TEXTO LOGICA

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Logica MatematicaEdicion preliminar

Edel Serrano IglesiasCarlos MoraJulio Nieto

Departamento de Matematicas

Universidad Central

Indice general

1. Introduccion a la Logica 7

1.1. Nocion de logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Proposito de la Logica Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. El Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Razonamiento Intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Razonamiento Deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Elementos del Silogismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Razonamientos Disyuntivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Silogismos Irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9. Sofismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.10. Falacias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.11. Razonamientos por Analogıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.12. Razonamientos Inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Simbolizacion de Proposiciones 23

2.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Proposiciones simples o atomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Proposiciones compuestas o moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Terminos de enlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5. Proposicion, enunciado y juicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6. Forma de las proposiciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7. Simbolizacion de Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8. Proposicion logica y valores de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9. Proposiciones abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.10. Proposiciones cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.11. Conectivos Logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.11.1. La Conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.11.2. La Disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.11.3. El condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.11.4. El bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.12. Negacion de enunciados compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.13. Parentesis de Agrupacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.14. La Proposicion Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.15. Formas de la Proposicion Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.16. Condicion necesaria y suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

2

2.16.1. Condicion necesaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.16.2. Condicion suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3. Sintaxis 55

3.1. Formulas bien formadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2. Algoritmo de decision de formulas bien formadas . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Conectivo principal de una f.b.f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4. Algoritmo de decision del conectivo principal de f.b.f. . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5. Arboles de f.b.f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6. Notacion prefija, infija y postfija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7. Algoritmo de infija a prefija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.8. Algoritmo de infija a postfija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.9. Algoritmo de polaca a infija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.10. Algoritmo de polaca inversa a infija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.11. Algoritmo de decision de f.b.f. en notacion polaca . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.12. Algoritmo de decision de f.b.f. en notacion polaca inversa . . . . . . . . . . . 67

4. Semantica 71

4.1. Semantica en matematicas y logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2. Funciones Proposicionales y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3. Leyes del Algebra de Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4. Expresiones Verbales Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. Algebras de Boole 79

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2. Expresiones Booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3. Circuitos Logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.1. Simplificacion de circuitos logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4. Mapas de Karnaugh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.4.1. Mapas de Karnaugh de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4.2. Mapas de Karnaugh de tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4.3. Mapas de Karnaugh de cuatro variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5. Simplificacion de Circuitos Logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.6. Aplicaciones de Algebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6. Inferencia Logica 111

6.1. Verdad y Validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2. Inferencias Condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2.1. Modus Ponendo Ponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2.2. Modus Tollendo Tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2.3. Reglas de Inferencia Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3. Consistencia e Inconsistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

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7. Cuantificadores 139

7.1. Funciones Proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.2. El Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.3. El Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.4. Conjuntos de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.5. Conjunto de Validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.5.1. Certeza y Falsedad de Proposiciones Cuantificadas . . . . . . . . . . . 144

7.6. Negacion de Proposiciones Cuantificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.7. Falsedad de Proposiciones Cuantificadas por Contraejemplo . . . . . . . . . . 147

7.8. Proposiciones Categoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.9. Conectivos y cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.10. Funciones proposicionales con mas de una variable . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.11. Conjunto de Validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.12. Certeza y falsedad de proposiciones con mas de un cuantificador . . . . . . . 152

7.13. Cuantificadores en Argumentos y Reglas de Inferencia . . . . . . . . . . . . . 155

7.13.1. Regla de la Especificacion Universal (E.U) . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.13.2. Regla de la Generalizacion Universal (G.U) . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.13.3. Regla de la Generalizacion Existencial (G.E) . . . . . . . . . . . . . . 157

7.13.4. Regla de la Especificacion Existencial (E.E) . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.14. Leyes distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8. Metodos de Demostracion Matematica 163

8.1. Demostracion Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.2. Demostracion Indirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.2.1. La Demostracion por Contradiccion o Reduccion al Absurdo . . . . . 165

8.2.2. La Demostracion por Contraposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.2.3. Proposiciones Matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.3. Demostracion por Induccion Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A. Conjuntos 177

A.1. Antecedentes Historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

A.2. Notacion de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

A.3. Expresion de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.4. Conjuntos Finitos e Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A.5. Conjuntos Enumerables y No-enumerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A.6. Igualdad de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

A.7. Conjunto Vacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

A.8. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

A.9. Conjuntos de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

A.10.Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

A.11.Conjuntos Disyuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

A.12.Diagramas de Venn-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.13.Relaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.14.Conjunto complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.15.Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

A.16.El Conjunto Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

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A.16.1.Funcion de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187A.16.2.Tablas de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

A.17.Propiedades de los conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188A.18.Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.19.Familias de subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A.19.1.Operaciones de Familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Bibliografıa 206

Introduccion

La logica clasica o tradicional, elaborada por Aristoteles, se caracteriza por la formulacionde un conjunto de leyes para un correcto razonamiento de los silogismos. Un silogismo bienformulado consta de dos premisas y una conclusion, debiendo tener cada premisa un terminoen comun con la conclusion y un segundo termino relacionado con la otra premisa.

En la llamada logica clasica se formulan reglas por las que todos los silogismos bienconstruidos se identifican como formas validas o no validas de argumentacion.

A mediados del siglo XIX, los matematicos britanicos G. Boole y A. De Morgan, iniciannuevos aportes en el campo de la logica y que dan origen inicial a la logica simbolica o logicamoderna. Posteriormente fue desarrollada por el matematico aleman G. Frege y de un modomas riguroso y formal por los matematicos britanicos Bertrand Russell y Alfred Whiteheaden su obra “Principia Matematica”.

El sistema logico construido por Russell y Whitehead cubre un espectro mayor de posiblesargumentaciones que las que se pueden encontrar en la logica Aristotelica, mas aun, dan lasbases para los fundamentos logicos de la matematica y a su vez, una formulacion axiomaticay formal de la logica, esto es, los elementos fundacionales de la logica matematica.

Tanto la logica clasica como la logica moderna bivalente, consideran en sus formas mascorrientes que cualquier proposicion que este bien elaborada puede tomar uno y solo uno delos valores de verdad: o bien es verdadera o bien es falsa. Ademas, en la rama clasica comola moderna se introducen metodos de logica deductiva.

Tambien se han desarrollado metodos relativamente modernos de logica inductiva, enestas se sostiene que cada premisa conlleva una evidencia para la conclusion, pero la verdadde la conclusion se deduce de la verdad de la evidencia solo con un margen relativo deprobabilidad.

El estudio de la logica inductiva ha sido una contribucion importante a la ciencia empıricay durante el siglo XX permitio el desarrollo de la filosofıa de las ciencias, la logica combi-natoria, la logica modal, la logica deontica, las logicas polivalentes, las logicas difusas y laslogicas paraconsistentes.

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Capıtulo 1

Introduccion a la Logica

El pasaje del algebra de la logica a la logica matematica se produce cuando la logicase formaliza y se axiomatiza. La formalizacion es iniciada por G. Peano (1858-1932); en suobra fundamental “Formulaire de mathematiques”,aparecida en cinco ediciones (1894-1908),cada teorema matematico y algunas de sus demostraciones son analizadas logicamente y selos expresa mediante simbolos. La axiomatica aparece ya en la geometrıa griega y en losSegundos analıticos, Aristoteles da interesantes referencias sobre estye metodo. Sin embargo,la axiomatica es desarrollada y perfeccionada por la logica matematica.

Historicamente el pasaje a la logica matematica concuerda con el instante en que seadvierte que la logica de enunciados es la teorıa fudamental de la logica. Alrededor de 1880,Peirce manifiesta este punto de vista.

En respuesta a la necesidad de construir argumentos para defender o refutar pensamien-tos de los demas, Aristoteles, considerado por los griegos el padre de la logica, creo metodossistematicos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarrollo la logicaproposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposi-ciones compuestas.

El matematico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la logicaclasica, planteando que la dependencia logica entre proposicones es demostrada reducien-do argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento enuna forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecanico y a este esquema (logicasimbolica) lo llamo una caracterıstica universal.

En 1910-1913 aparece PM, la obra clasica de la logica matematica. Sus autores, BertrandRussell y AlfredN. Whitehead (1861-1947) filosofos con solido conocimiento de matematica,presentan magistralmente una verdadera codificacion de las investigaciones de Frege y dePeano. En PM se encuentra un sistema axiomatico formalizado de logica bivalente, es decir,se supone que los enunciados estudiados admiten solo dos valores, la verdad y la falsedad.

Se adopta el nombre “logica matematica” para senalar la influencia de la matematica alconvertir la logica polivalente (la que admite a los enunciados estudiados valores diferentesa la verdad y la falsedad) en una ciencia exacta, y tambien la influencia de los matematicosque hivieron posible ese desarrollo.

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8 Introduccion a la Logica

El matematico del siglo XIX George Boole fue una de las personas que se preocupo porformalizar y mecanizar el proceso del pensamiento logico. En 1854, Boole escribio un librollamado “Las Leyes del Pensamiento”. La contribucion de Boole fue el desarrollo de unateorıa de la logica, utilizando simbolos en vez de palabras.

1.1. Nocion de logica

El problema central de la logica es establecer bajo que condiciones un enunciado puedeser considerado como conclusion derivada de otros enunciados llamados premisas. La logi-ca formal tiene por objeto las maneras de argumentar que dependen de las formas de losenunciados, y la logica material, las maneras de argumentar que dependen de una materiaparticular sobre la que se apliquen los medios de argumentacion. Por ejemplo, se argumentacuando se pasa de la afirmacion “Si madrugo, entonces llego a tiempo” a la afirmacion “llegoa tiempo” cuando la afirmacion “madrugo” es verdadera.

La logica, aun cuando no se tenga plena conciencia de ello, esta presente en los diver-sos procesos de pensamiento que son llevados a cabo continuamente por los hombres en lasdistintas actividades de la vida cotidiana. Con el pensamiento y las operaciones que conellos realizamos, el hombre resuelve los interrogantes que surgen sobre las cosas y construyeconocimiento acerca de ellas, asegurando las relaciones mutuas entre lo pensado y la real-idad representada por el pensamiento, de manera que asumimos como “logico”, a aquellosresultados de nuestros procesos de pensamiento que estan en concordancia con las cosas dela realidad.

Esto significa entonces que la logica, al igual que la gramatica, la aprendemos con loshechos de la vida, a traves de las experiencias y de las reflexiones que realicemos sobreellas, y ası como es posible hablar y expresar correctamente nuestras ideas sin conocer ex-plıcitamente las reglas gramaticales que empleamos para ello, de la misma forma podemosproceder y razonar logicamente sin el conocimiento de las reglas o principios logicos requeri-dos, valiendonos para ello del uso de la razon. Sin embargo, estas posibilidades tienen suslımites y es claro que ambos ejercicios se realizan de mejor manera con el conocimiento yuso consciente de las operaciones logicas y de los principios que nuestra razon obedece.

De esta manera, podemos entender la Logica como el estudio formal de las operacionesrealizadas por el pensamiento, de la forma en que realizamos razonamientos, de manera quees posible determinar la validez de los mismos. Ası, la logica es pensar y hacer explıcitas losprincipios y las operaciones que obedece y realiza nuestro pensamiento.

1.2. Proposito de la Logica Matematica

El proposito fundamental de la logica es estudiar aquellos metodos y principios quepermiten distinguir un razonamiento valido de uno que no lo es, mientras que el de la logicamatematica es cuestionar con el mayor rigor los conceptos y las reglas de deduccion utilizadosen matematicas, constituyendo la logica matematica en una especie de metamatematica(disciplina que pretende establecer la consistencia de la matematica clasica) que proporciona

Logica Matematica 9

una tecnica matematica rigurosa para la investigacion de problemas fundacionales referidosa la matematica y la logica.

Esto se logra con la construccion de sistemas formales que permiten eliminar la arbi-trariedad en la eleccion de los axiomas y definir explıcita y exhaustivamente las reglas de ladeduccion matematica.

1.3. El Razonamiento

Es capacidad distintiva del hombre, realizar el proceso mental e individual de pensaracerca de un ser, de un objeto o de un proceso y producir ideas acerca de los mismos,que posteriormente organiza, guarda en la memoria y expresa para comunicarse con otrosseres, con el mundo exterior, o consigo mismo, como sucede cuando reflexiona acerca de loobservado y del conocimiento que ha adquirido como resultado de la observacion.

Este proceso se realiza a traves de una operacion logica, mediante la cual, partiendode uno o mas juicios que ya expresan el conocimiento adquirido acerca de un objeto, esposible derivar un nuevo juicio como conclusion obtenida de los primeros, un juicio distintode los anteriores que expresa un muevo conocimiento acerca del objeto, en el que se puededeterminar su validez, su falsedad o su posibilidad.

El proceso ası realizado, tiene una estructura que muestra el orden y la articulacion dadaa los pensamientos, en los cuales, los juicios iniciales, no son aislados, esto significa que dela misma manera en que un conjunto cualquiera de conceptos no conforma un juicio, unconjunto cualquiera de juicios no posibilita el emitir un nuevo juicio como conclusion deellos.

De esta manera los juicios iniciales deben cumplir condiciones, para que el nuevo juicio sedesprenda necesariamente como conclusion de ellos, al realizar la operacion que lo producecomo resultado. Esta operacion se llama inferencia o razonamiento, y sera de caracter de-ductivo cuando en la conclusion se obtiene un conocimiento menos general que el expresadoen las premisas iniciales; sera un razonamiento inductivo, cuando la conclusion constituyeuna sıntesis de las premisas proporcionando un conocimiento de caracter mas general que elexpresado en las premisas iniciales, y sera un razonamiento transductivo o analogico, cuandola conclusion traslada propiedades de un objeto conocido, a otro que deseamos conocer quees semejante o analogo al primero.

El proceso del conocimiento, desde su inicio al recibir la informacion que proviene de lossentidos, tiene entonces los siguientes pasos o momentos:

1. Recibir a traves de los sentidos informacion del objeto, o proceso que llama la atenciondel sujeto que construye conocimiento.

2. Pensar acerca de el, esto es, mediante el pensamiento, registrar la informacion adquiri-da, codificarla y manipularla para construir a partir de ella, representaciones simbolicasque pueden corresponder a lo registrado en experiencias pasadas o, a estados futuroso imaginarios del objeto o proceso.

3. Construir conceptos como unidades que abstraen y sintetizan, el hecho o cualidadobservada en el objeto o proceso.


4. Formular juicios al determinar y predicar del objeto, el cumplimiento afirmativo onegativo de atributos, o la existencia en el, de cualidades que llaman nuestra atencion,ejercicio que ya entrana un conocimiento acerca del objeto, mas profundo que aquelque tenıamos en el momento de la construccion del concepto.

5. Elaborar razonamientos, ejercicio que como veremos en las secciones siguientes, al serrealizado en cualquiera de sus formas, permite obtener conclusiones que encierran unnuevo conocimiento acerca del objeto, a partir del conocimiento adquirido expresadoen los juicios o premisas iniciales.

1.4. Razonamiento Intuitivo

Es una actividad mental en la que a partir de simples conjeturas se afirman cosas con laincertidumbre de que puedan ser verdaderas o falsas sin tener prueba de ellas. En la vidadiaria se hacen afirmaciones utilizando razonamiento intuitivo, algunas de ellas pueden ser:

Ejemplo 1.1.

¡Va a llover!, cuando se observa el cielo a las 2:00 pm y se ve oscuro.

¡Cae cara!, cuando se lanza una moneda al aire y se deja caer el suelo.

¡Sale seis!, cuando se lanza un dado

¡La carta es de pinta roja!, cuando se toma al azar una carta de la baraja inglesa.

1.5. Razonamiento Deductivo

Una inferencia o razonamiento deductivo es una operacion logica que permite identificarlas interconexiones existentes entre los juicios que expresan conocimiento acerca de un objeto.Cuando la estructura del razonamiento esta conformada por un juicio universal y un juicio decaracter particular, es posible obtener o deducir una conclusion de caracter singular. Veamosel siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.2.

Juicio 1: “Todas las aves vuelan”.

Juicio que por su cantidad es universal o general, y por su cualidad es afirmativo, y

Juicio 2: “El condor es un ave”.

Juicio que por su cantidad es singular, y por expresar una caracterıstica de la esenciadel sujeto condor, es un juicio categorico.

En estos juicios, el primero de caracter general, al establecer que todas las aves vuelan,tiene como sujeto al concepto ave, que en el segundo juicio aparece como predicadodel sujeto condor, de manera que con el concepto ave, es posible encadenar el juiciogeneral que predica acerca de ellas, con el juicio particular que establece una cualidaddel condor y construir un conocimiento acerca del condor, que antes no sabıamos yexpresarlo en una conclusion o tercer juicio de la siguiente manera:

Logica Matematica 11

Juicio 3: “El condor vuela”.

De esta manera el concepto “ave” hace ahora las veces de copula, al ser sujeto y es-tablecer la conexion entre el juicio general, al que por su extension llamaremos premisamayor, con el juicio particular, al cual llamaremos premisa menor, en el cual aparececomo predicado. Al concepto “ave”, por establecer la conexion de lo general a lo par-ticular, lo llamaremos termino medio, pues el hace posible emitir el juicio conclusion. Aun razonamiento de esta clase, que transita de lo general a lo particular, lo llamaremosdeductivo, y a su estructura “silogismo” .

Ejemplo 1.3. Se tienen diez pelotas, todas con el mismo peso, excepto una que pesa mas,veamos como determinar en tres pesadas cual es dicha pelota, sabiendo que se dispone deuna balanza de platillos sin usar pesas.

“Primer pesada”: se colocan las diez pelotas en la balanza de manera que queden cincopelotas en un platillo y cinco en el otro. Con seguridad la balanza tendra un platillomas pesado que el otro.

“Segunda pesada”: se realiza colocando dos pelotas en un platillo y tres en el otroutilizando las cinco pelotas que se encuentran en el platillo mas pesado de la primerpesada. Con seguridad la balanza tendra un platillo mas pesado que el otro.

“Tercer pesada”: se realiza colocando en cada platillo una pelota dejando una pelotafuera de la balanza; utilizando las tres pelotas que se encuentran en el platillo maspesado de la segunda pesada. De esta pesada pueden suceder una de dos cosas: laprimera es que la balanza se quede equilibrada, y por lo tanto la pelota que pesamas es aquella que quedo fuera de la balanza; la segunda es que la balanza tenga unplatillo mas pesado que el otro, y por lo tanto la pelota que pasa mas es aquella quese encuentra en el platillo mas pesado.

Ejemplo 1.4. Hay un campesino que tiene una balsa, una zorra, una gallina y un saco demaız. Esta de un lado del rıo y quiere pasar al otro lado para poder ir al pueblo, pero tieneun problema en su balsa: solo pueden ir el y una pieza mas; ası es que no puede cruzar todoun solo viaje. Pero ademas se le presenta otro problema: al cruzar al otro lado no puededejar solos a la gallina con la zorra, porque esta se comerıa a aquella, y no puede dejar a lagallina con el maız porque esta se lo come. ¿De que manera puede resolver su problema?

Inicialmente, el campesino cruza el rio en la balsa con la gallina, dejando la gallina al otrolado del rio. De inmediato el campesino se devuelve en la balsa cruzando nuevamente el rioa recoger a la zorra, la lleva y la deja al otro lado del rio devolviendose con la gallina en labalsa a recoger el maız. Una vez recoge el maız deja la gallina, y cruza nuevamente el riocon el maız en balsa dejandolo al otro lado del rio con la zorra; por ultimo se devuelve en labalsa a recoger a la gallina y cruza por ultima vez el rio con la gallina a bordo en la balsapara quedar finalmente al otro lado del rio, el campesino con la gallina, la zorra y el maızpara poder ir al pueblo.

1.6. Elementos del Silogismo

Todo silogismo consta de dos juicios o premisas iniciales y una conclusion, es una formade razonamiento de certidumbre porque si las premisas son verdaderas y observamos las


reglas de la inferencia, obtendremos siempre una conclusion verdadera. Los conceptos quehacen parte de los juicios reciben el nombre de terminos y en todo silogismo encontraremossiempre tres de ellos organizados de la siguiente manera: El termino que hace de predicadoen la premisa mayor, en este caso “vuelan”, lo llamaremos termino mayor; al que aparece desujeto en la premisa menor, en este caso “condor”, lo llamaremos termino menor y ambosreciben el nombre de extremos, mientras que, el termino que figura en ambas premisas y noaparece en la conclusion se llama termino medio y es el encargado de realizar el enlace entrelas premisas o juicios iniciales.

De esta manera el silogismo es un razonamiento deductivo de certidumbre en el cual suconclusion relaciona los extremos de dos juicios mediante el termino medio.

Algunos silogismos, son llamados hipoteticos por ser razonamientos conformados por dospremisas y una conclusion que son juicios condicionales, es decir de la forma: Si A, entoncesC, en donde A, es el concepto que implica la condicion, razon por la que recibe el nombrede antecedente del condicional, mientras que C, que es el concepto condicionado es llamadoel consecuente, por tanto el silogismo hipotetico es de la forma:

“Si A, entonces B.Si B, entonces C.

Luego si A, entonces C”.

Ejemplo 1.5. Un silogismo hipotetico es:

“Si es tiempo para el amor, habra boda.Si hay boda, pronto habra hijos.

Luego si es tiempo para el amor, pronto habra hijos.”

1.7. Razonamientos Disyuntivos

Es aquel conformado por una premisa o juicio que expresa una disyuncion y un juicio categori-co que afirma o niega una de las premisas que conforman la disyuncion de manera que si seafirma a una se obtiene como conclusion la negacion de la otra, o por el contrario, si se niegaa una de ellas, se obtiene como conclusion la afirmacion de la otra. Estas dos formas de losjuicios disyuntivos pueden ser representadas de la siguiente manera:

“Todo A, es B o es C.Este A es B.

Luego este A, no es C”.

Mientras que visto en su otra forma puede ser representado como

“Todo A, es B o es C.Este A, no es B.

Luego este A, es C”.

Ejemplo 1.6. Un juicio disyuntivo en la primer forma es:

“Todo fruto es dulce o acido.La guayaba es dulce.

Luego la guayaba no es acida”.


Ejemplo 1.7. Un juicio disyuntivo en la segunda forma es:

“Los dıas son claros o nublados.Hoy, el dıa no es claro.

Luego, hoy es un dıa nublado”.

1.8. Silogismos Irregulares

Se utilizan para obtener en ocasiones premisas sin sentido a partir de premisas en las quealgunas de ellas son irracionales.

Por ejemplo,

“Las vacas comen personasJuan es una persona.

Por lo tanto, las vacas comen a Juan.”

o tambien,

“Los bancos prestan vacasEl dinero es una vaca.

Por lo tanto, los bancos prestan dinero.”

1.9. Sofismas

En ocasiones, al no precisar el significado de los conceptos usados en las premisas, puedeocurrir que el significado del concepto no es el mismo en todas ellas y el razonamiento auncuando este realizado correctamente puede llevarnos a conclusiones falsas como se muestraen el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.8. Consideremos las premisas

“Ninguna mujer es hombre.Solo el hombre es inteligente”.

De acuerdo a la estructura del silogismo que ya hemos estudiado, dada su extension, laprimera de las premisas es la mayor y el concepto “mujer”, es a su vez el termino mayor.El concepto “hombre”, predicado de la primera y sujeto de la segunda es el termino medio,mientras que el concepto “inteligente”es el termino menor de la segunda premisa.

Segun las reglas del silogismo la conclusion que se obtiene es:

“Ninguna mujer es inteligente”.

Esta conclusion, valida en apariencia, no cumple en realidad las reglas del silogismo pues enla primera premisa, “hombre”tiene el significado de genero, es decir significa varon, mientrasque en la segunda tiene el sentido de “ser humano”, por tanto, la relacion establecida entre laspremisas en realidad no existe. Un razonamiento realizado de esta manera recibe el nombrede sofisma.


Este silogismo irregular puede adoptar otra version llamada “Sofisma de Pensamiento”, cuan-do en el, una de sus premisas condicionales, es decir las de la forma:

“Si es A, entonces es B”,

tiene como antecedente, un hecho A, que no es causa real de otro hecho B, y al aplicar laregla del Ponendo Ponens que garantiza, que siempre que ocurre A ocurre B, obtendremosuna conclusion que solo en apariencia es valida, por no existir en la premisa condicional unareal relacion causa-efecto entre A y B.

Ejemplo 1.9. Es un sofisma de pensamiento el silogismo siguiente:

“Si se termina un siglo, ocurren desgracias.Termina el siglo XIX.

Luego ocurriran desgracias”.

1.10. Falacias

Finalmente, si las reglas dadas en los silogismos no son aplicadas correctamente, lasconclusiones obtenidas pueden enganar a algunas personas, motivo por el cual la llamaremos“falacia”, que significa enganar. Una falacia es un error de razonamiento. De la manera enque los logicos utilizan el termino, no designa cualquier error o idea falsa, sino errores tıpicosque surgen frecuentemente en el disrcurso ordinario y que tornan invalidos los argumentosen los que aparecen.

Ejemplo 1.10. Consideremos el razonamiento siguiente:

Premisa 1: Si un hombre es trabajador, entonces es honrado.

Premisa 2: Juan es honrado.

Conclusion: Por tanto Juan es trabajador.

Es una falacia de afirmacion del consecuente, en la cual aparentemente se esta aplicando laregla del Modus Ponens, pero de manera incorrecta porque con esta regla se nos permiteafirmar el antecedente para obtener la afirmacion del consecuente y no a la inversa comoocurre en el ejemplo.

Otra forma de falacias las constituyen los silogismos que establecen esquemas incorrectosde encadenamientos entre sus premisas.

Ejemplo 1.11. Por ejemplo en:

Premisa 1: Si llegan las lluvias, entonces los caminos se inundaran.

Premisa 2: Si los caminos no se inundan, el transporte funcionara.

Conclusion: Por tanto, si llegan las lluvias, el transporte funcionara.

En este silogismo existe una falacia que llamaremos esquema de cadena falso, y esto esporque, la segunda premisa no tiene por antecedente el mismo enunciado o consecuente de laprimera premisa, que es lo que establece en su estructura el silogismo, por tanto la conclusionobtenida constituye un engano, una falacia.


1.11. Razonamientos por Analogıa

Este tipo de razonamiento es de comparacion o semejanza pues traslada las caracteristicasde un objeto ya conocido a otro que se pretende conocer y le es semejante, parecido o analogo,esto quiere decir que la analogia logica no nos lleva de lo particular a lo universal como lainduccion, ni nos baja de lo universal a lo particular como la deduccion, si no que partede juicios anteriores ya conocidos a otros que se pretende conocer, manteniendo la mismaparticularidad confrontada.

Se realiza cuando dos objetos tienen estructuras semejantes o parte de sus elementos ocaracteres y de ello se infiere la posibilidad de tener semejantes los caracteres restanteshallados ya en un objeto pero todavıa no en el otro.

La analogıa es la inferencia de que una coleccion no muy grande de objetos que coinciden envarios aspectos pueden muy probablemente coincidir en algun otro.

A partir del dato de que dos cosas coinciden en algunos aspectos comprobados, se concluyeque cierto aspecto comprobado en solo una de ellas, tambien se da seguramente en la otra.Esta clase de razonamiento se denomina “razonamiento por analogıa” y es valido cuando laconclusion se postula como probable; pero si se pretende como cierta, tenemos un Sofisma.

Ejemplo 1.12. La forma del razonamiento empleado por Galileo, cuando de la observaciondel comportamiento de Jupiter y su sistema de satelites, concluyo por analogıa el compor-tamiento del sistema solar y de manera particular la posicion del sol y no de la tierra comocentro del mismo.

Ejemplo 1.13. Marte tiene un movimiento de rotacion sobre su eje, como la Tierra. Martetiene atmosfera, como la Tierra. Marte tiene agua en su superficie, como la Tierra. Martetiene estaciones, como la Tierra. La Tierra y Marte coinciden en tantos aspectos que noparece improbable que Marte tenga seres vivos, como la Tierra.

Ejemplo 1.14. “En parte igual y en parte diferente”: las hembras de los mamıferos ama-mantan a sus pequenos. Si las mujeres son mamıferos, entonces amamantan a sus pequenos.Es claro que una perra o una cangura o una ballena no son mujeres, pero estas amamantana sus crıas lo mismo que las otras por ser mamıferos.

Ejemplo 1.15. En la evaluacion de relaciones de causalidad en epidemiologıa, consiste enexaminar si hay casos parecidos al hallado. Ası por ejemplo, si se sabe que la infeccion porel virus de la rubeola durante el embarazo puede dar lugar a malformaciones congenitas, sepuede razonar que la infeccion por otros virus tambien podrıa producir malformaciones.

1.12. Razonamientos Inductivos

El razonamiento inductivo es aquel mediante el cual a partir del conocimiento de propiedadesde uno o varios objetos, o de algunas relaciones concretas existentes entre objetos, podemosinferir caracterısticas o propiedades generales para esos objetos, o la forma tambien general enla que ocurren las relaciones entre los mismos, por tanto, inducir es inferir que lo determinadoen condiciones especıficas, ocurrira de manera general, siempre que se presenten esas mismascondiciones.


La observacion de las caracterısticas o cualidades del objeto puede realizarse de diversasmaneras, es ası como, podemos observar un objeto concreto y una cualidad de el emitida enun juicio singular, a partir del cual, mediante la induccion podemos concluir otro juicio masgeneral que incluye lo expresado en las premisas iniciales, lo que significa que la induccionrealizada a partir de premisas singulares puede ser un juicio particular o universal comopodemos ver en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1.16. Consideremos los siguiente juicios:

“La tierra recorre una trayectoria elıptica alrededor del sol.”“La tierra es uno de los planetas del sistema solar.”

“Los planetas del sistema solar, recorren trayectorias elıpticas alrededor del sol.”

En este caso, de la formulacion de juicios singulares que expresan un conocimiento acerca dela tierra, se pasa a formular un juicio universal referido a los planetas del sistema solar,

Ejemplo 1.17. Consideremos los siguientes juicios:

“Este objeto al ser lanzado al espacio cae al suelo”.“Todo objeto al ser lanzado al espacio cae al suelo”.

En este caso, del juicio particular emito para un objeto cualquiera, pasamos a emitir unjuicio universal, valido para cualquier objeto, de manera que el juicio ası emitido, expresauna ley.

La induccion puede ser realizada de varias formas, la primera de ellas, llamada por Aristoteles“induccion completa”, es aquella en la que se establece como relacion general, lo que ya ha si-do observado en todos y cada uno de los objetos particulares de una clase. Este razonamientosegun Galileo no aporta un nuevo conocimiento del objeto. ¿ Que se sabe despues del razon-amiento inductivo, que no supieramos ya, desde la observacion de los casos particulares?, Poresta razon, para Galileo la induccion debe ser incompleta, esto es, no requiere la observacionde la cualidad en cada caso, y sera posible realizarla si del hecho concreto se induce lo queforzosamente debe ocurrir, es decir, cuando de los hechos se pasa a la regularidad que enellos ha sido observada.

Este aporte realizado por Galileo al proceso de razonamiento inductivo puede ser aplicadode diversas maneras, permitiendo en cada caso la conclusion sin la observacion exhaustivade cada uno de los casos de una determinada situacion, es ası como de la premisa:

“Barranquilla esta ubicada entre Cartagena y Santa Marta,”

nos es posible inferir que

“Es menor la distancia de Cartagena a Barranquilla,que de Cartagena a Santa Marta”

sin haber realizado la comprobacion de cada uno de estos hechos.

De igual forma, la observacion de objetos mas generales realizada bajo condiciones especıficascomo se hace con los experimentos en un laboratorio al reconstruir un hecho en condicionesideales, o al someter a un grupo de sujetos representativos de los existentes en una clase a una


misma encuesta, permitira inferir el comportamiento del hecho bajo condiciones similares alas del experimento, o el de los sujetos pertenecientes a la clase observada.

Algunas formas de razonamientos inductivos son de uso frecuente en las matematicas, este esel caso de los razonamientos por recurrencia empleados para determinar si el comportamientoobservado entre dos terminos sucesivos de una secuencia, se cumple para la secuencia entera,o por induccion matematica en donde se determina si el comportamiento de un termino deuna sucesion, es el mismo que tendra cualquier otro termino de ella, procedimientos que enesta modulo no seran objeto de estudio.


TALLER 1.

Determine en cada caso si el tipo de razonamiento es inductivo, intuitivo, deductivo, analogi-co. Justifique su respuesta.

a. Un nino observa cinco hormigas y concluye que todas las hormigas son rojas.

b. Juan observa el firmamento nublado y de color gris oscuro, y concluye que va a llover.

c. En los ultimos 20 anos, la seleccion de Brasil ha hecho su presentacion en los campe-onatos mundiales de futbol realizados en este tiempo. Es de esperarse que dicha selec-cion este presente en el proximo campeonato mundial de futbol.

d. Pedro, alumno de la clase de Logica, ha demostrado ser un excelente estudiante, y esteconcluye que podra aprobar el curso sin problema.

e. Una persona lanza al aire una moneda y concluye que al caer al suelo esta muestra unacara.

f. Felipe afirma que puede ganarse el baloto con una probabilidad de 1 en 8145060.

g. En un experimento quımico, se observo que despues de intentar mezclar el agua con elaceite varias veces y por diferentes metodos, estos lıquidos jamas se podran mezclar.

h. Estudios climatologicos en la ciudad de Bogota han revelado que cada vez que lluevehace frio, por lo tanto Bogota es una ciudad de clima frio.

i. Samir afirma que son las 9:10 A.M y que el profesor de Logica no ha llegado a clase;posteriormente afirma que el profesor ya no vendra a clase.

j. Cuando Juanita cumplio 8 anos, su madre le hizo un pastel en ese dıa. En ese mismoano, la madre de Juanita hizo otro pastel de cumpleanos para Rosa y Gloria. Juanitaafirmo: “Cada vez que alguna de nosotras cumple anos, nuestra madre hace un pastel”.

k. Puesto que hoy hoy es jueves, antes de ayer fue martes.

l. Si 4x+ 3 = 5, entonces 4x = 2.

m. En un zoologico, un chimpance ve un platano que esta fuera de su jaula y no puedealcanzarlo; coge un palo y con el mismo atrae el platano hasta tenerlo en sus manos.

n. Cuando un barco se aleja de la costa, a la vista de un observador desaparece primeroel casco, y luego lo hacen sucesivamente las estructuras superiores: chimeneas, velas,mastiles. Lo ultimo en perderse en el horizonte es la parte mas elevada del navıo. Losfenicios, que navegaron por las costas atlanticas de Africa y Europa, habıan advertidoque en el norte del ecuador aparecen constelaciones distintas de las que se observancuando se desciende hacıa el sur. Ası, la Estrella Polar desaparecıa por debajo delhorizonte y, en cambio, se hacıa visible la Cruz del Sur. Todos estos efectos se deben aque la tierra es redonda.


o. Si se advierten caracteres comunes entre la Tierra y Marte, se puede afirmar que enMarte, como en la Tierra, hay vida. Si la vida aparece en la Tierra relacionada conciertos hechos que se dan tambien en Marte, se llega a la conclusion de que la mismarelacion se repite en este ultimo planeta.

p. Se puede observar una gran similitud entre la tierra que habitamos y saturno, jupiter,marte, venus y mercurio. Todos estos planetas giran alrededor del sol al igual que latierra toman su luz del sol. Se sabe que varios de ellos giran alrededor del sol consucesion de dias y noches. Y estan sometidos a la misma funcion tiene sentido pensaren consecuencia que algun otro planeta con estas caracterısticas pueda estar habitadopor algun tipo de seres vivos.

q. El pulmon recibe de fuera algo que en su interior transforma. El estomago recibe defuera, tambien algo que ha de transformar. Luego el pulmon y el estomago son organostransformadores.

r. El estudiante A posee las notas a, b, c, d, e. El estudiante B posee las notas b, c, d, e.Por tanto el estudiante A tiene probablemente la nota a.

TALLER 2.En cada caso establezca la conclusion, cuando parezca razonable, basado en los datos pro-porcionados y diga que razonamiento empleo.

a. Todos los hombres son mortales. Socrates es hombre.

b. Ayer fue viernes.

c. El plomo es mas pesado que la madera. La madera es mas pesado que el algodon.

d. El cuadrado de n es un numero par.

e. Ningun hombre es americano. Pedro es americano.

f. Toda persona tiene a alguien como madre. Sara es madre.

g. Hay alguien que conoce a todo el mundo. Juan conoce a todo el mundo.

h. No todo lo que brilla es oro. La plata es un metal que brilla.

i. a/b = 0.

j. x2 − 5x+ 6 = 0.

k. x · y = 0.


TALLER 3.Con objeto de desarrollar el razonamiento deductivo, se presentan los siguientes problemas:

a. En cierto pueblo, el unico barbero afeita a todos los hombres que no se afeitan a simismos. Por lo tanto, cada hombre o se afeita si mismo o es afeitado por el babero,pero ninguno hace las dos cosas. Entonces, ¿quien afeita al barbero?

b. Un viajero se encuentra en la bifurcacion de dos caminos, uno lleva al cielo, el otroal infierno. Hay dos guardas, uno de los cuales dice siempre la verdad y el otro dicesiempre mentiras. ¿Que pregunta debe dirigir el viajero a uno solo de los guardas, paraque de su respuesta pueda deducir cual es el camino al cielo?. El Viajero no sabe cuales el camino, ni cual es el guarda veraz.

c. A un joven estudiante de Derecho le presto $2000000 su suegro con la codicion depagarselos cuando ganara el primer pleito. Despues de graduarse, el joven abogado notenia mucho exito en su profesion. Un dia, su suegro se presento con este argumento acobrarle el dinero:

−Pagame lo que me debes, porque si llevamos este caso a la corte y tu ganas, comoganaste el primer pleito, me tienes que pagar. Si yo gano, como la justicia esta de miparte, me tienes tambien que pagar. El joven ni corto ni perezoso, le replico:

−No te pago, porque si la corte me favorece, por ley no te puedo pagar, y si te da larazon a ti, entonces no estoy ganado el primer pleito, y por tanto, tampoco te puedopagar.

¿Cual de los dos tiene la razon?

d. Se tienen diez sacos, cada uno con 100 monedas de un gramo: pero hay un saco cuyasmonedas pesan 2 gramos cada una y se dispone de una balanza de precision en gramos.Determine en una pesada en que saco estan las monedas de dos gramos.

e. Para escoger un ministro entre tres candidatos, un rey somete a estos a la siguienteprueba: coloca una bola sobre la cabeza de cada uno de ellos, que no ven, pero sı venla bola situada sobre los demas. Saben que se dispone de tres bolas negras y dosblancas para que dıgan que color de bola tienen sobre su cabeza. Al no contestar elprimero ni despues el segundo, el tercero afirma:“Yo tengo una bola negra”. Expliquesu razonamiento.


Primera Parte

Calculo de Proposiciones

Capıtulo 2

Simbolizacion de Proposiciones

2.1. Proposiciones

De forma general en el idioma espanol, una proposicion es el acto o el resultado de propon-er algo a alguien, normalmente en orden a hacer algo o tomar algun acuerdo. Cuando lopropuesto es un plan para uno mismo, toma el nombre de proposito.

En el idioma cientıfico, se refiere a un enunciado que puede ser verdadero o falso, general-mente una oracion enunciativa, base de lo que constituye el lenguaje formal de la logicasimbolica.

La logica tiene un lenguaje exacto y lo que se pretende es construir un vocabulario paraeste lenguaje utilizando el lenguaje cotidiano. Para esto es necesario construir un conjuntode reglas que sean claras y que se puedan encontrar en nuestro lenguaje corriente y paralograrlo se utilizaran proposiciones en lengua castellana.

Consideremos las proposiciones en lengua castellana. Cada proposicion tiene una formalogica a la que se le puede dar un nombre. Existen dos clases de proposiciones simples ycompuestas:

2.2. Proposiciones simples o atomicas

Son las proposiciones que constan de un “sujeto” y un “predicado”. Entiendase “sujeto”comopersona, animal u objeto, y “predicado” como el atrıbuto o la caracterıstica de un sujeto.

Ejemplo 2.1. Son proposiciones simples las siguientes:

El avion llega tarde.Hoy es lunes.La nina juega.

la musica es bella.

Las proposiciones simples se simbolizan con las letras p, q, r, s, ..., etc.

2.3. Proposiciones compuestas o moleculares

Son las proposiciones que tienen mas de un conectivo logico.

23

24 Simbolizacion de Proposiciones

Ejemplo 2.2. Son proposiciones compuestas las siguientes:

La tierra no es cuadradaEl nino esta en el parque y el avion llega tarde.

Hoy es lunes y no hay clase.Si el informe se adelanta, entonces no pierdo tiempo

Observese que las proposiciones compuestas son enlaces de proposiciones simples, por ejem-plo la proposicion “Si el informe se adelanta, entonces no pierdo tiempo”, enlaza las proposi-ciones simples “El informe se adelanta” y “Pierdo tiempo” con el enlace“si..., entonces”.

2.4. Terminos de enlace

Son aquellas palabras que enlazan proposiciones, y forman proposiciones compuestas apartir de proposiciones simples. Los terminos de enlace son las palabras “y”, “o”, “no” y“si..., entonces”. En la gramatica castellana se les da otros nombres pero en Logica se lesllama terminos de enlace. Los terminos de enlace “y”, “o” y “si..., entonces” se utilizanpara enlazar dos proposiciones simples, mientras que el termino de enlace “no”se utilizapara agregar a proposiciones simples. En los siguientes ejemplos se muestran proposicionescompuestas que contienen terminos de enlace:

Ejemplo 2.3.

1. “La tierra no es cuadrada”.

Es una proposicion compuesta que utiliza el termino de enlace la palabra “no”; observeseque el termino de enlace actua sobre una proposicion simple, “La tierra es cuadrada”.

2. “Hace sol o hace frio”

Es una proposicion compuesta que utiliza el termino de enlace “o” que actua sobre lasproposiciones simples, “Hace sol” y “Hace frio”.

