TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim - All about Civil ... · Nilai Ekstrim Mutlak ... 2 = – 1...

14
1 TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Jika terdapat suatu hasil pengukuran seperti pada Gambar 1, dimana pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan, pertumbuhan populasi terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika Gambar 1 diperhatikan, harga pengukuran meningkat pada [x 0 ,x 1 ], menurun pada [x 1 ,x 2 ], dan seterusnya, hingga konstan pada selang [x 6 ,x 7 ].

Transcript of TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim - All about Civil ... · Nilai Ekstrim Mutlak ... 2 = – 1...

1

TKS 4003 Matematika II

Nilai Ekstrim (Extreme Values)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Pendahuluan

Jika terdapat suatu hasil pengukuran seperti pada Gambar 1,

dimana pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran

temperatur, tekanan, pertumbuhan populasi terhadap waktu

atau pengukuran lainnya. Jika Gambar 1 diperhatikan, harga

pengukuran meningkat pada [x0,x1], menurun pada [x1,x2], dan

seterusnya, hingga konstan pada selang [x6,x7].

2

Pendahuluan (lanjutan)

Gambar 1. Ilustrasi suatu hasil pengukuran

Pendahuluan (lanjutan)

Definisi 1

Jika suatu fungsi terdefinsi pada selang I dengan x1 dan x2

adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka :

1) Fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan

f(x1) < f(x2)

2) Fungsi f turun pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan

f(x1) > f(x2)

3) Fungsi f konstan pada selang I, jika f(x1) = f(x2) untuk

setiap harga x1 dan x2

3

Pendahuluan (lanjutan)

Teorema 2

Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f setidak-

tidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan minimum

[a,b].

Contoh 1

Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk

selang-selang berikut :

a. [-2,0] b. (-3, 1) c. [-3,-2) d. (-1,1]

Pendahuluan (lanjutan)

Penyelesaian : a. Pada selang [-2,0]

Maksimum = f(0) = 6

Minimum = f(-2) = 0

b. Pada selang (-3,1)

Maksimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = -3)

Minimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = 1)

4

Pendahuluan (lanjutan)

c. Pada selang [-3,-2)

Maksimum = f(-3) = 0

Minimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = -2)

d. Pada selang (-1,1}

Maksimum tidak ada (f tidak kontinu pada x = -1)

Minimum = f(1) = 12

Nilai Ekstrim Lokal

Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat

suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian

rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau

terkecil (minimum). Setiap nilai f yang mempunyai nilai

maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal.

5

Nilai Ekstrim Lokal (lanjutan)

Definisi 3

Jika c adalah bilangan yang terletak dalam daerah definisi

(domain) fungsi seperti pada Gambar 2, maka :

1) f(c) adalah maksimum lokal f, jika terdapat suatu selang

terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa

sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).

2) f(c) adalah minimum lokal f, jika terdapat suatu selang

terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa

sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).

Nilai Ekstrim Lokal (lanjutan)

Gambar 2. Domain suatu fungsi

6

Nilai Ekstrim Lokal (lanjutan)

Teorema 4

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka

(a,b), suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada

titik c jika f’(c) = 0.

Teorema 5

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka

(a,b), suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal

pada titik c jika turunannya ada dan tidak sama dengan nol

f’(c) 0.

Nilai Ekstrim Lokal (lanjutan)

Teorema 6

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup

[a,b], suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada

titik c jika f’(c) = 0.

Teorema 7

Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan

kritis f, maka f’(c) = 0.

7

Nilai Ekstrim Mutlak

Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka

dapat disimpulkan bahwa titik (c,f(c)) merupakan titik

tertinggi pada grafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum

mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik

terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum

sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.

Nilai Ekstrim Mutlak (lanjutan)

Teorema 8

Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan riil R. Jika c terletak padaR, maka :

1) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f, jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam R.

2) f(c) adalah nilai minimum mutlak f, jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam R.

8

Nilai Ekstrim Mutlak (lanjutan)

Prosedur untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b] : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). 2. Tentukan titik ujung :

a. Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b], maka titik ujungnya adalah a dan b.

b. Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b), maka tidak mempunyai titik ujung.

c. Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b], maka titik ujungnya adalah b.

d. Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b), maka titik ujungnya adalah a.

3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari langkah nomor 1.

4. Hitung harga f pada setiap titik ujung. 5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan

terkecil yang dihitung pada langkah nomor 3 dan 4.

Nilai Ekstrim Mutlak (lanjutan)

Contoh 2

Jika diketahui f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai

maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,3] dan

gambarkan grafiknya!

Penyelesaian : Bilangan kritis

f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10

f’(x) = 6x2 – 6x – 12

6x2 – 6x – 12 = 0 6(x2 – x – 2) = 0 6(x – 2)(x + 1) = 0

x1 = 2 ; x2 = – 1

f(x1) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = – 10

f(x2) = f(–1) = – 2 – 3 + 12 + 10 = 17

9

Nilai Ekstrim Mutlak (lanjutan)

Titik ujung

– 4 dan 3

f(– 4) = – 64 – 48 + 48 + 10 = – 54

f(3) = 54 – 27 – 36 + 10 = 1

Jadi :

f(2) = minimum lokal

f(– 1) = maksimum lokal dan maksimum mutlak

f(– 4) = minimum mutlak

Fungsi 2 Variabel

Definisi dari relatif ekstrim dari fungsi 2 variabel identik

dengan fungsi 1 variabel, hanya bedanya akan berurusan

dengan 2 variabel.

