxn B masing-masing merupakan

kelipatan skalar dai vektor A dan B yang juga terletak pada bidang ),( BA . Karena vektor (

BA ) terletak pada bidang ),( BA , maka vektor ( BA nm ) juga terletak pada bidang

),( BA .

Bukti

BA ),,( 111 zyx ),,( 222 zyx ),,( 212121 zzyyxx

Am Bn ),,( 111 mzmymx ),,( 222 nznynx

),,( 212121 nzmznymynxmx

Misalakan tiga titik yang tidak kolinear , ),,(,),,( 222111 zyxQzyxP dan),,( 333 zyxR pada

bidang rata H.

121212 ,, zzyyxxPQ

131313 ,, zzyyxxPR

Untuk setiap titik sembarang ),,( zyxT

pada bidang H berlaku :

PRPQPT , R, [1]

Dari gambar tampak bahwa

PTOPOT PTOPOT [2]

Subtitusi [1] pada [2], diperoleh : OPOT PRPQ

zyx ,, 111 ,, zyx 121212 ,, zzyyxx 131313 ,, zzyyxx

merupakan persamaan bidang rata melalui tiga titik ),,(,),,( 222111 zyxQzyxP dan

),,( 333 zyxR . Vektor-vektor PQ dan PR disebut vector arah bidang

H

TR

Q

P

x

z

y

O


4/40

4

Misal vector-vektor arah bidang rata adalah aaa zyxa ,, dan bbb zyxb ,, ,

maka persamaan bidang rata melalui titik ),,( 111 zyxP dengan vector-vektor arah

aaa zyxa ,,dan

bbb zyxb ,,, adalah

zyx ,,

111 ,, zyx aaa zyx ,, bbb zyx ,, [5]

zyx ,,

111 ,, zyx a b [6]

yang merupakan persamaan bidang rata dalam bentuk vector.

7.49 Jika A, B, dan C adalah vekt or-vektor non-koplanar (vektor-vektor yang tidak semuanya

terletak dalam bidang yang sama dan x1A + y1B + z1C = x2A + y2B + z2C, buktikanlah bahwa

syarat berikut adalah syarat perlu, x1=x2,y1=y2,z1=z2

Jawab :

CBACBA 222111 zyxzyx

0222111 CBACBA zyxzyx

0)()()( 212121 CBA zzyyxx

0)()()( 212121 zzyyxx

0;; 212121 zzyyxx

7.50 Misalkan ABCD adalah sebarang kuadrilateral dan titik-titik P, Q, R, dan S adalah titik tengah

dari sisi berurutan. Buktikanlah (a) bahwa PQRS adalah sebuah jajaran genjang dan (b) bahwa

keliling PQRS adalah sama dengan jumlah diagonal ABCD

Jawab :

a. ABCD adalah sebarang kuadrilateral, PQRS adalah titik-titik tengah sisi berurutan

B

A

C

D

S

R

Q

P


5/40

5

Akan dibuktikan bahwa PQRS adalah sebuah parallelogram yaitu dengan menunjukkan bahwa

vector PQ sejajar dan sama panjang dengan vector SR dan vector PS sejajar dan sama

panjang dengan vector QR. Dari gambar diatas,

Karena } Maka SP=QR

Selanjutnya, || ||Jadi vector PS sejajar dan sama panjang dengan vector QR.

Dengan cara yang sama,

Karena } Maka PQ = SR

|| ||Jadi PQ sejajar dan sama panjang dengan vector SR.

b.

Keliling || || || || || |||| || || || || ||


6/40

6

X

7.51 Buktikanlah bahwa median-median dari sebuah segitiga berpotongan pada sebuah titik yang

merupakan titik trisection dari setiap median

Jawab :Misalkan diberikan segitiga ABC pada koordinat kartesius dengan titik titik P, Q dan R adalah

titik-titik tengah sisi-sisi segitiga dan S titik perpotongan ketiga garis median AQ, BR dan CP

seperti tampak pada gambar di bawah ini.

Persamaan garis BR adalah

Persamaan garis CP adalah

Kedua garis berpotongan di titik S(x,y) dimana

S

A(0,2a)

R(c,a)

C(2c,0)Q(b+c,0)B(2b,0)

P(b,a)

Y


7/40

7

Dengan mensubtitusi nilai x ini ke persamaan garis BR atau CP diperoleh . Jadi . /.Garis median BR dalam bentuk vector adalah

Selanjutnya,

* + Dengan cara yang sama diperoleh

Dengan demikian titik S merupakan titik pembagi tiga dari setiap garis tengah segitiga ABC.

7.52

Tentukan sebuah vektor satuan dalam arah vektor resultan A=2ij + k. B = i + j + 2k, C = 3i

2j + 4k

Jawab :

Vektor resultan dari A, B, C adalah

Vektor satuan dalam arah vector resultan


8/40

8

b.

