TRANSPORTATION PROBLEM

TRANSPORTATION PROBLEMTRANSPORTATION PROBLEM

D0104 Riset Operasi ID0104 Riset Operasi I

Kuliah XXIII - XXVKuliah XXIII - XXV

Pendahuluan

Transportation Problem merupakan aplikasi dari Transportation Problem merupakan aplikasi dari programa linier untuk menentukan bagaimana programa linier untuk menentukan bagaimana mendistribusikan bahan, produk dari suatu lokasi mendistribusikan bahan, produk dari suatu lokasi ke lokasi-lokasi yang lain dengan biaya yang ke lokasi-lokasi yang lain dengan biaya yang minimum.minimum.

Metoda penyelesaian transportation problem dapat Metoda penyelesaian transportation problem dapat digunakan dua cara, yaitu :digunakan dua cara, yaitu : Menggunakan metoda simpleks.Menggunakan metoda simpleks. Menggunakan metoda yang khusus untuk Menggunakan metoda yang khusus untuk

transportation problemtransportation problem

Contoh Transportation Problem

TUJUANTUJUANASALASAL

Transportation Model

Ada m sumber dan n tujuan, ai jumlah unit yang tersedia pada tiap sumber dan akan dikirim tujuan. bj merupakan permintaan dari tiap tujuan. cij merupakan biaya transportasi per unit yang dikirim. Model Matematik untuk transportasi sbb :

m

i

n

jijijxcx

1 10

0

,....,2,1;

,....,2,1;

1

1

ij

m

iij

n

jiij

x

njbjx

miax

Obyektif

Pembatas

Kesetimbangan Model TransportasiKesetimbangan Model Transportasi

Pernyataan ini berarti bahwa jumlah yang disuplai dari sumber harus sama Pernyataan ini berarti bahwa jumlah yang disuplai dari sumber harus sama dengan jumlah permintaan pada tujuan.dengan jumlah permintaan pada tujuan.

Pada kenyataannya bahwa jumlah yang disuplai tidak sama dengan Pada kenyataannya bahwa jumlah yang disuplai tidak sama dengan permintaannya, dapat lebih besar atau lebih kecil. Kondisi disebut tidak permintaannya, dapat lebih besar atau lebih kecil. Kondisi disebut tidak setimbang.setimbang.

Kondisi tidak setimbang harus dibuat setimbang dengan menambahkan Kondisi tidak setimbang harus dibuat setimbang dengan menambahkan sumber atau tujuan yang bersifat dummysumber atau tujuan yang bersifat dummy

Jika suplai Jika suplai demand, tambahkan tujuan dummy untuk menerima sejumlah demand, tambahkan tujuan dummy untuk menerima sejumlah ai - ai - bj. Jika demand bj. Jika demand suplai, tambahkan sumber dummy untuk suplai, tambahkan sumber dummy untuk mensuplai sejumlah mensuplai sejumlah bj - bj - ai. ai.

m

ii

m

i

n

jij

n

j

m

iij

n

jj axxb

11 11 11

Teknik Transportasi(Lanjutan)

Biaya dari i ke j

Cara Penyelesaian :

Dengan Tabulasi

SUMBER

T U J U A N

1

2

3

1 2 3 4

b1

b2

b3

Jumlah dari i ke j

a1 a2 a3 a4

Kapasitas

Teknik Transportasi(Metoda Penyelesaian)

Mendapatkan Solusi AwalMendapatkan Solusi Awal Northwest Corner (NWCR)Northwest Corner (NWCR) Least CostLeast Cost Vogel Approximation (VAM)Vogel Approximation (VAM)

Mendapatkan Solusi Optimal (Akhir)Mendapatkan Solusi Optimal (Akhir) Stepping StoneStepping Stone Multiplier (UV Method)Multiplier (UV Method)

Mendapatkan Solusi Awal

Ada Tiga Cara yang dapat digunakan yang Ada Tiga Cara yang dapat digunakan yang tujuannya adalah untuk memperoleh variabel basis tujuannya adalah untuk memperoleh variabel basis (dalam metoda simplex membentuk matrix (dalam metoda simplex membentuk matrix satuan).satuan).

Variabel-variabel basis ini merupakan solusi awal Variabel-variabel basis ini merupakan solusi awal untuk mendapat solusi akhir yang kondisinya untuk mendapat solusi akhir yang kondisinya feasibel dan optimal.feasibel dan optimal.

