TUGAS AKHIR SM141501 OPTIMASI PERTUMBUHAN …

TUGAS AKHIR – SM141501

OPTIMASI PERTUMBUHAN MIKROALGA

DENGAN PENGATURAN INTENSITAS CAHAYA

MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM

PONTRYAGIN

RIZKY NUR ARDIANSYAH

NRP 06111440000044

Dosen Pembimbing :

Dr. Dra. Mardlijah, MT

Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

DEPARTEMEN MATEMATIKA

Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya 2018

FINAL PROJECT – SM141501

OPTIMIZATION OF MICROALGAE GROWTH WITH

ARRANGEMENT OF LIGHT INTENSITY BY

PONTRYAGIN MINIMUM PRINCIPLE

RIZKY NUR ARDIANSYAH

NRP 06111440000044

Supervisor :

Dr. Dra. Mardlijah, MT

Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Faculty of Mathematics, Computing, and Data Sciences

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya 2018

v

OPTIMASI PERTUMBUHAN MIKROALGA DENGAN

PENGATURAN INTENSITAS CAHAYA MENGGUNAKAN

METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN

Nama : Rizky Nur Ardiansyah

NRP : 06111440000044

Departemen : Matematika

Pembimbing : Dr. Dra. Mardlijah, MT

: Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

ABSTRAK

Mikroalga adalah mikroorganisme uniseluler yang

memiliki potensi besar sebagai produsen biomassa di masa depan,

karena mampu mengandung lipid dalam jumlah yang tinggi

walaupun dengan kondisi kekurangan nitrogen sekaligus

mengonsumsi CO2 industri. Pertumbuhan mikroalga sangat

berperan penting dalam produksi biomassa yang lebih banyak.

Intensitas cahaya adalah salah satu faktor yang mempengaruhi

pertumbuhannya sehingga dapat diatur intensitas cahaya yang

masuk untuk memaksimalkan hasil biomassa. Kemudian dilakukan

pengendalian optimal pada intensitas cahaya menggunakan Prinsip

Minimum Pontryagin. Dalam Tugas Akhir ini menunjukkan

peningkatan jumlah biomassa dalam waktu 2 pada kondisi awal ( ) ( ) dengan proporsi dan kondisi

awal ( ) ( ) dengan proporsi . Dari

hasil simulasi diperoleh jumlah biomassa meningkat dua kali lipat

dari kondisi awalnya.

Kata kunci : Mikroalga, Biomassa, Intensitas Cahaya, Prinsip

Minimum Pontryagin

vii

OPTIMIZATION OF MICROALGAE GROWTH WITH

ARRANGEMENT OF LIGHT INTENSITY BY PONTRYAGIN

MINIMUM PRINCIPLE

Name : Rizky Nur Ardiansyah

NRP : 06111440000044

Department : Mathematics

Supervisor : Dr. Dra. Mardlijah, MT

: Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

ABSTRACT

Microalgae are unicellular microorganisms that have

great potential as future biomass producers, being able to contain

high amounts of lipids despite the nitrogen deficiency conditions

while consuming industrial CO2. The growth of microalgae an

important role in the production of more biomass. The intensity of

light is one of the factors that influence its growth so that it can be

adjusted incoming light intensity to maximize biomass yield. Then

performed optimal control on the light intensity using the

Pontryagin Minimum Principle. In this Final Project shows an

increase in the number of biomass within 2 with the initial

conditions ( ) ( ) with the proportion

and the initial conditions ( ) ( ) with the

proportion of . From the simulation results obtained the

amount of biomass doubled from the initial conditions

Keywords: Microalgae, Biomass, Light Intensity, Pontryagin

Minimum Principle

ix

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr Wb.

Alhamdulillaahirrobbil'alamin, segala puji hanya milik

Allah yang memiliki apa yang ada di langit dan di bumi. Allah

Maha Kuasa atas segala sesuatu, dan sesungguhnya Allah ilmuNya

benar-benar meliputi segala sesuatu. Dan karena limpahan kasih

sayang, karunia, petunjuk serta bimbingan-Nya penulis dapat

menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik yang berjudul :

“OPTIMASI PERTUMBUHAN MIKROALGA DENGAN

PENGATURAN INTENSITAS CAHAYA MENGGUNAKAN

METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN”

sebagai salah satu syarat kelulusan menempuh Program Sarjana

Departemen Matematika FMKSD ITS Surabaya.

Penulisan Tugas Akhir ini tidak akan terselesaikan dengan baik

tanpa adanya bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Suatu

kebahagiaan dan kewajiban bagi penulis untuk menyampaikan

terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan

mendukung atas terselesainya Tugas Akhir :

1. Orang tua dan keluarga besar yang selalu mendoakan dan

memberikan motivasi kepada penulis.

2. Bapak Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Kepala

Departemen Matematika Institut Teknologi Sepuluh

Nopember Surabaya.

3. Ibu Dr. Dra. Mardlijah MT dan Bapak Drs. Lukman

Hanafi, M.Sc selaku pembimbing Tugas Akhir yang telah

banyak mengarahkan dan memberikan masukan serta

motivasi sehingga Tugas Akhir ini dapat terselesaikan.

x

4. Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp., Ibu Soleha, S.Si,

M.Si, dan Bapak Drs. Suharmadi, Dipl. Sc, M.Phil selaku

dosen penguji Tugas Akhir, atas semua saran dan masukan

yang diberikan kepada penulis.

5. Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp. selaku dosen wali

yang memberikan arahan dan masukan selama penulis

menempuh perkuliahan di Departemen Matematika ITS.

6. Bapak Ibu dosen, seluruh staf Tata Usaha, dan asisten

laboratorium Departemen Matematika ITS.

7. Mahendra, Zainal, Hamim selaku sahabat dan David

selaku adik dari penulis yang selalu memberi bantuan dan

motivasi dalam mengerjakan Tugas Akhir.

8. Teman-teman angkatan 2014 yang telah berjuang bersama-

sama dan saling mendukung untuk menyelesaikan Tugas

Akhir.

9. Keluarga besar HIMATIKA ITS dan Ibnu Muqlah atas

kerja samanya selama penulis menempuh perkuliahan.

10. Seluruh pihak yang terkait yang tidak dapat disebutkan

satu per satu yang secara tidak langsung telah membantu

penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir.

Penulis menyadari sepenuhnya dalam penulisan ini masih

banyak kekurangan, kesalahan dan masih jauh dari sempurna,

sehingga segala saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat

diharapkan oleh penulis. Akhirnya, penulis berharap semoga Tugas

Akhir ini dapat bermanfaat untuk semua.

Wassalamu’alaikum Wr Wb.

Surabaya, 07 Agustus 2018

Penulis

xi

DAFTAR ISI

Hal

HALAMAN JUDUL ................................................................ i

LEMBAR PENGESAHAN ........ Error! Bookmark not defined

ABSTRAK .............................................................................. v

ABSTRACT ......................................................................... vii

KATA PENGANTAR ............................................................ ix

DAFTAR ISI .......................................................................... xi

DAFTAR GAMBAR .......................................................... xiii

DAFTAR TABEL ................................................................. xv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ......................................................... 4

1.3 Batasan Masalah ............................................................ 4

1.4 Tujuan ............................................................................ 4

1.5 Manfaat .......................................................................... 5

1.6 Sistematika Penulisan .................................................... 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................. 7

2.1 Penelitian Terdahulu....................................................... 7

2.2 Mikroalga ....................................................................... 8

2.3 Model Droop ................................................................ 10

2.4 Menambahkan efek cahaya pada mikroalga ................. 11

2.5 Respirasi ....................................................................... 12

2.6 Titik Setimbang ............................................................ 13

2.7 Analisis Kestabilan Lokal ............................................ 14

2.8 Kriteria Routh-Hurwitz ................................................ 18

2.9 Analisis Keterkontrolan ................................................ 19

2.10 Prinsip Minimum Pontryagin ..................................... 19

BAB III METODOLOGI PENELITIAN .............................. 21

1. Studi Literatur ................................................................ 21

xii

2. Mencari Titik Setimbang dan Menganalisa Kestabilan di

Sekitar Titik Setimbang ........................................................ 21

