Panas Jenis Kristal

Disusun untuk memenuhi tugas makalah mata kuliah pengantar fisika zat padat

Disusun Oleh:

Satria Auffa Dhiya ‘Ulhaque

140310110012

Nyai Mona

140310110007

PROGRAM STUDI FISIKA

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN

2014

Pada struktur kristal di dua bab sebelumnya kita dapat asumsikan bahwa

atom diam pada kisinya. Namun sebenarnya atom tidak benar-benar dalam

keadaan diam tetapi berputar pada titik keseimbangannya sehingga menghasilkan

energi thermal. Sekarang kita akan diskusikan secara detail dinamika kisi dan

pengaruhnya pada panas, akustik dan alat optic pada kristal.

Pada bab ini pertama kita akan mempertimbangkan dinamika kristal pada

batas panjang gelombang elastic, dimana kristal dapat diperlakukan pada medium

tak hingga dan kita akan membandingkan macam-macam model yang digunakan

untuk menjelaskan spesifikasi panas. Pernyataan ini ditemukan dengan

eksperimen yang hanya bisa disampaikan dengan konsep kuantum. Kemudian di

bab ini kita akan diperkenalkan dengan phonon, kuantum unit dari gelombang

bunyi. Disertai dengan dinamika kisi, kisi terpisah dan konduksi panas dari kisi.

Contoh dari gelombang kisi yaitu penyebaran radiasi (seperti sinar x).

Disertai dengan aspek penting pada gelombang kisi di dalam microwave, dan

pada akhirnya kita akan mendiskusikan pantulan dan penyerapan sinar infrared

dengan dinamika kisi pada kristal ion.

Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada

kristal. Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan

dengan jarak antar atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang

pendek dan pendekatan gelombang panjang. Disebut pendekatan gelombang

pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang

lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini, gelombang akan

“melihat” kristal sebagai tersusun oleh atom-atom yang diskrit, sehingga

pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit. Sebaliknya, bila dipakai

gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi

akan “nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan gelombang.

Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar.

A. Kapasitansi Panas Fonon

Kapasitas panas yang biasa kita kenal kapasitas panas pada volume konstan,

yang lebih mendasar dari kapasitas panas pada tekanan konstan, yang

dimaksudkan pada eksperimen. Kapasitas panas pada volum konstan didefinisikan

CV=(∂ U /∂ T )V dimana U adalah energi dan T adalah temperatur.

Kontribusi dari fonon terhadap kapasitas panas pada kristal disebut kapasitas

panas kisi dan dilambangkan C lat .

Energi total dari fonon pada temperature τ(¿KBT) dalam kristal mungkin ditulis

sebagai penjumlahan dari semua mode energi fonon , disini di kumpulkan dengan

vektor gelombang K dan indeks polarisasi p.

U=∑K∑

P

U K , p=∑K∑

P⟨nK , p ⟩ħωK , P(1)

Dimana ⟨nKp⟩ adalah daerah keseimbangan termal dari panjang vektor fonon K

dan polarisasi P. bentuk ⟨nKp⟩ di turunkan dari fungsi distribiusi plank :

⟨ n ⟩= 1

exp( ħωτ )−1

(2)

Dimana ⟨ n ⟩ menyatakan rata – rata titik keseimbangan termal . grafik A dari ⟨ n ⟩

dijelaskan oleh gambar diatas. Plot dari fungsi distribusi plank . pada temperatur

tinggi keadaannya mendekati linear pada temperatur . fungsi ⟨ n ⟩ + ½ , dimana

tidak di plot . menerima tanda garis sebagai asimtot pada temperatur tinggi .

tanda garis adalah batas dalam tinjauan klasik.

Distribusi Plack

Mengacu pada osilator harmonik identik pada titik keseimbangan termal.

Perbandingan dari bilangan osilasi pada urutan keadaan kuantum eksitasi ke (n +

1) ke bilangan osilasi pada urutan keadaan kuantum ke n adalah

Nn+1/N n=exp (−ħ /τ ) , τ=Kb T (3)

Dengan menggunakan faktor boltzman. Sehingga solusi dari bilangan osilator

total pada keadaan kuantum ke n adalah

Nn

∑s →0

∞

N s

=exp(−nħ ω

τ )∑s=0

∞

( sħ ωτ )

(4)

Kita tahu bahwa rata-rata bilangan kuantum eksitasi dari sebuah osilator adalah

⟨ n ⟩=∑

s

sexp (−s ħɷτ

)

∑s

exp(−sħɷτ

)(5)

Jumlah dipersamaan (5) adalah

∑s

X s= 11−X

;∑s

sXs=xddx ∑s

X s= x

(1−x)2(6)

Dengan x=exp (−ħω /τ ¿)¿kita bisa menuliskan kembali persamaan (5) sebagai

distribusi planck :

⟨ n ⟩= xx−1

= 1

exp (−sħɷ

τ)−1

(7)

