Tugas Besar MEH Mesin

41
i ANALISIS CANTILEVER BEAM DENGAN MENGGUNAKAN METODE SOLUSI NUMERIK TUGAS KULIAH Disusun sebagai salah satu syarat untuk lulus kuliah MS 4011 Metode Elemen Hingga Oleh Nama: Demas Bayu Mulyantara NIM: 13110101 FAKULTAS TEKNIK MESIN DAN DIRGANTARA INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2014

description

Finite Element using LISA

Transcript of Tugas Besar MEH Mesin

Page 1: Tugas Besar MEH Mesin

i

ANALISIS CANTILEVER BEAM DENGAN MENGGUNAKAN METODE SOLUSI NUMERIK

TUGAS KULIAH

Disusun sebagai salah satu syarat untuk lulus kuliah MS 4011 Metode Elemen Hingga

Oleh

Nama: Demas Bayu Mulyantara

NIM: 13110101

FAKULTAS TEKNIK MESIN DAN DIRGANTARA

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2014

Page 2: Tugas Besar MEH Mesin

1

ABSTRAK

ANALISIS CANTILEVER BEAM DENGAN MENGGUNAKAN METODE

SOLUSI NUMERIK

Oleh:

Demas Bayu Mulyantara

13110101

Beam merupakan sebuah struktur batang panjang ramping yang didesain untuk

menahan gaya-gaya yang bekerja dalam arah transversal terhadap sumbunya. Salah

satu jenis dari beam adalah cantilever beam, dimana salah satu ujung dari beam

mempunyai tumpuan yang tetap. Analisa yang dapat dilakukan pada Cantilever Beam

dapat berupa perhitungan reaksi pada tumpuan dimana reaksi yang dihasilkan dapat

berupa momen lintang dan gaya lintang, perhitungan defleksi pada batang akibat

diberi pembebanan transversal, dan juga perhitungan efek rotasi pada ujung bebas

ketika mengalami pembebanan dengan gaya tertentu. Pada tugas ini, akan dilakukan

analisa dengan solusi secara numerik menggunakan perangkat lunak LISA dan

kemudian akan dilakukan perbandingan hasil yang didapat dengan literatur.

Kata Kunci: pembebanan transversal, momen bending, beban aksial, defleksi, rotasi,

LISA

Page 3: Tugas Besar MEH Mesin

2

DAFTAR ISI

BAB I .................................................................................................................................................... 7

PENDAHULUAN ............................................................................................................................ 7

1.1 Latar Belakang ............................................................................................................... 7

1.2 Tujuan ................................................................................................................................ 8

1.3 Metodologi Penulisan ................................................................................................... 9

1.4 Sistematika Penulisan .................................................................................................. 9

BAB II ............................................................................................................................................... 10

STUDI PUSTAKA ....................................................................................................................... 10

2.1 Prinsip Secara Teoretik ............................................................................................ 10

2.1.1. Hukum Newton I ..................................................................................................... 10

2.1.2. Prinsip Momen ......................................................................................................... 10

2.1.3. Gaya Geser dan Momen Bending dalam Cantilever Beam ...................... 11

2.1.4. Diagram Gaya Lintang dan Momen Lentur ................................................... 12

2.1.5. Defleksi dan Rotasi pada Cantilever Beam .................................................... 13

2.2 Prinsip Secara Metode Elemen Hingga.............................................................. 16

2.3 Solusi Secara Numerik dengan Perangkat Lunak LISA ............................ 17

BAB III ............................................................................................................................................. 20

DATA ................................................................................................................................................ 20

3.1 Data................................................................................................................................... 20

BAB IV.............................................................................................................................................. 21

ANALISA ........................................................................................................................................ 21

4.1 Solusi secara Teoretik ............................................................................................... 21

4.1.1. Reaksi Tumpuan Pada Ujung Tetap Cantilever Beam ............................... 21

4.1.2. Diagram Gaya Lintang dan Momen Lentur Cantilever Beam ................. 22

4.1.3. Defleksi dan Rotasi pada Ujung Bebas Cantilever Beam .......................... 23

4.2 Solusi dengan Metode Elemen Hingga ............................................................... 23

4.2.1. Penentuan Elemen dan Nodal Cantilever Beam .......................................... 24

4.2.2. Matriks Kekakuan Global Masing-Masing Elemen pada Cantilever Beam 24

4.2.3. Defleksi dan Rotasi pada Ujung Bebas Cantilever Beam .......................... 25

4.2.4. Diagram Gaya Lintang dan Momen Lentur Cantilever Beam ................. 26

4.3 Solusi secara Simulasi Numerik menggunakan Perangkat Lunak LISA

28

BAB V ............................................................................................................................................... 36

DISKUSI .......................................................................................................................................... 36

Page 4: Tugas Besar MEH Mesin

3

5.1 Perbandingan Hasil Diagram Momen Lentur dan Gaya Geser .............. 36

5.2 Perbandingan Hasil Defleksi dan Rotasi Pada Ujung Bebas .................... 37

KESIMPULAN.............................................................................................................................. 39

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. 40

Page 5: Tugas Besar MEH Mesin

4

DAFTAR GAMBAR DAN GRAFIK

Gambar 2.1 Ilustrasi Momen yang bekerja pada benda dua dimensi .............................. 11

Gambar 2.2 Identifikasi arah momen dengan tangan kanan .............................................. 11

Gambar 2.3 Macam-macam efek pembebanan gaya transversal yang dapat terjadi

pada cantilever beam ..................................................................................................................... 12

Gambar 2.4 Gaya-gaya bekerja ketika dilakukan pemotongan pada batang ................. 13

Gambar 2.5 Bentuk Cantilever Beam ....................................................................................... 13

Gambar 2.6 Diagram Momen Bending Cantilever Beam .................................................. 13

Gambar 2.7 Defleksi dan rotasi yang terjadi pada ujung bebas Cantilever Beam ....... 14

Gambar 2.8 Kondisi batas ujung tetap Cantilever Beam .................................................... 14

Gambar 2.9 Gaya dalam Cantilever Beam ketika diberi pembebaban transversal P .. 15

Gambar 2.10 Penampang Inersia Batang ................................................................................. 16

Gambar 2.11 Skema Elemen Beam ........................................................................................... 16

Gambar 2.12 Metode analisa statik dua dimensi ................................................................... 18

Gambar 2.13 Pembuatan nodal dengan fitur new node ....................................................... 18

Gambar 2.13 Pembuatan elemen dengan fitur new element .............................................. 18

Gambar 2.14 Memasukan data-data material ......................................................................... 19

Gambar 2.15 Contoh Pemodelan Cantilever Beam dengan LISA ................................... 19

Gambar 3.1 Cantilever Beam yang akan dianalisa .............................................................. 20

Gambar 4.1 Diagram Benda Bebas Cantilever Beam yang Dianalisa ........................... 21

Gambar 4.2 Diagram Benda Bebas Cantilever Beam setelah Dipotong ........................ 22

Gambar 4.3 Diagram Gaya Lintang Cantilever Beam Secara Teoretik ......................... 22

Gambar 4.4 Diagram Momen Lentur Cantilever Beam Secara Teoretik ....................... 23

