Análisis de redes mediante transformada de Laplace

ING. ELECTRÓNICAUNIDAD 3Circuitos eléctricos ii

Introducción

● Al finalizar el estudiante podrá realizar el análisis de redes con transformadas de Laplace.

Necesidad

Definiendo la necesidad

● El control de un sistema y entender su funcionamiento a partir de ecuaciones matemáticas sencillas.

Definiendo la necesidad

● El control de un sistema y entender su funcionamiento a partir de ecuaciones matemáticas sencillas.

Sistema

● Es un modelo matemático de un proceso físico que relaciona su entrada con su salida

Es totalmente válido considerar los circuitos como sistemas∴

Prefacio

● Históricamente, los circuitos se han estudiado como un tema diferente de los sistemas, por lo que en realidad se tratará acerca de los circuitos y sistemas en este capítulo, tomando en cuenta que los circuitos no son más que un tipo de sistemas eléctricos.

● Lo más importante que hay que recordar es que se aplica a sistemas lineales.

Pasos para aplicar TdL en circuitos eléctricos

● 1. Transformar el circuito del dominio temporal al dominio de s.

● 2. Resolver el circuito usando el análisis nodal, el análisis de mallas, la transformación de fuentes, la superposición o cualquier otra técnica del análisis de circuito con la que se esté familiarizado.

● 3. Calcular la transformada inversa de la solución y, obtener así la solución en el dominio temporal.

Modelos de los elementos de un circuito

Resistencia

● Aplicando relación de tensión-corriente en el dominio del tiempo:

● Calculando su transformada de Laplace

Circuito eléctrico

Inductor

● En este caso se realiza el cambio de variable y se resuelve la derivada di(t)/dt

Inductores

Circuito eléctrico para V o i = 0 t<=0-

V o i distinto de 0 para t<=0

Capacitor

● En el dominio del tiempo:

Dominio de la frecuencia

● Dominio S

Capacitor

Circuito eléctrico v o i = 0 para t<=0

V o i distinto de 0 para t<=0

Suponiendo condiciones anteriores nulas al inicio de t=0

Condiciones nulas para t<0-

Impedancia en dominio S

Impedancia dominio S

Resumen

Ejemplo 1

● Condiciones nulas.

● Encuentre VO(t) con TdL en el circuito de la figura siguiente.

Solución

● Pasamos todos los elementos de dominio del tiempo al dominio de la frecuencia S.

● Para la fuente de voltaje con escalón unitario recuerde que u(t)=> 1/s

Elementos transformados al dominio S

Antes - Después

Aplicando análisis de mallas

● Puede aplicar distintos métodos, pero para este caso se ajusta mejor el método de mallas.

Malla 1

Malla 2

Desarrollo

● Sustituyendo Ecuación 2 en 1

Obteniendo resultado de I2

Obteniendo VO(S)

Ejemplo 2

● Condiciones: V0(0)=5V

● Encuentre V0(t) para el siguiente circuito

Solución

● Transforme cada elemento al dominio S.● Considere todas las condiciones marcadas

anteriormente.● Considere sustituir el capacitor solitario por un

capacitor con fuente de corriente en paralelo para análisis de nodos.

0,1uF

Para determinar la corriente en la fuente

● Para t=0

i(0)=C V0(0)=0.1(5)

i(0)=0.5A

Circuito dominio S

Obtenemos que

Resultado

Este resultado no es posible pasarlo al dominio del tiempo aún, se requiere un paso adicional

“fracciones parciales”

Acomodando

Los valores de A y B se pueden obtener por los métodos del residuo o algebraico

Calculando A y B

Método Algebraico

Resultado

Dominio del tiempo

Ejercicio en clase

Tarea 1

● Investigar:– Métodos de solución de fracciones parciales en

TdL

Funciones de transferencia

H(S)

La función de transferencia es un concepto importante en el procesamiento de señales porque indica cómo se procesa una señal

conforme pasa a través de la red.

Función de transferencia

● Es una herramienta clave para encontrar la respuesta de una red, o para determinar (o diseñar) la estabilidad de la red y para la síntesis de la misma.

● La función de transferencia de una red describe cómo se comporta la salida respecto a la entrada.

La función de transferencia H(s) Es el cociente de la respuesta Y(s) a la salida y la excitación X(s) a la entrada, suponiendo que

todas las condiciones iniciales son nulas

Hay 4 posibles funciones de transferencia

Tarea 1. Unidad 3

● Investigación acerca de aplicaciones de la transformada de Laplace:– Investigue sobre el modelado de los siguientes

sistemas físicos mediante TdL● Resorte Amortiguador Masa● Resorte Masa Vertical● Circuito RCL● Motor de DC● Sistema de nivel de líquidos