3. Menentukan Keterkontrolan Sistem .............................. 21

4. Desain Kontrol ............................................................... 21

5. Penyelesaian Kontrol ..................................................... 22

6. Simulasi dan Analisis Hasil Simulasi ............................ 22

7. Penarikan Kesimpulan dan Pemberian Saran ................ 22

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ....................... 25

4.1 Analisis Dinamik pada Model Pertumbuhan Alga ...... 25

4.1.1 Menentukan Titik Setimbang ................................ 26

4.1.2 Analisis Kestabilan ................................................ 29

4.1.3 Analisis Keterkontrolan ......................................... 35

4.2 Penyelesaian dengan Kendali Optimal ......................... 37

4.3 Simulasi dan Analisis ................................................... 45

4.3.1 Hasil Simulasi Sebelum Diberi Kendali Optimal .. 46

4.3.2 Hasil Simulasi Setelah Diberi Kendali Optimal .... 49

BAB V PENUTUP ............................................................... 53

5.1 Kesimpulan ................................................................... 53

5.2 Saran ............................................................................. 53

DAFTAR PUSTAKA ........................................................... 55

LAMPIRAN 1 ...................................................................... 59

LAMPIRAN 2 ...................................................................... 63

BIODATA PENULIS ........................................................... 67

xiii

DAFTAR GAMBAR

Hal

Gambar 2.1 Diagram Kompartemen Model Droop ............... 11

Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian ..................................... 23

Gambar 4.1 Flow Chart Simulasi .......................................... 45

Gambar 4.2 Simulasi model pertumbuhan alga dengan

kondisi awal ( ) ( ) ............................... 46


kondisi awal ( ) ( ) ............................... 47


kondisi awal ( ) ( ) ............................... 48


kondisi awal ( ) ( ) ............................... 49


kondisi awal ( ) ( ) ............................... 50

Gambar 4.7 Simulasi Tingkat Intensitas Cahaya .................. 51

xv

DAFTAR TABEL

Hal

Tabel 2.1 Tabel Kandungan Minyak Mikroalga ..................... 9

Tabel 2.2 Tabel Nilai Parameter ............................................ 13

1

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang dari

permasalahan yang dibahas pada tugas akhir ini, rumusan

masalah yang muncul akibat latar belakang, batasan masalah,

tujuan, manfaat dan sistematika penulisan yang diuraikan pada

bagian akhir bab ini.

1.1 Latar Belakang

Kondisi krisis energi di Indonesia diperkirakan segera tiba,

khususnya energi bahan bakar fosil (premium, solar, pertalite,

pertamax). Hal ini tidak terlepas dikarenakan Indonesia

merupakan negara pengguna bahan bakar fosil dengan tingkat

konsumsi yang sangat tinggi. Jumlah produksi bahan bakar

fosil yang mampu dihasilkan Indonesia tidak sebanding

dengan tingkat konsumsinya. Hal ini dapat dilihat dari

aktivitas sehari-hari yang tidak terlepas dari penggunaaan

bahan bakar fosil baik untuk keperluan industri, transportasi,

dan rumah tangga. Sedangkan perbandingan penemuan sumur

minyak baru dengan sumur minyak yang di eksploitasi tidak

seimbang. Penggunaan bahan bakar fosil juga mengakibatkan

emisi gas rumah kaca dan produksi CO2 yang dapat memicu

perubahan iklim secara drastis sehingga diperlukan

penanganan yang serius dalam menghadapi beberapa masalah

tersebut.

Salah satu upaya untuk menangani permasalahan emisi

gas CO2 adalah menangkap CO2 dan mengurangi pemakaian

bahan bakar fosil. Penelitian yang sedang dilakukan di dunia

maupun di Indonesia adalah mengurangi pemakaian bahan

bakar fosil dengan cara mengembangkan energi alternatif

terbarukan yang lebih ramah lingkungan. Namun yang perlu

menjadi perhatian khusus dalam pengembangannya adalah

biomassa karena biomassa lebih ramah lingkungan

dibandingkan dengan bahan bakar fosil.

2

Biomassa bisa didapat dari tanaman yang mengandung

minyak seperti kelapa sawit, jarak pagar, singkong, kedelai,

sagu, dan tebu. Namun hal ini menyebabkan masalah baru

karena beberapa tanaman tersebut adalah bahan pangan dan

membutuhkan lahan yang luas untuk membudidayakan

tanaman-tanaman tersebut sehingga dapat dipastikan akan

terjadi kenaikan harga pangan. Oleh karena itu diperlukan

solusi untuk mengatasi masalah tersebut.

Mikroalga adalah tumbuhan yang tidak membutuhkan

lahan luas dalam budidayanya dan bukan merupakan bahan

pangan sehingga mikroalga dianggap solusi yang tepat

menjadi bahan baku penghasil biomassa. Mikroalga mampu

tumbuh lebih cepat di perairan yang tidak terlalu luas dan

dapat menggunakan air laut atau air limbah. Pertumbuhan

mikroalga menjadi dua kali lipat lebih banyak dalam waktu 24

jam, selain itu kadar lemak yang dihasilkan memiliki

konsentrasi yang cukup tinggi yaitu 77% dari berat kering [1].

Mikroalga mampu berfotosintesis dan mereduksi

karbondioksida yang ada di alam sehingga dapat mengurangi

dampak pemanasan global akibat karbondioksida buangan dari

industri-industri. Mikroalga juga mempunyai kandungan

protein yang sangat tinggi sehingga dikenal juga dengan nama

single cell protein (SCP). Beberapa mikroalga telah

dikonsumsi sebagai obat-obatan dan makanan kesehatan.

Selain itu juga dapat digunakan sebagai bahan kosmetik dan

lain-lain.

Kultivasi merupakan teknik menumbuhkan mikroalga

dalam lingkungan tertentu yang terkontrol. Kultivasi bertujuan

untuk menyediakan spesies tunggal pada kultur masal

mikroalga untuk tahap pemanenan. Teknik budidaya

mikroalga yang sering digunakan adalah Open Raceaway

Ponds dan Fotobioreaktor. Open Raceaway Ponds adalah

sistem tertua dan paling sederhana. Nutrisi ditambahkan di

depan paddlewheel dan setelah beredar melalui loop-loop

mikroalga tersebut dapat dipanen di bagian belakang

3

paddlewheel. Biaya operasional sistem ini lebih rendah

dibandingkan fotobioreaktor namun dapat mengalami

evaporasi akut dan penggunaan CO2 tidak efisien karena

sistem ini adalah sistem kolam terbuka. Sedangkan teknik

fotobioreaktor mampu mengatasi evaporasi pada sistem Open

Raceaway Ponds. Teknik fotobioreaktor sendiri terbagi

menjadi dua yaitu flat plate dan tubular. Fotobioreaktor tubular

lebih cocok untuk diluar lapangan karena luasnya permukaan

untuk proses iluminasi. Fotobioreaktor flat plate lebih sering

digunakan karena meratakan intensitas penyinaran sehingga

sel yang dihasilkan memiliki densitas yang lebih tinggi [1].

Dalam Tugas Akhir ini akan digunakan model Droop untuk

pertumbuhan mikroalga. Penelitian yang dilakukan M.R.

Droop bagian tubuh mikroalga dibagi menjadi tiga bagian

yakni Nutrisi (S), Cell Quota (Q) dan Biomassa (X). Kemudian

dilakukan modifikasi model oleh Bernard dkk [2] yang

memperhitungkan adanya parameter cahaya sebagai salah satu

faktor yang mempengaruhi pertumbuhan mikroalga. Adanya

parameter cahaya mendukung penelitian ini sehingga model

yang telah dimodifikasi oleh Bernard dkk [2] dapat digunakan

sebagai penelitian ini. Pertumbuhan mikroalga dipengaruhi

oleh beberapa faktor, yaitu temperatur, intensitas cahaya,

nutrisi, karbondioksida, derajat keasaman, dan salinitas. Disini

penulis akan melakukan kontrol yang optimal pada intensitas

cahaya menggunakan Metode Prinsip Minimum Pontryagin

untuk memaksimalkan pertumbuhan mikroalga sehingga

mampu menghasilkan biomassa yang maksimal kemudian

akan dilakukan simulasi menggunakan software MATLAB.

Dalam hasil simulasi akan dilakukan perbandingan antara hasil

biomassa sebelum dilakukan kontrol dan setelah dilakukan

kontrol.