3. “La tierra es un planeta grande y hermoso”

La proposicion contiene el termino de enlace “y” que actua sobre dos proposicionessimples, “La tierra es un planeta grande” y “La tierra es un planeta hermoso”.

4. “Si hace sol, entonces hace calor”

La proposicion contiene el termino de enlace “si..., entonces” que actua sobre dosproposiciones simples, “Hace sol” y “Hace calor”


TALLER 4.I. Determine cuales de las proposiciones dadas son simples y cuales son compuestas

1. Los gatitos no acostumbran a llevar mitones.

2. Si los gatitos llevan mitones, entonces los gatos pueden llevar sombreros.

3. Se puede encontrar Juana en casa de Susana.

4. A las focas no les crece el pelo.

5. Si Maria canta, entonces es feliz.

6. Los alumnos mayores no estan en la lista antes que los jovenes.

7. La asignatura preferida de Jaime es matematicas.

8. Si aquellas nubes se mueven en esa direccion, entonces tendremos lluvia.

9. Si los deseos fueran caballos, entonces los mendigos cabalgarıan.

10. Esta proposicion es atomica o compuesta.

11. El sol calentaba y el agua estaba muy agradable.

12. Si x = 0 entonces x+ y = 1.

13. x+ y > 2

14. x = 1 o y + z = 2

15. y = 2 y z = 10

II. En las proposiciones dadas senalar los terminos de enlace y determinar cuantas proposi-ciones simples se encuentran en cada proposicion compuesta. Recuerde que “si · · ·,entonces · · · ”es un solo termino de enlace.

1. Este Juan es mi hermano y yo soy su hermano.

2. Mi puntuacion es alta o recibire una calificacion baja.

3. Si usted se da prisa entonces llegara tarde.

4. Si x > 0 entonces y = 2

5. Si x+ y = 2 entonces z > 0

6. x = 0 o y = 1

7. x = 1 o z = 2 entonces y > 1

8. Si z > 10 entonces x+ z > 10 y y + z > 10

9. x+ y = y + x

III. Cada una de las proposiciones siguientes es compuesta. Primero indicar cuales son eltermino o terminos de enlace de cada proposicion. Despues escribir separadamente lasproposiciones simples que se encuentran en cada una de las proposiciones compuestas.

1. Juan es el segundo y Tomas es el cuarto.

2. O Jaime es el ganador o Luis es el ganador.

3. Jose no es el ganador.


4. Si Tomas es el ganador entonces el tendra la medalla.

5. Si Tomas no es el ganador entonces debe colocarse en segundo lugar.

6. Los Alpes son montanas jovenes y los Apalaches son montanas viejas.

7. Las aranas no son insectos.

8. Si las aranas son insectos, entonces han de tener seis patas.

9. Si un material se calienta, entonces se dilata.

10. Muchos planetas son o demasiados calidos para que vivan seres como nosotros odemasiado frıos para que vivan seres como nosotros.


2.5. Proposicion, enunciado y juicio

“Llueve” es un enunciado linguıstico, lo mismo que “It rains” es otro. Pero ambos enun-ciados expresan la misma proposicion logica por cuanto ambos representan siempre el mismovalor de verdad, verdadero o falso en cualquier situacion, bien sea de verdad o de falsedad.

Tambien se distingue la proposicion del juicio, entendido este como acto subjetivo deuna afirmacion basada en una creencia. Afirmar que llueve como acto interno del individuofundamentado en su creencia, con independencia de su expresion linguıstica. Podrıamos dealguna forma considerarlo como pensamiento. Mirar por la ventana y constatar que lluevesuscita un juicio, apreciacion o creencia de que “esta lloviendo”, con independencia de quese exprese en un enunciado.

Como proposicion, (independiente de los juicios y los pensamientos de cualquiera; conindependencia del lenguaje o forma de expresion linguıstica en el que se exprese el pen-samiento, incluso de la realidad de que llueva o no llueva), a la logica lo que le interesa esunicamente la funcion poder ser verdadero o falso.

Algunos filosofos, por eso, llegaron a pensar que la logica habla de lo posible, o de “mundoscomposibles”, no de lo real. (Mundo = conjunto determinado de posibles compatibles en unaunidad posible).

La logica se preocupa de las proposiciones; y estudia las formas validas segun las cualesa partir de la verdad o falsedad de una o varias proposiciones se pueda argumentar o inferirla verdad o falsedad de otras.

Por eso la verdad logica es una verdad formal, que no tiene contenido. Eso explica porque puede establecer sus leyes y reglas de modo simbolico, construyendo diversos calculosque puedan modelizar algunos contextos linguısticos o teorıas cientıficas, de forma semejantea las matematicas.

Su elemento fundamental es la proposicion logica y la definicion de las reglas. Tengamosen cuenta que el calculo logico basado en valor V y F, traducido como sistema binario a 1y 0, es la base sobre la que se han construido las maquinas de calculo y los ordenadores ocomputadoras.

Los enunciados y los juicios subjetivos son estudiados por otras ciencias.

2.6. Forma de las proposiciones compuestas

La forma de las proposiciones compuestas depende del termino de enlace que contienenmas no del contenido de la proposicion o proposiciones simples que las forman. Esto decir,si en una proposicion compuesta se reemplazan las proposiciones simples por otras proposi-ciones simples cualesquiera, la forma de la proposicion compuesta se conserva.

Ejemplo 2.4. La forma de las proposiciones

“Carlos juega y Pedro trabaja”“Llueve y hace frio”

“p y q”

son la misma sin importar el contenido de las proposiciones p y q, dependen del termino deenlace “y”.


De manera analoga las proposiciones

“Marıa se divierte o Juan juega”“O te apuras o llegas tarde”

“p o q”

tienen la misma forma independientemente del contenido de las proposiciones p y q, dependendel termino de enlace “o”.

Lo anterior aplica tambien a proposiciones con los terminos de enlace “no” y“si..., entonces”.

“Si el avion se retarda, entonces llego tarde”“Si f es derivable, entonces f es continua”

“Si p, entonces q”

“Elena no trabaja.”“No es cierto que la luna es roja.”

“No p.”

2.7. Simbolizacion de Proposiciones

Algunas proposiciones son faciles de simbolizar, pero existen otras de difıcil manejo debido ala forma en que estas se encuentran expresadas. Las proposiciones mas sencillas de simbolizarson las proposiciones simples que se simbolizan con las letras del alfabeto p, q, r, s, ....

Ejemplo 2.5. Las proposiciones simples “Laura esta en cine” y “Camila esta en el parque”se simbolizan ası:

p : Laura esta en cine

q : Camila esta en el parque

Consideremos ahora la proposicion

“Laura esta en cine y Camila esta en el parque”.

Para simbolizar esta proposicion es necesario hacer uso de los parentesis de la siguientemanera:

(Laura esta en cine) y (Camila esta en el parque)

Utilizando las letras p y q la proposicion queda simbolizada ası:

(p) y (q)

En el contexto matematico se escribe

(p) ∧ (q)

Para simbolizar proposiciones con el termino de enlace “o” se hace algo similar a lo anterior,si consideramos la proposicion


“Viajo en avion o viajo en bus”,

para simbolizar utilizamos las letras r y s representando las proposiciones

r : Viajo en avion

s : Viajo e bus

y la proposicion simbolizada quedara como

(r) o (s)


(r) ∨ (s)

Las proposiciones con el termino de enlace “si..., entonces” se simbolizan de manera analoga.Si consideramos la proposicion

“Si me divierto, entonces soy feliz”

y se utilizan las letras t y u para representar las proposiciones

t : Me divierto

u : Soy feliz

la proposicion simbolizada queda como

Si (t), entonces (v)


(t)→ (v)

Las proposiciones con los terminos de enlace “no” se simbolizan de igual forma como seobserva en la proposicion

“La logica no es difıcil”

la cual es una proposicion compuesta que se puede escribir en la forma

No es cierto que la logica es difıcil

y simbolizada queda como

No es cierto que (la logica es difıcil)

o mas brevemente

No (la logica es difıcil)


¬(p)


Es claro que el uso de “No ( )” no es frecuente en el lenguaje castellano, pero mas adelantese vera que es de utilidad en contextos matematicos.

En la gramatica castellana muchas proposiciones contienen las palabras “y”, “o”, “no”, y“si ..., entonces...” que enlazadas con proposiciones simples forman proposiciones compues-tas que pueden ser simbolizadas con el uso de un lenguaje escrito conformado por letrasproposicionales, conectivos logicos y parentesis.

Ejemplo 2.6. Considere las proposiciones

p : Una sustancia organica se descompone

q : Sus componentes se transforman en abono

r : Sus componentes fertilizan el suelo

la expresion

p→ (q ∧ r)es la representacion simbolica de la proposicion

“Si una sustancia organica se descompone, entonces

sus componentes se transforman en abono

y fertilizan el suelo”.

Los parentesis deben tenerse en cuenta en el momento de simbolizar una proposicion y enel momento de expresar verbalmente una proposicion dada de forma simbolica, ya que estospermiten diferenciar el sentido a las proposiciones.

Ejemplo 2.7. Considere las proposiciones

p : Trabajo q : Hago la tarea r : Me das un regalo

La proposicion “Si trabajo y hago la tarea, entonces me das un regalo”se simboliza con laexpresion

(p ∧ q)→ r

Observese que la condicion necesaria para obtener un regalo es trabajar y hacer la tarea.mientras que la simbolizacion

p ∧ (q → r)

que expresa verbalmente “Trabajo, y si hago la tarea, entonces me das un regalo”indica quela condicion necesaria para obtener un regalo es solamente hacer la tarea independiente desi se trabaja o no.

Ejemplo 2.8. Representar simbolicamente la proposicion

“Si las tasas de interes no se aumentan y

la deuda se eleva, entonces se aumentan

los impuestos o el costo de recaudacion

de impuestos crece”.


Para esto, consideremos las proposiciones

p : Las tasas de interes se aumentan r : Se aumentan los impuestos

q : La deuda se eleva s : El costo de recaudacion de impuestos crece

La representacion simbolica de la proposicion es

(¬p ∧ q)→ (r ∨ s)

Ejemplo 2.9. Consideremos las proposiciones

p : x2 es par q : x es par

La representacion simbolica de la proposicion

“ x2 es par si y solamente si x es par”

sencillamente es

p↔ q

2.8. Proposicion logica y valores de verdad

Un proposicion logica es una expresion enunciativa a la que se le puede atribuir un sentidoo funcion logica de verdad o falsedad.

Ejemplo 2.10.

1. La proposicion “El gato toma leche” es verdadera si efectivamente el gato esta tomandoleche y falsa si no la esta tomando.

2. La proposicion x+ 3 = 4 es verdadera para x igual a 1 y falsa para x diferente de 1.

En este sentido, el valor de verdad de una proposicion simple p se interpreta en el sistemabinario de la siguiente forma:

v(p) =

{

1, si p es verdadera

0, si p es falsa

Aunque existen logicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aquı consideramosunicamente el valor de verdad o falsedad.

Un enunciado linguıstico generalmente en la forma gramatical de una oracion enunciativapuede ser considerado como proposicion logica cuando es susceptible de ser verdadero o falso,por ejemplo la frase “Es de noche” es un enunciado linguıstico.


2.9. Proposiciones abiertas

Son aquellas en las que el(los) sujeto(s) es incognito. Se caracterizan por ser verdaderas paraalgunos sujetos y falsa para otros.

Ejemplo 2.11. Sea x un sujeto definido en un conjunto incognito y considere las expresionesmatematicas definidas para x que pueden considerarse como proposiciones abiertas.

a. x+ 2 = 4 c. x2 − 9 = (x− 3)(x+ 3)

b. x2 − 5x+ 6 = 0 d. x2 = 9 y x− 1 = 0

De las proposiciones anteriores se puede afirmar que

a. x+ 2 = 4 es verdadera para x = 2 y falsa para otros valores de x.

b. x2 − 5x+ 6 = 0 es verdadera para x = 2 o x = 3, y falsa para otros valores de x.

c. x2 − 9 = (x− 3)(x+ 3) es verdadera para todo valor de x.

d. x2 = 9 y x− 1 = 0 es falsa para todo valor de x.

2.10. Proposiciones cerradas

Son aquellas en las que el(los) sujeto(s) esta(n) completamente definido(s) en un conjuntode referencia.

Ejemplo 2.12. Las proposiciones

“La gallina tiene dos patas”“El tigre es un animal salvaje”

“El gato toma leche”

son cerradas ya que lo sujetos “La gallina”, “El tigre” y “El gato” estan bien definidos en elconjunto de referencia los animales.

2.11. Conectivos Logicos

Muchas proposiciones estan enlazadas con las palabras “no”, “y”, “o”, “si ..., entonces ...” y “si y solo si” que se representan con los simbolos ¬, ∧, ∨, →, ←→ respectivamente.Estos simbolos se les llama conectivos logicos y se les conoce con los nombres de negacion,conjuncion, disyuncion, condicional, y bicondicional respectivamente.

2.11.1. La Conjuncion

La proposicion compuesta que resulta al unir dos proposiciones simples p y q con elconectivo “y”, se llama la conjuncion de p y q, al simbolizarla, atendiendo solo a la forma yno al contenido de los enunciados que la conforman puede ser representada con la expresionp ∧ q. Son ejemplos de conjunciones:


• Colombia y Venezuela son paıses en vıa de desarrollo.

• Jaime cursa Informatica y Logica.

La conjuncion de p y q se puede expresar verbalmente de diferentes formas, entre ellas lassiguientes:

• p y q. • p ademas q

• p pero q • p mas aun q

• p sin embargo q

Ejemplo 2.13. La proposicion “Trabajo y no estudio” se puede expresar como:

• No estudio, sin embargo trabajo.

• Trabajo pero no estudio.

El valor de verdad de la conjuncion es tambien falso o verdadero y depende de los valoresde verdad de las proposiciones simples que en ella intervienen. De acuerdo a las combinacionesde sus valores de verdad, las posibilidades de la conjuncion, pueden resumirse en una tablade la siguiente manera:

p q p ∧ qV V V

V F F

F V F

F F F

Los resultados de la tabla indican que la conjuncion es verdadera solamente cuando lasproposiciones p y q, son simultaneamente verdaderas.

En el sistema binario el valor de verdad se interpreta como

v(p ∧ q) ={

1 si v(p) = v(q) = 1

0, en otro caso

2.11.2. La Disyuncion

La proposicion compuesta que resulta al unir dos proposiciones simples p y q con elconectivo “o”, se llama la disyuncion de las proposiciones p y q, al simbolizarla, atendiendosolo a la forma y no al contenido de los enunciados que la conforman puede ser representadacon la expresion p∨q. La palabra “o” tiene dos significados diferentes. En la expresion “viajaso en avion o en bus” se afirma que se puede viajar en avion o en bus, pero no en ambos.En este sentido el “o” tien sentido “exclusivo”. Por otra parte, la expresion “La impresorase dano o esta desconfigurada” no excluye ninguna de las dos posibilidades, es decir, quela impresora este danada y a la vez este desconfigurada. En este caso el “o” tiene sentido“inlusivo”. Para evitar confusiones, se representara el “o” exclusivo con el simbolo

∨


y el “o” inclusivo con el simbolo

∨La expresion p ∨ q traduce verbalmente “p o q o ambas”. Lo anterior conduce a definir elvalor de verdad de la disyuncion en las siguientes tablas:

Disyuncion Inclusiva Disyuncion Exclusiva

p q p ∨ q p ∨ q

V V V F

V F V V

F V V V

F F F F

Estos valores de verdad se diferencian cuando el valor de verdad de ambas es verdadero.


v(p ∨ q) ={

0, si v(p) = v(q) = 0

1, en otro caso

Ejemplo 2.14. Son disyunciones los siguientes enunciados:

1. El gerente esta en Roma o en Paris.

2. Juan comera perro o hamburguesa.

3. Tengo o no tengo dinero en el bolsillo.

4. Compraremos casa o apartamento.

Todas las proposiciones anteriores pueden ser simbolizadas con la expresion p∨q, sin embargo,es diferente el sentido expresado en la primera y en la tercera, comparado con el de la segunday la cuarta. En estas ultimas, el hecho expresado en p, no excluye la ocurrencia del expresadoen q, es decir, es posible comer hamburguesa o perro a la vez, mientras que no es posibleestar a la vez en Paris y en Roma.

2.11.3. El condicional

En el lenguaje corriente a menudo realizamos conjeturas acerca de un hecho, cuya expli-cacion puede no estar al alcance de nuestro conocimiento, razon por la cual nos atrevemos aformular explicaciones provisionales que permiten establecer relaciones entre hechos o pro-cesos.

En esta explicacion provisional, suponemos que un fenomeno es la causa de otro y comotal, establece explicaciones anticipadas sobre posibles conexiones existentes entre hechosconocidos a traves de nuestra experiencia, de manera que llamamos antecedente a la causao hecho inicial, y consecuente al efecto o hecho posterior.

Una proposicion compuesta que expresa la relacion entre dos proposiciones en la formacausa-efecto, se llama una implicacion, ella consta de dos partes: el antecedente y el conse-cuente, y puede ser simbolizada en la forma: Si p, entonces q, en donde el antecedente p,


puede ser reconocido por estar siempre acompanado de la palabra “si”, que aporta el sentidode condicion al enunciado y en palabras puede ser expresado de las siguientes maneras:

• Si p, entonces q • p, solo si q • q si p

• p es suficiente para q • q es necesaria para p • Si ¬q, entonces ¬p

Ejemplo 2.15. La proposicion

“Si no me alimento, entonces me enfermo”

se puede expresar como:

“Me enfermo, si no me alimento”

Ejemplo 2.16. Consideremos la proposicion

“Si obtienes buenas notas, entonces te doy un regalo”

La proposicion sera falsa en el caso que se obtenga buenas notas y no haya regalo, de locontrario sera verdadera.

De acuerdo a los valores de verdad de las proposiciones que intervienen, la implicacionpuede ser resumida de la siguiente manera:

p q p→ q

V V V

V F F

F V V

F F V

Esto indica que solo es falsa aquella implicacion en la que un antecedente verdadero noslleve a un consecuente falso. En todos los demas casos el valor de verdad de la implicaciones verdadero.


v(p→ q) =

{

0, si v(p) = 1 y v(q) = 0

1, en otro caso

2.11.4. El bicondicional

Sean p y q dos proposiciones. La expresion p ↔ se le llama el bicondicional de p y q;el simbolo ↔ expresa la palabra “si y solo si”. El bicondicional de p y q se puede expresarverbalmente de diferentes formas, algunas de ellas son:

• p si y solo si q. • p es equivalente a q

• p es lo mismo que q • p, es decir q

• p es necesario y suficiente para q



“El triangulo ABC es equilatero si y solo si sus tres lados son iguales”


“El triangulo ABC es equilatero, es decir, sus tres lados son iguales”


“x es divisible por dos si y solo si x es un multiplo de dos”


“Para que x sea divisible por dos es necesario ysuficiente que x sea multiplo de dos”

El valor de verdad del bicondicional se muestra en la tabla siguiente:

p q p↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V


v(p↔ q) =

{

1, si v(p) = v(q)

0, en otro caso

2.12. Negacion de enunciados compuestos

Cualquier proposicion, simple o compuesta, puede ser negada. En el caso de una proposi-cion simple como:

“Juan es delgado”

la negacion puede hacerse diciendo,

“Juan no es delgado”

con lo cual se contradice el atributo establecido para Juan, o usando los recursos del lenguaje,los antonimos en este caso, para decir por ejemplo: Juan es obeso, obteniendo en ambos casosel mismo resultado.

El valor de verdad de una proposicion simple p se muestra en la tabla siguiente:

p ¬(p)V F

F V

En el sistema binario se interpreta como

v(¬(p)) ={

1, si p es falsa


Cuando la proposicion es compuesta, la negacion de ella se indica de manera que afecte atodo el enunciado, sin negar de manera individual a cada una de las proposiciones que enella intervienen. En el caso de la proposicion


“Pedro es callado y Marıa amistosa,”

la negacion esta dada por la proposicion

“No es cierto que Pedro es callado y Marıa amistosa,”

negacion que debe ser simbolizada con la expresion

¬(p ∧ q)

Por otra parte, si un enunciado es doblemente negado, el enunciado resultante es el mismoenunciado inicial, esto es:

¬(¬p) se puede reemplazar por p,

en cualquier situacion.


CONECTIVOS LOGICOS

Nombre del conectivo Representacion Ejemplos de frases en las que aparece

no p

Negacion ¬p es falso que p

no es cierto p

p y q

p pero q

Conjuncion p ∨ q p sin embargo q

p no obstante q

p a pesar de q

o p o q o ambos

Disyuncion p ∨ q al menos p o q

como mınimo p o q

si p entonces q

p solo si q

q si p

q cuando p

Condicional p→ q q es necesario para p

para p es necesario q

(Implicacion) p es suficiente para q

para q es suficiente p

no p a menos que q

p es necesario y suficiente para q

Bicondicional p↔ q p si y solo si q

(Equivalencia) p es equivalente a q


Ejemplo 2.19. Algunas proposiciones de las anteriores son:

a. “No es verdad que fuı al cine.”

b. “No es cierto que Juan trabaja y que Luis esta en cine.”

c. “O estudias o trabajas.”

d. “Si te portas juicioso, entonces te llevo al cine.”

e. “x2 es impar si y solamente si x es impar.”

Observacion. La negacion no es ditributiva con respecto a los conectivos logicos. Se tiendea pensar que

¬(p ∧ q) es lo mismo que ¬(p) ∧ ¬(q)¬(p ∨ q) es lo mismo que ¬(p) ∨ ¬(q)¬(p→ q) es lo mismo que ¬(p)→ ¬(q)¬(p↔ q) es lo mismo que ¬(p)↔ ¬(q)

pero debe tenerse cuidado en NO DISTRIBUIR la negacion con respecto a los conectivoslogicos ya que los valores de verdad asociados no son los mismos como se puede ver acontinuacion:

En la disyuncion: El valor de verdad de las proposiciones

¬(p ∨ q) y ¬(p) ∨ ¬(q)

se dan en la tabla siguiente:

v(p) v(q) v(¬(p)) v(¬(q)) v(p ∨ q) v(¬(p ∨ q)) v(¬(p) ∨ ¬(q))1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 1

0 1 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1

Es claro que los valores de verdad de estas proposiciones son diferentes, por lo tanto lasimbolizacion

¬(p ∨ q) “es diferente de” ¬(p) ∨ ¬(q)

Si consideramos las proposiciones p : “Llueve” y q : “Hace frio”, de lo anterior se observaque las expresiones verbales respectivas

“No es cierto que llueve o hace frio” y “No llueve, o, no hace frio”.

son diferentes.

En la conjuncion: El valor de verdad de las proposiciones

¬(p ∧ q) y ¬(p) ∧ ¬(q)



v(p) v(q) v(¬(p)) v(¬(q)) v(p ∧ q) v(¬(p ∧ q)) v(¬(p) ∧ ¬(q))1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 1 1


¬(p ∧ q) “es diferente de” ¬(p) ∧ ¬(q)

Si consideramos las proposiciones p : “Hace sol” y q : “Hace calor”, de lo anterior se observaque las expresiones verbales respectivas

“No es cierto que hace sol y hace calor” y “Ni hace sol ni calor”.

son diferentes.

En el condicional: El valor de verdad de las proposiciones

¬(p→ q) y ¬(p)→ ¬(q)


v(p) v(q) v(¬(p)) v(¬(q)) v(p→ q) v(¬(p→ q)) v(¬(p)→ ¬(q))1 1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 0 1


¬(p→ q) “es diferente de” ¬(p)→ ¬(q)

Si consideramos las proposiciones p : “Llueve” y q : “Hace frio”, de lo anterior se observaque las expresiones verbales respectivas

“No es cierto que, si llueve, entonces hace frio”y

“Si no llueve, entonces, no hace frio”.

son diferentes.

En el bicondicional: El valor de verdad de las proposiciones

¬(p↔ q) y ¬(p)↔ ¬(q)



v(p) v(q) v(¬(p)) v(¬(q)) v(p↔ q) v(¬(p↔ q)) v(¬(p)↔ ¬(q))1 1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 0 1


¬(p↔ q) “es diferente de” ¬(p)↔ ¬(q)

Si consideramos las proposiciones p : “x2 es par” y q : “x es par”, de lo anterior se observaque las expresiones verbales respectivas

“No es cierto que, x2 es par si y solo si x es par”y

“x2 no es par si y solo si x no es par”.

son diferentes.

2.13. Parentesis de Agrupacion

Es frecuente encontrar proposiciones que tienen mas de un termino de enlace. Los ter-minos de enlace se pueden utilizar en proposiciones compuestas de igual forma que en lasproposiciones simples. En cualquier proposicion simple siempre habra un termino de enlaceque es “dominante” ya que es el que actua sobre toda la proposicion.

Ejemplo 2.20. Un tipo de proposicion compuesta es de la forma

( ) y ( )

en la que los espacios se pueden llenar ya sea con proposiciones simples y compuestas. Si seutilizan proposiciones compuestas, esta su vez contienen otros terminos de enlace y sin em-bargo el termino “y” sera el termino de enlace dominante como se observa en la proposicion

“Carlos no trabaja y Pedro no estudia”

al simbolizar la proposicion con las letras p y q se obtiene

(¬p) ∧ (¬q)


Ejemplo 2.21. Consideremos una conjuncion de la forma

( ) y ( )

en la que el primer miembro representa una disyuncion y el segundo una proposicion simple.

(Carlos estudia o Carlos juega) y (Marıa esta en cine)

simbolicamente expresada como

((p) ∨ (q)) ∧ (r)

o mas precisamente

(p ∨ q) ∧ r

en este caso se observa que se trata de una conjuncion. Los parentesis son los sımbolos depuntuacion de la logica. Estos muestran como esta agrupada la proposicion y senalan eltermino de enlace dominante. Los parentesis que encierran a p∨q forman una unica proposi-cion. Las proposiciones simbolizadas de esta forma en el lenguaje castellano se reconocen pormedio de la coma.

Carlos estudia o juega, y Marıa esta en cine

Ejemplo 2.22. Consideremos ahora una disyuncion de la forma

( ) o ( )

en la que el primer miembro representa una proposicion simple y el segundo una conjuncion.

(Carlos estudia) o (Carlos juega y Marıa esta en cine)

simbolicamente expresada como

(p) ∨ ((q) ∧ (r))

o mas precisamente

p ∨ (q ∧ r)

Los parentesis senala cual es el termino de enlace dominante (en este caso el “o”), y paraindicar la dominancia en el lenguaje castellano se utlizan comas ası:

Carlos estudia, o, Carlos juega y Marıa esta en cine

Observacion. Si se denota con las letras p, q y r las proposiciones

p : Carlos estudia q : Carlos juega r : Marıa esta en cine

los valores de verdad de las proposiciones

(p ∨ q) ∧ r y p ∨ (q ∧ r)


no son siempre iguales como se muestra en la tabla siguiente:

v(p) v(q) v(r) v(p ∨ q) v(q ∧ r) v(p ∨ (q ∧ r)) v((p ∨ q) ∧ r)1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1 0

0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0


(p ∨ q) ∧ r “es diferente de” p ∨ (q ∧ r)

y las expresiones verbales correspondientes son diferentes las cuales se muestran en la tablasiguiente:

Simbolizacion Expresion verbal

p ∨ (q ∧ r) Carlos estudia, o, Carlos juega y Marıa esta en cine

(p ∨ q) ∧ r Carlos estudia o Carlos juega, y Marıa esta en cine


TALLER 5.I. De las siguientes expresiones determine cuales son proposiciones justificando su

respuesta.

1. La tierra es plana 9. Hola, ¿como estas?

2. Llegaron tarde 10. ¡Lava el carro por favor!

3. ¿Llegaron tarde? 11. La tierra es un satelite de la luna

4. Haga el cuarto 12. Estudio y trabajo

5. − 17 + 38 = 21 13. Colombia es un pais suramericano

6. Me gusta la matematica 14. Donde esta mi papa?

7. Este enunciado es falso 15. Ni raja ni presta el hacha

8.Un cubo es mas pequeno que una esfera

II. Las siguientes proposiciones presentan un solo conectivo logico, simbolice cada una deellas.

1. Voy a estudiar o trabajar. 7. 2 es un numero par y primo.

2. Hoy es martes y manana es miercoles. 8. f(x) es continua, si f(x) es derivable.

3. Si hace sol, salgo de paseo. 9. No es cierto que estoy jugando.

4. No como espinacas. 10. Estudio pero tambien trabajo.

5. A la vez llueve y hace sol. 11. Marıa es alta o Luisa es alta .

6. Entro al cine si y solo si me divierto. 12. O Pedro pasea o Luis pasea.

III. Escriba en el lenguaje verbal la negacion de las proposiciones del numeral II.

IV. Simbolizar las siguientes proposiciones

1. Si Juan esta aquı , Maria ha salido.

2. Si x+ 1 = 10 entonces x = 9

3. O Maria no esta aquı o Juan se ha ido

4. Si x = 1 o y = 2, entonces z = 3

5. Si x 6= 1 y x+ y = 2 entonces y = 2

6. Si Pedro esta en casa o Juan esta en el patio, entonces Jose es inocente.

7. y = 0 y x = 0.

8. O y = 0 y x 6= 0 o z = 2

9. No ocurre que 6 = 7

10. No ocurre que si x+ 0 = 10 , entonces x = 5

V. Simbolizar las proposiciones dadas sustituyendo las proposiciones simples por letrasminusculas. (6= es la negacion de =. )


1. Si x = y entonces x = 2

2. Si x 6= 2 entonces y > 1

3. Si x 6= 2 o x 6= 3 entonces x = 1

4. Si x+ y = 3 entonces y + x = 3

5. Si x− y = 2 entonces y − x 6= 2

6. x+ y = 2 y y = 1

7. x+ y + z = 2 o x+ y = 10

8. Si x 6= y y y 6= z entonces x > z

9. Si x+ y > z y z = 1 entonces x+ y > 1

10. Si x 6= y , entonces x 6= 1 y x 6= 2

VI. Simbolizar completamente las proposiciones dadas utilizando el conectivo logicocorrespondiente para los terminos de enlace e indicar las proposiciones atomicas aso-ciadas.

1. Juan vive en nuestra calle y Pedro en la manzana contigua.

2. Los discos antiguos de Jose son buenos pero los modernos son todavıa mejores.

3. Metio la nariz y ya saco tajada.

4. El sol desaparece detras de las nubes y enseguida empieza a refrescar.

5. El reactor se eleva a nuestra vista y dejaba tras si una fina estela blanca.

6. Juana tiene trece anos y Rosa quince.

7. Jorge es alto y Carlos es bajo.

8. La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son tambien equinoder-mos.

9. Hoy es dıa 30 y manana sera primero.

10. El juego ha empezado y llegaremos tarde.

11. Ni juan estudia ni Juan trabaja.

12. No es cierto que llueve y hace sol.

13. Felipe fue al parque pero no al cine.

14. O estudias o te castigo.

15. x es par o impar pero no ambos.

16. El gordo Alberto vive para comer y no come para vivir.

17. No es cierto que Juan no se alimenta.

18. Maria o Luis van a la fiesta pero no ambos.

19. Es imposible que ella haya entrado sin que el la haya visto.

20. La decision dependera del juicio o la intuicion, no de quien pago mas.

VII. Junto a cada proposicion compuesta escrita a continuacion, se ha puesto el nombre deltipo de proposicion compuesta a la que pertenece. Anadir los parentesis necesarios


1. condicional p→ r ∧ s2. condicional p→ q ∨ r3. condicional P ∧ q → r

4. condicional r ∨ p→ q

5. conjuncion p→ q ∧ s6. conjuncion r ∧ p→ q

7. disyuncion r ∨ q → t

8. disyuncion q → p ∨ s9. disyuncion p→ r ∨ q

10. condicional p→ r ∨ q11. conjuncion p ∧ q → t

12. condicional p ∧ q → t

13. disyuncion p ∨ t→ q

14. disyuncion q → r ∨ s15. condicional q → r ∨ s16. negacion ¬p→ r

17. condicional ¬p→ r

18. conjuncion ¬P ∧ ¬R19. negacion ¬r ∧ t20. condicional ¬p→ ¬q21. negacion ¬p→ ¬q22. disyuncion ¬q ∨ ¬r23. negacion ¬t ∨ s24. conjuncion ¬s ∧ ¬q25. negacion ¬r → s

VIII. Simbolizar las proposiciones dadas, indicando el agrupamiento por medio de parentesis.Sea p =Es jueves y q = Sucedio en lunes

1. O no es jueves o no sucedio en lunes.

2. Si no ocurre que sucedio en lunes, entonces es jueves.

3. No ocurre que o es jueves o que sucedio en lunes.

4. No sucedio en lunes y es jueves.

5. No ocurre que a la vez es jueves y que sucedio en lunes.

6. Si no sucedio en lunes no es jueves.

7. No ocurre que si es jueves entonces no es jueves.

8. O no es jueves o sucedio en lunes.

9. No es jueves y sucedio en lunes.

10. No ocurre que a la vez sucedio en lunes y es jueves.

IX. Simbolizar las proposiciones dadas con el agrupamiento de parentesis adecuado.

1. Si una sustancia organica se descompone, entonces sus componentes se transfor-man en abono y fertilizan el suelo.

2. O yo estoy equivocado, o la pregunta numero uno es cierta y la pregunta numerodos es falsa.

3. A la vez yo estoy equivocado o la pregunta numero uno es cierta, y la preguntanumero dos es falsa.

4. O yo estoy equivocado y la pregunta numero uno es cierta o la pregunta numerodos es falsa.

5. No ocurre que, a la vez Juana sea su hermana y Rosa sea su hermana.

6. Juana no es su hermana y Rosa es su hermana.


7. Si se conoce el periodo del movimiento de la luna y se sabe la distancia de la tierraa la luna, entonces se puede calcular la aceleracion centrıpeta de la luna.

8. Sus deberes estan terminados, o si no estan terminados tendra que hacerlos porla noche.

9. No todas las regiones de Africa tienen un clima calido y humedo y no toda elAfrica ecuatorial es una tierra de vegetacion espesa y exuberante.

10. Si son las diez entonces la sesion de asamblea general ha empezado, y ahora elreloj senala las diez.

11. No ocurre que, o estrellas muy lejanas presentan paralaje o aparecen en el tele-scopio como discos.

12. Si este mi eral no es duro, entonces no esta compuesto de cristales de cuarzo.

13. Si es despues de las cinco, entonces la puerta esta cerrada y yo no tengo la llave.

14. Si es despues de las cinco entonces la puerta esta cerrada y ademas, yo no tengola llave.

15. Tiberio canta y Ana canta, o, Juana baila

16. Tiberio canta, y Ana canta o Juana baila

X. Para las proposiciones

p : Llueve q : Me da frio r : Me enfermo

y las expresiones verbales dadas

Simbolizacion Expresion verbal

p→ (q ∧ r) Si llueve, entonces me da frio y me enfermo

(p→ q) ∧ r Si llueve, me da frio. Ademas me enfermo

(p ∨ q)→ r Si llueve o me da frio, entonces me enfermo

p ∨ (q → r) Llueve o, si me da frio, me enfermo

verifique con valores de verdad que las simbolizaciones dadas son diferentes.

XI. Considere las proposiciones p:“Esta lloviendo”, q:“ Hace sol”, r: “ Hace frio”.

Traduzca al lenguaje verbal y encuentre el valor de verdad de cada uno de los siguientesenuciados logicos:

a. ¬(¬(p)) e. ¬(¬p ∧ r) j. ¬(p ∧ q)b. ¬p ∨ ¬q f. p→ (q ∨ r) k. ¬q → (p ∧ ¬r)c. p→ (q → r) g. (p→ q)→ r l. p↔ (q ∨ r)d. ¬(p→ r) h. ¬p→ ¬q m. ¬p→ q

e. p→ ¬q i. ¬r ↔ ¬p n. (¬p ∧ q)→ r


2.14. La Proposicion Condicional

Si p y q son proposiciones simples, la proposicion condicional asociada se expresa verbalmentecomo “Si p, entonces q” y se simboliza con la expresion

p→ q

A las proposiciones p y q por lo general se les llama “hipotesis” y “conclusion” respectiva-mente o tambien se les llama “antecedente” o “consecuente” respectivamente.

La proposicion condicional se puede expresar verbalmente de diferentes formas, entre ellaslas siguientes:

a. Si p, entonces q.

b. p solo si q.

c. q si p.

d. q cuando p.

e. q cada vez que p.

f. q siempre que p.

g. p es suficiente para q.

h. q es necesario para p.

i. q con la condicion de que p.

j. Para que p es necesario que q.

La proposicion condicional es de uso habitual en matematicas ya que a partir de ella sedesarrolla su teorıa y la de otras ciencias, una de ellas es la siguiente:

“Si f es derivable, entonces f es continua”

la cual se puede expresar de varias formas a saber:

• “f es continua, si f es derivable”.

• “Para que f sea derivable, es necesario que f sea continua”.

• “f es derivable solo si f es continua”.

Ejemplo 2.23. La proposicion condicional

“No estaras triste si cantas o bailas”

se puede expresar de maneras diferentes, entre ellas:

• “No estar triste es necesario para cantar o bailar”

• “Canto o bailo solo si no estoy triste”

• “Cantar o bailar es suficiente para no estar triste”


2.15. Formas de la Proposicion Condicional

Recordemos que la proposicion condicional “Si p entonces q” se simboliza con la expresionp → q. Esta proposicion se le llama forma directa de la proposicion condicional. Existenademas tres formas diferentes de la proposicion condicional que son: recıproca, contraria ycontrarecıproca.Las formas de la proposicion condicional se presentan en la tabla siguiente con su respectivasimbolizacion.

Formas de la proposicon condicional Simbolizacion

Directa p→ q

Recıproca q → p

Contaria ¬(p)→ ¬(q)Contrarecıproca ¬(q)→ ¬(p)

Ejemplo 2.24. Considere la proposicion

“Voy al parque si no voy al cine”.

Las formas de la proposicion condicional son:

Forma directa: “Si no voy al cine, voy al parque”

Forma recıproca: “Si voy al parque, no voy al cine”

Forma contraria: “Si voy al cine, no voy al parque”

Forma contrarecıproca: “Si no voy al parque, voy al cine”

Ejemplo 2.25. Considere la proposicion

“Estudio cuando tengo tiempo y no trabajo”.

Las formas de la proposicion condicional son:

Forma directa: “Si tengo tiempo y no trabajo, estudio”

Forma recıproca: “Tengo tiempo y trabajo cuando estudio”

Forma contraria: “No estudio cuando no tengo tiempo o trabajo”

Forma contrarecıproca: “No tengo tiempo o trabajo cuando no estudio”

2.16. Condicion necesaria y suficiente

En logica, las palabras “necesario” y “suficiente” describen la relacion que mantienen dosproposiciones o estado de las cosas, si una es condicionante de la otra.

Algunas expresiones verbales son las siguientes:

“Alimentarse es necesario para mantenerse con vida.”


“Comprar la loteria es suficiente para tener opcion de ganarsela.”

“Tener un buen salario es una condicion necesaria y suficiente para poder sobrevivir.”

El significado causal de las palabras “necesario” y “suficiente” por lo general es ignorado. Acontinuacion se explicara la diferencia entre la condicion necesaria y la condicion suficiente:

2.16.1. Condicion necesaria

Considerese la proposicion

“Tener 18 anos es una condicion necesaria para tener cedula”

Al decir que “Tener 18 anos” es una condicion necesaria para “tener cedula”, se dice que“No se puede tener cedula” si “no se tiene 18 anos”, es decir,

“Si no se tiene 18 anos, entonces no se puede tener cedula”.

o tambien

“Si se puede tener cedula, entonces se tiene 18 anos”.

De manera general la proposicion

“p es condicion necesaria para q”

afirma que q no puede ser verdadera a menos que p sea verdadera, es decir,

“Si p es falsa, entonces q tambien es falsa.”

o tambien

“Si q es verdadera, entonces p es verdadera.”

La relacion logica entre p y q se expresa ası:

“Si q, entonces p”

o tambien

“q solo si p”

Bajo este esquema se tiene que

“p es consecuencia de q”

como se puede ver en la proposicion

“Comer es una condicion necesaria para tener hambre”

que expresa que “comer” es consecuencia de “tener hambre”


2.16.2. Condicion suficiente

La proposicion

“Tener mas de 18 anos es una condicion suficiente para ser mayor de edad”

afirma que “No se puede tener mas de 18 anos sin ser mayor de edad”, es decir, “Cuando setenga mas de 18 anos, se es mayor de edad”, o tambien

“Si se tiene mas de 18 anos, entonces se es mayor de edad”

Esto muestra que si el antecedente es verdadero, entonces el consecuente tiene que ser ver-dadero.

De manera general la proposicion

“p es condicion suficiente para q”

afirma que

“p no puede ocurrir sin que ocurra q”,

es decir,

“q no puede ser verdadera sin que p sea verdadera”,

es decir,

“Si p es falsa, entonces q tiene que ser falsa.”

o tambien

“Si q es verdadera, entonces p tiene que ser verdadera.”

La relacion logica entre p y q se expresa ası:


o tambien

“q solo si p”

Bajo este esquema se tiene que

“q es consecuencia de p”

como se puede ver en la proposicion

“Si son las 3:00pm, entonces es de dıa”

que expresa que “comer” es consecuencia de “tener hambre”


TALLER 6.

1. Exprese y escriba de diferentes maneras las siguientes proposiciones condicionales:

a. Si hace sol, salgo de paseo.

b. Voy al cine solo si me invitan.

c. Estoy triste cuando estoy solo.

d. Entro al cine solo si me divierto.

e. Para que haya orden en la ciudad

es necesario invertir en seguridad.

f. No voy al cine si llueve esta noche.

g. Si hay un asesino, entonces hay

un muerto o un herido.

h. No estaras triste si cantas o bailas.

i. El pueblo sufre si, el gobierno

no regula la inflacion.

j. Como el gobierno no regula la

inflacion los precios suben y el pueblosufre.

k. f(x) es continua, si f(x) es derivable.

l. Estudiar es suficiente para aprenderlogica.

m. Llueve cada vez que hace frio.

n. Una condicion necesaria para que untriangulo sea isosceles es que sus tres la-dos sean de igual longitud.

o. Como hoy es dıa de fiesta, la gente estacontenta.

p. Si no hubiera industria, no habrıa con-taminacion ambiental.

q. Seremos campeones si, Juan es elportero y contamos con suerte.

