Tugas Catatan MPMT5103 (Logika)

TUGAS MATA KULIAH MPMT5103 FONDASI MATEMATIKA DAN BUKTI DALAM MATEMATIKA

NAMA : ARRIZAL MUHAEMIN YUNUSNIM : 500638209EMAIL : [email protected] : S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA ONLINE

CATATAN MATERI LOGIKALogika Matematika dapat diartikan sebagai tata cara berfikir atau pola berfikir matematika (Ensiklopedia Matematika). Pada literatur lain, logika diartikan sebagai suatu mata pelajaran tentang idea-idea dan bagaimana idea-idea tersebut digunakan dalam sebuah argumen. Secara harfiah, kata logika berarti “menurut akal”. Logika dapat diartikan sebagai suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada. Orang-orang Yunani, khususnya Aristoteles (384-322 SM), adalah orang pertama yang menggunakan proses-proses logika ke dalam pernyataan-pernyataan.

A. Penyataan dan Kalimat TerbukaKalimat akan selalu disampaikan oleh seseorang dalam menyampaikan pemikiran atau

gagasannya. Banyak bentuk kalimat yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Dalam matematika kita hanya akan dipelajari kalimat yang mengandung nilai kebenaran saja, yaitu: kalimat tertutup (proposisi/pernyataan), kalimat bukan pernyataan, dan kalimat terbuka.1. Proposisi/Pernyataan

Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi belum tentu sebaliknya. Pernyataan adalah suatu kalimat yang hanya bernilai benar saja atau salah saja, sehingga tidak mungkin dapat bernilai keduanya sekaligus.

Contoh pernyataan:a. Delapan adalah bilangan genap. b. Gunung sindur terletak di kabupaten Bogor.Contoh bukan pernyataan:a. Kerjakan soal-soal berikut!b. Siapa nama anak kecil itu?

Jika suatu kalimat belum bisa ditentukan benar atau salahnya maka dikatakan kalimat tersebut sebagai kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya mengandung variabel. Suatu kalimat terbuka bisa menjadi pernyataan setelah variabelnya diganti sehingga mampu memberikan suatu keterangan yang benar saja atau salah saja.

Nilai kebenaran hanya ada 2, yaitu benar atau salah. Nilai benar biasanya dinotasikan dengan B atau T atau 1, sedangkan nilai salah dinotasikan dengan S atau F atau 0. Suatu pernyataan dalam logika biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalkan : p, q, r, a, b, dan lain-lain.

Tugas membuat catatan tentang Logika MatematikaArrizal Muhemin Yunus (500638209) MPMT halaman 1

mailto:[email protected]

Dalam menentukan nilai benar atau salah dari pernyataan, maka kita harus memakai dasar empiris atau nonempiris. a. Dasar Empiris, yaitu benar atau salahnya didasarkan pada fakta yang dapat dijumpai

dalam kehidupan sehari-hari. Contoh :1) Ikan merupakan hewan menyusui.

(merupakan pernyataan salah)2) Real Madrid adalah juara Liga Champions tahun 2013.

(merupakan pernyataan benar)b. Dasar Nonempiris, yaitu benar atau salahnya didasarkan melalui penelitian, perhitungan,

atau bukti dalam matematika.Contoh :1) 4 x 5 = 2 x 10.

(merupakan pernyataan benar)2) Persamaan kuadrat x2 – 6x + 9 = 0 memiliki 2 akar real berlainan.

(merupakan pernyataan salah)

2. Kalimat TerbukaKalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan jika variabelnya diganti

dengan suatu nilai maka akan menghasilkan suatu pernyataan.Contoh : Persamaan x + 2 = 5, x ϵ R dinamakan kalimat terbuka karena mengandung

variabel yaitu x sehingga belum diketahui nilai kebenarannya.Jika x = 1, maka x + 2 =5 menjadi 1 + 2 = 5 (salah)Jika x = 2, maka x + 2 =5 menjadi 2 + 2 = 5 (salah)Jika x = 3, maka x + 2 =5 menjadi 3 + 2 = 5 (benar)

Kita juga akan menjumpai kalimat terbuka yang mengandung lebih dari 1 variabel.Contoh : a. x – y = 5 ; x,y ϵ R

b. x + 3y – 2z = 10 ; x,y,z ϵ R

B. Konjungsi, Disjungsi dan NegasiDalam logika matematika ada pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata

hubung tertentu, diantaranya adalah disjungsi dan konjungsi. Sedangkan negasi atau ingkaran adalah pernyataan kebalikannya.1. Konjungsi

Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan” serta disimbolkan dengan “”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p q dibacanya “p dan q”. Kata penghubung “dan” sering diartikan dengan kata “kemudian, lalu, meskipun, tetapi”. Konjungsi mempunyai sifat simetrik, artinya p q ekuivalen dengan q p.