4

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang harus dijawab pada tugas akhir ini

adalah :

1. Analisis kestabilan dan keterkontrolan sistem dari

pertumbuhan mikroalga menggunakan model Droop

2. Menentukan intensitas cahaya yang optimal untuk

pertumbuhan mikroalga sehingga produksi biomassa

dapat maksimal.

3. Bagaimana pengaruh intensitas cahaya terhadap

produksi biomassa sebelum dan sesudah dilakukan

kendali optimal.

1.3 Batasan Masalah

Batasan dalam penulisan Tugas Akhir ini adalah:

1. Pertumbuhan Mikroalga dengan model Droop.

2. Pertumbuhan mikroalga selalu ada.

3. Proses pengembangan mikroalga di suatu tempat

tertutup (fotobioreaktor) sehingga tingkat intensitas

cahaya yang masuk dapat diatur.

1.4 Tujuan

Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut :

1. Mengetahui sifat-sifat sistem dari model Droop.

2. Mengetahui intensitas cahaya yang optimal untuk

pertumbuhan mikroalga sehingga produksi biomassa

dapat maksimal.

3. Mengetahui pengaruh intensitas cahaya terhadap

produksi biomassa sebelum dan sesudah dilakukan

kendali optimal.

5

1.8 Manfaat

Manfaat yang didapat dari Tugas Akhir ini adalah:

1. Memberikan informasi mengenai intensitas cahaya

yang optimal sehingga pertumbuhan mikroalga dapat

maksimal dan memperoleh produksi biomassa yang

melimpah.

2. Memberikan pelajaran mengenai penerapan kendali

optimal dan sebagai referensi untuk penelitian

selanjutnya.

1.9 Sistematika Penulisan

Penulisan Ilmiah Matematika ini terdiri dari empat bab

yaitu:

1. Bab I Pendahuluan

Bab ini berisi tentang gambaran umum dari Penulisan

Ilmiah Matematika yang meliputi latar belakang, rumusan

masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan

sistematika penulisan.

2. Bab II Tinjauan Pustaka

Pada bab ini akan diuraikan mengenai mikroalga dan

Model Droop. Selain itu, bab ini juga berisikan materi-

materi antara lain, Titik Setimbang, Kestabilan lokal, dan

prinsip Minimum Pontryagin.

3. Bab III Metodologi Penelitian

Pada bab ini akan dijelaskan tahapan-tahapan dalam

mengerjakan Tugas Penulisan Ilmiah Matematika ini.

Tahapan-tahapan tersebut antara lain, studi literatur,

mencari titik setimbang dan menganalisa kestabilan sistem

di sekitar titik setimbang, desain kontrol, dan penyelesaian

kontrol. Selanjutnya dilakukan simulasi dan analisis

terhadap hasil yang didapat. Tahap terakhir adalah

penarikan kesimpulan dari hasil pembahasan dan analisis

yang dilakukan.

6

4. Bab IV Analisis dan Pembahasan

Pada bab ini akan dibahas mengenai formulasi dan

penyelesaian kendali optimal pada model pertumbuhan

alga melalui pengaturan intensitas cahaya serta penjelasan

mengenai hasil simulasi yang diperoleh.

5. Bab V Penutup

Bab ini menjelaskan kesimpulan yang diperoleh dari

pembahasan dan saran untuk pengembangan penelitian

selanjutnya.

7

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai penelitian terdahulu,

mikroalga, model Droop, titik setimbang, analisis kestabilan,

analisis keterkontrolan, dan Prinsip Minimum Pontryagin.

2.1 Penelitian terdahulu

Sebelumnya telah dilakukan banyak penelitian mengenai

mikroalga, hal ini dilakukan mengingat kandungan lipid yang

sangat tinggi pada mikroalga. Penelitian-penelitian pada

mikroalga salah satunya dilakukan oleh M. Virama Hadi Cahyono

pada tahun 2015 yaitu analisis model matematika untuk

pertumbuhan mikroalga terhadap keterbatasan nutrisi, sebagai

solusi dari keterbatasan nutrisi tersebut dilakukan pengenceran

nutrisi yang kecil dan intensitas cahaya yang besar [3]. Kemudian

pada tahun 2015 dilakukan penelitian oleh Mardlijah & Izzati

yang membahas mengenai model pertumbuhan alga pada

bioreactor fed-batch dan strategi pemberian makan yang optimal

menggunakan metode Prinsip Minimum Pontryagin [4].

Sedangkan penelitian untuk kendali optimal khususnya

kendali optimal yang bertujuan meningkatkan produksi biomassa

juga sering dilakukan. Salah satu contohnya adalah kendali

optimal untuk memaksimalkan hasil biomassa dengan

pengenceran nutrisi menggunakan Pontryagin Minimum Principle

oleh M. Samsul Ma’arif pada tahun 2016 [5]. Kemudian pada

tahun 2017 dilakukan kendali optimal pada karbondioksida dan

aliran nutrisi untuk memaksimalkan hasil biomassa menggunakan

Pontryagin Maximum Principle oleh Mardlijah, Ahmad Jamil,

Lukman Hanafi, dan Suharmadi Sanjaya [6]. Dan akhir-akhir ini

telah dilakukan penelitian oleh Yoshua Ardy P mengenai kendali

optimal pada model pertumbuhan alga yaitu model Thornton

dengan aliran nutrisi dan karbondioksida sebagai variabel kendali

menggunakan metode LQR [7].

8

2.2 Mikroalga

Menurut M.R. Droop [8] mikroalga adalah mikroorganisme

nabati yang hidup melayang-layang di dalam air, relatif tidak

mempunyai daya gerak sehingga keberadaannya dipengaruhi oleh

gerakan air serta mampu berfotosintesis. Mikroalga merupakan

mikroorganisme (ukuran 1-100 ) photosintetik yang

berpotensi digunakan untuk produk fine chemicals [9], unsur

tambahan makanan untuk manusia dan hewan, system immobile

pembetulan senyawa extraseluller, untuk biosorpsi logam, dan

fiksasi CO2 [10]. Pada umumnya mikroalga bersel satu atau

berbentuk benang, sebagai tumbuhan dan dikenal sebagai

fitoplankton. Sebagai dasar mata rantai pada siklus makanan di

laut, fitoplankton menjadi makanan alami bagi zooplankton baik

masih kecil maupun yang dewasa.

Mikroalga menggunakan cahaya untuk metabolisme CO2

menjadi biomassa (CH2O) dengan bantuan sinar dan air sesuai

dengan reaksi berikut:

CO2 + H2O + cahaya (CH2O) + O2

Reaksi tersebut disebut proses fotosintetik dimana oksigen juga

dihasilkan sebagai hasil selain CH2O. Cahaya yang digunakan

untuk proses fotosintetik dapat berupa cahaya sintetik ataupun

cahaya matahari yang sampai ke permukaan bumi sekitar 1500-

2500 . Mikroalga mengandung banyak senyawa yang

sangat potensial untuk dijadikan produk. Misalnya untuk produk

farmasi antara lain Eicospentaenoic acid (EPA) yang berguna

untuk status vascular tubuh manusia, Docosahexaenoic acid

(DHA) untuk jaringan saraf otak, -carotene sebagai pro-vitamin

A, dan Astaxanthin sebagai anti oksidan. Dua produk terakhir

telah dikomersilkan secara besar [7]. Mikroalga akhir-akhir ini

dieksplorasi dalam bidang bioenergi dikarenakan mikroalga juga

mempunyai kandungan karbon dan lipid yang tinggi. Beberapa

jenis mikroalga berpotensi sebagai sumber minyak dengan kadar

yang bervariasi tergantung jenis mikroalganya [10]. Pada Tabel

2.1 berikut akan disajikan jenis-jenis mikroalga beserta

kandungan minyaknya.

9

Tabel 2.1 Tabel Kandungan Minyak Mikroalga

No Mikroalga Kandungan Minyak (%)

1 Botrycoccus Braunii 25-75

2 Chlorella sp 28-32

3 Crypthecodinium Cohnii 20

4 Cylindrotheca sp 16-37

5 Dunaliella Primolecta 23

6 Isochrysis sp 25-33

7 Monallanthus Salina >20

8 Nannochloris sp 20-35

9 Nannochloropsis sp 31-68

10 Neochloris Oleoabundans 35-54

11 Nitzschia sp 45-47

12 Phaeodactylum Tricornutum 20-30

13 Schizochytrium sp 50-77

14 Tetraselmis Sueica 15-23 Sumber: Chisti, Y. “Biodiesel from Mikroalgae”. [11]

Menurut Kawaroe [12], komunitas mikroalga pada suatu

perairan dipengaruhi oleh kondisi lingkungan antara lain

temperatur (suhu), nutrien (unsur hara), intensitas cahaya, derajat

keasaman (pH), aerasi (sumber CO2), dan salinitas.

