Topografia Para Ingenieria

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UNIVERSIDAD DE LA SERENA DEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para Ingeniería Waldo Valencia Cuevas – Académico 1 TOPOGRAFÍA PARA INGENIERÍA Marzo 2008

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    TOPOGRAFA PARA INGENIERA

    Marzo 2008

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    Captulo 1 Conceptos y generalidades.

    1.1. Definicin de topografa. Tradicionalmente se ha definido a la topografa como una ciencia aplicada, encargada de determinar la posicin relativa de puntos sobre la Tierra y la representacin en un plano de una porcin de la superficie terrestre. En un sentido mas general, se puede definir como la disciplina que abarca todos los mtodos, para reunir informacin de partes fsicas de la Tierra y sus alrededores, usando para ello los mtodos clsicos de medicin en terreno, la topografa area (Anexo A) y la topografa por satlite (Anexo B). 1.1.1. Representacin de un punto en topografa. Un punto en el espacio puede representarse en 3D o en 2D, a travs de los sistemas cartesianos tri y bidimensionales respectivamente. En 3D o sistema cartesiano tridimensional. Figura 1: Sistema cartesiano tridimensional. P(X;Y;Z): coordenadas tridimensionales del punto P, expresadas en metros. P'(X;Y) : coordenadas bidimensionales del punto P, expresadas en metros. Ejemplo: P(X;Y;Z) = P(5000; 5000; 500) Este tro de puntos nos indica que las coordenadas respectivas del punto P son: XP = 5000 m (coordenada este de P). YP = 5000 m (coordenada norte de P). ZP = 500 m (cota o altitud de P).

    P(X;Y;Z

    P'(X;Y)

    X (Este)

    Z (Cota o Altitud )

    Y(Norte)

    XP

    YP

    ZP

    XP : Proyeccin Este de P. YP : Proyeccin Norte de P. ZP : Cota o altitud de P.

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    La diferencia entre cota y altitud, radica en que la primera est referida a un plano de referencia cualquiera, mientras que la altitud lo est al nivel medio del mar. En 2D o sistema cartesiano bidimensional. Figura 2: Sistema cartesiano bidimensional. 1.1.2. Operaciones topogrficas. En los mtodos topogrficos corrientes de medicin en terreno, no se considera la verdadera forma de la Tierra, solo se utilizan modelos aproximados a la realidad, entre las prescindencias esta se considera plana, la direccin de la plomada entre dos puntos sera paralela y los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeas, hechas estas consideraciones, cabe destacar que se distinguiran tres operaciones topogrficas importantes, el levantamiento, el replanteo y el control. 1.1.2.1. Levantamiento topogrfico. Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posicin de puntos en el espacio y su representacin en un plano, el conjunto de operaciones incluye: Seleccin del mtodo de levantamiento (poligonacin, radiacin, triangulacin,

    interseccin inversa, perfiles, contorno, etc.) Eleccin del instrumental a utilizar (estacin total con jaln y prisma, teodolito

    con mira, teodolito con cinta, teodolito-distancimetro con jaln y prisma, nivel de ingeniero con mira, etc.)

    Identificar y ubicar posibles vrtices de apoyo (red geodsica nacional, red geodsica de nivelacin nacional, red G.P.S., red local, etc.)

    Realizaciones de mediciones en terreno (distancia horizontal, vertical, direcciones de lneas, ngulos) en forma directa o indirectamente.

    Registro de datos en forma manual (tiende a desaparecer), o automatizada (tendencia actual).

    Y(Norte)

    X(Este)

    P(X,Y) YP

    YP: Proyeccin Norte de P.

    XP: Proyeccin Este de P.

    XP

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    Clculo y procesamiento de datos por procedimientos manuales (tiende a desaparecer), o automatizada ( a travs de software topogrfico).

    Elaboracin de planos por medios manuales (tiende a desaparecer) y automatizados ( a travs de software topogrfico y plotter).

    1.1.2.2. Replanteo. Una vez realizado el levantamiento y teniendo como resultado un plano topogrfico, los ingenieros o planificadores realizan proyectos sobre ellos, que hay que materializar en el terreno, por lo tanto, la operacin de replanteo consiste en volver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geomtricos previamente definidos en el proyecto. Esta operacin contempla un replanteo planimtrico (consistente en ubicar en el terreno en 2D la posicin de un punto, al medir la distancia horizontal y el ngulo horizontal horario entre la estacin de ubicacin del instrumento, la estacin de calaje y el punto a replantear) y un replanteo altimtrico ( consistente adems en ubicar en el terreno la diferencia de nivel sobre o bajo la cota de terreno, para completar la posicin en 3D del punto a materializar). Esta operacin de replanteo general incluye la colocacin de hitos, monolitos, marcas, crucetas, etc. para delinear, delimitar y guiar trabajos de ingeniera. 1.1.2.3. Control. Conjunto de operaciones cuya finalidad es constatar o fiscalizar en el terreno la materializacin de las obras de ingeniera, en el caso de una obra vial no solo se fiscaliza las dimensiones y componentes de la loza o carpeta de asfalto, con sus respectivos testigos y especificaciones tcnicas, sino tambin los radios de curvatura, desarrollos, las posiciones de los principios y fin de curvas, el peralte, el bombeo, y dems elementos geomtricos de las curvas verticales y horizontales. Por otro lado en la propiedad minera, el inspector debe chequear la posicin o amarre del hito de mensura a la red geodsica nacional, o a la red G.P.S, las correctas dimensiones de los hitos, y el mtodo topogrfico o geodsico utilizado. En general es segn la actividad desarrollada y el organismo estatal con facultades de georreferenciacin, lo que el inspector debe realizar. 1.2. Relacin de la topografa con otras disciplinas y ciencias. La topografa (clsica de medicin en terreno, area y satelital) se relaciona con diversas ciencias tales como, las ciencias exactas, las ciencias naturales, las ciencias de la tierra y un sin nmero de disciplinas, esta relacin tiene que ver desde los fundamentos matemticos, pticos, tericos, de proyecciones cartogrficas, hasta con los elementos y soluciones qumicas que se requieren para rebelar las imgenes fotogrficas de los levantamientos aerofotogramtricos, como tambin la tecnologa aplicada en la topografa clsica, en los sistemas de posicionamiento global por satlite y la que se usa en las imgenes satelitales.

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    En este texto abordaremos la estrecha relacin de la topografa con la geodesia y la cartografa. 1.2.1. Definicin de geodesia. La geodesia es la ciencia que trata de las investigaciones de la forma y dimensiones de la superficie terrestre, incluyendo su campo gravitacional exterior y el posicionamiento de puntos sobre la superficie de la Tierra.

    Figura 3: El geoide y un elipsoide geocntrico. La superficie de la Tierra, tal como la conocemos, dista mucho de ser uniforme, sin embargo los ocanos son bastante mas uniforme (an cuando imgenes satelitales indican que tambin en el mar se observan valles y montaas), pero la superficie o topografa de las masas de tierra muestran grandes variaciones verticales entre montaas y valles, lo cual hace imposible expresar la forma sobre un rea de gran tamao, mediante un modelo razonablemente simple; esto se puede simplificar al remover la masa continental sobre el nivel medio del mar, resultando una superficie con algo de realidad fsica, que se denomina geoide, figura que no posee una expresin matemtica, pero que corresponde a una superficie equipotencial del campo de gravedad de la Tierra que mejor se aproxima al nivel medio del mar (nmm).

    Si la Tierra tuviera una densidad uniforme, la topografa terrestre no existira, y el geoide tendra la forma de un elipsoide achatado, centrado sobre el centro de masa de la Tierra; sin embargo donde exista una deficiencia de masa, el geoide se undir por debajo del elipsoide promedio, y al revs donde exista un exceso de masa, el geoide se levantar por sobre el elipsoide medio, a esta desviacin se le conoce como ondulacin o altura geoidal que alcanza en algunas zonas mas o menos 100 m. Estas variaciones han sido determinadas utilizando datos de satlites pticos y dpler, mediciones gravimtricas, redes geodsicas, poligonales de alta precisin, mediciones astronmicas y adoptando previamente un elipsoide con parmetros establecidos.

    Elipsoide

    Geoide

    Ondulacin geoidal

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    Para realizar clculos de posicin, distancia, direcciones, etc. sobre la superficie terrestre, es necesario tener algn marco de referencia matemtico, en nuestro caso el elipsoide achatado es el mejor modelo matemtico, dado que es una figura geomtrica relativamente simple y que se ajusta al geoide. Las naciones o grupos de naciones han escogido diferentes elipsoides de referencia, los cuales calzan en forma adecuada con un rea particular del geoide, y al punto donde la altura geoidal es mnima o cero, es decir, donde coincide el elipsoide de referencia con el geoide se le denomina datum, y para su identificacin, se le agrega el nombre del lugar geogrfico y el pas donde se origina. La expresin del elipsoide como modelo matemtico de la Tierra es:

    1/// 222222 =++ czbyax si = 0z 1// 2222 =+ byax , correspondiendo a la ecuacin de la elipse, donde a representa el semieje mayor o ecuatorial y b el semieje menor o polar. Los parmetros utilizados para definir un elipsoide de revolucin son ( ba, )

    o ( fa, ) y e , donde abaf /)( = achatamiento y e= 2)/(1 ab = 22 ff excentricidad. 1.2.1.1. Representacin de un punto en geodesia. Un punto en geodesia se representa en el sistema de coordenadas geogrficas, cuyos orgenes son el paralelo del Ecuador y el meridiano de Greenwich, que permiten fijar la posicin de un punto sobre el elipsoide, por medio de la latitud () y longitud ().

    Figura 4: Coordenadas geogrficas de un punto P.

