1

TRIPEL PYTHAGORAS PRIMITIF DARI SATU PECAHAN CAMPURAN

YANG MEMENUHI ATURAN MICHAEL STIFEL

Ummi Rachmawati

Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika

ummir59@gmail.com

Abstrak

Makalah ini berisi tentang metode untuk membentuk tripel Pythagoras primitif.

Adapun metode yang dimaksud yaitu metode satu pecahan campuran yang mana

dalam hal ini pecahan campuran yang dimaksud adalah pecahan campuran yang

memenuhi aturan Michael Stifel. Tujuan penulisan makalah ini adalah

menjelaskan suatu metode pembentuk tripel Pythagoras yang mempunyai jenis

primitif.

Kata Kunci: Pecahan, Tripel Pythagoras, Tripel Pythagoras Primitif, Aturan

Michael Stifel

2

1. PENDAHULUAN

Pythagoras pastilah bukan sesuatu yang asing di telinga kita bukan? Ini

dikarenakan pembelajaran Pythagoras sudah diajarkan sejak Sekolah Dasar (SD).

Pythagoras juga berkaitan erat dengan kehidupan sehari-hari. Misal dalam sebuah

perlintasan, jarak terpendek selalu menjadi alternatif kita untuk cepat sampai ke

tujuan. Pythagoras digunakan dalam segitiga siku-siku. Dari satu segitiga siku-

siku akan menghasilkan tiga bilangan asli dengan satu bilangan asli pada tiap-tiap

sisinya. Tiga bilangan asli yang memenuhi Teorema/Dalil Pythagoras disebut

dengan Tripel Pythagoras. Cara untuk mencari tripel Pythagoras primitif akan

dibahas dalam makalah ini yang berjudul “tripel pythagoras primitif dari satu

pecahan campuran yang memenuhi aturan Michael Stifel”.

2. MATERI PENUNJANG

2.1 Bilangan Pecahan

Pecahan adalah bagian dari suatu benda dan menunjukkan satu bagian dari

total keseluruhan (Suparti dkk, 2009:143). Pecahan dapat dituliskan dengan 𝑎

𝑏.

Dimana a adalah pembilang dan b adalah penyebut. Jika a, b, c adalah anggota

bilangan bulat, maka:

𝑎

𝑏 Pecahan biasa

Contoh: 4

3

𝑐𝑎

𝑏 Pecahan Campuran

Contoh: 11

3 (Suparti dkk, 2009:127)

2.2 Tripel Pythagoras

Dalam teorema Pythagoras, Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat

hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat kaki-

kakinya (sisi-sis siku-sikunya). (Wikipedia)

3

Sedangkan tripel Pythagoras adalah tripel bilangan bulat positif a, b, dan c

yang memenuhi persamaan 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 (Gunawan,Hendra: 2011). Salah satu

jenis tripel Pythagoras yaitu tripel Pythagoras primitif yang akan dibahas pada

materi pokok.

Contoh tripel Pythagoras: (5, 12, 13)

2.3 Aturan Michael Stifel

Dalam petikan buku Michael Stifel yang berjudul “Recreations in

Mathematics and Natural Philosophy”, dapat diketahui bahwa terdapat tiga sifat

yang digunakan sebagai aturan dalam pembuatan bilangan pecahan campuran,

yaitu:

1. Bilangan bulat pada pecahan campuran merupakan bilangan asli, dan

memiliki beda 1 (satu) antara jumlah bilangan bulat dan bilangan pada

pembilang dengan peyebut pada bilangan campuran tersebut.

2. Bilangan pada pembilang pecahan campuran merupakan bilangan asli

juga, seperti bilangan bulatnya.

3. Bilangan pada penyebut pecahan campuran merupakan bilangan ganjil

≥ 3, yaitu 3, 5, 7, 9, dan seterusnya. (Darmawijoyo BiMPoME (2011),

2012:96-97)

3. MATERI POKOK

3.1 Tripel Pythagoras Primitif

Sebuah tripel Pythagoras disebut primitif jika a, b, dan c relatif prima.

Bilangan-bilangan bulat disebut relatif prima jika FPB dari bilangan-bilangan

tersebut adalah 1. Untuk membentuk tripel Pythagoras primitif menggunakan

rumus Euclid ada beberapa syarat yang harus dipenuhi, antara lain (Darmawijoyo

BiMPoME (2011), 2012:10):

1. 𝑎 = 𝑚2 − 𝑛2 , 𝑏 = 2𝑚𝑛, 𝑐 = 𝑚2 + 𝑛2

Akan dibuktikan 𝑐−𝑎

2= 𝑛2 dan

𝑐+𝑎

2= 𝑚2.