Mikroalga sama seperti tumbuhan lainnya yang melakukan

fotosintesis, yaitu mengasimilasi karbon anorganik untuk

dikonversi menjadi organik. Intensitas cahaya memegang peranan

yang sangat penting, namun intensitas cahaya yang diperlukan

tiap – tiap alga untuk dapat tumbuh secara maksimum berbeda –

beda. Intensitas cahaya yang diperlukan bergantung pada volume

dan densitas sel mikroalga. Semakin tinggi densitas dan volume

kultivasi semakin tinggi pula intensitas cahaya yang diperlukan.

Selain intensitas cahaya, fotoperiode (lama cahaya bersinar) juga

memegang peranan penting sebagai pendukung pertumbuhan

alga. Nannochloropsis oculata dapat hidup pada intensitas cahaya

2000-4000 lux. Nannochloropsis oculata tumbuh secara optimum

10

pada intensitas cahaya 4000 lux dengan menghasilkan total lipid

sebesar 38,32% [13].

2.3 Model Droop

Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh M.R. Droop [9,2]

sehingga diperoleh Persamaan yang disebut model Droop dengan

Persamaan sebagai berikut:

( ) (2.1)

( ) ( ) (2.2)

( ) (2.3)

Sedangkan Persamaan pertumbuhan mikroalga dan penyerapan

biomassa adalah sebagai berikut:

( ) (

) dan ( ) (

) (2.4)

dengan kondisi awal :

( ) ( ) ( )

Telah dibuktikan oleh Bernard dan Gouze [14] bahwa cell quota

akan bertahan diantara dua batas :

dimana

merepresentasikan cell quota maksimum

yang diperoleh dalam kondisi nutrisi tidak terbatas.

Pada Gambar 2.1 berikut akan disajikan diagram kompartemen

dari model Droop.

11

( )

( )

Gambar 2.1 Diagram Kompartemen Model Droop

2.4 Menambahkan efek cahaya pada pertumbuhan

mikroalga Menurut penelitian yang dilakukan oleh Olivier Bernard [2],

cahaya merupakan salah satu faktor yang memengaruhi

pertumbuhan mikroalga sehingga dapat ditambahkan efek cahaya

pada pertumbuhan mikroalga.

Pertama mempertimbangkan kasus di mana cahaya homogen

dalam reaktor, dengan intensitas cahaya . Intensitas cahaya

memiliki efek langsung terhadap pertumbuhan (fotosintesis),

sementara serapan nitrogen dapat berlanjut dalam kegelapan.

Cahaya kemudian dapat dimasukkan ke dalam parameter

( ) [2] :

( ) ( ) (

) (

) (

) (2.5)

dimana adalah koefisien cahaya setengah saturasi

Untuk mencegah kenaikan kuota yang tidak realistis dalam

kegelapan, maka digunakan mekanisme down regulation yang

diusulkan oleh Lehman dkk [15]:

𝑺 𝑸

𝑿

12

( ) (

) (

) (2.6)

dengan : tingkat serapan berhenti untuk sel yang penuh

.

2.5 Respirasi

Faktor respirasi juga memengaruhi pertumbuhan dan

perkembangan mikroalga dalam fotobioreaktor baik saat keadaan

terang maupun gelap. Respirasi cenderung mengurangi biomassa,

dari sudut pandang karbon, respirasi mengkonversi biomassa

menjadi karbondioksida [16]. Kemudian respirasi konstan yang

berlaku untuk nitrogen dan karbon, sehingga rasio nitrogen atau

karbon tidak terpengaruh [2]:

( ( ) ) (2.7)

Dapat diverifikasi bahwa Persamaan tidak berubah dengan

menambahkan respirasi.

Model droop setelah ditambahkan efek cahaya dan respirasi

menjadi :

(

) (

) (2.8)

(

) (

) (

) (

) (2.9)

(

) (

) (2.10)

Keterangan :

( ) : Cell quota

( ) : Konsentrasi biomassa

( ) : Konsentrasi nutrisi

( ) :Konsentrasi nutrisi external yang masuk pada diri

mikroalga

: Tingkat pengenceran

( ) : Pertumbuhan mikroalga

( ) : Penyerapan pada biomassa

13

:Pertumbuhan Maksimum pada mikroalga (kuota nitrogen

internal terbatas)

: Penyerapan Maksimum nutrisi biomassa

: Konstanta setengah saturasi

:Cell quota minimal (dibawah tingkat ini tidak ada

pertumbuhan alga)

: Respirasi

: Cahaya

: Koefisien cahaya setengah saturasi

Pada Tabel 2.2 berikut disajikan nilai dari parameter-

parameter yang akan digunakan dalam Tugas Akhir ini.

Tabel 2.2 Tabel Nilai Parameter

Parameter Nilai

1

0.4

1.2

0.073

1,7

0.07

0.0012

20

0.25

0.05 Sumber: Bernard, O., Grognard, Frederic., and Masci, P. “Microalgal

biomass surface productivity optimization based on a photobioreactor

model”. [2].

2.6 Titik Setimbang

Titik setimbang merupakan titik tetap yang tidak berubah

terhadap waktu.

Pandang Persamaan differensial berikut:

( ) (2.11)

14

( ) (2.12)

( ) (2.13)

Sebuah titik ( ) merupakan titik kesetimbangan dari

Persamaan (2.11), (2.12), dan (2.13) jika memenuhi

( ) , ( ) , dan ( ) .

Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang

fungsi konstan

( ) ( ) ( ) adalah penyelesaian kesetimbangan dari Persamaan (2.8), (2.9),

dan (2.10) untuk semua .

Definisi 2.1 [17]

Titik yang memenuhi ( ) disebut suatu titik

setimbang.

2.7 Analisis kestabilan lokal

Pada penelitian ini akan dibahas mengenai analisa kestabilan

pada model pertumbuhan alga. Dikarenakan model berbentuk

nonlinier sehingga untuk menganalisis kestabilan menggunakan

transformasi kestabilan lokal di sekitar titik setimbang dengan

pendekatan Deret Taylor untuk mencari suatu solusi dari sistem

di sekitar titik setimbang ( ).

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

(2.14)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Dimana disebut sebagai bagian nonlinear yang

selanjutnya dapat diabaikan karena nilainya mendekati nol.

15

Dari Persamaan (2.14) akan terbentuk suatu model matematika

yang linier dari sistem nonlinier dengan pendekatan Deret Taylor.

Selanjutnya, dilihat dari sistem ( ) di sekitar titik

setimbang ( ) dan kondisi setimbangnya ketika

( ) . Maka Persamaan (2.14) dapat ditulis menjadi :

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(2.15)

( ) ( )

( )

( )

( )

selanjutnya didefinisikan

didapat derivatifnya adalah

( ) ( ) ( )

sehingga ( ) dan diperoleh

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

16

jika dinyatakan dalam bentuk matriks maka diperoleh :

(

,

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

(

, (2.16)

dapat juga ditulis menjadi

( ( ))

dengan ( ( )) merupakan matriks Jacobian dari fungsi di

titik kesetimbangan .

Definisi 2.2 [18]

Diberikan fungsi dengan ( ), dan himpunan terbuka. Matriks

( ( ))

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

dinamakan matriks Jacobian dari

Matriks Jacobian ( ( )) dapat digunakan untuk

mengidentifikasi kestabilan dari sistem nonlinier di sekitar titik

setimbang dengan syarat titik kesetimbangan tersebut

hiperbolik.

17

Definisi 2.3 [18]

Titik kesetimbangan dikatakan hiperbolik jika semua nilai eigen

matriks Jacobian ( ( )) mempunyai bagian real tak nol.

Definisi 2.4 [18]

Suatu titik kesetimbangan pada sistem Persamaan differensial

( ) dikatakan

i. Stabil jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ))

mempunyai bagian real negatif.

ii. Tidak stabil jika semua nilai eigen matriks Jacobian

( ( )) mempunyai bagian real positif.

