TUGAS INDIVIDU

KOMPUTASI NUMERIK

Siti Ambar Khalis

1406533434

PROGRAM STUDI TEKNOLOGI BIOPROSES

DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA

DEPOK

2016

2

TUGAS KOMPUTASI NUMERIK

File I – Soal Nomor 3

HHV (Higher Heating Value) adalah salah satu karakteristik penting sebagai indicator

kualitas bahan bakar hidrokarbon. Semakin tinggi HHV, maka semakin tinggi pula

kandungan energy yang terdapat dalam bahan bakar tersebut. Beberapa cuplikan hasil penelitian yang dimuat dlm Jurnal Ilmiah Fuel Oleh Ayhan Demirbas Vol. 77,

No. 9/10, pp. 1117-1120, 1998 berjudul Fuel properties and calculation of higher heating

values of vegetable oils .

The saponification value (SV) of an oil decreases with increase of its molecular weight. On

the other hand, the percentages of carbon and hydrogen in an oil increase with decrease in

molecular weight. The increase in iodine value (IV) (i.e., carboncarbon double bond, -C=C-,

content)results in a decrease in the heat content of an oil. Therefore, for calculation of the

HHVs (kJ g-l) of vegetable oils, eqn (3) is suggested and was used in this study:

HHV = 49.43 - [O.O41(SV) + O.Ol5 (IV)] (3)

3

The HHVs calculated by using eqn (3) and measured experimentally are given in Figure 2. Eqn (3)

represents the correlation obtained by means of regression analysis. The correlation coefficient is

0.9999. The HHVs calculated with eqn (3) showed a mean difference of only 0.0067%. In this

calculation the HHV of castor oil was not taken into account.

Tunjukkan bagaimanakah langkah-langkah komputasi numerik sehingga persamaan

HHV = 49.43 - [0.041(SV) + 0.0l S (IV)] di mana SV = Saponification Value dan IV= Iodine Value

bisa terbentuk?

Jawab:

HHV = 49.43 - [0.041(SV) + 0.0l5 (IV)]

Substitusi nilai SV dan IV berdasarkan tabel.4 untuk pengecekan nilai HHV

4

Vegetable oil : Ailanthus

SV= 206.34

IV = 107.18

HHV = 49.43 - [0.041(206.34) + 0.0l5 (107.18)] = 39.36

Vegetable oil : Corn

SV = 194.14

IV = 119.41

HHV = 49.43 - [0.041(194.14) + 0.0l5 (119.41)] = 39.68

Berdasarkan substitusi yang dilakukan didapatkan bahwa nilai HHV dalam persamaan

tersebut merupakan nilai HHV perhitungan (calculated) dan telah sesuai dengan tabel 4.

Langkah-langkah untuk mendapatkan HHV = 49.43 - [0.041(SV) + 0.0l5 (IV)] dengan

menggunakan metode komputasi numerik : dengan menggunakan regresi linier berganda lalu

diselesaikan dengan programing pascal

Y X1 X2 X12 X22 X1X2 X1Y X2Y39.38 206.34 107.18 42576.2 11487.55 22115.52 8125.669 4220.74839.32 220.78 69.82 48743.81 4874.832 15414.86 8681.07 2745.32239.59 202.16 105.15 40868.67 11056.52 21257.12 8003.514 4162.88939.82 193.52 110.64 37449.99 12241.21 21411.05 7705.966 4405.68537.41 202.71 88.72 41091.34 7871.238 17984.43 7583.381 3319.01539.64 194.14 119.41 37690.34 14258.75 23182.26 7695.71 4733.41239.44 202.71 113.2 41091.34 12814.24 22946.77 7994.882 4464.60840.62 178.59 99.83 31894.39 9966.029 17828.64 7254.326 4055.09539.83 197.63 98.62 39057.62 9725.904 19490.27 7871.603 3928.03539.33 188.71 156.74 35611.46 24567.43 29578.41 7421.964 6164.58439.45 199.8 119.35 39920.04 14244.42 23846.13 7882.11 4708.35839.59 196.82 116.83 38738.11 13649.25 22994.48 7792.104 4625.339.73 197.07 108.05 38836.58 11674.8 21293.41 7829.591 4292.82739.52 190.23 139.83 36187.45 19552.43 26599.86 7517.89 5526.08239.61 206.82 88.57 42774.51 7844.645 18318.05 8192.14 3508.25839.42 210.34 91.76 44242.92 8419.898 19300.8 8291.603 3617.17939.63 194.61 120.52 37873.05 14525.07 23454.4 7712.394 4776.20839.44 207.79 96.08 43176.68 9231.366 19964.46 8195.238 3789.39539.57 191.7 132.32 36748.89 17508.58 25365.74 7585.569 5235.90239.56 190.82 135.24 36412.27 18289.86 25806.5 7548.839 5350.094789.9 3973.29 2217.86 790985.