Daftar Mode Normal

Energi dari pengumpulan osilator yang berfrekuensi ɷK ,P pada kesetimbangan

termal didapatkan dari persamaan (1) dan (2) :

U=∑K∑

p

ħ ɷK , p

exp( ħ ɷK

τ )−1

(8)

Biasanya untuk menulis penjumlahan dari K bisa digunakan integral .jika kristal

dalam bentuk D p (ɷ )dɷ mengakibatkan polarisasi pdalam rentang frekuensi

sampai + d , energinya adalah

U=∑p∫ dɷ Dp

ħ ɷ

exp( ħ ɷτ )−1

(9)

Kapasitas panas bisa dicari dengan mendeferensiakan terhadap temperatur.

Dengan memasukan

X = ħ/τ = ħɷ/k B T : dengan ∂ U∂ T

dinyatakan :

C lat=KB∑p∫d ɷ D p (ɷ ) x2exp x

¿¿¿

Masalah utamanya adalah menemukan D() , bilangan mode tiap jangkauan

frekuensi. Funsi ini disebut kerapatan dari r kurang lebih jarang

Gambar 2. Garis elastis of N + 1 atom, dengan N = 10 , untuk kondisi ikatan .

bahwa atom terakhir s = 0 dan s = 10 tidak berubah. Partikel yang bergeser di

keadaan normal dari longitudinal atau tranversal pergeseran berbentuk us ᾱ sin

sKa. Bentuk ini secara otomatis memberikan nilai nol pada saat s = 0dan kita

dapat memilih K untuk tiap pergeseran di akhir s = 10.

Gambar 3. Kondisi di ikatan sin sKa = 0 untuk s = 10 tidak terpenuhi jika

memasukan K = π/10a , 2π/10a,… 9π/10a , dimana 10a adalah panjang garis L.

mengacu gambar di ruang K. titik bukanlah atom melainkan hasil yang memenuhi

K. dari N+1 partikel digaris , hanya N-1 yang diperbolehkan bergerak , dan

pergerakan totalnya dapat dinyatakan dalam suku N-1 yang memenuhi nilai K .

kuantisasi dari K tidak dapat dicari dengan mekanika kuantum tetapi dari

pendekatan klasik kondisi ikatan dapat diselesaikan.

Kerapatan dari keadaan. Cara paling mudah untuk menentukan rapat keadaan

adalah menentukan penyebaran terhadap K pada arah kristal yang dipilih

dengan caara penyebaran neutron yang tidak elastik lalu membuat analisa teorinya

untuk meberikan penyebaran hubungan pada arah yang general dari D()

kemungkinan bisa didapatkan.

Rapat Keadaan dalam Satu Dimensi

Mempertimbangkan masalah nilai batas untuk getaran dari garis satu dimensi

dengan panjang L membawa N+1 partikel dengan pemisahan a. Kita menganggap

bahwa partikel s = 0 dan s = N di akhir baris tetap. Setiap mode getaran normal

dari polarisasi p memiliki bentuk gelombang berdiri. Dimana us adalah

perpindahan oleh partikel s

us=u (0 ) exp (−i ωk , pt ) sin sKa(11)

Dimana ωk , p memiliki hubungan dengan K mendekati dispersi relasi.

Dari gambar 3 vektor gelombang K dibatasi oleh beberapa kondisi

K= πL

,2 πL

,3 πL

, …,( N−1 ) π

L(12)

Solusi dari K=π /L memiliki

us∝ sin (sπ a /L )(13)

Solusi untuk K=Nπ /L=π /a=K max memiliki us∝ sin (sπ a /L ). Ini

memungkinkan tidak ada gerak atom, karena sin ( sπ ) hilang pada setiap atom,

sehingga ada N-1 nilai bebas memungkinkan K pada persamaan 12. Jumlah ini

sama dengan jumlah partikel diperbolehkan untuk bergerak. Setiap nilai

memungkinkan K berhubungan dengan gelombang berdiri. Untuk satu baris

dimensi ada satu modus untuk masing-masing interval, sehingga beberapa mode

per rentang unit K adalah L/ π untuk K ≤ π /a dan 0 untuk K>π /a .

Ada tiga polarisasi p untuk setiap nilai K: pada satu dimensi, dua diantaranya

melintang dan satu yang lainnya membujur. Dalam tiga dimensi, polarisasi yang

sederhana ini hanya untuk vector gelombang arah Kristal tertentu.

Perangkat lain untuk mode operasi perhitungan yang sering digunakan yaitu

sama-sama valid. Kita menganggap medium yang tak terbatas, tetapi memerlukan

solusi periodik yang akan l;ebih besar dari nilai L, sehingga

K=0 ,±2 πL

,±4 πL

,±6 πL

, …,NπL

(14)

Metode perhitungan diberikan dalam jumlah mode yang sama yaitu (per satu atom

di berikan dari persamaan (12), tetapi yang kita miliki sekarang nilai keduanya

plus dan minus K, dengan ∆ k=2 π /L interval antara nilai-nilai berturut-turut k.