Pelana (saddle) jika titik setimbang hiperbolik dan terdapat nilai

eigen matriks Jacobian ( ( )) mempunyai bagian real positif

dan negatif.

2.8 Kriteria Routh-Hurwitz

Nilai-nilai karakteristik dari matriks adalah akar-akar

karakteristik dari polynomial

( ) ( )

dengan . Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz dapat dipakai

untuk mengecek langsung kestabilan koefisien tanpa

menghitung akar-akar dari polynomial yang ada.

Diberikan suatu polynomial

( ) ( )

susun Tabel sebagai berikut :

Q

18

dimana dan secara rekursif didapat dari :

Bila pada kolom pertama dalam Tabel tidak ada perubahan tanda

(semuanya bertanda positif atau semuanya bertanda negatif),

maka semua akar polynomial ( )bagian realnya adalah tak

positif dan sistem ini dikatakan stabil [17].

2.9 Analisis Keterkontrolan

Selanjutnya analisis keterkontrolan sistem yang bermanfaat

dalam menstabilkan sistem. Jika sistem tidak terkontrol maka

solusi dari sebuah permasalahan kendali optimal tidak dapat

diperoleh.

Diberi suatu sistem

( ) ( ) ( ) ( )

disebut terkontrol jika rank dari matriks keterkontrolan sama

dengan matriks , dengan matriks keterkontrolan [ | | | | .

Teorema 2.1 [17]

Syarat perlu dan cukup sistem terkontrol adalah matriks [ | | | | . mempunyai rank yang sama dengan .

2.10 Prinsip Minimum Pontryagin Prinsip Minimum Pontryagin digunakan untuk memperoleh

penyelesaian kendali optimal yang sesuai dengan tujuan, yaitu

memaksimumkan fungsi tujuan dimana kendali 𝒖( ) terbatas pada

(𝒖( ) 𝒰). Hal ini telah dikembangkan oleh L. S.Pontryagin dan

rekan kerjanya pada tahun 1950 yang diaplikasikan untuk semua

19

masalah kalkulus variasi. Oleh karena itu, prinsip ini biasa disebut

dengan Prinsip Minimum Pontryagin.

Prinsip ini menyatakan secara informal bahwa Persamaan

Hamiltonian akan dimaksimumkan sepanjang 𝒰 yang merupakan

himpunan kendali yang mungkin [19]. Hasilnya juga dapat

dinamakan Prinsip Minimum Pontryagin karena mempunyai

pengertian yang sama antara meminimalkan dan memaksimalkan

dengan mengalikan (-1) pada fungsi tujuan. Prosedur

menyelesaikan kendali optimal dengan menggunakan Prinsip

Minimum Pontryagin adalah sebagai berikut:

Diberikan Persamaan: ( ( ) ( ) ).

Diberikan indeks performansi:

( ( ) ) ∫ ( ( ) ( ) )

dan kondisi batas

( ) ( ) .

Maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah:

a. Bentuk fungsi Pontryaginnya (Hamilton).

( ( ) ( ) ( ) )

( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )

b. Maksimumkan terhadap semua vektor kendali ( ).

(

) dan diperoleh ( ) ( ( ) ( ) )

c. Gunakan hasil dari langkah (b) ke dalam langkah (a) dan

tentukan yang optimal.

( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

d. Menyelesaikan persamaan state dan costate sebagai berikut :

( ) (

) dan ( ) (

)

20

dengan kondisi awal dan kondisi akhir *

+

*(

) ( )+

e. Untuk memperoleh kendali optimal, substitusikan solusi

( ) ( ) dari langkan (d) ke dalam ekspresi optimal kendali

pada langkah (b).

21

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

Metodologi penelitian yang digunakan dalam tugas akhir ini

dibagi menjadi beberapa tahapan-tahapan penelitian dan diberikan

diagram alir untuk mempermudah memahami tahapan-tahapan

pengerjaan Tugas Akhir.

1. Studi Literatur

Pada tahap ini akan mencari referensi yang menunjang

penelitian yang bersumber dari buku-buku, jurnal, tugas

akhir, artikel, dan lain-lain. Refrensi yang dicari berkaitan

dengan mikroalga, model Droop, kestabilan sistem,

Prinsip Minimum Pontryagin, dan lain-lain.

2. Mencari titik setimbang dan menganalisa kestabilan

sistem di sekitar titik setimbang

Pada tahap ini akan mencari titik setimbang dari

model Droop yang telah dinondimensionalkan sehingga

mampu menentukan kestabilan sistem dari nilai

karakteristik yang didapat.

3. Menentukan keterkontrolan sistem

Pada tahap ini akan dilakukan analisa keterkontrolan

dari sistem. Jika sistem terkontrol maka dapat dilakukan

kendali optimal pada sistem tersebut.

4. Desain kontrol

Pada tahap ini akan ditentukan kontrol yang optimal

dari model Droop tersebut sehingga pertumbuhan

mikroalga dapat maksimal dengan tingkat intensitas

cahaya tertentu.

22

5. Penyelesaian kontrol

Pada tahap ini akan dilakukan penyelesaian kontrol

yang optimal dengan Prinsip Minimum Pontryagin.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

a. Membentuk fungsi Hamiltonian

b. Menentukan Persamaan state dan costate

c. Menentukan kontrol optimal berdasarkan

keadaan stasioner.

6. Simulasi dan analisis hasil simulasi

Tahap ini akan dilakukan setelah melakukan

penyelesaian kontrol secara analitik. Software yang akan

digunakan adalah MATLAB kemudian akan dilakukan

analisis dari hasil simulasi yang didapat.

7. Penarikan kesimpulan dan pemberian saran

Penarikan kesimpulan akan dilakukan setelah

menganalisis jumlah biomassa sebelum dan sesudah

dilakukan kontrol dan menganalisis hasil simulasi

menggunakan MATLAB.

23

Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian

Titik Setimbang

Studi Literatur

Analisis Kestabilan

Desain Kontrol

Penyelesaian Kontrol

Simulasi dan Analisis

Penarikan Kesimpulan

Penulisan Tugas Akhir

Selesai

Mulai

Analisis Keterkontrolan

25

BAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan ditentukan kendali optimal dari model

pertumbuhan alga untuk mendapatkan hasil biomassa yang

maksimal. Sebelum ditentukan kendali optimal, akan dilakukan

analisis dinamik terlebih dahulu terhadap model tersebut, meliputi

analisis kestabilan dan keterkontrolan. Setelah itu akan ditentukan

kendali optimal menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin dan

kemudian hasilnya akan disimulasikan di MATLAB menggunakan

metode Runge Kutta Orde 4.

4.1 Analisis Dinamik pada Model Pertumbuhan Alga

Pada penelitian ini digunakan model pertumbuhan alga dari

penelitian yang telah dilakukan oleh Olivier Bernard dkk [2],

sebagai berikut :

(

) (

) (4.1)

(

) (

) (

) (

) (4.2)

(

) (

) (4.3)

Namun sebelum dilakukan analisis dinamik pada model

pertumbuhan alga, model tersebut akan diubah terlebih dahulu

dalam bentuk nondimensional dengan tujuan untuk memudahkan

perhitungan dengan cara menghilangkan satuannya. Berikut adalah

pemisalan dari bentuk nondimensional :

;

;

;

26

Dengan memasukkan pemisalan dari bentuk nondimensional

pada Persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) menjadi :

(

) (

) (4.4)

(

) (

) (

) (

) (4.5)

(

) (

) (4.6)

Kemudian didapat bentuk nondimensional dari model

pertumbuhan alga sebagai berikut :

( )

(4.7)

( )

( ) (4.8)

(

) (4.9)

Kemudian akan ditentukan titik setimabang, analisis kestabilan,

dan analisis keterkontrolan menggunakan model nondimensional

pertumbuhan alga.

3.1.1 Menentukan Titik Setimbang

Menentukan titik setimbang model pertumbuhan mikroalga

dari Persamaan (4.7), (4.8), dan (4.9) yang kemudian dapat

dinyatakan sebagai ( ).

[

]

( [

] *

atau

(4.10)

27

Dari Persamaan (4.10) didapat dua keadaan yaitu nilai atau

yang akan digunakan untuk mencari titik setimbang

yang lainnya.

a. Untuk akan diperoleh titik setimbang ( ) dengan memasukkan ke dalam

Persamaan (4.7) dan (4.8).

