Tim Dosen:

Dr. Farit Muhammad Affendi

Dr. Agus M Soleh

STK 572Manajemen Data Statistik

Pertemuan 12

Pembangkitan Bilangan Acak

Dr. Agus M Soleh

agusms@apps.ipb.ac.id

2

Pendahuluan• Pembangkitan bil. acak merupakan alat yang

diperlukan dalam komputasi statistikumumnya untuk simulasi

• Bilangan acak yang dibangkitkan merupakanpseudorandom (acak yang semu)

• Bilangan acak yg dibangkitkan diharapkanmemenuhi sebaran statistik tertentu (pdf/pmf, cdf)

• Semua metode pembangkitkan bil. acaktergantung dari pembangkitan bil. acak uniform

Pembangkitan Bil. Acak Uniform

• Metode sederhana untuk bangkitkan bil. acakUniform (0,1)– Misal m bil. bulat yg besar dan b bil. bulat

– b<m

– Nilai b dipilih biasanya dekat akar dari m

– Langkah awal memilih seed: x0 antara 1 dan m

– Generator bil. acak :• x1 = b x0 (mod m)

• u1 = x1/m

– u1 adalah bil. acak semu pertama Uniform(0,1)

Pembangkitan Bil. Acak Uniform

• Bil. acak berikutnya diulang

– x2 = b x1 (mod m)

– u2 = x2/m

• Secara umum:

– xn = b xn-1 (mod m)

– un = xn/m

Pembangkitan Bil. Acak Uniform

• Ilustrasi:

– m=30269 b=171 x0=23121

OUTPUT:

Pembangkitan Bil. Acak Uniform

• Bangkitkan data sebanyak 100:

– m=7 b=3 x0=2

– m=29241 b=171 x0=3

Membangkitkan Bilangan Acak

• SAS telah menyiapkan banyak fungsi untukmembangkitkan data berdasarkan sebaran

• Fungsi RAND diikuti dengan nama sebaranatau nama sebarannya– Contoh:

• Pembangkit bilangan menggunakan seed yang umumnya mengambil waktu di komputer, selainnya call streaminit(seed)

Peluang Sebaran

• Fungsi density/mass (pdf/pmf) :

– PDF (‘sebaran’)

• Fungsi kumulatif (cdf)

– CDF(‘sebaran’)

• Fungsi quantile/invers

– QUANTILE(‘sebaran’)

Sebagian Fungsi sebaran dalam SAS

Bagaimana jika belum adafungsi pembangkit bil.

acak?

Teknik Pembangkitan Bil. Acak

• Teknik umum dalam pembangkitan bil. acak

– Inverse-transform method

– Acceptance-rejection method

– Other Special techniques

Direct Transformation, Convolution

Inverse Transform Method

• Berdasarkan teori Probability Integral Transformation: Jika X adalah peubah acakkontinu dengan cdf F(x), maka U = F(X) ~ Uniform(0,1).

• Menerapkan transformasi integral peluang. Didefiniskan transformasi invers:– F-1 (u) = inf{x : F(x) = u}, 0 < u <1– Jika U ~ uniform(0,1), maka untuk semua x anggota R

• P(F-1 X(u) ≤x) = P(inf{t : FX(t)= U} ≤ x) = P(U ≤ FX(x)) = FU(FX(x)) =

FX(x)• Akhirnya F-1

X(u) memiliki sebaran yang sama dengan X

14

Inverse Transform Method

• Konsep:

– Untuk fungsi cdf : r = F(x)

– Bangkitkan data dari uniform (0,1)

– Maka x: x = F-1(r) r

1

x1

r = F(x)

Inverse Transform Method

• Ilustrasi:– Diketahui pdf : f(x) = 3x2, 0 < x < 1– FX(x) = x3 , 0 < x < 1– F-1

X(u) = u1/3,

– Dalam SAS (misal membangkitkan 1000):

Inverse Transform Method

• Latihan:

– X dari sebaran eksponensial dengan mean 1/λ

– Jika X ~ Exp(λ), maka untuk x > 0 cdf dari X adalah

FX(x) = 1-e-λx

– Bangkitkan X ~ Exp (λ) sebanyak 1000

ITM: Sebaran Diskret

• Jika X ~ p.a. diskret dan … < xi-1 < xi < xi+1 < … adalah titik tidak kontinu dari FX(x), makatransformasi inversnya adalah F-1

X(u)=xi

dimana FX(xi-1) < u < FX(xi).

• Langkah:

– Bangkitkan uniform (0,1)

– Tentukan xi dimana FX(xi-1) < u < FX(xi)

ITM: Sebaran Diskret

• Ilustrasi:– Membangkitkan bil. acak ~ Bernoulli (0.4)– FX(0) = fx(0) = 1-p dan FX(1) = 1. – F-1

X(u) = 1 jika u > 0.6 – F-1

X(u) = 0 jika u <= 0.6

– Dalam SAS

0 1

X

0

100

200

300

400

500

600

Frequency

19

ITM: Kasus Sebaran Diskret• Ilustrasi: Misal banyaknya pengiriman, x, dari suatu perusahaan adalah

0, 1, atau 2 kali

– Data – Sebaran Peluang:

– Metode– Diberikan U,

Skema pembangkit:

0.18.0

8.05.0

5.0

,2

,1

,0

U

U

U

x

Perhatikan U1 = 0.73:F(xi-1) < U <= F(xi)F(x0) < 0.73 <= F(x1)

Maka, x1 = 1

x p(x) F(x)

0 0.50 0.50

1 0.30 0.80

2 0.20 1.00

Bagaimana jika sulit untukmendapatkan cdf?

Acceptance-Rejection method• Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan

pdf/pmf f dan g dan terdapat konstanta csehingga

f(t) / g(t) ≤ c. Untuk semua t: f(t) > 0• Teknik:

1. Tetapkan peubah acak Y dengan density g yg memehunif(t)/g(t) ≤ c. Untuk semua t: f(t) > 0.

2. Untuk setiap satu bil. acak:a. Bangkitkan y acak dari sebaran dengan density gb. Bangkitkan u acak dari sebaran Uniform(0,1).c. Jika u < f(y)/(c g(y)) terima y dan x=y; selainnya tolak y dan

ulangi langkah 2(a)

Acceptance-Rejection method• Ilustrasi:

– Membangkitkan bil. acak sebaran beta (shape1=2, shape2=2)

– Pdf dari beta(2,2) : f(x) = 6x(1-x), 0 < x < 1.

– Tahap:

1. Ambil g(x) dari sebaran Uniform(0,1)

2. Maka f(x)/g(x) ≤ 6 untuk 0 < x < 1.

3. Sebuah x acak dari g(x) diterima jika

f(x)/ [c g(x)] = 6x(1-x) / [6(1)] = x(1-x) > u

Acceptance-Rejection method

• Dalam SAS:

0.03 0.09 0.15 0.21 0.27 0.33 0.39 0.45 0.51 0.57 0.63 0.69 0.75 0.81 0.87 0.93 0.99

x

0

2

4

6

8

10

Percent

Distribution of x

Metode Lain: Direct Transformation

• Beberapa transformasi dari tranformasi inverssebaran dapat digunakan untukmembangkitkan bil. acak:– Jika Z ~ N(0,1), maka V = Z2 ~ χ2(1)

– Jika U ~ χ2(m), V ~ χ2(n), U dan V bebas, maka

F = (U/m ) / ( V/n) ~ F (m,n)

– Jika Z ~ N(0,1) V ~ χ2(n) dan U dan V bebas, maka

T = Z / sqrt(V/n) ~ t-student (n)

– dst

Selesai