    Polo Norte

    Polo Sur

    Meridiano Greenwich

    Ecuador

    P( ,)

    Hemisferio Norte

    Hemisferio Sur

    Paralelo del punto P Meridiano del punto P

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    La latitud de un punto, es el ngulo que se genera entre la normal al elipsoide a travs del punto y el plano ecuatorial, toma el valor cero grado sexagesimal en el Ecuador y aumenta hacia los polos hasta un valor mximo de 90 grados sexagesimales en el Polo Norte y 90 grados sexagesimales en el Polo sur. La longitud de un punto, es el ngulo que se forma entre la elipse meridiana que pasa a travs de Greenwich y la elipse meridiana que contiene al punto; se mide a lo largo del Ecuador desde el meridiano de Greenwich 180 grados sexagesimales en direccin Este y 180 grados en direccin Oeste.

    Figura 5: Las tres superficies, Topografa superficie terrestre, Geoide y Elipsoide. 1.2.2. Definicin de cartografa. La cartografa es la disciplina que estudia la representacin de la superficie terrestre en cartas o mapas topogrficos, a travs de proyecciones cartogrficas. 1.2.2.1. Proyeccin cartogrfica U.T.M. (Universal Transversal de Mercator)

    Figura 6: Elipsoide girando en su eje polar en un cilindro secante da origen a 60 Husos.

    Normal al elipsoide Normal al geoide (Direccin de plomada)

    Elipsoide

    Superficie terrestre Superficie del mar geoide

    Desviacin de la vertical

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    Acuerdos cartogrficos internacionales que se iniciaron a partir de la conferencia en Blgica 1951 por la I.U.G.G. (International Union of Geodesy and Geophysics, Unin Internacional de Geodesia y Geofsica), recomendaron el uso de la proyeccin Universal Transversal de Mercator, por ser esta una proyeccin conforme, donde las deformaciones se hacen mnimas. Esta proyeccin puede ser visualizada como la Tierra encerrada en un cilindro secante, cuyo eje forma un ngulo de 90 grados sexagesimales con el eje polar de la tierra. El cilindro tiene generalmente un radio menor que el de la Tierra, de tal manera que las lneas de contacto entre la superficie cilndrica y la superficie elipsoidal sern lneas paralelas a los meridianos. Girando el elipsoide dentro del cilindro, la secancia podra hacerse frente a cualquier meridiano central y los puntos situados a 3 grados sexagesimales de el, se pueden considerar casi libres de distorsin, donde los paralelos y meridianos terrestres quedarn representados en una superficie plana, por lneas rectas y paralelas que se cortan en ngulo recto; todo esto gracias a que la superficie del cilindro puede extenderse como un plano, lo que da origen al sistema de cuadriculado U.T.M.

    Si se gira el cilindro en torno al eje polar terrestre se forman 60 zonas de 6 grados sexagesimales de longitud cada una, cada zona se denomina Huso y estn numerados desde el 1 al 60, partiendo del meridiano 180 y siguiendo la direccin Este. Nuestro pas est comprendido en los Husos 18 y 19, cuyos meridianos centrales son 75 y 69 de longitud Weste respectivamente. Por otro la extensin en latitud de cada zona es de 84 y 80 hacia el Norte y Sur del Ecuador correspondientemente.

    Figura 7: Tres zonas o Husos de 6 de longitud cada una, con sus respectivos meridianos centrales.

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    La proyeccin UTM toma como origen de las ordenadas al Ecuador, para el Hemisferio Norte se le asigna el valor 0 m, ascendiendo en la direccin del Polo Norte, al Hemisferio Sur se le asignan 10.000.000 m, descendiendo en la direccin del polo Sur, el origen de las abscisas es el Meridiano Central de cada Huso, asignando a cada uno de ellos un valor de 500.000 m. Las ordenadas se conocen como coordenadas Norte UTM y las abscisas como coordenadas Este UTM. El valor de las abscisas en la proyeccin UTM (EUTM) aumentan en la direccin Este del Meridiano Central y disminuyen en la direccin Weste. Por otro lado si se trazaran paralelas al Paralelo del Ecuador en la direccin Sur, y paralelas a ambos lados del Meridiano Central, se generara el sistema de cuadriculado UTM, consistente en una red de lneas perpendiculares entre si, que forman una serie de sectores cuadrados del mismo tamao, con datos marginales que dan valor a cada una de las lneas que los forman. 1.2.2.2. Cartografa nacional y sistemas de datum utilizados. En nuestro pas trabajamos con tres sistemas de datum, dos locales y uno global: Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela 1956 (PSAD-56). Elipsoide: elipsoide internacional de 1924. a : 6.378.388,000 m semieje ecuatorial b : 6.356.911,946 m semieje ecuatorial f : ( ba ) / a = 1 1 achatamiento

    296,999998231 297

    2222 /)(: abae = 0,00672267006118 primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse

    2'e : 222 /)( bba = 0,0067681702366 segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse Obs. 1 : La cartografa nacional escala 1:50.000 y 1:250.000 est referida al PSAD-56. Obs. 2 : La Constitucin de la Propiedad Minera nacional al norte de la latitud Sur 4330 est referida al PSAD-56. Obs. 3: El centro geomtrico del elipsoide PSAD-56 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocntrico).

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    Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969 (SAD-69). Elipsoide: elipsoide sudamericano de referencia 1969. a : 6.378.160,000 m semieje ecuatorial b : 6.356.774,720 m semieje ecuatorial f : (a- b) / a = 1 1 achatamiento 298,250011223 298,25 e2 : (a2 b2) /a2 = 0,00669454160387 primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse e2 : (a2 b2)/b2 = 0,0067396605417 segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse Obs. 1: La cartografa Nacional escala 1:25.000, 1:100.000, 1:500.000 y la ortofotografa 1:10.000 y 1:20.000 est referida al SAD-69. Obs. 2: La Constitucin de la Propiedad Minera nacional al sur de la latitud Sur 4330 est referida al SAD-69. Obs. 3: El centro geomtrico del elipsoide SAD-69 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocntrico). Sistema Geodsico Mundial Misuri, EE.UU. 1984 (WGS-84). Elipsoide: Elipsoide mundial de referencia de 1984. a : 6.378.137,0000 m semieje ecuatorial b : 6.356.752,3142 m semieje ecuatorial f : (a- b) / a = 1 achatamiento 298,257222933 e2 : (a2 b2) /a2 = 0,0066943800047 primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse e2 : (a2 b2)/b2 = 0,00673949675703 segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse

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    C2,0 : -484,16685 x 10-6 Coeficiente normalizado de armnico zonal de segundo grado de potencial de gravitacin. W : 7292115 x 10-11 Rad/S Velocidad angular de la tierra. GM : 3986005 x 108 m3/S2 Constante de gravitacin de la tierra (masa de la atmsfera de la tierra incluida). Obs. 1: El Instituto Geogrfico Militar (IGM) ha comenzado a partir de 1996, la edicin conjunta en PSAD-56 y WGS-84 de la cartografa nacional 1:50.000, existiendo en las cartas parmetros para convertir coordenadas desde PSAD-56 a WGS-84 y viceversa. Ejemplo : para la carta de Santiago E-58 escala 1:50.000 NUTM PSAD-56 = NUTM WGS-84 + 414 m. EUTM PSAD-56 = EUTM WGS-84 + 192 m. Obs. 2: Los GPS tipo navegadores, profesionales y geodsicos vienen configurados en el sistema WGS-84, en el caso de los navegadores cuando se le agotan las bateras y se est trabajando en algn sistema geodsico local (PSAD-56 o SAD-69), debe revisarse el datum de configuracin del equipo, dado que, cuando pasan varias horas del reemplazo de las bateras, automticamente vuelve la configuracin al datum WGS-84. Obs. 3: El centro geomtrico del elipsoide WGS-84 coincide con el centro de masa de la tierra (es geocntrico). 1.3. Tipos de levantamientos. Existen diversas variantes de levantamientos, tanto es as que un especialista en una disciplina topogrfica a lo largo de su trayectoria, puede tener escaso contacto con las otras reas de desarrollo de la topografa. Los levantamientos actualmente se utilizan para confeccionar cartas topogrficas de la superficie terrestre, de los fondos marinos, deslindes de propiedades pblicas, privadas, mineras, agrcolas, para la navegacin area, terrestre y martima, para conocer el relieve del suelo y el comportamiento del subsuelo, tambin se usan en los estudios catastrales, peritajes judiciales y proyectos de ingeniera. Adems se emplean en la evaluacin de datos sobre el tamao, forma, gravedad y campo magntico terrestre, y an se ha logrado confeccionar planos de la Luna y de los Planetas.

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    Dado que la topografa es demasiado importante para muchas ramas de la ingeniera, en este texto trataremos los levantamientos que tienen mayor aplicabilidad en ella. Levantamiento geodsico o de control: son levantamientos de grandes

    extensiones de terrenos, de alta precisin u orden geodsico, generalmente abarcan la totalidad o gran parte de los territorios de los pases, consideran la verdadera forma y dimensiones de la Tierra, conforman redes longitudinales y transversales de puntos con coordenadas horizontales y verticales, que sirven como marco de referencia para otros levantamientos de menor rango geodsico. Comnmente los ejecutan organismos del Estado, en nuestro pas el IGM (Instituto Geogrfico Militar), el SHOA (Servicio Hidrogrfico y Ocenico de la Armada).

    Levantamientos topogrficos: determinan la posicin y caractersticas de

    los accidentes naturales y artificiales, incluyendo las elevaciones de los puntos que permitan la representacin en un plano. No consideran la verdadera forma de la Tierra , sta se considera plana, la direccin de la plomada entre puntos sera paralela en la obtencin de los rumbos y azimutes de las lneas que se forman, los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeas.