Pada penyelesaian awal ini bisa saja kondisi sudah Pada penyelesaian awal ini bisa saja kondisi sudah feasibel dan optimal, tapi untuk menyatakan hal feasibel dan optimal, tapi untuk menyatakan hal tersebut harus diuji terlebih dulu.tersebut harus diuji terlebih dulu.

Mendapatkan Solusi AwalMenggunakan Northwest Corner Metoda Northwest Corner (NWCR) merupakan Metoda Northwest Corner (NWCR) merupakan

metoda yang pengisian sel pada tabel penyelesaian metoda yang pengisian sel pada tabel penyelesaian masalah transportasi dimulai dari pojok kiri atas.masalah transportasi dimulai dari pojok kiri atas.

Kemudian dilanjutkan pada sel sebelah kanan atau Kemudian dilanjutkan pada sel sebelah kanan atau bawah bergantung pada kapasitas yang tersedia.bawah bergantung pada kapasitas yang tersedia.

Pengisian sel berakhir pada sel pojok kanan Pengisian sel berakhir pada sel pojok kanan bawah.bawah.

Sel-sel yang terisi merupakan variabel basis yang Sel-sel yang terisi merupakan variabel basis yang jumlahnya adalah : m + n –1 (m = jumlah lokasi jumlahnya adalah : m + n –1 (m = jumlah lokasi sumber, n = jumlah lokasi tujuan).sumber, n = jumlah lokasi tujuan).

Contoh: Pengisian Dengan NWCR

Sebuah perusahaan mempunyai tiga lokasi pabrik yaitu : A, B, C. untuk membuat produknya. Produk yang dibuat ini akan didistribusikan ke empat lokasi pasar, yaitu : P1, P2, P3, P4. Kapasitas dari masing-masing pabriknya dan permintaan dari masing-masing pasar terlihat pada tabel.1 dan biaya angkut per-unit produk ada pada tabel.2

PabrikPabrik KapasitasKapasitas PasarPasar PermintaanPermintaan

AA 100100 P1P1 5050

BB 150150 P2P2 125125

CC 7575 P3P3 100100

P4P4 5050

KeKe

DariDari

P a s a rP a s a r

P1P1 P2P2 P3P3 P4P4

PPaabbrriikk

AA 1010 1515 55 2020

BB 1515 55 1010 55

CC 2525 1010 55 1515

Untuk penyelesaiannya dibuat tabel transportasi sbb :

Contoh: Pengisian Dengan NWCR

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

50 5050

75

75 7575

25

25 5050

Total Biaya Distribusi = 50 * 10 + 50 * 15 + 75 * 5 + 75 * 10 + 25 * 5 + 50 * 15= 3250

Contoh: Pengisian Dengan Least-Cost

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

125 25

100

25

25

25 5050

Total Biaya Distribusi = 100 * 5 + 125 * 5 + 25 * 5 + 50 * 25 + 25 * 15

= 2875

Contoh: Pengisian Dengan VAM

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

Penalti :

Penalti :

5 05 10

5

0

10100

10 5 10

50

5

0

10 5

10

1575

50 50

Contoh: Pengisian Dengan VAM

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

100

50

75

50 50

Total Biaya Distribusi = 100 * 5 + 50 * 15 + 50 * 5 + 50 * 5 + 75 * 10= 2500

Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir

1. Berawal dari hasil untuk medapatkan solusi awal yang diperoleh menggunakan NWCR, LC, dan VAM dapat ditetapkan variabel-variabel yang termasuk basis.

2. Jumlah variabel basis yang dapat digunakan untuk melanjutkan ketahapan mencari solusi akhir adalah m + n – 1

3. Bila jumlah variabel basisnya kurang dari m + n –1, harus ditambahkan variabel basis dengan meletakan nilai 0 pada variabel non basis dengan nilai biaya paling kecil.

4. Setelah jumlah variabel basis sesuai dengan syarat, maka dapat dilanjutkan dengan menggunakan salah satu metoda (Stepping Stone atau Multiplier).

Lihat Contoh

Solusi Akhir

100

Contoh hasil solusi awal yang jumlah Variabel basisnya kurang dari m + n - 1

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

50

75

50 50

Pada tabel diatas ada 5 variabel basis, sehingga kurang satu dari m + n – 1, oleh karena itu perlu ditambahkan 1 variabel dengan meletakan nilai 0 di kotak yang mempunyai ‘cost’ paling kecil

0

Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir(Metoda Stepping Stone)(Metoda Stepping Stone)

Dengan menggunakan contoh hasil dari mencari solusi awal Dengan menggunakan contoh hasil dari mencari solusi awal dengan metoda NWCR, ditetapkan 6 variabel basis (ditandai dengan metoda NWCR, ditetapkan 6 variabel basis (ditandai dengan lingkaran warana hijau).dengan lingkaran warana hijau).