Contoh kita akan menyusun hasil konjungsi dari pernyataan berikut :p : ada komporq : tersedia gasKonjungsi (p q) dari kedua pernyataan di atas adalah: “ada kompor dan tersedia gas”.


Selanjutnya nilai kebenaran dari konjungsi tersebut dapat kita lihat sebagai berikut :a) Ada kompor dan tersedia gas, maka bisa digunakan untuk memasak. (Benar)b) Ada kompor tetapi tidak tersedia gas, tidak bisa digunakan untuk memasak. (Salah)c) Tidak ada kompor tetapi tersedia gas, tidak bisa digunakan untuk memasak. (Salah)d) Tidak ada kompor juga tidak tersedia gas, tidak bisa digunakan untuk memasak. (Salah)

Berdasarkan contoh di atas tampak bahwa suatu konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan juga bernilai benar. Berikut tabel kebenaran konjungsi:

p q p qB B BB S SS B SS S S

Contoh pernyataan konjungsi :p : Robin Van Persie seorang pesepakbola ... (B)q : Robin Van Persie berasal dari Belanda ... (B)p q : Robin Van Persie seorang pesepakbola dan berasal dari Belanda ... (B)

p : Robin Van Persie seorang pesepakbola ... (B)q : Robin Van Persie berasal dari Indonesia ... (S)p q : Robin Van Persie seorang pesepakbola dan berasal dari Indonesia ... (S)

p : Robin Van Persie seorang petinju... (S)q : Robin Van Persie berasal dari Belanda ... (B)p q : Robin Van Persie seorang petinju dan berasal dari Belanda ... (S)

p : Robin Van Persie seorang petinju... (S)q : Robin Van Persie berasal dari Indonesia ... (S)p q : Robin Van Persie seorang petinju dan berasal dari Indonesia ... (S)

2. DisjungsiDisjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata “atau” serta disimbolkan dengan

tanda “”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p q dibaca “p atau q. Disjungsi juga mempunyai sifat simetrik, artinya pernyataan p q ekuivalen dengan pernyataan q p. Misalnya kita akan menyusun disjungsi dari pernyataan berikut :p : ada pensilq : ada bolpointDisjungsi dari kedua pernyataan di atas adalah p q : “ada pensil atau ada bolpoint”. Selanjutnya nilai kebenaran dari disjungsi tersebut dapat kita lihat sebagai berikut :a) Ada pensil atau ada bolpoint, maka bisa digunakan untuk menulis. (Benar)b) Ada pensil atau tidak ada bolpoint, maka bisa digunakan untuk menulis (Benar)c) Tidak ada pensil atau ada bolpoint, maka bisa digunakan untuk menulis (Benar)d) Tidak ada pensil atau tidak ada bolpoint, tidak bisa digunakan untuk menulis (Salah)

Berdasarkan contoh di atas tampak bahwa suatu disjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan juga bernilai salah. Berikut tabel kebenaran disjungsi:Tugas membuat catatan tentang Logika MatematikaArrizal Muhemin Yunus (500638209) MPMT halaman 3

p q p qB B BB S BS B BS S S

Contoh pernyataan disjungsi :p : Robin Van Persie seorang pesepakbola ... (B)q : Robin Van Persie berasal dari Belanda ... (B)p q : Robin Van Persie seorang pesepakbola atau berasal dari Belanda ... (B)

p : Robin Van Persie seorang pesepakbola ... (B)q : Robin Van Persie berasal dari Indonesia ... (S)p q : Robin Van Persie seorang pesepakbola atau berasal dari Indonesia ... (B)

p : Robin Van Persie seorang petinju... (S)q : Robin Van Persie berasal dari Belanda ... (B)p q : Robin Van Persie seorang petinju atau berasal dari Belanda ... (B)

p : Robin Van Persie seorang petinju... (S)q : Robin Van Persie berasal dari Indonesia ... (S)p q : Robin Van Persie seorang petinju atau berasal dari Indonesia ... (S)

3. Negasi (Ingkaran)Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkarannya dinotasikan sebagai ~p (dibaca: negasi

p). Apabila pernyataan p bernilai benar, maka ~p bernilai salah begitu pula sebaliknya. Tabel kebenaran dari ingkaran adalah sebagai berikut :

p ~pB SS B

Suatu pernyataan dapat dibentuk menjadi pernyataan baru yang merupakan ingkaran atau negasinya jika pernyataan tersebut ditambahkan kata “tidak”, “bukan” atau kata-kata sejenis lainnya yang sesuai menurut tata bahasa yang benar.