Misalkan 𝑏 adalah sebuah bilangan genap, dengan 𝑎 dan 𝑐 ganjil

dimana a, b, c anggota bilangan bulat positif.

4

Sehingga:

𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2

= (𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎)

Berdasarkan asumsi awal bahwa 𝑎 dan 𝑐 adalah ganjil, maka

(𝑐 − 𝑎) dan (𝑐 + 𝑎) bernilai genap. Karena bilangan genap akan

habis jika dibagi dengan 2, maka didapatlah hasil kali keduanya

habis dibagi dengan 4, sehingga:

(𝑏

2)

2

=(𝑐 − 𝑎)

2×

(𝑐 + 𝑎)

2

Akan dibuktikan bahwa 𝑐−𝑎

2 dan

𝑐+𝑎

2 memiliki faktor sekutu = 1.

Bukti:

Kita misalkan faktor sekutu dari 𝑐−𝑎

2 dan

𝑐 +𝑎

2 adalah 𝑙 > 1.

Sehingga hal ini mengakibatkan keduanya memiliki nilai 𝑥 dan 𝑦

yang sedemikian, maka:

𝑐 − 𝑎

2= 𝑙𝑥 𝑑𝑎𝑛

𝑐 + 𝑎

2= 𝑙𝑦

𝑐 − 𝑎 = 2𝑙𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑐 + 𝑎 = 2𝑙𝑦.

Dari kedua bentuk diatas didapatlah:

𝑏2 = (𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎)

= (2𝑙𝑥)(2𝑙𝑦)

= 4𝑙2𝑥𝑦

Karena 𝑏2 = 4𝑙2𝑥𝑦, maka 𝑥𝑦 merupakan kuadrat sempurna. Kita

misalkan 𝑥𝑦 = 𝑠2. Sehingga:

𝑏2 = 4𝑙2𝑠2

𝑏 = 2𝑙𝑠

Sedangkan melalui cara eliminasi kedua bentuk 𝑐 − 𝑎 =

2𝑙𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑐 + 𝑎 = 2𝑙𝑦 didapatlah nilai 𝑎 dan 𝑐 sebagai berikut:

𝑎 = 𝑙(𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 𝑙(𝑥 + 𝑦)

5

Berdasarkan pembuktian yang telah dilakukan, dapat dilihat bahwa

𝑎, 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 mempunyai faktor sekutu 𝑙 > 1. Hal ini sangat kontradiksi

dengan asumsi awal bahwa 𝑐−𝑎

2 dan

𝑐+𝑎

2 memiliki faktor sekutu = 1.

Setelah kita dapatkan 𝑏 = 2𝑙𝑠 . Sekarang kita asumsikan 𝑙 = 1, maka

kita dapatkan 𝑏 = 2𝑠. Karena 𝑏2 = 4𝑠2, dan 𝑠2 adalah (𝑥.𝑦) maka:

𝑠2 =𝑐−𝑎

2 .

𝑐+𝑎

2

Dari pernyataan diatas, maka pastilah 𝑐−𝑎

2 dan

𝑐+𝑎

2 adalah kuadrat

sempurna. Sehingga:

𝑐−𝑎

2= 𝑛2 dan

𝑐+𝑎

2= 𝑚2

Dengan cara eliminasi dari kedua bentuk diatas, maka didapatlah:

𝑎 = 𝑚2 − 𝑛2 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 𝑚2 + 𝑛2

Sedangkan 𝑏 didapat dari:

𝑏2 = 4𝑠2

= 4𝑚2 𝑛2

𝑏 = 2𝑚𝑛

2. 𝑚 > 𝑛

Berdasarkan syarat yang pertama bahwa 𝑎 = 𝑚2 − 𝑛2 , 𝑏 =

2𝑚𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 𝑚2 + 𝑛2 , maka pastilah 𝑚 > 𝑛. Karena jika 𝑚 < 𝑛, maka a

akan bernilai negatif, sehingga tidak terbentuk tripel Pythagoras primitif.

Namun dalam kasus tripel Pythagoras primitif dari satu pecahan

campuran yang memenuhi aturan Michael Stifel, 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑛 haruslah dua

buah bilangan bulat positif yang berurutan dengan 𝑚 > 𝑛.

