Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)

41
1 Bahan Ajar TRANSFORMASI (Translasi, Rotasi dan Dilatasi)

Transcript of Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)

1

Bahan Ajar

TR AN S FO RMAS I (Translasi, Rotasi dan Dilatasi)

2

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukanpeta atau bayangan suatu kurva

hasil dari suatu Translasi, Rotasi atau Dilatasi

3

Transformasi

Untuk memindahkan suatu titik ataubangun pada sebuah bidang dapatdikerjakan dengan transformasi.

Transformasi T pada suatu bidang‘memetakan’ tiap titik P pada bidang

menjadi P’ pada bidang itu pula.Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P

4

Jenis-jenis Transformasi

a. Tranlasi*)

b. Refleksi

c. Rotasi*)

d. Dilatasi*)

*) yang dibahas kali ini

5

• Tranlasiartinya pergeseran

KEMBALI

6

Jika translasi T =

memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’)maka x’ = x + a dan y’ = y + bditulis dalam bentuk matrik:

b

a

+

=

b

a

y

x

y'

x'

7

Contoh 1Diketahui segitiga OAB dengan

koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan

B(3,5).Tentukan koordinat bayangan

segitiga OAB tersebut bila

ditranslasi oleh T =

3

1

8

Bahasan(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)

0’(1,3)

(3,0) → (3 + 1, 0 + 3)

A’(4,3)

(3,5) → (3 + 1, 5 + 3)

B’(4,8)X

y

O

=

3

1T

=

3

1T

=

3

1T

9

Contoh 2

Bayangan persamaan lingkaran

x2 + y2 = 25

oleh translasi T =

adalah….

−3

1

10

Bahasan

X

P (-1,3) ●

11

Karena translasi T = maka

x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)

y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)

• dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25

diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;

Jadi bayangannya adalah:

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25

−3

1

12

Contoh 3Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)

adalah (7,-8). Bayangan kurva

y = x2 + 4x – 12 oleh translasi

tersebut adalah….

13

BahasanMisalkan translasi tersebut T =

Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T

adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)

1+ a = 7 → a = 6

-5+ b = -8 → b = -3

b

a

14

a = 6 dan b = -3 sehingga

translasi tersebut adalah T =

Karena T =

Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6

y’ = y – 3 → y = y’ + 6

− 3

6

− 3

6

15

x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi

ke y = x2 + 4x – 12

y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12

y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12

y’ = (x’)2 – 8x’ – 3

Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3

16

• Rotasiartinya perputaran

ditentukan oleh

pusat dan besar sudut putar

KEMBALI

17

• Rotasi Pusat O(0,0)

Titik P(x,y) dirotasi sebesar αberlawanan arah jarum jam

dengan pusat O(0,0) dan

diperoleh bayangan P’(x’,y’)

maka: x’ = xcosα - ysinα y’ = xsinα + ycosα

18

Jika sudut putar α = ½π

(rotasinya dilambangkan dengan R½π)

maka x’ = - y dan y’ = xdalam bentuk matriks:

Jadi R½π =

−=

y

x

y

x

01

10

'

'

01

10

19

• Contoh 1

Persamaan bayangan garis

x + y = 6 setelah dirotasikan

pada pangkal koordinat dengan

sudut putaran +90o, adalah….

20

• PembahasanR+90

o berarti: x’ = -y → y = -x’

y’ = x → x = y’

disubstitusi ke: x + y = 6

y’ + (-x’) = 6

y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6

Jadi bayangannya: x – y = -6

21

• Contoh 2

Persamaan bayangan garis

2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan

pada pangkal koordinat dengan

sudut putaran -90o , adalah….

22

• Pembahasan

R-90o berarti:

x’ = xcos(-90) – ysin(-90)y’ = xsin(-90) + ycos(-90)x’ = 0 – y(-1) = yy’ = x(-1) + 0 = -x’ atau

dengan matriks:

=

y

x

01

10

'y

'x

23

R-90o berarti: x’ = y → y = x’

y’ = -x → x = -y’

disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0

2(-y’) - x’ + 6 = 0

-2y’ – x’ + 6 = 0

x’ + 2y’ – 6 = 0

Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0

24

Jika sudut putar α = π

(rotasinya dilambangkan dengan H)

maka x’ = - x dan y’ = -ydalam bentuk matriks:

Jadi H =

−=

y

x

y

x

10

01

'

'

10

01

25

• ContohPersamaan bayangan parabola

y = 3x2 – 6x + 1

setelah dirotasikan

pada pangkal koordinat dengan

sudut putaran +180o, adalah….

26

• PembahasanH berarti: x’ = -x → x = -x’

y’ = -y → y = -y’

disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1

-y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1 -y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)

Jadi bayangannya:

y = -3x2 – 6x - 1

27

• Dilatasi

Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.

KEMBALI

28

Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k

Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap

pusat O(0,0) dan faktor skala k

didapat bayangan P’(x’,y’) maka

x’ = kx dan y’ = ky

dan dilambangkan dengan [O,k]

29

• ContohGaris 2x – 3y = 6 memotong

sumbu X di A dan memotong

sumbu Y di B. Karena dilatasi

[O,-2], titik A menjadi A’

dan titik B menjadi B’.

Hitunglah luas segitiga OA’B’

30

• Pembahasangaris 2x – 3y = 6

memotong sumbu X di A(3,0)

memotong sumbu Y di B(0,2)

karena dilatasi [O,-2] maka

A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan

B’(kx,ky) → B’(0,-4)

31

Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga

seperti pada gambar:

Sehingga luasnya = ½ x OA’ x OB’

= ½ x 6 x 4 = 12

X

Y-4

-6 OA

B

32

Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala k

bayangannya adalah

x’ = k(x – a) + a dan

y’ = k(y – b) + b

dilambangkan dengan

[P(a,b) ,k]

33

• Contoh

Titik A(-5,13) didilatasikan

oleh [P,⅔] menghasilkan A’.

Jika koordinat titik P(1,-2),maka

koordinat titik A’ adalah….

34

• Pembahasan

A(x,y) A’(x’,y’)

x’ = k(x – a) + a

y’ = k(y – b) + b

A(-5,13) A’(x’ y’)

[P(a,b) ,k]

[P(1,-2),⅔]

35

x’ = k(x – a) + a

y’ = k(y – b) + b

A(-5,13) A’(x’ y’)

x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3

y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8

Jadi koordinat titik A’(-3,8)

[P(1,-2),⅔]

36

• Transformasi InversUntuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi

yang ditulis dalam bentukmatriks, digunakantransformasi invers

37

• Contoh

Peta dari garis x – 2y + 5 = 0

oleh transformasi yang

dinyatakan dengan matriks

adalah…. 32

11

38

• Pembahasan

A(x,y) A’(x’ y’)

Ingat: A = BX maka X = B-1.A

32

11

=

y

x

32

11

'

'

y

x

−−

=

y'

x'

12

13

23

1

y

x

39

−−

=

y'

x'

12

13

23

1

y

x

−=

y'

x'

12

13

y

x

Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan

y = -2x’ + y’

+−

−=

y' 2x'

y' 3x'

y

x

40

x = 3x’ – y’ dan y= -2x’ + y’

disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0

3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0

3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0

7x’ – 3y’ + 5 = 0

Jadi bayangannya:

7x – 3y + 5 = 0

SELAMAT BELAJAR

41