PERKALIAN TITIK ATAU PERKALIAN SKALAR

7.53 Hitunglah |(A + B) . (AB)| jika A= 2i3j + 5k dan B = 3i + j2k

Jawab :

| | | | | | 7.54 Buktikanlah konsistensi hukum cosines untuk sebuah segitiga. [petunjuk : ambil sisi-sisi A,B,C

dimana C = AB. kemudian gunakanlah C.C = (AB).(AB)]

Jawab :

Perhatikan segitiga PQR dengan sisi A, B, C dimana dan sudut antara vector Adan B adalah .

Dari defenisi perkalian titik, Karena |||| dan || maka persamaan di atas menjadi|| || || |||| Yang menyatakan aturan kosinus pada segitiga.

Q

CB

RAP


9/40

9

7.55 Tentukanlah a sehingga 2i3j + 5k dan 3i + aj2k saling tegak lurus

Dua buah vector saling tegak lurus jika

7.56 Jika A = 2i + j + k, B = i2j + 2k dan C = 3i4j + 2k tentukan proyeksi dari A + C dalam arah B

Misalkan

| |

| |


10/40

10

7.57 Sebuah segitiga memiliki puncak-puncak pada A(2,3,1), B(-1,1,2), C(1,-2,3). Tentukanlah (a)

panjang median yang ditarik dari B ke sisi AC dan (b) sudut lancip yang dibentuk median ini

dengan sisi BC

Jawab :

a. Misalkan D adalah titik tengah sisi AC, maka

||

|| || ||

|| b. || 0 1 || ./ . / = Dari definisi perkalian titik,

|||| Jadi


11/40

11

7.58 Buktikanlah bahwa diagonal-diagonal dari sebuah belah ketupat adalah tegak lurus satu sama

lain

Jawab :

Perhatikan gambar belah ketupat PQRSdengan dua sisi yang diwakili oleh vector A dan vector

B, dimana || || Dari gambar diperoleh,

Selanjutnya,

|| || Hal ini menunjukkan bahwa diagonal PR dan SQ tegak lurus satu sama lain.

7.59 Buktikanlah bahwa vektor (AB + BA)/(A + B) merepresentasikan bisector dari sudut A dan B

Jawab :

Misalkan

Dengan menerapkan defenisi titik pada gambar, diperoleh

. /

R

S

P

A

B


12/40

12

Dan

. /

Dari persamaan (1) dan 2 diperoleh

Dengan demikian vector membagi dua sudut sama besar yang dibentuk olehvector A dan B

c.

PERKALIAN SILANG ATAU PERKALIAN VEKTOR

7.60 Jika A = 2ij + k dan B = i + 2j3k, tentukanlah |(2A + B) x (A 2B)|

Jawab :

| |

| |


13/40

13

7.61 Tentukanlah sebuah vektor satuan tegak lurus terhadap bidang dari vektor vektor A = 3i2j +

4k dan B = i + j2k

7.62 Jika A x B = A x C, apakah perlu B = C ?

Jawab :

Misalkan


14/40

14

Berdasarkan defenisi kesamaan dua vector, maka .. (1)

..(2)

..(3)Dari persamaan (1), (2), dan (3) hanya dapat terpenuhi, jika dan hanya jika vektor B samadengan vektor C.

7.63 Tentukanlah luas segitiga dengan titiktitik puncak (2,-3,1), (1,-1,2), (-1,2,3)

Jawab :

Misalkan

Luas segitiga | |

| | | |

Jadi luas segitiga 7.64 Tentukanlah jarak terpendek dari titik (3,2,1) ke bidang yang ditentukan oleh (1,1,0), (3,-1,1), (-

1,0,2)

Titik


15/40

15

Titik Titik Dengan mengubah persamaan di atas ke dalam bentuk matriks diperoleh :

Dalam persamaan :

Misalkan maka Jadi persamaan bidangnya

Jarak terpendek titik ke bidang adalah

| | | |

| | ||


16/40

16

d.

PERKALIAN RANGKAP TIGA

7.65 Jika A = 2i + j3k, B = I2j + k, C = -I + j4k, tentukanlah (a) A(B x C), (b) C (A x B), (c)A x (B x C), (d) (A x B) x C

Jawab :

a).

b).

c). dimana

jadi d).

dimana jadi

7.66 Buktikanlah bahwa (a) A (B x C) = B (C x A) = C (A x B)(b) A x (B x C) = B(A C)C((A B)Jawab :

A = B =


17/40

17

C = (a)

0 1 . 0 1 0 1 0 1/

Jadi A (B x C) = B (C x A) = C (A x B) terbukti(b) ( ) ( )( )

( )

( (

, -, -A x (B x C) = B(A C)C(A B) (terbukti)