2. Exprese y escriba la negacion de las proposiciones anteriores.

3. Exprese y escriba la proposicion recıproca, contrarecıproca y contraria de las proposi-ciones anteriores.

4. Una proposicion verdadera del calculo diferencial dice que

“Si una funcion es derivable, entonces es continua”.

¿Cual de las siguientes proposiciones es verdadera para todas las funciones?

a. Ser derivable es una condicion suficiente para que una funcion sea continua.

b. Ser derivable es una condicion necesaria para que una funcio sea continua.

c. Una funcion es continua si es derivable.

d. Una funcion es derivable solo si es continua.

5. Si una matriz cuadrada tiene inversa, entonces su determinante es diferente de cero.¿Cuales de las proposiciones siguientes se deducen de lo anterior?

a. Para que un determinante sea diferente de cero, es suficiente que su matriz tengainversa.

b. Para que una matriz cuadrada tenga inversa, es suficiente que su determinantesea diferente de cero.


c. Para que su determinante sea cero, es necesario que la matriz no tenga inversa.

d. Una matriz tiene determinante cero solo si no tiene inversa.

6. Simbolice cada una de las siguientes proposiciones:

a. Si no voy al parque, entonces estoy triste.

b. Si hay mas mujeres que hombres, entonces hay mas ninos que hombres y haymenos ninas que mujeres.

c. No es cierto que si 3 es un numero impar, entonces 5 es un numero par.

d. Cada vez que haces sol, vamos al parque pero no vamos al teatro.

e. Si ella es alta o rubia, entonces debe llamar la atencion.

f. Si la clase trabaja y el profesor lo nota, no les hara examen.

g. Salgo de vacaciones siempre que desarrolle el contrato y me paguen.

h. Para ir al parque, es necesario que no llueva.

i. No pierdo la partida si juego bien, y por lo tanto me gano un premio.

j. Una condicion suficiente para que una funcion sea continua es que sea derivable.

k. El pasto esta humedo y el firmamento esta oscuro, cuando llueve y no escampa.

l. No me siento a gusto cuando llueve y hace frio.

m. Marıa no vendra a la fiesta a menos que Luis venga.

7. Considere las proposiciones p:“Esta lloviendo”, q:“ Hace sol”, r: “ Hace frio”.

Traduzca al lenguaje verbal y encuentre el valor de verdad de cada uno de los siguientesenuciados logicos:

a. p→ (q ∧ r) e. ¬(¬p→ q) j. (q → p) ∨ rb. (q ∧ r)→ p f. p→ (q ∨ r) k. ¬q → (p ∧ ¬r)c. p→ (q → r) g. (p→ q)→ r l.¬(p→ q) ∨ rd. ¬(p→ r) h. ¬p→ ¬q m. ¬p→ q

e. p→ ¬q i. ¬q → ¬(q ∧ r) n. (¬p ∧ q)→ r

Capıtulo 3

Sintaxis

La sintaxis estudia los signos como puras y simples figuras, independientemente de loque designan y significan. Se define asimismo como el estudio de las relaciones de los signosentre sı. Por lo tanto, la sintaxis es la teorıa de la construccion o formacion de todo lenguaje.Cuando los lenguajes estudiados son los lenguajes logicos, la sintaxis es llamada a veces“sintaxis logica”. Un ejemplo de un enunciado perteneciente a la sintaxis logica es:

“Si los cuerpos son menos pesados que el agua,entonces flotan en el agua”

el cual corresponde a un condicional.

3.1. Formulas bien formadas

Consideremos el conjunto C de todas las cadenas finitas de simbolos que pueden ser obtenidascon letras proposicionales, conectivos logicos y parentesis angulares izquierdos y derechos.

Definicion 3.1. Se dice que una cadena γ de C es una formula bien formada (f.b.f) si ysolo si γ puede obtenerse mediante las siguientes reglas:

R1. γ es una letra proposicional.

R2. Si γ es f.b.f., entonces ¬(γ) es f.b.f.

R3. γ es equivalente a una de las formulas (α)∧(β), o, (α)∨(β), o, (α)→ (β), o, (α)↔ (β)con α y β f.b.f.

Ejemplo 3.1. Verificar que la formula (p ∧ q)→ (¬(s ∨ ¬(t))) es f.b.f.

(i) Por R1 las letras proposicionales p, q, r, s, t son f.b.f.

(ii) Por (i) y R2, ¬(t) es f.b.f.

(iii) Por (i), (ii) y R3, (p ∧ q) y (s ∨ ¬(t)).

(iv) Por R2, ¬(s ∨ ¬(t)) es f.b.f.

(v) Por (iii), (iv) y R3 la formula (p ∧ q)→ (¬(s ∨ ¬(t))) es f.b.f.Un algoritmo que permite decidir si una formula γ de C es f.b.f. es el siguiente:

55

56 Sintaxis

3.2. Algoritmo de decision de formulas bien formadas

A1. Reemplace en γ todas la letras proposionales con el numero 0.

A2. En la formula obtenida reemplace todas las expresiones de la forma ¬(0) por 0.

A3. En la formula obtenida reemplace todas las expresiones de la forma (0)¤(0) por 0,donde ¤ es cualquiera de los conectivos logicos ∧, ∨, → o ↔.

Si el resultado de la formula γ es 0, la formula γ es f.b.f. de lo contrario no lo es.

Ejemplo 3.2. Verificar con el algoritmo anterior que la formula γ dada es f.b.f.

γ : (p ∧ q)→ (¬(s ∨ ¬(t)))(i) Por A1, se reemplaza en γ con el numero 0 todas las letras proposicionales y se obtiene

(0 ∧ 0)→ (¬(0 ∨ ¬(0)))

(ii) Por A2, se reemplaza en la formula ¬(0) por 0 y se obtiene

(0 ∧ 0)→ (¬(0 ∨ 0))

(iii) Por A3, se reemplaza en las formulas (0 ∧ 0) y (0 ∨ 0) por 0 y se obtiene

0→ ¬(0)

(iv) Por A2, se reemplaza en la formula ¬(0) por 0 y se obtiene

0→ 0

(v) Por A3, se reemplaza en la formula 0→ 0 por 0 y se obtiene 0.

Como el resultado es 0, se concluye que la formula γ dada es f.b.f.

Proyecto. Disenar un programa de computador de tal manera que al digitar una formulapor teclado el programa determine si la formula digitada es o no es un formula bien formada.

3.3. Conectivo principal de una f.b.f.

Toda f.b.f. tiene un conectivo principal, por ejemplo en la formula

(p ∧ q)↔ (¬(s) ∨ t)el conectivo prinicipal es el bicondicional “↔”.

Observacion.

En la f.b.f.(((p) ∧ ((q)↔ (r))) ∨ (¬(¬(¬(¬(r))))))→ (((q) ∧ (p)) ∧ (p))

es difıcil encontrar a simple vista el conectivo principal debido a la cantidad de parentesisque hay en la formula.

Existe un algoritmo que permite encontrar el conectivo principal de una f.b.f γ de C porextensa que sea como la anterior y es el siguiente:


3.4. Algoritmo de decision del conectivo principal de f.b.f.

(i) Si la formula γ comienza por ¬, el simbolo ¬ es el conectivo principal, de lo contrariola formula debe comenzar por un parentesis izquierdo.

(ii) Recorra la formula de izquierda a derecha realizando la siguiente asignacion:

a. Asigne al primer parentesis izquierdo el numero 1.

b. Asigne a cada parentesis izquierdo el valor asignado al parentesis anterior mas 1.

c. Asigne a cada parentesis derecho el valor asignado al parentesis anterior menos 1.

El conectivo princpipal es el sımbolo inmediatamente despues del primer parentesis alque se asigne el valor 0.

Ejemplo 3.3. Encontrar el conectivo principal de la f.b.f

(((p) ∧ ((q)↔ (r))) ∨ (¬(¬(¬(¬(r))))))→ (((q) ∧ (p)) ∧ (p))

Utilizando el algoritmo anterior la asignacion obtenida en la formula es:

(1

(2

(3

p)2

∧ (3

(4

q)3

↔ (4

r)3

)2

)1

∨ (2

¬(3

¬(4

¬(5

¬(6

r)5

)4

)3

)2

)1

)0

→ (((q) ∧ (p)) ∧ (p))

El conectivo principal es el condicional “→”.

Proyecto. Disenar un programa de computador de tal manera que al digitar una formulabien formada por teclado el programa determine el conectivo principal de la formula digitada.

3.5. Arboles de f.b.f.

Toda f.b.f tiene una estructura de arbol asociado. Para determinar el arbol de una f.b.f. debeencontrarse primero el conectivo principal de la formula y luego descomponer la formula entodas sus subformulas como lo muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.4. Hallar el arbol de la formula

(p ∧ q)→ (¬(s ∨ ¬(t)))

58 Sintaxis

→

∧

p ∧ q

p q

¬

¬(s ∨ ¬(t))

∨

s ∨ ¬(t)

s ¬

¬(t)

t

3.6. Notacion prefija, infija y postfija

Definicion 3.2. Se dice que una formula bien formada esta en notacion infija si:

1. El conectivo principal de la formula se encuentra entre las dos formulas componentes.

2. Cada subformula cumple con el requisito anterior.

Definicion 3.3. Se dice que una formula bien formada esta en notacion prefija si:

1. El conectivo principal de la formula se encuentra delante las dos formulas componentes.


Definicion 3.4. Se dice que una formula bien formada esta en notacion postfija si:

1. El conectivo principal de la formula se encuentra al final las dos formulas componentes.


La siguiente tabla muestra las diferentes equivlencias entre notacion infija y prefija.

Infija Prefija Postfija

¬(p) ¬p p¬p ∧ q ∧pq pq¬p ∨ q ∨pq pq∨p→ q → pq pq →p↔ q ↔ pq pq ↔


Infija Polaca Polaca Inversa

¬(p) Np pN

p ∧ q Kpq pqK

p ∨ q Apq pqA

p→ q Cpq pqC

p↔ q Epq pqE

Ejemplo 3.5. Consideremos la f.b.f. dada en notacion infija.

(p ∧ q)→ (¬(s) ∨ t)Para determinar la notacion prefija, observese que las formulas (p∧q) y (¬(s)∨t) en notacionprefija son ∧pq y ∨¬st respectivamente, por lo tanto la formula queda de la siguiente forma:

(∧pq)→ (∨¬st)Si denotamos por α la formula ∧pq y por β la formula ∨¬st se obtiene la expresion

(α)→ (β)

Esta nueva formula en notacion prefija se escribe como → αβ, por lo tanto la formula dadainicialmente en notacion prefija es

→ ∧pq ∨ ¬st

Para determinar la notacion postfija, observese que las formulas (p∧q) y (¬(s)∨t) en notacionpostfija son pq∧ y s¬t∨ respectivamente, por lo tanto la formula queda de la siguiente forma:

(pq∧)→ (s¬t∨)Si denotamos por α la formula pq∧ y por β la formula s¬t∨ se obtiene la expresion

(α)→ (β)

Esta nueva formula en notacion postfija se escribe como αβ →, por lo tanto la formula dadainicialmente en notacion postfija es

pq ∧ s¬t∨ →Para determinar las notaciones polaca y polaca inversa, basta observar que estas son analogasa las notaciones prefija y postfija, por lo tanto dichas notaciones son

CKpqANst y pqKsNtAC

respectivamente.

Existen algoritmos de recorrido de arbol que permiten pasar de una notacion a otra. Unalgoritmo de recorrido de arbol es un algoritmo que permite ubicar todos los vertices de unarbol. Para determinar la notacion prefija y postfija de una f.b.f. en notacion infija se hacenrecorridos preorder y postorder.En el recorrido preorder, se ubica primero el conectivo principal y los subarboles se ubicanen el orden de sus conectivos logicos. Por la forma en que se dibuja el arbol, nos referimosal orden de izquierda a derecha.

60 Sintaxis

3.7. Algoritmo de infija a prefija

1. Ubique el conectivo principal Tc y extraiga los subarboles con los hijos de c como unaraız.

2. Liste colocando en fila seguido por las listas del paso anterior en el orden de izquierdaa derecha.

Ejemplo 3.6. Considere la f.b.f. dada en notacion infija

(p→ (q ∨ r))↔ (s ∨ ¬(t ∧ p))El arbol de la formula es el siguiente:

→

→

p ∨

q r

∨

s ¬

∧

t p

Para encontrar la notacion prefija de la f.b.f. dada utilizando el algoritmo anterior se procedeası:El nodo principal de la formula es T↔. A la izquierda del nodo principal esta el conectivo →y a la derecha esta el conectivo ∨; con esto la notacion prefija de la formula queda como laexpresion

↔ T→ T∨

La notacion prefija del nodo T→ es→ p T∨ y la del nodo T∨ es ∨ s T¬; por lo que la notacionprefija de la formula cambia por la expresion

↔ → p T∨ ∨ s T¬.

La notacion prefija del nodo T∨ es ∨ q r y la del nodo T¬ es ¬ T∧, luego la formula prefijaqueda como

↔ → p ∨ q r ∨ s ¬ T∧

Finalmente la notacion prefija del nodo T∧ es ∧tp, por lo tanto la notacion prefija de laformula dada es

↔ → p ∨ q r ∨ s ¬ ∧ t p


3.8. Algoritmo de infija a postfija

1. Ubique el conectivo principal Tc y extraiga los subarboles con los hijos de c como unaraız.

2. Liste colocando en fila seguido por las listas del paso anterior en el orden de derecha aizquierda.

Ejemplo 3.7. Consideremos la f.b.f. en notacion infija del ejemplo anterior

(p→ (q ∨ r))↔ (s ∨ ¬(t ∧ p))Recordemos que el arbol de la formula es el siguiente:

→

→

p ∨

q r

∨

s ¬

∧

t p

Para encontrar la notacion postfija de la f.b.f. dada utilizando el algoritmo anterior se procedeası:El nodo principal de la formula es T↔. A la izquierda del nodo principal esta el conectivo →y a la derecha esta el conectivo ∨; con esto la notacion postfija de la formula va quedandocomo la expresion

T→ T∨ ↔La notacion postfija del nodo T→ es p T∨ → y la del nodo T∨ es s T¬ ∨; por lo que lanotacion prefija de la formula cambia por la expresion

p T∨ → s T¬ ∨ ↔La notacion postfija del nodo T∨ es q r ∨ y la del nodo T¬ es T∧¬, luego la formula postfijaqueda como

p q r ∨ → s T∧¬ ∨ ↔Finalmente la notacion postfija del nodo T∧ es t p ∧, por lo tanto la notacion postfija de laformula dada es

p q r ∨ → s t p ∧ ¬ ∨ ↔

62 Sintaxis

Observacion.

Si se recorre el exterior del arbol anterior en el sentido contrario a las manecillas del reloj,anotando cada nodo la primera vez que pase por el comenzando en el nodo principal yterminando en el mismo (ver siguiente arbol), se obtiene la notacion prefija

↔ → p ∨ q r ∨ s ¬ ∧ t p

→

→

p ∨

q r

∨

s ¬

∧

t p

Analogamente, si se recorre el exterior del arbol anterior en el sentido de las manecillas delreloj, anotando cada nodo la primera vez que pase por el comenzando en el nodo principaly terminando en el mismo (ver siguiente arbol), se obtiene la notacion postfija

p q r ∨ → s t p ∧ ¬ ∨ ↔


→

→

p ∨

q r

∨

s ¬

∧

t p

Proyecto. Disenar un programa de computador de tal manera que al digitar una formulabien formada en notacion infija por teclado el programa determine la notacion prefija ypostfija correspondiente.

3.9. Algoritmo de polaca a infija

Dada una f.b.f en notacion polaca se construye su arbol de la siguiente forma:

1. Se lee la formula de izquierda a derecha, hasta encontrar la primera letra proposicional,el segmento inicial ası determinado se toma como la rama mas a la izquierda del arbol.

2. Se lee el resto de la formula, hasta encontrar la siguiente letra proposicional, el segundosegmento ası obtenido constituye otra rama que se conecta a la derecha del nodo binariomas bajo del cual salga un solo arco en la parte ya construida del arbol.

3. Se repite este proceso hasta agotar la formula.

Ejemplo 3.8. Determinar la notacion infija de la f.b.f. dada en notacion polaca.

CpKEpqANqNCpEqr

64 Sintaxis

C

p p

C

K

E

p

p

C

K

E

p q

p

C

K

E

p q

A

N

q

p

C

K

E

p q

A

N

q

N

C

p

p

C

K

E

p q

A

N

q

N

C

p E

q

p

C

K

E

p q

A

N

q

N

C

p E

q r


Proyecto. Disenar un programa de computador de tal manera que al digitar una formu-la bien formada en notacion polaca por teclado el programa determine la notacion infijacorrespondiente.

3.10. Algoritmo de polaca inversa a infija

Dada una f.b.f en notacion polaca inversa se construye su arbol de la siguiente forma:

1. Se lee la formula de derecha a izquierda, hasta encontrar la primera letra proposicional,el segmento inicial ası determinado se toma como la rama mas a la derecha del arbol.

2. Se lee el resto de la formula, hasta encontrar la siguiente letra proposicional, el segundosegmento ası obtenido constituye otra rama que se conecta a la izquierda del nodobinario mas bajo del cual salga un solo arco en la parte ya construida del arbol.

3. Se repite este proceso hasta agotar la formula.

Ejemplo 3.9. Determinar la notacion infija de la f.b.f. dada en notacion polaca inversa.

usEpCtqECpNrAK

K

A

r

K

A

rN

p

K

A

rN

p

C

E

q

K

A

rN

p

C

E

qt

K

A

rN

p

C

E

qt

C

p

K

A

rN

p

C

E

qt

C

pE

s

66 Sintaxis

K

A

rN

p

C

E

qt

C

pE

su

Proyecto. Disenar un programa de computador de tal manera que al digitar una formulabien formada en notacion polaca inversa por teclado el programa determine la notacion infijacorrespondiente.

3.11. Algoritmo de decision de f.b.f. en notacion polaca

Primero se da un valor a cada simbolo del alfabeto de la siguiente manera:

1. v(p) = 1, si p es una letra proposicional.

2. v(N) = 0

3. v(K) = v(A) = v(C) = v(E) = −1El algoritmo es el siguiente:Dada una expresion snsn−1 · · · s1 con simbolos en el alfabeto de la notacion polaca, se asignaun rango Ri a cada simbolo si de la siguiente manera:

Se recorre la expresion de derecha a izquierda y comenzando con el valor de s1 se va sumandoel valor de cada simbolo, es decir,

R1 = v(s1)

Rk+1 = Rk + v(sk+1)

Ejemplo 3.10.

C1E2A3p4N3q3t2s1

A0p1N0K0C1t2r1

E−2K−1N0q1

Con esto es suficiente para determinar si la expresion es bien formada, por el siguienteresultado

Teorema 3.5. La expresion snsn−1 · · · s1 en notacion polaca es f.b.f. si y solo si Ri ≥ 1 paratodo i y Rn = 1.

La demostracion de este teorema se puede encontrar en [11] pagina 30.

Proyecto. Disenar un programa de computador de tal manera que al digitar una formula ennotacion polaca por teclado el programa determine si la formula digitada es o no es formulabien formada.


3.12. Algoritmo de decision de f.b.f. en notacion polaca in-versa

Primero se da un valor a cada simbolo del alfabeto de la siguiente manera:

1. v(p) = 1, si p es una letra proposicional.

2. v(N) = 0

3. v(K) = v(A) = v(C) = v(E) = −1

El algoritmo es el siguiente:Dada una expresion s1s2 · · · sn con simbolos en el alfabeto de la notacion polaca inversa, seasigna un rango Ri a cada simbolo si de la siguiente manera:

Se recorre la expresion de izquierda a derecha y comenzando con el valor de s1 se va sumandoel valor de cada simbolo, es decir,

R1 = v(s1)

Rk+1 = Rk + v(sk+1)

Ejemplo 3.11.

s1t2q3N3p4A3E2C1

r1t2C1K0N0p1A0

q1N0K−1C−2

Con esto es suficiente para determinar si la expresion es bien formada, por el siguienteresultado

Teorema 3.6. La expresion s1s2 · · · sn en notacion polaca inversa es f.b.f. si y solo si Ri ≥ 1para todo i y Rn = 1.

La demostracion de este teorema es similar a la del teorema anterior.

Proyecto. Disenar un programa de computador de tal manera que al digitar una formulaen notacion polaca inversa por teclado el programa determine si la formula digitada es o noes formula bien formada.

68 Sintaxis

TALLER 7.1. Para cada una de las siguientes cadenas, demuestre que son formulas bien formadas,

encuentre el conectivo principal y posteriormente suprima los parentesis que sean sus-ceptibles de suprimir.

a. ((p)→ (q))→ (¬(r))b. ( p ∨ (q → p) )→ (¬(q))c. ¬(p) ∧ ( ¬(q)→ (q → p) )

d. ( p ∨ (q → p) )→ (¬(q))e. ((r)→ (q))→ (¬(r))f. ((¬(p))↔ (r))↔ ((q)↔ (p))

g. ((p) ∧ ((r) ∧ (s)))→ ((p)→ (r))

h. ((((r) ∧ (s))→ (t))→ (q))→ (¬(r))i. ((¬(p)) ∧ ((r)→ (q)))↔ ((p) ∧ (¬(s)))j. ((¬(p)) ∧ ((r)→ (q)))→ ((p)→ ((q) ∧ (r)))

k. (((¬(p)↔ (q))↔ (q))↔ (s))↔ ((t)↔ (¬(r)))l. (((p) ∧ ((q)↔ (r))) ∨ (¬((¬(¬(¬(r))))))→ (((q) ∧ (p)) ∧ (p))

2. Construya el arbol de cada una de las formulas bien formadas del ejercicio 1, y apliqueel respectivo algoritmo para encontrar la notacion prefija y postfija.

3. Para cada una de las siguientes expresiones, construya el arbol y encuentre la notacionprefija y postfija.

a.(x+ y)3

(z − y)3d.

√2z − 3y

(x+ y + z)5

b. (2x+ 3y) + (x2 + y3)4 e.(2x+ 3y)4

(xyz)4+ (x+ y + z)3

c.

(√x+ y

xyz

)5

f.

√x+ 3√y + z√

x+√y

4. Obtenga el valor de las siguientes expresiones dadas en notacion prefija.

a. − ∗3 ↑ 522 e. + ↑ ÷19÷ 12÷ 4 + 31

b. ↑ ∗35− 22 f. + ∗ ↑ 23 ↑ 22÷ 93

c. − ↑ ∗3522 g. ÷ ∗2 + 25 ↑ +342

d. ∗+÷ 633− 73 h. + ↑ 2 ↑ 22÷ 3 + 4− 12

5. Obtenga el valor de las siguientes expresiones dadas en notacion postfija.

a. 33451− ∗++ e. 32 ↑ 42 ↑ +5÷ 2∗b. 33 + 4 + 5 ∗ 1− f. 12 ↑ 315÷+2 ↑ +c. 334 + 5 ∗ 1−+ g. 13÷ 12÷−2 ↑ 514÷−3 ↑ ÷d,63÷ 3 + 73− ∗


6. Para cada una de las siguientes formulas dadas en notacion polaca, determine si es f.b.f.En caso afirmativo, desarrolle la estructura del arbol y escriba la formula en notacioninfija y postfija.

a. EpEqErEpNq f. ApCqErKpNq

b. EEpErENpNrpp g. ApCKNpNqKpEqr

c. CpKEpqANpNCpEqr h. KANKAKEEpppqqqq

d. ArCANEqCAKEpqrps i. CNNpAKNpNANCEpqrArNK

e. AENpKpNCppqKpNApqCAKp j. CAKEpNqNrNCAKqEprNqNp

7. Para cada una de las siguientes formulas dadas en notacion polaca inversa, determinesi es f.b.f. En caso afirmativo, desarrolle la estructura del arbol y escriba la formula ennotacion infija y prefija.

a. rNqCpCstKE f. pNrqCKpqNrKKA

b. pqKNrCsEtNpKK g. pqrstuvECNAKCA

c. pNqENrEpNrtEEE h. usEpCtqECpNrAK

d. CENApqrKCAANsE i. pqNCNArsNtrACKC

e. qNprACtsApNKN j. pqNrCArNNppKqrCAEprNKKNC

8. Construya una formula bien formada en notacion polaca de tal manera que en algunsegmento de ella se lea la palabra indicada.

a. logiCA d. NombrE y ApEllidos

b. mAtEmAtiCAs e. primEr sEmEstrE

c. progrAmACioN f. EsCuElA dE iNgENiEriA

70 Sintaxis

Capıtulo 4

Semantica

El termino semantica, se refiere a los aspectos del significado o interpretacion de undeterminado codigo simbolico, lenguaje o representacion formal. En principio cualquier mediode expresion (codigo, lenguas, ...) admite una correspondencia entre expresiones de sımboloso palabras y situaciones o conjuntos de cosas encontrables o inferibles en el mundo fısico oabstracto que puede ser descrito por dicho medio de expresion.

La semantica estudia los signos en su relacion con los objetos designados. La semanticaopera, pues, en un nivel menos abstracto y formal que la sintaxis. Como una de las relacionesentre los signos y los objetos designados es la relacion de verdad, la nocion de verdad caedentro de la semantica. Ası, un enunciado perteneciente a la semantica es:

“Si los cuerpos son menos pesados que el agua,entonces flotan en el agua”

el cual es un enunciado verdadero.

4.1. Semantica en matematicas y logica

La logica de predicados de primer orden es el tipo de sistema logico-matematico massencillo donde aparece el concepto de interpretacion semantica. Dicha logica esta formadopor:

1. Un conjunto de signos (conectivas, parentesis, cuantificadores,...).

2. Un conjunto de variables y constantes.

3. Un conjunto de predicados sobre las variables.

4. Un conjunto de reglas de buena formacion de expresiones a partir de expresiones sen-cillas.

En la logica de primer orden el conjunto de variables y constantes juega un papel similar allexicon de las lenguas naturales ya que bajo una interpretacion semantica son los elementosque admiten referentes. A su vez, el conjunto de reglas de buena formacion de expresioneshace el papel de la sintaxis en las lenguas naturales. Para interpretar semanticamente las

71

72 Semantica

expresiones formales de un sistema logico de primer orden necesitamos definir un modelo oconjunto estructurado sobre el que interpretar los enunciados formales del sistema logico. Unmodelo de acuerdo con la teorıa de modelos es un conjunto con cierta estructura junto conuna regla de interpretacion que permite asignar a cada variable o constante un elemento delconjunto y cada predicado en el que intervienen un conjunto de variables puede ser juzgadocomo cierto o falso sobre el conjunto en el que se interpretan las proposiciones del sistemalogico formal.

En logica matematica se suelen dividir los axiomas de los sistemas formales se suelen dividiren axiomas de dos tipos:

• Axiomas logicos, que definen basicamente las reglas de deduccion y estan forma-dos por tautologıas. Basicamente son validos para cualquier tipo de sistema formalrazonable.

• Axiomas matematicos, que asevera la existencia de cierto tipo de conjuntos y obje-tos con verdadero contenido semantico. Gracias a ello es posible introducir conceptosnuevos y probar las relaciones entre ellos.

Ası si se tiene un conjunto de axiomas que define la teorıa de grupos, cualquier un grupomatematico es un modelo en el que las proposiciones y axiomas de dicha teorıa recibeninterpretacion y resultan en proposiciones ciertas sobre ese modelo.

4.2. Funciones Proposicionales y Tablas de Verdad

Una funcion proposicional es una funcion v definida en el conjunto de las f.b.f. de maneraque a cada f.b.f. le asigna un valor de verdad en el conjunto {0, 1}.

v : f.b.f. −→ {0, 1}γ 7−→ v(γ)

Ejemplo 4.1. Toda letra proposicional que es una f.b.f., tiene un valor de verdad definidode la siguiente manera:

v(p) =

{


0, si p es falsa

Ejemplo 4.2. Si p y q son letras proposicionales, los valores de verdad de las f.b.f. ¬(p),p ∧ q, p ∨ q, p→ q, y p↔ q se muestran en la tabla siguiente:

v(p) v(q) v(¬(p)) v(p ∧ q) v(p ∨ q) v(p→ q) p↔ q

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1

Definicion 4.1. Se dice que una f.b.f. γ en notacion infija es una tautologıa si el valor deverdad de γ es 1 para cualquier valoracion de las letras proposicionales que componen a α.


Ejemplo 4.3. La f.b.f. α : (p → q) ↔ (¬p ∨ q) es una tautologıa ya que el v(α) = 1 paracualquier valoracion de p y de q como se puede ver en la siguiente tabla:

v(p) v(q) v(¬(q)) v(p→ q) v(¬p ∨ q) v(α)

1 1 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1

Definicion 4.2. Se dice que una f.b.f. α en notacion infija es una contradiccion si el valorde verdad de α es 0 para cualquier valoracion de las letras proposicionales que componen aα.

Ejemplo 4.4. La f.b.f. α : (p ∧ ¬p) es una contradicion ya que el v(α) = 0 para cualquiervaloracion de p como se puede ver en la siguiente tabla:

v(p) v(¬(p)) v(p ∧ ¬p)1 0 0

0 1 0

Definicion 4.3. Una f.b.f. en notacion infija que ni es tautologıa y ni es contradiccion sedenomina contigencia.

Ejemplo 4.5. Toda letra proposicional es una contingencia.

Ejemplo 4.6. La f.b.f. α : (¬(p→ q))↔ (¬(p)→ ¬(q)) es una contingencia como se puedever en la tabla siguiente:

v(p) v(q) v(¬(p)) v(¬(q)) v(¬(p)→ ¬(q)) v(p→ q) v(¬(p→ q)) v(α)

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 0

Definicion 4.4. Se dice que la f.bf.

(α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn)→ β

es una implicacion tautologica si es equivalente a un tautologıa.

Ejemplo 4.7. La formula α : ¬p → (¬p ∨ q) es una implicacion tautologica ya que estaformula es una tauotologıa como se puede ver en la siguiente tabla:

v(p) v(q) v(¬p) v(¬p ∨ q) v(α)

1 1 0 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

74 Semantica

Definicion 4.5. Se dice las f.b.f. α y β son equivalentes si la f.b.f. (α) ↔ (β) es unatautologıa. En este caso se escribe

α ≡ β

que significa que “las f.b.f. α y β son equivalentes”.

Con esta notacion se pueden dar algunas f.b.f. equivalentes las cuales se les conocen con elnombre de “leyes del algebra de proposiciones”, estas son:

4.3. Leyes del Algebra de Proposiciones

Para cualesquiera f.b.f. α, β y γ las expresiones siguientes son equivalentes

1. Ley de idempotencia: (α) ∨ (α) ≡ (α)

(α) ∧ (α) ≡ (α)

2. Ley conmutativa: (α) ∨ (β) ≡ (β) ∨ (α)

(α) ∧ (β) ≡ (β) ∧ (α)

3. Ley asociativa: (α) ∧ ((β) ∧ (γ)) ≡ ((α) ∧ (β)) ∧ (γ)

(α) ∨ ((β) ∨ (γ)) ≡ ((α) ∨ (β)) ∨ (γ)

4. Ley distributiva: (α) ∧ ((β) ∨ (γ)) ≡ ((α) ∧ (β)) ∨ ((α) ∧ (γ))

(α) ∨ ((β) ∧ (γ)) ≡ ((α) ∨ (β)) ∧ ((α) ∨ (γ))

5. Ley de Morgan: ¬((α) ∧ (β)) ≡ ¬(α) ∨ ¬(β)¬((α) ∨ (β)) ≡ ¬(α) ∧ ¬(β)

6. Ley del condicional: (α)→ (β) ≡ ¬(α) ∨ (β)

7. Negacion del condicional: ¬((α)→ (β)) ≡ (α) ∧ ¬(β)

8. Ley del bicondicional: (α)↔ (β) ≡ ((α)→ (β)) ∧ ((β)→ (α))

9. Ley de contradiccion: (α) ∧ ¬(α) ≡ 0

10. Ley universal: (α) ∨ ¬(α) ≡ 1


11. Ley neutral: (α) ∧ 1 ≡ (α)

(α) ∨ 0 ≡ (α)

12. Ley de absorcion: (α) ∧ 0 ≡ 0

(α) ∨ 1 ≡ 1

Estas leyes son utiles para simplificar formulas bien formadas en notacion infija y clasificarlascomo tautologıas, contradicciones o contingencias.

Ejemplo 4.8. La formula bien formada

(¬p ∨ ¬q) ∨ (p ∧ q)

es una tautologıa ya que esta formula es equivalente a las expresiones

(¬p ∨ ¬q) ∨ (p ∧ q) ≡ley de Morgan ¬(p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ≡ley universal >


(p ∧ (p→ q))→ q

es una tautologıa, en efecto:

(p ∧ (p→ q))→ q ≡ (p ∧ (¬p ∨ q))→ q “ley del condicional”

≡ ((p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q))→ q “ley distributiva”

≡ (⊥ ∨ (p ∧ q))→ q “ley de contradiccion”

≡ (p ∧ q)→ q “ley del neutro”

≡ ¬(p ∧ q) ∨ q “ley del condiconal”

≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ q “ley de morgan”

≡ ¬p ∨ (¬q ∨ q) “ley asociativa”

≡ ¬p ∨ > “ley universal”

≡ > “ley de absorcion”


((p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ r)) ∨ (p ∧ q)

es una contingencia, ya que

((p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ r)) ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ r) ∨ (p ∧ q) “ley asociativa”

≡ p ∧ (¬q ∨ r ∨ q) “ley distributiva”

≡ p ∧ (¬q ∨ q) ∨ r “ley asociativa y conmutativa ”

≡ p ∧ > ∨ r “ley universal”

≡ (p ∧ >) ∨ r “ley asociativa”

≡ p ∨ r “ley de absorcion”

76 Semantica

4.4. Expresiones Verbales Equivalentes

Las leyes del Algebra de Proposiciones son utiles para dar expresiones verbales equivalentesde proposiciones.


p : Llueve q : Hace frio.

Es claro que por la ley del condicional

p→ q ≡ ¬p ∨ q

lo que implica que las expresiones verbales

“Si llueve, entonces hace frio” y “No llueve o hace frio”

son equivalentes.


p : Trabajo q : Estudio.

Por la ley de Morgan

¬(p ∨ q) ≡ ¬(p) ∧ ¬(q)

lo que implica que las expresiones verbales

“No es cierto, que trabajo o estudio” y “Ni trabajo ni estudio”

son equivalentes.


TALLER 8.1. Utilice las leyes del algebra proposicional para simplificar las f.b.f dadas y determine

si la formula obtenida es una tautologıa, una contradiccion o una contingencia.

a. p ∨ (q ∨ ¬p) n. ((p ∨ ¬q) ∧ (q ∧ r)) ∧ (q ∨ ¬r)b. (p→ q) ∨ p o. ¬((¬p ∧ q)↔ (¬q ∨ (¬p ∧ q)))c. ¬p→ (¬p ∧ q) p. ((p ∧ q) ∧ r)↔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r))d. ¬(p→ (p ∨ ¬q)) q. p↔ ¬((p→ r) ∧ (q → r))

e. (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) r. (p→ (q ∨ r))↔ ((p→ q) ∨ (p→ r))

f. p ∧ (q ∨ ¬p) s. (p ∨ q)↔ (p↔ (p ∧ q))g. (p ∧ q ∧ r) ∨ (¬p ∨ ¬r ∨ ¬q) t. ¬((p ∨ q)↔ (¬p ∨ q) ∧ ¬q)h. (¬p ∨ q)→ ((p ∧ q)→ (¬p ∨ q)) u. ((p)→ (q))→ (¬(r))i. (p→ q)→ ((q → r)→ (p→ r)) v. ( p ∨ (q → p) )→ (¬(q))j. (p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) w. ¬(p) ∧ ( ¬(q)→ (q → p) )

k. ((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q))↔ q x. ( p ∨ (q → p) )→ (¬(q))l. (p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)m. ¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q)n. ((p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ r)) ∨ (p ∧ q)

2. Sabiendo que p|q ≡ ¬(p∧ q) y p|p ≡ ¬p, escriba cada una de las f.b.f. dadas utilizandoel conectivo dado.

a. p ∧ q b. p ∨ q c. p→ q d. p ∧ ¬q

3. Suponga que la proposicion “Heriberto es honrado”es equivalente a la proposicion“Heriberto no es tramposo”. Con base a lo anterior, indique cuales de las siguientesproposiciones son equivalentes a la proposicion “Si Heriberto gana el concurso, entonceshizo trampa”.

a. Heriberto gana el concurso y es tramposo.

b. Heriberto, una persona honrada, no gano el concurso.

c. Si Heriberto es honrado, entonces no gano el concurso.

d. Noes cierto que: Heriberto gana o es tramposo.

e. Si Heriberto es tramposo, entonces gana el concurso.

4. Indique cuales de las siguientes proposiciones representan la negacion de la proposicion“Si voy al cine, entonces voy al parque y no al teatro”.

a. Voy al cine pero no voy al parque y al teatro.

b. Si voy al teatro o no voy al parque, entonces no voy al cine.

c. Voy al cine y voy al teatro, o ,voy al cine y no al parque.

78 Semantica

d. Voy al cine, y si no voy al teatro, entonces no voy al parque.

e. Si no voy al cine, entonces no voy al parque y voy al teatro.

5. La proposicion p∨q se le llama la disyuncion exclusiva y es tal que solamente es ver-dadera cuando las proposiciones tienen diferentes valores de verdad. Con base a loanterior demuestre que

a. p∨q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)b. ¬(p∨q)≡ ¬((p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q))c. ¬(p∨q)≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)

6. Demuestre que las siguientes formulas son implicaciones tautologicas.

a. (p ∧ q)→ (p↔ q) d. ((p↔ q) ∧ ¬q)→ ¬pb. p→ ((q ∧ p)↔ q) e. ((p ∨ q) ∧ ¬q)→ q

c. ((p→ q) ∧ p)→ q f. (p ∧ q)→ p

7. Escriba las formulas dadas en terminos de los conectivos ¬, ∧, ∨.

a. (p→ (q ∧ r)) ∨ ((r ↔ s) ∧ (q ∨ s))b. ((p ∨ q)→ q) ∧ ((p→ r)→ (q → r))

c. p↔ ¬((p→ r) ∧ (q → r))

Capıtulo 5

Algebras de Boole

5.1. Introduccion

En 1854, George Boole publico un obra titulada “Investigacion de las leyes del pen-samiento”, sobre las que se basan las teorıas matematicas de la logica y la probabilidad. Enesta publicacion se formulo la idea de un “algebra de las operaciones logicas”, que se conocehoy en dıa por algebra de Boole. El algebra de Boole es una forma muy adecuada para ex-presar y analizar las operaciones de los circuitos logicos. Claude Shannon fue el primero enaplicar la obra de Boole al analisis y diseno de circuitos. En 1938, Shannon escribio su tesisdoctoral en el MIT (Massachussets Institute of Technology) titulada “Analisis simbolico delos circuitos de conmutacion y reles.”

Este capıtulo se ocupa de las leyes, reglas y teoremas del algebra booleana y sus apli-caciones a los circuitos digitales. Aprendera a definir un circuito mediante una expresionbooleana y a determinar su funcionamiento. Tambien se tratara la simpplificacion de loscircuitos logicos utilizando el algebra booleana y los mapas de Karnaugh.

Definicion 5.1. Un conjunto B se dice que es un algebra de Boole si esta dotado con tresoperaciones llamadas suma, producto y complemento y con dos elementos neutrales “1” y“0”llamados uno y cero respectivamente que satisface las siguientes propiedades:

1. Ley de idempotencia: x+ x = x

x x = x

2. Ley conmutativa: x+ y = y + x

x y = y x

3. Ley asociativa: x (y z) = (x y) z

x+ (y + z) = (x+ y) + z

79

80 Algebras de Boole

4. Ley distributiva: x (y + z) = x y + x z

x+ (y z) = (x+ y) (x+ z)

5. Ley de Morgan: (x y)′ = x′ + y′

(x+ y)′ = x′y′

6. Ley de complemento: x x′ = 0

7. Ley universal: x+ x′ = 1

8. Ley neutral: x 1 = x

x+ 0 = x

9. Ley de absorcion: x 0 = 0

x+ 1 = 1

Ejemplo 5.1. Sea B el conjunto el de todas las letras proposicionales con los operadoressuma, producto y complemento definidos por los conectivos logicos disyuncion, conjunciony negacion respectivamente, y los elementos neutrales “1” y “0” definidos como tautologıa ycontradiccion respectivamente.

El conjunto B ası definido es un algebra de Boole, ya que las propiedades que cumplecoinciden con las leyes del algebra de proposiciones.

Ejemplo 5.2. Sea P (U) el conjunto partes de un conjunto referencial universal U , es decir,

P (U) := {A / A ⊆ U}

con operaciones + y ∗ definidas por

A+B := A ∪BA ∗B := A ∩B

Supongamos que el complemento de un elemento A de P (U) se define como el complementousual del conjunto A y que los elementos neutrales se definen como

1 := U

0 := ∅

El conjunto P (U) es entonces es un algebra de Boole, ya que las propiedades que cumplecoinciden con las propiedades de los conjuntos.

Ejemplo 5.3. Sea B el conjunto de dos elementos {0, 1}, con operaciones + y ∗ definidasen las siguientes tablas:


+ 1 0

1 1 1

0 1 0

+ 1 0

1 1 0

0 0 0

Supongamos que los complementos se definen por 1′ := 0 y 0′ := 1. B es entonces un algebrade Boole.

5.2. Expresiones Booleanas

Definicion 5.2. Sean x1, x2, · · · , xn un conjunto de variables en un algebra de Boole B.Una expresion Booleana E en estas variables, es una variable o una expresion construida conestas variables que usan las operaciones Booleanas +, ∗ y ′.