    Levantamientos aerofotogramtricos: forman parte de la topografa area

    (ver Anexo A), utiliza la percepcin remota a travs de una cmara fotogrfica ubicada en la parte posterior de un avin para tomar los datos de terreno (fotogramas), siguiendo rigurosamente la planificacin del vuelo y a partir de las fotografas areas obtenidas, se hace uso de la fotogrametra, de los procesos de restitucin, fotointerpretacin, clasificacin de terreno, proceso cartogrficos y de los vrtices de apoyo terrestre para obtener las cartas, mapas o planos topogrficos. Estos levantamientos se usan para terrenos de difcil acceso, pueden abarcar grandes extensiones del territorio y se pueden lograr gran precisin en ellos. La cartografa nacional del territorio continental, insular y Antrtico se ha obtenido usando esta metodologa. El SAF (Servicio Aerofotogramtrico) de la Fuerza Area de Chile, el IGM (Instituto Geogrfico Militar) son los principales organismos del estado que realizan este tipo de levantamientos en nuestro pas.

    Levantamientos catastrales: normalmente se trata de levantamientos

    urbanos o rurales, con el propsito de localizar los linderos de las propiedades (agrcolas, mineras, acuicultura, derechos de agua, etc.), las construcciones que contienen, para conocer sus detalles, su extensin, su valor o tasacin, los derechos de propiedad y transmisin, con la finalidad principal de que el estado pueda recaudar los impuestos respectivos.

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    Levantamientos hidrogrficos: corresponden a los levantamientos relacionados con la definicin de deslindes de playas de mar, ros, lagos, embalses, y otros cuerpos de agua, as como con la configuracin e irregularidades de sus profundidades (batimetra), utilizando instrumental topogrfico clsico en la determinacin planimtrica y sofisticados instrumentos electrnicos para determinar sus profundidades. Las finalidades pueden ir desde la delimitacin de sus playas para uso pblico, pasando por la navegacin, estudio de sedimentos y el dragado de sus fondos. El organismo oficial, tcnico y permanente del estado en nuestro pas facultado para dirimir diferendos en los trabajos en las costas, lagos y ros es el SHOA.

    Levantamientos de ingeniera: incluye los trabajos topogrficos requeridos

    antes, durante y despus del trmino o cierre de los proyectos de ingeniera, un plano topogrfico resultante de un levantamiento que entregue la configuracin del terreno, mas la incipiente concepcin mental de algn proyecto de ingeniera, son las materias primas mas elementales y suficientes para que un ingeniero comience a plasmar en el plano su proyecto. Posteriormente necesitar materializar cada uno de sus elementos en el terreno (operacin de replanteo), y alguna institucin de fiscalizacin tendr la facultad para verificar si lo materializado efectivamente corresponde a lo proyectado (control topogrfico), de ah la importancia que tiene la topografa para los estudiantes de ingeniera en el desarrollo u orientacin de sus potencialidades ingenieriles.

    Levantamientos satelitales: corresponden a los levantamientos obtenidos

    con tecnologa satelital (ver Anexo B), por una parte se puede utilizar la percepcin remota a travs de un sensor electro-ptico ubicado en la parte posterior de una plataforma satelital, que captan las diversas bandas electromagnticas correspondiente a luz solar reflejada por los cuerpos terrestres, que luego es clasificada en formatos digitales, que permiten obtener productos computacionales llamadas imgenes satelitales, que con apoyos de redes de puntos coordenados, permiten obtener productos cartogrficos de amplio uso civil y militar. Por otro lado, el uso de posicionadores satelitales (GPS, GPS + GLONASS, y en el futuro GALILEO) en conexin con sus respectivas constelaciones de satlites artificiales, permiten obtener la posicin tridimensional de puntos en la superficie terrestre, y por ende de los planos topogrficos que requiere la ingeniera, as como tambin el monitoreo y posicionamiento de mviles terrestres, marinos y areos, con el apoyo de otras tecnologa electrnicas.

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    1.4. Teora de errores. Todas las mediciones realizadas con fines topogrficos o geodsicos estn afectadas por errores de diferentes clases, es imposible determinar la verdadera magnitud de una serie de mediciones que podran representar distancias, ngulos, superficies, cubicacin de movimiento de tierra y coordenadas. En la prctica solo es posible obtener los valores ms probables de dichas mediciones acompaados por una cierta incerteza, es decir: l dl nlil

    n

    i/

    1=

    = valor mas probable de la serie de mediciones

    =

    =n

    innllidl

    1

    2 ))1(/()( = E2M l incerteza o error medio de la media o desviacin estndar del valor mas probable de la serie de mediciones 1.4.1. Clasificacin de los errores. Errores accidentales o aleatorios (se compensan). Errores sistemticos (se corrigen). Errores personales o faltas (se eliminan). 1.4.1.1. Errores accidentales o aleatorios, pueden ser provocados por la imperfeccin de nuestros sentidos (dislexia, miopa, estrabismo, etc.) por la irregularidad de la atmsfera y del terreno a medir, actan de un modo completamente irregular sobre los resultados de las mediciones y se presentan con signo positivo (+) y negativo (-), ejemplos de esto ltimo, seran los cambios de temperatura por sobre y bajo de la de inicio de un trabajo de medicin con una cinta de acero, o con un teodolito de crculos metlicos, tambin sucede lo mismo cuando se estn midiendo ngulos con un teodolito y el viento que incide sobre la seal de puntera, cambia constantemente en un sentido y en otro contrario; algunas veces movimientos ssmicos imperceptibles para nuestros sentidos, desnivelan los equipos topogrficos, afectando aleatoreamente las mediciones, por ello es que el tratamiento de la serie de mediciones se hace a travs de las leyes de las estadsticas y probabilidades, utilizando en algunos casos los Test de distribucin Normal (para n 30) o la T- Student (para n < 30). 1.4.1.2. Errores sistemticos, pueden ser originados por mala calibracin instrumental, por la accin unilateral de la atmsfera sobre la lnea de puntera, por mediciones no conformes, tales como la mala alineacin de las miras o de las cintas durante la medicin de distancias. En igualdad de condiciones son siempre constantes en magnitud y con el mismo signo, obedecen siempre a una ley matemtica o fsica. Ejemplos de estos errores seran, cuando falla el control de calidad y se pasan equipos de medicin angular electrnica con crculos en graduacin sexagesimal y centesimal, originndose errores instrumentales constantes. Cuando se utiliza un

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    teodolito o un taqumetro mecnico desconocido para un operador, es recomendable realizar previamente mediciones angulares por reiteracin (mediciones en directo y directo-trnsito), para descubrir posibles errores instrumentales tanto en el origen del limbo horizontal como en el crculo o limbo vertical (error de ndice), para posteriormente realizar las correcciones pertinentes. Si se conocen antecedentes de fabricacin de una cinta de acero tales como, la temperatura, tensin de calibracin, y dichos datos durante la medicin, tambin es posible corregir las mediciones por correccin por temperatura, por tensin incorrecta y por pandeo o flecha. 1.4.1.3. Errores personales o faltas, son producto de la inhabilidad, descuido o cansancio del operador de un instrumento, pueden generarse por la mala anotacin de las mediciones, se descubren repitiendo las observaciones. 1.4.2. Cuantificacin de los errores accidentales o aleatorios. 1.4.2.1. Mtodo matemtico. 1.4.2.1.1. Principales parmetros estadsticos. Sea l una serie de mediciones de distancias, ngulos, superficies, volmenes o de posicin topogrfica, entonces:

    nliln

    i/

    1=

    = valor ms probable de la serie de mediciones

    E l = =

    n

    inlli

    1

    2/)( desviacin estndar de la serie de mediciones

    E2 l =

    =n

    inlli

    1

    2)1/()( = error medio cuadrtico de la serie de

    mediciones

    E2M l ))1(/()(1

    2=

    =n

    innlli error medio de la media o

    desviacin estndar del valor ms probable de la serie de mediciones E2M l = E2 l / n error medio de la media en funcin del error medio cuadrtico y del nmero de observaciones realizadas. Cuando se conoce MSE (Root Mean square error) para medir distancias electrnicas con Estaciones Totales o Distancimetros, que es una caracterstica propia del instrumental topogrfico utilizado, entonces se debe usar:

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    E2M l = M.S.E l / n Error medio de la media para instrumental electrnico de distancia Ejemplo. Si el error medio cuadrtico (M.S.E) para una Estacin Total es M.S.E = (3 mm + 3ppm) y se ha medido 5 veces una distancia electrnica inclinada resultando un valor mas probable de 4.589,325 m. Determine la incerteza con que se midi dicha distancia. Solucin: l = 4.589,325 m n = 5 M.S.E l = (0,003 + 3/106 l ) m = (0,003 + 3/106 4.589,325) m M.S.E l =4.589,325 = 0,016767975 m E2M l = M.S.E l / 5 = 0,007498866389 m 0,0075 m 1.4.2.1.2. Error relativo o exactitud relativa. 1.4.2.1.2.1. Error relativo al medir una base topogrfica, geodsica o GPS. E.R. = E2 l / l = 1/ ( l /E2 l ) = 1/ Denominador cuantifica la precisin con que se ha medido una base topogrfica con cinta o con taqumetro y mira E.R. = M.S.E l / l = 1 / ( l / M.S.E l ) = 1/ Denominador cuantifica la precisin con que se ha medido una base geodsica con estacin total o distancimetro E.R. = M.S.EL / L = 1 / ( L/ M.S.EL) = 1/ Denominador cuantifica la precisin con que se ha medido un vector GPS ( ver ejercicio en pgina 66 y grados de precisin en pgina 64 del texto Topografa en Minera Cielo Abierto) Observacin: a manera de relacionar trabajos segn precisiones alcanzadas, al medir sus bases se dan las siguientes referencias. i) 1/1.000 E.Rl Bases en Trabajos de Laboratorio de Topografa 1/500 ii) 1/10.000 E.Rl Bases en Trabajos Topogrficos corrientes 1/1.000 iii) E.Rl Bases en Trabajos Geodsicos 1 /100.000

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    1.4.2.1.2.2. Error relativo al medir un polgono topogrfico, geodsico o GPS.