Untuk kondisi batas periodic nomor mode per kisaran unit k adalah L/2π untuk

−π /a≤ K ≤ π /a dan 0 sebaliknya. Situasi dalam kisi dua dimensi digambarkan

dalam gambar 6.

Kita perlu mengetahui D (ω ) adalah jumlah modus per kisaran satuan frekuensi.

Jumlah modus D (ω )dωpada dωdi dalam ω diberikan pada satu dimensi dengan

D (ω )dω= Lπ

dKdω

dω= Lπ

dωdω/dK

(15)

Kita bisa memperoleh kecepatan group dω /dK dari hubungan dispersi ω

terhadap K. Terdapat keanehan di dω setiap kali hubungan dispersi ω (k ) adalah

horizontal yaitu setiap kali kecepatan kelompok adalah nol.

Rapat Keadaan dalam Tiga Dimensi

Kita menerapkan kondisi batas periodic di N3sel primitive dalam sebuah kubus

dengan panjang sisi L sehingga dapat di tentukan oleh kondisi

exp [i (K x x+K y y+K z z ) ]≡exp {i [ K x ( x+L )+K y ( y+L )+K z ( z+L ) ] }(16¿)¿

Dimana

K x , K y ,K z=0 ;±2 πL

;±4 πL

;…. ;NπL

(17)

Karena itu ada sebuah nilai yang diperbolehkan K per volume (2 π /L )3 di dalam

ruang K, atau

( L2 π )

3

= V8 π3 (18)

Gambar 4

Mempertimbangkan N buah partikel dibatasi untuk meluncur pada cincin

melingkar. Partikel dapat berosilasi jika dihubungkan dengan pegas elastic. Dalam

modus normal us untuk perpindahan atom s akan menjadi bentuk sin sKaatau

cos sKa. Ini adalah mode independen. Periodisasi geometris dari cincin tersebut

memiliki syarat batas bahwa uN+s=us untuk semua s, sehingga NKa harus

dikalikan intergral 2. Untuk N= 8 nilai K yang diperbolehkan adalah 0, 2/8a,

4 /8 a, 6 /8 a dan 8 /8 a. Nilai K= 0 tidak berlaku untuk bentuk sin karena sin s0a =

0. Nilai 8 /8 a memiliki arti dalam bentuk cosinus karena sin s8 a /8 a=sin ¿0.

Tiga nilai lain dari K diperbolehkan untuk bentuk keduanya yaitu sin dan cos,

memberikan total delapan mode yang memungkinkan untuk 8 partikel sehingga

kondisi batas periodic mengarah ke salah satu modus yang diperbolehkan per

partikel, persis seperti kondisi batas tetap akhir pada gambar 3. Jika kita

mengambil bentuk kompleks dari exp (isKa ), kondisi batas periodic akan

mengarah pada 8 mode yaitu K=0 ,± 2 π /Na , ± 4 π /Na ,± 6 π /Na, dan ± 8 π /Na,

seperti pada persamaan 14.

−NπL

−6 πL−4 π

L−2 π

L0

2πL

4 πL

6πL

NπL

Gambar 5 Nilai yang memungkinkan untuk gelombang vektor K pada kondisi

batas periodic di terapkan pada kisi linear periodisasi N= 8 atom dengan panjang

L. K= 0 adalah solusi untuk bentuk mode yang seragam. Point special ± Nπ /L

hanya mewakili satu persamaan karena exp ( iπs ) identik dengan exp (−iπs )

.sehingga dipebolehkan 8 mode dengan perpindahan s atom sebanding dengan

1, exp (± iπs )/4, exp (± iπs )/2, exp (± i3 πs) /4, exp (±iπs).

Gambar 6 Nilai yang diperbolehkan dalam ruang Forier dari gelombang fonon

vektor K untuk kisi-kisi persegi adalah konstan, dengan kondisi batas periodic

diterapkan selama persegi memiliki sisi L= 10a. Modus seragam di tandai dengan

cross. Ada satu nilai yang di perbolehkan untuk K per luas (2 π /10 a )2=(2 π /L )2

sehingga dalam luas lingkaran π K2 jumlah titik yang di izinkan adalah

π K2 ( L/2π )2.

Memungkinkan nilai K per satuan volume ruang K. untuk polarisasi masing-

masing dan untuk setiap cabang. Volume specimen adalah V=L3. Jumlah mode

dengan vector gelombang kurang dari K ditemukan dari persamaan (18) menjadi ( L2π )

3

kalinya volume sebuah bola yang berjari-jari K. sehingga

N= (L /2 π )3 (4 π K3/3 )(19)

untuk setiap jenis polarisasi. Rapat keadaan untuk setiap polarisasi adalah

D (ω )=dN /dω=(V K2/2 π 2 ) ( dK /dω )(20)

Rapat Keadaan Model Debye

Dalam pendekatan Debye kecepatan bunyi diambil sebagai konstanta untuk

masing-masing tipe polarisasi, sebagaimana itu mungkin untuk kontinum elastik

klasik. Hubungan dispersinya dapat ditulis seperti

ω=ʋ K (21)

dengan ʋ adalah konstanta kecepatan bunyi.