( )

( )

( ( )

)

( ( ) ( )

)

(4.11)

( )

[

(

*

28

( )

( )

( )( )

( )( ) (4.12)

Sehingga diperoleh titik setimbang ( ) yaitu

( ( )( )

( )( ) )

atau

( ( )( )

( )( ) ) ( ) (4.13)

b. Untuk

akan diperoleh titik setimbang

( ) dengan memasukkan

ke

dalam Persamaan (4.7) dan (4.8).

Selanjutnya perhitungan terdapat pada lampiran 1 sehingga

diperoleh titik setimbang batas biomassa yaitu ( ) dimana

( )

( )( )( ) ( ) ( )

[ ( ( ) ( ) ) [( )( )

( ) ( ) ( )]

*( )( ( ) ( ))( ) ( ) ( )+

[ ( ( ) ( ) )

(

)

atau ( ) ( )

29

3.1.2 Analisis Kestabilan

Setelah diperoleh dua titik setimbang dari model

nondimensional pertumbuhan alga, selanjutnya akan dilakukan

analisis kestabilan dari model nondimensional pertumbuhan alga.

Untuk melakukan analisis pada Persamaan (4.7), (4.8), dan (4.9)

adalah dengan cara menganalisis transformasi kestabilan lokal di

sekitar titik setimbang dari sistem menggunakan pendekatan Deret

Taylor.

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

selanjutnya didefinisikan

didapat derivatifnya yaitu

( ) ( ) ( )

30

sehingga diperoleh

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Jika dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh :

( +

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

(

+

Persamaan (4.7) – (4.9) dapat dimisalkan sebagai berikut:

( ) ( )

(4.14)

( ) ( )

[ (4.15)

( ) *

+ (4.16)

Maka dari Persamaan (4.14) – (4.16) dapat diperoleh :

a. ( )

( ( )

)

( )

( )

b. ( )

( ( )

)

31

c. ( )

( ( )

)

( )

d. ( )

( ( )

[ )

( )

( )

e. ( )

( ( )

[ )

f. ( )

( ( )

[ )

g. ( )

( *

+ )

h. ( )

( *

+ )

i. ( )

( *

+ )

*

+

dengan memisalkan nilai nilai dari matriks diperoleh :

a. ( )

( )

( )

b. ( )

c. ( )

( )

d. ( )

( )

( )

e. ( )

f. ( )

g. ( )

h. ( )

i. ( )

*

+

32

Kemudian substitusikan setiap nilai ke dalam bentuk matriks

diperoleh

( + (

+(

+

atau dapat ditulis matriks Jacobiannya

( + ( ( )) (

+ (4.17)

selanjutnya matriks Jacobian dapat digunakan untuk

mengidentifikasi kestabilan sistem nonlinier di sekitar titik

setimbang. Kemudian akan dicari Persamaan karakteristik dari

matriks Jacobian menggunakan

| ( ( ))| sehingga

|

|

Dari titik setimbang ( ( )( )

( )( ) ) diperoleh:

( )

( )

( )

((( )( )

( )( ) * )

( )

( )

( (( )( )

( )( ) *)

( )

33

(

*

( ( )( )

( )( ) )

Kemudian dapat dibentuk matriks yang baru dengan pemisalan

diatas dan akan dicari Persamaan karakteristik dari matriks

Jacobian menggunakan

| ( ( ))| sehingga didapat

|

|

( )( )( )

sehingga akan diperoleh nilai eigen dari akar karakteristiknya

sebagai berikut:

(( )( ) ( )( )

( )( ) )

34

Berdasarkan definisi (2.4) maka sistem di sekitar titik setimbang

bersifat stabil karena nilai eigen yang diperoleh bernilai negatif.

Dari titik setimbang ( ) diperoleh:

( )

( )

( )

( )

( )

(

*

Kemudian dapat dibentuk matriks yang baru dengan pemisalan

diatas dan akan dicari Persamaan karakteristik dari matriks

Jacobian menggunakan

| ( ( ))|

sehingga didapat

|

|

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

35

untuk mempermudah menentukan kestabilannya, dapat

menggunakan kriteria Routh Hurwitz

|

dari Tabel terlihat kolom pertama tidak ada perubahan tanda

(semuanya bertanda positif). Jadi semua akar-akar polynomial

bagian realnya tak positif sehingga sistem di sekitar titik setimbang

bersifat stabil.

3.1.3 Analisis Keterkontrolan

Untuk dapat menganalisis keterkontrolan dibutuhkan sistem

yang telah dilinierkan. Setelah dilakukan pelinieran di sekitar titik

setimbang menggunakan Jacobian dengan memisalkan matriks

maka diperoleh :

(

+ (4.18)

dan matriks

(

( )

( )

( )

)

(

( ( )

)

( ( )

[ )

( *

+ )

)

(

( )

(

)) (

+ (4.19)

36

Berdasarkan Teorema 2.1 maka dapat disusun matriks

keterkontrolan ( ) sebagai berikut:

( | | )

Untuk matriks diperoleh :

(

+(

+

(

+ (

+ (4.20)


(

+(

+

(

+ (

+ (4.21)

Jadi dapat dibentuk matriks keterkontrolan sebagai berikut :

(

|

|

+ (4.22)

Kemudian disubstitusikan nilai titik setimbang dan parameter.

Matriks keterkontrolan yang diperoleh pada (4.22) dapat dianalisa

bahwa rank ( ) . Dengan demikian sesuai Teorema 2.1

sistem dinamik dari model pertumbuhan alga bersifat terkontrol.

37

4.2 Penyelesaian dengan Kendali Optimal

Penyelesaian kendali optimal pada sistem ini digunakan untuk

memaksimalkan produksi biomassa dari mikroalga dengan

mengoptimalkan intensitas cahaya. Dari Persamaan (4.7) – (4.9),

akan dicari kendali optimalnya menggunakan Prinsip Minimum

Pontryagin.

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Persamaan diferensial model nondimensional pertumbuhan

alga.

( )

(4.23)

( )

( ) (4.24)

(

) (4.25)

2. Membentuk fungsi tujuan

Sesuai dengan tujuan dari penelitian ini yaitu

memaksimalkan produksi biomassa dari mikroalga ( ) melalui

intensitas cahaya ( ) dan adalah bobot biaya intensitas

cahaya.

Dari permasalahan berikut maka fungsi tujuannya adalah

sebagai berikut :

( ) ∫ ( ( )

)

(4.26)

3. Langkah-langkah penyelesaiannya :

a. Bentuk fungsi Hamilton

( ) ( ( )

) ∑

38

( ) ( ( )

) (

( )

)

( ( )

( )) ( (

)

) (4.27)

b. Memaksimumkan terhadap vektor kendali ( )

( ( )) ( (

*+

( ( )) ( (

*+

( ( )) ( ( ))

Sehingga didapat Persamaan kendali optimal yaitu

( ( )) ( (

))

(4.28)

c. Menentukan yang optimal

(

) (

( )

) (

( )

( )) (

(

) )

39

(

( ( ( )) ( (

))

,

)

(

( )

)

( ( )

(

( ( )) ( (

))

)( ))

( ( ( ( )) ( (

))

) (

) )

(

( ( ( )) ( (

))+

)

(

( )

)

( ( )

(

( ( )) ( (

))

)( ))

( ( ( ( )) ( (

))

) (

) )

(( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

( ( )

) (

( )

(

40

* ( )* ((

*(

) )

(( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

( ( )

) (

( )

(

* ( )* ((

*(

) ) (4.29)

d. Menyelesaikan Persamaan state dan costate untuk

mendapatkan sistem yang optimal

Persamaan state:

( )

( )

(4.30)

( )

( )

( )

( )

( )

41

(

)

( )

(

)

( )

( ( ) (

))

( )

(4.31)

( )

( )

( )

( )

(

)

42

(

)

( (

) (

)) (4.32)

Persamaan costate:

( )

( ( ( )

( ) ) (

( )

( ) ))(4.33)

( )

(( ( )

( )

( )

( )

) (

) (

* (

*)

(

(

*

(

) (

(

))

(

(

))+ (4.34)

43

( )

((

( )

( )

( )

) (

( )

)

(

) ((

*

)+

(

(

)

( ( )

) (

(

)) ((

(

)) +)

(

( (

) (

))

( ( )

) (

(

)) ((

( (

) (

))+ ), (4.35)

44

Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan Persamaan state

dan costate yang membentuk Persamaan diferensial tak linier.