Definisi 9

1. Fungsi f(x,y) mempunyai minimum lokal pada titik (a,b),

jika f(x,y) f(a,b) untuk setiap titik (x,y) dalam daerah

sekitar/bersebelahan (a,b).

2. Fungsi f(x,y) mempunyai maksimum lokal pada titik

(a,b), jika f(x,y) f(a,b) untuk setiap titik (x,y) dalam

daerah sekitar/bersebelahan (a,b).

10

Fungsi 2 Variabel (lanjutan)

Definisi 9 menyatakan bahwa minimum lokal adalah bukan

nilai terkecil dari fungsi, tapi terkecil pada daerah

bersebelahan. Hal ini berarti untuk titik sekitar (a,b), nilai titik

tetangga bersebelahan (a,b) akan bernilai lebih besar dari

f(a,b). Di luar daerah tetangga dekat sangat mungkin ada nilai

fungsi yang lebih kecil, demikian pula dengan maksimum

lokal.

Fungsi 2 Variabel (lanjutan)

Definisi 10

Titik (a,b) adalah titik kritis dari f(x,y), jika salah satu kondisi

dari dua syarat berikut terpenuhi :

1. f(a,b) = 0 atau fx(a,b) = 0 dan fy(a,b) = 0,

2. fx(a,b) dan/atau fx(a,b) tidak ada.

Teorema 11

Jika titik (a,b) adalah ekstrim lokal dari fungsi f(x,y), maka

titik (a,b) juga merupakan titik kritis dan akan diperoleh

f(a,b) = 0.

11

Fungsi 2 Variabel (lanjutan)

Catatan

Bahwa tidak semua titik kritis adalah titik ekstrim lokal, tapi

semua titik ekstrim lokal adalah titik kritis. Untuk

mendapatkan gambaran yang lebih jelas, lihat contoh berikut :

Contoh 3 f(x,y) = xy

Turunan parsial orde pertama,

fx(x,y) = y fy(x,y) = x

Titik dimana kedua turunan di atas adalah = 0, terjadi pada titik (0,0) yang

merupakan titik kritis dari fungsi tersebut.

Fungsi 2 Variabel (lanjutan)

Grafik fungsi, f(x,y) = xy

Dari grafik fungsi terlihat bahwa

titik kritis (0,0) bukan merupakan

titik ekstrim (maks/min), karena

daerah tetangganya mempunyai

nilai yang lebih besar dan lebih

kecil. Jenis titik kritis ini disebut

titik pelana atau saddle point.

12

Fungsi 2 Variabel (lanjutan)

Teorema 12

Jika (a,b) adalah titik kritis f(x,y) dan turunan kedua dari

turunan parsial adalah kontinu dalam suatu daerah yang

memuat (a,b). Dan jika D didefinisikan sebagai

D = D(a,b) = fxx(a,b)fyy(a,b) – [fxy(a,b)]2,

maka akan diperoleh beberapa klasifikasi dari titik kritis

dengan beberapa kondisi :

Fungsi 2 Variabel (lanjutan)

Teorema 12 (lanjutan)

i. Jika D > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka diperoleh nilai minimum

lokal pada (a,b).

ii. Jika D > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka diperoleh nilai

maksimum lokal pada (a,b).

iii. Jika D < 0, maka titik (a,b) adalah titik pelana/saddle

point.

iv. Jika D = 0, maka titik (a,b) mungkin minimum lokal,

maksimum lokal atau titik pelana/saddle point. Dengan

kata lain tidak ada kesimpulan.

13

Fungsi 2 Variabel (lanjutan)

Contoh 4 Tentukan dan klasifikasi titik kritis fungsi f(x,y) = 4 + x3 + y3 – 3xy

Penyelesaian : Turunan parsial orde pertama (untuk mendapatkan titik kritis)

fx = 3x2 – 3y fy = 3y2 – 3x

Turunan parsial orde kedua (untuk mengklasifikasikan titik kritis)

fxx = 6x fyy = 6y fxy = – 3

Untuk mendapatkan titik kritis :

fx = 3x2 – 3y = 0 3x2 = 3y y = x2

fy = 3y2 – 3x = 0 3(x2)2 – 3x = 3x(x3 – 1) = 0

Solusinya :

x = 0 atau x = 1

Fungsi 2 Variabel (lanjutan)

Nilai y = x2, sehingga diperoleh titik kritis :

x = 0 y = 02 = 0 (0,0)

x = 1 y = 12 = 1 (1,1)

Klasifikasi titik kritis, perlu dihitung nilai D :

D(x,y) = fxx(x,y)fyy(x,y) – [fxy(x,y)]2

= (6x)(6y) – (– 3)2

= 36xy – 9

Masukkan titik kritis ke persamaan D(x,y) :

(0,0) ; D(0,0) = 0 – 9 = – 9 < 0

D negatif titik pelana/saddle point

Teorema 12(iii)

(1,1) ; D(1,1) = 36 – 9 = 27 > 0

D positif dan fxx positif minimum lokal

Teorema 12(i)

14

Latihan

1. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi berikut dan gambarkan

grafiknya!

𝐟 𝐱 =𝟏

𝟐𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 ; [2,5]

𝐟 𝐱 = 𝟑𝐱𝟐 − 𝟏𝟎𝐱 + 𝟕 ; [-1,3]

2. Tentukan dan klasifikasi titik kritis fungsi :

f(x,y) = x2 + 4y2 – 2x2y + 4

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!