Kerapatan keadaan (20) menjadi

D (ω )= V ω2

2 π2ʋ3 (22)

Jika terdapat N sel primitif dalam contoh, total nomor ragam phonon akustiknya

adalah N. Sebuah frekuensi pancung ωD ditentukan oleh (19) seperti

ωD3 =6 π2 ʋ3 N

V(23)

Untuk frekuensi ini terdapat koresponden sebuah arus listrik gelombang vektor

dalam K ruang:

¿¿

Dalam ragam Debye kita tidak diperbolehkan ragam vektor gelombangnya lebih

besar dari KD. Nomor ragam dengan K ≤ K D membuang nomor derajat kebebasan

dari kisi monoatomik.

Energi termalnya (9) diberikan oleh

U=∫ dω D (ω) (n (ω ) )ħω=¿∫0

ωD

dω( Vω2

2 π2 ϑ3 )( ħω

eħω /r−1 )(25)¿

Untuk masing-masing tipe polarisasi. Untuk singkatnya kita mengasumsikan

bahwa kecepatan phonon adalah kebebasan polarisasi, sehingga kita mengalikan

dengan faktor 3 untuk memperoleh

U= 3Vħ

2 π2ϑ 3∫0

ωD

dωω3

eħω/r−1=¿

3 VkB4 T 4

2π2 ϑ3 ħ3∫0

xD

dxx3

e x−1(26)¿

Dimana x=ħω /r=ħω/k BT and

xD=ħωD

KbT= θ

T(27)

Ketentuan Debye pada suhu θ dalam kondisi ωD ditentukan oleh (23). Kita dapat

mengungkapkan θ seperti

θ=ħϑkB

.( 6 π2 NV )

13 (28)

Sehingga total energi phononnya adalah

U=9 NkB(Tθ )

3

∫0

xD

dxx3

ex−1(29)

Dimana N adalah nomor atom dalam sampel dan xD=θ/T .

Kapasitas panas ditemukan paling sering dengan mudah dengan membedakan

pertengahan persamaan (26) dengan ketidakpastian suhu. Kemudian

C v=3Vħ2

2π2 ϑ3 k BT 2∫0

ωD

dωω4 eħω /r

(eħω/ r−1 )2=9 NkB (Tθ )

3

∫0

xD

dxx4 e x

(e x−1 )2(30)

Kapasitas panas Debye digambarkan pada gambar 7. Pada T ≫θ kapasitas

panasnya mendekati nilai klasik 3 NkB. Pengukuran nilai silikon dan germanium

digambarkan pada gambar 8.

Hukum T3 Debye

Pada suhu sangat rendah kita dapat mendekati (29) dengan membiarkan limit

teratas sampai tidak terbatas. Kita mempunyai

∫0

∞

dxx3

ex−1=∫

0

∞

dx x3∑0

∞

exp (−sx )=6∑0

∞184=

π4

15(31)

Dimana jumlah melebihi s−4 ditemukan dalam tabel standar. Jadi

U=3 π 4 NkB T 4/5θ3 untuk T ≪θ , dan

C v=12 π4

5NkB(T

θ )3

=234 NkB(Tθ )

3

(32)

Yang mana adalah pendekatan Debye T3. Hasil penelitian untuk Argon

digambarkan pada gambar 9.

Pada suhu yang cukup rendah pendekatan T3 cukup baik: bahwa ketika hanya

panjang gelombang ragam akustik dimunculkan secara termal. Hanya ada ragam

yang mungkin dihilangkan seperti kontinum elastik dengan konstanta elastik

makroskopik. Energi ragam panjang gelombang pendek (untuk yang pendekatan

pasti ini) adalah terlalu tinggi bagi mereka untuk dipopulasikan secara penting

pada suhu rendah.

Kita mengetahui T3 dihasilkan oleh uraian sederhana (gambar 10). Hanya ragam

kisi memiliki ħω < kBT akan dikeluarkan menjadi beberapa sampai bernilai pada

suhu rendah T. Eksitasi dari ragam ini akan menggunakan pendekatan klasik,

masing-masing dengan sebuah energi sampai kBT, berdasarkan gambar 1.