Ejemplo 5.4. Son expresiones Booleanas en las variables x y y y z las siguientes:

E = x′y + yz + y′z F = (x+ y′)′ + x′z + yz′

Definicion 5.3. Un literal es una variable o una variable complementada, como x, x′, y yy′.

Definicion 5.4. Un producto fundamental es un literal o un producto de dos o mas literalesen los cuales no hay dos literales con una misma variable.

Ejemplo 5.5. Son productos fundamentales las siguientes expresiones Booleanas:

xy′, xyz′, y, y′z, xy′z

Observacion. Las expresiones Booleanas xyx′z y xyzy no son productos fundamentales,puesto que la primera contiene x y x′ y la segunda contiene a y en dos lugares.

Observacion. Observese que

xyx′z = xx′yz = 0yz = 0

ya que xx′ = 0 por la ley de complemento, y tambien que

xyzy = xyyz = xyz

ya que yy = y por la ley del de idempotencia. Esto muestra que “todo producto Booleanose puede reducir a 0 o a un producto fundamental”.

Definicion 5.5. Se dice que un producto fundamental P1 esta contenido en otro productofundamental P2, si los literales de P1 son tambien literales de P2, y en este caso

P1 + P2 = P1.

Ejemplo 5.6. xz′ esta incluido en xyz′ ya que x y z′ son literales de xyz′. Si P1 = xz′ yP2 = xyz′, entonces por la ley de absorcion

P1 + P2 = xz′ + xyz′ = x′z = P1

Sin embargo, xz′ no esta contenido en x′yz′, ya que x no es un literal de x′yz′.


Definicion 5.6. Se dice que una expresion de Boole E esta en “forma de suma de productos.o

en “forma minterm”si E es un producto fundamental, o es la suma de dos o mas productosfundamentales, ninguno de los cuales esta incluido en otro.

Ejemplo 5.7. Las siguientes expresiones estan en “forma de suma de productos”

E1 = xy′ + xz′ + x′yz y E2 = x′z + xy′z′ + x′yz′

Observacion. Toda expresion Booleana no nula E se puede expresar en “forma de sumade productosutilizando las propiedades de un algebra de Boole.

Ejemplo 5.8. La expresion Booleana E = (x′y + (xz)′)(x + yz)′ se expresa en “forma desuma de productos”de la siguiente manera:

E = (x′y + (xz)′)(x+ yz)′

= (x′y + x′ + z′)(x′(yz)′) Ley de Morgan

= (x′(y + 1) + z′)(x′(y′ + z′)) Leyes de Morgan y Distributiva

= (x′(1) + z′)(x′y′ + x′z′) Leyes Distributiva y de absorcion

= (x′ + z′)(x′y′ + x′z′) Ley Neutral

= x′x′y′ + x′x′z′ + z′x′y′ + z′x′z′ Ley Distributiva

= x′y′ + x′z′ + x′y′z′ + x′z′ Leyes de Idempotencia y Conmutativa

= x′y′ + (x′z′ + x′z′) + x′y′z′ Ley Asociativa

= x′y′ + x′z′ + x′y′z′ Ley de Idempotencia

= x′y′ + x′z′(1 + y′) Ley Distributiva

= x′y′ + x′z′(1) Ley de Absorcion

= x′y′ + x′z′ Ley Neutral

Definicion 5.7. Sea E(x1, x2, · · · , xn) un expresion Booleana en las variables x1, x2, · · · , xn.Una funcion de la forma

f(x1, x2, · · · , xn) = E(x1, x2, · · · , xn)

es una funcion Booleana.

Ejemplo 5.9. La funcion f(x, y, z) definida como

f(x, y, z) = x′y′ + xyz′

es una funcion Booleana. Las entradas y salidas aparecen en la tabla siguiente:

x y z f(x, y, z)

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1


Definicion 5.8. Una tabla logica con una salida es una funcion Booleana que tiene comodominio al conjunto de entradas y como rango al conjunto de salidas.

Ejemplo 5.10. Considerese la tabla logica siguiente:

x y x+ y

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

La funcion Booleana que representa la tabla logica es f(x, y) = x + y. El dominio es elconjunto

{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)}y el rango es el conjunto

Z2 = {0, 1}

En el ejemplo siguiente se muestra la forma de convertir una tabla logica en una funcionBooleana arbitraria f(x1, x2, · · · , xn).

Ejemplo 5.11. Consideremos la tabla logica

x1 x2 x3 f(x1, x2, x3)

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

Consideremos el primer renglon de la tabla y la expresion

x1x2x3

Observese que si x1 = x2 = x3 = 1, como indica el primer renglon de la tabla, entonces elvalor de la expresion x1x2x3 es 1 mientras que para los valores de xi, dados en cualquier otrorenglon de la tabla dan a la expresion x1x2x3 el valor 0.Analogamente, para el quinto renglon de la tabla se puede construir la expresion

x′1x2x3

Esta expresion tiene el valor 1 para los valores de xi dados en el quinto renglon de la tabla,mientras que para los demas renglones de la tabla el valor de la expresion x′1x2x3 es 0. Elprocedimiento es claro.


Consideremos un renglon R de la tabla donde la salida sea 1. Luego construimos la expresionx1x2x3 y complementamos cada variable xi cuyo valor sea 0 en el renglon R, de esta formala expresion construida tiene valor 1 si y solo si las variables xi tiene los valores dados en elrenglon R.

De esta manera, para el renglon 7 obtenemos la expresion

x′1x′2x3

Posteriormente se suman las expresiones construıdas para obtener la expresion Booleana

x1x2x3 + x′1x2x3 + x′1x′2x3

Se afirma que la salida de la tabla logica dada esta representada por la funcion Booleana

f(x1, x2, x3) = x1x2x3 + x′1x2x3 + x′1x′2x3

Definicion 5.9. Una forma normal disyuntiva FND, es una expresion de la forma

α1 + α2 + · · ·+ αn

donde cada αi es un producto fundamental.

Ejemplo 5.12. Son formas normales disyuntivas las siguientes expresiones Booleanas:

a) xyz′ + x′yz + xy′z′

b) xy + xz + yz

c) xy + x′y + xy′

5.3. Circuitos Logicos

Los circuitos logicos se pueden construir mediante dispositivos llamados compuertas logicaslas cuales reciben entradas y producen salidas de bits (numeros 0 y 1), estas compuertas sedefinen de la siguiente manera:

Definicion 5.10.

1. Compuerta AND: La que recibe entradas x y y, y produce salida xy. La compuerta serepresenta en la siguiente figura:

ANDxy

xy

Las entradas y las salidas se representan en la tabla siguiente:

x y xy

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0


2. Compuerta OR: La que recibe entradas x y y, y produce salida x + y. La compuertase representa en la siguiente figura:

ORxy

x+ y


x y x+ y

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

3. Compuerta NOT : La que recibe entrada x y produce la salida x′. La compuerta serepresenta en la siguiente figura:

NOTx x′


x x′

1 0

0 1

Ejemplo 5.13. La siguiente figura muestra un circuito logico:

AND

AND

AND

OR

xy

z

x′

y′

x′y

yz

y′z

x′y + yz + y′z


Las entradas y las salidas del circuito se ilustran en la tabla siguiente:

x y z x′y + yz + y′z

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 0

Definicion 5.11. Dos circuitos logicos, se dicen equivalentes si las mismas entradas producenlas mismas salidas.

Ejemplo 5.14. Las circuitos logicos de las figuras son equivalentes, ya que sus tablas logicasson identicas

AND

Circuito 1

OR

NOT

NOT

NOT

x y (x y)′

x y (x y)′

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

x

y

Circuito 2

x

y

x′

y′

x′ + y′

x y x′ + y′

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

Las tablas logicas para las compuertas OR, AND y NOT son respectivamente identicas alas correspondientes tablas de verdad de las proposiciones p∨q, p∧q y ¬p las cuales aparecenen la seccion 1.11. De esta manera los circuitos logicos, tambien satisfacen las propiedadesde un algebra de Boole y por lo tanto se tiene el siguiente resultado formal:

Teorema 5.12. Los circuitos logicos forman un algebra de Boole

El ejemplo que sigue muestra que un circuito logico puede ser representado por una funcionBooleana.


Ejemplo 5.15. Consideremos el circuito logico de la figura

AND

AND

OR

OR

NOT

NOT

NOT

NOT

x

y

z

x′

y′

z′

x+ y′

x′z

yz′

(x+ y′)′

Las entradas y las salidas del circuito se ilustran en la tabla siguiente:

x y z f(x, y, z)

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 0

La funcion que representa el circuito logico es

f(x, y, z) = (x+ y′)′ + x′z + yz′

5.3.1. Simplificacion de circuitos logicos

Definicion 5.13. Un producto fundamental P se llama implicante primo de una expresionBooleana E si

P + E = E

pero ningun otro producto fundamental contenido en P tiene esta propiedad.

Ejemplo 5.16. P = x′y es un implicante primo de E = xy + x′yz′ + x′yz′

La importancia de los implicantes primos se muestra a continuacion:

Teorema 5.14. Si una expresion Booleana E esta forma minimal de suma de productos,entonces cada sumando de E es un implicante primo de E.


Una manera de encontrar una suma minimal para E es expresar cada implicante primo enforma completa de suma de productos, y quitar uno por uno aquellos implicantes primoscuyos sumandos aparecen entre los sumandos de los implicantes primos que quedan.

Definicion 5.15. Sean P1y P2 productos fundamentales, tales que exactamente una variablexk aparezca complementada en solo uno de P1 y P2 y no complementada en el otro. El“consenso”de P1 y P2 se define como el producto (sin repeticion) de los literales de P1 y losliterales de P2 despues de que xk y x′k sean suprimidas.

Ejemplo 5.17. El consenso de x′z′ y x′y′z es x′y′.

Metodo del consenso

Sea E = P1 + P2 + · · · + Pn una expresion Booleana en donde los Pi son productos fun-damentales. Se llama metodo del consenso a la aplicacion de los dos pasos siguientes paraE:

Paso 1: Suprimir cualquier producto funadamental Pi que contenga cualquier otroproducto fundamental Pj . (Permisible por la ley de absorcion)

Paso 2: Sumar el conseso Q de Pi y Pj cualesquiera, siempre y cuando Q no cotenganinguno de los productos fundamentales.

Ejemplo 5.18. Consideremos la expresion Booleana

E = xyz + x′z′ + xyz′ + x′y′z + x′yz′

y expresemosla como suma de todos sus implicantes primos.

Tenemos que

E = xyz + x′z′ + xyz′ + x′y′z (x′z′ esta contenido en x′yz′)

= xyz + x′z′ + xyz′ + x′y′z + xy (Consenso de xyz y xyz′)

= x′z′ + x′y′z + xy (xy esta contenido en xyz y en xyz′)

= x′z′ + x′y′z + xy + x′y′ (Consenso de x′z′ y x′y′z)

= x′z′ + xy + x′y′ (x′y′ esta contenido en x′y′z)

= x′z′ + xy + x′y′ + yz′ (Consenso de x′z′ y xy)

Por lo tanto

E = x′z′ + xy + x′y′ + yz′

es la suma de todos sus implicantes primos.

Definicion 5.16. Una expresion Booleana E esta en forma minimal de suma de productossi esta en forma de suma de productos y no hay ninguna otra expresion equivalente en formade suma de productos que sea mas simple que E.


Ejemplo 5.19. Consideremos la expresion Booleana

E = x′z′ + xy + x′y′ + yz′

Observese que cada uno de sus sumandos se expresa de la siguiente manera:

x′z′ = x′z′(y + y′) = x′yz′ + x′y′z′

xy = xy(z + z′) = xyz + xyz′

x′y′ = x′y′(z + z′) = x′y′z + x′y′z′

yz′ = yz′(x+ x′) = xyz′ + x′yz′

De la expresion E se puede eliminar x′z′, ya que sus sumandos x′yz′ y x′y′z′ aparecen entrelos otros, por lo tanto la expresion E se puede escribir como

E = xy + x′y′ + yz′

la cual esta en forma de suma minimal ya que ninguno de sus implicantes primos se puedequitar sin cambiar E. Observese que, en vez de x′z′, se pudo haber eliminado a yz′, lo cualmuestra que la suma minimal para una expresion Booleana no es necesariamente unica.

El metodo anterior para encontrar formas de suma minimal para expresiones Booleanases directo, pero ineficiente. Existe un metodo geometrico para encontrar formas de sumasminimales cuando el numero de variables no es muy grande.

5.4. Mapas de Karnaugh

Los mapas de Karnaugh son maberas pictoricas de encontrar implicantes primos y formasminimales de sumas para las las expresiones de Boole que involucran maximo seis variables.Solamente se trataran los casos de dos, tres y cuatro variables.

Los mapas de Karnaugh, se representaran por cuadrados los productos fundamentales en lasmismas variables. Se dice que dos de tales productos fundamentales P1 y P2 son adyacentes siP1 y P2 difieren en exactamente un literal, lo cual tiene que ser una variable complementadaen un producto y no complementada en el otro. Ası que la suma de dos productos adyacentessera un producto fundamental con un literal menos.

Ejemplo 5.20.

xyz′ + xy′z′ = xz′(y + y′) = xz′(1) = xz′

x′yzw + x′yz′w = x′yw(z + z′) = x′yw(1) = x′yw

Observe que x′yzw y xyz′w no son adyacentes y que xyz′ y xyzw no apareceran en el mismomapa de Karnaugh, ya que involucran distintas variables. En el contexto de los mapas deKarnaugh, a veces se intercambiaran los terminos “cuadrados” y “productos fundamentales”.


5.4.1. Mapas de Karnaugh de dos variables

El mapa de Karnaugh que corresponde a las funciones de Boole f(x, y) se observa en lasiguiente figura

y y′

x

x′

Se puede ver el mapa de Karnaugh como un diagrama de Venn en el que la variable xesta representada por los puntos de la mitad superior como en la figura siguiente:

• •

y y′

x

x′

f(x, y) = x

la variable y esta representada por los puntos en la mitad izquierda del mapa como en lafigura siguiente

•

•

y y′

x

x′

f(x, y) = y′

Ası la variable x′ esta representada por los puntos de la mitad inferior del mapa, y la variabley′ esta representada por los puntos de la mitad derecha del mapa como en las figuras dadas

• •

y y′

x

x′

f(x, y) = x′

•

•

y y′

x

x′

f(x, y) = y′


De esta manera, los cuatro posibles productos fundamentales con dos literales,

xy xy′ x′y x′y′

estan representados por los cuatro cuadrados en el mapa, como se muestran en la figura dada

xy xy′

x′y′x′y

y y′

x

x′

Observese que dos de tales cuadrados son adyacentes en el sentido definido anteriormente siy solo si estan geometricamente adyacentes (tienen un lado en comun).

Cualquier funcion de Boole en forma completa de suma de productos f(x, y) esta repre-sentada en un mapa de Karnaugh marcando los cudros apropiados.

Ejemplo 5.21. Las funciones

f1(x, y) = xy + xy′ f2(x, y) = xy + x′y + x′y′ f3(x, y) = xy + x′y′

estan representadas respectivamente en las siguientes figuras:

• •

y y′

x

x′

f1(x, y)

•

••

y y′

x

x′

f2(x, y)

•

•

y y′

x

x′

f3(x, y)

Un implicante primo de f(x, y) sera una pareja de cuadros adyacentes o un cuadradoaislado, es decir, un cuadrado que no esta adyacente a ningun otro cuadrado de f(x, y).

Ejemplo 5.22. f1(x, y) consta de dos cuadrados ayacentes designados por el ovalo de lafigura anterior. Esta pareja de cuadrados adyacentes representa la variable x, asın que x esun implicante primo(el unico) de f1(x, y) y

f1(x, y) = x

es su suma minimal. Observese que f2(x, y) contiene dos parejas de cuadrados adyacentes(designadas por los dos ovalos) que incluyen todos los cuadrados de f2(x, y). La parejavertical representa a y, y la pareja horizontal a x′; ası que y y x′ son implicantes primos def2(x, y) y

f2(x, y) = x′ + y

es su suma minimal. Por otra parte, f3(x, y) esta formada por dos cuadrados aislados querepresentan xyy x′y′; ası que xy y x′y′son implicantes primos de f3(x, y) y

f3(x, y) = xy + x′y′

es su suma minimal.


5.4.2. Mapas de Karnaugh de tres variables

El mapa de Karnaugh que corresponde a las funciones de Boole f(x, y, z) se representaen la siguiente figura:

yz yz′ y′z′ y′z

x

x′

De nuevo se puede considerar el mapa de Karnaugh como un diagrama de Venn, con lavariable x aun representada por los puntos de la mitad superior del mapa, como en lasiguiente figura:

• • • •


x

x′

f(x, y, z) = x

y la variable y aun representada por los puntos de la mitad izquierda del mapa como en lafigura siguiente

•

• •

•


x

x′

f(x, y, z) = y

La nueva variable z esta representada por los puntos de los cuadros izquierdo y derecho delmapa dado en la siguiente figura

• •

••


x

x′

f(x, y, z) = z


Ası, x′ esta representado por los puntos de la mitad inferior del mapa, y′ por los puntos dela mitad derecha del mapa, y z′ por los puntos de los dos cuartos de la mitad del mapa, loscuales se ilustran en la siguiente figura:


x

x′ • • • •

f(x, y, z) = x′


x

x′

• •

• •

f(x, y, z) = y′


x

x′

• •

• •

f(x, y, z) = z′

Observe que hay exactamente ocho productos fundamentales con tres literales,

xyz xyz′ xy′z xy′z′ x′yz x′yz′ x′y′z x′y′z′

y que estos ocho productos fundamentales corresponden a los ocho cuadros en el mapa deKarnaugh segun la siguiente figura:

xyz xyz′ xy′z′ xy′z

x′yz x′yz′ x′y′z′ x′y′z


x

x′

Para que puedan ser geometricamente adyacentes, cada pareja de productos adyacentes dela figura anterior, es necesario identificar los bordes izquierdo y derecho del mapa. En otraspalabras , al recortar, doblar, y pegar por los bordes identificados, se deberıa obtener uncilindro como el de la figura siguiente

yz yz′

y′z′y′z

x

x′

con la propiedad de que productos adyacentes estan representados por “cuadros” con unborde en comun.


Un “rectangulo basico” en el mapa de Karnaugh de tres variables, es un cuadrado, o, doscuadros adyacentes, o, cuatro cuadrados que forman un rectangulo de o uno por cuatro odos por dos. Estos rectangulos basicos corresponden a los productos fundamentales de tres,dos, y un literal, respectivamente. Ademas , el producto fundamental representado por unrectangulo basico es el producto de exactamente aquellos literales que aparecen en cadacuadrado del rectangulo.Cualquier funcion de Boole en forma completa de suma de productos f(x, y, z) esta repre-sentada en el mapa de Karnaugh marcando los cuadros apropiados. Un implicante primo def(x, y, z) sera un rectangulo basico maximal de f(x, y, z), es decir, un rectangulo basico queno esta contenido en ningun otro rectangulo basico mas grande, Una suma minimal paraf(x, y, z) consistira de un recubrimiento minimal de f(x, y, z), es decir, un numero minimalde rectangulos basicos maximales que juntos incluyen todos los cuadrados de f(x, y, z).

Ejemplo 5.23. Considere las tres funciones de Boole en forma de suma de productos en lasvariables x, y y z.

f1(x, y, z) = xyz + xyz′ + x′yz′ + x′y′z

f2(x, y, z) = xyz + xyz′ + xy′z + x′yz + x′y′z

f3(x, y, z) = xyz + xyz′ + x′yz′ + x′y′z′ + x′y′z

f1(x, y, z), f2(x, y, z) y f3(x, y, z) estan representados en la figura siguiente marcando loscuadrados apropiados en los mapas de Karnaugh y mostramos como usar estos mapas paraencontrar las sumas minimales para las funciones.


x

x′

••

• •

f1(x, y, z)


x

x′

•• •

••

f2(x, y, z)


x

x′

•

•• •

•

f3(x, y, z)

a. Observese que f1(x, y, z) tiene tres implicantes primos (rectangulos basicos maximiles),que ha sido marcados con un ovalo (o con un cırculo); estos son xy, xz ′, y x′y′z. Senecesitan todos tres para recubrir f1(x, y, z); ası que la suma minimal para f1(x, y, z)es

f1(x, y, z) = xy + yz′ + x′y′z

b. Observese que f2(x, y, z) tien dos implicantes primos, que han sido encerrados. Unoes los dos cuadros adyacentes que representya a xy, y el otro es el cuadro de dos pordos (que abarca los bordes identificados) que representa a z. Se necesitan ambos pararecubrir a f2(x, y, z), ası que la suma minimal para f2(x, y, z) es

f2(xy + z)

c. Como esta indicado por los ovalos, f3(x, y, z) tiene cuatro implicantes primos, xy, yz′,x′z′ y x′y′. Sin embargo, solo se necesitauno de los dos que han sido encerrados de una


manera punteada, o sea, uno de yz′ o x′z′ para un recubrimiento minimal de f3(x, y, z).Ası, f3(x, y, z) tiene dos sumas minimales:

f3(x, y, z) = xy + yz′ + x′y′ = xy + x′z′ + x′y′

5.4.3. Mapas de Karnaugh de cuatro variables

El mapa de Karnaugh que corresponde a las funciones de Boole f(x, y, z, w) se representaen la forma

x′y

x′y′

xy′

xy

zw zw′ z′w′ z′w

Cada uno de los dieciseis cuadros del mapa corresponde a uno de los dieciseis productosfundamentales

xyzw xyzw′ xyz′w′ xyz′w · · · x′yz′w

tal como lo indican los rotulos de la fila y la columna del cuadrado. Observe que las lıneassuperior e izquierda estan rotuladas de tal manera que los productos adyacentes difieran en,prtecisamente, un literal. De nuevo se tiene que identificar el borde izquierdo con el bordederecho (tal como se hizo con las tres variables), pero tambien se tiene que identificar elborde superior con el borde inferior. ( Estas identificaciones hacen surgir una superficie enforma de roscon que se llama “toro” y se puede consignar el mapa como un autentico toro.)

Un rectangulo basico es un cuadrado, dos cuadrados adyacentes, cuatro cuadrados que for-man un rectangulo de uno por cuatro o dos por dos, u nocho cuadrados que forman unrectangulo de dos por cuatro. Estos rectangulos corresponden a productos fundamentalescon cuatro, tres, dos y un literal, respectivamente. De nuevo, los rectangulos basicos max-imales son los implicantes primos. La tecnica de minimizacion para una funcion de Boolef(x, y, z, w) es la misma que antes.

Ejemplo 5.24. Consideremos las tres funciones de Boole f1, f2 y f3 en las variables x, y, zy w que estan dadas en los mapas de Karnaugh siguientes:


• •

• •• •

•x′y

x′y′

x′y

xyzw zw′ z′w′ z′w

f1

• • • •• ••• •

x′y

x′y′

x′y


f2

•

• •

• •

• • • •x′y

x′y′

xy′


f3

a. El rectangulo basico maximal de dos por dos representa a y′z ya que solamente y′ yz aparecen en todos los cuatro cuadros. La pareja horizontal de cuadros adyacentesrepresenta a xyz′, y los cuadros adyacentes que traslapan los bordes superior e inferiorrepresentan a yz′w′. Como se necesitan todos los tres rectangulos para un recubrimientominimal.

f1 = y′z + xyz′ + yz′w′

es la suma minimal para f1.

b. Solamente y′ aparecen en todos los ocho cuadrados del rectangulo basico maximal dedos por cuatro y la pareja designada de cuadrados adyacentes representa a xzw ′. Comose necesitan ambos rectangulos para un recubrimiento minimal

f2 = y′ + xzw′

es la suma minimal para f2.

c. Los cuatro cuadrados de las esquinas forman un rectangulo basico maximal dos por dosque representa yw, ya que solamente y y w aparecen en todos los cuatro cuadrados. Elrectangulo basico maximal cutro por uno representa x′y′, y los dos cuadrado adyacentesrepresentan y′zw′. Como se necesitan todos los tres rectangulos para un recubrimentominimal,

f3 = yw + x′y′ + y′zw′

es la suma minimal de f3.

Ejemplo 5.25. Consideremos la funcion de Boole

f(x, y, z) = xy′ + xyz + x′y′z′ + x′yzw′

Para representar a f en un mapa de Karnaugh, simplemente se marca todos los cuadros querepresentan cada producto fundamental, es decir, se marcan todos los cuatro cuadrados querepresentan a xy′, los dos cuadrados que representan a xyz, los dos cuadrados que representana x′y′z′, y el cuadrado que representa a x′yzw′, como se muestra en la siguiente figura


•

•• •

• ••• •

x′y

x′y′

xy′


f(x, y, z)

Un recubrimiento minimal del mapa consiste en los tres rectangulos basicos maximales des-ignados. Ası que

f = xz + y′z′ + yzw′

es una suma minimal para f .

5.5. Simplificacion de Circuitos Logicos

Muchos circuitos logicos se pueden simplificar con ayuda de los mapas de Karnaugh, demanera que a las mismas entradas del circuito original, el circuito resultante que es massimplificado produce las mismas salidas del circuito original.

Ejemplo 5.26. Consideremos la funcion de Boole

f(x, y, z) = xyz + xyz′ + x′yz′ + x′y′z′ + xy′z′

La representacion de la funcion en un mapa de Karnaugh es

•• •

• •


x

x′

La forma simplificada de la funcion es

f(x, y, z) = z′ + xy

y el circuito simplificado asociado es

AND

NOT

OR

x

y

z

xy

z′

z′ + xy


Ejemplo 5.27. Consideremos la salida logica

x y z f(x, y, z)

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

La funcion de Boole asociada a la salida logica es

f(x, y, z) = xyz + x′yz + xyz′ + x′y′z′ + x′y′z

La representacion de la funcion en un mapa de Karnaugh es

•• •

• • •


x

x′

La forma simplificada de la funcion es

f(x, y, z) = xy + x′y′ + z

y el circuito simplificado asociado es

NOT

NOT

AND

AND

OR

x

yxy

x′

y′

z

x′y′


Algunas funciones de Boole representadas en mapas de Karnaugh son las siguientes:

• •

•


x

x′

f(x, y, z) = xz′ + x′y′z

• •

••


x

x′

f(x, y, z) = z

• •

•


x

x′

f(x, y, z) = y


x

x′

• •

• •

•

f(x, y, z) = xy + z′

• • • •


x

x′

f(x, y, z) = x

• •

• ••


x

x′

f(x, y, z) = xy + x′z′ + x′y′


• • • •

• • • •

x′y

x′y′

xy′

xy


f(x, y, z, w) = y′

• •

• •

• • • •

x′y

x′y′

xy′

xy


f(x, y, z, w) = y′

• • • •

• •

x′y

x′y′

xy′

xy


f(x, y, z, w) = xy + xz′

•

•

• •

•

•

• •x′y

x′y′

xy′

xy

zw zw′ z′w′ zw′

f(x, y, z, w) = z′w′ + xy′w′

+ xzw + xyz

•

•

•

•

••

•

x′y

x′y′

xy′

xy


f(x, y, z, w) = xzw + xy′z + y′zw′

+ x′y′w′ + x′z′w′ + x′yw′

•

•

•

•

••

•

x′y

x′y′

xy′

xy


f(x, y, z, w) = xyzw + x′yz+ y′w′


TALLER 9.I. Para cada una de las siguientes funciones Booleanas determine:

1. La forma disyuntiva normal.

2. La representacion de la funcion sobre un mapa de Karnaugh.

3. La forma simplificada de la funcion.

4. El circuito resultante.

a)

x y f(x, y)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

b)

x y f(x, y)

1 1 0

1 0 0

0 1 1

0 0 1

c)

x y f(x, y)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

d)

x y z f(x, y, z)

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

e)

x y z f(x, y, z)

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

f)

x y z f(x, y, z)

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

g)

x y z f(x, y, z)

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

h)

x y z f(x, y, z)

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 0

i)

x y z f(x, y, z)

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1


j)

x y z f(x, y, z)

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

k)

x y z f(x, y, z)

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 0

l)

x y z f(x, y, z)

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 1

m)

x 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

z 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

t 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f(x, y, z, t) 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1

n)

x 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

z 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

t 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f(x, y, z, t) 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1

o)

x 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

z 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

t 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f(x, y, z, t) 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1

p)

x 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

z 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

t 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f(x, y, z, t) 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1


II. Sea S = {1, 2, 3, 6}. Definimos,

x+ y = mcm(x, y) x · y = mcd(x, y), x =6

x∀x, y ∈ S,

donde mcm(x, y) y mcd(x, y) denotan el mınimo comun multiplo y el maximo comundivisor entre x y y respectivamente. Verifique que (S,+, ·, x, 1, 6) es un algebra deBoole.

III. Sea S = {1, 2, 4, 8}. Defina las operaciones + y · como en el ejercicio anterior y definax = 8/x. Explique porque (S,+, ·, x, 1, 8) no es un algebra de Boole.

IV. Determine la forma disyuntiva normal de cada una de las siguientes funciones de Boole.

a. f(x, y) = x+ x y

b. f(x, y) = x y + xz + yz

c. f(x, y) = x+ y(x+ z)

d. f(x, y, z) = y (x+ yz)

e. f(x, y, z) = (x+ y) + x y

f. f(x, y, z) = (x+ y) + x y

g. f(x, y, z) = (x+ y) (x y)

h. f(x, y, z) = x (x y + x y + y z)

i. f(x, y, z) = (x y + xz) (x+ yz)

j. f(x, y, z) = (y z + x z) (x y + z)

k. f(x, y, z) = x+ (y + (x y + x z))

l. f(x, y, z) = (x+ x y + x y z)(xy + xz)(y + xy z)

m. f(x, y, z) = (x y + xz) (xyz + y z) (x y z + x y + x yz + xyz)

n. f(x, y, z, w) = wy + (w y + z)(x+ w z)


TALLER 10.

Para los circuitos logicos 1, 2 3 y 4 dados, determine en una tabla los valores de sal-ida logica, la representacion de la funcion f asociada en un mapa de Karnaugh, la formadisyuntiva normal y el circuito logico simplificado.

Circuito 1

AND

AND

AND OR

x

y

z

xy

x′y

x′y′z

f = xy + x′y + x′y′z

••

••

Circuito 2

AND

AND

AND

OR

xyz

xyz′

x′yz′

y′z′

x

f = x+ xyz′ + x′yz′ + y′z′

• •••

•

•

Logica Matematica 105Circuito 3

AND

AND

AND

OR

xyz

xy′z

xy′z′

x′y′

z′

f = xy′z + xy′z′ + x′y′ + z′

••

•

•

••

Circuito 4

AND

AND

AND OR

x

y

z

xy

xy

xyz

f = xy + xy + xyz

••

••


5.6. Aplicaciones de Algebra de Boole

El algebra de Boole tiene muchas aplicaciones practicas en las ciencias fısicas, especial-mente en la informatica y en la electronica. Veamos a continuacion un ejemplo del uso delalgebra de Boole en la teorıa de circuitos electronicos.

Ejemplo 5.28. Un sistema electoral esta formado por cuatro miembros de un tribunal (x, y,z y w) donde x es el presidente. Los cuatro miembros votaran SI o NO y el sistema tomara ladecision (SI o NO) por mayorıa simple. En caso de empate decidira el voto del presidente.

La tabla de verdad de una funcion logica f(x, y, z, w) que representa la decision tomada porel sistema es la siguiente:

x 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

z 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

w 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f(x, y, z, w) 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

La representacion de la funcion en un mapa de Karnaugh es la siguiente:

xy

xy′

x′y′

x′y


• • • •

• • •

•

Al simplificar la tabla de verdad por el metodo de Karnaugh de acuerdo a la figura dada

xy

xy′

x′y′

x′y


• • • •

• • •

•


se obtiene la funcion en forma de suma de productos

f(x, y, z, w) = xz + xy + xw + yzw

El circuito asociado es el siguiente:

AND

AND

AND

AND

OR

yzw

x

xy

xz

yzw

xw

f = xz + xy + xw + yzw

•

•

•

•

•


TALLER 11.

1. El sistema de alarma de un edificio esta compuesto por dos interruptores i1, i2 y dossensores s1 y s2. Los interruptores indican el modo de funcionamiento, si i1 esta activo,el modo sera “diurno”, si i2 esta activo, el modo sera “nocturno”.

(Nota: Uno de ellos siempre estara activo y no se permite que esten activos los dos a lavez). La alarma se activara segun las condiciones: Modo diurno: Si todos los sensores

estan encendidos Modo nocturno: Si todos los sensores estan encendidos

a. Disenar la tabla de verdad

b. Simplificar por Karnaugh.

2. Sea

f(x1, x2, x3, x4) =

{

1 si x2 + x4 = 0 ∨ x1 + x2 + x4 = 0

0 si x1x2x4 = 1

a. Construir la tabla de verdad de f .

b. Simplificar f por producto de sumas.

c. Implementar f con puertas NAND.

d. Implementar f con puertas NOR.

3. Sea

f(x, y, z) =

{

x⊕ y si x = z

z si x = y = z

a. Obtener la expresion canonica en forma de producto de sumas de f(x, y, z).

b. Simplificar por el metodo de Karnaugh en producto de sumas.

c. Implementar la expresion anterior mediante puertas NAND.

4. Se desea automatizar el encendido/apagado de un frigorıfico en un matadero, paralograrlo se monitorizaran los factores que determinan la temperatura como el viento,humedad y grados centıgrados, de forma que cuandohace frıo el frigprıfico no se en-ciende. El viento y humedad seran monitorizados por la variables a y b que se activanen caso de que exista dicho factor en la atmosfera. Las variables c y d codificaran latemperaturaen un numero binario siendo c el bit mas significativo. Cuando la temper-atura no es mayor de un grado devolveran un cero; si es mayor o igual a uno y menorde once el numero formado por dichas variables sera de 1, si la temperatura es mayoro igual que once grados y menor de 21 el valor que tomaran dchas variables sera de 2,finalmente a partir de 21 grados dichas variables tendran un 3.

La salida del interruptor de encendido/apagado del frigorıfico f(a, b, c) seguira el sigu-iente comportamiento:


siempre que haya temperaturas menores a un grado el frigorıfico debera estar apagado;cuando la temperatura es mayor o igual que 1 y menor de 11 grados y hay humedado viento el frigorıfico debera estar apagado y ante la carencia de ambos factores en-cendido, si la temperatura esta entre 11 y 20 grados debera estar encendido a no serque haya humedad y viento, en cuyo caso estara apagado. Finalmente a partir de 21grados el frigorıfico debera estar encendido. Indicar cual serıa la FND que representaf(a, b, c).

5. Se desea disenar un circuito que permita controlar el llenado de un tanque de gas.Para ello el tanque consta de 4 sensores colocados de la forma como lo indica la figuraadjunta. El tanque se empezara a llenar de forma constante por la valvula de entradaque se encuentra en la parte superior, es importante considerar que el gas es menospesado que el aire. Cuando el nivel de gas sobrepasa un sensor este pasa de cero (suestado inicial) a 1. La salida del circuito f(a, b, c, d) se encendera con un 1, al iniciocuando el gas no haya sobrepasado ningun sensor y despues de que el gas no hayasobrepasado el nivel del sensor a.

6. En un concurso de TV existen 4 concursantes a quienes se les hacen las mismas pregun-tas, el primero que obtiene la respuesta presiona el boton que tiene al frente. Existen4 botones (a, b, c, d) uno para cada concursante. Cuando un concursante presiona unboton, este genera una entrada co valor de 1. Se desea disenar un circuito de empatef(a, b, c, d) que reciba como entrada los 4 botones de los concursantes y que detectecuando 2 personas han presionado un boton a la vez. La salida del circuito se acti-vara (con un 1) cuando 2 botones sean presionados a la vez. Si se presionan 3 o masbotones la salida del circuito queda indefinida.

7. Un sistema de transmision de numeros binarios utiliza cinco bits (a, b, c, d, e) paracodificar cada numero entre 0 y 7 y utiliza las siguientes reglas:

Si a = 1 entonces el numero se codifica en las variables (b, d, e) y se deja la variablec = 0.

Si a = 0 entonces el numero se codifica en las variables (c, d, e) y se deja la variableb = 1.

(Observese que hay mas de una forma de transmitir el mismo numero)

Se desea construir un circuito que detecte si el numero transmitido es menor que 4,¿cual serıa la expresion canonica en suma de productos?

8. En la construccion de un coche de formula 1 se ha instalado un sistema que permitedetectar el estado de los neumaticos. El sistema incluye 4 sensores (A,B,C,D) encada uno de los neumaticos segun la figura. Los sensores se activan si detectan algunproblema en un neumatico. El conductor dispone de dos dispositivos luminosos L1 yL2 que se activan segun las siguientes condiciones:

L1 se activa si las 2 ruedas delanteras tienen problemas o si las dos ruedas traserastienen problemas o si las 2 ruedas delantera y trasera del mismo lado tienenproblemas. En los demas cases no se activa.


L2 se activa si una rueda delantera de un lado tiene problemas y la trasera dellado opuesto tiene problemas. Esta apagado cuando ninguna de las ruedas tieneproblemas. En los demas casos, la activacion depende de causas externas y noesta especificada. Se pide disenar el circuito correspondiente a L1 y L2 en formade producto de sumas.

9. Una pequena avioneta de aficionados cuenta con 4 sensores (a, b, c, d) para determinarel nivel de altitud con respecto al suelo. Cada uno de los sensores se encendera (con un1) y se mantendra encendido cuando la avioneta haya deecendido por debajo de unaaltura determinada (observese la figura adjunta). Se desea implementar un circuito quehabilite la senal de aterrizaje cuando el avion se encuentre entre los niveles de altura by a, es decir, cuando el avion haya descendido del nivel b pero antes que pase al nivela, ya que en este caso se tendrıa muy poca altura para iniciar el aterrizaje y la senalde aterrizaje no debe ser habilitada.

10. Una empresa quiere vender un producto a uno de entre dos posibles clientes. No quiereque los dos queden descontentos ni tampoco que les guste a los dos, porque entoncesaquel al que no le vende el producto queda descontento. Las condiciones que ponenestos clientes dependen del precio neto, la disponibilidad en almacen, el beneficio, elcolor y el tamano. En funcion de estos datos:

El cliente 1 acepta el producto si el precio neto es bueno y se dan las ultimas tres condi-ciones. El cliente 2 no tiene preferencias respecto a color y tamano. A cambio de esoquiere que se den al menos dos de las otras tres condiciones. Escribe la funcion que nosdice que tipo de condiciones debe cumplir el producto para ser aceptado exactamentepor uno solo de los clientes.

11. Una familia esta compuesta por padre, madre, un hijo y dos hijas. Para banarse enla playa, adoptan las siguientes normas: la madre se bana cuando lo hace el hijo oalguna de las hijas y no lo esta haciendo el padre; la madre tambien se banara cuandohaciendolo el padre, estan banandose las dos hijas. Deducir la funcion booleana queresponde a la situacion descrita. Simplificarla por Karnaugh. ¿Cuando se banara lamadre?

12. En Ginebra se reunen URSS, F, USA y GB para hablar de desarme. Convienen quesolo se llevaran a la practica las resoluciones votadas afirmativamente por al menostres de los paıses participantes. A priori, se sabe que GB dira lo mimo que USA. Hallarla expresion mas simplificada posible que nos indique la aprobacion de una resolucion.

Capıtulo 6

Inferencia Logica

Conocidas las formas de las proposiciones y con los instrumentos de simbolizacion, esposible hacer un estudio de una parte importante de la logica formal: inferencia y deduccion.La inferencia logica puede interpretarse como la figura logica que permite obtener conclu-siones a partir de premisas o hipotesis dadas. Estas conclusiones se obtienen mediante el usode reglas de inferencia a partir del razonamiento deductivo; el paso logico de las premisasa la conclusion se le llama una deduccion. La conclusion que se obtiene se dice que es unaconsecuencia logica de las premisas si cada paso que se da para llegar a una conclusionesta permitido por una regla. La idea de inferencia se puede expresar de la siguiente manera:

“De premisas verdaderas se obtienen solo conclusiones que son verdaderas”.

Es decir, si las premisas son verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellaslogicamente, han de ser verdaderas. Supongamos que se tienen las premisas

P1 : “Si llueve, entonces hace frio”

P2 : “Llueve”

La primera premisa expresa que si efectivamente “llueve”, entonces con seguridad “hacefrio”. La segunda premisa afirma que efectivamente “llueve”.

¿Que conclusion se puede sacar de las dos premisas?

La conclusion es que efectivamente “hace frio”. Esta inferencia logica se simboliza de lasiguiente manera:

p→ q

p

q

este esquema simbolico representa un argumento que puede interpretarse de la siguientemanera:

111

112 Inferencia Logica

Definicion 6.1. Un argumento es un conjunto de proposiciones que puede ser simbolizadocon formulas bien formadas α1, α2, · · · , αn, β en el que la conclusion β se obtiene a partir delas premisas α1, α2, · · · , αn. Por lo general, un argumento se simboliza ası:

Premisas

α1

α2

···αn

Conclusion{

β

Ejemplo 6.1. Un argumento puede ser el siguiente:

“Si los pajaros vuelan, entonces los peces viven en el agua. Los peces viven en el agua. Porlo tanto, los pajaros vuelan”.

El argumento se escribe ası:

“Si los pajaros vuelan, entonces los peces viven en el agua”“Los peces viven en el agua”

“Los pajaros vuelan”

Para simbolizar el argumento se definen las proposiciones simples

p: “ Los pajaros vuelan”

q: “ Los peces viven en el agua”

y la simbolizacion del argumento queda ası:

p→ q

p

q

Ejemplo 6.2. Otro argumento es el siguiente:

“Si estudio leyes, entonces ganare mucho dinero. Si estudio arqueologıa, entoncesviajare mucho. Si gano mucho dinero o viajo mucho, no me decepciono. Luego, si me

decepciono, no estudio leyes ni estudio arqueologıa”.