3. 𝐹𝑃𝐵 (𝑚,𝑛) = 1

Dari penjelasan tripel Pythagoras primitif sebelumnya, telah dikatakan

bahwa FPB dari tripel Pythagoras adalah 1. Maka dari pernyataan tersebut

dapat disimpulkan bahwa FPB dari (𝑚, 𝑛) juga adalah 1. Jika FPB dari

(𝑚, 𝑛) ≠ 1, maka tidak ada tripel Pythagoras primitif yang terbentuk.

6

4. Selisih dari 𝑚 dan 𝑛 merupakan bilangan ganjil.

Berdasarkan syarat ke tiga, bahwa FPB dari (𝑚, 𝑛) = 1, maka bisa

kita pastikan bahwa m dan n tidak mungkin kedua-duanya genap atau

kedua-duanya ganjil. Jika selisih dari m dan n adalah genap, maka tripel

Pythagoras yang dibentuk bukanlah tripel Pythagoras primitif karena semua

anggota tripel Pythagoras bernilai genap dan memilki faktor sekutu > 1.

Dari keempat syarat pembentuk tripel Pythagoras primitif menggunakan

rumus Euclid serta yang memenuhi aturan pecahan campuran Michael Stifel,

maka 𝑎 = 𝑚2 − 𝑛2, 𝑏 = 2𝑚𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 𝑚2 + 𝑛2 akan menghasilkan:

𝑎 adalah sisi penyiku terpendek tripel Pythagoras primitif dan selalu

bernilai ganjil

𝑏 adalah sisi penyiku terpanjang tripel Pythagoras primitif dan

selalu bernilai genap

𝑐 adalah hipotenusa (sisi miring) tripel Pythagoras primitif dan

selalu bernilai ganjil

3.2 Membentuk Tripel Pythagoras Primitif dari Satu Pecahan Campuran

Dalam pembentukan tripel Pythagoras Primitif (a, b, c), tidak semua

bilangan pecahan campuran bisa digunakan untuk menentukan tripel pythagoras.

Pecahan campuran yang dapat digunakan untuk menentukan tripel Pythagoras

harus memenuhi ketiga aturan yang diperkenalkan oleh Michael Stifel.

(Darmawijoyo BiMPoME (2011), 2012:95-96)

Dari ketiga aturan Michael Stifel yang telah dituliskan di materi

pendukung, didapatlah bentuk pecahan campuran secara umum yaitu:

𝑥 +𝑥

2𝑥 + 1; 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑥 ≥ 1

“Jika 𝑥 +𝑥

2𝑥+1 diubah kedalam bentuk pecahan biasa, akan menghasilkan

anggota tripel Pythagoras primitif dengan pembilang pada pecahan biasa

adalah b, penyebut pada pecahan biasa adalah a dan hipotenusa c = b + 1”.

7

Bukti:

Kita asumsikan bahwa bentuk pecahan campuran diatas akan membentuk dua

sisi penyiku (a dan b) pada tripel Pythagoras dengan mengubahnya kedalam

bentuk pecahan biasa menggunakan aturan pecahan. Sehingga didapat:

𝑥 +𝑥

2𝑥 + 1=

2𝑥 2 + 2𝑥

2𝑥 + 1=

2𝑥(𝑥 + 1)

2𝑥 + 1

Pembilang pada pecahan diatas yaitu 2𝑥(𝑥 + 1) akan selalu bernilai

genap untuk berapapun bilangan bulat positif 𝑥 yang diberikan karena

mempunyai pengali 2𝑥.

Penyebut pada pecahan diatas yaitu 2𝑥 + 1 merupakan bentuk umum

bilangan ganjil, sehingga nilai yang dihasilkan juga akan selalu ganjil.

Berdasarkan bentuk tripel Pythagoras primitif yang memenuhi aturan

Michael Stifel yang telah dituliskan diatas, terbukti bahwa pembilang pada

pecahan diatas adalah b dan penyebut pada pecahan diatas adalah a. Sehingga:

𝑎 = 2𝑥 + 1 ; 𝑏 = 2𝑥 2 + 2𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 𝑏 + 1