    E.R.Polgono = /=

    n

    k

    k

    jiDH

    1 , = 1/(

    =

    n

    K

    k

    jiDH

    1 ,/ ) = 1/Denominador cuantifica la precisin

    con que se ha medido un polgono taquimtrico o electrnico = (N2 + E2 )(1/2) error de cierre lineal o error de posicin al medir un polgono taquimtrico o electrnico N : error de cierre lineal o de posicin en la proyeccin Norte E : error de cierre lineal o de posicin en la proyeccin Este

    =

    n

    k

    k

    jiDH

    1 ,: lados o distancias horizontales ms probables del polgono o permetro

    del polgono Y(Norte) B YA A N YA A C D E X (Este) XA XA

    Figura 8: Error de cierre lineal en un polgono cerrado de 4 lados. n

    E.R.Polgono GPS = 1/ ( i=1 Di3D / d3D) cuantifica la precisin con que se ha medido un polgono GPS (ver pginas 65,66, 162-171 del texto Topografa en Minera Cielo Abierto de los autores). Observacin: a manera de relacionar trabajos segn precisiones alcanzadas, al medir polgonos taquimtricos y electrnicos se dan las siguientes referencias.

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    i) 1/1.000 E.R.P/ Polgonos en Trabajos de Laboratorio de Topografa 1/500 ii) 1/10.000 E.R.P/ Polgonos en Trabajos Topogrficos corrientes 1/1.000 iii) E.R.P/Polgonos Trabajos Geodsicos 1 /20.000 1.4.2.2. Mtodo diferencial. 1.4.2.2.1. A partir de la ley general de propagacin de errores accidentales o aleatorios, es posible cuantificar la incerteza (dF) al calcular indirectamente por medio de una funcin F conocida, que a la vez contiene variables con errores. Sea F una funcin que depende de n variables ( F= f(a, b, c,...., n) ), entonces la incerteza dF , puede calcularse de acuerdo a la ley de propagacin de errores aleatoreos por: dF = [ (F/a)2 (da)2 + (F/b)2 (db)2 +..........+(F/n)2 (dn)2 ](1/2)

    donde : (F/a) , (F/b),.........(F/n) representan las derivadas parciales de la funcin F con respecto a sus variables a, b, c,....., n. (da), (db),........,(dn) representan las incertezas al medir las variables a, b, c,....,n ,es decir: E2Ma = da E2Mb = db E2Mc = dc E2Mn = dn Ejemplo: las funciones para calcular la DHA-B por medio de una estacin total o con distancimetro son: DHA-B = Di A-B Cos A-B = Di A-B Sin Z A-B = Di A-B Sin N A-B

    Si escogemos la primera expresin : dDHA-B = [ (DHA-B/Di A-B)2 (dDi A-B)2 + (DHA-B/ A-B)2 (d )2 ](1/2) 1.4.2.3 Errores de 50, 90, 95 y 99.7 %, de los datos de la grfica de relacin entre el error y el porcentaje del rea bajo la curva de distribucin normal, puede determinarse la probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad, donde la ecuacin general es: EP = CP , donde CP: factor numrico tomado desde la curva.

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    E50 = 0.6745 Error del 50%, fija los lmites dentro de los cuales han de permanecer las mediciones un 50% de las veces. E90 = 1.6449 Error del 90%. E95 = 1.9559 Error del 95 %, llamado tambin error dos sigma (2 ) . E99.7 = 2.567 Error del 99.7 % o error tres sigma (3 ).

    Figura 9: Relacin entre el error y el porcentaje de rea bajo la curva de distribucin normal. 1.5. Unidades de medicin. 1.5.1. Unidades angulares. Los crculos horizontales y verticales en los teodolitos, taqumetros, estaciones totales, o los limbos horizontales en los niveles de ingeniero y brjulas, vienen generalmente graduados en los sistemas angulares sexagesimales y centesimales, sin embargo la ltimas pueden tambin venir graduadas en el sistema de 6400- milsimas. 1. Sistema sexagesimal (MODE DEG). 1 Crculo horizontal o vertical graduado = 360 grados sexagesimales. 1 = 60 (minutos sexagesimales) 1 = 60 (segundos sexagesimales)

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    Observacin 1: Las cantidades expresadas en este sistema deben sumarse o restarse por separado, los grados, los minutos y segundos. Observacin 2: Es importante que los usuarios de calculadoras aprendan a usarlas, seleccionando apropiadamente el sistema de medicin de ngulos, en este caso Mode DEG, as como tambin conocer el proceso de conversin de mediciones angulares expresadas en formato de fracciones de grados sexagesimales, a formatos de (grados, minutos, segundos) sexagesimales. Ejemplo: 270 45 52 - 120 37 13 150 8 39 2. Sistema centesimal (MODE GRA). 1 Crculo horizontal o vertical = 400 g

    1g = 100 c (minutos centesimales) 1c = 100 cc (segundos centesimales) Observacin 1: Las operaciones aritmticas se efectan exactamente igual que el comn de las operaciones usadas en el sistema decimal. Ejemplo: 215 g 30c 40cc = 215,3040 g (grados centesimales) 215,3040 g + 28,7227 g 244,0267 g 3. Sistema en radianes (MODE RAD) En este sistema de unidades angulares trabajan los computadores, luego al usar algn lenguaje de programacin debe conocerse la equivalencia entre los sistemas hasta aqu tratados. 2 radianes = 360 (Sistema sexagesimal). 2 radianes = 400 g (Sistema centesimal). 4. Sistema en milsimas. En este sistema de graduacin han sido fabricadas algunas brjulas geolgicas e instrumentales de artillera. 1 Crculo horizontal = 6400- (milsimas) 1/4 Crculo horizontal = 1600- (milsimas) 1/64 Crculo horizontal = 100- (milsimas) 5. Relacin entre sistemas sexagesimal y centesimal.

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    X = 0,9 X g X g = 1/0,9 x 6. Relacin entre sistemas en radianes, sistema sexagesimal y centesimal. x (radianes) = /180 x x (radianes) = /200 g xg 7. Relacin entre sistemas en milsimas, sexagesimal y centesimal. x- (milsimas) = 1/0,05625 x x = 0,05625 x- (milsimas) x- (milsimas) = 16 x g x g = 1/16 x (milsimas) 1.5.2. Unidades de longitud. Los mltiplos y divisores del metro aumentan o disminuyen de diez en diez segn la siguiente tabla: 10-6 10-3 10-2 10-1 1 101 102 103 106

    micro mili centi deci metro deca hecto kilo mega m mm cm dm m da hm km Mm Abreviatura 1.5.3. Unidades de superficie. Los mltiplos y divisores del metro cuadrado aumentan y disminuyen de cien en cien, segn la siguiente tabla: 10-6 10-4 10-2 12 102 104 106

    mili2 centi2 dici2 metro2 rea hectrea bilom2

    mm2 cm2 dcm2 m2 a ha Abreviatura 1 acres (ac) = 4.046,873 m2 1 hectrea = 2,47104 acres 1.5.4. Unidades de volumen. Los mltiplos y divisores del metro cbico aumentan o disminuyen de mil en mil, segn la tabla: 10-9 10-6 10-3 1 103 106 109

    mili3 centi3 deci3 m3 --- --- Kilo3

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    Observacin: en las cubicaciones de movimiento de tierra se sugiere trabajar solo a la dcima del metro cbico, dado que los modelos utilizados para cubicar solo son aproximaciones a la realidad. Ejemplo: Volumen Terrapln = 702,3 m3 Volumen Corte = 975,9 m3 1.6. Escalas. 1.6.1. Escala numrica. Es la relacin entre una distancia medida en el plano y la correspondiente distancia medida en el terreno, ambas expresadas en una misma unidad de longitud. E = Dibujo/Terreno = 1/Denominador Ejemplo: Cul sera la escala numrica de un plano si 10 cm de dibujo representan 200 m de terreno?

    E = 10 cm/200 m = (10 cm 1m/100 cm)/200 m = 1/2000

    1.6.2. Escala grfica. Es una barra graduada sobre el plano, subdividida en distancias que corresponden a determinado nmero de unidades en terreno.

    0,8 cm

    Figura 10: Escala grfica. A que escala numrica se encuentra la escala grfica? E = Dibujo/Terreno = 0,8 cm/1 km = 1/125000

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    Captulo 2 Medicin de ngulos. 2.1. Medicin de ngulos horizontales. Los ngulos horizontales proporcionan la posicin horizontal de un punto, respecto a una alineacin o a una base topogrfica, pueden medirse en el sentido horario (+) (HR) o antihorario (-) (HL), son medidos en un plano horizontal entre dos planos verticales. HR = Horizontal Right HL = Horizontal Left P.V = Plano Vertical P.H = Plano Horizontal

    Figura 11: Medicin de ngulos horizontales en el Plano Horizontal P.H. A : Estacin topogrfica o vrtice de instalacin del teodolito. B : Vrtice de calaje u orientacin cero cero grados ( 0,00 g ). C : Vrtice de medicin angular horizontal y/o vertical. : Angulo horizontal (+) medido en el crculo horizontal del teodolito. : Angulo horizontal (-) medido en el crculo horizontal del teodolito. La medicin de ngulos horizontales puede realizarse en dos posiciones del anteojo topogrfico, una en directo y la otra en directo-trnsito, con lo cual es posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados por la irregularidad de la atmsfera o por los movimientos terrestres durante las mediciones. Dichos errores cuando estn dentro de las tolerancias admisibles pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados.