Gambar 4.5 Penampang Inersia Cantilever Beam ............................................................... 23

Gambar 4.6 Pembagian Elemen dan Nodal pada Cantilever Beam ................................ 24

Gambar 4.7 Diagram Gaya Lintang Cantilever Beam dengan Metode Elemen Hingga

.............................................................................................................................................................. 27

Gambar 4.8 Diagram Momen Lentur Cantilever Beam dengan Metode Elemen

Hingga................................................................................................................................................ 27

Gambar 4.9 Pemodelan Cantilever Beam dengan LISA ..................................................... 28

Gambar 4.10 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal ........... 29

Gambar 4.11 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal ........... 29

Gambar 4.12 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal ............... 29

Gambar 4.13 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal 30

Gambar 4.14 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal .... 30

Gambar 4.15 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal ........... 30

Page 6: Tugas Besar MEH Mesin

5

Gambar 4.16 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal ........... 30

Gambar 4.17 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal ............... 30

Gambar 4.18 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal 31

Gambar 4.19 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal .... 31

Gambar 4.20 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal ........... 31

Gambar 4.21 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal ........... 31

Gambar 4.22 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal ............... 31

Gambar 4.23 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal 32

Gambar 4.24 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal .... 32

Gambar 4.25 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal ........... 32

Gambar 4.26 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal ........... 32

Gambar 4.27 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal ............... 32

Gambar 4.28 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal 33

Gambar 4.29 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal .... 33

Gambar 4.30 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal ...... 33

Gambar 4.31 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal ...... 33

Gambar 4.32 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal .......... 33

Gambar 4.33 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal

.............................................................................................................................................................. 34

Gambar 4.34 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal 34

Gambar 4.31 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 100 Elemen 101 Nodal .. 34

Gambar 4.32 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 100 Elemen 101 Nodal .. 34

Gambar 4.33 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 100 Elemen 101 Nodal ..... 34

Gambar 4.34 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 100 Elemen 101

Nodal .................................................................................................................................................. 35

Gambar 4.35 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 100 Elemen 101 Nodal

.............................................................................................................................................................. 35

Grafik 5.1 Kurva Perbandingan Diagram Momen Lentur .................................................. 36

Grafik 5.2 Kurva Perbandingan Diagram Gaya Geser ........................................................ 37

Grafik 5.3 Kurva Perbandingan Defleksi Cantilever Beam ............................................... 37

Grafik 5.4 Kurva Perbandingan Defleksi Cantilever Beam ............................................... 38

Page 7: Tugas Besar MEH Mesin

6

DAFTAR TABEL

Tabel Kesimpulan Gaya Reaksi, Momen Lentur Reaksi, Defleksi Ujung Bebas, dan Rotasi Ujung Bebas ....................................................................................................................... 39

Page 8: Tugas Besar MEH Mesin

7

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode elemen hingga merupakan metode numerik yang dapat digunakan

untuk menyelesaikan masalah terkait dengan engineering yang melibatkan fisika

dan matematika. Berbagai masalah yang dapat diselesaikan menggunakan

metode elemen hingga antara lain analisa struktur, perpindahan panas, aliran

fluida, perpindahan massa, akustik, vibrasi, dan masih banyak lagi. Analisa

dengan menggunakan metode elemen hingga pada saat ini sudah berkembang

dalam bentuk perangkat lunak komputer sehingga sangat cocok untuk

digunakan dalam menyelesaikan permasalahan kompleks di kehidupan sehari-

hari. Perangkat lunak yang dapat digunakan salah satunya adalah LISA yang

akan digunakan pada tugas ini.

Studi kasus yang akan dibahas pada tugas ini adalah Cantilever Beam.

Cantilever Beam adalah struktur batang yang ditumpu secara tetap pada salah

satu ujungnya. Cantilever Beam yang akan dianalisa diberi pembebanan

transversal di salah satu ujung bebasnya. Setelah diberi pembebanan transversal,

dilakukan perhitungan pada gaya reaksi dan momen di tumpuan yang tetap.

Pembebaban transversal yang diberikan dapat menimbulkan terjadi defleksi

pada batang dan rotasi pada ujung yang bebas sehingga kedua hal ini juga harus

diperhitungkan.

Perhitungan yang dilakukan pada kasus ini antara lain secara teoritik,

menggunakan metode elemen hingga, dan solusi secara numerik dengan

perangkat lunak LISA. Secara teoretik, perhitungan dilakukan dengan

menggunakan prinsip statika struktur dimana momen bending dan gaya reaksi

yang bekerja pada tumpuan dicari menggunakan teori Hukum Newton I lalu

kemudian defleksi dan rotasi pada ujung bebas dicari dengan menggunakan

metode integrasi seperti yang dipelajari pada kuliah Mekanika dan Kekuatan

Material (MKM). Metode ini cocok untuk digunakan pada kasus pembebanan

secara static dan sederhana, namun untuk permasalahan di dunia nyata yang

Page 9: Tugas Besar MEH Mesin

8

sangat kompleks, metode ini tidak cocok untuk digunakan sehingga digunakan

metode elemen hingga untuk memverifikasi hasil analisis yang dilakukan.

Untuk perhitungan dengan metode elemen hingga, terdapat beberapa tahap

yang akan dilakukan. Tahap-tahap yang akan dilakukan adalah menentukan

matriks kekakuan global untuk masing-masing elemen dan kemudian akan

dilakukan perhitungan gaya reaksi dan momen bending pada tumpuan tetap

serta defleksi dan rotasi pada ujung bebas. Metode penjumlahan matriks

kekakuan secara global menggunakan direct stiffness method.

Untuk simulasi secara numerik dengan menggunakan perangkat lunak LISA,

hal-hal yang akan dilakukan adalah membuat model cantilever beam, optimasi

jumlah dan ukuran elemen, dan perhitungan gaya reaksi dan momen bending

pada tumpuan tetap serta defleksi dan rotasi pada ujung bebas. Pada setiap

metode analisis yang dilakukan, akan dilakukan perbandingan hasil diagram

gaya lintang dan momen lentur yang terjadi. Perbandingan hasil rotasi dan

defleksi juga akan dilakukan dan kemudian perbedaan hasil yang terjadi akan

didiskusikan sehingga diperoleh suatu simpulan dari hasil analisis yang telah

dilakukan. Pada aplikasi nyata dari cantilever beam, hasil analisis yang

dilakukan mempunyai tujuan untuk memastikan bahwa struktur cantilever beam

yang telah didesain aman untuk digunakan.

1.2 Tujuan

Tujuan yang ingin dicapai dari laporan analisa cantilever beam antara lain:

1. Menentukan gaya reaksi dan momen bending yang bekerja pada ujung

tumpuan tetap serta defleksi dan rotasi pada ujung bebas secara teoretik,

secara metode elemen hingga, dan secara simulasi numerik dengan

perangkat lunak LISA

2. Membandingkan diagram gaya lintang dan momen bending yang bekerja

pada ujung tumpuan tetap serta defleksi dan rotasi pada ujung bebas dari

perangkat lunak LISA dengan hasil secara teoretik dan secara elemen

hingga.