Dengan diikuti volum dalam ruang K, pecahannya ditempati oleh ragam eksitasi

yaitu dari (ωT/ωD)3 atau (KT/KD)3 , dimana KT adalah vektor gelombang termal

seperti ħʋKT = kBT dan KD adalah vektor gelombang arus listrik Debye. Jadi

pecahan ditempati (T/ θ)3 dari total volum dalam ruang K. Terdapat 3N(T/θ)3

ragam eksitasi, masing-masing memiliki energi kBT. Energinya ~3N kBT (T/θ)3

dan kapasitas panasnya adalah ~12N kB (T/θ)3.

Untuk kristal sesungguhnya suhu pada pendekatan T3 cukup rendah. Itu dapat

diperlukan dibawah T = θ/50 untuk mendapatkan kemurnian sifat T3.

Pemilihan nilai θ diberikan pada tabel 1. Catatan, sebagai contohnya dalam alkali

logam bahwa atom yang lebih berat memiliki θ terendah, karena kecepatan suara

menurun sebagai peningkatan rapat massa.

Rapat Keadaan Model Einstein

Dengan menganggap bahwa pergerakan sejumlah N yang memiliki frekuensi

sama (0)dan dalam 1 dimensi. Kerapatan keadaan model Einsten adalah

D (ω )=Nδ (ω−ω0), dimana fungsi deltanya berpusat pada 0. Energi termal sistem

adalah

U=N ⟨n ⟩ ћω= Nћω

eћωτ −1

(33)

gambar 9. Temperatur rendah kapasitas panas argon padatan terhadap

Temperatur3. Dalam grafik tersebut menggambarkan bahwa hasil eksperimen

tersebut dapat dikatakan dengan Hukum Debye3 dengan θ= 92 K

gambar 10. Untuk mendapatkan sebuah penjelasan dari hukum debye3, kita dapat

menganggap bahwa semua model ponon dari gelombang vektor yang kurang dari

Kr memiliki energi termal klasik KbT dan jarak antara Kr dan debye tidak ada.

Dari 3N kemungkinan mode, memiliki sejumlah ( K T

K D)

3

=(Tθ )3

karena ini adalah

perbandingan dari volume dalam bola dan volume luar bola. Energinya adalah

U ≈ k BT .3 N (T /θ)3dan kapasitas panas adalah C v=∂ U∂ T

≈ 12 N kB(T /θ)3

gambar11. Bandingkan hasil dari percobaan kapasitas panas dari intan dengan

hasil perhitungan model kuantum awal Einsten, menggunakan karakteristik

temperatur θE=ћω/k B=1320 K . Untuk mengubahnya ke satuan J/mol0, dikalikan

dengan 4,186

Jadi kapasitas panas dari pergerakan tersebut adalah

C v=( ∂U∂ T )

V

=N k B( ћωτ )

2 eћω/ τ

(eћω/ τ−1 )2(34 )

yang digambar pada gambar 11. Ini menunjukan hasil dari einsten untuk

konstribusi dari pergerakan N identik menjadi kapasitas panas zat padat.

Jika dalam 3 dimensi, maka kita sebut dengan 3N. Batas ketinggian suhu Cv

menjadi 3N Kb, dan disebut juga hasil dulog dan petit.

Pada tempertur rendah, kapasitas panas berkurang sebanyak exp ¿ yang pada

percobaan dari kontribusi ponon disebut juga T3, pada mode Debay diatas. Model

Einsten ini biasanya digunakan untuk menghitung bagian optik ponon dari

spektrum ponon.

Hasil Umum Untuk D ()

Kita mau mencari persamaan umum untuk D(). Jumlahnya bagian dari tiap unit

bagian jarak frekuensi, diberikan dispersi relasi ponon ()K. Jumlah yang

diijinkan dari K untuk setiap frekuensi ponon antara + d adalah

D (ω )dω=( L2 π )

3

∫shell

d3 K (35)

Dimana integral tersebut sampai dengan volume kulit K yang dibatasi oleh 2

frekuensi ponon yang besarnya konstan, 1 permukaan dan 1 nya + d.

gambar12. Elemen dari daerah dS di ruang frekuensi yang konstan pada kulit K.

Jadi volume antara 2 permukaan dari frekuensi yang tetap pada dan +d sama

dengan ∫ d Sω dω /|∇k ω|. Elemen dari volume antara permukaan frekuensi tetap

w dan +d pada penggambaran sebuah silinder dengan alas dS dan ketinggian

d K⊥ maka

∫shell

d3 K=∫d Sω d K⊥ (36)

dan besar

|∇K ω|d K⊥=dω

Sehingga

d Sω d K⊥=d Sωdω

|∇K ω|=d Sω

dωvg

dimana vg=|∇K ω| adalah besar dari kecepatan grup ponon. Sekarang kita

mempunyai

D (ω )dω=( L2 π )

3

∫ d Sω

v g

dω

dan L3 adalah Volume kristal. Sehingga kerapatan D() adalah

D (ω )= V(2 π )3∫

d Sω

vg

(37)

gambar13. Besar d K⊥ yang antara permukaan dan +d

gambar14. kerapatan menurut fungsi frekuensi dari (a) Debye padatan dan (b)

Struktur kristal

Persamaan sebelumnya tersebut dapat menghitung besar ruang K. Hasilnya akan

sama dengan teori ikat elektron. Ini sangat membantu untuk menghitung D()

dari suatu titik dimana kecepatan grup ponon adalah nol.