Karena penyelesaiannya tidak mudah didapatkan secara analitik,

maka akan diselesaikan secara numerik. Pada Tugas Akhir ini akan

digunakan BVP4C Matlab untuk menyelesaikan sistem Persamaan

diferensial. BVP4C adalah fungsi yang digunakan untuk

menyelesaikan sistem Persamaan diferensial dengan masalah nilai

batas secara numerik.

45

4.3 Simulasi dan Analisis

Pada sub bab ini akan dilakukan simulasi dari sistem Persamaan

diferensial model pertumbuhan alga menggunakan Matlab dengan

nilai parameter pada Tabel 2.2. Kemudian akan dilakukan analisis

dari hasil simulasi sistem Persamaan diferensial. Berikut ini akan

ditunjukkan flow chart dari simulasi yang akan dilakukan.

Gambar 4.1 Flow Chart Simulasi

Mulai

Masukkan nilai awal (𝑆 𝑄 𝑋), parameter

(𝑆𝑖𝑛 𝐷 𝐼 𝑟 𝐾𝑠 𝐾𝐼 𝑄𝑙 𝑄𝑜 �� ), bobot

biaya (𝑐), dan waktu (𝑡𝑓)

𝑑𝑦

𝑑𝑡

BVP4C (odefun, bcfun, so1init)

function 𝑑𝑦

𝑑𝑥= odefun (𝑥 𝑦)

function res = bcfun (𝑦𝑎 𝑦𝑏)

so1init = bvpinit (𝑥 𝑦𝑖𝑛𝑖𝑡)

Selesai

Menampilkan hasil simulasi

46

4.3.1 Hasil simulasi sebelum diberi kendali optimal

Dalam sub bab ini dilakukan simulasi pada model pertumbuhan

alga dengan nilai awal yang sudah diberikan sebelum diberi

kendali optimal yang artinya tidak ada satu parameter atau variabel

yang dikendalikan.

Gambar 4.2 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal

( ) ( )

Dari Gambar 4.2 menunjukkan hasil simulasi dalam waktu 2

dengan kondisi awal nutrisi sebesar 20, cell quota sebesar 10, dan

biomassa sebesar 1.825. Dari grafik terlihat bahwa biomassa

mengalami penurunan secara terus menerus, kondisi ini juga

berhubungan nutrisi dan cell quota yang mengalami penurunan

secara terus menerus.

47


( ) ( )



biomassa sebesar 2.825. Dari grafik terlihat bahwa biomassa juga

mengalami penurunan secara terus menerus seperti Gambar 4.2.

48


( ) ( )



biomassa sebesar 2.825. Dari grafik terlihat bahwa biomassa

mengalami penurunan dan menuju ke nol dimulai saat waktu 3,

salah satu penyebab kondisi ini terjadi karena masukkan nutrisi

berhenti. Nutrisi yang masuk mula-mula sebesar 25 kemudian

mengalami penurunan dan stabil pada frekuensi sebesar 1. Begitu

pula dengan cell quota yang mula-mula sebesar 15 mengalami

penurunan dan kemudian stabil pada frekuensi sebesar 4.16.

Dari ketiga Gambar simulasi diatas dapat diambil kesimpulan

bahwa nutrisi, cell quota, dan biomassa selalu mengalami

penurunan dan kemudian stabil pada titik tertentu walaupun

dengan kondisi awal yang berbeda-beda.

49

4.3.2 Hasil simulasi setelah diberi kendali optimal

Dalam sub bab ini dilakukan simulasi pada model pertumbuhan

alga dengan adanya kendali optimal menggunakan Matlab dan nilai

parameter sesuai pada Tabel 2.2.


( ) ( )

Dari Gambar 4.5 menunjukkan simulasi hasil biomassa dengan

adanya pengendalian tingkat intensitas cahaya. Dari grafik dapat

terlihat bahwa biomassa yang mula-mula sebesar 1.825 mengalami

kenaikan hingga waktu 2 dan hampir mencapai frekuensi 4 dengan

kondisi nutrisi dan cell quota yang tidak terlalu berubah

dibandingkan kondisi sebelum dilakukan kendali optimal.

Sehingga dengan adanya pengendalian tingkat intensitas cahaya

mampu menghasilkan biomassa yang lebih banyak dua kali lipat

lebih banyak dari kondisi awal. Pada simulasi dengan ( )

( ) menggunakan bobot biaya sebesar 42.

50

Gambar 4.6 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi

awal ( ) ( )

Dari Gambar 4.6 menunjukkan perilaku hasil biomassa dengan

adanya pengendalian tingkat intensitas cahaya. Dari grafik dapat

terlihat bahwa biomassa yang mula-mula sebesar 2.825 mengalami

kenaikan hingga waktu 2 dan mencapai frekuensi kurang lebih 6.5

dengan kondisi nutrisi dan cell quota yang tidak terlalu berubah

dibandingkan kondisi sebelum dilakukan kendali optimal.

Sehingga dengan adanya pengendalian tingkat intensitas cahaya

mampu menghasilkan biomassa yang lebih banyak dua kali lipat

lebih dari kondisi awal. Pada simulasi dengan ( )

( ) menggunakan bobot biaya sebesar 63.

Dari kedua Gambar diatas dapat disimpulkan bahwa dengan

adanya kendali optimal pada tingkat intensitas cahaya mampu

menghasilkan biomassa yang lebih banyak dibandingkan dengan

kondisi awalnya. Dengan kondisi awal biomassa yang banyak

maka akan didapat hasil biomassa yang banyak pula setelah

dilakukan kendali optimal.

51

Kemudian akan ditampilkan pula hasil simulasi untuk kendali

optimal tingkat intensitas cahaya.

Gambar 4.7 Simulasi tingkat intensitas cahaya

Pada Gambar 4.7 terlihat bahwa grafik tingkat intensitas

cahaya mula-mula sebesar 0.17 kemudian naik sampai waktu 0.6

dan selanjutnya mengalami penurunan secara terus menerus hingga

tanpa ada cahaya pada waktu 2. Artinya, intensitas cahaya yang

diberikan sebesar 0.17 kemudian meningkat sampai waktu 0.6 dan

menjadi sebesar 0.17 lagi pada waktu 1 dimana proses fotosintesis

sedang terjadi dengan baik pada waktu 0 sampai 1. Kemudian

cahaya meredup hingga akhirnya tidak ada cahaya pada waktu 2

yang artinya tumbuhan alga mulai proses respirasi dimana hasil

dari respirasi ini dibutuhkan alga untuk tumbuh dan bereproduksi.

Jadi pada saat tiadanya cahaya maka proses fotosintesis melambat

atau berhenti, pada saat inilah tumbuhan alga melakukan proses

respirasi.

52

Dari hasil simulasi sebelum diberi kendali optimal dan setelah

diberi kendali optimal, dapat diambil kesimpulan bahwa hasil

setelah diberi kendali optimal sangat baik dan signifikan

peningkatannya. Hasil biomassa yang didapat mencapai dua kali

lipat dari kondisi awalnya yaitu ( ) ( ) dan

( ) ( ). Sedangkan untuk intensitas cahaya

sendiri mula-mula sebesar kemudian meningkat tetapi setelah

itu mengalami penurunan yang artinya tumbuhan alga tidak hanya

melakukan fotosintesis terus-menerus namun juga membutuhkan

reproduksi dengan kondisi minimnya cahaya.

53

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini berisis tentang kesimpulan yang dihasilkan

berdasarkan penelitian yang telah dilakukan serta saran yang

diberikan jika penelitian ini ingin dikembangkan.

5.1 Kesimpulan

Dari analisis dan pembahasan yang telah disajikan pada bab

sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:

1. Sistem dinamik pada model pertumbuhan alga bersifat

stabil dan terkontrol pada titik setimbang ( ) dan ( )

2. Berdasarkan kondisi awal yang diberikan, hasil simulasi

dengan peningkatan biomassa paling besar setelah

diberikan kendali dan tanpa kendali terdapat pada

( ) ( ). 3. Dilakukannya kendali optimal pada intensitas cahaya

mampu menghasilkan biomassa yang lebih banyak

dibandingkan tanpa kendali. Artinya intensitas cahaya

memiliki peranan penting dalam pertumbuhan mikroalga

sehingga menghasilkan biomassa yang lebih banyak.