Page 10: Tugas Besar MEH Mesin

9

1.3 Metodologi Penulisan

Metodologi penulisan pada laporan ini adalah sebagai berikut:

1. Studi Literatur

Penulis menggunakan literatur yang relevan dalam melakukan

perhitungan gaya reaksi dan momen bending yang bekerja pada ujung

tumpuan tetap serta defleksi dan rotasi pada ujung bebas secara teoretik

dan secara metode elemen hingga untuk dibandingkan dengan hasil

menggunakan perangkat lunak LISA.

2. Diskusi

Penulis menggunakan metode diskusi dengan berbagai pihak. Dalam

pembuatan laporan ini, penulis melakukan diskusi dengan dosen

pengampu mata kuliah (Dr. Ir M. Agus Kariem) dan teman- teman

sekelas untuk menyelesaikan laporan dengan baik.

1.4 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan laporan ini terbagi dalam beberapa bagian. Bab I

merupakan Pendahuluan yang berisi tentang latar belakang dilakukannya

analisa, tujuan, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan laporan

Bab II merupakan Studi Pustaka yang berisi tentang dasar teori yang

digunakan untuk melakukan analisa pada cantilever beam baik secara teoretik

dan secara metode elemen hingga

Bab III merupakan Data yang berisi tentang data yang diberikan terkait

dengan studi kasus cantilever beam

Bab IV merupakan Analisa yang berisi solusi penyelesain studi kasus

cantilever beam secara teoretik, secara metode elemen hingga, dan dengan

simulasi numerik menggunakan perangkat lunak LISA

Bab V merupakan Diskusi yang berisi tentang perbandingan hasil yang

diperoleh antara analisa dengan simulasi numerik perangkat lunak LISA dengan

hasil perhitungan secara teoretik dan secara metode elemen hingga

BAB VI merupakan Kesimpulan yang berisi tentang jawaban atas tujuan

laporan yang telah ditetapkan pada bagian pendahuluan

Page 11: Tugas Besar MEH Mesin

10

BAB II

STUDI PUSTAKA

2.1 Prinsip Secara Teoretik

Prinsip analisa pada cantilever beam secara teoretik menggunakan teori Hukum

Newton I untuk menghitung gaya reaksi yang bekerja pada tumpuan,

perhitungan momen gaya, perhitungan gaya geser dan momen bending dalam

cantilever beam, teori defleksi dan rotasi menggunakan metode integrasi,

2.1.1. Hukum Newton I

Hukum Newton I menyatakan bahwa jika resultan gaya yang

merupakan jumlah vektor dari semua gaya yang bekerja pada benda

bernilai nol, maka kecepatan benda tersebut konstan. Bunyi dari hukum

newton I adalah setiap benda akan mempertahankan keadaan diam atau

bergerak lurus beraturan, kecuali ada gaya pengubah yang bekerja. Secara

matematis Hukum Newton I dirumuskan:

βˆ‘πΉ = 0

𝑑𝑣

𝑑𝑑= 0

Persamaan diatas mempunyai arti bahwa sebuah benda yang sedang

diam akan tetap diam kecuali ada resultan gaya yang bekerja. Pada studi

kasus cantilever beam, terdapat pembebaban transversal pada ujung bebas

sehingga ada resultan gaya yang bekerja pada cantilever beam.

2.1.2. Prinsip Momen

Momen merupakan kecenderungan dari sebuah gaya untuk memutar

sebuah benda di sekitar sumbu tertentu. Momen dapat didefinisikan

sebagai perkalian besar gaya F dengan jarak tegak lurus d. Secara

matematis momen dapat dirumuskan sebagai:

M=F x d

Page 12: Tugas Besar MEH Mesin

11

βˆ‘ M= βˆ‘ Fd

Dimana:

M = Momen (Nm)

F = Besar gaya yang bekerja (N)

d = Jarak tegak lurus (m)

Arah momen gaya yang dihasilkan tergantung dari perjanjian. Umumnya,

arah momen dinyatakan positif jika berlawanan dengan arah jarum jam

(Counter Clockwise/CCW) dan arah negatif jika searah dengan arah

jarum jam (Clockwise/CW).

2.1.3. Gaya Geser dan Momen Bending dalam Cantilever Beam

Ketika sebuah cantilever beam diberikan beban tarik atau beban tekan,

sebuah cantilever beam dapat melawan gaya geser, bending, dan torsi.

Semua efek gaya bekerja pada sumbu transversal dari cantilever beam

seperti yang dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Gambar 2.1 Ilustrasi Momen yang bekerja pada benda dua dimensi

Gambar 2.2 Identifikasi arah momen dengan tangan kanan

Page 13: Tugas Besar MEH Mesin

12

2.1.4. Diagram Gaya Lintang dan Momen Lentur

Variasi dari gaya lintang dan momen lentur yang terjadi di sepanjang

cantilever beam memberikan informasi yang dibutuhkan untuk

melakukan analisa desain cantilever beam. Besar maksimum dari momen

lentur pada umumnya menjadi pertimbangan penting untuk melakukan

desain dan pemilihan dari cantilever beam sehingga posisi dan nilai

momen lentur ini harus diketahui terlebih dahulu.

Untuk mengetahui variasi dari gaya lintang dan momeng lentur yang

terjadi di sepanjang cantilever beam digunakan metode penggambaran

diagram gaya lintang dan momen lentur dimana perlu diketahui

persamaan gaya lintang dan momen lentur yang bekerja pada jarak

tertentu. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menghitung gaya

reaksi luar yang bekerja pada cantilever beam dengan menerapkan

persamaan kesetimbangan berdasarkan diagram benda bebas dari

cantilever beam. Kemudian, dilakukan pemotongan daerah dari cantilever

beam, dimana daerah pemotongan bisa dilakukan dari kiri atau kanan

batang dan kemudian diterapkan persamaan kesetimbangan pada daerah

batang yang sudah dipotong tersebut. Berikut gaya-gaya yang dihasilkan

ketika batang dipotong:

Gambar 2.3 Macam-macam efek pembebanan gaya transversal yang dapat

terjadi pada cantilever beam

Page 14: Tugas Besar MEH Mesin

13

Secara umum, bentuk cantilever beam adalah seperti yang dipaparkan

pada gambar 2.5. Salah satu bagian diberi tumpuan tetap (fixed) dan

ujung yang bebas diberi pembebanan transversal, dimana pada ujung

yang tetap akan mempunyai gaya lintang dan momen lentur. Secara

umum, diagram momen bending yang akan terbentuk sebagai berikut:

2.1.5. Defleksi dan Rotasi pada Cantilever Beam

Defleksi merupakan perubahan bentuk pada cantilever beam dalam

arah sumbu y akibat adanya pembebaban vertikal yang diberikan pada

ujung balok. Rotasi adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh cantilever

beam setelah diberi pembebanan vertikal di salah satu ujungnya. Gambar

dari defleksi dan rotasi yang terbentuk pada ujung bebas cantilever beam

adalah sebagai berikut:

Gambar 2.4 Gaya-gaya bekerja ketika dilakukan pemotongan pada batang

Gambar 2.5 Bentuk Cantilever Beam

Gambar 2.6 Diagram Momen Bending Cantilever Beam

Page 15: Tugas Besar MEH Mesin

14

U

Untuk menghitung defleksi (Ο…max) dan rotasi (ΞΈmax) yang terjadi pada

ujung bebas cantilever beam, digunakan metode integrasi. Pada metode

integrasi, rumus yang berlaku:

𝐸𝐼 𝑑3𝑣

𝑑π‘₯3= 𝑉 (π‘₯) 𝐸𝐼

𝑑2𝑣

𝑑π‘₯2= 𝑀 (π‘₯)

𝑑𝑣

𝑑π‘₯= πœƒ

Dimana:

E = Modulus Young (GPa)

I = Inersia Batang (m4)

ΞΈ = Rotasi (rad)

Ο… = Defleksi (m)

V (x) = Persamaan gaya lintang

M (x) = Persamaan momen lentur

P = Pembebaban transversal

Kondisi batas pada tumpuan tetap cantilever beam adalah sebagai

berikut:

Berdasarkan gambar diatas, pada ujung tetap cantilever beam,

defleksi dan rotasi yang terjadi pada ujung cantilever beam bernilai nol.

Untuk mencari nilai dari defleksi dan rotasi pada ujung bebas dari

cantilever beam dilakukan penurunan sebagai berikut:

1. Batang dipotong sepanjang jarak tertentu untuk mendapat gaya

dalam yang dihasilkan

Gambar 2.7 Defleksi dan rotasi yang terjadi pada ujung bebas Cantilever Beam

Gambar 2.8 Kondisi batas ujung tetap Cantilever Beam

Page 16: Tugas Besar MEH Mesin

15

2. Menerapkan persamaan kesetimbangan gaya dan momen

βˆ‘πΉπ‘¦ = 0

π‘‰π‘œ βˆ’ 𝑃 = 0

π‘‰π‘œ = 𝑃

βˆ‘π‘€π‘œ = 0

βˆ’π‘€π‘œ(π‘₯) βˆ’ 𝑃(𝐿 βˆ’ π‘₯) = 0

π‘€π‘œ(π‘₯) = βˆ’π‘ƒ(𝐿 βˆ’ π‘₯)

3. Menerapkan metode integrasi

𝐸𝐼 𝑑2𝑣

𝑑π‘₯2= 𝑀 (π‘₯)

𝐸𝐼 𝑑2𝑣

𝑑π‘₯2 = βˆ’π‘ƒ(𝐿 βˆ’ π‘₯)

𝐸𝐼 𝑑𝑣

𝑑π‘₯= βˆ’π‘ƒπΏπ‘₯ +

𝑃π‘₯2

2+ 𝐢1

Pada tumpuan tetap, kondisi batas yang terjadi:

x = 0, Ο… = 0, ΞΈ = 0

Jika dimasukkan ke persamaan diatas maka C1 =0, maka

persamaan rotasi pada ujung bebas yang dihasilkan (saat x = L):

Untuk mencari persamaan defleksi yang terjadi pada ujung bebas

kembali dilakukan integrasi sehingga:

𝐸𝐼 𝑣 =βˆ’π‘ƒπΏπ‘₯2

2+

𝑃π‘₯3

6+ 𝐢1π‘₯ + 𝐢2

Kembali masukan kondisi batas pada tumpuan tetap sehingga

diperoleh C2 = 0, maka persamaan defleksi pada ujung bebas

yang dihasilkan (saat x = L):

Gambar 2.9 Gaya dalam Cantilever Beam ketika diberi pembebaban transversal P

𝑑𝑣

𝑑π‘₯= πœƒ =

βˆ’ 𝑃 𝐿2

2𝐸𝐼

𝜐 = βˆ’π‘ƒπΏ3

3𝐸𝐼

Page 17: Tugas Besar MEH Mesin

16

Dimana inersia batang (I):

I = 1

12bh3

Dengan:

I = Inersia Batang (m4)

b = Lebar Batang (m)

h = Tebal Batang (m)

2.2 Prinsip Secara Metode Elemen Hingga

Untuk melakukan analisa dengan menggunakan metode elemen hingga pada

cantilever beam, dilakukan pembagian pada cantilever beam menjadi elemen-

elemen yang berhingga jumlahnya dimana setiap elemen akan mempunyai nilai

kekakuan. Pada masing-masing nodal, terdapat gaya dalam arah sumbu y,

momen lentur, defleksi arah sumbu y, dan sudut rotasi yang terbentuk akibat

momen. Skema elemen beam secara umum adalah sebagai berikut:

Persamaan matriks yang dihasilkan untuk elemen beam:

f = K.d

Gambar 2.11 Skema Elemen Beam

Gambar 2.10 Penampang Inersia Batang

Page 18: Tugas Besar MEH Mesin

17

Dimana:

f1y = Gaya yang bekerja pada nodal 1

f2y = Gaya yang bekerja pada nodal 2

m1 = Momen lentur yang bekerja pada nodal 1

m2 = Momen lentur yang bekerja pada nodal 2

L = Panjang beam

d1y = defleksi yang terjadi pada nodal 1

d2y = defleksi yang terjadi pada nodal 2

Ο•1 = Rotasi yang terjadi pada nodal 1

Ο•2 = Rotasi yang terjadi pada nodal 2

Dimana matriks kekakuan dirumuskan sebagai:

Untuk menjumlahkan matriks kekakuan antar elemen digunakan metode direct

stiffness method:

K = k(1) + k(2) + …

2.3 Solusi Secara Numerik dengan Perangkat Lunak LISA

Untuk melakukan analisa pada cantilever beam dengan menggunakan solusi

secara numerik dengan perangkat lunak LISA, langkah-langkah yang

dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Memilih metode analisa menjadi analisa statik dua dimensi

karena cantilever beam mendapat pembebanan statik pada bagian

ujung yang bebas dan merupakan model dua dimensi.

Page 19: Tugas Besar MEH Mesin

18

2. Membuat titik-titik nodal dengan menggunakan fitur new node.

Pada tahap ini dimasukkan 2 buah nodal dengan koordinat sesuai

dengan ukuran panjang cantilever beam yang ingin dianalisa.

3. Membuat elemen baru dengan menggunakan fitur new element.

Untuk menghasilkan bentuk beam, dipilih mode line2

beam/truss.

Gambar 2.13 Pembuatan elemen dengan fitur new element

Gambar 2.13 Pembuatan nodal dengan fitur new node

Gambar 2.12 Metode analisa statik dua dimensi

Page 20: Tugas Besar MEH Mesin

19

4. Pilih jenis material yang akan digunakan. Pada bagian ini

dimasukkan data-data yang terkait kondisi material seperti

modulus young dan poisson ratio. Tinggi cantilever beam

dimasukkan pada bagian a dan tebalnya dimasukkan pada bagian

b, dan lain sebagainya

5. Memilih nodal yang terdapat pada bagian ujung kiri untuk

menghasilkan tumpuan tetap dengan menggunakan new fixed

support pada fitur loads & constraints.

6. Memilih nodal yang terdapat pada bagian ujung kanan untuk

memberi beban transversal dengan menggunakan new load

pada fitur loads & constraints.