Contoh pernyataan-pernyataan berikut :a. Suci sedang belajar Matematika.b. Semua hewan pasti akan punah.Negasi dari pernyataan-pernyataan di atas adalah :a. Suci tidak sedang belajar Matematika.b. Ada hewan yang tidak punah.


Contoh lain:a. p : Dinda memakai baju berwarna pink.

~p : Dinda tidak memakai baju berwarna pink.b. q : 1 + 3 = 4 (B)

~q : 1 + 3 ≠ 4 (B)c. r : 1 + 5 ≥ 0 (B)

~r : 1 + 5 < 0 (S)

Ingkaran dari konjungsi ~( p q) adalah ~p ~q. Hal ini dapat dibuktikan pada tabel berikut :p q ~p ~q p q ~( p q) ~p ~q

B B S S B S SB S S B S B BS B B S S B BS S B B S B B

Contoh :a. “Tika anak yang cantik dan pintar”. Ingkarannya: “Tika anak yang tidak cantik atau tidak

pintar”.b. “Guru Matematika saya orangnya baik hati dan tidak sombong”. Ingkarannya: “Guru

Matematika saya orangnya tidak baik hati atau sombong”.

Ingkaran dari konjungsi ~( p q) adalah ~p ~q. Hal ini dapat dibuktikan pada tabel berikut :p q ~p ~q p q ~( p q) ~p ~q

B B S S B S SB S S B B S SS B B S B S SS S B B S B B

Contoh :a. “Tika anak yang cantik atau pintar”. Ingkarannya: “Tika anak yang tidak cantik dan tidak

pintar”.b. “Guru Matematika saya orangnya baik hati atau tidak sombong”. Ingkarannya: “Guru

Matematika saya orangnya tidak baik hati dan sombong”.

C. Implikasi dan BiimplikasiSelain disjungsi dan konjungsi, dalam logika matematika kita akan sering bertemu

dengan pernyataan majemuk yang menunjukkan hubungan sebab akibat (kausalitas). Diantaranya adalah implikasi dan biimplikasi.1. Implikasi

Implikasi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ..., maka ...” atau “jika ..., ...”, atau “ ... jika ...”. serta disimbolkan dengan “⇒”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p ⇒ q dibaca “jika p, maka q”. Pernyataan p ⇒ q disebut sebagai implikasi atau kondisional atau pernyataan bersyarat. Pernyataan q syarat perlu bagi p dan p syarat cukup bagi q. Implikasi mempunyai sifat asimetrik (tidak simetrik), artinya p ⇒ q ≠ p ⇒ q.


Misalnya kita akan menyusun implikasi dari pernyataan berikut :p : Maya lulus ujianq : Ayah Maya membelikan mobilImplikasi dari kedua pernyataan di atas adalah “Jika Maya lulus ujian, maka ayah Maya membelikan mobil”. Dalam hal ini, Maya lulus ujian merupakan syarat agar ayahnya membelikan mobil. Tabel kebenaran dari implikas adalah sebagai berikut :

p q p ⇒ q

B B BB S SS B BS S B

Berdasarkan tabel di atas, suatu implikasi bernilai salah jika p bernilai benar sedangkan q bernilai salah. Dengan demikia untuk menentukan nilai x pada implikasi p(x) ⇒ q, perlu diperhatikan pernyataan q.