B. Interaksi Kristal Anharmonik

Teori getaran Lattice hanya membahas Energi potensial pada bentuk kuadrat

dalam interaksi perpindahan atom, diantara konsekuensinya adalah:

2 gelombang Lattice tidak berinteraksi

Tidak ada expansi thermal

Konstanta elastic adiabatic dan isothermal sama

Konstanta elastisitas nya adalah tekanan bebas dan temperature

Kapasitas panas menjadi konstan ketika berada pada temperature yang

tinggi

Tidak ada dari pernyataan di atas yang tepat dalam menjelaskan Kristal.

Penyimpangan yang terjadi disandarkan pada neglect of anharmonic. Demonstrasi

effect anharmonic adalah percobaan interaksi dua phonon untuk memproduksi

phonon ketiga pada frekuensi ω3 = ω1 + ω2. Shiren mendeskripsikan sebuah

experiment antara sebuah beam of longitudinal phonon pada frekuensi 9.20 GHz

yang berinteraksi dengan Kristal MgO dengan sebuah parallel beam of

longitudinal phonons dengan nilai 9.18 GHz. Interaksi kedua beam ini

memproduksi beam of longitudinal phonon ketiga dengan nilai 18.38 GHz.

Proses tiga phonon ini disebabkan oleh bentuk ketiga energy potensial Lattice.

Bentuk khas nya mungkin saja berupa U 3=A exx eyy ezz, dimana e adalah

komponen tegangan dan A merupakan konstanta. Gambaran mudah tentang

wujud interaksi phonon yaitu: kehadiran sebuah phonon yang disebabkan sebuah

periodic elastisitas tegangan yang memodulasi konstanta elastisitas Kristal dalam

ruang dan waktu. Phonon kedua merasakan konstanta elastisitas dan menyebar

untuk memproduksi phonon ketiga.

1. Ekspansi Termal

Energi potensial atom dengan perpindahan x dari posisi kesetimbangannya dapat

dipresentasikan:

U ( x )=c x2−g x3−f x4(38)

Dengan c,g,dan f bernilai positif. Bentuk x3 dipresentasikan sebagai asimetri

mutual repulsion atom dan bentuk x4 sebagai pelembut getaran dengan amplitude

yang besar.

Dengan merata – ratakan perpindahan menggunakan fungsi distribusi Boltzmann,

akan memungkinkan kita untuk menemukan nilai x menurut probabilitas

thermodinamika:

( x )=∫−∞

∞

dx x exp[−βU ( x )]

∫−∞

∞

dx exp[−βU ( x )]

Dengan β = 1

KbT . Untuk perpindahan demikian, bahwa bentuk anharmonik

dalam energy itu kecil dalam perbandingan dengan KbT . Mungkin kita dapat

memperluasnya dengan integral berikut

∫ dx x eksp (−βU )≅∫ dx [eksp (−β cx2 ) ] ¿¿¿

∫ dxeksp (−βU )≅ 1+βg x2=( πβc

)1/2

(39)

Maka expansi thermalnya adalah

⟨ x ⟩= 3 g

4 c2K bT (40)

C. Konduktivitas Termal

Koefisien K konductivitas termal padat didefinisikan dengan hubungan aliran

keadaan mantap dari panas sebuah batang panjang dengan gradient suhu dT/dx;

Jv=−kdTdx

(41) ,

Dimana jv adalah flux energy thermal. Implikasi dari persamaan ini adalah proses

transfer energy thermal secara acak. Dari teori kinetic gas kita mendapatkan

sebuah pendekatan bentuk dari konduktivitas thermal:

k=13

Cvl (42)

Dimana C adalah kapasitas panas per satuan volume, v adalah rata-rata kecepatan

partikel, dan l adalah “mean free path” tabrakan diantara partikel.

Jika c adalah kapasitas panas sebuah partikel, kemudian bergerak dari temperature

T + ΔT ke temperature T, sebuah partikel tersebut akan melepaskan energy c ΔT,

dengan

∆ T=dTdx

l x=dTdx

vx t

Dimana t adalah waktu rata – rata diantara tumbukan

Energi net flux

Jv=−n (vx2 )ct

dTdx

=−13

n (v2 )ctdTdx

(43)

untuk phonon dengan v konstan :

j v=−13

cv ldTdx

(44)

dengan l = vt dan C = nc. Maka K = 13

Cvl

1. Resistivitas Termal untuk Gas Fonon

Phonon yang berarti “free path l” itu secara prinsip, ditentukan dengan 2 proses,

yaitu penghamburan geometri dan penghamburan oleh phonon lain. Jika gaya –

gaya antar atom harmonic,maka tidak ada tumbukan mekanik diantara ponon –

ponon dan “the mean free path” akan dibatasi oleh tumbukan sebuah ponon

dengan ikatan Kristal dan lattice imperfections.