7. Tekan tombol solve untuk menghasilkan solusi dari

pemodelan yang ada. Solusi yang ingin dihasilkan berupa

diagram gaya lintang dan momen lentur disepanjang

cantilever beam, besar defleksi, dan rotasi yang terjadi pada

setiap nodal. Hasil yang didapat kemudian akan

dibandingkan dengan solusi secara teoretik dan dengan

metode elemen hingga.

Gambar 2.14 Memasukan data-data material

Gambar 2.15 Contoh Pemodelan Cantilever Beam dengan LISA

Page 21: Tugas Besar MEH Mesin

20

BAB III

DATA

3.1 Data

Pada studi kasus cantilever beam, digunakan material baja yang mempunyai

modulus young (E) sebesar 200 GPa dan mendapat gaya pada ujungnya. Gambar

dan dimensi dari cantilever beam yang akan dianalisa adalah sebagai berikut:

F = 600 N

t = 40 mm

p = 1000 mm l = 30 mm

Gambar 3.1 Cantilever Beam yang akan dianalisa

Page 22: Tugas Besar MEH Mesin

21

BAB IV

ANALISA

4.1 Solusi secara Teoretik

Untuk melakukan analisa pada cantilever beam dengan solusi secara teoretik,

langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

4.1.1. Reaksi Tumpuan Pada Ujung Tetap Cantilever Beam

Berdasarkan data yang terdapat pada Bab III, diagram benda bebas

yang dihasilkan pada cantilever beam:

Titik a merupakan ujung tumpuan tetap (fixed) dan titik b merupakan

ujung bebas. Untuk mencari gaya reaksi yang bekerja di tumpuan tetap,

digunakan prinsip kesetimbangan gaya Hukum Newton I.

Kesetimbangan gaya yang dihasilkan berdasarkan Hukum Newton I:

βˆ‘ 𝐹𝑦 = 0

Fa - 600 N = 0

Fa=600 N

Gaya yang bekerja di titik tumpuan tetap adalah sebesar 600 N. Untuk

mencari momen lentur yang bekerja pada ujung tetap cantilever beam

digunakan persamaan kesetimbangan momen di titik a. Persamaan

kesetimbangan momen yang dihasilkan pada titik a:

βˆ‘ π‘€π‘Ž = 0

Ma βˆ’ (600.1) = 0

Ma = 600 Nm

Momen lentur yang bekerja di titik tumpuan tetap adalah sebesar 600

Nm.

Gambar 4.1 Diagram Benda Bebas Cantilever Beam yang Dianalisa

Faa

Page 23: Tugas Besar MEH Mesin

22

4.1.2. Diagram Gaya Lintang dan Momen Lentur Cantilever Beam

Untuk membuat diagram gaya lintang dan momen lentur dari

cantilever beam, dilakukan pemotongan dengan membagi batang

menjadi 2 daerah. Dengan dipotongnya cantilever beam menjadi 2

daerah, akan didapat gaya dalam pada batang. Pada proses ini, setelah

batang dipotong, akan dilakukan peninjauan batang dari ujung tetap

untuk menentukan persamaan gaya lintang dan momen lentur. Diagram

benda bebas yang dihasilkan setelah cantilever beam dipotong dan

ditinjau dari ujung tetap:

Dengan menerapkan persamaan kesetimbangan gaya dan

kesetimbangan momen akan diperoleh persamaan untuk menentukan

gaya lintang dan momen lentur. Persamaan gaya lintang cantilever

beam yang dihasilkan:

βˆ‘ 𝐹𝑦 = 0

600 N - Vo = 0

V0=600 N

Persamaan momen lentur cantilever beam yang dihasilkan:

βˆ‘ π‘€π‘œ = 0

600 βˆ’ (600. π‘₯) + Mo(x) = 0

Mo(x) = 600x βˆ’ 600

Diagram gaya lintang dan momen lentur yang dihasilkan:

Gambar 4.2 Diagram Benda Bebas Cantilever Beam setelah Dipotong

Gambar 4.3 Diagram Gaya Lintang Cantilever Beam Secara Teoretik

Page 24: Tugas Besar MEH Mesin

23

Pembuatan diagram gaya lintang dan momen lentur dilakukan

dengan menggunakan bantuan perangkat lunak Microsoft Excel.

4.1.3. Defleksi dan Rotasi pada Ujung Bebas Cantilever Beam

Untuk menghitung defleksi dan rotasi yang terjadi pada ujung bebas,

digunakan rumus seperti yang dipaparkan pada studi pustaka defleksi

dan rotasi pada cantilever beam. Sebelum melakukan perhitungan

defleksi dan rotasi, dihitung terlebih dahulu nilai dari inersia batang.

Nilai dari inersia cantilever beam pada studi kasus ini:

I = 1

12bh3 =

1

12 (30 x10βˆ’3)(40 x 10βˆ’3)3 = 160 x 10βˆ’9 m4

Rotasi yang terjadi pada ujung bebas cantilever beam:

ΞΈ = βˆ’ P L2

2EI=

βˆ’ 600 12

2 (200 x 109) (160 x 10βˆ’9)= βˆ’9.375 x 10βˆ’3 rad

Defleksi yang terjadi pada ujung bebas cantilever beam:

Ο… = βˆ’PL3

3EI=

βˆ’600 13

2 (200 x 109) (160 x 10βˆ’9)= βˆ’6.25 x 10βˆ’3 m

4.2 Solusi dengan Metode Elemen Hingga

Untuk melakukan analisa cantilever beam dengan menggunakan metode elemen

hingga, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

Gambar 4.4 Diagram Momen Lentur Cantilever Beam Secara Teoretik

Gambar 4.5 Penampang Inersia Cantilever Beam

Page 25: Tugas Besar MEH Mesin

24

4.2.1. Penentuan Elemen dan Nodal Cantilever Beam

Langkah pertama yang dilakukan dalam analisa dengan metode elemen

hingga adalah membagi cantilever beam menjadi 2 elemen dengan 3

nodal. Tujuan menentukan jumlah elemen dan nodal adalah untuk

menentukan tempat terjadinya gaya sehingga dapat memudahkan

analisa. Cantilever beam, dibagi menjadi 2 elemen dengan panjang

yang sama rata dan 3 nodal dimana masing-masing nodal diletakkan

pada ujung tetap, bagian tengah, dan ujung bebas dari cantilever beam.