Untuk membuktikan bahwa hipotenusa c = b + 1 adalah benar, gunakan

teorema Pythagoras:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

= (2𝑥 + 1)2 + (2𝑥 2 + 2𝑥)2

= 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 + 4𝑥 4 + 8𝑥 3 + 4𝑥 2

= 4𝑥 4 + 8𝑥 3 + 8𝑥 2 + 4𝑥 + 1

= (2𝑥 2 + 2𝑥 + 1)2

𝑐 = 2𝑥 2 + 2𝑥 + 1

𝑐 = 𝑏 + 1

Sehingga terbukti bahwa pecahan campuran yang memenuhi aturan

Michael Stifell membentuk tripel Pythagoras primitif dengan hipotenusa c = b +

1. Adapun pola tripel Pythagoras primitif yang dibentuk dari satu pecahan

8

campuran Michael Stifell adalah (2𝑥 + 1 ,2𝑥2 + 2𝑥 ,2𝑥 2 + 2𝑥 + 1) dengan 𝑥

sembarang bilangan bulat positif.

Selanjutnya, untuk menghitung dan menentukan tripel Pythagoras primitif

menggunakan aturan pecahan campuran tersebut, dilakukan beberapa langkah-

langkah berikut ini:

1. Mengubah pecahan campuran yang memenuhi aturan

Michael Stifel kedalam pecahan biasa menggunakan aturan

pecahan.

𝑥 +𝑥

2𝑥 +1 dengan aturan pecahan kita dapatkan:

𝑥(2𝑥+1)+𝑥

2𝑥+1=

2𝑥2 +𝑥+𝑥

2𝑥+1=

2𝑥2 +2𝑥

2𝑥+1

2. Penyebut pecahan biasa (2𝑥 + 1) adalah sebagai 𝑎;

3. Pembilang pecahan biasa adalah (2𝑥 2 + 2𝑥) adalah sebagai

𝑏;

4. Hipotenusa (𝑐) adalah 𝑏 + 1

Berikut adalah contoh tripel Pythagoras primitif dengan beberapa nilai x.

X Pecahan campuran

Pecahan biasa

a b c

1 1

1

3

4

3

3 4 5

2 2

2

5

12

5

5 12 13

3 3

3

7

24

7

7 24 25

4 4

4

9

40

9

9 40 41

5 5

5

11

60

11

11 60 61

9

6 6

6

13

84

13

13 84 85

7 7

7

15

112

15

15 112 113

10 10

10

21

220

21

21 220 221

15 15

15

31

480

31

31 480 481

21 21

21

43

924

43

43 924 925

50 50

50

101

5100

101

101 5100 5101

Contoh: Kita ambil sembarang bilangan asli misal 𝑥 = 12, maka akan terbentuk

pecahan campuran yang memenuhi aturan Michael Stifel sebagai berikut:

𝑥 +𝑥

2𝑥 + 1= 12 +

12

(2.12) + 1= 12

12

25

langkah-langkah yang harus dilakukan:

a. Mengubah pecahan campuran yang memenuhi aturan Michael Stifel

kedalam pecahan biasa menggunakan aturan pecahan.

1212

25=

312

25

b. Penyebut pecahan biasa adalah sebagai 𝑎 .

𝑎 = 25

c. Pembilang pecahan biasa adalah adalah sebagai 𝑏;

𝑏 = 312

d. Hipotenusa (𝑐) adalah 𝑏 + 1

𝑐 = 312 + 1 = 313

10

Dari beberapa langkah yang telah dilakukan diatas, maka dapat disimpulkan

bahwa tripel Pythagoras primitif yang terbentuk dari 𝑥 = 12 adalah

(25,312, 313).

4. PENUTUP

Melalui satu pecahan campuran bisa didapat suatu tripel Pythagoras

primitif. Akan tetapi dalam hal ini pecahan campuran yang dimaksud bukanlah

sembarang pecahan campuran namun pecahan campuran yang memenuhi aturan

Michael Stifel. Cara ini bisa digunakan untuk mendapatkan tripel Pythagoras

primitif dengan bilangan bulat positif yang bernilai kecil maupun besar.

11

DAFTAR PUSTAKA

Darmawijoyo, BiMPoME (2011). 2012. Satu untuk 3: Ragam Prosedur Tripel

Pythagoras. Palembang: Unit Perpustakaan PPs Universitas Sriwijaya.

Gunawan, Hendra. 2011. Tripel Pythagoras. Diakses pada tanggal 02 April 2014,

dari http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2011/02/tripel-

pythagoras.pdf.

Pythagoras. Diakses pada tanggal 03 April 2014, dari

http://id.wikipedia.org/wiki/Pythagoras.

Suparti, dkk. 2009. Matematika: Untuk SD/MI Kelas IV. Jakarta: CV Sindunata.

Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional,

http://bse.kemdikbud.go.id/.

Tree of Primitive Pythagorean Triples. Diakses pada tanggal 03 April 2014, dari

http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_of_primitive_Pythagorean_triples.

12

LAMPIRAN

Penanya Pertanyaan/saran Jawaban

Ria Puspita Sari Perbaikan Penulisan

Teorema Pythagoras.

Perbaikan tidak dalam

makalah, tetapi perbaikan saat pengucapan Teorema Pythagoras ketika

presentasi makalah.

Meta Apriani Pada halaman 4, apa yang dimaksud dengan 𝑏 =2𝑙𝑠?

𝑛2 darimana?

Tambahkan keterangan

pada halaman 3, 𝑐−𝑎

2=

𝑛2 .

𝑏 = 2𝑙𝑠 adalah hasil

akar dari 𝑏2 = 4𝑙2𝑠2 yang didapat dari

substitusi 𝑐 − 𝑎 =2𝑙𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑐 + 𝑎 = 2𝑙𝑦 kedalam 𝑏2 =(𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎).

𝑛2 merupakan salah satu

permisalan dari kuadrat sempurna.

Keterangan pada halaman 3 telah dibuat.

Budi Mulyono, S.Pd.,

M.Sc.

Mengapa

menggunakan/memilih kata primitif? Komposit itu biasanya prima?

6, 8, 10 bukan primitif? Mengapa? Bisa

diapakan? Kalau dibagi dua bagaimana? 9, 12, 15 primitif?

Mengapa tidak? Bisa dibagi berapa?

7, 24, 25 tripel Pythagoras? Bilangan pembentuknya apa?

Menggunakan kata

primitif karena berasal dari kata prime (prima) yang mana ketiga

bilangan diharuskan hanya mempunyai FPB =

1. Dalam tripel Pythagoras, komposit digunakan

untuk penyebutan tripel Pythagoras yang

mempunyai FP untuk ketiga bilangan positif integer.

6, 8, 10 bukan tripel Pythagoras primitif,

karena FPB dari ketiga bilangan tersebut ≠ 1. Jika dibagi 2, maka akan

terbentuk 2, 4, 5. 9, 12, 15 juga bukan

tripel Pythagoras primitif. Karena ketiga bilangan tersebut mempunyai FPB

> 1.

13

7, 24, 25 merupakan tripel Pythagoras primitif.

Bilangan pembentuknya adalah 3.

Drs. Somakim, M.Pd. Pada halaman 4, 𝑠2

muncul darimana? 𝑠2 harus didefinisikan.

𝑠2 adalah permisalan

dari 𝑥𝑦.

Telah direvisi dimakalah.

Drs. Budi Santoso, M.Si Pada halaman 4, (a, b, c) bilangan apa?

a, b, c harus dijelaskan Termasuk anggota

bilangan apa.

a, b, c adalah bilangan bulat positif.

Telah direvisi dimakalah.

Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si.

Yang memenuhi ada dalam makalah, bagaimana dengan yang

tidak memenuhi?

Tripel Pythagoras dalam makalah ini telah dibatasi hanya berdasarkan aturan

Michael Stifell, sehingga bukan kewenangan saya

untuk menjelaskan yang tidak memenuhi aturan Michael Stifell.

Ibu Elika Pada aturan 3, mengapa harus ganjil? Kalau genap bagaimana?

Kalau 𝑥𝑥

2𝑥 bagaimana?

Buktikan!

Kalau genap, maka tidak akan terbentuk tripel Pythagoras Primitif.

Jika 𝑥𝑥

2𝑥, maka akan

terbentuk:

𝑎 = 2𝑥, 𝑏 = 2𝑥 2 + 𝑥,

𝑐 = 2𝑥2 + 𝑥 + 1. Dari

bentuk tersebut kita dapatkan 𝑚 = 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑛 =2𝑥 + 1. Sehingga 𝑚 < 𝑛, hal ini

kontradiksi dengan syarat

ke-2. Selanjutnya dari bentuk tersebut kita dapatkan a,

b, c berturut-turut untuk 𝑥 = 1 yaitu 2, 3, 4

dengan FPB ≠ 1. Hal ini kontradiksi dengan syarat

ke-3. Adapun selisih dari

𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑛 yaitu berupa bilangan genap.

Kontradiksi dengan syarat ke-4 yang

14

menyebutkan bahwa selisih 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑛 adalah

berupa bilangan ganjil.