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    2.1.1. Medicin de ngulos horizontales en directo. El crculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado izquierdo del anteojo topogrfico si se est observando de frente el lente ocular. 2.1.2. Medicin de ngulos horizontales en directo-trnsito. El crculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado derecho del anteojo topogrfico si se est observando de frente el lente ocular. En general la condicin que debe cumplir la medicin de un ngulo Horizontal en Trnsito y ngulo Horizontal en Directo debe ser la siguiente: Teora: Angulo HorizontalT Angulo HorizontalD R2 Prctica: Angulo HorizontalT Angulo HorizontalD R2 + R = 1 Recto (100 g grados centesimales o 90 grados sexagesimales). : Error de cierre angular obtenido en el origen.

    Si el Admisible Ajuste de Angulo HorizontalD Admisible 0,01g si el instrumento tiene una precisin de 1 minuto

    centesimal Admisible 0,0017g si el instrumento tiene una precisin de 1 segundo

    centesimal 2.1.3. Toma de datos de terreno, clculo de registro y ajuste angular. Est. Pto. Obs. Ang. Horiz. (+) Ang. Horiz. Ajustado A BD 0,00g CD 74,81g 74,81g

    CT 274,80g BT 199,99g Toma de datos de terreno. A : Punto Estacin o de instalacin instrumental. BD : Punto Observado o de Orientacin en Directo. BT : Punto Observado o de Orientacin en Trnsito. CD : Punto de Medicin angular en Directo. CT : Punto de Medicin angular en Trnsito. Clculo de registro y ajuste angular. i) Origen: (0,00g + 199,99g 200g)/2= -0,005g = 399,995g

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    ii) .HorizAngulo = (74,81g +274,80g 200g )/2 = 74,805g iii) .HorizAngulo AJUSTADO = .HorizAngulo + 500,0 g = 74,81g

    .HorizAngulo : Representa el ngulo horizontal promedio. 2.2. Medicin de ngulos verticales. Los ngulos verticales proporcionan la posicin vertical de un punto respecto: 1. Zenit (Z) 2. Nadir (N) 3. Horizonte ()

    Figura 12: Las tres referencias de la medicin de ngulos verticales. Zenit (cenit) (Z): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del teodolito o estacin total con la semiesfera celeste aparente, el cero del crculo vertical del instrumento topogrfico coincidira con el punto zenit. Horizonte (): es el punto celeste que se genera al prolongar una lnea perpendicular al eje vertical del teodolito o estacin total en la direccin de la lnea aparente que separa la tierra de la esfera celeste, el cero del crculo vertical del instrumento topogrfico coincidira con el punto horizonte.

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    Nadir (N): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del teodolito o estacin total atravesando diametralmente a la tierra e intersectando a la semiesfera celeste aparente, el cero del crculo vertical del instrumento topogrfico coincidira con el punto nadir. La medicin de ngulos verticales al igual que los horizontales puede realizarse en dos posiciones del anteojo topogrfico, una en directo y la otra en directo-trnsito (dando vuelta de campana el anteojo topogrfico), con lo cual es posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados por la irregularidad de la atmsfera o por los movimientos terrestres durante las mediciones. Dichos errores cuando estn dentro de las tolerancias admisibles pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados. Las recomendaciones para medir ngulos verticales en directo y en directo-trnsito, son las mismas dadas en los ngulos horizontales referente al crculo vertical, en lo concerniente a las condiciones angulares que deben cumplir los ngulos verticales en ambas posiciones del anteojo seran: Teora : ZD + ZT = 4 R ND + NT= 4 R D + T = 2 R (Para ngulos de elevacin) D + T = 6 R (Para ngulos en depresin) Prctica: ZD + ZT = 4 R + ND + NT = 4 R + D + T = 2 R + (Para ngulos de elevacin) D + T = 6 R + (Para ngulos en depresin) : Error angular obtenido o error de ndice obtenido, puede producirse por desajuste del instrumento, por turbulencias atmosfrica, imprecisin en el visado o calaje. Si el Admisible Ajuste de Angulo VerticalD (i = /2 ) i : Factor de ajuste o compensacin. i > 0 si < 0 i < 0 si > 0 Admisible 0,03g si el instrumento tiene una precisin de 1 minuto centesimal

    y se trata de trabajos topogrficos corrientes Admisible 0,0050g si el instrumento tiene una precisin de 1 segundo

    centesimal y el trabajo es de 3er orden geodsico

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    2.2.1. Toma de datos de terreno, clculo de registro y ajuste angular. Estac. Pto. Obs. Ang. Vert. (N) Ang. Vert. Ajustado A BD 89,14g 89,13g

    BT 310,88g Toma de datos de terreno. A : Punto Estacin o de instalacin instrumental. BD : Punto Observado en Directo. BT : Punto Observado en Trnsito. Clculo de registro y ajuste angular. i) ND + NT = 400g + 400,02g 400g = = 0,02g i = - 0,02g/2 = - 0,01g ND AJUSTADO = ND + i = 89,13g

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    Captulo 3 Medicin de distancia. 3.1. Procedimiento taquimtrico. Este mtodo utiliza el anteojo topogrfico del teodolito o taqumetro y la lectura en una mira graduada, para determinar distancias horizontales, inclinadas y verticales.

    Figura 13: Medicin de distancia con teodolito y mira. I : Punto Estacin o de instalacin instrumental. II : Punto Observado o de ubicacin de mira verticalmente nivelada. LiII : Lectura de hilo inferior en la mira en el Punto II. LsII : Lectura de hilo superior en la mira en el punto II. hmII : Lectura de hilo medio en la mira en el punto II, hmII = (LsII + LiII )/2. G : Generador, G= LsII - LiII. hiI : Altura instrumental en el punto estacin o de instalacin I. Z : Angulo vertical de referencia zenital. N : Angulo vertical de referencia nadiral. : Angulo vertical de referencia al horizonte. DHI-II : Distancia horizontal desde estacin I a punto observado II. DiI-II : Distancia inclinada desde estacin I a punto observado II. DNI-II : Diferencia de nivel entre estacin I y el punto II. K : Constante estadimtrica (K= 100 m).

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    Las siguientes expresiones segn la referencia del ngulo vertical con que los teodolitos sean fabricados, nos permiten determinar los parmetros necesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado. DHI-II = KG Cos 2 = KG Sin Z2 = KG Sin N2 DiI-II = KG Cos = KG Sin Z = KG Sin N HI-II = DHI-II tg = DHI-II / tg Z = - DHI-II / tg N DNI-II = hiI + HI-II - hmII TI-II = HI-II - hmII CotaII = CotaI + DNI-II para registro por diferencias de nivel entre estaciones CotaII = CotaI + hiI +HI-II hmII CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II para registro por cota instrumental 3.1.1. Toma de datos de terreno y clculo de cota por diferencia de nivel.

    Angulo Estac. hi Pto. Obs. Horiz.(+) Vert.(Z)

    Estada Ls Li

    hm D.H. D.N. Cota

    I 1,32 500,25 II 0,00g 100,32g 3,240 1,000 2,120 223,99 -1,93 498,32 1 102,39g 98,25g 3,080 1,000 2,040 207,84 4,99 505,24 2 223,84g 102,78g 2,272 1,000 1,636 126,96 -5,86 494,39 3 77,20g 99,24g 2,950 1,000 1,975 194,97 1,67 501,92 Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se han asignados, el clculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente orden: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ngulos vienen referidos al sistema centesimal. ii) Identificar las expresiones en funcin del ngulo vertical zenital para calcular las distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas. iii) Si se cuenta con calculadora de programacin Basic, las expresiones para completar el registro seran: DH= 100 * (Ls Li) * Sin Z2 : DN= 1.32 + DH/Tan Z hm: Cota= 500.25 + DN Observacin: En Basic Sin Z2 = Sin Z * Sin Z

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    3.1.2. Toma de datos de terreno y clculo de cota por cota instrumental.

    Angulo Cota

    Est. hi Pto Obs

    Horiz.(+) Vert.(Z)

    Estada Ls Li

    hm D.H. T

    INST. PTO.

    I 1,32 501, 57 500,25 II 0,00g 100,32g 3,240 1,000 2,120 223,99 -3,25

    498,32 1 102,39g 98,25g 3,080 1,000 2,040 207,84 3,67

    505,24 2 223,84g 102,78g 2,272 1,000 1,636 126,96 -7,18

    494,39 3 77,20g 99,24g 2,950 1,000 1,975 194,97 0,35

    501,92 El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el clculo manual tambin es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora. ii) Identificar las expresiones en funcin del ngulo vertical zenital para calcular las distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (500.25+1.32= 501.75) y las cotas de los puntos. iii) Si se cuenta con calculadora de programacin Basic, las expresiones para completar el registro de datos seran: DH= 100 * (Ls Li) * Sin Z^2 : T= DH/Tan Z hm: Cota= 501.57 + T Observacin: En Basic Sin Z^2 = Sin Z * Sin Z 3.1.3. Condiciones y requisitos operacionales del teodolito. El teodolito o taqumetro es uno de los instrumentos topogrficos mas completos y de gran utilidad en la ingeniera. Su adecuado uso, cuidado y manejo, permiten disponer de una valiosa herramienta para medir ngulos horizontales y verticales, obtener distancias horizontales, inclinadas y verticales, todos parmetros fundamentales para representar la superficie terrestre. Los elementos geomtricos del teodolito deben cumplir las siguientes condiciones y requisitos de operacin: 1. E.V.R. L.F. (P.S.) se cumple con instalacin del equipo. 2. E.H. (A.T.) E.C. (A. T.) se logra con calibracin del equipo

    3. E.H. (A. T.) E.V.R. se logra con calibracin del equipo E.V.R.: Eje Vertical de Rotacin del instrumento. L.F. (P.S.) : Lnea de Fe (Plato Superior).

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    E.H. (A.T.) : Eje Horizontal (Anteojo Topogrfico) E.C. (A.T.) : Eje Colimacin (Anteojo Topogrfico).