Dengan interaksi anharmonik Lattice, pasangan antara 2 phonon yang berbeda

yang memiliki harga mean free path yang terbatas. Keadaan exact system

anharmonik tidak terlalu lama seperti phonon.

Teori pasangan efek anharmonik thermal resistivity memprediksi bahwa l

proposional dengan 1/T pada temperature tinggi. Untuk mendefinisikan sebuah

konduktivitas thermal, harus ada mekanisme dalam Kristal dimana distribusi

phonon memungkinkan mencapai titik kesetimbangan thermal. Tanpa mekanika

kita mungkin tidak dapat berbicara ponon di “one end of crystal” di titik

keseimbangan termal di sebuah temperature T2 dan berakhir di temperature T1.

TIdak cukup hanya dengan membatasi the mean free path, tetapi harus ada

pembangunan sebuah lokasi kesetimbangan thermal dari distribusi phonon.

Tabrakan phonon dengan ikatan Kristal tidak akan membuat kesetimbangan

thermal, karena tumbukan tidak merubah energy phonon secara individual. Ini

dapat ditandai ulang dengan proses tabrakan 3 phonon.

K1+K2=K3(45)

Tidak akan menuju kesetimbangan,tapi untuk reaksi halus total momentum gas

phonon tidak akan berubah oleh tumbukan.

Ket gambar 16.a : aliran molekul gas dalam dalam keadaan menuju

kesetimbangan di dalam tabung panjang terbuka dengan dinding tanpa gesekan.

Diantara proses tumbukan elastistas molekul gas tidak merubah momentum atau

energy flux gas karena setiap tumbukan kecepatan pusat massa dan energy yang

menumbuk partikel – partikel tidak berubah.

Ket gambar 16.b : definisi konduktivtas termal di dalm sebuah gas dapat

disamakan dengan sebuah situasi dimana aliran tak bermassa diizinkan. Dengan

sebuah pasangan – pasangan tumbukan gradient suhu dengan “above-average”

kecepatan pusat massa akan mengarah ke kanan. Sedangkan untuk “below-

average” kecepatannya mengarah ke kiri.

Sebuah kesetimbangan distribusi phonon pada temperature T bias menggerakkan

Kristal dengan kecepatan yang tidak terdistribusi oleh persamaan di atas. Untuk

setiap tabrakan phonon

J=∑K

nk ηK (46)

Dikoservasikan. Karena tumbukan J berubah dengan K1 – K2 – K3 = 0. Nk adalah

banyaknya ponon yang memiliki gelombang vektor K.

Ket gambar 16.c: dalam sebuah Kristal kita mungkin dapat mengatur phonon –

phonon memimpin di one end. Di sini akan menjadi sebuah net flux phonon

mengarah right end Kristal. Jika hanya proses N terjadi, momentum tumbukan

flux phonon tidak berubah.

Ket gambar 16.d: dalam proses U, sebuah net besar merubah momentum dalam

setiap tumbukan. Inisial net flux phonon akan cepat sekali rusak. The ends akan

beraksi sebagai sumber dan sinks. Perpindahan net energi di bawah sebuah

gradient temperature terjadi.

Untuk sebuah distribusi dengan J tidak sama dengan 0 , tumbukan seperti (45)

“incapable” menuju kesetimbangan thermal sempurna karena J tidak berubah. Jika

memulai phonon panas sebuah “rod” turun dengan J tdaksama dengan 0 distribusi

akan “propagate” kebawah rod dengan J tidak berubah. Hal ini bukanlah

merupakan resistansi thermal.

Proses Umpklapp

Tiga phonon penting diproses menyebabkan resitivitas panas tidak dalam bentuk

K1 + K2 = K3 dengan K yang konsevatif , tetapi dalam bentuk :

K1+K2 = K3 + G (47)

Dimana G adalah vektor reciprocal lattice . proses ini ditemukan oleh pierls , yang

dikenal dengan umklapp proses. Kita bisa menyebutnya G untuk semua

momentum konservatif dalam kristal.

Kita ambil contoh dari proses interaksi gelombang dalam kristal yang total vektor

gelombangnya berubah sampai mendekati nol .

Gambar 17 (a) normal K1 + K2 = K3 dan (b) umklapp K1+K2=K3+G proses

tumbukan fonon pada kisi persegi dua dimesi . kisi persegi pada tiap gambar

mengacu pada daerah blillouin di ruang fonon K , daerah ini memuat semua

kemungkinan nilai tidak tetap dari vektor gelombang fonon. Vektor K dengan

arah tepat di tengah daerah yang direpresentasikan menyerap fonon pada proses

tumbukan. Seperti kita tau di (b) bahwa arah proses umklapp dari komponen – x

fluks fonon cadangan. Vektor kisi balik G dinyatakan dengan panjang 2π/a ,

dimana a adalah konstanta kisi dari kisi kristal , dan sejajar dengan sumbu Kx.