Jika q bernilai benar, implikasi p(x) ⇒ q selalu bernilai benar untuk setiap nilai x. Jika q bernilai salah, implikasi p(x) ⇒ q selalu bernilai benar untuk x yang salah dan

bernilai salah untuk x yang benar.Contoh :

1) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p ⇒ q berikut!p : Grafik f(x) = 2x sejajar sumbu x.q : 2 x 5 = 10 x 2Jawab :p = B dan q = S jadi, p ⇒ q = S

Sedangkan negasi dari implikasi p⇒q adalah p ~q. Kita bisa membuktikannya menggunakan tabel kebenaran berikut.

p q ~q p⇒q ~(p⇒q) p~qB B S B S SB S B S B BS B S B S SS S B B S S

Contoh :Tentukan negasi dari implikasi berikut!a. Jika nilainya bagus, Sahid akan mendapatkan hadiah. Negasinya Nilainya bagus dan

Sahid tidak mendapat hadiah.


2. BiimplikasiBiimplikasi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan dengan kata

“...jika dan hanya jika ...” serta disimbolkan dengan “⇔”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p ⇔ q dibaca “p jika dan hanya jika q”. Biimplikasi disebut sebagai implikasi dua arah. Pernyataan q syarat perlu bagi dan syarat cukup bagi p, begitu pula sebaliknya.

Pernyataan p ⇔ q juga bisa dibaca “Jika p, maka q dan jika q, maka p”. Hal ini dapat ditunjukkan dalam tabel kebenaran sebagai berikut.

p q p⇔q p⇒q q⇒p (p⇒q)( q⇒p)

B B B B B BB S S S B SS B S B S SS S B B B B

Untuk menentukan nilai kebenaran x pada biimplikasi p(x)⇔q perlu diperhatikan nilai kebenaran q.1) Jika q bernilai benar, maka p(x)⇔q bernilai :

a) benar jika p(x) bernilai benar,b) salah jika p(x) bernilai salah.

2) Jika q bernilai salah, maka p(x)⇔q bernilai :a) benar jika p(x) bernilai salah,b) salah jika p(x) bernilai benar.

Contoh :1. Tentukan nilai x agar biimplikasi p(x)⇔q berikut bernilai benar!

p : x2 = 4q : 2 + 3 = 4jawab : Karena q = S, agar p(x)⇔q bernilai benar, maka p = S. Jadi, nilai x ≠ 2 dan x ≠ –2

Sedangkan negasi dari biimplikasi dapat ditentukan sebagai berikut :~ (p⇔q) ≡ ~((p⇒q)⋀ ( q⇒p))

≡ ~(p⇒q) ⋁ ~(q⇒p)≡ (p ⋀~q) ⋁ (q ⋀~p)

Jadi, diperoleh bahwa ~ (p⇔q) ≡ (p ⋀~q) ⋁ (q ⋀~p)

D. Tautologi, Kontradiksi dan Pernyataan majemuk yang ekuivalena. Tautologi (implikasi logis)

Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu benar untuk setiap kasus.Contoh :

p q p q (p q)⇒q

B B B BB S S BS B S BS S S B


Berdasarkan tabel kebenaran di atas tampak bahwa, (pq)⇒q adalah suatu tautologi.

b. KontradiksiKontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap kasus.

Contoh :p q ~q p~q q (p~q)

B B S S SB S B B SS B S S SS S B S S

Berdasarkan tabel kebenaran di atas tampak bahwa, q (p~q)adalah suatu kontradiksi.

c. Pernyataan Majemuk Yang EkuivalenDua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai

kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah

Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk

E. Konvers, Invers, dan KontraposisiBerdasarkan implikasi p ⇒ q, kita membentuk pernyataan majemuk baru, yaitu :

konvers, invers, dan kontraposisi.1. Konvers : dirumuskan sebagai q ⇒ p2. Invers : dirumuskan sebagai ~p ⇒ ~q3. Kontraposisi : dirumuskan sebagai ~q ⇒ ~p

Nilai kebenaran dari konvers, invers, dan kontraposisi dapat ditentukan sebagai berikut.p q ~p ~q p ⇒ q q ⇒ p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p

B B S S B B B BB S S B S B B SS B B S B S S BS S B B B B B B


sama

Berdasarkan tabel kebenaran di atas tampak bahwa :a. Nilai kebenaran dari p ⇒ q sama dengan ~q ⇒ ~p sehingga implikasi ekuivalen dengan

kontraposisinya.b. Nilai kebenaran dari q ⇒ p sama dengan ~p ⇒~q sehingga konvers ekuivalen dengan

inversnya.

Hubungan nilai kebenaran dari konvers, invers, dan kontraposisi dapat digambarkan pada skema berikut .

