Soal No.5Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaan produksi dalam satu hari sebagai berikut :

C = ....(1.1)Dengan :C = Biaya Per HariN = Jumlah Komponen yang diproduksi

Hitunglah jumlah optimal komponen yang diproduksi sehingga biaya produksi menjadi minimum

PENYELESAIAN : a. Perhitungan Dengan Metode Secant.Persamaan umum dengan menggunakan Metode Secant adalah :

Dari persamaan umum di atas di dapatkan persamaan :

.....(1.2)

Dari soal dapat kita diketahui bahwa untuk mencari jumlah optimal komponen produksi dan menggunakan biaya produksi yang seminimal mungkin dapat kita cari dengan turunan dari persaman C = sebagai berikut :

C = = 0

Sehingga rumus persamaan untuk mencari jumlah komponen optimal adalah :

.........................(1.3)

Mula-mula kita tentukan dua nilai sebarang untuk nilai f(N1) dan f(N2) sehingga nilai N3 diketahui melalui persamaan 1.2N0 = 30; f(N0) = -13000(30-2)-79.055(30-1.5)+1+0.0006(30) = -13.90756N1 = 50; f(N1) = -13000(50-2)-79.055(50-1.5)+1+0.0006(50) = -4.39360Nilai-nilai diatas dimasukkan kedalam persamaan 1.2 untuk mencari N3

F(N2) = -2.84270

setelah itu masukan lakukan perhitungan kembali untuk menentukan nilai N3, dengan memasukkan nilai N1 dan N2 dari perhitungan sebelumnya ke dalam persamaan 1.2

F(N3) = -1.31416

Ulangi perhitungan sampai mendapatkan nilai f(Ni+1) mendekati 0

Tabel hasil perhitungan adalah sebagai berikut :

Tabel 5.1 Hasil Perhitungan dengan Metode SecantINi-1NiNi+1f(Ni-1)f(Ni)f(Ni+1)

1305059.236118-13.90756-4.39360-2.84270

25059.2361276.165392-4.393601-2.84270-1.31416

359.23611876.1653990.720258-2.842705-1.31416-0.61661

476.16539290.72026103.58637-1.31416-0.61661-0.22437

590.720258103.5864110.94625-0.616613-0.22437-0.05721

6103.58637110.9462113.46525-0.224374-0.05721-0.00709

7110.94625113.4652113.82146-0.057213-0.00709-0.00026

8113.46525113.8215113.83488-0.007088-0.000260.00000

Dari perhitungan didapatkan bahwa N9 = 113.83488 adalah nilai optimum dari f(Ni+1)b. Perhitungan dengan menggunakan Microsoft Visual Basic b.1 Algoritma kerja perhitungan 1. Mulai.2. Input2.1 Baca Ni dan Ni-12.2 NI1 = Ni2.3 NI0 = Ni-13. Proses3.1 DoFNI0 = -13000*NI0^-2 -79.055*NI2^-1.5 + 1 + 0.0006*NI0FNI1 = -13000*NI1^-2 -79.055*NI2^-1.5 + 1 + 0.0006*NI1NI2 = NI1 FN1*(NI1-NI0)/(FNI1-FNI0)FNI2 = -13000*NI2^-2 -79.055*NI2^-1.5 + 1 + 0.0006*NI2IF FNI2 0 THEN NI0 = NI1 NI1 = NI2 ELSE EXIT SUBEND IFLOOP UNTIL FNI2 < 0.000001 AND FNI2 >-0.0000014. Output 4.1 Tampilkan NI0,NI1,NI2,FNI0,FNI1,FNI25. Selesai.

b.2 Flowchart

MULAIBaca NI0,NI1.DOFNI0 = -13000*NI0^-2 -79.055*NI2^-1.5 + 1 + 0.0006*NI0 FNI1 = -13000*NI1^-2 -79.055*NI2^-1.5 + 1 + 0.0006*NI1 NI2 = NI1 FN1*(NI1-NI0)/(FNI1-FNI0) FNI2 = -13000*NI2^-2 -79.055*NI2^-1.5 + 1 + 0.0006*NI2 IF FNI2 0 THEN NI0 = NI1 NI1 = NI2 ELSE EXIT SUB END IFLOOP UNTIL FNI2 < 0.000001 AND FNI2 >-0.000001Tampilkan NI0,NI1,NI2,FNI0,FNI1,FNI2SELESAI