    Figura 14: Teodolito en corte. 3.1.4. Elementos mecnicos del teodolito. Movimiento general (plato inferior). 1. Base nivelante. 2. Plato inferior. 3. Sistema de tornillos de fijacin y tangencial. 4. Eje vertical del movimiento general (E.V.). 6. Crculo o limbo horizontal. 8. Plomada ptica. Movimiento de alidada (plato superior). 5. Sistema de tornillos de fijacin y tangencial. 7. Eje vertical de movimiento de alidada. 9. Plato superior o alidada. 10. Eje horizontal del anteojo topogrfico (E.H.) 11. Crculo o limbo vertical. 12. Sistema de tornillos del anteojo topogrfico. 13. Ampolleta tubular del plato superior. 14. Anteojo topogrfico.

    3.1.5. Operaciones de terreno con el teodolito. El buen uso y manejo del teodolito en la ingeniera requiere tener presente tres operaciones bsicas, por un lado est la correcta instalacin sobre una estaca, clavo, o estacin; el calar cero-cero, y el orientar el teodolito, estas dos ltimas en algunos equipos pueden fusionarse en una sola operacin.

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    1. Instalar el teodolito: es la operacin que consiste en el hacer coincidir el Eje Vertical del instrumento con la cabeza de la estaca, a travs de la plomada (ptica, mecnica, o vstago), accionando los tornillos nivelantes, nivelando el nivel circular con las patas de trpode, y finalmente nivelando la burbuja tubular con los tornillos nivelantes. 2. Calar cero-cero: una vez instalado se hace coincidir el cero del limbo o crculo horizontal con el cero del plato superior e inferior. 3. Orientar el teodolito: consiste en dirigir la visual cero-cero hacia un punto de coordenadas o direccin conocida.

    Figura 15: Teodolito en sistema modular para la instruccin. Para la instruccin de sus estudiantes de ingeniera algunas universidades europeas utilizan los teodolitos en el sistema modular, lo cual les permite didcticamente observar el funcionamiento de los crculos horizontal y vertical descubiertos, as como tambin el suministro de accesorios modulares les permite convertir el teodolito en un nivel de ingeniero, o en una alidada (alidada: todo elemento ptico o mecnico que sirve para trazar visuales).

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    3.2. Procedimiento electrnico. Este mtodo a diferencia del taquimtrico que utiliza principios de la fsica ptica, aqu se utiliza los elementos de la fsica cuntica para medir distancias, es decir, se determina el tiempo en que tarda una onda luminosa o electromagntica en hacer el recorrido de ida y regreso, entre el aparato emisor de la onda y el prisma reflectante, de modo que en funcin del tiempo de recorrido, es posible determinar la distancia inclinada, horizontal o vertical entre dos puntos, previa correccin por presin, temperatura y humedad atmosfrica. El distancimetro montado sobre el teodolito, o integrado al teodolito, fue uno de los primeros instrumentos que incorpor la tecnologa de medicin de distancia electrnica, llegando algunas generaciones de estos equipos, a contar con tarjetas electrnicas y memorias incorporadas para la recoleccin de datos en terreno. Una variante de tecnologa mas avanzada lo constituyen las Estaciones Totales, conformando un solo equipo, con mayor alcance en las mediciones, as como tambin con la toma automatizada de datos de terreno, tambin en el ltimo tiempo han salido las Estaciones Totales GPS, que en forma alternativa puede usar la metodologa convencional del posicionamiento de puntos o el uso de la tecnologa satelital, todo lo anterior ha contribuido a la agilizacin y eficiencia en el trabajo de campo, y a la vez, velocidad en el procesamiento de la informacin a travs de software de topografa y calidad en el trazado de los planos con el uso del plotter.

    Figura 16: Medicin de distancia usando Estacin total con jaln y prisma.

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    I : Punto Estacin o de instalacin instrumental. II : Punto Observado o de ubicacin de mira verticalmente nivelada. hmII : Lectura de hilo medio en el punto II, (hmII= hpII = hjII). hpII : Lectura de prisma en el punto II, (hmII= hpII = hjII). hjII : Lectura de jaln en el punto II, (hmII= hpII = hjII). hiI : Altura instrumental en el punto estacin o de instalacin I. Z : Angulo vertical de referencia zenital. N : Angulo vertical de referencia nadiral. : Angulo vertical de referencia al horizonte. DHI-II : Distancia horizontal desde estacin I a punto observado II. DiI-II : Distancia inclinada desde estacin I a punto observado II. DNI-II : Diferencia de nivel entre estacin I y el punto II. 6.66/108 DiI-II2 : Factor combinado de curvatura terrestre y refraccin atmosfrica. Las siguientes expresiones segn la referencia del ngulo vertical con que las Estaciones totales hayan sido fabricadas, nos permiten determinar los parmetros necesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado. DHI-II = DiI-II Cos = DiI-II Sin Z = DiI-II Sin N HI-II = DiI-II Sin = DiI-II Cos Z = - DiI-II Cos N HI-II = DHI-II Tg = DHI-II /Tg Z = - DHI-II /Tg N Para trabajos topogrficos de precisin: DNI-II = hiI + HI-II + 6.66/108 DiI-II2 hmII TI-II = HI-II + 6.66/108 DiI-II2 hmII CotaII = CotaI + DNI-II para registro por diferencia de nivel entre estaciones CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II para registro por cota instrumental

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    3.2.1. Toma de datos de terreno y clculo de cota por diferencia de nivel.

    Angulo Est. hi Pto. Obs. Horiz (+) Vert (N)

    Di hj DH DN Cota

    I 1.30 782,32 II 0,0000g 100,0425g 1502,87 1,45 1502,87 1,00 783,32 1 55,2981g 101,9872g 2891,32 2,60 2889,91 89,49 871,81 2 189,7532g 99,3741g 1125,60 2,60 1125,55 -12,28 770,04 3 202,2734g 98,7890g 525,37 0,05 525,27 -8,72 773,60 Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se han asignados, el clculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente orden: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ngulos vienen referidos al sistema centesimal. ii) Identificar las expresiones en funcin del ngulo vertical nadiral para calcular las distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas. iii) Si se cuenta con calculadora de programacin Basic, las expresiones para completar el registro seran: DH= Di * Sin N : DN= 1.30 - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 hm : Cota= 782.32 + DN Observacin: En Basic 108 = 10^8 ; Di2 = Di^2 3.2.2. Toma de datos de terreno y clculo de cota por cota instrumental.

    Angulo Cota

    Est. hi Pto Obs

    Horiz. (+) Vert.(Z)

    Di

    hj D.H. T

    INST. PTO.

    I 1,30 783,62 782,32 II 0,0000g 100,0425g 1502,87 1,45 1502,87 -0,30

    783,32 1 55,2981g 101,9872g 2891,32 2,60 2889,91 88,19

    871,81 2 189,7532g 99,3741g 1125,60 2,60 1125,55 -13,58

    770,04 3 202,2734g 98,7890g 525,37 0,05 525,27 -10,02

    773,60

    El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el clculo manual tambin es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora.

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    ii) Identificar las expresiones en funcin del ngulo vertical nadiral para calcular las distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (782.32+1.30= 783,62) y las cotas de los puntos. iii) Si se cuenta con calculadora de programacin Basic, las expresiones para completar el registro de datos seran: DH= 100 * Sin N : T= - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 - hm: Cota= 783.62 + T Observacin: En Basic 108 = 10^8 ; Di2 = Di^2 3.2.3. Mediciones de distancia electrnica en forma automatizada. Las ltimas generaciones de estaciones totales permiten la toma de informacin de terreno en forma automtica, reemplazando a la recoleccin manual de la informacin. Estos instrumentos tienen tres componentes en uno, el Instrumento Electrnico de Medicin de Distancia (IEMD), un teodolito digital electrnico y un microprocesador.

    Figura 17: Estacin Total Geodimeter con caracterstica de toma automatizada de datos en terreno.

    La memoria del microprocesador en el caso del Geodimeter est dividida en dos archivos separados, los Job (archivos de trabajo o de terreno) y los Area (archivos de coordenadas conocidas). El nmero total de archivos est limitado

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    solo por la capacidad total de la memoria, en cuanto mas informacin sin procesar exista almacenada en los archivos Job, menos informacin se podr almacenar en los archivos de coordenadas conocidas o de Area y viceversa. La capacidad de memoria de las Estaciones Geodimeter 600 alcanzaran a la toma de alrededor de 4000 puntos de terreno, a lo cual habra que descontar la memoria utilizada al cargar las UDS (Secuencias Definidas por el Usuario), que corresponden a los diversos Programas que eventualmente el usuario podra utilizar entre los que se encuentran: PRG : PROGRAMAS. PRG 20 : Establecimiento de la Estacin. PRG 23 : Replanteo por coordenadas. PRG 24 : Lnea de Referencia. PRG 25 : Clculo de superficie. PRG 26 : Distancia entre dos objetivos. PRG 40 : Creacin de UDS (desde PRG 1 a PRG 19). PRG 41 : Definicin de Etiquetas. PRG 43 : Creacin de archivos de tipo Area. PRG 54 : Transferencia de archivos. 3.2.4. Procedimiento para trabajar con los PRG ms elementales que posee la Estacin Total Geodimeter 600, para realizar levantamientos topogrficos. Para mas detalles sobre uso y manejo de este instrumental (vea Anexo C), a continuacin veremos como utilizar los PRG 20, PRG 1 y PRG 2 para realizar levantamientos topogrficos en forma automatizada. Una vez instalada la estacin total siguiendo procedimiento semejante a la instalacin del teodolito, se sigue el siguiente protocolo: 1. Presionar la tecla PWR tanto para el encendido como para el apagado del sistema, si no se pulsa ninguna tecla despus de 60 segundos desde que se ha activado, el instrumento automticamente se desactivar. Si se desea conectar el instrumento antes de las primeras 2 horas, en la pantalla aparecer la siguiente leyenda: Interrupcin por el operador Continuar (S/N)? Si responde S, la estacin total conserva sus parmetros de instalacin. Si responde N, la estacin total se restablece perdiendo sus parmetros de instalacin.