Contoh :1. Diketahui implikasi : Jika harga BBM naik, maka harga sembako juga naik. Tentukan

konvers, invers, dan konraposisinya!Jawab : Konvers : Jika harga sembako naik, maka harga BBM juga naik. Invers : Jika harga BBM tidak naik, maka harga sembako juga tidak naik. Kontraposisi : Jika harga sembako tidak naik, maka harga BBM juga tidak naik.

Sedangkan negasi dari konvers, invers, dan kontraposisi adalah sebagai berikut.~(q ⇒ p) ≡ q ~p

~(~p ⇒ ~q) ≡ ~p q

~(~q ⇒ ~p) ≡ ~q p

F. Pernyataan BerkuantorPernyataan berkuantor adalah pernyataan yang melibatkan kata yang menyatakan

banyaknya anggota semesta pembicaraan untuk mewakili suatu keadaan. Ada 2 kata yang digunakan, yaitu : semua dan beberapa. Kata semua atau setiap merupakan kuantor universal (umum), sedangkan kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial (khusus).1. Kuantor Universal

Kuantor universal dilambangkan dengan “∀” yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap”. Jika p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan diberi kuantor universal, maka akan menjadi suatu pernyataan berikut :

(∀x) , p(x)

Bentuk (∀x) , p(x) merupakan kalimat deklaratif atau pernyataan yang mempunyai nilai benar atau salah. Kuantor “semua” merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.


invers inverskontraposisi

~p⇒~q

~q⇒~p

q ⇒ pp ⇒ qkonvers

konvers

Contoh :1) Tuliskan kalimat berikut dalam bentu simbol.

“Untuk semua bilangan genap, maka kuadratnya juga bilangan genap”Jawab :Misal G = Himpunan bilangan genap, maka dituliskan : (∀x, x ∈ G) , x2 ∈ G .

2) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantora. (∀x, x ∈ R) (2x ∈ R )b. (∀x, x ∈ R) (2x + 4 = 0)Jawab : a. (∀x, x ∈ R) (2x ∈ R ) mengandung arti untuk semua x bilangan Real, maka 2x juga

merupakan anggota bilangan Real. Jadi jelas bahwa pernyataan ini benar.b. (∀x, x ∈ R) (2x + 4 = 0) mengandung arti bahwa untuk semua bilangan x berlaku 2x

+ 4 = 0. Pernyataan ini salah, karena ada beberapa bilangan yang tidak memenuhi, misalnya x = 1. Tampak bahwa 2.1 + 4 = 6 ≠ 0.

2. Kuantor EksistensialKuantor eksistensial dilambangkan dengan “∃” yang dibaca “ada” atau “beberapa”.

Jika p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan diberi kuantor eksistensial, maka akan menjadi suatu pernyataan berikut :

(∃x) , p(x)Bentuk (∃x) , p(x) merupakan kalimat deklaratif atau pernyataan yang mempunyai nilai benar atau salah. Kuantor “beberapa” merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa terdapat sekurang-kurangnya satu x yang memenuhi p.Contoh :1) Tuliskan kalimat berikut dalam bentu simbol.

“Ada bilangan genap yang merupakan bilangan prima. Jawab :Misal G = himpunan bilangan genap, dan P = himpunan bilangan prima, maka dituliskan : (∃x, x ∈ G) , x ∈ P .

2) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantora. (∃x, x ∈ R) (x2 < 0)b. (∃x, x ∈ R) (2x + 4 = 0)Jawab : Jawab : a. (∃x, x ∈ R) (2x ∈ R ) mengandung arti ada x bilangan Real sehingga x2 bernilai

negatif.(Mengingkari bahwa setiap bilangan kuadrat adalah posif. Mengapa?) Jadi jelas bahwa pernyataan ini salah.

b. (∃x, x ∈ R) (2x + 4 = 0) mengandung arti bahwa untuk semua bilangan x berlaku 2x + 4 = 0. Pernyataan ini benar, karena ada bilangan yang memenuhi, yaitu untuk x = –2. Tampak bahwa 2.(–2) + 4 = 0.


Ingkaran dari pernyataan berkuantor dapat ditentukan sebagai berikut.a. Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial,

dinotasikan :~(∀x, p(x)) ≡ (∃x,~ p(x)) p(x)

Dibaca ingkaran dari “untuk semua x berlaku p(x) adalah ada x yang bukan p(x)”.Contoh : 1. Tentukan ingkaran dari : “Semua mamalia berkaki empat”.