Diagram alir 5.1 Flowchart Pengerjaan root finding dengan metode secant

b.3 Source Code pada Microsoft Visual Basic

Private Sub cmdHitung_Click()NI0 = Val(Me.txtNI0.Text)NI1 = Val(Me.txtNI1.Text)I = 0

Do fNI0 = -13000 * NI0 ^ -2 - 79.055 * NI0 ^ -1.5 + 1 + 0.0006 * NI0 fNI1 = -13000 * NI1 ^ -2 - 79.055 * NI1 ^ -1.5 + 1 + 0.0006 * NI1 NI2 = NI1 - fNI1 * (NI1 - NI0) / (fNI1 - fNI0) fNI2 = -13000 * NI2 ^ -2 - 79.055 * NI2 ^ -1.5 + 1 + 0.0006 * NI2 Me.gridHitungan.Rows = Me.gridHitungan.Rows + 1 I = I + 1 Me.gridHitungan.TextMatrix(I, 0) = I Me.gridHitungan.TextMatrix(I, 1) = Format(NI0, "0.00000") Me.gridHitungan.TextMatrix(I, 2) = Format(NI1, "0.00000") Me.gridHitungan.TextMatrix(I, 3) = Format(NI2, "0.00000") Me.gridHitungan.TextMatrix(I, 4) = Format(fNI0, "0.00000") Me.gridHitungan.TextMatrix(I, 5) = Format(fNI1, "0.00000") Me.gridHitungan.TextMatrix(I, 6) = Format(fNI2, "0.00000") If fNI2 0 Then NI0 = NI1 NI1 = NI2 Else Exit Sub End IfLoop Until fNI2 < 0.00001 And fNI2 > -0.00001

Biayamin = 13000 * NI2 ^ -1 + 158.11 * NI2 ^ -0.5 + NI2 + 0.0003 * NI2 ^ 2

Me.lblKomp.Caption = Str(Format(NI2, "0.00000"))Me.lblBiaya.Caption = Str(Format(Biayamin, "0.00000"))

End Sub

Private Sub Form_Load()Me.gridHitungan.Cols = 7Me.gridHitungan.Rows = 1

Me.gridHitungan.TextMatrix(0, 0) = "I"Me.gridHitungan.TextMatrix(0, 1) = "NI-1"Me.gridHitungan.TextMatrix(0, 2) = "NI"Me.gridHitungan.TextMatrix(0, 3) = "NI+1"Me.gridHitungan.TextMatrix(0, 4) = "F(NI-1)"Me.gridHitungan.TextMatrix(0, 5) = "F(NI)"Me.gridHitungan.TextMatrix(0, 6) = "F(NI+1)"End Sub

b.4 Hasil Eksekusi Program

Gambar 5.1 Display hasil eksekusi program dengan Microsoft Visual Basic

Dari hasil eksekusi program diperoleh jumlah komponen produksi yang harus diproduksi agar biaya produksi minimum adalah NI2 = 113.83488

Dan biaya produksi minimum diperoleh C = 246.74199

Soal No.12

Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan

Kecepatan (mil/jam)1520253040506070

Jarak Henti (Feet)152335466590111148

Pekirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam. Gunakan metode Interpolasi Newton untuk spasi data yang berbeda an metode interpolasi langrange sebagai pembanding

PENYELESAIAN : a. Metode Interpolasi NewtonData yang diperlukan untuk x = 45x0 = 25f(x0) = 35x1 = 30f(x1) = 46x2 = 40f(x2) = 65x3 = 50f(x3) = 90

Persamaan Polinomial order tiga diperoleh dengan memasukkan nilai x = 45 ke dalam persamaan :f3(x) =b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)denganb0 = f(x0)b1 = f(x1,x0)b2 = f(x2,x1, x0)b3 = f(x3,x2, x1, x0)

pembagian beda hingga pertama dihitung dengan persamaan :f(x1,x0) = 2.2

f(x2,x1) = 1.9

f(x3,x2) = 2.5

pembagian beda hingga kedua dihitung dengan persamaan :f(x2,x1, x0) = -0.02

f(x3,x2, x1) = 0.03

pembagian beda hingga ketiga dihitung dengan persamaan :f(x3,x2, x1, x0) = 0.002didapatkanb0 = f(x0)= 35b1 = f(x1,x0)= 2.2b2 = f(x2,x1, x0)= -0.02b3 = f(x3,x2, x1, x0)= 0.002