7253804 438153.2 156885.

687628.99

5

[ n ∑ x 1 ∑ x2∑ x1 ∑ x12 ∑ x1 , x2∑ x2 ∑x 1 , x 2 ∑x 22 ] [abc ] = [ ∑ y

∑ x1 , y∑ x2 , y ] (regresi linier berganda)

[ 20 3973,29 2217,863973,29 790985,7 438153,22217.86 438153,2 253804 ] [abc ]= [ 789.9

156885.687628.99]

Eliminasi Gauss (dengan menggunakan program pascal)

PROGRAM SPAL

Jumlah persamaan : 3

[A(1,1)=20] [A(1,2)=3973.29] [ A(1,3)=2217.86] [b(1)=789.9]

[A(2,1)=3973.29] [ A(2,2)=790985.7] [A(2,3)=438153.2] [b(2)=156885.6]

A(3,1)=2217.86 A(3,2)=438153.2 [A(3,3)=253804] [b(3)=87628.29]

matrik augmented=

20,003973,292217,86789,90

3973,29790985,70438153,20156885,60

2217,86438153,20253804,0087628,29

x(1)=46,8002579559 ; x(2)=-0,0333590586 ; x(3)=-0,0061139771

dengan ketikan programing seperti berikut :

Program SPAL; Turbo Pascal 7.1

type Matriks = array [1..12,1..12] of Real; Vektor = array [1..12] of Real;vari,j,k,jp : integer;A : Matriks;b,x : Vektor;Procedure EliminasiGauss(n: Integer; A: Matriks; Var x: Vektor; b: Vektor);Var

pivot, lambda: Real;

i,j,k : Integer;

6

begin

for j:=1 to n-1 do

begin pivot := A[j,j]; for i:= j+1 to n do begin lambda := A[i,j]/pivot; for k := j+1 to n do A[i,k] := A[i,k] - lambda*A[j,k]; b[i] := b[i] - lambda*b[j]; end; end; x[n] := b[n]/A[n,n]; for i := n-1 downto 1 do begin for k := i+1 to n do b[i] := b[i] - A[i,k]*x[k]; x[i] := b[i]/A[i,i]; end; end; begin writeln('PROGRAM SPAL'); write('Jumlah persamaan : ');readln(jp); for i:=1 to jp do begin for j:=1 to jp do begin write ('A(',i,',',j,')='); readln(A[i,j]); end; write('b(',i,')='); readln(b[i]); end; writeln('matrik augmented= '); for i:= 1 to jp do begin for j:=1 to jp do begin write(A[i,j]: 5:2); end; write(b[i]:5:2); writeln; end; EliminasiGauss(jp,A,x,b); for i:=1 to jp do write('x(',i,')=',x[i]:5:10,' ; ') end.

Jadi, persamaan HHV = 49.43 - [0.041(SV) + 0.0l S (IV)], bisa terbentuk dengan menggunakan

program pascal, dengan menghasilkan persamaan seperti dibawah ini

HHV = 46,8 – [0,033(SV) + 0,006 S (IV)]

Menghitunge error

Dari hasil eksperimental dan hasil formulasi persamaan kita dapat mendapatkan nilai error dengan

rumus:

% Error = HHV hasil eksperimental−HHV hasil formulasi persamaanHHV hasil formulasi persamaan x 100%