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    2. Calibracin del compensador para obtener la precisin mxima de la inteligencia inherente al sistema, esta operacin se logra en forma semejante a la nivelacin de la burbuja tubular del teodolito, es decir, se perfila la pantalla en la direccin de dos tornillos nivelantes, se accionan dichos tornillos hasta lograr la nivelacin del compensador, luego accionando el tercer tornillo nivelante se logra la nivelacin electrnica del equipo. Posteriormente se presiona la tecla A/M o ENT, se oir un pito, se debe esperar entre 6 a 8 segundos por un segundo pito, y por el cambio en la pantalla: INIC Comp Girar: 200 Girar el instrumento en 200 g (grados centesimales) y la pantalla cambiar: INIC Comp Presionar A/M Un nuevo pito se oir y la pantalla ahora indicar: INIC Comp Esperar Se espera por un pito doble entre 6 a 8 segundos hasta que la pantalla vuelva a cambiar automticamente. 3. Aparece en la pantalla el P, indicador de que el compensador est activado lo cual permite introducir las siguientes variables: Temp = 15 C (Temperatura promedio anual en La Serena, o se mide con termmetro). Presin = 760 mm de Hg (al nivel medio del mar o en el Patio de Topografa, o se mide con barmetro) Se introducen o aceptan los valores presionando la tecla ENT, apareciendo en la pantalla la constante del prisma: Const = 0.000 Se acepta el valor previa verificacin del prisma en el Jaln y se presiona ENT, solicitndose ahora en la pantalla el ngulo azimutal de referencia: AHZ : 128.3845 AHZ Ref = ---------------

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    Se teclea el nuevo azimut de referencia, o el valor cero, o se acepta el valor que aparece en la pantalla; se dirige la visual hacia el objetivo de referencia y se presiona la tecla ENT, el instrumento automticamente quedar en el modo de medicin STD y con orientacin en el sistema de coordenadas locales. En esta fase se debe seleccionar la forma en que se desea realizar las mediciones de distancia, modo Tracking (al cabo de 2 a 3 segundos se obtiene la medicin de distancia con precisin centimtrica), modo Estndar STD ( se demora un poco ms pero se logra precisin milimtrica). 4. Para lograr Alta resolucin de nivelacin en la estacin total, se presiona la tecla del nivel electrnico ( figura ampolleta de nivel) y se procede a afinar la nivelacin electrnica del equipo, para salir de este proceso se presiona nuevamente la tecla del nivel electrnico. En esta etapa la estacin total se encuentra habilitado para trabajar como teodolito y como Instrumento Electrnico de Medicin de Distancia, es decir, se puede medir ngulos verticales, horizontales azimutales, distancias inclinadas, distancias horizontales y diferencias de nivel, que junto con la altura instrumental, la altura de jaln en el punto observado, el azimut magntico de la lnea base que se quiere determinar, ms la asignacin de coordenadas arbitrarias al punto de instalacin, o la determinacin de coordenadas aproximadas a travs de un navegador GPS, permiten calcular las coordenadas del punto observado usando las siguientes expresiones: YB = YA + DiA-B * Sin ZA-B * Cos AzA-B XB = XA + DiA-B * Sin ZA-B * Sin AzA-B ZB = ZA + hiA + DiA-B Cos ZA-B + 6.66/10^8 * DiA-B^2 - hjB Con la obtencin de la base topogrfica (Ver Figura 18 A), o si eventualmente se conocieran las coordenadas de un par de puntos (Ver Figura 18 B), se estara en condiciones de comenzar a utilizar el PRG 20: Teclear PRG 20, ENT, aparece Medir Cota? Se puede responder con un Si o un No, si es con Si presione ENT. 10:21 Esta sera la cota de la ltima Estacin de instalacin, por lo tanto Cota = X.XXX se puede teclear Si o No, si es Si presione ENT. Sustituir Z?

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    10:21 Introducir la altura instrumental de su equipo, ENT. A1

    Figura 18 A Datos requeridos cuando no se conoce una base topogrfica. Figura 18 B Datos

    necesarios para ingresar a Estacin Total Geodimeter, despus de seleccionar Programa UDS 20.

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    4. Tipo de direcciones. En topografa se puede trabajar con cuatro tipos de direcciones, la geogrfica o verdadera que se obtiene por medio del girscopo, o realizando observaciones estelares, amarrndose a la Red Geodsica Nacional o a la Red GPS, la UTM (Universal Transversal de Mercator) corresponde a una direccin cartogrfica que se puede obtener amarrndose a Red Geodsica Nacional o a la Red GPS, la direccin magntica se obtiene por medio de brjula, y la arbitraria se logra por simple arbitrio y se corrige posteriormente.

    Figura 19. Origen de los cuatro puntos cardinales o sistema de referencia de direcciones. 4.1. Rumbo de una lnea topogrfica. Corresponde a la direccin de una lnea respecto al meridiano escogido, se indica por el ngulo agudo que la lnea forma con el meridiano, se mide a partir del Norte o Sur, el rumbo puede ser geogrfico, UTM, magntico o arbitrario.

    RumboA-B = N E Rumbo directo A-B RumboB-A = S W Rumbo directo B-A Rumbo inverso A-B = Convencin: N,E (+); S,W (-).

    Figura 20. Direccin A-B del rumbo directo, direccin B-A del rumbo inverso.

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    4.2. Azimut de una lnea topogrfica. Representa la direccin de una lnea respecto al meridiano escogido, se indica por el ngulo entre la lnea y un extremo del meridiano (para trabajos topogrficos extremo Norte y para trabajos geodsicos extremo Sur), el ngulo se mide en sentido horario y el azimut puede ser geogrfico, UTM, magntico o arbitrario.

    AzimutA-B = Azimut directo A-B AzimutB-A = 2R + Azimut directo B-A Azimut inverso A-B

    R = 90 sistema sexagesimal. R = 100g sistema centesimal.

    Figura 21. Direccin A-B del azimut directo, direccin B-A del azimut inverso.

    4.3. Determinacin de distancia horizontal (DH), rumbo (Rbo) o azimut (Az) de una lnea o base topogrfica. Si se conocen las coordenadas bidimensionales de una base topogrfica, adems los cuadrantes topogrficos de las funciones trigonomtricas y la convencin de los signos de los cuatro puntos cardinales, entonces podemos obtener los siguientes parmetros:

    : Estacin topogrfica de coordenadas conocidas.

    Figura 21A. Base topogrfica en el primer cuadrante (IC). Figura 21B. Cuadrantes topogrficos y sus funciones trigonomtricas S: Seno, C: Coseno.

    DHA-B = 22 BABA XY + = 22 )()( ABAB XXYY + Distancia HorizontalA-B.

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    Tg BA = BAX / BAY = Sen BA /Cos BA )/()(()/( ABABBABABA YYXXArctgYXArctg == Interpretar el cuadrante topogrfico Cuadrante I. ))/()(( ABABBA YYXXArctg = = )/()( ++ = (+) RboA-B = N BA E; 0 R1 AzA-B = BA ; 0 RAz BA 1

    Cuadrante II. ))/()(( ABABBA YYXXArctg = = )/()( + = (-) RboA-B = S BA E; 0 R1 AzA-B = +R2 BA ; R1 RAz BA 2

    Cuadrante III. ))/()(( ABABBA YYXXArctg = = (-)/(-) = (+)

    RboA-B = S BA W 0 R1 AzA-B = +R2 BA ; 2R RAz BA 3

    Cuadrante IV. ))/()(( ABABBA YYXXArctg = = (-)/(+)= (-) RboA-B = N BA W; 0 R1 AzA-B = +R4 BA ; 3R RAz BA 4 Ejemplo: Determine la DHA-B, RboA-B, AzA-B, RboB-A, AzB-A, de la base topogrfica siguiente: YA = 4500,830 m XA = 3820,370 m YB = 3973,980 m XB = 3572,250 m Solucin DHA-B = 22 )830,450098,3973()370,3820250,3572( + = 582,353 m

    ))830,4500980,3973/()370,3820250,3572(( = ArctgBA = (-)/(-)=(+) 28,0201g

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    III Cuadrante; RboA-B = S 28,0201g W; AzA-B = 2R + BA = 228,0201g

    == ))980,3973830,4500/()250,3572370,3820((ArctgAB (+) 28,0201g I Cuadrante; RboB-A = N 28,0201g E; AzB-A= AB = 28,0201g 4.4. Relacin entre Norte Astronmico y Norte Magntico de una base topogrfica. Para fines topogrficos se considera que las direcciones astronmicas de una base topogrfica no cambian en el espacio ni en el tiempo, por el contrario si lo hacen las direcciones magnticas, por lo cual es de suma importancia conocer las expresin que nos permita calcular las direcciones astronmicas y magnticas de una base topogrfica. AzA-B Astronmico Ao = AzA-B Magntico Ao+ M Ao M Ao: declinacin magntica de la base para un ao determinado. M > 0 Norte Magntico est al Este del Norte Astronmico. M < 0 Norte Magntico est al Weste del Norte Astronmico.

    Figura 22.La declinacin magntica M entre los meridianos magntico (en rojo) y astronmico (en negro) en el Hemisferio Norte, se repite en el Hemisferio Sur.

    La declinacin magntica es el ngulo comprendido entre los meridianos magntico (en rojo) y astronmico (en negro), en las cartas IGM 1:50000 se encuentra impresa en el extremo derecho de la carta, entregndose su valor para el lugar y ao del levantamiento, as como tambin su variacin anual expresada en minutos sexagesimales y su direccin de cambio, lo que permite evaluar la declinacin correspondiente a unos cuantos aos antes o despus del ao de la carta topogrfica; la declinacin magntica como se dijo vara en el tiempo en cualquier parte del planeta, clasificndose sus variaciones como seculares, diarias, anuales e irregulares.

