Trigonometri ppt bab6

41
3

Transcript of Trigonometri ppt bab6

Page 1: Trigonometri ppt bab6

3

Page 2: Trigonometri ppt bab6

04/13/20232

2

Page 3: Trigonometri ppt bab6

04/13/20233

1

Page 4: Trigonometri ppt bab6

04/13/20234

Page 5: Trigonometri ppt bab6

Video Monitor

Arial Font

BAB VIINVERSE FUNGSI

TRIGONOMETRI DAN BILANGAN KOMPLEKS

Page 6: Trigonometri ppt bab6

04/13/2023 BAB VI TRIGONOMETRI

CREW :Tangguh Yudho

(021)Fanny Nur S (022)Diah Hapsari (026)

Prastiwi Angger (029)

Randha Ayu (032)Mu’ahid N (034)Isti Handayani

(045)

Page 7: Trigonometri ppt bab6

A. Inverse Fungsi Trigonometri1. Relasi SiklometriFungsi y = f(x) = sin x, x R,

merupakan salah satu fungsi Trigonometri seperti telah dibicarakan di muka. Untuk setiap x pasti dapat ditemukan nilai y tunggal.Bagaimanakah sebaliknya?Andaikan, y = , sehingga diperoleh y = f (x) = sin x =

atau sin x = sin ( + k. 2) atau

sin x = sin ( + k. 2), k B

2

1

2

1

6

56

1

Page 8: Trigonometri ppt bab6

sehingga diperoleh penyelesaian

x = + k. 2 atau x = + k. 2 , k B

Ternyata untuk nilai y tunggal terdapat banyak nilai x yang berpasangan dengan nilai y.

Kesimpulan y = sin x bukan fungsi 1 – 1, sehingga inverse fungsi tersebut bukan merupakan fungsi.

6

1

6

5

Page 9: Trigonometri ppt bab6

Definisi :

Relasi Siklometri1. Jika f menyatakan fungsi

trigonometri yang terdefinisi pada x R dan dinyatakan sebagai y = f (x) maka kebalikan fungsi f dinyatakan sebagai f-1 atau x = f-1(y) disebut Relasi Siklometri

2. Oleh karena ada 6 fungsi trigonometri, maka terdapat 6 relasi siklometri, yaitu:

Page 10: Trigonometri ppt bab6

a. y = sin x --------> x = arc sin yb. y = cos x --------> x = arc cos yc. y = tan x --------> x = arc tan xd. y = ctg x --------> x = arc ctg ye. y = sec x --------> x = arc sec yf. y = csc x --------> x = arc csc y

Catatan : Daerah asal Relasi Siklometri tergantung daerah hasil fungsi Trigonometri

Page 11: Trigonometri ppt bab6

2. Grafik Dan Domain Relasi Siklometri

Pandang relasi siklometri y = arc sin x, merupakan invers dari fungsi x = sin y , y R …………………………………………...…. (1)

Bandingkan dengan fungsi y = sin x, x R ……………………. (2)

Antara (1) dan (2) terdapat penggantian variabel x dengan y dan seba-liknya, sehingga grafik relasi siklometri dapat diperoleh dari grafik fungsi trigonometri awal, dengan mencerminkan terhadap garis y = x. Grafik keenam relasi siklometri dan grafik fungsi trigonometri asal dapat dilihat sebagai berikut.

Page 12: Trigonometri ppt bab6

 1. Grafik y = sin x dan y = arc sin x

Page 13: Trigonometri ppt bab6

 2. Grafik y = cos x dan y = arc cos x

Page 14: Trigonometri ppt bab6

3. Grafik y = tan x dan y = arc tan x

Page 15: Trigonometri ppt bab6

4. Grafik y = ctg x dan y = arc ctg x

Page 16: Trigonometri ppt bab6

5. Grafik y = sec x dan y = arc sec x

Page 17: Trigonometri ppt bab6

6. Garfik y = csc x dan y = arc csc x

Page 18: Trigonometri ppt bab6

2

13

C. Nilai Relasi Siklometri

Untuk menentukan nilai relasi siklometri digunakan fungsi trigonometri awal. Beberapa contoh akan disajikan berupa contoh soal dan penyelesaiannya.