7

HHV hasil eksperimental

HHV hasil formulasi

persamaan % Error (%Error)2

39.38 40.63386 0.030858 0.000952

39.32 39.93318 0.015355 0.000236

39.59 40.75962 0.028696 0.000823

39.82 41.07768 0.030617 0.000937

37.41 40.64289 0.079544 0.006327

39.64 41.10984 0.035754 0.001278

39.44 40.78977 0.033091 0.001095

40.62 41.50551 0.021335 0.000455

39.83 40.86993 0.025445 0.000647

39.33 41.51301 0.052586 0.002765

39.45 40.9227 0.035987 0.001295

39.59 41.00592 0.03453 0.001192

39.73 40.94499 0.029674 0.000881

39.52 41.36139 0.04452 0.001982

39.61 40.50636 0.022129 0.00049

39.42 40.40934 0.024483 0.000599

39.63 41.10099 0.03579 0.001281

39.44 40.51941 0.026639 0.00071

39.57 41.26782 0.041141 0.001693

39.56 41.31438 0.042464 0.001803

8

Alianthus

Bay lau

relBee

ch

Beechnut

Castor

Corn

Cottonseed

Crambe

Hazelnut k

ernel

Linsee

dPea

nut

Poppyseed

Rapese

ed

Safflowers

eed

H.O. Safflower

Sesam

e

Soyb

eanSp

ruce

Sunflowers

eed

Walnut k

ernal

35

36

37

38

39

40

41

42

Perbandingan Plot HHV hasil formulasi persamaan dengan HHV hasil eksperimental

HHV hasil eksperimental HHV hasil formulasi persamaan

Vegetable Oil

HHV

Alianthus

Bay Laurel

Beech

Beechnut

Castor

Corn

Cottonseed

Crambe

Hazzelnut K

emel

Linse

ed

Peanut

Poppyseed

Rapeseed

Safflowerseed

H.O Safflower

Sesame

Soybean

Spruce

Sunflowerseed

Walnut K

ernal0

10203040506070

Grafik Error Plot HHV Hasil Formulasi Persamaan dengan HHV Hasil Eksperimental

Vegetable oil

Erro

r HHV

HHV hasil formulasi persamaan dengan HHV hasil eksperimental memiliki hasil yang berbeda,

namun perbedaan yang terjadi tidak signifikan. Perbedaan tersebut dapat dilihat pada grafik error

plot

Flow Chart

start

Substitusi nilai SV dan IV

berdasarkan tabel.4 untuk

pengecekan nilai HHV

Vegetable oil : AilanthusSV= 206.34IV = 107.18HHV = 49.43 - [0.041(206.34) + 0.0l5 (107.18)] = 39.36

Vegetable oil : CornSV = 194.14IV = 119.41HHV = 49.43 - [0.041(194.14) + 0.0l5 (119.41)] = 39.68

menggunakan metode komputasi numerik : dengan

menggunakan regresi linier

berganda

=

Eliminasi Gaussdiselesaikan

dengan programing pascal

mengetikkan kode untuk programing Spal pada Turbo

Pascal 7.1

x(1)=46,8002579559 x(2)=-0,0333590586 x(3)=-0,0061139771

HHV = 46,8 – [0,033(SV) + 0,006 S

(IV)]selesai

9

10

File II – Soal Nomor 10

Laju orde pertama konstan k, untuk reaksi C-N berikatan dalam N, N-dimetilnikotinamid

yand diukur pada temperatur yang berbeda oleh resonansi magnetik nuklir (NMR) adalah :

T oC 10.0 15.7 21.5 27.5 33.2 38.5 45.7

k sec-1 2.08 4.57 8.24 15.8 28.4 46.1 93.5

Dengan komputasi numerik, tentukanlah nilai konstanta kO = factor pre-eksponensial dan E

Energi aktivasi?

JAWAB:

Energi aktivasi E adalah adalah ukuran dari sensitivitas suhu konstanta laju. Sebuah E yang

tinggi sesuai dengan peningkatan secara cepat konstanta laju dengan suhu. Dari persamaan

Arrhenius:

kT = kO (-E/RT)

Dimana: kT = konstanta laju pada suhu yang diketahui

kO = factor pre-eksponensial

E = Energi aktivasi

R = konstanta gas (8,314 J/mol.K)

T = suhu (K = 273.15 + °C)

Hal ini mungkin untuk menentukan energi aktivasi dan faktor pre-eksponensial (k0).