Sehingga untuk x = 45,f3(45) = 35 + 2.2(45-25) 0.02(45-25)(45-30) + 0.002(45-25)(45-30)(45-40) = 76

b. Metode Interpolasi LangrangeData yang diperlukan untuk x = 45x0 = 25f(x0) = 35x1 = 30f(x1) = 46x2 = 40f(x2) = 65x3 = 50f(x3) = 90

Persamaan polinomial Langrange order 3 diperoleh dengan memasukkan nilai x = 45 ke dalam persamaan :f3(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) + L3(x)f(x3)Dimana :L0(x)= = 0.2

L1(x)= = -0.5L2(x)= = 1

L3(x)= = 0.3

Sehingga diperolehf3(45) = 0.2x35 0.5x46 + 65 + 0.3x90= 76

Terlihat Bahwa antara hasil interpolasi newton dan interpolasi langrange memberikan dau hasil yang sama yaitu f3(45) = 76

c. Penyelesaian dengan program Microsoft Visual Basicc.1 Algoritma kerja perhitungana. Mulaib. Input Baca x,y,xc n = jumdatac. Prosesc.1 for i = 0 to jumdata-1 L = 1 h = 0 For j = i To n - 2 h = h + 1 L = L * (xc x(j+1)) /(x(i)-x(j+1)) Next For k = 0 To (n - h - 2) L = L * (xc - x(k))/(x(i) - x(k)) Next hasil = L * y(i) Next

For m = 0 To n - 1 YL = YL+L(m) Next

d. OutputTampilkan hasil perhitungane. Selesai

c.2 Flowchart

MULAIBaca x,y,xcfor i = 0 to jumdata-1 L = 1 h = 0 For j = i To n - 2 h = h + 1 L = L * (xc x(j+1)) /(x(i)-x(j+1)) Next For k = 0 To (n - h - 2) L = L * (xc - x(k))/(x(i) - x(k)) Next hasil = L * y(i) Next For m = 0 To n - 1 YL = YL+L(m) NextTampilkan yL,ycSELESAI

Diagram Alir 12,1 Flowchart pengerjaan interpolasi langrange c.3 Source Code program Interpolasi Langrange

Private Sub Form_Load()Me.Width = 2925End Sub

Private Sub inpX_KeyPress(KeyAscii As Integer)If KeyAscii = 13 Then Me.Listx.AddItem Me.inpX.Text Me.inpX.Text = ""End If

End Sub

Private Sub inpY_KeyPress(KeyAscii As Integer)If KeyAscii = 13 Then Me.Listy.AddItem Me.inpY.Text Me.inpY.Text = ""End If

End Sub

Private Sub txtXc_KeyPress(KeyAscii As Integer)If KeyAscii = 13 Then Me.Width = 4050 Me.Label4.Visible = True Me.ListL.Visible = True Me.txtYc.Visible = True Me.Label5.Visible = True

n = Me.Listx.ListCount For i = 0 To n - 1 l = 1 h = 0 For j = i To n - 2 h = h + 1 l = l * ((Val(txtXc.Text)) - Val(Listx.List(j + 1))) / (Val(Listx.List(i)) - Val(Listx.List(j + 1))) Next For k = 0 To (n - h - 2) l = l * ((Val(txtXc.Text)) - Val(Listx.List(k))) / (Val(Listx.List(i)) - Val(Listx.List(k))) Next hasil = l * Listy.List(i) Me.ListL.AddItem Format(hasil, "0.00000") Next For m = 0 To n - 1 YL = YL + Val(ListL.List(m)) Next Me.txtYc.Text = Format(YL, "0.00000")End IfEnd Sub

c.4 Hasil Eksekusi Program

Gambar 12.1 Display hasil eksekusi program interpolasi langrange

Dari hasil eksekusi program didapatkan nilai yc = 76.63230Jasi jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan keepatan 45 mil/jam dengan program Microsoft Visual Basic adalah 76.63230

Besar kesalahan antara hitungan manual dan program

E = = 0.83%

d. Kesimpulan

1. Jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam dengan interpolasi newton = 76 feet2. Jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam dengan interpolasi Langrange= 76 feet3. Jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam dengan interpolasi langrange dari program Visual Basic = 76.63230 feet

e.