1. Tentukan nilai arc sin !

Page 19: Trigonometri ppt bab6

2. Jika m = arc cos - , tentukan nilai m!

3. Jika y = arc tan , tentukan nilai cos y!

4. Jika sin arc ctg – 1 = x. Tentukan nilai x!

5. Jika y = cos arc sec x. Nyatakan y sebagai formula dalam x!

6. Buktikan arc sin x + arc cos x =

2

1

12

5

2

Page 20: Trigonometri ppt bab6

04/13/202320

B. BILANGAN KOMPLEKS

1. Bilangan Imaginair Adakalanya dalam suatu perhitungan kita menjumpai bentuk , -1, -3, -9 dan sebagainya. Untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan riel, bentuk-bentuk seperti tersebut di atas bukan merupakan penyelesaian sebab bukan anggota semesta.

Bilangan-bilangan pada contoh di atas disebut bilangan imaginair atau bilangan khayal.

1

Page 21: Trigonometri ppt bab6

04/13/202321

Bilangan-bilangan pada contoh diatas disebut bilangan imaginair sejati, yang dapat dinyatakan dalam bentuk baku (memuat symbol i), yaitu :

-1 = i -3 = i 3

-9 = i 9 = 3i

Definisi : -1 = i , i2 = - 1Catatan : Penggunaan simbol bilangan imaginair dalam bentuk baku dimaksudkan untuk memudahkan perhitungan.

Page 22: Trigonometri ppt bab6

04/13/202322

2. Bilangan Kompleks

Himpunan bilangan kompleks K = {(a + bi)| a, b R}, bi disebut bagian imaginair sejati.1. Kesamaan dua bilangan kompleks a + bi = c

+ di, apabila : a = c dan b = d2. Dua bilangan kompleks disebut pasangan

bilangan kompleks konjugate , apabila komponen riilnya sama dan bagian imaginair sejati berlawanan tanda.

Contoh : 2 + 3i dan 2 – 3i -5 + i dan -5 – iSecara umum a + bi dan a – bi adalah pasangan dua bilangan kompleks konjugate.

Page 23: Trigonometri ppt bab6

3. Operasi Pada Bilangan Kompleks

a. Operasi PenjumlahanJumlahan dua bilangan kompleks (a + bi) dan (c + di) didefinisikan sebagai :

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iContoh : (4 + 5i) + (7 – 3i) = 11 + 2i 

b. Operasi PenguranganPengurangan bilangan kompleks a + bi oleh c + di

didefinisikan sebagai:(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Contoh : (17 – 4i) – (–2 – 3i) = 19 – i

Page 24: Trigonometri ppt bab6

c. Operasi PerkalianPerkalian dua bilangan kompleks a + bi

dengan c + di, didefinisikan sebagai berikut:(a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)iContoh : (4 + 5i) . (2 - 3i) = (8 + 15) + (-12 + 10) I

= 23 – 2i

Catatan : Seperti pada operasi perkalian pada bilangan-bilangan yang lain tanda titik"." boleh tidak ditulis.

Page 25: Trigonometri ppt bab6

d. Operasi Pembagian

(a + bi) : (c + di) = .

= ( ac + bd) + (bc – ad) i

c2 + d2

Contoh : ( 2 + 3i) : (4 - 5i) = .

=

= = + i

i

i

54

32

i

i

54

54

2516

)1012()158(

i

44

227 i44

744

22

dic

bia

dic

dic

Page 26: Trigonometri ppt bab6

Setiap bilangan kompleks a + bi berkorespondensi 1–1 dengan setiap titik P (x,y) pada bidang koordinat, dengan syarat

a = x dan b = y

Contoh: Titik P (3,2) menyatakan bilangan kompleks 3 + 2i Sumbu x adalah sumbu rielSumbu y adalah sumbu imajinair

4. Grafik Bilangan Kompleks Pada Bidang Koordinat

Page 27: Trigonometri ppt bab6

Kesimpulan yang diperoleh :

a. Titik O menyatakan 0 + 0i = 0

b. Setiap titik pada sumbu x menyatakan a + 0i = a , a R

c. Setiap titik pada sumbu y menyatakan 0 + bi = bi , b R

Page 28: Trigonometri ppt bab6

04/13/202328

5. Grafik Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Andaikan diketahui 2 bilangan kompleks

sebarang z1 dan z2, dengan z1 = x1 + y1 i

dan z2 = x2 + y2 i

Grafik penjumlahan dan pengurangan z1

dan z2 dalam bidang koordinat dapat

disajikan sebagai grafik penjumlahan dan

pengurangan 2 vektor (lihat gambar pada

slide berikutnya).