Persamaan linearisasi:

ln k = ln k0 −E

R1T

dari linearisasi tersebut, kita dapat menuliskannya sebagai persamaan regresi linear dimana:

ln k = y

ln k0 = intersep = c

1T = x

−ER = gradien = m

T (K) k (sec-1) 1/T (x) ln k (y)283.15 2.08 0.00353 5.64598288.85 4.57 0.00346 5.66591294.65 8.24 0.00339 5.68579300.65 15.80 0.00333 5.70595306.35 28.40 0.00326 5.72473311.65 46.10 0.00321 5.74188

11

318.85 93.50 0.00314 5.76472Dengan bantuan program Excel, kita dapat dengan cepat menentukan setiap komponen yang

dibutuhkan untuk regresi linier, yakni 1/T sebagai sumbu-x, dan ln k sebagai sumbu-y

Setelah diperoleh data-data untuk sumbu y dan sumbu x, kemudian dapat kita plot ke dalam

grafik.

Grafik Hubungan 1/T terhadap ln k

12

0.0031 0.00315 0.0032 0.00325 0.0033 0.00335 0.0034 0.00345 0.0035 0.00355 0.00360

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

f(x) = − 9485.23890076648 x + 34.2942233764251

1/T

ln k

Dari program Excel kita juga dapat memperoleh langsung persamaan garis pada

grafik tersebut. Namun, persamaan garis dapat juga dicari melalui regresi linier dengan

aplikasi Regresi Linier 1.1

13

Dengan demikian, dihasilkan persamaan regresi linear:

y=−9485 x+34,29

14

m = -9485

c = 34,29

sehingga nilai k0 dan energi aktivasi E dapat ditentukan:

ln k 0=34,29

k 0=7,98 ×1014

Sedangkan nilai energi aktivasi E, dengan menggunakan R = 8,314 J/mol.K maka,

−ER

=−9485

E=9485 .R

E=9485 . 8,314 Jmol . K

E=7,88× 104 J /mol

∴ Faktor pre-eksponensial dari data laju reaksi tersebut adalah 7,89 x 1014 dan energi aktivasi

dari reaksinya adalah 7,88 x 104 J/mol.

Mencari error

Untuk mencari error kita dapat membandingkan harga k hasil eksperimental dengan harga k hasil

perhitungan. Harga k hasil perhitungan, bisa menggunakan persamaan

y=−9598,6 x+34,668

Berikut adalah tabel data untuk mencari nilai error

T k hasil perhitung

ank hasil

eksperimental

% Error (%Error)2

283.15 2.15 2.08

-3.25 10.60

288.85 4.21 4.57

8.55 73.12

294.65 8.09 8.24

1.85 3.437

300.65 15.51 15.8

1.86 3.496

306.35 28.1 28.4

1.06 1.139

311.6 47.88 46.1 -3.71 13.82

15

5

318.85 95.98 93.5

-2.58 6.67

Dari harga k hasil perhitungan eksperimental yang didapat dari persamaan dan harga k data hasil eksperimental, dapat dibuat plot kurvanya

280 285 290 295 300 305 310 315 320 3250

20

40

60

80

100

120

Diagram x-y antara k hasil perhitungan dengan k data hasil eksperimental

k hasil eksperimental k hasil perhitungan

T

k

283.15 288.85 294.65 300.65 306.35 311.65 318.850

1020304050607080

Grafik Error Plot k Hasil Formulasi Persamaan dengan k Hasil Eksperimental

Error k

Temperatur

Erro

r k

16

Dari diagram x-y antara k hasil perhitungan dengan k data hasil eksperimental kurva yang terbentuk,

dapat diketahui bahwa k hasil perhitungan berhimpitan dengan k data hasil eksperimental, yang

berarti nilai k eksperimental mendekati k hasil perhitungan. Perbedaan k hasil perhitungan dengan k

data hasil eksperimental dapat dilihat pada grafik error plit k hasil formulasi persamaan dengan k hasil

eksperimental.