4.2.2. Matriks Kekakuan Global Masing-Masing Elemen pada Cantilever

Beam

Langkah kedua yang dilakukan adalah menentukan matriks kekakuan

global untuk masing-masing elemen. Matriks kekakuan global untuk

elemen I yaitu:

k(1) = EI

L3

[

12 6𝐿 βˆ’126𝐿 4𝐿2 βˆ’6𝐿

βˆ’12 βˆ’6𝐿 12

6𝐿 0 02𝐿2 0 0βˆ’6𝐿 0 0

6𝐿 2𝐿2 βˆ’6𝐿0 0 00 0 0

4𝐿2 0 00 0 00 0 0 ]

Matriks kekakuan global untuk elemen II yaitu:

k(2) = EI

L3

[

0 0 00 0 00 0 12

0 0 00 0 06𝐿 βˆ’12 6𝐿

0 0 6𝐿0 0 βˆ’120 0 6𝐿

4𝐿2 βˆ’6𝐿 2𝐿2

βˆ’6𝐿 12 βˆ’6𝐿2𝐿2 βˆ’6𝐿 4𝐿2 ]

Kemudian matriks kekakuan elemen I dan II digabungkan dengan

metode direct stiffness method:

K = k(1) + k(2)

Gambar 4.6 Pembagian Elemen dan Nodal pada Cantilever Beam

Page 26: Tugas Besar MEH Mesin

25

K = EI

L3

[

12 6𝐿 βˆ’126𝐿 4𝐿2 βˆ’6𝐿

βˆ’12 βˆ’6𝐿 24

6𝐿 0 02𝐿2 0 00 βˆ’12 6𝐿

6𝐿 2𝐿2 00 0 βˆ’120 0 6𝐿

8𝐿2 βˆ’6𝐿 2𝐿2

βˆ’6𝐿 12 βˆ’6𝐿2𝐿2 βˆ’6𝐿 4𝐿2 ]

Masukan data-data yang terdapat pada bab III:

E = 200 Gpa = 200 x 109 Gpa

I = 160 x 10-9 m4

L = 0.5 m

K = (200 x 109)(160 x 10βˆ’9)

0.53

[

12 3 βˆ’123 1 βˆ’3

βˆ’12 βˆ’3 24

3 0 00.5 0 00 βˆ’12 3

3 1 00 0 βˆ’120 0 3

2 βˆ’3 0.5βˆ’3 12 βˆ’30.5 βˆ’3 1 ]

Maka matriks kekakuan global cantilever beam:

K =

[

3072000 768000 βˆ’3072000768000 256000 βˆ’768000

βˆ’3072000 βˆ’768000 6144000

768000 0 0128000 0 0

0 βˆ’3072000 768000768000 256000 0

0 0 βˆ’30720000 0 768000

512000 βˆ’768000 128000βˆ’768000 3072000 βˆ’768000128000 βˆ’768000 256000 ]

4.2.3. Defleksi dan Rotasi pada Ujung Bebas Cantilever Beam

Untuk menghitung defleksi dan rotasi yang terjadi pada ujung bebas

cantilever beam digunakan persamaan matriks:

F = K.d

[ 𝐹1𝑦

𝑀1

𝐹2𝑦

𝑀2

𝐹3𝑦

𝑀3 ]

=

[

3072000 768000 βˆ’3072000

768000 256000 βˆ’768000

βˆ’3072000 βˆ’768000 6144000

768000 0 0

128000 0 0

0 βˆ’3072000 768000768000 256000 0

0 0 βˆ’3072000

0 0 768000

512000 βˆ’768000 128000

βˆ’768000 3072000 βˆ’768000

128000 βˆ’768000 256000 ]

[ 𝑑1𝑦

πœ™1

𝑑2𝑦

πœ™2

𝑑3𝑦

πœ™3 ]

Masukkan kondisi batas pada cantilever beam:

d1y = Ο•1 = 0

F2y = M2 = M3 = 0

Sehingga persamaan matriks diatas berubah menjadi:

Page 27: Tugas Besar MEH Mesin

26

[

00

βˆ’6000

] = [

6144000 0 βˆ’3072000 7680000 512000 βˆ’768000 128000

βˆ’3072000768000

βˆ’768000128000

3072000βˆ’768000

βˆ’768000256000

]

[ 𝑑2𝑦

πœ™2

𝑑3𝑦

πœ™3 ]

Dengan menggunakan bantuan perangkat lunak Microsoft excel, untuk

mencari nilai dari d2y, Ο•2, d3y, dan Ο•3 dilakukan perhitungan invers dari

matriks kekaukan global terlebih dahulu dengan menggunakan perintah

MINVERSE dan kemudian dilanjutkan dengan perintah MMULT untuk

mengalikan matriks gaya global dengan invers matriks kekakuan global

sehingga akan dihasilkan:

Invers dari matrik [K] dengan perintah MINVERSE:

[K-1] =

Mencari nilai dari defleksi dan rotasi dengan perintah MMULT:

[d] = [K-1] [F]

[ 𝑑2𝑦

πœ™2

𝑑3𝑦

πœ™3 ]

= [

00

βˆ’6000

]

Sehingga didapat nilai dari defleksi dan rotasi pada nodal 2 (titik

tengah):

d2y = -0.001953125 m

Ο•2 = -0.00703125 rad

Defleksi dan rotasi pada nodal 3 (ujung bebas):

d3y = -0.00625 m

Ο•3 = -0.009375 rad

4.2.4. Diagram Gaya Lintang dan Momen Lentur Cantilever Beam

Untuk membuat diagram gaya lintang dan momen lentur cantilever

beam, dilakukan perhitungan pada gaya reaksi dan momen lentur pada

ujung tetap terlebih dahulu. Untuk mencari gaya reaksi dan momen

lentur pada ujung tetap, nilai dari defleksi dan rotasi pada nodal 2 dan

nodal 3 dimasukkan ke persamaan matriks:

1.30208E-06 3.90625E-06 3.25521E-06 3.906E-06

3.90625E-06 0.000015625 1.17188E-05 1.563E-05

3.25521E-06 1.17188E-05 1.04167E-05 1.563E-05

3.90625E-06 0.000015625 0.000015625 3.125E-05

1.30208E-06 3.90625E-06 3.25521E-06 3.906E-06

3.90625E-06 0.000015625 1.17188E-05 1.563E-05

3.25521E-06 1.17188E-05 1.04167E-05 1.563E-05

3.90625E-06 0.000015625 0.000015625 3.125E-05

Page 28: Tugas Besar MEH Mesin

27

[ 𝐹1𝑦

𝑀1

𝐹2𝑦

𝑀2

𝐹3𝑦

𝑀3 ]

=

[

3072000 768000 βˆ’3072000

768000 256000 βˆ’768000

βˆ’3072000 βˆ’768000 6144000

768000 0 0

128000 0 0

0 βˆ’3072000 768000768000 256000 0

0 0 βˆ’3072000

0 0 768000

512000 βˆ’768000 128000

βˆ’768000 3072000 βˆ’768000

128000 βˆ’768000 256000 ]

[ 𝑑1𝑦

πœ™1

𝑑2𝑦

πœ™2

𝑑3𝑦

πœ™3 ]

[ 𝐹1𝑦

𝑀1

𝐹2𝑦

𝑀2

𝐹3𝑦

𝑀3 ]

=

[

3072000 768000 βˆ’3072000768000 256000 βˆ’768000

βˆ’3072000 βˆ’768000 6144000

768000 0 0128000 0 0

0 βˆ’3072000 768000768000 256000 0

0 0 βˆ’30720000 0 768000

512000 βˆ’768000 128000βˆ’768000 3072000 βˆ’768000128000 βˆ’768000 256000 ]

[

00

βˆ’0.001953125βˆ’0.00703125

βˆ’0.00625βˆ’0.009375 ]

F1y = (-3072000 x -0.001953125) + (768000 x -0.00703125)

F1y = 600 N

M1 = (-768000 x -0.001953125) + (128000 x -0.00703125)