Langkah berikut mencari nilai untuk variabel non basis (kotak Langkah berikut mencari nilai untuk variabel non basis (kotak yang belum terisi) dengan cara sebagai berikut :yang belum terisi) dengan cara sebagai berikut :

1.1. Menetapkan nilai Var.Non Basis dengan menggunakan suatu Menetapkan nilai Var.Non Basis dengan menggunakan suatu loop, yang mulai dari kotak var.non basis menuju ke kotak-loop, yang mulai dari kotak var.non basis menuju ke kotak-kotak var. basis dan kembali lagi ke kotak tersebut.kotak var. basis dan kembali lagi ke kotak tersebut.Contoh: Kotak Var. Non Basis (A,P3) mempunyai loop sbb :Contoh: Kotak Var. Non Basis (A,P3) mempunyai loop sbb :

(A,P3) (A,P3) (B,P3) (B,P3) (B,P2) (B,P2) (A,P2) (A,P2) (A,P3)(A,P3)

2.2. Loop dapat bergerak searah jarum jam atau berlawanan jarum Loop dapat bergerak searah jarum jam atau berlawanan jarum jam.jam.


3.3. Nilai yang dituliskan pada kotak tersebut dihitung dari Nilai yang dituliskan pada kotak tersebut dihitung dari nilai-nilai ‘cost’ dari kotak yang dilalui loop dengan nilai-nilai ‘cost’ dari kotak yang dilalui loop dengan memperhatikan tanda dari tiap kotak.memperhatikan tanda dari tiap kotak.

4.4. Pada contoh, loop dimulai kotak (A,P4) diberi tanda +, Pada contoh, loop dimulai kotak (A,P4) diberi tanda +, kemudian kotak berikut tandanya -, dan seterusnya kemudian kotak berikut tandanya -, dan seterusnya sampai kembali ke kotak awal.sampai kembali ke kotak awal.

5.5. Contoh : Contoh :

(A,P3) (A,P3) (B,P3) (B,P3) (B,P2) (B,P2) (A,P2) (A,P2) (A,P3) (A,P3)

tandanyatandanya

+ + - - + + - - + +


10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

50 50

75 75

25 50

Nilai Variabel non-basis untuk (A,P3) adalah : 5 – 10 + 5 – 15 = -15.

Penetapan nilai variabel non basis lainnya mengikuti langkah-langkah 1 sampai 5


10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

50 50

75 75

25 50

-15

(A,P4) = (A,P4)(C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P4) = 20 – 15 + 5 – 10 + 5 – 15 = -10

Dan seterusnya untuk variabel non basis lain….

Dari tabel diatas kotak (A,P3) dipilih karena paling negatif untuk pengalokasian baru

-10

-5 -5

30 10


10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

50 50

75 75

25 50

-15 -10

-5 -5

30 10

Jumlah produk yang akan di alokasikan ke kotak (A,P3) berasal dari kotak-kotak yang dilalui loop dengan tanda -.(Pilih nilai terkecil dari kotak-kotak bertanda -)

(A,P3)(+) (B,P3)(-) (B,P2)(+) (A,P2)(-)

Komposisi alokasi yang baru ada pada pada tabel berikut.


10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

50 50

125 25

25 50

Total Biaya = 2500

Langkah berikutnya adalah mengisi kembali kotak-kotak variabel non basis seperti pada langkah-langkah sebelumnya, sampai tidak ada variabel non basis yang bernilai negatif. (Berarti kondisi feasibel dan optimal)


Hasil optimalnya adalah

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

50

50100

50

50

Total Biaya

2000

25

5 5

10 10

15 0

Kondisi Feasibel dan Optimal

Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV)

1.1. Metoda Multiplier atau UV merupakan salah satu metoda Metoda Multiplier atau UV merupakan salah satu metoda untuk mendapatkan solusi akhir yang feasible dan optimal untuk mendapatkan solusi akhir yang feasible dan optimal dari permasalahan transportasi.dari permasalahan transportasi.

2.2. Metoda ini dapat digunakan bila variabel basis sudah Metoda ini dapat digunakan bila variabel basis sudah ditetapkan (menggunakan metoda NWCR, Least Cost atau ditetapkan (menggunakan metoda NWCR, Least Cost atau VAM).VAM).