Flow Chart

startMembuat tabel

antara nilai T, k, 1/T dan ln k

menentukan Ea dan k0

ln k = ln k0 -

ln k = yln k0 = intersep = c

= x = gradien = m

membuat grafik 1/T vs ln k,

menggunakan excel

mengggunakan software regresi

linear

m = -9485c = 34,29

sehingga nilai

Faktor pre-eksponensial dari data laju reaksi tersebut

adalah 7,89 x 1014 dan energi aktivasi dari reaksinya adalah

7,88 x 104 J/mol.

selesai

17

File III – Soal Nomor 8

Pengukuran luas permukaan karbon aktif pada setiap sampelnya dengan menggunakan teknik adsorpsi BET (Brunauer-Emmett-Teller) isotherm. Adsorpsi menggunakan gas nitrogen, adsorpsi pada suhu cairnya sekitar -160 oC (luas permukaan molekul Nitrogen Am = 16.2 x 10-20 m2/molekul. Data hasil pengukuran dinyatakan dalam bentuk Relative Pressure (P/Po) dengan N2 Gas adsorbed Vgas (ml/g) pada kondisi STP, ditabelkan sebagai berikut (lihat tabel dibawah ini)

Untuk menguji kelinieran grs sesuai persamaan, maka perlu diolah data sebagai berikut :

Plot antara Relative Pressure (P/Po) dengan N2 Gas adsorbed Vgas(cc/g) STP. Bagaimanakah pola kurva yang terbentuk, linier, melengkung atau ada kecenderungan linier?? Apakah titik-titik data cenderung membentuk suatu hubungan variabel.

Data-data dapat dilinearisasi sesuai dengan persamaan isothermal BET yakni

dengan membuat harga Y = dan harga X= p/po, dapatkah anda memperoleh

data-data pola kurva yang cenderung membentuk grs lurus/linier setelah diplot dengan data-data seperti berikut:

SAMPEL 8Zeolit

Relative

Press P/Po

N2 adsorbed

Vgas(cc/g)

0 00.01 8.45070.05 9.80010.09 10.4592

0.129 10.91890.169 11.2670.209 11.55680.249 11.81120.289 12.04780.329 12.27090.369 12.49560.408 12.72290.448 12.89950.488 13.20880.528 13.48590.568 13.7868

P /P0

V (1−P/P0 )= 1

cV m+ c−1

cV m( P/ P0)∝( P/ P0)

P /P0

V (1−P/ P0 )

18

0.608 14.1180.648 14.5160.687 14.9579

Dengan komputasi numerik, bisakah menentukan metode yang mana yang anda pakai sehingga didapat konstanta persamaan adsorpsi isotermis BET yakni Vm dan c!

Jawab:

Dengan data di atas, kita dapat mencari nilai Y dengan rumus:

Y=( P/ Po )

V (1−P /Po )

Maka dengan itu, akan didapat:

x y

0 0

0.01 0.001195287

0.05 0.005370514

0.09 0.009455895

0.129 0.013564153

0.169 0.018050007

0.209 0.022862947

0.249 0.028071485

0.289 0.03373809

0.329 0.039957376

0.369 0.046799358

0.408 0.05416919

0.448 0.062916718

0.488 0.072158334

0.528 0.082949159

0.568 0.095367657

0.608 0.109861199

0.648 0.126819309

19

0.687 0.146737722

Dan jika dibuat grafik akan didapat grafik seperti berikut:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

f(x) = 0.179461652767066 x − 0.00998358327033609R² = 0.950167578706365

Pada grafik, didapat bahwa persamaan garis adalah:

y = -0.01+0.179x

Dan pada keterangan sebelumnya dikatakan bahwa persamaan dari sample berupa:

Dapat dikatan bahwa persamaan tersebut sama. Dengan itu kita dapat menyamakan:

−0 . 01=1cV m

cV m=1−0 .01

cV m=−100 (1)Kemudian nilai dari persamaan (1) dapat dimasukkan ke persamaan:

0 .179= c−1cV m

Maka akan didapat nilai c:

P /P0

V (1−P/ P0 )= 1

cV m+ c−1

cV m( P/ P0 )∝( P/ P0)

20

0 . 179=c−1−100

c−1 =-17 .9c =-16 .9 (2)

Dan jika dikembalikan hasik persamaan (2) ke persamaan (1), maka akan didapat nilai Vm sebagai berikut:

(−16 .9 ) ´V m=-100V m=5 .917

Flow Chart