Para simbolizar el argumento se definen las proposiciones simples

p: “Estudio leyes” s: “Viajare mucho”

q: “Ganare mucho dinero” t: “Me decepciono”

r: “Estudio arqueologıa”

y la simbolizacion del argumento queda de la siguiente manera:

p→ q

r → s

(q ∨ s)→ ¬(t)

t→ (¬(p) ∧ ¬(r))

El argumento se escribe ası:

“Si estudio leyes, entonces ganare mucho dinero”“Si estudio arqueologıa, entonces viajare mucho”

“Si gano mucho dinero o viajo mucho, no me decepciono”

“Si me decepciono, no estudio leyes ni estudio arqueologıa”.

6.1. Verdad y Validez

Los argumentos no se caracterizan por cuanto que sean verdaderos o falsos, mas bien secaracterizan por ser validos (correctos) o invalidos (incorrectos). Hay una conexion entre lavalidez o invalidez de un argumento y la verdad o falsedad de sus premisas y conclusion,pero esta conexion no es de ningun modo una conexion simple.

Algunos argumentos validos solamente contienen proposiciones verdaderas o falsas aunquela validez de un argumento no garantiza la verdad de su conclusion, como lo muestra lossiguientes ejemplos:

Ejemplo 6.3.

“Si hace sol, entonces hace calor”“Hace sol”

“Hace calor”

El argumento es valido porque si las premisas son verdaderas, necesariamente la conclusiondebe ser verdadera.

Ejemplo 6.4.

“Todas las plantas son peces”“Todos los peces son mamıferos”

“Todas las plantas son mamıferos”


Este argumentos es valido porque si sus premisas fueran verdaderas su conclusion tendrıaque ser verdadera tambien, aunque de hecho son falsas.

Ejemplo 6.5.

“Si llueve, entonces hace frio”“Hace frio”

“Llueve”

Es invalido porque eventualmente “Puede no llover y hacer frio”

Ejemplo 6.6. “Si consigo trabajo, entonces me caso contigo”“No consigo trabajo”

“No me caso contigo”Es invalido porque eventualmente “Puedo casarme contigo sin conseguir trabajo”.

Observese que un argumento invalido se caracteriza por tener premisas eventualmente ver-daderas y conclusion eventualmente falsa, mientras que un argumento valido si las premisasson verdaderas, necesariamente la conclusion tambien es verdadera. Por lo tanto el conceptode validez de un argumento se puede definir de la siguiente manera:

Definicion 6.2. Se dice que un argumento

Premisas

α1

α2

···αn

Conclusion{

β

es un argumento valido si la formula

(α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn)→ β

es una implicacion tautologica, y se simboliza con la expresion

α1, α2, · · · , αn |= β.

Ejemplo 6.7. El argumento (p→ q), p |= q es un argumento valido ya que la formula

α : ((p→ q) ∧ p)→ q

es una implicacion tautologica como se puede ver en la siguiente tabla

v(p) v(q) v(p→ q) v((p→ q) ∨ p) v(α)

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 0 1

0 0 1 0 1


Ejemplo 6.8. Consideremos el argumento

“Si viajo en avion, entonces no viajo en bus. Viajo en bus. Luego no viajo en avion”.

Observese que las proposiciones simples del argumento son:

p : Viajo en avion q : Viajo en bus

La simbolizacion del argumento es

p→ ¬(q)q

¬(p)

y es valido porque la formula

α : ( (p→ ¬(q)) ∧ q ) → ¬(p)

es una implicacion tautologica como lo muestra la siguiente tabla:

v(p) v(q) v(¬p) v(¬q) v(p→ ¬q) v((p→ ¬q) ∧ q) v(α)

1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1

0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1

6.2. Inferencias Condicionales

Otras inferencias son llamadas silogismos condicionales por ser razonamientos conforma-dos por dos premisas, siendo una de ellas un juicio condicional o premisa de la forma: Si A,entonces C, y una segunda premisa que afirma (ponens) o niega (tollens), el antecedente o elconsecuente del juicio condicional. Esto permite el surgimiento de ocho modos validos parael silogismo hipotetico divididos en dos figuras como puede verse a continuacion.


6.2.1. Modus Ponendo Ponens

Al afirmar el antecedente se obtiene la afirmacion del consecuente. Veamos las diferentescuatro versiones en la tabla siguiente:

Version Modo Valido Ejemplo

Si es A, entonces es B Si es un ave, entonces tiene plumasPrimera Es A Es un ave

Luego es B Luego, tiene plumas

Si es A, entonces no es B Si estudias, no reprobarasSegunda Es A Estudias

Luego no es B Luego, no reprobaras

Si no es A, entonces es B Si no estudias, reprobarasTercera No es A No estudias

Luego es B Luego reprobaras

Si no es A, entonces no es B Si no madrugas, no llegas a tiempoCuarta No es A No madrugas

Luego no es B Luego, no llegas a tiempo

En cualquiera de las formas del silogismo hipotetico, al afirmar el antecedente se obtienecomo conclusion el consecuente del condicional.

6.2.2. Modus Tollendo Tollens

Al negar el consecuente se obtiene la negacion del antecedente. Veamos las diferentescuatro versiones en la tabla siguiente:

Version Modo Valido Ejemplo

Si es A, entonces es B Si congelan los salarios, habra huelgaPrimera No es A Aumentan los salarios

Luego es B Luego no habra huelga

Si es A, entonces no es B Si es de plastico, no se rompeSegunda Es B Se rompe

Luego no es A Luego no es de plastico

Si no es A, entonces es B Si no es de dıa, es de nocheTercera No es B No es de noche

Luego es A Luego es de dıa

Si no es A, entonces no es B Si no hay trabajo, no hay progresoCuarta Es B Hay progreso

Luego es A Luego hay trabajo

En las formas de razonamientos senaladas, se llega a la conclusion o nuevo conocimientopartiendo de varias premisas, es el caso del silogismo o de las formas de razonamiento porPonendo Ponens o por Tollendo Tollens, en cualquiera de los casos, siempre que el razon-amiento sea usado correctamente, la conclusion expresa un conocimiento nuevo y validoobtenido de las premisas iniciales.


6.2.3. Reglas de Inferencia Logica

Las reglas de inferencia logica son argumentos validos, estas son:

1. Modus Ponendo Ponens (M.P.P.)

α→ β

α

β

Demostracion. Consideremos la f.b.f.

γ : ( (α→ β) ∧ α )→ β

la cual es una implicacion tautologica como se puede ver en la siguiente tabla:

v(α) v(β) v(α→ β) v((α→ β) ∧ α) v(γ)

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 0 1

0 0 1 0 1

Ejemplo 6.9. Verificar la validez del argumento dado

“ Si trabajo, entonces no estudio. Si me animo, entonces trabajo.Me animo. Luego no estudio”

Consideremos las proposiciones

p : Trabajo q : Estudio r : Me animo

1. p→ ¬(r) Premisa

2. r → p Premisa

3. r Premisa

4. p M.P.P. (2,3)

5. ¬(r) M.P.P. (1,4)

2. Modus Tollendo Tollens (M.T.T.)

α→ β

¬(β)

¬(α)


Demostracion. Se puede verificar la validez del argumento de la siguiente manera:

1. α→ β Premisa

2. ¬(β) Premisa

3. ¬(β)→ ¬(α) Ley de contrarecıproca en 1

4. ¬(α) M.P.P. (2,3)


“ No voy al medico. Si me enfermo, entonces voy al medico. Si no me cuido, entoncesme enfermo. Por lo tanto me cuido.”


p : Voy al medico q : Me enfermo r : Me cuido

1. ¬(p) Premisa

2. q → p Premisa

3. ¬(r)→ q Premisa

4. ¬(q) M.T.T. (1,2)

5. ¬(¬(r)) M.T.T. (3,4)

6. r Doble negacion en 5

3. Modus Tollendo Ponens (M.T.P.)

α ∨ β¬(β)

α

Demostracion.

1. α ∨ β Premisa

2. ¬(β) Premisa

3. ¬(α)→ β Ley del condicional en 1

4. ¬(¬(α)) M.T.T. (2,3)

5. α Doble Negacion en 4



“ No hay votacion o Juan es el ganador. Si no hay votacion, entonces Pedro es elganador. Pedro no es el ganador. Por lo tanto, Juan es el ganador.”


p : Hay votacion q : Juan es el ganador r : Pedro es el ganador

1. ¬(p) ∨ q Premisa

2. ¬(p)→ r Premisa

3. ¬(r) Premisa

4. p M.T.T. (2,3)

5. q M.T.P. (1,4)

4. Adicion de la disyuncion o de la “ o ”

α

α ∨ β

Demostracion. La tabla dada muestra que f.b.f.

α→ (α ∨ β)

es una tautologıa

v(α) v(β) v(α ∨ β) v(α→ (α ∨ β))1 1 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 1

5. Adicion de la conjuncion o de la “y”

α

β

α ∧ β



γ : (α ∧ β)→ (α ∧ β)

es una tautologıa

v(α) v(β) v(α ∧ β) v(γ)

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

6. Regla de simplificacion (R.S.)

α ∧ β

α


γ : (α ∧ β)→ α

es una tautologıa

v(α) v(β) v(α ∧ β) v(γ)

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

Ejemplo 6.12. Verificar la validez del argumento dado.

“Voy al cine y no como helado. Si voy de compras, entonces me como un helado. Voyde compras o voy al parque. Si voy al parque o voy al cine, entonces me divierto. En

conclusion, me divierto.”

Las proposiciones simples en el argumento dado son las siguientes:

p : Voy al cine q : Como helado

r : Voy de compras s : Voy al parque

t : Me divierto

El argumento se simboliza de la siguiente forma


p ∧ ¬qr → q

r ∨ s(s ∨ p)→ t

t

La validez del argumento se verifica en la siguiente deduccion:

1. p ∧ ¬(q) Premisa

2. r → q Premisa

3. r ∨ s Premisa

4. (s ∨ p)→ t Premisa

5. p R.S. (1)

6. ¬(q) R.S. (1)

7. ¬(r) M.T.T. (2,6)

8. s M.T.P. (3,7)

9. s ∨ p Adicion de la “ o ” (8)

10. t M.P.P.(4,9)

7. Premisa Condicional (P.C.) Los argumentos dados son equivalentes, es decir, la validezde uno de ellos implica la validez del otro.

Argumento 1: Argumento 2:

α1

α1 α2

α2 ·· ·· ·· αn

αn γ

γ → β β

Demostracion. Supongamos que el “Argumento 1” es valido y veamos que el“Argumento 2” es valido. Para ello veamos la siguiente deduccion:


1. α1 Premisa

2. α2 Premisa

· ·· ·· ·

n. αn Premisa

n+ 1. γ Premisa Adicional

n+ 2. γ → β Deduccion del Argumento 1

n+ 3. β M.P.P. ( n+1, n+2 )

ası el “Argumento 2” es valido.

Supongamos ahora que el “Argumento 2” es valido y veamos que el “Argumento 1” esvalido. Como el “Argumento 2” es valido la f.b.f.

(α1 ∧ α2 · · · ∧ αn ∧ γ)→ β

es equivalente a una tautologıa, la cual es equivalente a las siguientes:

1. ¬(α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn ∧ γ) ∨ β Por la ley del condicional

2. ( ¬α1 ∨ ¬α2 ∨ · · · ∨ ¬αn ∨ ¬γ ) ∨ β Por la ley de Morgan en 1

3. ( ¬α1 ∨ ¬α2 ∨ · · · ∨ ¬αn ) ∨ ( ¬γ ∨ β ) Por la ley Asociativa en 2

4. ¬( α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn ) ∨ ( ¬γ ∨ β ) Por la ley de Morgan en 3

5. ¬( α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn ) ∨ ( γ → β ) Por la ley del condicional en 4

6. ( α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn )→ ( γ → β ) Por la ley del condicional en 5

lo que implica que la f.b.f.

( α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn )→ ( γ → β )

es una tautologıa, de esta manera el “Argumento 1” es valido.

Ejemplo 6.13. Verificar la validez del argumento dado.

“Si estudio logica matematica, entonces aprendo inferencia logica. Si estudio logicamatematica, entonces domino reglas de inferencia si aprendo inferencia logica. Si apren-do inferencia logica, puedo verificar la validez de argumentos siempre que domine reglasde inferencia. Por lo tanto, si estudio logica matematica, puedo verificar la validez deargumentos.”


Las proposiciones simples en el argumento dado son las siguientes:

p : Estudio logica matematica q : Aprendo inferencia logica

r : Domino reglas de inferencia s : Puedo verificar la validez de argumentos

El argumento se simboliza de la siguiente forma:

p→ q

p→ (q → r)

q → (r → s)

p→ s


1. p→ q Premisa

2. p→ (q → r) Premisa

3. q → (r → s) Premisa

4. p Premisa adicional

5. q M.P.P. (1,4)

6. q → r M.P.P. (2,4)

7. r M.P.P. (5,6)

8. r → s M.P.P. (3,5)

9. s M.P.P. (7,8)

10. p→ s P.C. (4,9)

8. Regla de Silogismo Hipotetico (S.H.)

α→ β

β → γ

α→ γ

Demostracion. Veamos la siguiente deduccion:

1. α→ β Premisa

2. β → γ Premisa

3. α Premisa Adicional

4. β M.P.P. (1,3)

5. γ M.P.P. (2,4)

6. α→ γ P.C. (3,5)


9. Regla de Silogismo Disyuntivo (S.D.)

α→ β

δ → γ

α ∨ δ

β ∨ γ

Demostracion. Se verifica en la deduccion siguiente:

1. α→ β Premisa

2. δ → γ Premisa

3. α ∨ δ Premisa

4. ¬(α)→ δ Ley del condicional en 3

5. ¬(α)→ γ S.H. (2,4)

6. ¬(γ)→ α Ley de contrarecıproca en 5

7. ¬(γ)→ β S.H. (1,6)

8. γ ∨ β Ley del condicional en 7

Ejemplo 6.14. Verificar la validez del argumento dado:

“Si el rey no se enroca y el peon avanza, entonces o el alfil queda bloqueado o la torreinmovilizada. Si el rey no se enroca, entonces o el alfil no queda bloqueado o el juegoes tablas. O el rey se enroca, o, si la torre es inmovilizada, se pierde el cambio. El reyno se enroca y el peon avanza. Por lo tanto, o el juego es tablas o se pierde el cambio.”

Consideremos las proposiciones simples

p : El rey se enroca s : La torre queda inmovilizada

q : El peon avanza t : El juego es tablas

r : El alfıl queda bloqueado u : Se pierde el cambio

El argumento simbolizado queda ası:

(¬(p) ∧ q)→ (r ∨ s)¬(p)→ (¬(r) ∨ t)p ∨ (s→ u)

¬(p) ∧ q

t ∨ u



1. (¬(p) ∧ q)→ (r ∨ s) Premisa

2. ¬(p)→ (¬(r) ∨ t) Premisa

3. p ∨ (s→ u) Premisa

4. ¬(p) ∧ q Premisa

5. r ∨ s M.P.P. (1,4)

6. ¬(p) R.S.(5)

7. ¬(r) ∨ t M.P.P. (2,6)

8. s→ u M.T.P. (3,6)

9. r → t Ley del condicional en 7

10. t ∨ u S.D. (5,8,9)

Ejemplo 6.15. Considere las premisas dadas

“ Si no como y duermo, entonces me debilito. Si como o me debilito, entonces me da sueno.Si es de noche, entonces duermo. No me da sueno”

Con base a estas premisas, se hace la pregunta: ¿Es de noche?

Las proposiciones simples en las premisas dadas son:

p: Como s: Me da sueno

q: Duermo t: Es de noche

r: Me debilito

Para contestar la pregunta a partir de las premisas hacemos la siguiente deduccion:

1. (¬(p) ∧ q)→ r Premisa

2. (p ∨ r)→ s Premisa

3. t→ q Premisa

4. ¬(s) Premisa

5. ¬(p ∨ r) M.T.T. (4,2)

6. ¬(p) ∧ ¬(r) Morgan en 5

7. ¬(r) R.S. en 6

8. ¬(¬(p) ∧ q) M.T.T. (1,7)

9. p ∨ ¬(q) Morgan en 8

10. ¬(p) R.S. en 6

11. ¬(q) M.T.P. (9,10)

12. ¬(t) M.T.T. (3,11)


De la ultima deduccion se concluye que “No es de noche”.

REGLAS DE INFERENCIA LOGICA

Modus Ponendo Ponens Modus Tollendo Tollens Modus Tollendo Ponens

α→ β α→ β α ∨ βα ¬(β) ¬(α)

β ¬(α) β

Adicion de la “y” Adicion de la “o” Regla de Simplificacion

α α

β α β

α ∧ β α ∨ β α

Premisa Condicional

α1 Silogismo Hipotetico Silogismo Disyuntivo

α1 α2 α ∨ γα2 · α→ β α→ β

· · β → γ γ → δ

· ·· αn α→ γ β ∨ δαn γ

γ → β β

6.3. Consistencia e Inconsistencia

En situaciones de la vida cotidiana se presentan casos en los que es necesario decidir si unconjunto de premisas o afirmaciones dadas es consistente o no. Por ejemplo, un periodistaentrevista en un debate a un hombre que aspira ser presidente de la republica sobre suproyecto de trabajo se observa que a lo largo de su charla cuida la consistencia de susafirmaciones o premisas al mismo tiempo que el periodista trata de propiciar una y otravez alguna situacion en la que se evidencie una inconsistencia de las premisas del hombreentrevistado.

Intuitivamente, inconsistencia de premisas se puede definir de la siguiente manera:


Definicion 6.3. Un conjunto de premisas α1, α2, · · · , αn se dice inconsistente, si al utilizarreglas de inferencia y/o reglas del algebra proposicional se puede deducir una contradicciona partir de dichas premisas.

Ejemplo 6.16. El conjunto de premisas dado es inconsistente:

“Si Dios quisiera prevenir el mal pero fuera incapaz de hacerlo, entonces no serıatodopoderoso; si fuera incapaz de prevenir el mal, pero no quisiera hacerlo, serıa malevolo.

Existe el mal solo si Dios es malevolo o incapaz de prevenirlo.Es un hecho que el mal existe. Si Dios existe, entonces es todopoderoso

y no es malevolo. Dios existe.”

Sean las proposiciones

p : Dios quiere prevenir el mal s : Dios es malevolo

q : Dios es capaz de prevenir el mal t : Existe el mal

r : Dios es todopoderoso u : Dios existe

Realizando la deduccion se obtiene:

1. (p ∧ ¬q)→ ¬r Premisa

2. (¬q ∧ ¬p)→ s Premisa

3. t→ (s ∨ ¬q) Premisa

4. t Premisa

5. u→ (r ∧ ¬s) Premisa

6. u Premisa

7. r ∧ ¬s M.P.P.(5,6)

8. r R.S.(7)

9. ¬(s) R.S.(7)

10. s ∨ ¬q M.P.P.(3,4)

11. ¬q M.T.P.(9,10)

12. ¬(¬q ∧ ¬p) M.T.T.(2,9)

13. q ∨ p Morgan(13)

14. p M.T.P.(11,13)

15. ¬(p ∧ ¬q) M.T.T.(1,8)

16. ¬(p) ∨ q Morgan(15)

17. q M.T.P.(14,16)

15. q ∧ ¬q Contradiccion(11,17)

Definicion 6.4. Un conjunto de premisas α1, α2, · · · , αn se dice consistente, si existe unaasignacion de valor de verdad en la que todas las premisas son ciertas.


Ejemplo 6.17. Considere el conjunto de premisas

Si Pedro es el ganador, entonces Juan es mas fuerte que Andres.Pedro es el ganador y Marcos no es mas fuerte que Andres.

No es cierto que o Andres es el ganador o Marcos es mas fuerte que Andres.

Sean las proposiciones

p : Pedro es el ganador q : Juan es mas fuerte que Andres

r : Marcos es mas fuerte que Andres s : Andres es el ganador

1. p→ q Premisa

2. p ∧ ¬r Premisa

3. ¬(s ∨ r) Premisa

Si asignamos v(p) = 1, v(q) = 1, v(r) = 0 y v(s) = 0, se observa que todas las premisasresultan ser verdaderas, esto es suficiente para afirmar que el conjunto de premisas es con-sistente.


TALLER 12.Verifique la validez de los argumentos dados.

a) b) c)

s→ (p ∨ q) t ∨ ¬s p→ s

s s ¬s¬p q → ¬t ¬p→ t

q ¬q t

d) e) f)

p→ ¬q q ∨ t q ∧ tr → q q → r q → ¬rr ¬r t→ ¬s

¬p t ∨ s ¬(r ∨ s)

g) h) i)

(¬p ∨ ¬q)→ r p→ (q ∨ r) p→ q

¬(p ∧ q) q → s ¬r → s

¬r ∨ s r → t ¬q ∨ ¬s

s p→ (s ∨ t) p→ r

j) k) l)

p→ q p→ q

r → s q → s p→ (q → s)

¬(p→ s) p→ (q ∨ r) q → (s→ r)

q ∧ ¬r p→ (r ∨ s) p→ r

m) n) o)

p→ s r → t (¬p ∨ q)→ r

p ∧ q s→ q ¬(r ∧ ¬s)(s ∧ r)→ ¬t (t ∨ q)→ ¬p ¬p ∨ qq → r r ∨ s (¬s ∧ ¬t) ∨ u

¬t ¬p u


TALLER 13.

Exprese en forma simbolica el argumento dado y verifique su validez.

1. Si suben los salarios, entonces suben los precios; si suben los precios, entonces bajael poder adquisitivo de la moneda. Es ası que suben los salarios. Luego baja el poderadquisitivo de la moneda.

2. Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de tiempo, entonces no realizare missuenos. He aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por lo tanto, no realizare missuenos.

3. Si vamos a Asia, entonces llegaremos hasta la India. Si vamos a Asia entonces, sillegamos hasta la India visitaremos Varanasi. Si vamos a India entonces, si visitamosVaranasi podremos ver el Ganges. Por lo tanto, si vamos a Asia veremos el Ganges.

4. No llueve si salgo de casa sin paraguas. Cuando no llueve, me apetece dar un largopaseo por el campo. He salido sin paraguas. Luego, dare un largo paseo.

5. O no dices la verdad o no puedes querer convencerme de que los hipopotamos trepana los arboles. Cuando no bromeas, dices la verdad. Si estas de guasa puedes quererconvencerme de que los hipopotamos trepan a los arboles. Por lo tanto, o bromeas ono estas de guasa.

6. Cuando los informaticos hacen bien su trabajo y los clientes hacen peticiones acepta-bles, los directivos se muestran amables con sus subordinados. Cuando los directivosson amables con sus subordinados, los accionistas minoritarios compran mas acciones.De todo esto se deduce que si los accionistas minoritarios no compran mas acciones,pero los informaticos hacen bien su trabajo, los clientes no hacen peticiones aceptables.

7. O Pedro manda a reparar su automovil o compra uno nuevo. Si hace reparar su au-tomovil, le debera mucho dinero al mecanico. Si compra un automovil nuevo, entoncesdebera pedir un prestamo al banco y, si pide un prestamo al banco, Pedro tardara ensalir de sus deudas. O sale pronto de sus deudas o sus acreedores lo llevan a la ruina.Por lo tanto, sus acreedores lo llevan a la ruina. ¿Que premisa necesita agregarsele aeste argumento para que sea valido?

a. Pedro le debe mucho dinero al mecanico o al banco.

b. Si le debe mucho dinero a sus acreedores entonces tardara en salir de sus deudas.

c. O Pedro manda reparar su automovil o le pide un prestamo al banco.

d. O Pedro sale pronto de sus deudas o le debera mucho dinero al mecanico.

e. Si le debe mucho dinero al mecanico, tardara en salir de sus deudas.

8. Cuando abro mi maleta encuentro, entre otras cosas, mi mochila. Cuando abro mimochila encuentro, entre otras cosas, mi maleta. ¿Cual de las siguientes afirmacionesse sigue de lo anterior?


a. Mi maleta es magica.

b. Mi maleta esta dentro de mi mochila y mi mochila esta dentro de mi maleta.

c. Tengo muchas mochilas.

d. Mi maleta no esta dentro de ella misma.

e. Mi maleta y mi mochila son el mismo objeto.

9. Si Clara se casa con Jorge entonces Clara se enoja. Si Clara no se casa con Jorgeentonces Clara se enoja. ¿Que se sigue de ello?

a. Clara se casa y no se casa con Jorge.

b. Si Clara se enoja, entonces no se casa con Jorge.

c. Si Clara se enoja, entonces se casa con Jorge.

d. Clara se casa con Jorge.

e. Clara se enoja.

10. Ayer asesinaron a la condesa; solo hay cinco pistas. Descubre quien es el asesino (oquienes, si de las premisas se sigue que hay mas de un asesino). Si la sobrina mato a lacondesa, el perro ladro. Si el mayordomo mato a la condesa, el perro ladro. La sobrinamato a la condesa si el reloj del comedor fue atrasado a proposito. Si el perro ladro ysi la condesa se acosto a las once, entonces Sherlock Holmes asesino a la condesa. Elreloj del comedor fue atrasado a proposito y la condesa se acosto a las once.

a. La sobrina y el mayordomo asesinaron a la condesa.

b. Solo la sobrina mato a la condesa.

c. La sobrina y Sherlock Holmes asesinaron a la condesa.

d. Sherlock Holmes y el mayordomo asesinaron a la condesa.

e. Sherlock Holmes, el mayordomo y la sobrina asesinaron a la condesa.

11. Si ha nevado, no sera facil conducir. Si no es facil conducir, llegare tarde a menos quesalga temprano. Ha nevado pero no llegare tarde. Por tanto, saldre temprano.

12. El palo empieza a golpear al perro solo si el perro empieza a morder al gato. El perrono empieza a morder al gato a menos que este salte por el portillo. El palo empieza agolpear al perro. Por tanto, el gato salta sobre el portillo.

13. Si Marcos gana, entonces Juan o Enrique seran segundos. Si Juan es segundo, entoncesMarcos no ganara. Si Alberto es segundo, entonces Enrique no sera segundo. Por tanto,si Marcos gana, entonces Alberto no sera segundo.

14. Si Maria sale de compras, hoy comeremos patatas. Maria sale de compras si tienedinero. Si ella no compra marisco, entonces es que no tiene dinero. Ella ha cobrado ytiene dinero. Por tanto, Maria comprara marisco y hoy comeremos patatas.

15. O la Logica es difıcil o no gusta a muchos estudiantes. Si la Matematica es facil entoncesla Logica no es difıcil. Por tanto, si a muchos estudiantes les gusta la Logica entoncesla Matematica no es facil.


16. Si Laura engorda, su novio la dejara plantada. Laura come a menudo huevos fritos yadora el vodka con limon. Si Laura come a menudo huevos fritos engordara. Por tantoLaura adora el vodka con limon y su novio la dejara plantada.

17. Si Cristina esta en lo cierto entonces Marcos esta equivocado. Si Marcos esta equiv-ocado entonces Pablo tambien esta equivocado. Si Pablo esta equivocado entonces elespectaculo no es esta noche. O el espectaculo es esta noche o Javier no lo vera. Cristinaesta en lo cierto. Por tanto Javier no vera el espectaculo.

18. La Tierra gira alrededor del Sol o el Sol alrededor de la Tierra. Si la Tierra gira alrededordel Sol deberıamos apreciar una variacion en el brillo de las estrellas a lo largo del anoo en su posicion con respecto a un observador terrestre. No se aprecia variacion en elbrillo de las estrellas a lo largo del ano. Tampoco se aprecia una variacion en su posicioncon respecto a un observador terrestre. Luego el Sol gira alrededor de la Tierra.”

19. Si es verdad que si amo a Eva entonces amo a Margarita, entonces amo a Eva, y si amoa Eva, entonces es verdad que si amo a Eva entonces amo a Margarita. La conclusionque se puede obtener es: amo a Eva y amo a Margarita.

20. Si sigues corriendo tanto, te caes o te cansas. Si te caes, manana no iras al campeonato.Seguro que no vas a dejar de correr tanto. Ası que seguro que manana no iras alcampeonato.

21. Si resuelvo un ejercicio sin quejarme, entonces lo puedo entender. Yo no puedo entenderejercicios de los cuales no tengo un ejemplo resuelto previamente. Los ejercicios quepuedo entender no me producen dolor de cabeza. Este ejercicio tiene un ejemplo pre-viamente resuelto. Por lo tanto, resuelvo este ejercicio sin quejarme pero me producedolor de cabeza.

22. Mi padre me anima si estudio diariamente. O me va bien en los cursos o no estudiodiariamente. Si duermo en exceso entonces no me va bien en los cursos. Por lo tanto,si mi padre me anima, entonces no duermo en exceso.

23. Si Dios fuera bueno, querrıa hacer a sus criaturas perfectamente felices. Y si fueraomnipotente podrıa hacer todo lo que quisiera. Si Dios quisiera hacer a sus criaturasperfectamente felices y pudiera hacer todo lo que quisiera, entonces las criaturas serıanperfectamente felices. Pero las criaturas no son perfectamente felices. En consecuencia,a Dios le falta poder, o bondad, o ambas cosas. (Tomado del artıculo Cazadores dela verdad”, de Daniel J. Boorstin. Lecturas Dominicales de El Tiempo, 22/02/98. Semodifico el texto original solamente para hacer explıcita una premisa implıcita).

24. Si Dios quisiera prevenir el mal pero fuera incapaz de hacerlo, entonces no serıatodopoderoso; si fuera capaz de prevenir el mal, pero no quisiera hacerlo, serıa malevo-lo. Existe el mal solo si Dios es malevolo o incapaz de prevenirlo. Es un hecho que elmal existe. Si Dios existe, entonces es todopoderoso y no es malevolo. En consecuencia,Dios no existe.

25. La convivencia social se deteriorara sensiblemente. Las razones son claras: no hayduda de que si hay alza general de salarios no se podra contener el desempleo, y si hay


paro general no se alcanzaran las metas de produccion. Sin embargo, las mas recientesintervenciones del ministro de Hacienda y de los sindicalistas indican que habra alzageneral de salarios, pero insuficiente para evitar el paro general. Pero se alcanzaran lasmetas de produccion. Lamentablemente, si no puede contenerse el desempleo, o si hayalza general de salarios, la convivencia social se deteriorara sensiblemente.

26. Cualquiera sea la situacion del dolar con respecto al peso, algun sector de la economıaresulta perjudicado: Si el peso se revalua, se lamenta el sector exportador porque losdolares que recibe representan menos pesos al traerlos al paıs; si el peso se devalua,los importadores tienen que pagar mas caros los bienes que importan y se reduce elconsumo de los mismos. Ademas, en este caso se encarece la deuda externa del paıs, locual nos afecta a todos negativamente.

27. Las siguientes razones permiten afirmar que la inversion social disminuira drastica-mente: Segun los analistas, si el alza en el salario mınimo es superior a la inflacionentonces no disminuira el desempleo, y si hay otro paro general no se alcanzaran lasmetas del sector productivo. Por otro lado, la dirigencia sindical amenaza con otroparo general, si el alza en el salario mınimo no es superior al nivel de inflacion. Estose complementa con el hecho de que si no disminuye el desempleo o no se alcanzan lasmetas del sector productivo entonces habra una baja en las exportaciones. Y una bajaen las exportaciones hara que la inversion social disminuya drasticamente.

28. Si continua la investigacion, surgiran nuevas evidencias. Si surgen nuevas evidencias,entonces varios dirigentes se veran implicados. Si varios dirigentes estan implicados, losperiodicos dejaran de hablar del caso. Si la continuacion de la investigacion implica quelos periodicos dejen de hablar del caso, entonces, el surgimiento de nuevas evidenciasimplica que la investigacion continua. La investigacion no continua. Por tanto, nosurgiran nuevas evidencias.

29. Si continua la investigacion, surgiran nuevas evidencias. Si surgen nuevas evidencias,entonces varios dirigentes se veran implicados. Si varios dirigentes estan implicados, losperiodicos dejaran de hablar del caso. Si la continuacion de la investigacion implica quelos periodicos dejen de hablar del caso, entonces, el surgimiento de nuevas evidenciasimplica que la investigacion continua. La investigacion no continua. Por tanto, nosurgiran nuevas evidencias.

30. Si la pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservacion de la persona,entonces, si supone la destruccion total de la persona, imposibilita la correccion delpenado. Imposibilita la correccion del penado solo si es condenable eticamente. Lapena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservacion de la persona. Portanto, si la pena de muerte supone la destruccion total de la persona e imposibilita lacorreccion del penado, es condenable eticamente.

31. O los libros de la Biblioteca de Alejandrıa contienen las ensenanzas del Coran o no lascontienen. Si no contienen las ensenanzas del Coran son superfluos, y si son superfluosdeben ser quemados. Si no contienen las ensenanzas del Coran son nocivos, y si sonnocivos deben ser quemados. Por consiguiente, los libros de la Biblioteca de Alejandrıadeben ser quemados.


32. Si la noche es clara, Dracula agitara sus alas y afilara sus dientes. Si agita sus alasy encuentra mi ventana abierta, pasara, me despertara, pero le dare un fuerte tironde orejas. Si afila sus dientes y la encuentra cerrada, montara en colera, rompera loscristales y le dare un fuerte tiron de orejas. Ası pues, si la noche es clara y Draculaencuentra la ventana abierta o cerrada, le dare un fuerte tiron de orejas.

33. Si los habitantes de Venus invaden la tierra, entonces los hombres se pondran nerviososo las mujeres se entusiasmaran. Si los hombres se ponen nerviosos, las mujeres seentusiasmaran. Por tanto, si los habitantes de Venus invaden la Tierra, las mujeres seentusiasmaran.

34. Si las autoridades prohıben fumar en pipa a los feos, entonces los guapos se alzaranindignados porque no venden pipas. Si los guapos no venden pipas o las autoridadescrean nuevos puestos de trabajo, entonces la nacion no saldra de la crisis economica.La nacion sale de la crisis economica y los guapos no venden pipas. Por lo tanto, lasautoridades no prohibiran fumar en pipa a los feos.

35. Si los filosofos callasen, la nieve quemarıa y los cırculos serıan cuadrados. Si los cırculosfuesen cuadrados, entonces los matematicos se dedicarıan a cazar brujas y las abejasa fabricar acero. Ni los matematicos se dedican a cazar brujas, ni las abejas a fabricaracero. Por tanto, los filosofos no callaran.

36. Si el pancreas no segregase la suficiente insulina aparecerıan sıntomas de diabetes. Ysi la glandula suprarrenal produjese adrenalina en exceso sucederıa lo mismo. En estecaso no aparecen sıntomas de diabetes. De ahı que el pancreas segrega la suficienteinsulina y que la glandula suprarrenal no se excede en sus funciones.

37. 0 se garantiza la seguridad de toda la humanidad o se continua la carrera de arma-mentos. Si se garantiza la seguridad de toda la humanidad, tambien se garantiza laseguridad de cada nacion. Y si se garantiza esto, se defiende la seguridad de cada fa-milia y de cada individuo particular. Supongamos que cesa la carrera de armamentos.En tal caso, es obvio que no es cierto que no se defienda la seguridad de cada familiao de cada individuo particular.

38. Si la humanidad continua consumiendo carne, necesitara mas de 5 Kgrs. de vegetalesdiarios para alimentar a los animales herbıvoros que se la proporcionan. Si la poblacioncontinua aumentando, sera necesario multiplicar la produccion de vegetales dedicadaa la alimentacion de los herbıvoros. Por el momento es impensable que la humanidaddeje de ser carnıvora o que la poblacion deje de aumentar. En consecuencia, sino mul-tiplicamos la produccion de vegetales dentro de unos anos tendremos una humanidadsubalimentada.

39. Si dos gases tienen la misma temperatura, entonces sus moleculas tienen el mismopromedio de energıa cinetica. Volumenes iguales de dos gases tienen el mismo numerode moleculas. Las presiones de dos gases son iguales si al mismo numero de moleculasy sus energıas cineticas son iguales. Por consiguiente, si dos gases tienen la mismatemperatura y el mismo volumen, tienen la misma presion.


40. Si los asalariados gastan todo lo que ganan se exponen a hundirse en la miseria. Perosi los asalariados ahorran favorecen los ingresos de la clase financiera. A pesar de todo,o los asalariados se gastan todo lo que ganan o ahorran. En consecuencia, o se exponeno favorecer a los interes de la clase financiera.

41. Los modificadores que acompanan al nucleo del sujeto pueden estar formados por unapalabra o por mas de una. Si el modificador consta de una palabra, es modificador di-recto. Si el modificador consta de mas de una palabra, estas se organizaran en sintagmaendocentrico o en sintagma exocentrico. Si el modificador es un sintagma endocentricoel modificador es directo. Si es un sintagma exocentrico entonces el modificador es in-directo. Por tanto, los modificadores que acompanan al nucleo del sujeto o son directoso indirectos, o ambas cosas.

42. Si Morgan es culpable o la policıa sospecha, entonces o Morgan sobornadara a la policıao no se quedara en la ciudad pero no ambas cosas. Por consiguiente, si Morgan se quedaen la ciudad o la policıa sospecha, no es verdad que sea a la vez culpable y no este enla ciudad.

43. Si el animal fabuloso que vive en tus suenos se nos aparece en plena calle, entoncesprobablemente nos suceda algo chistoso. Siempre que nos topamos con un venusiano,podremos estar seguros de tener mala suerte. El animal que vive en nuestros suenos senos aparece en plena calle o nos topamos con un venusiano. Por lo tanto, sucedera algochistoso o tendremos mala suerte.

44. Si vengo pronto, es que estoy cansado o no tengo dinero. No estoy cansado a menosque haya pintado el techo y no haya dormido siesta. Pero he dormido la siesta. Luegosi vengo pronto es que no tengo dinero.

45. Es necesario no pensar mucho para creerse el telediario o no comprar prensa. Pero, amenos que ocurra que, si se tiene la cabeza grande entonces se piensa mucho, no nosva bien. Ahora bien, solo si no se compra prensa o si se cree el telediario, nos va bien.Ası que, si se tiene la cabeza grande no nos va bien.

46. Si corro mucho entonces llego antes. Si y solamente si llego antes y me ponen una multaentonces he corrido mucho. Si no me ponen una multa entonces corro mucho. Por lotanto, me ponen una multa.

47. Es necesario programar bien para aprobar o trabajar en una empresa. Ni aprueboni programo bien a menos que tenga paciencia. Esta claro que o apruebo o me caeuna bronca de mis padres. Si me cae una bronca de mis padres entonces es que estoyprogramando bien. De todo esto se deduce que tengo paciencia.

48. O no es suficiente tener un buen sueldo para vivir bien, o soy demasiado exigente. Laverdad es que no trabajo mucho. Pero solo si trabajo mucho o vivo bien tendre un buensueldo. Luego lo que pasa es que soy demasiado exigente.

49. Si hablas eres un ser humano. Si no tienes nada que decir, no hablas. Solo si tienes algoque decir, eres un ser inteligente. Si eres un ser humano, y tienes algo que decir, eresun buen conversador. No eres un ser inteligente o eres un ser humano. Por lo tanto, sihablas o eres un ser inteligente, eres un buen conversador.


50. Si estudio o si soy un genio, entonces aprobare el curso. Si apruebo el curso, entoncesme permitiran tomar el siguiente curso. Por consiguiente, si no me permiten tomar elcurso, entonces no soy un genio.

51. Si mis calculos son correctos y pago la cuenta de electricidad, me quedare sin dinero.Si no pago la cuenta de electricidad, me cortaran la corriente. Por lo tanto, si no mehe quedado sin dinero y no me han cortado la corriente, entonces mis calculos no soncorrectos.

52. Si el meterologo predice clima seco, entonces ire de excursion o ire a nadar. Ire a nadarsi y solo si el metereologo predice clima caluroso. Por lo tanto, si no voy de excursion,el metereologo predice clima humedo o caluroso.

53. Si obtengo el puesto y trabajo duro, entonces me ascenderan. Si me ascienden, sere feliz.No sere feliz. Por lo tanto, o no obtendre el puesto o no trabajare duro.

54. Si estudio leyes, entonces ganare mucho dinero. Si estudio arqueologıa, entonces via-jare mucho. Si gano mucho dinero o viajo mucho, no me decepciono. Por lo tanto, sime decepciono, no estudio leyes ni estudio arqueologıa.

55. x es par o impar. Si x es par, entonces x2 es par. Si x2 es par, entonces no es impar.Por lo tanto, si x2 es impar, entonces x es impar.

56. El terreno puede ser cultivado si y solo si se provee de un sistema de riego. Si el terrenopuede ser cultivado, entonces se triplicara su valor actual. Por lo tanto, si se provee deun sistema de riego, entonces se triplicara el valor actual del terreno.

57. 3∗5 = 12 si y solo si 5+5+5 = 12. Ademas 4∗4 6= 13. Pero si 5+5+5 = 12, entonces4 ∗ 4 = 13. Por lo tanto 3 ∗ 5 6= 12.

58. Si juan viene a la fiesta, Luis no vendra a menos que Marıa venga, pero, Maria vienesolo si Juan no viene. por lo tanto, Luis no vendra a la fiesta si Juan viene.


TALLER 14.En cada uno de los siguientes ejercicios se da un conjunto de premisas y una hipotesis; conbase a lo anterior conteste la pregunta dada y justifique su respuesta.

1. Si voy a cine y trasnocho, entonces me enfermo. Si no voy a cine o me enfermo, entoncessufro mucho. Si escucho musica en la noche, entonces trasnocho.

Hipotesis: ¡Yo no sufro!

Pregunta: ¿Escuche musica en la noche?

2. Si no tomo leche y fumo, entonces no crezco. Si tomo leche o no crezco, entonces mepongo triste. Si estoy melancolico, entonces fumo.

Hipotesis: Estoy contento.

Pregunta: ¿Estare melancolico?

3. Si paso Logica es porque he estudiado Logica. Los estudiantes aplicados nunca faltana clase de Logica. Los estudiantes desaplicados no estudian Logica.

Hipotesis: El estudiante N.N falto a clase de Logica este semestre.

Pregunta: ¿Pasara N.N el examen de Logica?


Segunda Parte

Calculo de Predicados

Capıtulo 7

Cuantificadores

Existen argumentos logicos que no se pueden especificar utilizando el calculo proposi-cional como el siguiente:

“Todo hombre es mortal”“Juan es hombre”

“Juan es mortal”.