3.3. Apabila variabel basis telah ditetapkan, kemudian Apabila variabel basis telah ditetapkan, kemudian ditentukan nilai Ui untuk baris dan Vj untuk kolom.ditentukan nilai Ui untuk baris dan Vj untuk kolom.

i = 1 … m dan j = 1… ni = 1 … m dan j = 1… n

4.4. Tetapkan terlebih dulu salah satu nilai Ui atau Vj sebesar 0Tetapkan terlebih dulu salah satu nilai Ui atau Vj sebesar 0


5.5. Nilai Ui dan Vj lainnya ditetapkan berdasarkan rumus Nilai Ui dan Vj lainnya ditetapkan berdasarkan rumus berikut :berikut :

Ui + Vj = CijUi + Vj = CijCij = merupakan nilai ‘cost’ Cij = merupakan nilai ‘cost’ dari kotak variabel basisdari kotak variabel basis

6.6. Setelah semua nilai Ui dan Vj diperoleh, kemudian Setelah semua nilai Ui dan Vj diperoleh, kemudian menetapkan nilai untuk variabel non basis berdasarkan menetapkan nilai untuk variabel non basis berdasarkan rumus :rumus :

Cij – Ui – VjCij – Ui – Vj

Cij =Cij = merupakan nilai ‘cost’ padamerupakan nilai ‘cost’ pada dari kotak variabel non dari kotak variabel non

basis basis

7.7. Bila nilai pada kotak variabel non basis ada yang negatif Bila nilai pada kotak variabel non basis ada yang negatif berarti kondisi belum optimal, kemudian pilih nilai berarti kondisi belum optimal, kemudian pilih nilai variabel non basis yang paling negatif.variabel non basis yang paling negatif.


8.8. Berawal dari kotak variabel non basis, buat suatu loop Berawal dari kotak variabel non basis, buat suatu loop tertutup. Loop dapat searah jarum jam atau berlawanan.tertutup. Loop dapat searah jarum jam atau berlawanan.

9.9. Tetapkan tanda + atau – bergantian sesuai dengan kotak Tetapkan tanda + atau – bergantian sesuai dengan kotak yang dilalui loop. Berawal pada kotak variabel non basis yang dilalui loop. Berawal pada kotak variabel non basis dengan tanda +.dengan tanda +.

10.10. Kotak yang bertanda + berarti sejumlah unit ditambahkan Kotak yang bertanda + berarti sejumlah unit ditambahkan pada kotak tersebut. Besarnya unit yang ditambahkan pada kotak tersebut. Besarnya unit yang ditambahkan adalah sama dengan nilai terkecil pada kotak yang adalah sama dengan nilai terkecil pada kotak yang mempunyai tanda negatif.mempunyai tanda negatif.

11.11. Kotak variabel basis yang tidak dilalui loop, nilainya tetap.Kotak variabel basis yang tidak dilalui loop, nilainya tetap.12.12. Ulangi langkah 4 sampai 11, bila masih terdapat nilai Ulangi langkah 4 sampai 11, bila masih terdapat nilai

variabel non basis yang masih negatifvariabel non basis yang masih negatif

Solusi Akhir Dengan Metoda Multipler (UV)

V1= V2= V3= V4=

U1=

U2=

U3=

0

10 15

-10

20

-15

15

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

50 50

75 75

25 50

-15 5

0 10

25 10

Loop : (A,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P3)

+ - + -

Iterasi I

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

V1= V2= V3= V4=

U1=

U3=

U2=

50

25125

25 50

500

10 5

5

Iterasi II

0

0

15

15 5

-5 -15

10 10

Total Biaya

2500

Loop : (B,P4) (C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P4)

+ - + -

0

Kondisi Feasibel, belum Optimal

Iterasi III

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

V1= V2= V3= V4=

U1=

U3=

U2=

50

25125

2550

500

10 5

-10

15

0

15

Total Biaya

22500 5

15 15

15 -5

Loop : (C,P2) (B,P2) (B,P4) (C,P4) (C,P2)

+ - + -Kondisi Feasibel, belum Optimal

Iterasi IV

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A

B

C

P1 P2 P3 P4

75

150

100

50 125 100 50 325

V1= V2= V3= V4=

U1=

U3=

U2=

50

50100

50

500

10 5

-5

10

0

15

Total Biaya

2000

25

5 5

10 10

15 0

Kondisi Feasibel dan Optimal

TRANSPORTATION PROBLEM

Documents

Transcript of TRANSPORTATION PROBLEM