18/40

18

7.67 Tentukanlah persamaan untuk bidang yang melewati (2,-1,-2), (-1,2,-3), (4,1,0)

Titik Titik Titik Dengan mengubah persamaan di atas ke dalam bentuk matriks diperoleh :

Dalam persamaan :

Misalkan maka Jika maka Jadi persamaan bidangnya

7.68 Tentukanlah volume tetrahedron dengan titiktitik puncak (2,1,1), (1,-1, 2), (0,1,-1), (1,-2,1)

Jawab :


19/40

19

Misalkan A, B dan C adalah sisi tetrahedron tersebut. Dengan memilih titik (2,1,1) sebagai titik

pangkal vector posisi dari sisi-sisi tetrahedron, maka volume tetrahedron = | | Jadi volumenya = 8

7.69 Buktikanlah bahwa (A x B)(C x D) + (B x C) (A x D) + (C x A) (B x D) = 0Jawab :

Misalkan

maka


20/40

20

Dengan menjumlahkan ketiga persamaan diatas maka diperoleh

(A x B)(C x D) + (B x C) (A x D) + (C x A) (B x D) = 0 (Terbukti)e.

TURUNAN

7.70 Sebuah partikel bergerak disepanjang kurva ruang r = ,tentukanlah besar (a) kecepatan dan (b) percepatan pada sebarang waktu t.

Jawab :(a) Kecepatan , -

Untuk t = 0

, -

(b) Percepatan

, -, -

,-Untuk t=0


21/40

21

7.71 Buktikanlah bahwa dimana A dan B adalah fungsi u

yang dapat didiferensiaisi

Jawab :

uBABBAALimitBA

dud

u

)()()(

0

u

BABABABABALimitBA

du

d

u

0)(

u

BABABALimitBA

du

d

u

0)(

B

u

AB

u

A

u

BALimitBA

du

d

u 0)(

BLimit

uALimitB

uALimit

uBLimitABA

dud

uuuu 0000)(

)(0)( terbuktiBdu

dA

du

dBA

du

dAB

du

dA

du

dBABA

du

d

7.72 Tentukanlah sebuah vektor satuan yang menyinggung kurva ruang x = t, y = t2, z = t3 pada

titik dimana t = 1

Jawab :

Dik

Vektor satuannya :

||

7.73 Jika r = dimana a dan b adalah sebarang vektor non-kolinier yangkonstan dan adalah sebuah scalar yang konstan, buktikanlah bahwa (a) r =

= (a x b),(b)

Jawab :


22/40

22

a).

Karena a a = 0 dan a b = - b a, maka

b) )

7.74 Jika A = x2iyj + xzk, B = yi + xjxyzk dan C = iyj + x3zk, tentukanlah (a)

dan (b) d[A (B x C)] pada titik (1,-1,2)Jawab :

a).

| |


23/40

23

| |Pada titik (1, -1, 2)

b). , -

Pada titik (1, -1, 2), - 7.75 Jika R = x2yi2y2zj + xy2z2k, tentukanlah pada titik (2,1,-2)

Jawab :

| | Pada titik | | ||


24/40

24

f.

GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL

7.76

Jika U, V, A, B memiliki turunan-turunan parsial kontinu, buktikanlah bahwa :

a. b. c. Jawab :

a).

0

1

(terbukti)

b). misalkan


25/40

25

0 1 ( (terbukti)c). 0 1

0 1 0 1 ( (Terbukti)


26/40

26

7.77 Jika dan A = , tentukanlaha. b. c.

Pada titik (3,-1,2)

Jawab :

a). 0 1 ( )Di titik (3, -1, 2) maka ( )

b). 0 1 0 1

dititik (3, -1, 2) c). 0 1

( ) ( ) ( )Di titik (3, -1,2)


27/40

27

7.78 Perlihatkanlah bahwa dimana r = dan r = |r|Jawab : ||

7.79 Buktikanlah bahwa :

(a) (b) Jawab :

misalkan a). 0 1


28/40

28

Dimana,

Sehingga

(Terbukti)

b). ( ) Sehingga


29/40

29

(

0

1 0

1 0

1

(

(Terbukti)

7.80 Buktikanlah bahwa curl grad U = 0, dengan menyatakan kondisi U yang sesuai

Jawab :

Dengan menganggap bahwa U mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu, sehingga

urutan diferensiasi tidak penting, artinya

7.81 Tentukanlah sebuah satuan normal terhadap permukaan padatitik (2,1,-1)

Jawab :


30/40

30

Di titik (2, 1, -1), Normal satuan pada permukaan tersebut dititik (2, 1, -1) adalah

7.82 Jika A = , tentukanlah curl A.Jawab :

(Terbukti)7.83 (a). buktikanlah bahwa

(b). Buktikanlah hasil dalam (a) jika A diketahui seperti dalam soal 35 diatas

Jawab :

a). misalkan


31/40

31

(Terbukti)b).