Untuk semua proses , N atau U , energi harus kembali , jadi ɷ1 + ɷ2 = ɷ3.

Vektor. Proses serupa selalu mungkin dalam kisi priodik. Pendapat paling kuat

untuk fonon : hanya berarti fonon palsu K pada daerah brillouin pertama , jadi

tidak ada K yang dihasilkan pada tumbukan harus kembali ke daerah pertama

dengan tambahan G . A tumbukkan dari dua fonon dengan hasil yang negatif dari

Kx dapat dilakukan dengan proses umklapp (G tidak sama dengan 0) membuat

ponon positif Kv . proses umklapp juga disebut U proses.

Proses tumbukkan dengan G = 0 disebut normal proses atau N proses . pada

temperatur tinggi T > θ semua fonon sedang tereksitasi karena Kb T > ħɷmaks ,

semua tumbukan lenting sempurna akan mengalami proses U dengan bantuan

momentum tinggi yang terjadi dalam tumbukan. Dalam keadaan ini kita dapat

memperkirakan resistivitas termal tanpa perbedaan secara tinjauan partikel antara

proses N dan U , dengan anggapan awal tentang efect non linear kita dapat

memperkirakannya untuk mendapatkan hambatan termal kisi sebanding dengan T

pada temperatur tinggi.

Energi dari fonon K1 , K2 cocok untuk terjadinya umklapp jika saat ½ Kb θ ,

karena baik fonon 1 ataupun 2 harus mempunyai gelombang vektor kisaran 1/2G

sehingga tumbukkan (47) bisa mungkin terjadi. Jika kedua fonon mempunyai K

rendah , sehingga energinyapun rendah , tidak mungkin tumbukan antara mereka

gelombang vektornya keluar dari daerah pertama. Proses umklapp yang energinya

konservatif , hanya cukup untuk proses normal. Pada temperature rendah

bilangan fonon yang memenuhi dari energi tinggi 1/2Kbθ memerlukan harga

expetasi extrem sebagai exp(-θ/2T) , menurut faktor boltzman. bentuk

eksponensial cocok dengan hasil eksperimen. Kesimpulannya , fonon bebas pada

saat memasuki (42) itu adalah saat bebas untuk tumbukkan umklapp diantara

fonon dan tidak untuk semua fonon

Gambar 18 : konduktivitas termal pada bahan kristal murni dari sodium flurida .

setelah H. E jackton , C walker , dan T . F McNelly.

Ketidaksempurnaan

Efek geometri sangat penting untuk free path. Kita menganggap bahwa bagian

kecil dari kristal dibatasi oleh massa isotopic terdapat dalam elemen kimia alami,

kima pemurnian, ketidaksempurnaan pola-pola geometris dari molekul-molekul,

dan struktur benda tak berbentuk.

Pada temperatur rendah, rata-rata dari free path l menjadi sebanding dengan lebar

spesimen uji, sehingga nilai dari l tersebut dibatasi oleh lebar spesimen uji, dan

konduktivitas termalnya menjadi fungsi dari dimensi spesimen. Efek ini

ditemukan oleh De Haaz dan Biermasz. Penurunan yang tajam pada konduktivitas

termal dari kristal pada temperatur rendah dikarenakan oleh efek ukuran.

Di temperatur rendah, proses umklapp menjadi tidak efektif dalam membatasi

konduktifitas termal, dan efek ukurannya menjadi dominan seperti yang

ditunjukkan pada gambar18. Dapat kita perkirakan free path ponon akan menjadi

konstan, dengan diameter D spesimen, dapat kita lihat

K ≈ CV D(48)

C merupakan konduktivitas panas dimana T nya harus temperatur rendah. Efek

ukuran akan mempengaruhi jika rata-rata free path dari ponon menjadi sebanding

dengan diameter dari spesimen.

gambar19.

kristal dielektrik memiliki konduktivitas termal yang sama dengan logam. Al2O3

adalah salah satu kristal dielektrik yang mempunyai konduktivitas termal yang

sama tingginya dengan metal (tergantung pada suhunya) yang nantinya akan

dijelaskan pada chapter 6.

Pada kasus yang lain, misalnya kristal sempurna, distribusi dari isotop pada

elemen kimia sering menjadi mekanisme dalam proses bagian-bagian terkecil

pada ponon. Distribusi acak dari massa isotopik akan mengganggu kerapatan

seperti yang terlihat pada gelombang elastis. Bagian-bagian kecil pada substansi-

substansi ponon saling terkait. Hasil Germanium dapat dilihat dari gambar19.

Tingginya konduktivitas termal juga pernah didapatkan untuk Silikon dan Intan.