Trigonometri ppt bab6

download Trigonometri ppt bab6

of 41

  • date post

    25-Jun-2015
  • Category

    Documents

  • view

    4.543
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Trigonometri ppt bab6

  • 1. 3

2. 212/10/2012 2 3. 112/10/2012 3 4. 12/10/2012 4 5. Video MonitorArial Font 6. CREW : Tangguh Yudho (021) Fanny Nur S (022) Diah Hapsari (026) Prastiwi Angger (029) Randha Ayu (032)Muahid N (034)Isti Handayani (045)12/10/2012 BAB VI TRIGONOMETRI 7. A. Inverse Fungsi Trigonometri1. Relasi Siklometri Fungsi y = f(x) = sin x, x R, merupakan salahsatu fungsi Trigonometri seperti telah dibicarakan dimuka. Untuk setiap x pasti dapat ditemukan nilai ytunggal.Bagaimanakah sebaliknya?Andaikan, y = 1 , sehingga diperoleh y = f (x) = sin x = 1 12 atau sin x = sin ( + k. 2 ) atau 26 5 sin x =sin ( + k. 2 ), k B 6 8. sehingga diperoleh penyelesaian 1 5x= + k. 2 atau x = + k. 2 ,k B 6 6Ternyata untuk nilai y tunggal terdapat banyaknilai x yang berpasangan dengan nilai y.Kesimpulan y = sin x bukan fungsi 1 1, sehinggainverse fungsi tersebut bukan merupakan fungsi. 9. Definisi :Relasi Siklometri1. Jika f menyatakan fungsi trigonometri yangterdefinisi pada x R dan dinyatakansebagai y = f (x) maka kebalikan fungsi fdinyatakan sebagai f-1 atau x = f-1(y) disebutRelasi Siklometri2. Oleh karena ada 6 fungsitrigonometri, maka terdapat 6 relasisiklometri, yaitu: 10. a. y = sin x --------> x = arc sin yb. y = cos x --------> x = arc cos yc. y = tan x --------> x = arc tan xd. y = ctg x --------> x = arc ctg ye. y = sec x --------> x = arc sec yf. y = csc x --------> x = arc csc yCatatan :Daerah asal Relasi Siklometri tergantungdaerah hasil fungsi Trigonometri 11. 2. Grafik Dan Domain Relasi SiklometriPandang relasi siklometri y = arc sin x, merupakaninvers dari fungsi x = sin y , y R.... (1)Bandingkan dengan fungsi y = sin x, xR. (2)Antara (1) dan (2) terdapat penggantian variabel xdengan y dan seba-liknya, sehingga grafik relasi siklometridapat diperoleh dari grafik fungsi trigonometri awal, denganmencerminkan terhadap garis y = x. Grafik keenam relasisiklometri dan grafik fungsi trigonometri asal dapat dilihatsebagai berikut. 12. 1. Grafik y = sin x dan y = arc sin x 13. 2. Grafik y = cos x dan y = arc cos x 14. 3. Grafik y = tan x dan y = arc tan x 15. 4. Grafik y = ctg x dan y = arc ctg x 16. 5. Grafik y = sec x dan y = arc sec x 17. 6. Garfik y = csc x dan y = arc csc x 18. C. Nilai Relasi SiklometriUntuk menentukan nilai relasi siklometridigunakan fungsi trigonometri awal.Beberapa contoh akan disajikan berupacontoh soal dan penyelesaiannya.11. Tentukan nilai arc sin 3 !2 19. 12. Jika m = arc cos -, tentukan nilai m! 2 53. Jika y = arc tan 12 , tentukan nilai cos y!4. Jika sin arc ctg 1 = x. Tentukan nilai x!5. Jika y = cos arc sec x. Nyatakan y sebagai formula dalam x!6. Buktikan arc sin x + arc cos x = 2 20. 1B. BILANGAN KOMPLEKS1. Bilangan ImaginairAdakalanya dalam suatu perhitungan kitamenjumpai bentuk , -1, -3, -9 dan sebagainya.Untuk semesta pembicaraan himpunan bilanganriel, bentuk-bentuk seperti tersebut di atas bukanmerupakan penyelesaian sebab bukan anggotasemesta.Bilangan-bilangan pada contoh di atasdisebut bilangan imaginair atau bilangan khayal.12/10/2012 20 21. Bilangan-bilangan pada contoh diatas disebutbilangan imaginair sejati, yang dapat dinyatakandalam bentuk baku (memuat symbol i), yaitu : -1 = i -3 = i 3 -9 = i 9 = 3iDefinisi : -1 = i , i2 = - 1Catatan : Penggunaan simbol bilangan imaginairdalam bentuk baku dimaksudkan untukmemudahkan perhitungan.12/10/2012 21 22. 2. Bilangan KompleksHimpunan bilangan kompleks K = {(a + bi)| a, b R}, bidisebut bagian imaginair sejati.1. Kesamaan dua bilangan kompleks a + bi = c + di, apabila : a = c dan b = d2. Dua bilangan kompleks disebut pasangan bilangan kompleks konjugate , apabila komponen riilnya sama dan bagian imaginair sejati berlawanan tanda.Contoh : 2 + 3i dan 2 3i -5 + i dan -5 iSecara umum a + bi dan a bi adalah pasangan duabilangan kompleks konjugate.12/10/201222 23. 3. Operasi Pada Bilangan Kompleksa. Operasi PenjumlahanJumlahan dua bilangan kompleks (a + bi) dan (c + di)didefinisikan sebagai :(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iContoh : (4 + 5i) + (7 3i) = 11 + 2ib. Operasi Pengurangan Pengurangan bilangan kompleks a + bi oleh c + dididefinisikan sebagai: (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Contoh : (17 4i) (2 3i) = 19 i 24. c. Operasi PerkalianPerkalian dua bilangan kompleks a + bidengan c + di, didefinisikan sebagai berikut:(a + bi).