32/40

32

Dan

(Terbukti)g.

JACOBIAN DAN KOORDINAT KURVILINIER

7.84 Buktikanlah bahwa Jawab :

Misalkan Jacobian di definisikan sebagai


33/40

33

Sehingga

7.85 Nyatakanlah (a) grad , (b) div A, (c) dalam koordinat-koordinat seriesJawab :

(a) grad =

=

persamaan transformasi : , , Dimana r Sehingga faktor skala Maka :


34/40

34

(b) div A =

(c)

7.86 Transformasi dari koordinat siku-siku menjadi koordinat silindris parabolik didefinisikan oleh

persamaan-persamaan , y , z = z.(a)Buktikanlah bahwa system tersebut adalah orthogonal

(b)Tentukanlah ds2 dan faktor-faktor skala

(c)Tentukanlah Jacobian dari transformasi dan elemen volume

Jawab :

a). misalkan notasi vector dari transformasi tersebut adalah dimana


35/40

35

Misalkan vector satuan diseberan g titik P pada trasformasi tersebut adalah ,dimana

selanjutnya

Ini menunjukkan bahwa system orthogonal


36/40

36

b). Dengan menggunakan hasil-hasil yang diperoleh pada (a),

(

Dengan factor skala,

c). Jacobian dari transformasi tersebut adalah

Elemen Volume,

7.87

Tuliskanlah (a) dan (b) div A dalam koordinat silindris parabolicJawab :(a)

(b)

. / . /


37/40

37

. / . / 7.88 Buktikanlah bahwa untuk koordinat kurvilinier orthogonal

[petunjuk : misalkan dan gunakanlah fakta bahwa pasti sama baik dalam koordinat siku-siku maupun dalam koordinat kurvilinier]Jawab :

Misalkan dan , dimana +

jadi

+ Dengan demikian

Sehingga

+

7.89 Berikanlah interpretasi vektor untuk teorema dalam soal 6.35 dari Bab 6


38/40

38

h.

SOAL LAIN-LAIN

7.90 Jika A adalah sebuah fungsi u yang dapat didiferensiasi dan |A(u)| = 1, buktikanlah bahwa

dA/dt adalah tegaklurus terhadap A.

Jawab.

Misalkan

. /

Selanjutnya, maka menurut perkalian titik,

Karena maka menurut perkalian titik, sudut yang dibentuk vector A dengan vector sama dengan 900. dengan demikian vector A dengan vector

saling tegak lurus.

7.91

Buktikanlah rumus-rumus 6,7,8 pada halaman 129

7.92 Jika dan adalah koordinat-koordinat polar dan A,B, n adalah sebarang konstanta,buktikanlah bahwa memenuhi persamaan laplace.

7.93 Jika , tentukanlah 7.94 Tentukankah fungsi paling umum dari (a) koordinat silindris , (b) koordinat sferis r, (c)

koordinat sferis yang memenuhi persamaan laplace


39/40

39

7.95 Jika T dan N beturut-turut melambangkan satuan vektor tangensial dan satuan vektor normal

utama terhadap kurva ruang r = r(u), dimana r(u) diasumsikan dapat didiferensiasi.

Definisikanlah vektor B = T x N yang disebut vektor binormal satuan terhadap kurva ruang.

Buktikanlah bahwa

Jawab :

a). Karena i.e.tegak lurus terhadap .Jika Nadalah vector yang dibentuk oleh

, maka b). misalkan , maka

selanjutnya maka adalah tegak lurus terhadap .Tetapi dari sehingga ,kemudian tegak lurus terhadap danmerupakan anggota Berawal dari

yang merupakan anggota dan tegak lurus pada ,juga harusparallel pada ,maka

dikatakan binomial dan dikatakan torsic). Membentuk suatu system yang dibenarkan sebagai berikut Selanjutnya

7.96 (a) buktikanlah bahwa jari-jari kelengkungan pada sebarang titik dari kurva bidang

dapat didiferensiasi, ditentukan oleh (b) tentukanlah jari-jari kelengkungan pada titik (, 1, 0) dari kurva y = sin x, z=0


40/40

40

7.97 Buktikanlah bahwa percepatan dari sebuah partikel disepanjang kurva ruang ditentukan

berturut-turut dalam (a) koordinat silindris (b) koordinat sferis sebagai

rrrerrrerrr r )sincos2sin2()cossin2()sin(

......2.....2

2.2...

Jawab :

a). Dari koordinat kartesian posisi vector dari dan percepatan danakselerasi vector adalah

dan

Selanjutnya

Maka

membentuk koordinat silindris

b). ( ) 7.98 Asas

Tugas Kalkulus 2008

Documents

Transcript of Tugas Kalkulus 2008