Page 29: Trigonometri ppt bab6

04/13/202329

Operasi Penjumlahan Operasi

Pengurangan

z = z1 + z2 z = z1 + (-z2) = z1 – z2

y

z1

z

0 -z2 x

-

z

z1

0

y

x

z2

Page 30: Trigonometri ppt bab6

6. Bentuk Polar (Kutub) Bilangan-Bilangan Kompleks

• Jika sebarang bilangan kompleks x + yi digambarkan

dalam vektor OP, maka :

• OP disebut modulus atau nilai mutlak dari bilangan

komplek tersebut dan dinyatakan sebagai:

r =

y

P(x,y)

0 x

22 yx

Page 31: Trigonometri ppt bab6

• XOP = , disebut amplitudo bilangan komplek tersebut

dan biasanya dipilih sudut positif terkecil yang memenuhi

tan =

• Hubungan antara z, x , y, r dan sebagai berikut:

z = r cos + i r sin

z = r (cos + i sin )

z = r (cos + i sin ) disebut bentuk polar atau bentuk trigonometri.

z = x + yi disebut bentuk rectangular dari z.

x

y

sin

cos

ry

rxz = x + yi

Page 32: Trigonometri ppt bab6

Contoh : 1. Nyatakan z = 2 – i dalam bentuk polar. Penyelesaian: Modulus dari z = = = =r tan = = = - 0,8660

1 = 138024’

2= 318024’

Dalam hal ini 1 tidak digunakan, berikan alasan anda.

Jadi amplitudo z adalah = 3180241 , dan bentuk polar z :z = r (cos + i sin )z = ( cos 3180241 + i sin 3180241)

Mengingat koordinat P juga menyatakan sudut + 2k. , maka bentuk polar dari z dapat juga dinyatakan sebagai:

z = [ cos ( 3180241 + k.3600 )+ i sin (3180241 + 2 k.3600)]

3

OP22 )3(2 7

7

7

y

2

0 x

P2

3

x

y2

3

Page 33: Trigonometri ppt bab6

Jika diketahui

z1 = r1 ( cos 1 + i sin 1) dan

z2 = r2 ( cos 2 + i sin 2 ) , maka

z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]

7. OPERASI PERKALIAN

Model KesimpulanPembuktian

Page 34: Trigonometri ppt bab6

z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) dan

z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 )

Menurut definisi :

z1 . z2 = r1 r2 (cos 1 cos 2 - sin 1 sin 2 ) + i r1 r2

(sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2)

z1 . z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 +2 )] …..… (terbukti)

7. OPERASI PERKALIAN

Model KesimpulanPembuktian

Page 35: Trigonometri ppt bab6

Jika diketahui z1 = z2 , maka :

1. Modulus z1 . z2 adalah perkalian modulus z1

dengan modulus z2.

2. Amplitudo z1 . z2 adalah jumlah amplitudo z1

dengan amplitudo z2.

7. OPERASI PERKALIAN

Model KesimpulanPembuktian

Page 36: Trigonometri ppt bab6

Jika diketahui

z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 ) dan

z2 = r2 (cos 2 + i sin 2)

maka :

z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos (1 - 2 ) + i sin (1 -2)]

7. OPERASI PEMBAGIAN

KesimpulanPembuktianModel

Page 37: Trigonometri ppt bab6

z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos (1 - 2 ) + i sin (1 -2)]

7. OPERASI PEMBAGIAN

Model Kesimpulan

)θsiniθ(cosr

)θsiniθ(cosr

z

z

222

111

2

1

)θsiniθ(cosr

)θsiniθ(cosr.

)θsiniθ(cosr

)θsiniθ(cosr

222

222

222

111

)θsinθ(cosr

)}θsinθcosθcosθsin(iθsinθsin θcosθ{cosrr

22

222

2

2121212121

Pembuktian

Page 38: Trigonometri ppt bab6

7. OPERASI PEMBAGIAN

Model Pembuktian

Jika diketahui z1 dan z2 maka :

1. Modulus z1 : z2 adalah hasil bagi modulus z1 , oleh modulus z2 .

2. Amplitudo z1 : z2 adalah hasil pengurangan amplitudo z1 , oleh

amplitudo z2.

Kesimpulan

Page 39: Trigonometri ppt bab6

8. TEOREMA DE MOIVRE

zn = [ r ( cos + i sin )]n =rn ( cos n + i sin n)

Page 40: Trigonometri ppt bab6

8. TEOREMA DE MOIVRE2

1

z

z

Contoh:

Jika z = - i , tentukan z10 !

Penyelesaian :

z = r (cos + i sin )

r = 2 dan tan = ; = 3300 + k. 3600

z10 = 210 [ cos 10 (3300 + k. 3600) +

i sin 10 (3300 + k. 3600)

= 1024 (cos 600 + i sin 600)

= 1024 ( + 1 . )

= 512 + 512 i

3

1

2

13

2

1

3

3

Page 41: Trigonometri ppt bab6

04/13/202341