M1 = 600 Nm

Jadi gaya reaksi yang bekerja pada tumpuan tetap adalah sebesar 600 N

dan momen lentur yang bekerja pada tumpuan tetap adalah sebesar 600

Nm. Setelah mendapatkan gaya dan momen reaksi yang bekerja pada

tumpuan tetap. Dilakukan pemotongan pada batang untuk mengetahui

nilai gaya dalam cantilever beam. Metode pemotongan seperti yang

dilakukan pada analisa secara teoretik. Sehingga diagram gaya lintang

dan momen lentur yang dihasilkan:

Gambar 4.7 Diagram Gaya Lintang Cantilever Beam dengan Metode

Elemen Hingga

Gambar 4.8 Diagram Momen Lentur Cantilever Beam dengan Metode

Elemen Hingga

Page 29: Tugas Besar MEH Mesin

28

4.3 Solusi secara Simulasi Numerik menggunakan Perangkat Lunak LISA

Sesuai dengan studi pustaka, untuk analisa cantilever beam digunakan analisa

statik 2D. Model dari cantilever beam dibuat dengan memasukkan data yang

terdapat pada Bab III:

Tinggi = t = 40 mm = 0.04 m

Lebar = l = 30 mm = 0.03 m

Material isotropik dengan Modulus Elastisitas = E = 200 GPa

Poisson’s Ratio = 0.3

Dari model diatas, akan dilakukan 2 langkah optimasi, yaitu optimasi jumlah

elemen dan ukuran elemen. Bentuk elemen yang dipilih dalam analisa adalah

elemen garis 2 dimensi atau pada lisa disebut dengan Line2. Tujuan dari

dipilihnya elemen line2 ini adalah untuk mempermudah melihat nilai dari gaya

lintang dan momen lentur yang dihasilkan pada setiap bagian elemen, sebab jika

digunakan elemen segiempat (quad4) atau quad 8 besar gaya lintang dan

momen lentur yang terjadi pada setiap elemen tidak dapat terlihat. Pada LISA

nilai gaya lintang dan momen lentur akan bernilai nol ketika menggunakan

elemen quad4 atau quad8 berdasarkan eksperimen yang saya lakukan ketika

membuat pemodelan di LISA. Ketika melakukan optimasi jumlah elemen

dengan menambah jumlah elemen pada pemodelan, ukuran elemen garis akan

mempunyai ukuran yang semakin pendek sebanding dengan semakin banyak

elemen yang dimasukkan untuk analisa.

Untuk memperbaiki kualitas hasil perhitungan, dilakukan refinement atau

penambahan jumlah elemen pada cantilever beam. Metode refinement yang

paling sederhana adalah refine x2, dimana setiap eleman yang terdapat pada

cantilever beam dibagi menjadi dua elemen baru yang berukuran setengah dari

Gambar 4.9 Pemodelan Cantilever Beam dengan LISA

Page 30: Tugas Besar MEH Mesin

29

ukuran elemen sebelumnya. Terdapat juga metode Custom Refinement, dimana

pada metode ini elemen akan ditambahkan dengan membagi elemen yang ada

menjadi beberapa elemen yang mempunyai ukuran sama besar dan jumlah

pembagian yang ingin dilakukan ditentukan sendiri.

Analisa akan dilakukan dengan metode refine x2 dan Custom Refinement.

Percobaan akan dilakukan sebanyak 6 kali dimana percoba pertama hingga

kelima digunakan metode refine x2 dan pada percobaan ke 6 akan digunakan

Custom Refinement. Tujuan dilakukan kedua metode diatas adalah untuk

membandingkan nilai yang dihasilkan seandainya elemen ditambah secara

bertahap dan ditambah secara ekstrim. Hasil masing-masing percobaan

kemudian dibandingkan untuk menentukan jumlah elemen yang optimal. Hasil

perhitungan defleksi dan rotasi ujung bebas serta diagram gaya dalam dan

momen lentur yang diperoleh pada masing-masing percobaan dapat dilihat

dibawah ini dan akan dirangkum dalam tabel.

Hasil analisa dengan berbagai variasi jumlah elemen sebagai berikut:

1. Satu elemen dan dua nodal

- Pemodelan cantilever beam:

- Gambar dan nilai defleksi cantilever beam:

- Gambar dan nilai rotasi cantilever beam:

Gambar 4.11 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal

Gambar 4.10 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal

Gambar 4.12 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal

Page 31: Tugas Besar MEH Mesin

30

- Gambar dan nilai momen lentur cantilever beam:

- Gambar dan nilai gaya geser cantilever beam:

2. Dua elemen dan tiga nodal

- Pemodelan cantilever beam:

- Gambar dan nilai defleksi cantilever beam:

- Gambar dan nilai rotasi cantilever beam:

Gambar 4.13 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal

Gambar 4.16 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal

Gambar 4.14 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 1 Elemen 2 Nodal

Gambar 4.15 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal

Gambar 4.17 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal

Page 32: Tugas Besar MEH Mesin

31

- Gambar dan nilai momen lentur cantilever beam:

- Gambar dan nilai gaya geser cantilever beam:

3. Empat elemen dan lima nodal

- Pemodelan cantilever beam:

- Gambar dan nilai defleksi cantilever beam:

-

Gambar dan nilai rotasi cantilever beam:

Gambar 4.21 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal

Gambar 4.20 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal

Gambar 4.18 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal

Gambar 4.19 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 2 Elemen 3 Nodal

Gambar 4.22 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal

Page 33: Tugas Besar MEH Mesin

32

- Gambar dan nilai momen lentur cantilever beam:

- Gambar dan nilai gaya geser cantilever beam:

4. Delapan elemen dan sembilan nodal

- Pemodelan cantilever beam:

- Gambar dan nilai defleksi cantilever beam:

-

Gambar dan nilai rotasi cantilever beam:

Gambar 4.23 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal

Gambar 4.24 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 4 Elemen 5 Nodal

Gambar 4.25 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal

Gambar 4.26 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal

Gambar 4.27 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal

Page 34: Tugas Besar MEH Mesin

33

- Gambar dan nilai momen lentur cantilever beam:

- Gambar dan nilai gaya geser cantilever beam:

5. Enam belas elemen dan tujuh belas nodal

- Pemodelan cantilever beam:

- Gambar dan nilai defleksi cantilever beam:

-

Gambar dan nilai rotasi cantilever beam:

Gambar 4.28 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal

Gambar 4.30 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal

Gambar 4.31 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal

Gambar 4.29 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 8 Elemen 9 Nodal

Gambar 4.32 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal

Page 35: Tugas Besar MEH Mesin

34

- Gambar dan nilai momen lentur cantilever beam:

- Gambar dan nilai gaya geser cantilever beam:

6. Seratus elemen dan seratus satu nodal

- Pemodelan cantilever beam:

- Gambar dan nilai defleksi cantilever beam:

-

Gambar dan nilai rotasi cantilever beam:

Gambar 4.33 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal

Gambar 4.31 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 100 Elemen 101 Nodal

Gambar 4.33 Gambar dan Nilai Rotasi Cantilever Beam 100 Elemen 101 Nodal

Gambar 4.34 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 16 Elemen 17 Nodal