Para demostrar la validez del argumento es necesario identificar los individuos que intervienenen el argumento y sus predicados asociados. Los predicados son afirmaciones acerca de losindividuos que se utilizan para describir las propiedades o relaciones existentes entre losindividuos u objetos.

Consideremos la afirmacion

“Carlos y Pedro juegan”

La frase “juegan” es un predicado. Los individuos en la afirmacion dada son “Carlos” y“Pedro” que por lo general se le llaman terminos.

Los cuantificadores desempenan un papel importante en el calculo de predicados yaque estos muestran la frecuencia con la cual es verdadera una proposicion cuantificada. Elcuantificador universal se utiliza para indicar que una frase es verdadera y el cuantificadorexistencial indica que una frase es verdadera en algunas ocasiones, por ejemplo la proposicion

“Todos los peces viven en el agua”

es universalmente verdadera ya que la palabra “todos” indica que cualquier pez vive en elagua, mientras que la proposicion

“Algunas plantas son medicinales”

es particularmente veradera para ciertas plantas.

El calculo de predicados es una generalizacion del calculo de proposiciones que relacionaproposiciones, predicados y cuantificadores haciendo una conexion con el lenguaje natural.Proposiciones como “Todo hombre es mortal”, “Algunas personas son timidas y de buencorazon”, ...,etc, pueden ser simbolizadas utillizando simbolos logicos adecuados, entre ellos:funciones proposicionales y cuantificadores.

139

140 Cuantificadores

7.1. Funciones Proposicionales

Definicion 7.1. Una funcion proposicional es una expresion denotada por Px que tiene lapropiedad de que Pa es verdadera o falsa para todo elemento a de un conjunto A dado, esdecir, Px se convierte en una proposicion al sustituir la variable x por un elemento a ∈ A.En este caso se dice que Px es una funcion proposicional sobre A.

Ejemplo 7.1. Consideremos la expresion

Px : x es nombre de mujer

Si se reemplaza la variable x por “Laura” la proposicion es verdadera, pero si se reemplazapor “Pedro” la proposicion es falsa. Px es una funcion proposicional sobre el conjunto de“nombres de personas”.

Ejemplo 7.2. Consideremos la expresion

Px : x+ 3 > 6

Px es una funcion proposicional sobre el conjunto de los numeros naturales N. Si se reemplazala variable x por 7 la proposicion es verdadera, pero si se reemplaza por 2 la proposicion esfalsa.

En logica existen dos tipos de cuantificadores: El universal y el existencial.

7.2. El Cuantificador Universal

El cuantificador universal es el simbolo logico representado con la expresion

∀el cual es util para simbolizar proposiciones que contienen palabras como “Para Todo”,“Todos”, “Cualquiera”, “Para cada”, “Cada”, ..., etc.


“Todos los peces viven en el agua”

Esta proposicion es equivalente a la proposicion

“Para cada x, x vive en el agua”

la cual se simboliza con la expresion(∀x) (Px)

en donde la variable x pertenece al conjunto de los peces.


“Cualquier libro es util”

se puede expresar como

“Para cualquier x, x es util”

y se simboliza con la expresion(∀x) (Rx)

en donde la variable x pertenece al conjunto de los libros.


7.3. El Cuantificador Existencial

El cuantificador existencial es un simbolo logico representado con la expresion

∃

el cual es util para simbolizar proposiciones que contienen palabras como “Algun”, “Al-gunos”, “Existe”, “Existen”,..., etc.


“Existen aves que nadan”

es equivalente a la proposicion

“Existe x, tal que x nada”

la cual se simboliza con la expresion

(∃x) (Px)

en donde la variable x pertenece al conjunto de las aves.


“Algunos ninos lloran”

se expresa como

“Existe x, tal que x llora”

y se simboliza con la expresion

(∃x) (Rx)

en donde la variable x pertenece al conjunto de los ninos.

Ejemplo 7.7. La afirmacion

“Hay alguien que conoce a todo el mundo”

se expresa como

“Existe x, tal que x conoce a todo el mundo”.

Aquı la expresion “x conoce a todo el mundo” significa que “para todo y es cierto que xconoce a y”. Luego,

Consideremos la expresion “Todo el mundo tiene a alguien como madre”

142 Cuantificadores

7.4. Conjuntos de Referencia

Todas las proposiciones que contenga palabras como “Todos”, “Algunos”, “Existen”, ..., etc,tienen un conjunto de referencia. La tabla siguiente muestra algunas expresiones gramaticalescon sus respectivos conjuntos de referencia:

EXPRESION GRAMATICAL CONJUNTO REFERENCIAL

“Existen peces que vuelan” “Los seres vivos ”

“Todo numero real es entero” “Los numeros reales”

“Algunos autores escriben poesıa” “Los seres humanos”

“Todos los animales viven en el agua” “Los animales”

“Existen funciones continuas y no derivables” “ Las funciones”

Ejercicio. Determine el conjunto de referencia de las siguientes proposiciones:

a. “No todo lo que brilla es oro”

b. “Existen plantas de color rojo”

c. “Algunos hombres se dedican solo a trabajar”

d. “Cada vez que llueve hace frio”

e. “Cualquier polıgono de cuatro lados es un cuadrilatero”

7.5. Conjunto de Validez

Definicion 7.2. Sea U un conjunto de referencia y Px una funcion proposicional en U . Elconjunto Vp definido por

Vp := {x ∈ U : Px es verdadera}se le llama el conjunto de validez de Px, es decir, Vp es el conjunto de elementos del conjuntode referencia U en donde Px es verdadera.


“Todos los animales viven en el agua”

es verdadera para algunos animales (los acuaticos) y falsa para otros (los terrestres).

El conjunto de referencia es

U : “El conjunto de los animales”

Si se define la proposicionPx : x vive en el agua,

la proposicion se expresa como


Para cada x, Px

y el conjunto de validez de Px es

Vp = {x ∈ U : x vive en el agua}= El conjunto de los animales acuaticos


“Todo numero real es entero”

es verdadera para algunos numeros reales (por ejemplo, −2, −4, 3, · · · ) y falsa para otros(por ejemplo,

√2, 1/2, · · · ).

El conjunto de referencia es

U : “El conjunto de los numeros reales” = R

Si se define la proposicionRx : x es entero,

la proposicion se expresa como

Para cada x, Rx

y el conjunto de validez de Rx es

VR = {x ∈ R : x es entero}= El conjunto de los numeros enteros = Z

Ejemplo 7.10. Consideremos el conjunto de referencia

U : El conjunto de los numeros naturales = N

y la proposicionPx : 3 + x > 9.

El conjunto de validez de Px es el conjunto

Vp = {x ∈ N : 3 + x > 9}= {x ∈ N : x > 6}= {7, 8, 9, · · · }

Ejemplo 7.11. Consideremos el conjunto de referencia

U : El conjunto de todos los oceanos

y la proposicionPx : x es de agua dulce.

El conjunto de validez de Px es el conjunto vacio puesto que no existen oceanos de aguadulce.

144 Cuantificadores

TALLER 15.

Determinar el conjunto de validez de las proposiciones Px dadas en el conjunto de referenciaU dado.

a) Px : x es entero, U = R f) Px : x < 2, U = R2

b) Px : x es par, U = Z g) Px : x2 + y2 < 1, U = R2

c) Px : x es divisible por dos, U = N h) Px : x2 + y2 < 0, U = R2

d) Px : x2 − 1 < 0, U = R i) Px : x tiene dos patas, U = animales

e) Px : x < 2, U = R j) Px : x2 − 1 < 0, U = Z

7.5.1. Certeza y Falsedad de Proposiciones Cuantificadas

Sean U un conjunto de referencia y Px una proposicion.

1. La proposicion “Para todo x en U , Px” simbolizada con la expresion

(∀x ∈ U)(Px)

es verdadera si Vp = U y es falsa si Vp 6= U .

2. La proposicion “Existe un x en U tal que Px ” simbolizada con la expresion

(∃x ∈ U)(Px)

es verdadera si VP 6= ∅ y es falsa si Vp = ∅.

Ejemplo 7.12. La expresion (∀x ∈ R)(x2 + 1 > 0) que expresa

“Todo numero real x al cuadrado mas uno es mayor que cero”

es verdadera ya que para todo numero real x, x2 + 1 es positivo, es decir, Vp = R.


“Todo numero natural es divisible por 2”

simbolizada con la expresion

(∀x ∈ N)(Px)

que significa

“Para cada x en N, x es divisible por 2”

es falsa ya que Vp = {2, 4, 6, · · · } 6= N

Ejemplo 7.14. La expresion (∃x ∈ Z)(x2 − 1 = 0) que significa

“Existe un numero entero x tal que su cuadrado menos uno es cero”


es verdadera ya que Vp = {−1, 1} 6= ∅

Ejemplo 7.15. La expresion (∃x ∈ R)(x2 + 1 = 0) que significa

“Existe un numero real x tal que su cuadrado mas uno es cero”

es falsa ya que Vp = ∅, puesto que no existen numeros reales x, tales que x2 + 1 = 0.

TALLER 16.

Utilizando el conjunto de validez, determinar si la proposicion dada es veradera o falsa:

1. Para todo numero real x, −x es negativo.

2. Existe un numero natural n tal que 1/n = 0.

3. Existe un numero real x tal que x2 = x.

4. Para todo numero real x, | − x| = x.

5. Existen hombres inmortales.

6. Toda ecuacion cuadratica tiene raıces reales.

7. Existe un numero racional p tal que p2 = 2.

8. Para todo numero real x, x+ 2 > x.

9. Existe un numero real x tal que x+ 1 = x.

10. Todo pez vuela.

7.6. Negacion de Proposiciones Cuantificadas

La negacion de la proposicion “Todo metal es pesado” es “No todo metal es pesado”, esdecir,

“Existe al menos un metal que no es pesado”

Si se define la proposicion “Px : x es pesado” en el conjunto de referencia

U : El conjunto de todos los metales

lo anterior simbolicamente se expresa como

¬(∀x ∈ U)(Px) ≡ (∃x ∈ U)(¬Px)

Analogamente, la negacion de la proposicion “Existe una estrella brillante”es “No existenestrellas brillantes”, es decir,

146 Cuantificadores

“Todas las estrellas no son brillantes”

Si se define la proposicion “Rx : x es brillante” en el conjunto de referencia

U : El conjunto de todas las estrellas

lo anterior se simboliza con la expresion,

¬(∃x ∈ U)(Rx) ≡ (∀x ∈ U)(¬Rx)

Teorema 7.3 (Teorema de Morgan). Sean U es un conjunto de referencia y Px unaproposicion en U , entonces

a. La expresion ¬(∀x ∈ U) (Px) es equivalente a la expresion (∃x ∈ U) (¬Px).

b. La expresion ¬(∃x ∈ U) Px es equivalente a la expresion (∀x ∈ U) (¬Px).

TALLER 17.

Negar los enunciados siguientes:

1. (∀x)(Px) ∧ (∃y)(Ry).

2. (∃x)(Px) ∨ (∀y)(Ry).

3. Si el maestro esta ausente, algunos estudiantes no terminan su tarea.

4. Si hay motın, alguien es muerto.


6. Existe un numero real x tal que x2 = x.

7. Existen hombres inmortales.


9. Existe un numero racional p tal que p2 = 2.

10. Para todo numero real x, x+ 2 > x.

11. Existe un numero real x tal que x+ 1 = x.

12. Todo pez vuela.


7.7. Falsedad de Proposiciones Cuantificadas por Contrae-jemplo

La falsedad de algunas proposiciones cuantificadas se puede determinar mediante “Contrae-jemplos”, es decir, mostrando un ejemplo en el cual la proposicion cuantificada dada es falsa,para ello es necesario conocer bien el conjunto de referencia.


“Todos los animales vuelan”

es evidente falsa, puesto que existen animales que no vuelan, algunos son: El tigre, el leon,el perro, el gato, ..., etc.

Este conjunto de animales forman el “Contraejemplo” buscado en el conjunto de referencia

U : El conjunto de los animales


“Todo paıs es europeo”

es falsa, puesto que existen paıses que no son europeos, algunos son: Colombia, Venezuela,Mexico, ...,etc.Este conjunto de paıses forman el “Contraejemplo” buscado en el conjunto de referencia

U : El conjunto de paıses

En muchos campos de la ciencia como la matematica, se encuentran proposiciones cuan-tificadas universalmente en las que se quiere determinar su veracidad o falsedad, para ello,“debe conocerse bien los conjuntos de referencia matematicos”.


“Todo numero real es racional”

es falsa, ya que existen numeros reales que no son racionales algunos son:√2,√3, π que son

numeros irracionales.Este conjunto de numeros reales forman el “Contraejemplo” buscado en el conjunto dereferencia

U : El conjunto de los numeros reales


“Para todo numero real x, −x es negativo”

es falsa, ya que existen numeros reales x en los que −x no es negativo, algunos son: −1, −4,−π que son numeros reales negativos.Este conjunto de numeros reales forman el “Contraejemplo” buscado en el conjunto dereferencia

U : El conjunto de los numeros reales

148 Cuantificadores

TALLER 18.

Encontrar un contraejemplo para cada uno de las siguientes proposiciones:


2. Para todo numero real x, |x| = x.

3. Todo numero primo es par.

4. Todo numero natural n es primo.

5. Para todo numero real x, x+ 2 < x.

6. Todo numero entero n es divisible por dos.

7. Cualquier paıs es suramericano.


9. Todo pez vuela.

10. Toda funcion es continua en su dominio

7.8. Proposiciones Categoricas

Consideremos la proposicion

“Todos los hombres son mortales”

se puede reescribir de la siguiente manera:

“Para todo x: si x es hombre, entonces x es mortal”.

Si H(x) denota la proposicion “x es hombre” y M(x) denota la proposicion “x es mortal”,la proposicion anterior se puede simbolizar como

∀x(H(x)→M(x)).

Anaogamente, la proposicion:

“Algun hombre es mortal”

se puede reescribir con la expresion

“Existe x tal que: x es hombre y x es mortal ”.

y se simboliza con la expresion

∃x(H(x) ∧M(x)).

En general, si A y B denotan propiedades, las cuatro proposiciones categoricas de Aristoteles,componentes fundamentales de sus silogismos se muestran en la siguiente tabla:


Proposicion Categorica Simbolizacion Nombre de la sentencia

Todo A es B ∀x (Ax → Bx) Universal afirmativa

Algun A es B ∃x (Ax ∧Bx) Particular afirmativa

Ningun A es B ¬∃x (Ax ∧Bx) Universal negativa

Algun A no es B ∃x (Ax ∧ ¬Bx) Particular negativa

Notese que la afirmacion “Ningun A es B” es lo mismo que la afirmacion “Todo A es no B”, mientras que la afirmacion “Algun A no es B” es lo mismo que “No todo A es B”.

7.9. Conectivos y cuantificadores

En esta seccion se mostrara las relaciones existentes entre los conectivos logicos y loscuantificadores estas son:

1. La negacion

R1 : ¬(∀xp(x))↔ ∃x(¬p(x))R2 : ¬(∃xp(x))↔ ∀x(¬p(x))

2. La conjuncionR3 : ∀x(p(x) ∧ q(x))↔ (∀xp(x) ∧ ∀xq(x))

Para el cuantificador “∃” no es igual

R4 : ∃x(p(x) ∧ q(x))→ (∃xp(x) ∧ ∃xq(x))

La implicacion recıproca no es valida como lo muestra la siguiente afirmacion

“Hay personas que son hombres y hay personas que son mujeres, pero no haypersonas que sean hombres y mujeres a la vez.”

3. La disyuncionR5 : ∃x(p(x) ∨ q(x))↔ (∃xp(x) ∨ ∃xq(x))

Para el cuantificador “∀” no es igual

R6 : ∀x(p(x) ∨ q(x))→ (∀xp(x) ∨ ∀xq(x))

La implicacion recıproca no es valida como lo muestra la siguiente afirmacion

“Cualquier persona, es hombre o es mujer, pero no es verdad que, cualquier personaes hombre o cualquier persona es mujer.”

4. La implicacion

R7 : ∀x(p(x)→ q(x))→ (∀xp(x)→ ∀xq(x))R8 : (∃xp(x)→ ∃xq(x))→ ∃x(p(x)→ q(x))

las implicaciones recıprocas no se tienen.

150 Cuantificadores

5. El bicondicional

R9 : ∀x(p(x)↔ q(x))→ (∀xp(x)↔ ∀xq(x))R10 : (∃xp(x)↔ ∃xq(x))→ ∃x(p(x)↔ q(x))

las implicaciones recıprocas tampoco se tienen.

Veamos a continuacion al justificacion de una de ellas, por ejemplo R3:

Supongamos que ∀x(p(x) ∧ q(x)) es verdadera, entonces el conjunto de validez de“p(x) ∧ q(x)” es el conjunto {x ∈ U : p(x) ∧ q(x)} = U . Pero

{x ∈ U : p(x) ∧ q(x)} = {x ∈ U : p(x)} ∩ {x ∈ U : q(x)}

y esta interseccion es todo el conjunto referencial U sı y solo si cada conjunto intersectantees el conjunto referencial, es decir,

{x ∈ U : p(x)} = U y {x ∈ U : q(x)} = U

luego ∀xp(x) ∧ ∀xq(x) es verdadera.

Queda como ejercicio para el lector la justificacion de las demas relaciones anteriores.

7.10. Funciones proposicionales con mas de una variable

Los cuantificadores se pueden anidar en las proposiciones como lo muestra los siguientesejemplos:


“Todo el mundo tiene a alguien como madre”.

El predicado involucrado en la proposicion es

“es madre de”

el cual se puede simbolizar con la ayuda de variables con la expresion M(x, y) que significa

“x es la madre de y”

La afirmacion “alguien es la madre de y” se simboliza con la expresion ∃xM(x, y) Para expre-sar que esta afirmacion es cierta para todo y, se anade el cuantificador universal obteniendola expresion

∀y∃xM(x, y),

la cual representa la simbolizacion de la proposicion “Todo el mundo tiene a alguien comomadre”.


“Hay alguien que ama a todo el mundo”.


El predicado involucrado en la proposicion es

“ama a”

el cual se puede simbolizar con la ayuda de variables con la expresion P (x, y) que significa

“x ama a y”

La proposicion “Hay alguien que ama a todo el mundo” se puede reescribir con la expresion

“∃x (x ama a todo el mundo)”

La afirmacion “x ama a todo el mundo” significa que la afirmacion “x ama a y” es ciertapara todo y, en forma simbolica se escribe

∀yP (x, y)

luego la simbolizacion

∃x∀yP (x, y)

representa la proposicion “Hay alguien que ama a todo el mundo”.

7.11. Conjunto de Validez

Definicion 7.4. Sea U un conjunto de referencia y p(x, y) una funcion proposicional en U .El conjunto Vp definido por

Vp := {(x, y) : p(x, y) es verdadera para x ∈ U y y ∈ U}

se le llama el conjunto de validez de p(x, y), es decir, Vp es el conjunto de parejas ordenadas(x, y) con elementos del conjunto de referencia U en donde p(x, y) es verdadera.

Ejemplo 7.22. Consideremos la proposicion p(x, y): “x es mas alto que y” en el conjuntode referencia formado por tres estudiantes: Juan quien mide 1,65 metros, Pedro quien mide1,70 metros y Carlos quien mide 1,74 metros. El conjunto de validez es

Vp = {(Pedro, Juan), (Carlos, Juan), (Carlos, Pedro) }

Ejemplo 7.23. Sea p(x, y) la proposicion “y− x = 0” en el conjunto de los numeros reales.El conjunto de validez es

Vp = {(x, y) ∈ R2 : y − x = 0}= {(x, y) ∈ R2 : y = x}

es decir, el conjunto de puntos que estan en el plano cartesiano sobre la recta y = x, grafi-camente

152 Cuantificadores

y = x

y

x

Ejemplo 7.24. Consideremos el conjunto de referencia U = {1, 2, 3, 4, 5} y la proposicionp(x, y) : x+ y < 6. El conjunto de validez de p(x, y) es el conjunto

Vp = {(x, y) ∈ U : x+ y < 6}= {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1)}

7.12. Certeza y falsedad de proposiciones con mas de un cuan-tificador

Sean U un conjunto de referencia y p(x, y) una proposicion de dos variables.

1. La proposicion “Para todo x en U , existe un y en U tal que p(x, y)” simbolizada conla expresion

(∀x ∈ U)(∃y ∈ U)P (x, y)

es verdadera si para cada elemento x de U el conjunto de validez Vp de p(x, y) es novacio, y falsa si hay un elemento x de U para el cual el conjunto de validez Vp de p(x, y)es vacio.

2. La proposicion “Existe un x en U tal que para todo y en U se tiene p(x, y) ”simbolizadacon la expresion

(∃x ∈ U)(∀y ∈ U)p(x, y)

es verdadera si hay un elemento x en U tal que el conjunto de validez Vp de p(x, y) esU .

Ejemplo 7.25. Consideremos la proposicion p(x, y): “x es mas alto que y” en el conjunto dereferencia U formado por tres estudiantes: Juan quien mide 1,65 metros, Pedro quien mide1,70 metros y Carlos quien mide 1,74 metros. La expresion

(∀x ∈ U)(∃y ∈ U)P (x, y)

que expresa “Todo estudiante es mas alto que otro” es falsa ya que Juan no es mas alto queotro, observese que para Juan el conjunto

Vp = {y ∈ U : Juan es mas alto que y}= ∅


Ejemplo 7.26. En el conjunto de referencia anterior la proposicion

“Hay alguien que es mas alto que todos”

simbolizada con la expresion

(∃x ∈ U)(∀y ∈ U)p(x, y)

es verdadera ya que para Carlos el conjunto

Vp = {y ∈ U : Carlos es mas alto que y}= U − {Carlos}

Ejemplo 7.27. Sean U = {1, 2, 3} y p(x, y) : x2 < y + 1. La afirmacion

(∃x ∈ U)(∃y ∈ U)p(x, y)

es verdadera ya que hay por lo menos un elemento x llamado 1 para el cual el conjunto

Vp = {y ∈ U : 12 < y + 1}= U

TALLER 19.1. Simbolice las siguientes proposiciones:

a. Para cualquier entero x se tiene que x2 ≥ x.

b. Todo metal es pesado.

c. Ningun metal es pesado.

d. Todo cambia.

e. Existe un conjunto que no tiene elementos.

f. Todo numero divisible por 9 es divisible por tres.

g. No todo lo que brilla es oro.

h. Existe un conjunto que no tiene elementos

i. Ningun bombero le pisa la manguera a otro.

j. algunos trabajos son buenos y, sin embargo, no son reconocidos.

k. No existe x tal que x es un cuadrado y x es un entero par.

l. Toda persona tiene a alguien como madre.

m. Hay alguien que conoce a todo el mundo.

n. Existe a lo sumo dos numeros naturales menores que 5.

o. Existen al menos dos numeros naturales menores que 5.

p. Nadie sabe para quien trabaja.

q. Para todo x, existe un y tal que todo amigo de x es amigo de y.

154 Cuantificadores

2. Considere U = {1, 2, 3} el conjunto universal. Determinar si la expresion simbolicadada es verdadera o falsa.

a) ∃x∀y, x2 < y + 1 d) ∃x∀y∃z, x2 + y2 < 2z2

b) ∀x∃y, x2 + y2 < 12 e) ∃x∃y∀z, x2 + y2 < 2z2

c) ∀x∀y, x2 + y2 < 12

3. Determinar el valor de verdad de la afirmacion dada en el conjunto de los numerosreales.

a) Para cada x, para cada y, x2 < y + 1 d) Para alguna x, para alguna y, x2 < y + 1

b) Para cada x, para alguna y, x2 < y + 1 e) Para alguna y, para cada y, x2 < y + 1

c) Para alguna x, para cada y, x2 < y + 1

4. Suponga que m y n son numeros naturales. Traduzca al lenguaje verbal los siguientesenunciados logicos.

a) ∀n∃n(2n = m) d)∃n∀m(2m = n)

b) ∀m∃n(2m = n) e) ∃n∀m(2n = m)

c) ∀m∀n(¬(2n = m))

3. Considere el universo de todos los polıgonos con tres o cuatro lados y las siguientesproposiciones abiertas para este universo:

a) a(x) : x es un triangulo f) p(x) : x es un triangulo equilatero

b) e(x) : x es un cuadrado g) q(x) : x es un triangulo isosceles

c) h(x) : x es un rectangulo h) r(x) : Todos los lados de x son iguales

d) i(x) : x es un cuadrilatero i) s(x) : Todos los angulos internos de x son iguales

e) k(x) : x es un rombo j) t(x) : x tiene un angulo interno mayor que 180◦

Traduzca al lenguaje verbal cada una de las siguientes proposiciones y determine si laproposicion es verdadera o falsa, justifique su respuesta.

a) ∀x (i(x) ∨ a(x)) h) ∃x (i(x) ∧ t(x))b) ∃x (a(x) ∧ t(x)) i) ∀x (q(x)→ p(x))

c) ∀x (s(x)→ p(x)) j) ∃x (i(x) ∧ ¬h(x))d) ∃x (h(x) ∧ ¬e(x)) k) ∀x (r(x)→ p(x))

e) ∃x (k(x)→ e(x)) l) ∀x (a(x)→ ¬t(x))f) ∀x (s(x)→ (p(x) ∨ h(x))) m) ∀x ((r(x) ∧ i(x))→ e(x))

g) ∀x ((s(x) ∧ a(x))↔ p(x))


7.13. Cuantificadores en Argumentos y Reglas de Inferencia

Para determninar la validez de argumentos que involucran cuantificadores es necesariosuprimir o agregar los cuantificadores pertinentes. En este sentido, las reglas de inferencianos presentan cuatro nuevas reglas aplicadas a los cuantificadores, dos de ellas para agregar ysuprimir los cuantificdores universales y las otras dos con el mismo proposito, pero aplicadasa los cuantificadores existenciales. Las cuatro nuevas reglas de inferencia son: EspecificacionUniversal, Generalizacion Universal, Generalizacion Existencial y Especificacion Existencial.

7.13.1. Regla de la Especificacion Universal (E.U)

Dado un enunciado verdadero de la forma (∀x)(Px), todo reemplazo de la variable x porelementos de su conjunto de referencia, da lugar a un enunciado verdadero.

(∀x)(Px)

Pa

La idea intuitiva de esta regla es que cualquier cosa que sea cierta para todo objeto deluniverso del discurso, es cierta para cualquier objeto en particular.

Ejemplo 7.28. El siguiente argumento es valido:

“Todos los seres humanos son mortales.Socrates es un ser humano.

Por lo tanto, Socrates es mortal”

Para comprobar su validez definamos las proposiciones

Px : x es humano y Rx : x es mortal

El argumento en forma simbolica se escribe como

(∀x)(Px → Rx)

Pa

(Ra)


1. (∀x)(Px → Rx) Premisa

2. Pa Premisa

3. Pa → Ra E.U. en 1

4. Ra M.P.P. (2,3)

Ejemplo 7.29. Un argumento valido es el siguiente:

156 Cuantificadores

“Todos los planetas son opacos.La tierra es un planeta.

Por lo tanto la tierra es opaca.”

Si se definen las proposiciones “Px : x Es un planeta” y “Rx : x Es opaco”, y el objeto“a : La tierra”, la simbolizacion del argumento es

(∀x)(Px → Rx)

Pa

Ra

La demostracion de la validez del argumento es la siguiente:


2. Pa Premisa


4. Ra M.P.P. en 2 y 3

7.13.2. Regla de la Generalizacion Universal (G.U)

Si una funcion proposicional Px tiene todos sus reemplazos por elementos x = a de suconjunto de referencia verdaderos, se infiere la verdad del enunciado (∀x)(Px), es decir, setiene la validez del argumento.

Pa

(∀x)(Px)

Esta regla permite agregar el cuantificador universal, en el caso que se infiere una verdadaplicable a todos los objetos de una verdad aplicable a un objeto elegido arbitrariamente.


“Todo el que haya pagado la boleta,ha entrado al estadio.

Por lo tanto, los que no han entrado al estadio,no han pagado la boleta”


Sx : x ha pagado la boleta y Px : x ha pagado la boleta



(∀x)(Sx → Px)

(∀x)(¬Px → ¬Sx)


1. (∀x)(Sx → Px) Premisa

2. Sa → Pa E.U. en 1

3. ¬Pa Premisa adicional

4. ¬Sa M.T.T (2,3)

5. ¬Pa → ¬Sa Teorema de la Deduccion (3,4)

6. (∀x)(¬Px → ¬Sx) G.U. en 5


“Todas las maquinas no razonan.Todas las computadoras son maquinas.

Luego todas las computadoras no razonan.”

Al definir las proposiciones “Mx : x es una maquina”, “Rx : x razona” y“Cx : x es una computadora”, el argumento simbolizado es

(∀x)(Mx → ¬Rx)

(∀x)(Cx → ¬Mx)

(∀x)(Cx → ¬Rx)

y la demostracion de su validez es la siguiente:

1. (∀x)(Mx → ¬Rx) Premisa

2. (∀x)(Cx → ¬Mx) Premisa

3. Ma → ¬Ra E.U. en 1

4. Ca →Ma E.U. en 2

5. Ca → ¬Ra S.H. en 3 y 4

6. (∀x)(Cx → ¬Rx) G.U. en 5

7.13.3. Regla de la Generalizacion Existencial (G.E)

Si una funcion proposicional Px tiene por lo menos uno de sus reemplazos por elementosx = a de su conjunto de referencia verdadero , se infiere la verdad del enunciado (∃x)(Px),es decir, se tiene la validez del argumento

158 Cuantificadores

Pa

(∃x)(Px)

Esta regla permite agregar el cuantificador existencial, en el caso que se infiere una verdadaplicable a algunos objetos de una verdad aplicable a un objeto en particular.


“Todo persona que se gana el baloto es millonaria.Mario se ha ganado el baloto.

Por lo tanto, Mario es millonario”


Px : x se ha ganado el baloto y Rx : x es millonario


(∀x)(Px → Rx)

Pa

(∃x)(Rx)



2. Pa Premisa


4. Ra M.P.P (2,3)

5. (∃x)(Rx) G.E. en 4


“Todos los metales son brillantes.La plata es un metal.

Luego existen metales brillantes.”

Consideremos las proposiciones “Mx : x es un metal” y “Rx : x es un brillante” y el objeto“a : La plata”. La simbolizacion del argumento es:

(∀x)(Mx → ¬Rx)

Ma

(∃x)(Mx ∧Rx)


La demostracion de la validez del argumento es la siguiente:

1. (∀x)(Mx → ¬Rx) Premisa

2. Ma Premisa

3. Ma → Ra E.U. en 1

4. Ra M.P.P. en 2 y 3

5. Ma ∧Ra Adicion de la “y” en 2 y 4

6. (∃x)(Mx ∧Rx) G.E. en 5

7.13.4. Regla de la Especificacion Existencial (E.E)

Dado un enunciado verdadero de la forma (∃x)(Px), se infiere de el un caso de sustitucionde la funcion proposicional Px, con la restriccion de que se utilice una constante x = a queno halla figurado antes dentro de la demostracion, es decir, que no se halla especificado.

(∃x)(Px)

Pa

La idea intuitiva en que se basa dicha regla es que si existen cosas ciertas para algunosobjetos, entonces tambien son ciertas para un objeto especıfico.


“Hay alguien que ganado el baloto.Por lo tanto, Alguien es millonario”

Observese que este argumento es equivalente al argumento siguiente:

“Hay alguien que ha ganado el baloto.Cualquiera que haya ganado el baloto,

es millonario.Por lo tanto, existe alguien que es millonario”.


Px : x ha ganado el baloto Pb : b ha ganado el baloto Rx : x es millonario


(∃x)(Px)

(∀x)(Px → Rx)

(∃x)(Rx)

160 Cuantificadores


1. (∃x)(Px) Premisa


3. Pa E.E. en 1


5. Ra M.P.P (3,4)

6. (∃x)(Rx) G.E. en 5


“Algunos hombres son sabios.Por lo tanto, Pedro es sabio.”


Hx : x es hombre Sx : x es sabio


(∃x)(Hx ∧ Sx)

Sb


1. (∃x)(Hx ∧ Sx) Premisa

2. Hb ∧ Sb E.E. en 1

3. SB R.S. en 2

CUANTIFICADORES EN ARGUMENTOS Y REGLAS DE INFERENCIA

Regla de Especificacion Universal Regla de Generalizacion Universal

(∀x)(Px) Pa

Pa (∀x)(Px)

Regla de Generalizacion Existencial Regla de Especificacion Existencial

Pa (∃x)(Px)

(∃x)(Px) Pa


TALLER 20.1. Por medio de las reglas de especificacion y generalizacion demostrar la validez de los

siguientes razonamientos:

a. Si todo es espacial o temporal, entonces la tierra esta en movimiento. Todo estemporal. Luego, la tierra esta en movimiento.

b. Hernandez es estudiante y empleado. Todos los empleados cobraran su sueldo ysu aguinaldo. Luego Hernandez cobrara su sueldo.

c. Las serpientes son reptiles. Los reptiles no son animales de clima frıo. Por lo tanto,las serpientes no son animales de clima frıo.

2. Simbolice y demuestre formalmente la validez de los siguientes argumentos:

Todo A es B Algun A es B Algun A es B

Ningun C es B Todo B es C Ningun C es B

Ningun A es C Algun C es A Algun A no es C

3. En cada uno de los siguientes ejercicios se da un conjunto de premisas y una hipotesis;con base a lo anterior conteste la pregunta dada y justifique su respuesta.

a. Las ninas que tienen los ojos azules tienen el cabello corto. Las ninas que juegan alas munecas nunca lloran. Las ninas que no juegan a las munecas, tienen el cabellolargo.

Hipotesis: Marıa Teresa llora desconsoladamente

Pregunta: ¿Marıa Teresa tiene los ojos azules?

b. Los perros que tienen las orejas largas tienen la cola corta. Los perros que per-siguen a los conejos nunca les da rabia. Los perros que no persiguen a los conejostienen la cola larga.

Hipotesis: Tarzan murio de rabia.

Pregunta: ¿Como tenıa las orejas Tarzan?

7.14. Leyes distributivas

(1) (∀x)(Fx ∧Gx)←→ (∀x)(Fx) ∧ (∀x)(Gx).

(2) (∃x)(Fx ∨Gx)←→ (∃x)(Fx) ∨ (∃x)(Gx).

(3) (∀x)(Fx) ∨ (∀x)(Gx) −→ (∀x)(Fx ∨Gx).

(4) (∃x)(Fx ∧Gx) −→ ((∃x)(Fx) ∧ (∃x)(Gx)).

162 Cuantificadores

(5) (∀x)(Fx −→ Gx) −→ ((∀x)(Fx) −→ (∀x)(Gx)).

La implicacion reciproca del numeral (3) no es en general cierta, ası por ejemplo, del hechoque todo numero real es racional o irracional no se puede concluir que todos los numerosreales sean racionales, o todos los numeros reales sean irracionales.

El reciproco del numeral (4) no es en general verdadero. Ası por ejemplo, aunque existennumeros racionales y existen numeros irracionales, no se puede concluir que existan numerosque sean racionales e irracionales simultaneamente.

Capıtulo 8

Metodos de DemostracionMatematica

Una demostracion matematica es una serie de deducciones que se obtienen a partir dehipotesis que se suponen como verdaderas con el fin de obtener conclusiones que tambienson verdaderas.

Existen varios metodos de demostracion matematica, algunos de los cuales son utiles parademostrar proposiciones de la forma


proposiciones en las que se debe identificar la hipotesis la cual es p y la conclusion la cuales q, estos metodos son: la demostracion directa e indirecta.

8.1. Demostracion Directa

Consiste en suponer que la hipotesis p es verdadera y comprobar que la conclusion q tambienes verdadera.

Ejemplo 8.1. Demostrar que

“Si n es un numero entero par, entonces “n2 tambien es un numero par”.

Demostracion. La hipotesis es “n es un entero par” y la conclusion es “n2 es un numeropar”. Supongamos que la afirmacion “n es un entero par” es verdadera, es decir, n = 2k paraalgun entero k. La idea es demostrar que la afirmacion “n2 es un numero par”es verdadera,es decir, existe un entero m tal que n2 = 2m.

En efecto,n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2)

luego basta tomar m = 2k2, y con esto finaliza la demostracion.


“La suma de dos numeros pares es un numero par”

163

164 Metodos de Demostracion Matematica

Demostracion. Observese que la afirmacion anterior es equivalente a la afirmacion

“Si a y b son numeros pares, entonces a+ b es un numero par”

La hipotesis es “a y b son numeros pares” y la conclusion es “a+ b es un numero par”.

Supongamos que la afirmacion “a y b son numeros pares”es verdadera, es decir, existenenteros n y m tales que a = 2n y b = 2m. La idea es demostrar que la afirmacion “a+ b esun numero par” es verdadera, es decir, existe un entero k tal que a+ b = 2k.

Esto se tiene, ya quea+ b = 2n+ 2m = 2(n+m),

basta tomar k = n+m y con esto finaliza la demostracion.


“Toda funcion derivable es continua.”

Demostracion. La afirmacion anterior es equivalente a la afirmacion

“Para cualquier funcion f se tiene que, si f es derivable, entonces f es continua.”

Para demostrar esta afirmacion se escoge una funcion f cualquiera con la caracterıstica deser derivable. Luego, la hipotesis es “f es derivable” y la conclusion es “f es continua”.

Supongamos que “f es derivable”, es decir, para cualquier a en el dominio de f siempreexiste el valor

lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

¿Como demostrar que la funcion f es continua?

Para esto basta comprobar quelımx→a

f(x) = f(a)

y se procede ası:

Sea

l = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a.

Observese que la expresion

f(x)− f(a) =f(x)− f(a)

x− a· (x− a)

y por propiedades de los lımites, se tiene que

lımx→a

[f(x)− f(a)] = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a· (x− a)

= lımx→a

f(x)− f(a)

x− a· lım

x→a(x− a)

= l · 0 = 0,

es decir,lımx→a

f(x) = f(a)

y ası la conclusion es verdadera, es decir, “f es continua”.


8.2. Demostracion Indirecta

Existen dos tipos de demostracion indirecta: por contradiccion o reduccion al absurdo, y porcontraposicion

8.2.1. La Demostracion por Contradiccion o Reduccion al Absurdo

No siempre la demostracion directa determina la veracidad de proposiciones ya que existencasos muy simples en donde fracasa, veamos el siguiente ejemplo:


“Si n es un entero positivo y n2 es par, entonces n es par.”

Si pensamos en el metodo de demostracion directa, comenzamos con la pregunta:

¿Como demostrar que un entero n es un numero par?

Una respuesta serıa demostrar que existe entero k tal que n = 2k. De la hipotesis “n2 espar”, se puede afirmar que existe un entero m tal que n2 = 2m.

Como el objetivo es encontrar un entero k para el que n = 2k, es natural tomar la raızcuadrada positiva de en ambos lados de la igualdad n2 = 2m y preguntarse ¿como escribirn en la forma 2k?

¡En este caso el metodo de demostracion directa falla!

Afortunadamente existen otras tecnicas de demostracion. Una de ellas, el metodo de de-mostracion por reduccion al absurdo es el que se presenta ahora junto con algunas indica-ciones de cuando y como debe utilizarse.

En el metodo de demostracion de reduccion al absurdo, se debe comenzar suponiendo quela hipotesis es verdadera, al igual que en el metodo de demostracion directa y para llegara la conclusion buscada, se supone que la conclusion es falsa. Si la conclusion tiene que serverdadera debe haber alguna razon por la que no pueda ser falsa. El objetivo del metodo dedemostracion por reduccion al absurdo es, precisamente, descubrir esa razon.

En otras palabras, la idea de la demostracion por reduccion al absurdo es suponer que lahipotesis es verdadera y la conclusion es falsa y ver que no puede ocurrir esto, es decir,suponer que la hipotesis es verdadera y la negacion de la conclusion es verdadera y utilizaresta informacion para llegar a una contradiccion, por ejemplo que 1 = 0 que con seguridadno puede ser cierto.

Una vez supuesto que la hipotesis y la negacion de la conclusion son verdaderas surgennaturalmente varias preguntas:

1. ¿Que contradiccion debe encontrarse?.

2. ¿Como utilizar los supuestos para obtener dicha contradiccion?


3. ¿Cuando y por que se debe utilizar este metodo en lugar del de demostracion directa?

La primera pregunta es difıcil de responder, porque no hay normas especıficas. Cada problemaorigina su propia contradiccion, generalmente debe tenerse creatividad, esfuerzo, y suertepara llegar a esa contradiccion.

Para dar respuesta a la segunda pregunta, los supuestos se utilizan de manera creativa yesforzosa para obtener una contradiccion con la ventaja de que se tienen dos supuestos envez de uno como en el metodo de demostracion directa y la desventaja de que no se tieneuna idea exacta de como va a surgir la contradiccion.

Para la tercera pregunta, el metodo de demostracion por reduccion al absurdo se utilizacuando la negacion de la conclusion proporciona alguna informacion util.

Recuerdese que en el ejemplo anterior se pretendıa demostrar que

“Si n es un entero positivo y n2 es par, entonces n es par”

y en el intento de hacer una demostracion directa se tenıa que la conclusion es “n es par” yse observo que era imposible escribir a n en la forma 2k.

Veamos en el siguiente ejemplo como la demostracion por contradiccion es util para demostrarque la afirmacion anterior es verdadera.

Ejemplo 8.5. Demostrar por contradiccion que

“Si n es un entero positivo y n2 es par, entonces n es par”

Demostracion. Como un entero solamente puede ser par o impar, se puede suponer que laconclusion no es verdadera, es decir, “n es un entero impar”. Por lo tanto la negacion de laconclusion proporciona alguna informacion util, la cual dice que n se puede escribir en laforma n = 2k + 1 para cierto entero k.Al utilizar la hipotesis “n2 es par” y la negacion de la conclusion n = 2k + 1 (n es impar)debe tenerse que

n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1,

y si se denota por m a la expresion 2k2 + 2k debe tenerse que n2 = 2m+ 1 que afirma quen2 es impar. Con esto se obtiene que n2 es par e impar, esto es una contradiccion que seobtiene de suponer que “n es un entero impar”, por lo tanto, debe tenerse que “n es unentero par.