Jawab :Ingkarannya : “Ada mamalia yang tidak berkaki empat”

b. Ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal, dinotasikan :

~(∃x, p(x)) ≡ (∀x,~ p(x)) p(x)

Dibaca ingkaran dari “Ada x berlaku p(x) adalah semua x bukan p(x)”.Contoh : 1. Tentukan ingkaran dari : “Beberapa anggota banggar DPR diperiksa KPK”.

Jawab :Ingkarannya : “Semua anggota banggar DPR tidak diperiksa KPK”

G. Penarikan KesimpulanSalah satu tujuan mempelajari logika matematika adalah mencari metode atau cara untuk

mengambil keputusan atau menarik kesimpulan dari beberapa pernyataan. Pernyataan-pernyataan yang digunakan sebagai dasar disebut premis, sedangkan pernyataan baru yang dihasilkan disebut kesimpulan atau konklusi. Validitas atau keabsahan suatu argumen dapat dapat dibuktikan jika argumen tersebut merupakan tautologi. Metode sederhana yang bisa digunakan untuk membuktikannya adalah dengan tabel kebenaran. Pola penarikan kesimpulan dapat disajikan dengan bentuk berikut :

premis 1premis 1premis n∴ konklusi

Contoh :Seldiki keabsahan penarikan kesimpulan berikut.premis 1 : Elisa anak yang cerdas dan terampil.premis 2 : Elisa anak yang terampil.Jadi, Elisa anak yang terampil.

Pernyataan di atas dapat dibuat pola sebagai berikut:premis 1 : p qpremis 2 : pkonklusi : q


Penarikan kesimpulan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran berikut.p q p q (p q) p ((p q) p) ⇒ qB B B B BB S S S BS B S S BS S S S B

Karena ((p q) p) ⇒ q merupakan tautologi, berarti penarikan kesimpulan tersebut sah.

Beberapa pola penarikan kesimpulan adalah sebagai berikut :1. Modus Ponens

Bentuk argumen modus ponens adalah sebagai berikut ;premis 1 : p ⇒ qpremis 2 : p .konklusi : ∴ q

Validitas modus ponens dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran bahwa ((p ⇒ q) p) ⇒ q adalah tautologi sebagai berikut.

p q p ⇒ q (p ⇒ q) p ((p ⇒ q) p) ⇒ qB B B B BB S S S BS B B S BS S B S B

Contoh :Premis 1 : Jika Ela menjadi juara kelas, ia mendapat hadiah sepatu.Premis 2 : Ela menjadi juara kelas.Konklusi : Jadi, Ela mendapat hadiah sepatu.

2. Modus TolensBentuk argumen modus ponens adalah sebagai berikut ;premis 1 : p ⇒ qpremis 2 : ~q .konklusi : ∴ ~p

Validitas modus tolens dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran bahwa ((p ⇒q) ~q) ⇒ ~p adalah tautologi sebagai berikut.

p q ~p ~q p ⇒ q (p ⇒ q) ~q ((p ⇒q) ~q) ⇒ ~pB B S S B S BB S S B S S BS B B S B S BS S B B B B B

Contoh :Premis 1 : Jika Leny terlambat masuk hari ini, ia mendapat hukuman dari gurunya.Premis 2 : Leny tidak mendapat hukuman dari gurunya.Konklusi : Jadi, Leny tidak terlambat masuk hari ini.


3. SilogismeBentuk argumen modus ponens adalah sebagai berikut ;premis 1 : p ⇒ qpremis 2 : q ⇒ r .konklusi : ∴ p ⇒ r

Validitas modus tolens dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran bahwa((p⇒q)(q⇒r)⇒( p⇒r)) adalah tautologi sebagai berikut.

p q r p⇒q q⇒r

p⇒r (p⇒q)(q⇒r) ((p⇒q)(q⇒r)⇒( p⇒r))

B B B B B B B BB B S B S S S BB S B S B B S BB S S S B S S BS B B B B B B BS B S B S B S BS S B B B B B BS S S B B B B B

Contoh :Premis 1 : Jika pendidikan gratis, maka anak Indonesia menjadi cerdas.Premis 2 : Jika anak Indonesia cerdas, maka negara maju.Konklusi : Jika pendidikan gratis, maka negara maju.


Tugas Catatan MPMT5103 (Logika)

Documents

Transcript of Tugas Catatan MPMT5103 (Logika)