(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)iContoh : (4 + 5i) . (2 - 3i) = (8 + 15) + (-12 + 10) I = 23 2iCatatan : Seperti pada operasi perkalian pada bilangan-bilangan yang lain tanda titik"." boleh tidak ditulis. 25. d. Operasi Pembagian a bi c di (a + bi) : (c + di) =. c di c di = ( ac + bd) + (bc ad) ic2 + d2 2 3i 4 5iContoh : ( 2 + 3i) : (4 - 5i) = . 4 5i 4 5i (8 15) (12 10)i =16 25 7 22i7 22 = =+i44 44 44 26. 4. Grafik Bilangan Kompleks Pada Bidang Koordinat Setiap bilangan kompleks a + bi berkorespondensi 11dengan setiap titik P (x,y) pada bidang koordinat, dengan syarata = x dan b = yContoh: Titik P (3,2) menyatakan bilangan kompleks 3 + 2i Sumbu x adalah sumbu riel Sumbu y adalah sumbu imajinair 27. Kesimpulan yang diperoleh :a. Titik O menyatakan 0 + 0i = 0b. Setiap titik pada sumbu x menyatakan a + 0i = a , a Rc. Setiap titik pada sumbu y menyatakan 0 + bi = bi , b R 28. 5. Grafik Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan KompleksAndaikandiketahui 2 bilangan komplekssebarang z1 dan z2, dengan z1 = x1 + y1 i dan z2= x2 + y2 iGrafik penjumlahan dan pengurangan z1 dan z2dalam bidang koordinat dapat disajikan sebagaigrafik penjumlahan dan pengurangan 2 vektor(lihat gambar pada slide berikutnya).12/10/2012 28 29. Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangany yz1 zz z1 0 -z2 xz2 x 0- z = z 1 + z2z = z1 + (-z2) = z 1 z212/10/201229 30. 6. Bentuk Polar (Kutub) Bilangan-Bilangan Kompleks Jika sebarang bilangan kompleks x + yi digambarkan dalamvektor OP, maka :OP disebut modulus atau nilai mutlak dari bilangankomplek tersebut dan dinyatakan sebagai:yr=x2 y2P(x,y)0x 31. XOP = , disebut amplitudo bilangan komplek tersebut danybiasanya dipilih sudut positif terkecil yang memenuhi tan =x Hubungan antara z, x , y, r dansebagai berikut:x r cosz = x + yiy r sinz = r cos + i r sinz = r (cos+ i sin )z = r (cos + i sin ) disebut bentuk polar atau bentuktrigonometri.z = x + yidisebut bentuk rectangular dari z. 32. Contoh :1. Nyatakan z = 2 i 3 dalam bentuk polar.Penyelesaian:Modulus dari z = OP = 2 ( 3) = 7 =r2 2y y 32 tan = = = - 0,8660 x2 0 x1 = 138024 3P2= 318 2402Dalam hal ini 1 tidak digunakan, berikan alasan anda.Jadi amplitudo z adalah = 3180241 , dan bentuk polar z : z = r (cos + i sin ) z = 7 ( cos 3180241 + i sin 3180241)Mengingat koordinat P juga menyatakan sudut + 2k. , maka bentuk polar dari z dapat juga dinyatakan sebagai: z = 7 [ cos ( 3180241 + k.3600 )+ i sin (3180241 + 2 k.3600)] 33. Model Pembuktian Kesimpulan Jika diketahuiz1 = r1 ( cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2 ( cos2 + i sin 2 ) , maka z1 z2 = r1 r2 [cos (1+ 2) + i sin ( 1 + 2)] 34. Model PembuktianKesimpulanz1 = r1 (cos 1 + i sin 1)dan z2 = r2 (cos2 + i sin 2)Menurut definisi :z1 . z2 = r1 r2 (cos1 cos2 - sin1 sin 2 ) + i r1 r2(sin 1 cos 2+ cos1 sin2)z1 . z2 = r1 r2 [cos ( 1+2 ) + i sin (1 + 2 )] .. (terbukti) 35. Model PembuktianKesimpulanJika diketahui z1 = z2 , maka :1. Modulus z1 . z2 adalah perkalian modulus z1dengan modulus z2.2. Amplitudo z1 . z2 adalah jumlah amplitudo z1dengan amplitudo z2. 36. Model PembuktianKesimpulan Jika diketahuiz1 = r1 (cos 1 + i sin1) danz2 = r2 (cos 2 + i sin 2) maka :z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos ( 1-2) + i sin ( 1 - 2)] 37. ModelPembuktian Kesimpulan z1r1 (cos 1 i sin 1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 )r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ). r2 (cos 2 i sin 2 ) r2 (cos 2 i sin 2 )r1r2 {cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i (sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )}r22 (cos 2 2 sin 2 2 )z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos ( 1- 2) + i sin ( 1 - 2)] 38. ModelPembuktian KesimpulanJika diketahui z1 dan z2 maka :1. Modulus z1 : z2 adalah hasil bagi modulus z1 , oleh modulus z2 .2. Amplitudo z1 : z2 adalah hasil pengurangan amplitudo z1 , oleh amplitudo z2. 39. z1z2 Contoh: Jika z = 3 - i , tentukan z10 ! Penyelesaian : z = r (cos + i sin) 1 r = 2 dan tan = ; = 3300 + k. 3600 3 z10 = 210 [ cos 10 (3300 + k. 3600) +i sin 10 (3300 + k. 3600)= 1024 (cos 600 + i sin 600)1 1= 1024 ( + 1 .3)2 2= 512 + 512 i 3 40. 12/10/2012 41