Intensitas cahaya yang optimal terjadi pada waktu

sebesar .

4. Hasil simulasi paling baik adalah ketika nilai bobot . Jika diberikan nilai bobot semakin kecil atau semakin

besar, maka tujuan dari mengoptimalkan pertumbuhan

mikroalga tidak akan tercapai.

5.2 Saran 1. Adapun saran dari Tugas Akhir ini adalah pada penelitian

berikutnya dapat diterapkan metode lain dalam

penyelesaian kendali optimalnya.

2. Dapat pula dikembangkan dengan model yang berbeda.

55

DAFTAR PUSTAKA

[1] Gross, Martin. (2013). “Development and Optimization of

Algal Cultivation System”. Graduate Theses and Dissertations.

Paper 13138.

[2] Bernard, O., Grognard, Frederic., and Masci, P. (2004).

“Microalgal biomass surface productivity optimization based

on a photobioreactor model”. INRIA-Project COMORE, 2004

route des lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex,

France.

[3] Virama, H.C.M. (2015). “Analisis Model Droop Untuk

Pertumbuhan Mikroalga terhadap Keterbatasan Nutrisi”.

Tugas Akhir Jurusan Matematika. Surabaya, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi

Sepuluh Nopember.

[4] Mardlijah & Izzati. (2015). “Optimal Feeding Strategy on

Microalgae Growth in Fed-Batch Bioreactor Model”.

International Journal of Computing Science and Applied

Mathematics. Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

[5] Ma’arif, Muhammad Samsul. (2016). “Optimasi Pertumbuhan

Mikroalga dengan Pengenceran Nutrisi Menggunakan Kendali

Optimal Untuk Memaksimalkan Hasil Biomassa”. Tugas Akhir

Jurusan Matematika. Surabaya, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

[6] Mardlijah., Jamil,A., Hanafi,L., dan Sanjaya,S. (2017).

“Optimal Control of Growth by Controlling CO2 and Nutrition

Flow using Pontryagin Maximum Principle”. International

Conference on Applied & Industrial Mathematics and

Statistics.

[7] Putra, Yoshua Ardy. (2018). “Kendali Optimal Pada Model

Pertumbuhan Alga Dengan Aliran Nutrisi dan Karbondioksida

Sebagai Variabel Kendali Menggunakan Metode LQR”. Tugas

Akhir Departemen Matematika. Surabaya, Fakultas

Matematika, Komputasi, dan Sains Data Institut Teknologi

Sepuluh Nopember.

56

[8] Droop, M.R. (1968). Vitamin B12 and marine ecology. IV.

The kinetics of uptake growth and inhibition in

Monochrysislutheri. J. Mar. Biol. Assoc. 48 (3) (1968) 689–

733.

[9] Borowitszka, M.A. (1999). Pharmaceuticals and agrochemicals

from microalgae. In: Cohen Z (Ed). Chemicals from

Microalgae. Taylor & Francis: 313-352.

[10] Hadiyanto, I. dkk. (2010). “Produksi Mikroalga

Berbiomassa Tinggi dalam reactor Open Pond”. Prosiding

Seminar Nasional Teknik Kimia “Kejuangan”, (2010, Jan.),

1-6.

[11] Chisti, Y. (2007). Biodiesel from Mikroalgae. Biotechnology

Advances 25:294-306.

[12] Kawaroe. (2010). “Mikroalga Potensi dan Pemanfaatannya

untuk Produksi Bio Bahan Bakar”. Bogor: IPB Press.

[13] Budiman. (2009). “Penentuan Intensitas Cahaya Optimum

pada Pertumbuhan dan Kadar Lipid Mikroalga

Nannochloropsis Oculata”. Tesis. Institut Teknologi Sepuluh

Nopember, Surabaya.

[14] Bernard, O. and Gouze, J.L. (1995). “Transient Behavior of

Biological Loop Model, with Application to the Droop Model”.

Mathematical Biosciences, 127(1), 19-43.

[15] Lehman, J.T., Botkin, D.B., and Likens, G . (1975) . “The

assumptions and rationales of a computer model of

phytoplankton population dynamics”. Limn. & Oceanogr., 20,

343-364.

[16] Bernard, O., Grognard, Frederic., Masci, P., and

Akhmetzhanov, A.R. (2010). “Optimization of a

photobioreactor biomass production using natural light”.

Rapport de recherche. France, Institut National De Recherche

En Informatique Et En Automatique.

[17] Subiono (2013), Sistem Linier dan Kontrol Optimal, Jurusan

Matematika FMIPA-ITS Surabaya.

57

[18] Perko, Lawrence. (2001). Differential Equations and Dynamical

System. USA : Department of Mathematics Nothern Arizona

University.

[19] Naidu, D.S. (2003) . Optimal Control Systems. CRC Press:

Manchester, United States of America.

59

LAMPIRAN 1

( )

( )

( (

*)

((

* +

(

*

( ( )

)

(( )(

)

)

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

60

( )( )

( )

( )( )

( )( )(

) ( )( )

( )( )(

)

( )( )(

)

61

[( )( )(

)

]

( )( )( )

( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )

62

( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) ( ) ( )

(

)

( )

( )( )( ) ( ) ( )

(( )( )( ) ( ) ( ))

( )

(

)

[ ( ( ) ( ) ) [( )( )( ) ( ) ( )

*( )( ( ) ( ))( ) ( ) ( )+[ ( ( ) ( ) )

(

)

.

63

LAMPIRAN 2

Keterkontrolan

(

+ dan (

( )

(

)) (

+

dengan

( )

( )

( )

( )

( )

(

*


(

+(

+

(

+ (

+

64

dengan

(

* ( ( )) (

( )

* ( (

)*

(

* ( ( ))

(

) ( ( )) ( (

) ) ( (

))

Untuk matriks diperoleh

(

+(

+

(

+ (

+

dengan

( ( )

( ) )((

) ( ( ))

( ( )

) ( (

))) (

) (

)

( ( )

)((

) ( ( )) ( (

)

) ( (

)))

65

( ( )

( ) )((

) ( ( )) (

( )

) ( (

))) (

)((

) ( ( )))

(

)((

) ( ( ))) ( (

) )((

) ( ( )) ( (

)

) ( (

)))

Selanjutnya dilakukan perhitungan dengan memasukkan nilai

parameter dan dilakukan Operasi Baris Elementer sehingga didapat

matriks

|

|

Dapat dilihat bahwa rank dari ( )

67

BIODATA PENULIS

Penulis yang mempunyai nama lengkap

Rizky Nur Ardiansyah lahir di Sidoarjo pada

tanggal 13 Juni 1996. Penulis merupakan

anak tunggal dari Bapak Heru Pratoyo dan

Ibu Wiwik Kadarwati. Penulis telah

menempuh pendidikan formal di SD Negeri

Tandes Kidul II Surabaya, SMP Negeri 26

Surabaya, dan SMA Negeri 1 Surabaya.

Setelah menamatkan jenjang formal, penulis

yang biasa dipanggil “Sinyo” melanjutkan

studi di Departemen Matematika ITS melalui

jalur SNMPTN dengan NRP 06111440000044 dan selama kuliah

penulis mengambil bidang minat Matematika Terapan khususnya

bidang Pemodelan dan Simulasi Sistem. Selama menjalani masa

perkuliahan, penulis aktif dalam Himpunan Mahasiswa

Matematika ITS sebagai staf PSDM 2015/2016, Kepala Divisi

SRD 2016/2017, dan Tim AD-HOC PPSDM HIMATIKA. Selain

itu penulis juga aktif dalam Lembaga Dakwah Departemen

Matematika Ibnu Muqlah sebagai staf Big Event 2015/2016 dan

Kepala Departemen Syiar 2016/2017. Penulis juga pernah

mengikuti pelatihan-pelatihan LKMM maupun non-LKMM dan

lain sebagainya.

TUGAS AKHIR SM141501 OPTIMASI PERTUMBUHAN …

Documents

Transcript of TUGAS AKHIR SM141501 OPTIMASI PERTUMBUHAN …