Gambar 4.32 Gambar dan Nilai Defleksi Cantilever Beam 100 Elemen 101 Nodal

Page 36: Tugas Besar MEH Mesin

35

- Gambar dan nilai momen lentur cantilever beam:

- Gambar dan nilai gaya geser cantilever beam:

Gambar 4.34 Gambar dan Nilai Momen Lentur Cantilever Beam 100 Elemen 101 Nodal

Gambar 4.35 Gambar dan Nilai Gaya Geser Cantilever Beam 100 Elemen 101

Nodal

Page 37: Tugas Besar MEH Mesin

36

BAB V

DISKUSI

5.1 Perbandingan Hasil Diagram Momen Lentur dan Gaya Geser

Berdasarkan hasil analisa yang telah dijabarkan pada bab IV, untuk

membandingkan hasil diagram momen lentur dan gaya geser yang diperoleh, baik

secara teoretik, dengan metode elemen hinga, dan dengan solusi secara simulasi

numerik dengan menggunakan perangkat lunak LISA maka dibuat kurva

perbandingan untuk diagram momen lentur dan gaya geser. Kurva perbandingan

diagram momen lentur yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

Untuk membuat kurva perbandingan diagram momen lentur diatas, nilai dari

gaya reaksi yang didapat dari masing-masing metode analisa dicari gaya

dalamnya sehingga didapat kurva perbandingan seperti diatas. Nilai momen lentur

dari masing-masing metode dibuat dalam satu kurva seperti diatas. Berdasarkan

kurva diatas, dapat dilihat bahwa tidak ada perbedaan hasil antara solusi yang

dihasilkan baik secara teoretik, dengan metode elemen hingga, dan solusi secara

numerik dengan menggunakan perangkat lunak LISA.Untuk diagram gaya geser

yang dihasilkan dari masing-masing metode, kurva perbandingan yang dihasilkan

sebagai berikut:

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

0 0.5 1 1.5

Mo

men

(N

m)

Panjang (m)

Diagram Momen

1 Elemen 2 Nodal

2 Elemen 3 Nodal

4 Elemen 5 Nodal

8 Elemen 16 Nodal

16 Elemen 17 Nodal

100 Elemen 101 Nodal

Metode Elemen Hingga

Teoretik

Grafik 5.1 Kurva Perbandingan Diagram Momen Lentur

Page 38: Tugas Besar MEH Mesin

37

Berdasarkan kurva perbandingan yang didapat, kembali tidak ditemukan

perbedaan antara solusi secara teoretik, dengan metode elemen hingga, dan solusi

dengan perangkat lunak LISA. Hal ini disebabkan karena gaya geser yang

dihasilkan di sepanjang batang nilainya akan selalu sama (berlawanan dengan

gaya reaksi yang diberikan). Dapat dilihat bahwa penambahan jumlah elemen

berapapun tidak menunjukkan perubahan signifikan pada nilai momen lentur

ataupun gaya geser.

5.2 Perbandingan Hasil Defleksi dan Rotasi Pada Ujung Bebas

Untuk membandingkan hasil dari defleksi dan rotasi yang dihasilkan pada

ujung bebas yang diperoleh, baik secara teoretik, dengan metode elemen hinga,

dan dengan solusi secara simulasi numerik dengan menggunakan perangkat lunak

LISA maka dibuat juga kurva perbandingan untuk hasil defleksi dan rotasi pada

ujung bebas. Kurva perbandingan hasil defleksi yang terjadi di sepanjang

cantilever beam adalah sebagai berikut:

Grafik 5.2 Kurva Perbandingan Diagram Gaya Geser

Grafik 5.3 Kurva Perbandingan Defleksi Cantilever Beam

Page 39: Tugas Besar MEH Mesin

38

Berdasarkan kurva diatas, dapat dilihat bahwa semua kurva mempunyai titik akhir

yang sama. Hal ini menandakan bahwa semua kurva menunjukkan nilai defleksi

pada ujung bebas adalah sebesar -0.00625 m. Namun jika dilihat dari bentuk

kurva diatas, ketika analisa dengan perangkat lunak LISA ataupun menggunakan

metode elemen hingga dengan jumlah elemen 1 dan 2 diperoleh bahwa kurva

yang dihasilkan belum mendekati hasil teoretik. Namun ketika elemen

ditambahkan lebih banyak hingga 4 elemen dan seterusnya, diperoleh bahwa

kurva yang dihasilkan sama dengan teoretik. Hal ini menujukkan bahwa

penambahan jumlah elemen akan memberikan hasil yang lebih akurat untuk

mencari nilai defleksi di sepanjang batang. Hal yang sama juga berlaku untuk

rotasi yang terjadi di sepanjang batang, dimana kurva perbandingan yang

dihasilkan:

Berdasarkan kurva diatas, dapat dilihat bahwa semua kurva mempunyai titik akhir

yang sama. Hal ini menandakan bahwa semua kurva menunjukkan nilai rotasi

pada ujung bebas adalah sebesar -0.009375 Ο•.

Grafik 5.4 Kurva Perbandingan Defleksi Cantilever Beam

Page 40: Tugas Besar MEH Mesin

39

KESIMPULAN

Kesimpulan yang diperoleh melalui analisa pada cantilever beam adalah sebagai

berikut:

1. Untuk semua metode analisa, gaya reaksi dan momen bending yang

bekerja pada ujung tetap serta defleksi dan rotasi yang terjadi pada ujung

bebas adalah sebagai berikut:

Metode Gaya Reaksi (pada

ujung tetap)

Momen Lentur Reaksi

(pada ujung tetap)

Defleksi

ujung bebas

(m)

Rotasi ujung

bebas

(Ο•)

Teoretik 600 N -600 Nm -0.00625 -0.009375

Elemen

Hingga 600 N -600 Nm

-0.00625 -0.009375

LISA 600 N -600 Nm -0.00625 -0.009375

2. Untuk pembuatan diagram momen lentur dan gaya geser, tidak ada

perbedaan antara hasil secara teoretik, dengan metode elemen hingga, dan

solusi dengan perangkat lunak LISA. Hasil defleksi dan rotasi pada ujung

bebas juga tidak mempunyai perbedaan, namun penggunaan jumlah

elemen yang lebih banyak pada metode elemen hingga dan solusi dengan

perangkat lunak LISA akan memberikan hasil yang sesuai dengan solusi

secara teoretik, dimana jumlah elemen optimal yang didapat sebanyak 4

buah elemen dan seterusnya.

Tabel Kesimpulan Gaya Reaksi, Momen Lentur Reaksi, Defleksi Ujung Bebas, dan

Rotasi Ujung Bebas

Page 41: Tugas Besar MEH Mesin

40

DAFTAR PUSTAKA

LISA Tutorial and Reference Guide.

Meriam, J. L. dan Kraige, L.G. 2006. Engineering Mechanics Statics. Seventh

Edition. John Wiley & Sons: AS.

Logan, Daryl L. 2007. A First Course in Finite Element Method. Fourth Edition.

Thomson: Toronto.

Hibbeler, R. C. 2011. Mechanics of Materials. Eighth Edition. Pearson Prentice Hall:

AS.