TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

71
Análisis de redes mediante transformada de Laplace ING. ELECTRÓNICA UNIDAD 3 Circuitos eléctricos ii

Transcript of TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Page 1: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Análisis de redes mediante transformada de Laplace

ING. ELECTRÓNICAUNIDAD 3Circuitos eléctricos ii

Page 2: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Introducción

● Al finalizar el estudiante podrá realizar el análisis de redes con transformadas de Laplace.

Page 3: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Necesidad

Page 4: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Definiendo la necesidad

● El control de un sistema y entender su funcionamiento a partir de ecuaciones matemáticas sencillas.

Page 5: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Definiendo la necesidad

● El control de un sistema y entender su funcionamiento a partir de ecuaciones matemáticas sencillas.

Page 6: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Sistema

● Es un modelo matemático de un proceso físico que relaciona su entrada con su salida

Es totalmente válido considerar los circuitos como sistemas∴

Page 7: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Prefacio

● Históricamente, los circuitos se han estudiado como un tema diferente de los sistemas, por lo que en realidad se tratará acerca de los circuitos y sistemas en este capítulo, tomando en cuenta que los circuitos no son más que un tipo de sistemas eléctricos.

● Lo más importante que hay que recordar es que se aplica a sistemas lineales.

Page 8: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Pasos para aplicar TdL en circuitos eléctricos

● 1. Transformar el circuito del dominio temporal al dominio de s.

● 2. Resolver el circuito usando el análisis nodal, el análisis de mallas, la transformación de fuentes, la superposición o cualquier otra técnica del análisis de circuito con la que se esté familiarizado.

● 3. Calcular la transformada inversa de la solución y, obtener así la solución en el dominio temporal.

Page 9: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Modelos de los elementos de un circuito

Page 10: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Resistencia

● Aplicando relación de tensión-corriente en el dominio del tiempo:

● Calculando su transformada de Laplace

Page 11: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 12: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Circuito eléctrico

Page 13: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Inductor

● En este caso se realiza el cambio de variable y se resuelve la derivada di(t)/dt

Page 14: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 15: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Inductores

Page 16: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Circuito eléctrico para V o i = 0 t<=0-

Page 17: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

V o i distinto de 0 para t<=0

Page 18: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Capacitor

● En el dominio del tiempo:

Page 19: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Dominio de la frecuencia

● Dominio S

Page 20: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Capacitor

Page 21: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Circuito eléctrico v o i = 0 para t<=0

Page 22: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

V o i distinto de 0 para t<=0

Page 23: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Suponiendo condiciones anteriores nulas al inicio de t=0

Page 24: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Condiciones nulas para t<0-

Page 25: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Impedancia en dominio S

Page 26: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Impedancia dominio S

Page 27: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Resumen

Page 28: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 29: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Ejemplo 1

● Condiciones nulas.

● Encuentre VO(t) con TdL en el circuito de la figura siguiente.

Page 30: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Solución

● Pasamos todos los elementos de dominio del tiempo al dominio de la frecuencia S.

● Para la fuente de voltaje con escalón unitario recuerde que u(t)=> 1/s

Page 31: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Elementos transformados al dominio S

Page 32: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Antes - Después

Page 33: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Aplicando análisis de mallas

● Puede aplicar distintos métodos, pero para este caso se ajusta mejor el método de mallas.

Page 34: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Malla 1

Page 35: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Malla 2

Page 36: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Desarrollo

● Sustituyendo Ecuación 2 en 1

Page 37: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Obteniendo resultado de I2

Page 38: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Obteniendo VO(S)

Page 39: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 40: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 41: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 42: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 43: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 44: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 45: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Ejemplo 2

● Condiciones: V0(0)=5V

● Encuentre V0(t) para el siguiente circuito

Page 46: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Solución

● Transforme cada elemento al dominio S.● Considere todas las condiciones marcadas

anteriormente.● Considere sustituir el capacitor solitario por un

capacitor con fuente de corriente en paralelo para análisis de nodos.

Page 47: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

0,1uF

Page 48: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Para determinar la corriente en la fuente

● Para t=0

i(0)=C V0(0)=0.1(5)

i(0)=0.5A

Page 49: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 50: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 51: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Circuito dominio S

Page 52: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 53: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Obtenemos que

Page 54: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 55: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Resultado

Page 56: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Este resultado no es posible pasarlo al dominio del tiempo aún, se requiere un paso adicional

“fracciones parciales”

Page 57: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Acomodando

Los valores de A y B se pueden obtener por los métodos del residuo o algebraico

Page 58: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Calculando A y B

Page 59: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Método Algebraico

Page 60: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Resultado

Page 61: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 62: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Page 63: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Dominio del tiempo

Page 64: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Ejercicio en clase

Page 65: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Tarea 1

● Investigar:– Métodos de solución de fracciones parciales en

TdL

Page 66: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Funciones de transferencia

Page 67: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

H(S)

La función de transferencia es un concepto importante en el procesamiento de señales porque indica cómo se procesa una señal

conforme pasa a través de la red.

Page 68: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Función de transferencia

● Es una herramienta clave para encontrar la respuesta de una red, o para determinar (o diseñar) la estabilidad de la red y para la síntesis de la misma.

● La función de transferencia de una red describe cómo se comporta la salida respecto a la entrada.

Page 69: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

La función de transferencia H(s) Es el cociente de la respuesta Y(s) a la salida y la excitación X(s) a la entrada, suponiendo que

todas las condiciones iniciales son nulas

Page 70: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Hay 4 posibles funciones de transferencia

Page 71: TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Tarea 1. Unidad 3

● Investigación acerca de aplicaciones de la transformada de Laplace:– Investigue sobre el modelado de los siguientes

sistemas físicos mediante TdL● Resorte Amortiguador Masa● Resorte Masa Vertical● Circuito RCL● Motor de DC● Sistema de nivel de líquidos