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    Ejemplo: El azimut magntico de una base topogrfica A-B para el ao 1970 era de 137,82g , si la declinacin magntica en el lugar para el mismo ao era 5 33,8 E , con una variacin anual de 5.4 W. Determine AzA-B Magntico 2004 , AZA-B Astronmico 2006 , a partir de qu ao la M estar al Weste del Norte Astronmico ?. Datos: AzA-B Magntico 1970 = 137,82 g M 1970 = 5 33,8 E = 6,18 g E Anual = 5,4 W = - 0,1 g 34 aos = 34 * 0,1 g = 3,4 g W Solucin 1 (anlisis grfico). M 2004 = M 1970 - 34 aos = 6,18 g 3,4 g = 2,78 g

    AzA-B Magntico 2004 = AzA-B Magntico 1970 + 34 aos = 137,82 g + 3,4 g = 141,22 g Solucin 2 (uso de expresin). AzA-B Astronmico 1970 = AzA-B Magntico 1970+ M 1970 = 137,82g + 6,18 g AzA-B Astronmico 1970 = 144,00 g AzA-B Magntico 2004 = AzA-B Astronmico 1970 - M 2004 = 144,00 g 2,78 g AzA-B Magntico 2004 = 141,22 g 4.5. Relacin entre el Norte Astronmico y Norte UTM. En el Hemisferio Sur y para nuestro pas, en los meridianos centrales 69 y 75 , podemos encontrar bases topogrficas ubicadas al Este y Weste de dichos meridianos, en tal caso, es necesario considerar el ngulo de convergencia (c), comprendido entre el meridiano verdadero o astronmico, y el meridiano UTM, para determinar la direccin astronmica o UTM de la base topogrfica.

    Figura 23: Base topogrfica A-B al Este y Weste de un Meridiano Central en el Hemisferio Sur. 4.5.1. Obtencin de c ngulo de convergencia entre los meridianos UTM y Astronmico, a partir de coordenadas geogrficas.

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    C= ((XII) p + (XIII) p3 + C5)/3600 XII = Sin 104 XIII = (Sin2 1 Sin Cos2 )/3 (1+3 e 2 Cos 2 +2 e 4 Cos4 ) 1012 C5 = p5 (Sin4 1 Sin Cos4 )/15 (2 tg2 ) 1020 P = 0,0001 = MC *3600 ; MC : Meridiano Central. = 0 ; 0 = 69 75

    Observacin: Si < 0 que el punto o base topogrfica est al Weste del MC. Si > 0 que el punto o base topogrfica est al Este del MC. Ejemplo: Determinar el ngulo de convergencia entre meridianos para el punto que tiene las siguientes coordenadas geogrficas, para PSAD-56.

    =P S 29 30 14,32 P = W 70 27 54,25 e 2 = 0,0067681702366 0 = 69 Solucin. Reemplazando el valor de y en XII, XIII y C5 se obtiene: XII = 4924.839836 XIII = 2.96777548 = 5274.25

    P = 0.527425 C5 = 7.134764737E-05 C = 0.8018268972 g = 0 43 17.92

    4.5.2. Obtencin de c ngulo de convergencia entre los meridianos UTM y Astronmico, a partir de coordenadas UTM. C = (XV) q + (XVI) q3 + F5 XV = (tg )/ (r sin 1 K0 ) 106 XVI = tg /(3 r3 Sin 1 ) (1 + tg2 - e 2 Cos2 -2 e 4 Cos4 ) (1/K03 ) 1018 F5 = q5 tg /(15 r5 Sin 1 ) (2 +5 tg2 + 3 tg4 ) (1/K05 ) 1030 q = 0.000001 |E | E = 500000 E 4.6. Clculo de direcciones por rumbos.

    Angulo comprendido entre alineaciones.

    Agregar Primera letra

    0 1 R 0 Cambia 1 R 3 R -2 R No cambia

    > 3 R - 4 R Cambia

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    4.7. Clculo de direcciones por azimutes.

    Angulo comprendido entre alineaciones.

    Agregar

    > 2 R - 2 R > 6 R - 6 R < 2 R + 2 R

    4.8. Clculo de azimutes al radiar puntos desde una base topogrfica.

    Angulo resultante Agregar > 4 R - 4 R < 4 R 0

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    4.9. Clculo de coordenadas. En topografa para determinar las coordenadas rectangulares bi o tridimensionales de un punto observado, es suficiente con conocer la posicin de un punto estacin, desde el cual se debe determinar directa o indirectamente la DH Pto. Estacin- Pto. Observado (directamente con cinta, indirectamente con teodolito y mira, teodolito con cinta, Estacin Total con jaln y prismas, Distancimetro con Jaln y prismas) y adems debe medirse la direccin entre el punto estacin y el punto observado, es decir, el Azimut Pto. Estacin- Pto. Observado o el rumbo Pto. Estacin- Pto. Observado. Luego deben aplicarse las siguientes expresiones para obtener la posicin del punto observado B:

    : Estacin topogrfica de coordenadas conocidas.

    : Punto observado o a determinar sus coordenadas.

    A-B : RumboA-B, en el primer cuadrante topogrfico tambin representa al AzimutA-B.

    Figura 24: parmetros requeridos para determinar posicin del Punto observado B. XB = XA + XA-B = XA + DHA-B * Sin AzA-B = XA + DHA-B * Sin RboA-B YB = YA + YA-B = YA + DHA-B * Cos AzA-B = YA + DHA-B * Cos RboA-B ZB = ZA + DNA-B = ZA + hiA + HA-B + 6.66/10^8 * DiA-B^2 - hjB

    (XB, YB, ZB): Coordenadas Totales del Punto Observado B. (XA-B, YA-B, DNA-B) : Coordenadas Parciales A-B Observacin: cuando se utiliza el RboA-B en el clculo de las coordenadas, debe recordarse la convencin 4.1 N,E (+) , S,W (-), es decir, debe anteponerse el signo de la primera letra del RboA-B en el caso YA-B , y el signo de la segunda letra del RboA-B en el caso XA-B. Todo esto se debe a que el Rumbo siempre es un ngulo agudo, luego las funciones coseno y seno siempre seran positivas, por lo que los signos de las primeras letras antes indicadas le dan la caracterstica de la direccin de la lnea, tema tratado cuando se analiz el cuadrante donde se ubica el rumbo de la lnea.

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    4.9.1. Aplicaciones de las coordenadas. 4.9.1.1. Determinacin de superficies utilizando coordenadas. Cuando se conocen las coordenadas bidimensionales del permetro de un predio, es posible determinar la superficie del terreno encerrada por dicho permetro, para ello se utiliza la expresin del determinante alterado, es decir, siguiendo la direccin en el sentido horario (+) o antihorario (-) de los puntos que representan el permetro del predio, se tabulan los datos ordenndolos en forma secuencial, y cuando se llega al ltimo punto del contorno del predio, se repite el primero, luego se multiplican desde arriba y cruzado obteniendo los productos Xi Yi+1 y despus se calcula tambin desde arriba y cruzado los productos Xi Yi+1 , aplicando la expresin en valor absoluto se obtiene lo requerido:

    Superficie = 1/2 )111

    1(1

    21 YnXiY

    n

    iiXX

    n

    inYiYiX ++

    =

    =

    +

    Para el caso de un predio de cuatro puntos el determinante alterado quedara tabulado de la siguiente manera:

    Y1 X1 Y2 X2 Superficie=1/2 Y3 X3 = (Y1X2 + Y2X3 + Y3X4 +Y4X1) (X1Y2 + X2Y3 + X3Y4 + X4Y1) Y4 X4 Y1 X1 Observaciones: 1. El valor absoluto del determinante alterado es para preservar el valor positivo del clculo de la superficie, dado que, cuando se ordena o tabula el determinante

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    Waldo Valencia Cuevas Acadmico 50

    en la direccin contraria a los punteros del reloj, las superficies dan valores negativos. 2. El clculo de superficie se realiza en la proyeccin horizontal del plano (Y,X) o (X,Y), sin embargo en el caso de la ingeniera agrcola generalmente se requiere obtener el clculo de la superficie de laderas de cerros, es decir, la superficie del plano inclinado, para ello se sugiere obtenerlo de la siguiente manera:

    PV: Plano Vertical.

    PH: Plano Horizontal.

    PI: Plano inclinado.

    : ngulo de pendiente del terreno, el cual puede medirse con el eclmetro de una brjula.

    Superficie PI Superficie PH/ Cos

    Superficie PH =1/2 )14114

    1(1

    4

    241 YXiY

    iiXX

    n

    iYiYiX ++

    =

    ==

    +

    Es evidente que la expresin propuesta se cumple para planos inclinados perfectos, y para ngulos de pendientes uniformes, situaciones que en la realidad no suelen ocurrir, pero que pueden aproximarse a ella. 4.9.1.2. Replanteo de puntos, ejes, y arcos a travs de coordenadas. Una vez realizado el levantamiento y obtenido el plano topogrfico, viene generalmente la etapa del diseo de algn proyecto, el cual involucra una serie de elementos geomtricos coordenados tales como puntos, ejes, curvas y arcos que pueden representar diversos diseos de ingeniera, entre ellos ejes de galeras, caminos, canales, principios o fin de curvas, esquinas de edificios, centro de piques, etc. Los cuales deben materializarse en el terreno, para ello se recurre a las coordenadas de los puntos estaciones desde los cuales se realiz el levantamiento, o a la creacin de nuevos puntos coordenados. En rigor es necesario, tener una base topogrfica desde la cual se pueda instalar el instrumento en uno de los extremos de la base y se cala u orienta el

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