Para demostrar la veracidad de proposiciones de la forma

“Si p, entonces no q”,

es frecuente utilizar el metodo de demostracion por reduccion al absurdo (o contradiccion),un ejemplo clasico es el siguiente:


“Si r es un numero real tal que r2 = 2, entonces r no es racional”.


Demostracion. Supongase que r es racional. Luego r se puede expresar en la forma r = ab

en donde a y b son numeros enteros tales que a 6= b, b 6= 0 y el maximo comun divisor entrea y b es 1. Por lo tanto a2

b2= 2, es decir, a2 = 2b2, esto es, a2 es par, luego a tambien es par.

Como a es par, a se puede expesar en la forma a = 2k para cierto entero k y ası a2 = 4k2,por lo tanto b2 = 2k2, es decir, b2 es par y de esto debe tenerse que b es par.

En conlusion a y b son pares, luego debe tenerse que el maximo comun divisor entre a yb es mayor o igual que 2, es decir, no puede ser 1 como se tenıa inicialmente; esto es unacontradiccion que se obtiene de suponer que r es racional, por lo tanto debe tenerse que rno es racional.

8.2.2. La Demostracion por Contraposicion

Para demostrar la veracidad de proposiciones de la forma

“Si p es verdadera, entonces q es verdadera”

por contraposicion, se demuestra de manera directa la veracidad de la proposicion

“Si no q es verdadera, entonces no p es verdadera”.

Ejemplo 8.7. Sea a ≥ 0 un numero real. Si para todo ε > 0 se tiene 0 ≤ a < ε, entoncesa = 0.

Demostracion. Supongamos que a > 0 y la idea es demostrar que existe un ε > 0 tal que0 < ε ≤ a. Observese que si se toma ε = a

2 debe tenerse que 0 < ε = a2 ≤ a, lo que contradice

el supuesto de que a > 0.

Ejemplo 8.8. Si a y b son numeros reales con a 6= 0, entonces la funcion f(x) = ax+ b esinyectiva, es decir, para cualesquiera numeros reales x y y se tiene que

“Si x 6= y, entonces f(x) 6= f(y)”

Demostracion. Para realizar un demostracion por contraposicion, debemos demostrar quepara cualesquiera numeros reales x y y se tiene que

“Si f(x) = f(y), entonces x = y”.

En efecto debe tenerse, puesto que si f(x) = f(y), entonces ax+ b = ay+ b, luego x = y.

El siguiente cuadro resume los tres metodos de demostracion de proposiciones de la forma

“Si p, entonces q”:

Metodo de Demostracion Hipotesis dadas Conclusion a obtener

Directa p q

Reduccion al absurdo p y ¬q Una contradiccion

Contraposicion ¬q ¬p


8.2.3. Proposiciones Matematicas

En matematicas, se encuentran proposiciones verdaderas como axiomas, lemas, teoremas ycorolarios. Veamos la diferencia entre cada uno de ellos y algunos ejemplos:

Definicion 8.1. Un axioma es una proposicion verdadera que no requiere demostracionalguna para verificar su veracidad.

Ejemplo 8.9. Son axiomas las siguientes afirmaciones:

a. Para todo numero real x, existe un numero real y tal que x < y.

b. Para cada numero real x existe un numero real y tal que x+ y = 0.

c. Todo hombre es mortal.

Definicion 8.2. Un lema es una proposicion verdadera que puede ser demostrada y que esutil como una premisa o hipotesis adicional en la demostracion de un teorema.

Definicion 8.3. Un teorema es una proposicion verdadera que se obtiene a partir de axiomaso proposiciones verdaderas previamente demostradas. Para verificar la validez de un teoremabasta dar una argumentacion convincente en la que se muestre una consecuencia logica dela conlusion.

En un teorema, al conjunto de axiomas o proposiciones previamente demostradas se le llamanpremisas o “hipotesis” y la proposicion a demostrar se le llama “conlusion”.

Ejemplo 8.10. Son teoremas las siguientes afirmaciones:

a. Si a2 es un numero par, entonces a es un numero par.

b. Si f es una funcion derivable en x = a, entonces f es continua en x = a.

c. Todos los peces viven en el agua.

Veamos la demostracion del siguiente teorema:

Teorema 8.4. “Todos los numeros enteros son interesantes”

Demostracion. Supongamos esto no es cierto, luego existe por lo menos un numero enteroque no es interesante. De aquı surge la pregunta: “ ¿cual sera ese numero?”

Naturalmente este numero resulta ser interesante, lo cual contradice la hipotesis de partidade que no es interesante. Por lo tanto, “Todos los numeros enteros son interesantes”.


8.3. Demostracion por Induccion Matematica

En matematicas, existen proposiciones generales y proposiciones particulares.

Ejemplo 8.11. Son proposiciones generales las siguientes:

* Todos los numeros que terminan en cero son divisibles por 5.

* En todo paralelogramo los diagonales se cortan en el punto medio de ambas.

Las proposiciones particulares correspondientes son:

* 250 es divisible por 5.

* Las diagonales del paralelogramo ABCD se cortan en el punto medio de ambas.

El paso de las proposiciones generales a particulares se denomina “deduccion” y el paso delas proposiciones particulares a las generales se denomina “induccion”.

La “induccion” puede conducirnos a conclusiones verdaderas y a conclusiones falsas, comose puede ver en el siguiente ejemplo:


p : “250 es divisible por 5”

De la proposicion particular p se puede obtener una proposicion general q que es verdaderay una proposicion general r que es falsa, estas son:

q : “Todos los numeros que terminan en cero son divisibles por 5”

r : “Todos los numeros de tres dıgitos son divisibles por 5”

El metodo de induccion matematica es un metodo especial de demostracion matematicaque permite con base en observaciones particulares, determinar la validez de las regulari-dades generales correspondientes. No siempre las regularidades nos conducen a conclusionescorrectas, observese el siguiente ejemplo:

Ejemplo 8.13. Consideremos el polinomio

p(x) = x2 + x+ 41.

Es claro que p(0) = 41, p(1) = 43 y p(2) = 47 son numeros primos y tambien que parax = 3, 4, 5, · · · , 39, p(x) es un numero primo. De aquı se puede inferir que al sustituir x en elpolinomio p(x) por un numero entero no negativo cualquiera, siempre se obtiene un numeroprimo como resultado, es decir,

“p(x) es un numero primo para cada entero no negativo x”.

Pero para x = 40, p(40) = 1681 es divisible por 41, esto muestra que p(x) es un polinomioen 40 casos particulares, pero que en general no lo es.


Leibniz, eminente matematico aleman del siglo XVII demostro que cualquiera que sea elentero positivo n, el numero n3 − n es divisible por 3, el numero n5 − n es divisible por 5,el numero n7 − n es divisible por 7. De aquı conluyo que para todo k impar y cualquier nentero positivo el numero nk − n es divisible por k. Pero muy pronto se dio cuenta que alprobar con k = 9 , 29 − 2 = 510 no es divisible por 9.

De los ejemplos anteriores observamos que una proposicion puede ser verdadera en una seriede casos particulares y no serlo en general.

Ahora, si tenemos una proposicion verdadera en varios casos particulares y es imposibleanalizar todos los casos, surge la pregunta la siguiente:

¿ Cuando se puede afirmar que esta proposicion es verdadera en forma general?

La respuesta se consigue en algunas ocasiones utilizando el metodo de induccion matematica.

Este metodo se basa en el principio de induccion matematica que consiste en lo siguiente:

Teorema 8.5. Principio de Induccion Matematica.

Sean n un entero positivo y p(n) una funcion proposicional en n que satisface las siguientescondiciones:

1. Para n=1, la proposicion p(1) es verdadera.

2. Si para n = k la proposicion p(k) es verdadera, entonces para n = k + 1, p(k + 1) esverdadera.

Entonces, para todo entero positivo n la proposicion p(n) es verdadera.

Toda demostracion que se basa en el principio de induccion matematica se denomina de-mostracion por induccion.

Ejemplo 8.14. Determinar la suma de los n primeros numeros impares.

Buscamos una expresion general para encontrar la suma de

1 + 3 + 5 + ...+ (2n− 1)

en donde n es un entero positivo.

Representando esta suma por Sn tenemos que

Para n = 1, S1 = 1.

Para n = 2, S2 = 1 + 3 = 4.

Para n = 3, S3 = 1 + 3 + 5 = 9.

Para n = 4, S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

Para n = 5, S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

Con esto se puede concluir para n = 1, 2, 3, 4, 5 la suma de los n numeros impares sucesivoses igual a n2.

Para verificar esta conclusion se utiliza metodo de induccion matematica.


1. Si n = 1, la suma consta de un sumando igual a 1, la expresion n2 tambien es igual a1 si n = 1, luego la hipotesis se cumple para n = 1.

2. Supongamos que la hipotesis es valida para n = k, es decir, Sk = k2 y demostremosque es valida para n = k + 1, es decir, Sk = (k + 1)2.

Como Sk+1 = 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2k + 1) = Sk + (2k + 1) pero Sk = k2 ySk+1 = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 Luego suponiendo que la formula Sk = k2 es validapara un cierto numero natural k, hemos logrado demostrar su validez para el numerosiguiente inmediato k + 1.

Ejemplo 8.15. Encontrar los numeros naturales n que cumplen la desigualdad 2n > n2.

Para esto, observese el siguiente analisis:

Para n = 1 la desigualdad es falsa ya que 21 > 12.

Para n = 2 la desigualdad es falsa ya que 22 = 22.

Para n = 3 la desigualdad es falsa ya que 23 < 32.

Para n = 4 la desigualdad es falsa ya que 24 = 42.

Para n = 5 la desigualdad es verdadera ya que 25 < 52.

Para n = 6 la desigualdad es verdadera ya que 26 < 62.

luego se puede inducir que la desigualdad es verdadera para todo n > 4.

Demostremos entonces que 2n > n2 es verdadera para todo n > 4.

1. Para n = 5 la desigualdad es verdadera.

2. Sea k un numero natural mayor que 4 tal que 2k > k2 y demostremos que 2k+1 >(k + 1)2.

Como 2k > 2k + 1 para k > 4, sumando 2k en ambos lados de la desigualdad 2k > k2

tenemos que2k + 2k > k2 + 2k > k2 + 2k + 1 = (k + 1)2

lo que implica que 2k+1 > (k + 1)2.

Ejemplo 8.16. Demostrar que para todo entero positivo n se cumple que

23 + 43 + 63 + · · ·+ (2n)3 = 2n2(n+ 1)2.

Denotemos por Sn la formula anterior. Observese que Sn puede representarse mediante laformula

n∑

i=1

(2i)3 = 2n2(n+ 1)2.

1. Es claro que para n = 1, S1 es verdadera puesto que 23 = 2(1)2(12).

Ademas, para n = 2, S2 tambien es verdadera ya que 23 + 43 = 2(22)(32).


2. Suponga que para n = k, Sk es verdadera, es decir,

k∑

i=1

(2i)3 = 2k2(k + 1)2.

Esta igualdad se le llama la hipotesis de induccion.

La idea es demostrar que para n = k + 1, Sk+1 tambien es verdadera, es decir,

k+1∑

i=1

(2i)3 = 2(k + 1)2(k + 2)2.

En efecto,

k+1∑

i=1

(2i)3 = 23 + 43 + 63 + · · ·+ (2k)3 + [2(k + 1)]3

=k∑

i=1

(2i)3 + [2(k + 1)]3

= 2k2(k + 1)2 + [2(k + 1)]3 (segun la hipotesis de induccion)

= 2(k + 1)2[k2 + 22(k + 1)] (factorizando la expresion anterior)

= 2(k + 1)2(k2 + 4k + 4)

= 2(k + 1)2(k + 2)2

Con esto, se ha verificado por el principio de induccion matematica que Sn es verdadera paratodo entero positivo n.

Ejemplo 8.17. Observese que las siguientes igualdades son verdaderas:

1 +1

2= 2− 1

2

1 +1

2+

1

4= 2− 1

4

1 +1

2+

1

4+

1

8= 2− 1

8

De las igualdades anteriores se puede concluir lo siguiente:

Para todo entero positivo n se tiene que

1 +1

2+

1

4+

1

8+ · · ·+ 1

2n= 2− 1

2n

Para demostrar la validez de esta conclusion, denotemos por Sn la formula anterior.

1. S1 es verdadera porque

1 +1

2= 2− 1

2


2. Supongamos que Sk es verdadera, es decir,

1 +1

2+

1

4+

1

8+ · · ·+ 1

2k= 2− 1

2k(Hipotesis de induccion)

Entonces,

1 +1

2+

1

4+

1

8+ · · ·+ 1

2k+

1

2k+1

= 2− 1

2k+

1

2k+1(segun la hipotesis de induccion)

=2(2k+1)− 2 + 1

2k+1

=2k+2 − 1

2k+1

=2k+2

2k+1− 1

2k+1

= 2− 1

2k+1

Luego, Sk+1 es verdadera.

Por el principio de induccion matematica, Sn es verdadera para todo n.

TALLER 21.

1. En cada uno de los siguientes teoremas establezca la hipotesis y la conclusion.

a. Si f es una funcion derivable en a, entonces f es continua en a.

b. Sea f es una funcion continua en un intervalo cerrado [a, b]. Si G(x) =∫ x

af(t) dt,

entonces G es una antiderivada de f en [a, b].

c. Sea f es una funcion derivable en un intervalo que contiene a c tal que f ′(c) = 0.Si f ′′(c) < 0, entonces f tiene un maximo local en c.

d. Si una serie infinita∑∞

n=1 an es convergente, entonces lımn→∞ an = 0.

2. Demuestre las siguientes afirmaciones por el metodo directo.

a. Para todo entero n, Si n es un entero par, entonces n2 es par.

b. La suma de tres enteros consecutivos es un entero divisible por 3.

c. Si m y n son numeros enteros pares, entonces el producto m ·n es un entero par.

d. La suma de dos numeros racionales es un numero racional.

e. Si a+ b = c, entonces a = c− b y b = c− a.

f. Para todo numero real a 6= 0, se cumple que a2 > 0.


g. Demuestre que 1 > 0.

h. Si ac = bc y c 6= 0, entonces a = b.

3. Demuestre las siguientes afirmaciones por el metodo indirecto.

a. Si n+m ≥ 17, entonces n ≥ 9 o m ≥ 8.

b. Si n2 es un entero par, entonces n es par.

c. Si m no es divisible por 5, entonces y 2m+ 10 no divisible por 5.

d. Si 2m+ 3 es impar, entonces 2m es par.

4. Demuestre las siguientes afirmaciones por contradiccion.

a.√2 es un numero irracional.

b.√5 es un numero irracional.

c. Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.

d. Si A ⊆ Bq, entonces B′ ⊆ A′

5. Demuestre las siguientes afirmaciones en forma directa y por contradiccion.

a. La suma de dos enteros impares es un entero par.

b. La suma de dos numeros racionales es un numero racional.

c. Para cada entero positivo n, si xn = 0, entonces x = 0.

d. La interseccion de un conjunto A con su complemento es vacıa.

6. Demuestre los siguientes afirmaciones de manera directa, indirecta y por contradiccion.

a. Si n es un entero par, entonces 2n+ 3 es un entero impar.

b. Si n es un entero positivo impar, entonces 3n− 2 es un entero impar.

c. Si A es un subconjunto de B, entonces el complemento de B es un subconjuntodel complemento de A.

d. Si A es un subconjunto de B, entonces la interseccion de A con B es A.

e. Si A y B son conjuntos, entonces la interseccion de A con B esta contenida en A.

7. De un contraejemplo para las siguientes afirmaciones.

a. Si x es un numero real tal que x2 > 0, entonces x > 0.

b. Si x es un numero real positivo, entonces√x es un numero irracional.

c. Si x y y son numeros reales positivos, entonces√x+ y =

√x+√y.

d. Para cualesquiera numeros reales x y y con x < y se cumple que x2 < y2.

e. Si x es un numero real tal que 2x < 1, entonces 1/x > 2.


8. Determine si las afirmaciones dadas son ciertas o falsas. Si la afirmacion es cierta, de undemostracion; si la afirmacion es falsa, de un contraejemplo.

a. La suma de dos enteros impares es un entero impar.

b. La suma de dos numeros irracionales es un numero irracional.

c. La suma de dos numeros primos es un numero primo.

d. La suma de un numero entero par con un impar es un entero impar.

e. Para todo numero real x, −x es un numero negativo.

9. Para las proposiciones dadas, induzca a partir de ellas una ley general y luego de-muestrela por induccion matematica.

a) 3 =3

2(1)(2) b) 1 = 1

3 + 6 =3

2(2)(3) 1− 4 = −(1 + 2)

3 + 6 + 9 =3

2(3)(4) 1− 4 + 9 = 1 + 2 + 3

1− 4 + 9− 16 = −(1 + 2 + 3 + 4)

c) d)

1 +1

2= 2− 1

21− 1

2=

1

2

1 +1

2+

1

4= 2− 1

4

(

1− 1

2

)(

1− 1

3

)

=1

3

1 +1

2+

1

4+

1

8= 2− 1

8

(

1− 1

2

)(

1− 1

3

)(

1− 1

4

)

=1

4

10. En cada uno de los siguientes ejercicios utilizar el principio de induccion matematicapara demostrar que la proposicion dada es valida para cualquier entero positivo n.

a. 1 + 2 + 3 + · · · · · · · · ·+ n = 12n(n+ 1)

b. 2 + 4 + 6 + · · · · · · · · ·+ 2n = n(n+ 1)

c. 3 + 6 + 9 + · · · · · · · · ·+ 3n = 32n(n+ 1)

d. 12 + 22 + 32 + · · · · · · · · ·+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1)

e. 22 + 42 + 62 + · · · · · · · · ·+ (2n)2 = 23n(n+ 1)(2n+ 1)

f. 12 + 32 + 52 + · · · · · · · · ·+ (2n− 1)2 = 13n(2n− 1)(2n+ 1)

g. 13 + 23 + 33 + · · · · · · · · ·+ n3 = 14n

2(n+ 1)2

h. 23 + 43 + 63 + · · · · · · · · ·+ (2n)3 = 2n2(n+ 1)2

i. 13 + 33 + 53 + · · · · · · · · ·+ (2n− 1)3 = n2(2n2 − 1)


j. (1 ∗ 2) + (2 ∗ 3) + · · · · · · · · ·+ [n ∗ (n+ 1)] = 13n(n+ 1)(n+ 2)

k. 11∗2 + 1

2∗3 + · · · · · · · · ·+ 1n(n+1) = n

n+1

l. (1 ∗ 3) + (2 ∗ 4) + (3 ∗ 5) + · · · · · · · · ·+ [n ∗ (n+ 2)] = 16n(n+ 1)(2n+ 7)

m. 11∗3 + 1

3∗5 + 15∗7 · · · · · · · · ·+ 1

(2n−1)(2n+1) = n2n+1

n. 13 + 33 + 53 + · · · · · · · · ·+ (2n− 1)3 = n2(2n2 − 1)

o. 13(4

n − 1) es un entero.

p. n3 + 2n es divisible por 3.

q. 5n − 1 es divisible por 4.

r. 22n − 1 es divisible por 3.

s. n3 + 5n es divible por 3.

t. n(n+ 1)(n+ 2) es divisible por 3.

u. n2 + n es divisible por 3.

v. 9n − 1 es divisible por 4.

w. 23n − 1 es divisible por 7.

x. 7n − 1 es divisible entre 6.

y. 11n − 6 es divisible entre 5.

z. (6 ∗ 7n)− (2 ∗ 3n) es divisible entre 4.

Apendice A

Conjuntos

La teorıa de conjuntos es un sistema matematico y un lenguaje especıfico para el mane-jo de ciertos problemas. Al igual que otros sistemas matematicos, como el algebra y la ge-ometrıa, consiste en un conjunto de conceptos basicos, definiciones, operaciones, propiedadesy teoremas.

La teorıa de conjuntos es un instrumento adecuado para la sistematizacion de nuestramanera de pensar y para el desarrollo de la capacidad de analisis. Nos permite enfocar unprobloema en su totalidad, deslindando en el lo que carece de importancia de lo que esfundamental. Facilita la visualizacion de las interrelaciones que pueden existir entre todaslas partes componentes de un problema, ası como las de cada parte con el todo.

En el analisis de problemas concretos se deben identificar una variedad de cursos posiblesde accion y evaluaralos de acuerdo con criterios especıficos, a fin de elegir la opcion optima.

Mediante las operaciones entre conjuntos, se puede combinar las elementos de una situaciondada, con el fin de identificar esas alternativas de accion, de evaluar la informacion disponibley separar lo fundamental de lo irrelevante, teniendo ası una mayor eficiencia en la toma dedecisiones.

De aquı que, la metodologıa propia de los conjuntos y su razonamiento deductivo, no solofijan un marco de referencia para el analisis logico de situaciones complejas, sino que ademasayudan a sistematizar nuestra capacidad analıtica en el manejo de informacion concreta.

Finalmente, conviene destacar que el aprendizaje de estas nociones basicas facilita no-tablemente la capacitacion de temas matematicos mas avanzados, tales como funciones,probabilidad, muestreo, optimizacion y otros.

A.1. Antecedentes Historicos

La teorıa de conjuntos fue propuesta originalmente por George Cantor a fines del sigloXIX y, al ser axiomatizada por Bertrand Russell a principios del siglo XX, resulto ser unateorıa matematica inconsistente. Esto significa que de ella se puede derivar tanto una asercion

177

178 Conjuntos

como su negacion, lo cual genera una contradiccion que a su vez conduce a una paradoja.En su momento se hicieron diversas propuestas de solucion; una de ellas la plantea el mismoRussell en su teorıa de tipos; otra mas es la teorıa Zermelo-Fraenkel, que es la mas usada hoyen dıa y que constituye la teorıa de conjuntos moderna. Las diversas propuestas de solucionapuntan en la direccion de impedir la generacion del conjunto universal (el conjunto de todoslos conjuntos), cuya permision es precisamente lo que lleva a la conocida paradoja de Russell.

Definicion A.1. Un conjunto es una clase de objetos bien definidos que pueden ser, numeros,personas, letras, paıses, ...,etc. Estos objetos se llaman “elementos” o miembros del conjunto.

Ejemplo A.1. Son conjuntos los siguientes:

(1) Los numeros 5, 8, 9 y 10.

(2) Las vocales del alfabeto: a, e, i, o , u

(3) Las numeros 1, 3, 5, 7, · · ·

(4) Las soluciones de la ecuacion x2 − 5x+ 6 = 0

(5) Los paises suramericanos.

Observese que los conjuntos (1), (2), y (3) anteriores se presentan listando sus elementos,mientras que los conjuntos (4) y (5) se presentan dando una caracterıstica particular de suselementos.

A.2. Notacion de Conjuntos

Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayusculas

A,B,C, · · ·

Los elementos de un conjunto se denotan con letras minusculas

a, b, c, · · ·

Al definir un conjunto por la efectiva enumeracion de sus elementos, como el conjunto A queconsiste de los numeros 5 , 8, 9 y 10, se escribe

A = {5, 8, 9, 10}

separando los elementos por comas y encerrandolos entre llaves {}. Esta es la llamada “formatabular” de un conjunto. Pero si se define un conjunto enunciando propiedades que debentener sus elementos, como el conjunto B que consiste de todos los numeros impares, entoncesse emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe

B = {x/x es impar}

el cual se lee “B es el conjunto de los numeros x tales que x es impar”.


Para indicar que un elemento x pertenece a un conjunto A se escribe

x ∈ A

el simbolo “∈” se le llama “pertenencia” y para indicar que un elemento x no pertenece aun conjunto A se escribe

x ∈ A

Ejemplo A.2. Consideremos el conjunto

A = {a, b, c}.

En este caso A es el conjunto formado por los elementos a, b y c, y la expresion b ∈ A se lee“b pertenece a A” es decir, b es un elemento de A; mientras que 3 no es un elemento de A,es decir que 3 /∈ A”.

Ejemplo A.3. Consideremos el conjunto

B = {x/ es impar}.

Entonces 3 ∈ B, 2 /∈ B, 17 ∈ B, 20 /∈ B.

A.3. Expresion de Conjuntos

Los conjuntos se pueden expresar de dos maneras diferentes: por extension y por comprension.

• Por extension: cuando el conjunto se expresa listando sus elementos.

Ejemplo A.4. Los conjuntos A, B, C y D dados son conjuntos expresados por extension.

A = {a, e, i, o, u}, B = {2, 4, 6, 8, · · · }

C =

{

1

2,1

3,1

4, · · ·

}

D = {1,−1, 1,−1, · · · }

• Por comprension: cuando el conjunto se expresa dando una caracterıstica en comunacerca de sus elementos.

Ejemplo A.5. Los conjuntos A, B, C y D dados son conjuntos expresados por comprension.

A = {x/x es una vocal}, B = {x ∈ N : x es un numero par},

C =

{

n

n+ 1: n ∈ N

}

D = {(−1)n+1 : n ∈ N}

Observese que los conjuntos de los ejemplos A.4 y A.5 son los mismos.

180 Conjuntos

A.4. Conjuntos Finitos e Infinitos

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos.

Definicion A.2. Se dice que un conjunto es finito si consta de un cierto numero de elementos,es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de conteo puede terminar.

Ejemplo A.6. Los conjuntos

A = {2, a, b, 5, w}B = {x/x es un continente}

= {America, Africa, Asia, Oceanıa, Europa}

son finitos ya que el numero de elementos de cada conjunto es 5.

Definicion A.3. Se dice que un conjunto es infinito si el numero de elementos del conjuntono se puede determinar.

Ejemplo A.7. Son conjuntos infinitos los siguientes:

A = {2, 4, 6, 8, · · · }B = {x/x es un numero primo}

A.5. Conjuntos Enumerables y No-enumerables

Los conjuntos pueden ser enumerables y no-enumerables.

Definicion A.4. Un conjunto es enumerable si sus elementos se pueden enumerar, es decir, sisus elementos se pueden poner en correspondencia biunıvoca con el conjunto de los numerosnaturales.

Ejemplo A.8. EL conjuntoA = {3, 5, 7, 8 · · · }

es enumerable ya que el primer elemento de A es el 3, el segundo elemento de A es el 5, eltercer elemento de A es el 5 y ası sucesivamente. Observese que el conjunto es infinito.

Nota A.5. Todo conjunto finito es enumerable.

Ejercicio. Verifique que el conjunto de los numeros racionales

Q ={a

b: a, b ∈ Z, b 6= 0

}

es enumerable.

Definicion A.6. Un conjunto es no-enumerable si sus elementos no se pueden colocar encorrespondencia biunıvoca con el conjunto de los numeros naturales, es decir, no es posibleenumerar sus elementos.

Ejemplo A.9. Los conjuntos A y B dados son no-enumerables

A = {f/f es una funcion continua}B = {x/x es un conjunto}


A.6. Igualdad de Conjuntos

Conjuntos!Igualdad de Dos conjuntos A y B son iguales si ambos tienen los mismoselementos, es decir, si cada elemento de A pertenece a B y cada elemento de B pertenece aA. La igualdad de los conjuntos A y B se donota por

A = B

Ejemplo A.10. Sean A = {5, 6, 7, 8} y B = {7, 5, 8, 6}. Entonces A = B ya que cada unode los elementos 5, 6, 7, 8 de A pertenece a B y cada uno de los elementos 7, 5, 8, 6 de Bpertenece a A. Observese que un conjunto no cambia al reordenar sus elementos.

Ejemplo A.11. Sean C = {3, 2, 3, 9} y D = {9, 3, 9, 2}. Entonces C = D, ya que cadaelemento de C pertenece a D y cada elmento de C pertenece a D. Observese que un conjuntono cambia si se repiten sus elementos. Por lo tanto, el conjunto {2, 3, 9} es igual al conjuntoC y D.

Ejemplo A.12. Sean E = {x ∈ R : x2−5x+6 = 0}, F = {2, 3} y G = {2, 3, 3, 2}. Entonces,E = F = G ya que las soluciones de la ecuacion x2 − 5x+ 6 = 0 son x = 2 y x = 3.

Ejemplo A.13. Sean A = {x ∈ Z : 3x + 1 = 5 − x} y B = {x ∈ Z : 7x − 4 = 3x}. Luego,A = B, ya que la solucion de las ecuaciones correspondientes es x = 1.

A.7. Conjunto Vacio

Es aquel conjunto que no tiene elementos y se denota por ∅.Ejemplo A.14. Los conjuntos A, B y C dados son conjuntos vacios:

A = {x ∈ N : x+ 1 = 0}B = {x/x es hombre mayor de 200 anos}C = {x ∈ R : x2 + 1 = 0}

A.8. Subconjuntos

Se dice que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es un elemento de B y seescribe

A ⊂ B

que se lee con la expresion “A esta contenido en B” o “B contiene a A”. Esto significa que

Si x ∈ A, entonces x ∈ BSi A no es un subconjunto de B se escribe

A * B

Ejemplo A.15. Sean A = {4, 6} y B = {2, 4, 6, 8, 10} y . Entonces A ⊂ B, es decir “Aesta contenido en B” ya que los elementos de A que son 4 y 6 son elementos de B.

182 Conjuntos

Ejemplo A.16. Consideremos los conjuntos

A = {x ∈ N : x es primo menor o igual a 8} y B = {1, 3, 5, 7, 9}

Entonces A = {1, 3, 5, 7} y A ⊂ B ya que los elementos de A son elementos de B.

Definicion A.7. Dos conjuntos A y B son iguales A = B si y solo si A ⊂ B y B ⊂ A

Nota A.8. La expresion A ⊆ B significa que A ⊂ B o A = B.

A.9. Conjuntos de Conjuntos

Existen conjuntos cuyos elementos son a la vez conjuntos. Los conjuntos de conjuntos sele llaman “familas de conjuntos” o “clase de conjuntos”. Estas familias se denotan con lasletras inglesas

A,B,C, · · ·Ejemplo A.17. El conjunto A = {{2}, {3, 5}, {2, 4}} es una famila de conjuntos. Sus ele-mentos son los conjuntos {2}, {3, 5} y {2, 4}.Ejemplo A.18. Sea A = {1, {2, 4}, 3, {1, 5}}. A no es una familia de conjuntos; algunoselementos de A son conjuntos y otros no.

A.10. Conjunto Universal

Cuando se habla de un conjunto, debe tenerse en cuenta que los elementos de dichoconjunto pertenecen a alguna poblacion determinada; a esta poblacion se le llama “conjuntouniversal” o “universo del discurso” el cual se denota por “U”.

Ejemplo A.19. En los estudios sobre poblacion humana el conjunto universal es el de todaslas gentes del mundo.

Ejemplo A.20. En estudios de intervalos el conjunto universal es el conjunto de los numerosreales.

Ejemplo A.21. Sea B = {x/x es un numero primo}. El conjunto universal es el conjuntode los numeros naturales.

A.11. Conjuntos Disyuntos

Si dos conjuntos A Y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningun elemento de Aesta en B y si ningun elemento de B esta en A, se dice que A y B son disyuntos.

Ejemplo A.22. Sean A = {5, 6, 7, 8} y B = {3, 4, 8, 9}. A y B no son disyuntos ya que elelemento 8 esta en ambos conjuntos, es decir, 8 ∈ A y 8 ∈ B.

Ejemplo A.23. Sean A el conjunto de los hombres y B el conjunto de las mujeres. Entonces,A y B son disyuntos ya que ninguna persona es hombre y mujer a la vez.

Ejemplo A.24. Sean A = {a, b, c} y B = {x, y, z}, A y B son disyuntos.


A.12. Diagramas de Venn-Euler

Con estos diagramas se logra ilustrar de manera sencilla las relaciones entre conjuntos, loscuales representan un conjunto con un area plana, por lo general delimitada por un cırculo.

Ejemplo A.25. Sunpogamos que A ⊂ B y A 6= B. Entonces A y B se representan conalguno de los siguientes diagramas:

U U

A

AB

B

A.13. Relaciones entre conjuntos

A.14. Conjunto complemento

Si A es un subconjunto del conjunto universal U , el complemento del conjunto A denotadopor A′ se define por

A′ = {x ∈ U : x /∈ A}.

U

A

A′ lo rayado

Ejemplo A.26. Sean U = {a, b, c, d, e, f, g} y A = {b, d, f}. El complemento de A es elconjunto A′ = {a, c, e, g}

Ejemplo A.27. Sean U = N y A = {2, 4, 6, · · · }. El complemento de A es el conjuntoA′ = {1, 3, 5, · · · }

Ejemplo A.28. Sean U = R y el intervalo A = (−∞, 2]. El complemento de A es el intervaloA′ = (2,∞)

184 Conjuntos

Ejemplo A.29. Sean U = R2 y A = {(x, y) ∈ U : x < 2}. El complemento de A es elconjunto A′ = {(x, y) ∈ U : x ≥ 2}. Los conjuntos A y A′ se ilustran en las siguientesgraficas:

x < 2 x ≥ 22 20 0

A.15. Operaciones entre conjuntos

Sea U el conjunto universal. En teorıa de conjuntos se pueden definir muchas operacionesentre ellas estan las siguientes:

a. Union. Se define como el conjunto

A ∪B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}

U

A B

A ∪B lo rayado

Ejemplo A.30. Sean U = {1, 2, 3, · · · , 9} el conjunto universal, A = {3, 6, 8} y B ={1, 3, 8, 9}. Entonces A ∪B = {1, 3, 6, 8, 9}

Ejemplo A.31. Sean U = R y los intervalos A = [3, 6) y B = (−2, 5). EntoncesA ∪B = (−2, 6)

b. Interseccion. Se define como el conjunto

A ∩B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}


U

A B

A ∩B lo rayado

Ejemplo A.32. Sean U = {1, 2, 3, 4, 6, 9, }, A = {1, 4, 6, 9} y B = {1, 2, 3, 6, 9}, en-tonces A ∩B = {1, 6, 9}.

Ejemplo A.33. Sean U = R y los intervalos A = [3, 6) y B = (−2, 5). EntoncesA ∩B = [3, 5)

Ejemplo A.34. Sean U = R2, A = {(x, y) ∈ U : x ≥ 0} y B = {(x, y) ∈ U : y ≥ 0}Los conjuntos A y B se ilustran en las siguientes graficas:

x ≥ 0 y ≥ 0

0 0

Entonces el conjunto A ∩ B = {(x, y) ∈ U : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0} y se ilustra en la siguientefigura

x ≥ 0y ≥ 0

0

c. Diferencia. Se define como el conjunto

A−B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B}

186 Conjuntos

U

A B

A−B lo rayado

Ejemplo A.35. Sean U = {1, 2, 3, 4, · · · , 9}, A = {1, 3, 5, 6, 8, 9} y B = {2, 4, 6, 8, 9}.Entonces A−B = {1, 3, 5}

Ejemplo A.36. Sean U = R, y los intervalos A = [3,∞) y B = (−∞, 5]. EntoncesA−B = (5,∞)

c. Diferencia Simetrica. Se define como el conjunto

A4B = {x ∈ U : x ∈ A ∪B ∧ x /∈ A ∩B}

U

A B

A4B lo rayado

Ejemplo A.37. Sean U = {1, 2, 3, · · · , 9}, A = {2, 4, 7, 8, 9} y B = {3, 6, 7, 8}. EntoncesA ∪B = {2, 3, 4, 7, 8, 9}, A ∩B = {7, 8} y A4B = {2, 3, 4, 9}

Ejemplo A.38. Sean U = R y los intervalos A = (−∞, 2) y B = [−4, 5). Luego

A ∪B = (−∞, 5)

A ∩B = [−4, 2)A4B = (−∞,−4) ∪ [2, 5)

A.16. El Conjunto Partes

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto A se llama el conjunto partes de A,el cual se denota por P(A). El conjunto P(A) se escribe por comprension con la expresion

P(A) = {B ⊆ U : B ⊆ A}.


Ejemplo A.39. Sea A = {2, 5}. Entonces, el conjunto de todos los subconjuntos de A es elconjunto

P(A) = {∅, {2}, {5}, {2, 5}}

Ejemplo A.40. Sea A = {a, b, c}. Entonces, el conjunto de todos los subconjuntos de A esel conjunto

P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Teorema A.9. Para cualesquiera subconjuntos A y B se tiene que

1. P(A) ∪P(B) ⊆ P(A ∪B)

2. P(A ∩B) ⊆ P(A) ∩P(B)

Demostracion.

1. Sea E ∈ P(A) ∪P(B). Luego E ∈ P(A) o E ∈ P(B), y por lo tanto E ⊆ A o E ⊆ B,ası que E ⊆ A ∪B lo que implica que E ∈ P(A ∪B).

2. Sea E ∈ P(A ∩ B). Luego E ⊆ A ∩ B, y por lo tanto E ⊆ A y E ⊆ B, es decir,E ∈ P(A) y E ∈ P(B), o bien E ∈ P(A) ∩P(B).

En general, P(A ∪B) 6= P(A) ∪P(B).

Ejemplo A.41. Sean U = {a, b, c} el conjunto universal y A = {a, b} y B = {b, c} subcon-juntos de U . Entonces P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} y P(B) = {∅, {b}, {c}, {b, c}}, luego

P(A) ∪P(B) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}}

Por otro lado A ∪B = {a, b, c}, luego

P(A ∪B) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Es claro que P(A ∪B) 6= P(A) ∪P(B)

En general, ¿ se puede afirmar que P(A ∩B) = P(A) ∩P(B) ?

A.16.1. Funcion de pertenencia

Sea U el conjunto universal. Cada subconjunto A de U tiene asociada una funcion depertenencia definida de la siguiente manera:

µA(x) =

{

1 si x ∈ A0 si x /∈ A

Ejemplo A.42. Sean U = {1, 2, 3, · · · , 9} y A = {2, 3, 5, 8}. Es claro que µA(5) = 1 yµA(4) = 0.

188 Conjuntos

A.16.2. Tablas de pertenencia

Las tablas de pertenencia permiten representar operaciones entre conjuntos y mostrarequivalencias de expresiones conjuntistas, las siguientes tablas de pertenencia representan laoperaciones basicas entre conjuntos.

µA(x) µA(x) µ(A∪B)(x)

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

µA(x) µB(x) µ(A∩B)(x)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

µA(x) µB(x) µ(A−B)(x)

1 1 0

1 0 1

0 1 0

0 0 0

µA(x) µB(x) µ(A4B)(x)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Ejemplo A.43. La siguiente tabla de pertenencia muestra que (A ∪B)′ = A′ ∩B′

µA(x) µB(x) µA′(x) µB′(x) µA′∩B′(x) µ(A∪B)(x) µ(A∪B)′(x)

1 1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 0 1

A.17. Propiedades de los conjuntos

Para todo conjunto universal U y subconjuntos A, B y C de U se cumplen las siguientespropiedades:

1. Complemento: ∅′ = U y U ′ = ∅.

2. Doble complemento: (A′)′ = A.

3. Neutro: A ∩ U = A y A ∪ ∅ = A.

4. Idempotencia: A ∪A = A y A ∩A = A.

5. Absorcion: A ∩ ∅ = ∅ y A ∪ U = U .

6. Conjuntos complementarios: A ∪A′ = U y A ∩A′ = ∅.

7. Conmutativa: A ∪B = B ∪A y A ∩B = B ∩A.

8. Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C y A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.

9. Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

10. Morgan: (A ∪B)′ = A′ ∩B′ y (A ∩B)′ = A′ ∪B′.


11. Si A ⊆ B, entonces A ∩B = A y A ∪B = B.

Las propiedades de los conjuntos son utiles para simplificar formulas conjuntistas, veamosalgunas de ellas:

Ejemplo A.44. Simplificar la formula (A ∪B ′) ∩ (A ∪B).

Solucion.

(A ∪B′) ∩ (A ∪B) = A ∪ (B′ ∩B) (prop. distributiva)

= A ∪ ∅ (prop. complementarios)

= A (prop. identidad)

Ejemplo A.45. Simplificar la formula ((A ∪B ′) ∩ (B ∩ C)) ∩ (B ∩ C ′).

Solucion. La formula sera simplificada justificando al frente la propiedad utilizada.

((A ∪B′) ∩ (B ∩ C)) ∩ (B ∩ C ′) = (A ∪B′) ∩ ((B ∩ C) ∩ (B ∩ C ′)) (prop. asociativa)

= (A ∪B′) ∩ ((B ∩B) ∩ (C ∩ C ′)) (prop. asociativa y conmutativa)

= (A ∪B′) ∩ (B ∩ ∅) (prop. idempotencia y complementarios)

= (A ∪B′) ∩ ∅ (prop. absorcion)

= ∅ (prop. absorcion)

Ejemplo A.46. Simplificar la formula (A ∩B) ∩ ((A ∩B)′ ∪ (A ∪ C)).

Solucion. La formula sera simplificada justificando al frente la propiedad utilizada.

(A ∩B) ∩ ((A ∩B)′ ∪ (A ∪ C)) = (A ∩B) ∩ ((A′ ∪B′) ∪ (A ∪ C)) (prop. morgan)

= (A ∩B) ∩ ((A′ ∪A) ∪ (B′ ∪ C)) (prop. asociativa y conmutativa)

= (A ∩B) ∩ (U ∪ (B′ ∪ C)) (prop. complementarios)

= (A ∩B) ∩ U (prop. absorcion)

= A ∩B (prop. neutro)

A.18. Cardinal de un conjunto

Sean U el conjunto universal y A, B y C subconjuntos de U . El cardinal del subconjuntoA es el numero de elementos de A y se denota por n(A). El cardinal tiene las siguientespropiedades:

1. Para cualquier subconjunto E de U , n(U) = n(E) + n(E ′).

2. n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B).

3. n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B ∩C)+n(A∩B∩C).

Ejemplo A.47. Las cadenas radiales Caracol y R.C.N, con deseos de aumentar su sintonıa,realizaron conjuntamente una encuerta a un grupo de personas y se obtuvo la siguiente

190 Conjuntos

informacion: 35 prefieren Caracol, 50 prefieren R.C.N., 75 prefieren por lo menos una de lasdos y 50 no prefieren R.C.N..

De lo anterior, si se denota por A y B los conjuntos de personas que prefieren las cadenasradiales de Caracol y R.C.N respectivamente, se tiene que

n(A) = 35, n(B) = 50, n(A ∪B) = 75, n(B ′) = 50.

De las propiedades del cardinal,

n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B),

por lo que 75 = 35 + 50− n(A ∩B), ası que n(A ∩B) = 10.

Ademas n(U) = n(B) + n(B′), luego n(U) = 50 + 50 = 100.

Esta informacion, se puede observar en el siguiente diagrama de Venn:

U

A B

25 10 40

25

Por lo tanto, se puede concluir que

a. El numero de personas que prefieren ambas cadenas radiales es n(A ∩B) = 10

b. El numero de personas encuestadas es n(U) = 100.

c. El numero de personas que prefieren exactamente una de las cadenas radiales es n(A∩B′) + n(A′ ∩B) = 25 + 40 = 65.

Ejemplo A.48. Una encuesta realizada a un grupo de personas sobre la preferencia de losperiodicos El Tiempo, El Espectador y La Republica, arrojo los siguientes resultados: 60leen El Tiempo; 60 leen La Republica, 87 leen El Tiempo o EL Espectador (o ambos); 18leen El Tiempo y El Espectador; 20 leen El Tiempo y La Republica y 120 leen maximo dosde los tres perıodicos o ninguno. Ademas 83 personas no leen El Espectador, y 30 leen ElEspectador y la Republica.

De lo anterior, si se denota por U el conjunto de personas encuestadas, A, B y C los conjuntosde personas que leen el Tiempo, El Espectador y La Republica respectivamente, se tiene que

n(A) = 60, n(C) = 60, n(A ∪B) = 87, n(A ∩B) = 18,

n(A ∩ C) = 20, n((A ∩B ∩ C)′) = 120, n(B′) = 83, n(B ∩ C) = 30



n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B),

luego 87 = 60 + n(B)− 18, ası que n(B) = 45. Ademas,

n(U) = n(B) + n(B′),

luego n(U) = 45 + 83 = 128; por otro lado

n(U) = n(A ∩B ∩ C) + n((A ∩B ∩ C)′)

por lo tanto 128 = n(A ∩B ∩ C) + 120, es decir, n(A ∩B ∩ C) = 8.


U

A B

C

30 10 5

812

18

22

23

De lo anterior se puede afirmar que

a. 45 personas leen el Espectador, es decir, n(B) = 45.

b. 5 personas leen solamente el espectador, es decir, n(A′ ∩B ∩ C ′) = 5.

c. 128 personas fueron encuestadas, es decir, n(U) = 128.

d. 23 personas no leen ningun perıodico, es decir, n((A ∪B ∪ C)′) = 23.

e. 8 personas leen los tres perıodicos, es decir, n(A ∩B ∩ C) = 8.

f. 53 personas leen exactamente uno de los tres perıodicos, esto es

n(A ∩B′ ∩ C ′) + n(A′ ∩B ∩ C ′) + n(A′ ∩B′ ∩ C) = 30 + 5 + 18 = 53.

g. 44 personas leen exactamente dos de los tres perıodicos, esto es

n(A ∩B ∩ C ′) + n(A′ ∩B ∩ C) + n(A ∩B′ ∩ C) = 10 + 22 + 12 = 44.

h. 52 personas leen dos de los tres perıodicos, es decir,

n(A∩B ∩C ′)+n(A′ ∩B ∩C)+n(A∩B′ ∩C)+n(A∩B ∩C) = 10+22+12+8 = 52.

192 Conjuntos

i. 10 personas leen solamente El Tiempo y El Espectador, es decir, n(A ∩B ∩ C ′) = 10.

j. 12 personas lee solamente El Tiempo y La Republica, esto es n(A ∩B ′ ∩ C) = 12.

Ejemplo A.49. En una encuesta realizada a los empleados de una fabrica sobre su sexo,estado civil y vivienda, se pudo comprobar que: 60 de los empleados son hombres, 105 delos empleados son hombres, o, son casados (o ambos); 100 de los empleados, son hombres, o,tiene casa (o ambos); 25 de los hombres son casados; 30 de los hombres tienen casa propia;35 de los empleados casados tiene casa propia; 80 empleados son solteros y 25 de las mujeressolteras no tiene casa propia.

De lo anterior, si se denota por U el conjunto de empleados de la fabrica, H, C y P losconjuntos de empleados hombres, empleados casados y empleados con casa propia respecti-vamente, entonces

n(H) = 60, n(H ∪ C) = 105, n(H ∪ P ) = 100,

n(H ∩ C) = 25, n(H ∩ P ) = 30, n(C ∩ P ) = 35,

n(C ′) = 80, n(H ′ ∩ C ′ ∩ P ′) = 25


n(H ∪ C) = n(H) + n(C)− n(H ∩ C),

luego 105 = 60 + n(C)− 25, ası que n(C) = 70. Ademas,

n(U) = n(C) + n(C ′),

luego n(U) = 80 + 70 = 150.

Observese que n((H ∪ C ∪ P )′) = n(H ′ ∩ C ′ ∩ P ′) = 25, y por otro lado

n(U) = n(H ∩ C ∩ P ) + n((H ∩ C ∩ P )′)

por lo tanto 150 = n(H ∩ C ∩ P ) + 25, es decir, n(H ∩ C ∩ P ) = 125.


n(H ∪ P ) = n(H) + n(P )− n(H ∩ P ),

luego 100 = 60 + n(P )− 30, por lo tanto n(P ) = 70.


n(H ∪ C ∪ P ) = n(H) + n(C) + n(P )− n(H ∩ C)− n(H ∩ P )− n(C ∩ P ) + n(H ∩ C ∩ P ),

es decir,125 = 60 + 70 + 70− 25− 30− 35 + n(H ∩ C ∩ P )

luego n(H ∩ C ∩ P ) = 15.



U

H C

P

20 10 25

1515

20

20

25

De lo anterior se puede afirmar que

a. El numero de empleados que tiene la fabrica es n(U) = 150.

b. El numero de hombres casados con casa propia es n(H ∩ C ∩ P ) = 15.

c. El numero de empleados casados que tiene la fabrica es n(C) = 70

d. El numero de empleados que no tiene casa propia es n(P ′) = 80

e. El numero de mujeres casadas que tienen casa propia es n(H ′ ∩ C ∩ P ) = 20

A.19. Familias de subconjuntos

Sean U el conjunto universal e I un conjunto ındices no vacio. Una famila de subconjuntosde U es una coleccion de conjuntos (Ai)i∈I en el cual Ai ⊆ U para cada i ∈ I.Se dice que la familia (Ai)i∈I es enumerable si I = N y se dice que es no-enumerable si elconjunto I es un conjunto no-enumerable.

Ejemplo A.50. Para cada n ∈ N la coleccion de subconjuntos de N An = {1, 2, 3, · · · , n}es una familia enumerable. Observese que A1 = {1}, A2 = {1, 2}, A3 = {1, 2, 3}, ... ,An ={1, 2, 3, · · · , n}.

Ejemplo A.51. Para cada n ∈ N la coleccion de intervalos de R An = [−n, n] es una familiaenumerable. Observese que A1 = [−1, 1], A2 = [−2, 2], A3 = [−3, 3], ... ,An = [−n, n].

A.19.1. Operaciones de Familias

Sea (Ai)i∈I una familia de subconjuntos de U . La union de la familia se define como

⋃

i∈I

Ai =: {x/x ∈ Ai para algun i ∈ I}

De igual manera la interseccion de la familia se define como

⋂

i∈I

Ai =: {x/x ∈ Ai para todo i ∈ I}

194 Conjuntos

Ejemplo A.52. Sea U = N y para cada n ∈ N sea An = {1, 2, 3, · · · , n}.Observese que

A1 = {1}, A2 = {1, 2}, A3 = {1, 2, 3}, · · · · · · , An = {1, 2, 3, · · · , n},

ademas⋃

i∈I

Ai = {1, 2, 3, · · · } = N,⋂

i∈I

Ai = {1}

Ejemplo A.53. Sea U = (∞,∞) y para cada n ∈ N sea An =(

1− 1n, 1 + 1

n

)

.

En este caso

A1 = (0, 2), A2 =

(

1

2,3

2

)

, A3 =

(

2

3,4

3

)

, · · · · · · , An =

(

1− 1

n, 1 +

1

n

)

,

ademas⋃

i∈I

Ai = {1, 2, 3, · · · } = (0, 2),⋂

i∈I

Ai = {1}

TALLER 22.1. Escriba los elementos de cada uno de los conjuntos dados.

a. El conjunto de palabras de tres letras que se pueden formar con las letras a, b, c.

b. El conjunto de los numeros impares comprendidos entre 10 y 22.

c. El conjunto de lo s numeros enteros negativos mayores que 10.

d. El conjunto de los numeros enteros comprendios entre 2 y 14 que son divisiblespor 4.

e. El conjunto de los numeros reales x que es solucion de la ecuacion x2+4x−5 = 0.

f. El conjunto de los numeros reales x tales que 2x+ 4 > 0 y x > 1.

g. El conjunto de posibilidades cuando se lanza una moneda dos veces.

h. El conjunto de posibles resultados cuando se lanza un par de dados.

i. El conjunto de numeros de la forma 1− (−1)n con n numero entero.

j.{

1 + nn+1 : n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

}

k. {(−2n, 5n) : n ∈ {2, 4, 6}}l. El conjunto de los numeros primos pares.

2. Escriba los conjuntos dados por comprension.

a. {a, e, i, o, u} d.

{

1

2,2

3,3

4,4

5, · · ·

}

g. {∅, ∅, ∅, · · · }

b. {2, 4, 6, 8, · · · } e.

{

−2

3,4

9,− 8

27,16

81, · · ·

}

c. {1, 2, 3, 4, 6, 12} f. {Asia, America, Africa, Oceanıa, Europa}


3. Determine cual de los conjuntos dados son vacios.

a. {x ∈ Z : x2 = 1, 3x = 2} e. {x ∈ R : x2 + 1 = 0}b. {x ∈ R : x = x} f. {x ∈ Z : 2x+ 3 = 0}c. {(x, y) : x2 + y2 < 0, con x, y ∈ R} g. {x : x = 0}d. {x ∈ Z : x2 + 1 = 0} h. {x ∈ C : x2 + 1 = 0}

i. El conjunto de los numeros comprendidos entre 5 y 10 que son divisibles por 12.

j. El conjunto de los numeros reales x que son solucion de la ecuacion x2 = 6− 5x.

k. El conjunto de oceanos de agua dulce.

l. El conjunto de numeros naturales mayores que 5 y menores que 6.

m. El conjunto de los hombres mayores de 300 anos.

4. Dados los conjuntos A = {a, b}, B = {a, b, {a}, {b}, {a, b}}, C = {a, {b}}, verificar silas proposiciones dadas son verdaderas o falsas.

a. A ⊆ B c. A ⊆ C e. B ⊇ C

b. A ∈ B d. C ∈ B f. A /∈ Cg. A 6⊂ C

5. Sean A = {1}, B = {1, {1}} y C = {1, {1}, {1, {1}}}. Determine cual de las proposi-ciones dadas es verdadera.

a. A /∈ B c. B ∈ C e. A ⊆ C

b. A ⊆ B d. A ∈ C f. B ⊆ C

6. Sea A = {1, 2, 3}, B = {2, {2, 3}, {1, 2}} y C = {1, 2, {2}}. Determine cual de lasproposiciones dadas es verdadera.

a. 2 ∈ A d. {2, 3} ⊆ B g. {1, 2} ⊆ C

b. {2} ⊆ A e. {1, 2} ∈ C h. {2} ∈ Bc. {2} ∈ A f. {2} ∈ C i. {1, 2} ⊆ B

7. Sea A = {1, 2, 3, 4, {2}, {2, 3}, {4}}. Determine cual de las proposiciones dadas es ver-dadera.

a. ∅ ∈ A d. {2} ∈ A g. {4} ∈ C j. {{4}} ∈ Ab. ∅ ⊆ A e. {1, 2, 3} ⊆ A h. {4, {4}} ∈ A k. {1, 2, 3, 4} ∈ Ac. 1 ∈ A f. {2, 3} ⊆ A i. {4, {2}} ∈ A l. {1, 2, 3, 4} ⊆ A

8. Determine la veracidad o falsedad de las afirmaciones dadas.

a. 4 = {4} f. {1, 2, 8} = {(−1)2, 23, 2}b. ∅ ∈ ∅ g. ∅ ∈ {∅, {∅}}c. {a, b, c} = {a, b, a, c} h. {a} = {a, ∅}d. ∅ ⊆ {∅} i. {∅, 0, 1} = {0, 1}e. 3 ∈ {{3}} j. {∅} = ∅

196 Conjuntos

9. Considere el conjunto de los numeros enteros como el conjunto universal. En los sigui-entes literales una de las relaciones A ⊂ B, B ⊂ A o A = B es correcta. Escriba encada caso la relacion correcta.

A = {x : 3x+ 1 = 5− x} B = {x : 7x− 4 = 3x}A = {x : x2 − 3x = 2x− 6} B = {x : (x2 − 9)(x2 − 4) = 0}A = {x : 4x− 1 = x+ 2} B = {x : 2− x = 5− x}A = {x : x2 = 1} B = {x : x+ 1 = 2}A = {x : 3 ≤ x ≤ 7} B = {x : x2 − 10x+ 24 = 0}A = {x : 3 < x < 4} B = {3, 4}

10. Considere los conjuntos

A = {x : x es un cuadrilatero} C = {x : x es un rombo}B = {x : x es un rectangulo} D = {x : x es un cuadrado}

¿Que conjuntos son subconjuntos propios de los otros?

11. Determine tres conjuntos A,B,C de tal manera que A ∈ B, B ∈ C y B /∈ C.

12. Considere los conjuntos C,R, I,Q,Z y N como el conjunto de los numeros complejos,reales, irracionales, racionales, enteros y naturales respectivamente. Determine cual delas afirmaciones dadas es verdadera o falsa.

a. Z ⊆ Q e. Q ∩ R = Q

b. Q ⊆ N f. Q ∩ Z = Z

c. R ⊆ C g. R ⊆ N

d. Z ∪Q = Z h. R ∩ C = C

13. Determine A ∪B, A ∩B. A−B y A4B si,

a. A ⊆ B b. A ∩B = ∅ c. A = B d. A = B′

14. Considere el conjunto universal U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los subconjuntosA = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4, 7, 8} y C = {0, 3, 4, 6, 8, 9}. Encuentre

a. A ∪B e. A− C i. C ′ ∩Ab. A ∩ C f. B − C j. A−B′

c. C ∪B g. A4C k. A4B′

d. A ∪ C h. B′ −A l. (A−B)′ ∪ C

15. Para U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {x ∈ U : x < 6}, B = {x ∈ U : 3 < x < 7} yC = {x ∈ U : x < 4 o x > 7} efectuar:

a. A ∩B d.A′ ∩B g. (B′ −A)′ − C ′

b. B ∩ C e. C −B′ h. A4(B − C)

c. A−B f. A′ ∩B′ i. C4B ∩ (A−B)


16. Considere el conjunto universal de los numeros naturales, y seanA = {x ∈ N : x es divisor de 12 }, B = {x ∈ N : x es un numero par menor que 12} yC = {x ∈ N : x es un numero impar menor que 12}. Determinar

a. A ∪B f.A−B k. (A−B)′ ∩ C p. (A−B)4Cb. A ∪ C g. C −A l. (A ∩B) ∪ C q. A− (B4C)

c. B ∩ C ′ h. B4C m. C ′4A′ r. A ∩ (B ∪ C)

d. A ∩B i.A′ ∪B′ n. (A ∪B)− C s. (A ∪B)′ − C

e. A ∩ C j. (A ∩B)′ o. A ∪ (B − C) t. A ∪ (B − C)′

17. Considere los intervalos A = [2, 6) y B = [3, 8]. Determine

a. A ∪B d.A4B g. A′ −B′

b. A ∩B e. A′ ∪B′ h. (A ∪B)′

c. A−B f. A′ ∩B′ i. (A ∩B)′

18. Determinar los conjuntos A y B cuando A − B = {1, 3, 7, 11}, B − A = {2, 6, 8} yA ∩B = {4, 9}.

19. Determinar los conjuntos C y D cuando C − D = {1, 2, 4}, D − C = {7, 8},C ∪D = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}.

20. Para un conjunto arbitrario X, el conjunto partes”denotado por P (X) esta definidocomo el conjunto de todos los subconjuntos de X, es decir,

P (X) = {A : A ⊆ X}

a. Si X = {a, b, c, d}, determine P (X).

b. Si X = ∅, encuentre P (P (P (X))).

c. Si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5} determine

a. P (A) c. P (A ∪B) e. ¿P (A ∪B) = P (A) ∪ P (B)?

b. P (B) d. P (A ∩B) f. ¿P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)?

21. Usando los diagramas de Venn, indique si la proposicion dada es verdadera o falsa paralos conjuntos A,B,C ⊆ U .

a. A4(B ∩ C) = (A4B) ∩ (A4C)

b. A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C)

c. A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C)

d. A4B = B4Ae. A4B = (A ∪B)− (A ∩B)

198 Conjuntos

22. Si se define la operacion A ∗B =: (A ∩B) ∪A′ efectuar:

a) A ∗ ∅ b) ∅ ∗B c) (A ∪B) ∗ C d) A ∗ (B ∪ C) e) U ∗ (A ∪B)

23. Sean A,B,C tres conjuntos. Exprese las siguientes afirmaciones en notacion de con-juntos.

a. Al menos uno de los conjuntos.

b. Exactamente uno de los conjuntos

c. Exactamente dos de los conjuntos.

d. No mas de dos de los conjuntos

e. Ni A, ni B, ni C

e. Ni A, ni B, ni C

f. Solo B.

g. Ninguno de los tres conjuntos.

h. Los conjuntos A y B pero no C.

24. Sean U = {a, b, c, d, e, ..., x, y, z}, A = {a, b, c}, C = {a, b, d, e}. Si n(A ∩ B) = 2 yA ∩B ⊆ B ⊆ C, determinar B.

25. Para U = {1, 2, 3, ..., 29, 30}, sean B,C ⊆ U con B = {1, 2, 3, 4, 5, 9, 15} yC = {2, 3, 6, 15, 22, 29}. Cuanto vale n(B ∪ C)?

26. Si n(U) = 400; n(A′) = 150; n(A′ ∩B) = 50; n(A ∩B) = 100; calcular:

a) n(A ∩B′) b) n(A ∪B) c) n(A′ ∪B) d) n(A ∩B)′ e) n(A′ ∪B′)

27. Si n(A) = 180; n(B) = 190; n(C) = 310; n(A ∩ B ∩ C) = 20; n(A ∩ C) = 70;n(A ∩B′ ∩ C ′) = 80; n(A′ ∩B ∩ C) = 40; n(A′ ∩B′ ∩ C ′) = 130; calcular:

a) n(A ∪B) b) n(A ∪B ∪ C) c) n((A ∪B) ∩ C ′) d) n(A ∪B′) e) n(U)

28. Si n(A∪B) = 75; n(A) = 43; n(C) = 52; n(A∩B) = 15; n(A∩C) = 18; n(B∩C) = 16;n(A′) = 77; n(A ∩B ∩ C)′ = 113; calcular:

a) n(B) b) n(B ∪ C) c) n(U) d) n(A) e) n(A ∩B ∩ C)′

29. Para U = {1, 2, 3, 4, ..., 9, 10} sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 8}, C = {1, 2, 3, 5, 7}y D = {2, 4, 6, 8}, determinar:

a) (A ∪B) ∩ C b) C ′ ∩ (A ∩D)′ c) B − (A− C)′ d) (A ∩B)− (C −D)′

30. Sean U = {a, b, c, d, ..., x, y, z}, A = {a, b, c} y C = {a, b, d, e}. Si n(A ∩ B) = 2 y(A ∩B) ⊂ B ⊂ C, determinar B.


TALLER 23.1. Una encuesta realizada a 150 personas sobre la preferencia de los productos A,B ar-

rojo los siguientes resultados: 60 consumen el producto A, 70 consumen el producto By 110 consumen por lo menos uno de los dos productos. Se desea obtener la siguienteinformacion:

a. El numero de personas que consumen ambos productos.

b. El numero de personas que no consumen ninguno.

c. El numero de personas que solo consumen el producto A.

d. El numero de personas que consumen exactamente uno de los dos.

2. Los noticieros de television, 24 HORAS, y, TV HOY, con deseos de aumentar su sin-tonıa, realizaron una encuesta a 100 personas y obtuvieron los siguientes datos: 50prefieren 24 HORAS, 10 prefieren ambos noticieros y 30 no ven ninguno de los dos, Sepregunta:

a. Cuantas personas prefieren TV HOY ?

b. Cuantas personas prefieren solo TV HOY ?

c. Cuantas personas prefieren solamente 24 HORAS ?

3. La fabrica de carnes frias ZENU esta interesada en conocer el consumo de sus productosJamon y Salchichas, en los dos ultimos meses. Se entrevisto a un grupo de amas de casapara tal fin y se obtuvo la siguiente informacion: 60 consumen Jamon, 50 consumenSalchichas y 10 consumen ambos productos. Ademas 10 no consumen ninguno de losdos. La fabrica desea saber lo siguiente:

a. El numero de amas de casa que consumen por lo menos uno de los dos productos.

b. El numero de amas de casa a las cuales se hizo la encuesta.

c. El numero de amas de casa que consumen solamente Jamon.

d. El numero de amas de casa que consumen exactamente uno de los dos productos.

4. PASCO entrevisto la semana pasada a 160 personas para conocer su opinion sobresus productos Kumis y Yogurt. Tabulados los datos obtenidos se concluyo que: 120consumen por lo menos uno de los dos productos, 60 consumen Kumis, 60 consumenYogurt. La fabrica esta interesada en saber lo siguiente:

a. El numero de personas que consumen ambos productos.

b. El numero de personas que consumen solamente Kumis.

c. El numero de personas que consumen solamente Yogurt.

d. El numero de personas que no consumen ninguno de los dos.

e. El numero de personas que consumen exactamente uno de los dos.

200 Conjuntos

5. Las cadenas radiales CARACOL y R.C.N, con deseos de aumentar su sintonıa, re-alizaron conjuntamente una encuerta a un grupo de personas y se obtuvo la siguienteinformacion: 35 prefieren CARACOL, 50 prefieren R.C.N., 75 prefieren por lo menosuna de las dos y 50 no prefieren R.C.N.. Se desea saber:

a. El numero de personas que prefieren ambas cadenas radiales.

b. El numero de personas a las que se hizo la encuesta.

c. El numero de personas que prefieren exactamente una de las cadenas radiales.

6. Las oficinas de publicidad de las emisoras Radio Santafe y Radio Reloj realizaronuna encuesta conjunta de opinion a un grupo de personas, sobre la preferencia de lasemisoras mencionadas y se obtuvo la siguiente informacion: 60 prefieren Radio reloj, 15prefieren ambas emisoras, 100 prefieren por lo menos una de las dos, y 65 no prefierena Radio Santafe. Se desea saber lo siguiente:

a. El numero de personas que prefieren Radio Santafe.

b. El numero de personas a las cuales se hizo la encuesta.

c. El numero de personas que no prefieren ninguna.

d. El numero de personas que prefieren exactamente una de las dos emisoras.

7. El departamento de publicidad de una fabrica, realizo recientemente una encuesta a 150personas para conocer el consumo de sus productos A,B,C en los seis ultimos meses.Organizados los datos se pudo concluır que: 50 consumen el producto A, 50 consumenel producto B, 60 consumen el producto C, 15 consumen A y B, 20 consumen A y C;25 consumen By C. Ademas 110 consumen por lo menos uno de los tres.

Se pregunta:

a. El numero de personas que consumen los tres productos.

b. El numero de personas que no consumen ninguno.

c. El numero de personas que consumen solo producto A.

d. El numero de personas que consumen exactamente uno de los tres.

e. El numero de personas que consumen B y C solamente.

8. La programadora “JORGE BARON TELEVISIONrealizo una encuesta para conocer lasintonıa de sus programas A,B,C y obtuvo la siguiente informacion: m(A∪B) = 100,m(A) = 60; m(C) = 60; m(A∩B) = 20; m(A∩C) = 20; m(B ∩C) = 25; m(A′) = 80;m(A ∩B ∩ C)′ = 130. Se desea saber lo siguiente:

a. El numero de personas que prefieren el programa B.

b. El numero de personas que a las que se hizo la encuesta.

c. El numero de personas que prefieren por lo menos uno de los tres programas.

d. El numero de personas que prefieren solo el programa B.

e. El numero de personas que prefieren solo los programs B, o, C. .


9. El departamento de publicidad de ZENU hizo recientemente una encuesta de opininonsobre sus productos A,B,C y obtuvo la siguiente informacion: m(A) = 50; m(B) = 50;m(C) = 70; m(A∩B) = 15; m(B∩C) = 15; m(A∪B∪C) = 125; m(A′∩B′∩C ′) = 25;m(A ∩ C) = 20. La fabrica desea saber:

a. El numero de personas que consumen tres productos.

b. El numero de personas que fueron encuestadas.

c. El numero de personas que consumen solo el producto B.

d. El numero de personas que consumen B y C solamente.

e. El numero de personas que consumen exactamente uno de los tres.

10. Una fabrica de productos lacteos producen tres variedades de queso A,B,C. El jefede productos esta interesado en saber el consumo de estos tipos de queso en los ulti-mos meses. En consecuencia, ordeno la realizacion de una encuesta de opinion la cualarrojo los siguientes datos: m(A ∪ B) = 75; m(B) = 45; m(A ∩ B) = 15; m(C) = 70;

m(A∩C) = 20; m(B∩C) = 20; m(A∩B∩C) = 20; m(A′∩C ′) = 50. La fabrica deseasaber lo siguiente:

a. El numero de personas que consumen el producto A.

b. El numero de personas que solamente consumen el producto A.

c. El numero de personas que consumen por lo menos uno de los tres tipos de queso.

d. El numero de personas que encuestadas.

e. El numero de personas que no consumen ninguno de los tres tipos de queso.

f. El numero de personas que consumen exactamente uno de los tres tipos de queso.

g. El numero de personas que consumen exactamente dos de los tres tipos de queso.

11. Un restaurante famoso de Bogota incluyo recientemente en su carta tres nuevos platosA,B,C. Despues de un mes, realiza una encuesta a un grupo de clientes para saberla acogida de dichos platos y se obtuvo la siguiente informacion: 60 consumen el platoA; 80 consumen el plato B; 115 consumen B o C (o ambos); 25 consumen A y B; 35consumen A y C; 35 consumen B y C; 120 consumen maximo dos de los tres platos oninguno, y 70 no consumen C. Se pregunta:

a. El numero de personas que consumen el plato C.

b. El numero de personas que solamente consumen el plato B.

c. El numero de personas que no consumen ninguno de estas platos.

d. El numero de personas que consumen por lo menos uno de estos platos.

e. El numero de personas que consumen exactamente uno de estos platos.

12. Un fabricante de tres variedades de zapatos A,B,C desea saber la preferencia de susproductos en los dos ultimos meses. Para tal efecto, se hizo una encuesta de opiniony se pudo constatar los siguiente: 30 personas prefieren A, 40 personas prefieren C; 7prefieren A y B; 17 prefieren A y C; 22 prefieren By C; 48 prefieren B o C (o ambos);61 prefieren por lo menos uno de los tres y 40 no prefieren B.

202 Conjuntos

a. El numero de personas que prefieren B.

b. El numero de personas prefieren solo B.

c. El numero de personas encuestadas.

d. El numero de personas que prefieren A y C solamente.

e. El numero de personas que prefieren dos de los tres tipos de zapatos.

13. La fabrica de carnes frias ZENU, realizo recientemente una encuesta a un grupo depersonas sobre la preferencia de sus productos Jamon, Salchicha Corriente y SalchichaRanchera. Tabulados los resultados de la encuesta se pudo concluir lo siguiente: 50consumen jamon, 60 consumen Salchicha Ranchera, 75 consumen Jamon o SalchichaCorriente, (o ambos), 15 consumen Jamon y Salchicha Corriente, 15 consumen Jamon ySalchicha Ranchera, 20 consumen las dos clases de salchichas; 115 no consumen Jamon,o , no consumen Salchicha Corriente, o, no consumen Salchicha Ranchera. Ademas 80personas no consumen Salchicha Corriente. La fabrica desea saber lo siguiente:

a. El numero de personas encuestadas.

b. El numero de personas que consumen por lo menos uno de los tres productos.

c. El numero de personas que consumen por lo menos dos de los tres productos.

d. El numero de personas que consumen exactamente uno de los tres productos.

14. La fabrica de carnes frias ZENU, realizo recientemente una encuesta a un grupo depersonas sobre la preferencia de sus productos Jamon, Salchicha Corriente y SalchichaRanchera. Tabulados los resultados de la encuesta se pudo concluir lo siguiente: 80 con-sumen Salchicha Corriente, 70 consumen Salchicha Ranchera, 100 consumen Jamon,o, Salchicha Ranchera (o ambos), 25 consumen Jamon y Salchicha Corriente; 30 con-sumen Jamon y Salchicha Ranchera, 35 consumen las dos clases de salchichas; 140no consumen Jamon, o , no consumen Salchicha Corriente, o, no consumen SalchichaRanchera. Ademas 90 personas no consumen Jamon. La fabrica desea saber lo sigu-iente:

a. El numero de personas encuestadas.

b. El numero de personas que consumen por lo menos uno de los tres productos.

c. El numero de personas que consumen por lo menos dos de los tres productos.

d. El numero de personas que consumen exactamente uno de los tres productos.

15. Una encuesta realizada a un grupo de personas sobre la preferencia de los periodicos ELTIEMPO, EL ESPECTADOR y LA REPUBLICA, arrojo los siguientes resultados: 60leen EL TIEMPO; 60 leen LA REPUBLICA, 87 leen EL TIEMPO o EL ESPECTA-DOR (o ambos); 18 leen EL TIEMPO y EL ESPECTADOR; 20 leen EL TIEMPO yLA REPUBLICA Y 120 leen maximo dos de los tres perıodicos o ninguno. Ademas 83personas no leen EL ESPECTADOR, y 30 leen EL ESPECTADOR y la REPUBLICA.

Se nos pregunta:


a. El numero de personas que leen EL ESPECTADOR.

b. El numero de personas que solamente leen EL ESPECTADOR.


d. El numero de personas que no leen ninguno de los tres perıodicos.

e. El numero de personas que leen los tres perıodicos.

f. El numero de personas que leen exactamente uno de los tres perıodicos.

g. El numero de personas leen exactamente dos de los tres perıodicos.

h. El numero de personas que leen por lo menos dos de los tres perıodicos.

i. El numero de personas leen solamente EL TIEMPO y EL ESPECTADOR.

j. El numero de personas que leen solamente EL TIEMPO, o LA REPUBLICA.

16. Entre Agosto y Septiembre del ano 1993, se realizo la eliminatoria al CampeonatoMundial de Futbol de E.E.U.U. Hubo mucha polemica sobre los candidatos a conseguiruna casilla al maximo evento deportivo. En una encuesta realizada a un grupo decomentaristas deportivos de Suramerica, sobre la posibilidad de que Brasil, Colombiay Uruguay clasificaran directamente se obtuvo la siguiente informacion: 70 opinan queclasifica Brasil; 70 que clasifica uruguay; 40 que clasifican Brasil y Colombia; 30 queclasifican Brasil y Uruguay; 35 que clasifican Colombia y Uruguay; 100 que clasificanBrasil o Colombia (o ambas) y 75 que no clasifica Colombia. Ademas 125 opinaron quemaximo clasifican dos de estos tres paises, o, ninguno.

Responda a las siguientes preguntas:

a. Cuantos opinaron que clasifica Colombia?

b. Cuantos opinaron que clasifica solamente Colombia?

c. Cuantos opinaron que clasifican Colombia y Uruguay solamente?

d. Cuantos opinaron que ninguno de estos paises clasifica?

e. A cuantos comentaristas deportivos se realizo la encuesta?

17. Entre Junio y Julio del a no 1994 se realizo el Campeonato Mundial de futbol. Sehizo una encuesta a un grupo de comentaristas deportivos sobre la posibilidad de queBrasil, Italia y Suecia, disputen la semifinal y se obtuvo la siguiente informacion: 90opinaron que clasifica Brasil, 90 que Clasifica Suecia; 30 que clasifican Brasil e Italia;30 que clasifican Brasil y Suecia; 40 que clasifican Italia y Suecia; 140 que clasificanpor lo menos uno de los paises Brasil, o , Italia; 180 que clasifican maximo dos de estostres paises, o, ninguno y 120 opinaron que no clasifica Italia.

Responda las siguientes preguntas:

a. Cuantos opinaron que clasifica Brasil solamente?

b. Cuantos opinaron que clasifican Brasil e Italia solamente?

c. Cuantos opinaron que clasifican los tres paises?

d. Cuantos opinaron que clasifican por lo menos uno de estos tres paises?

204 Conjuntos

e. A cuantos comentaristas se realizo la encuesta?

18. En una encuesta realizada a un grupo de amas de casa sobre la preferencia de lostipos de jamon de cerdo, de cordero y ahunado se obtuvo la siguiente informacion:105 consumen por lo menos uno de los tipos de jamon de cerdo, o, de cordero; 100consumen por lo menos uno de los tipos de jamon de cerdo, o, ahumado; 70 consumenjamon de cerdo, 25 consumen jamon de cerdo y de cordero; 20 consumen jamon decerdo y ahumado; 15 consumen jamon de cordero y ahumado; 90 no consumen decordero y 140 consumen maximo dos de los tres tipos de jamon, o, ninguno, hallar:

a. El numero de amas de casa que consumen exactamente uno de los tres tipos dejamon.

b. El numero de amas de casa que consumen por lo menos uno de los tres tipos dejamon.

c. El numero de amas de casa que consumen exactamente dos de los tres tipos dejamon.

d. El numero de amas de casa a las que se realizo la encuesta.

e. El numero de amas de casa que consumen jamon de cerdo, o, de cordero (o ambos),pero no consumen jamon ahumado.

19. En una encuesta realizada a un grupo de personas consumidoras de leche, sobre lapreferencia de consumir de bolsa, de garrafa y en polvo, se obtuvo la siguiente infor-macion: 105 consumen leche de bolsa, o, de garrafa (o de ambas); 130 consumen lechede garrafa, o, en polvo (o de ambas) 70 consumen leche de garrafa; 25 consumen debolsa y garrafa; 20 de bolsa y en polvo; 30 de garrafa y en polvo; 85 no consumen lecheen polvo; y 170 consumen leche maximo en dos de las tres mencionadas, o, ninguna deellas. Hallar:

a. El numero de personas que consumen leche de bolsa.

b. El numero de personas que consumen leche unicamente de bolsa.

c. El numero de personas que consumen leche por lo menos en una de las tres formasmencionadas.

d. El numero de personas que consumen leche de bolsa y de garrafa pero no en polvo.

e. El numero de personas que a las que se hizo la encuesta.

f. El numero de personas que consumen leche de garrafa, o, en polvo pero no debolsa.

20. En una encuesta realizada por la Distribuidora de carnes LA VELENITA, aun grupode clientes sobre la preferencia de consumir carne de pescado, pollo y de res se pu-do constatar que: 110 consumen pollo, o, res (o de ambas), 45 consumen solamentepescado; 35 consumen pescado y pollo; 40 pescado y de res; 50 de pollo y de res; 80consumen carne de res; 85 no consumen pollo y 145 consumen maximo dos de las tresclases de carne mencionadas, o, de ninguna. Hallar:

a. El numero de personas que consumen carne de res.


b. El numero de personas que consumen solamente carne de res.


d. El numero de personas que consumen pescado, o, pollo (o ambas) pero no con-sumen carne de res.

e. El numero de personas que consumen pescado y pollo pero no consumen carne deres.

f. El numero de personas que no consumen ninguna de las tres clases de carnemencionadas.

21. En una encuesta realizada a los empleados de una fabrica sobre su sexo, estado civily vivienda, se pudo comprobar que: 60 de los empleados son hombres, 105 de losempleados son hombres, o, son casados (o ambos); 100 de los empleados, son hombres,o, tiene casa (o ambos); 25 de los hombres son casados; 30 de los hombres tienen casapropia; 35 de los empleados casados tiene casa propia; 80 empleados son solteros y 25de las mujeres solteras no tiene casa propia.

El Gerente de la fabrica solicito al jefe de personal la siguiente informacion:

a. Cuantos empleados casados tiene la fabrica.

b. Cuantos empleados no tienen casa propia.

c. Cuantos empleados tiene la fabrica.

d. Cuantos hombres solteros tiene casa propia.

e. Cuantas de las mujeres casadas tienen casa propia.

22. En el pasado Reinado Nacional de Belleza en Cartagena, se obtuvieron en cuentalos siguientes aspectos para elegir a la nueva soberana Colombiana: Belleza, simpatıa einteligencia. Analizadas todas las candidatas, el jurado saco las siguientes conclusiones:332 tenıan por lo menos una de las caracterısticas y solamente una (la nueva reina)

tenıa las tres condiciones; 10 de las bonitas y simpaticas no eran inteligentes; 5 delas bonitas e inteligentes eran antipaticas; 2 de las simpaticas e inteligentes, no eranbonitas; 21 candidatas eran bonitas; 30 eran bonitas, o, simpaticas (o ambas); 2 de lasinteligentes no eran ni bonitas ni simpaticas y 14 candidatas no eran bonitas. respondalas siguientes preguntas:

a. El numero total de candidatas que asistieron al pasado reinado en Cartagena.

b. El numero de candidatas bonitas, o, inteligentes (o ambas) pero antipaticas.

Ejemplo A.54. Sean A = {a, {a, b}, {c, d}} y B = {b, c, {a}, {b, c}}. Observese que a /∈ B,{a} ⊆ A, A ⊇ {a} y {b} /∈ B.

Ejemplo A.55. Sean A = {x ∈ R : 3 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ R : x2 − 10x + 24 = 0}subconjuntos de el conjunto de los numeros reales R. Observese que B ⊃ A, ya que lassoluciones de la ecuacion dada en B x = 4 y x = 6 son elementos del intervalo A = [3, 7].

206 Conjuntos

Bibliografıa

[1] Introduccion a la Logica Matematica, Galicia Arrambide

[2] Taller de Logica Matematica, Zubieta

[3] Logica Matematica, Fidel Barboza

[4] Introduccion a la Logica Matematica, Suppes

[5] Introduccion a la Logica, Karl. J. Smith

[6] Matematica Digital, Carlos Barco Gomez

[7] Matematicas Discretas, Jhonsonbaugh

[8] Matematicas Discretas, Kenneth Ross

[9] Matematicas para la Computacion, Lipchutz

[10] Matematicas Discretas, Bogart

[11] Matematica Discreta y Logica, Winfried Karl Grassmann

[12] Caicedo Xavier. Elementos de logica y calculabilidad, Universidad de los Andes (1989)

207

Indice alfabetico

Algebra de Boole, 79

Adicion de la conjuncion, 119

Adicion de la disyuncion, 119

Analogıa, 15

Argumento, 112

Argumento valido, 114

Axioma, 168

Axiomas logicos, 72

Axiomas matematicos, 72

Bicondicional, 35

Cardinal de un conjunto, 189

Circuitos logicos, 84

Circuitos logicos equivalentes, 86

Complemento de un conjunto, 183

Compuerta AND, 84

Compuerta NOT, 85

Compuerta OR, 85

Condicional, 34

Conectivos logicos, 32

Conjuncion, 32

Conjunto, 178

enumerable, 180

finito, 180

infinito, 180

no-enumerable, 180

Conjunto de referencia, 142

Conjunto de validez, 142, 151

Conjunto partes, 186

Conjunto por comprension, 179

Conjunto por extension, 179

Consenso, 88

metodo del, 88

Consistencia, 126, 127

Contingencia, 73

Contradiccion, 73

Cuantificador existencial, 141

Cuantificador universal, 140

Demostracion directa, 163

Demostracion indirecta, 165

Demostracion por contradiccion, 165

Demostracion por contraposicion, 167

Diagramas de Venn-Euler, 183

Diferencia de conjuntos, 185

Diferencia simetrica de conjuntos, 186

Disyuncion, 33

Elemento, 178

Especificacion Existencial, 159

Especificacion Universal, 155

Expresion Booleana, 81

forma minimal de una, 88

suma de productos de una, 82

Expresion de conjuntos, 179

Formulas bien formadas, 55

arboles de, 57

algoritmo de decision de, 56

algoritmo de decision en polaca de, 66

algoritmo de decision en polaca inversade, 67

algoritmo de notacion infija a postfijade, 61

algoritmo de notacion infija a prefijade, 60

algoritmo de notacion polaca a infijade, 63

algoritmo de notacion polaca inversa ainfija de, 65

conectivo principal de, 56

equivalencia entre, 74

notacion prefija, infija y postfija de, 58

Falacia, 14

208


Familias de conjuntos, 193Forma normal disyuntiva, 84Funcion Booleana, 82Funcion de pertenencia, 187Funcion Proposicional, 72Funcion proposicional, 140

Generalizacion Existencial, 157Generalizacion Universal, 156

Implicacion tautologica, 73Implicante primo, 87Inconsistencia, 126Induccion matematica, 169Inferencias condicionales, 115Interseccion de conjuntos, 184

Logica simbolica, 7Lema, 168Leyes proposicionales, 74Literal, 81

Metodos de demostracion Matematica, 163Mapa de Karnaugh, 89Minterm, 82Modus Ponendo Ponens, 116, 117Modus Tollendo Ponens, 118Modus Tollendo Tollens, 116, 117

Negacion, 36Notacion de conjuntos, 178Notacion

Infija, 58Postfija, 58Prefija, 58

Operaciones de familias, 193

Parentesis de Agrupacion, 41Predicado, 23Predicados, 139Premisa condicional, 121Principio de induccion matematica, 170Producto fundamental, 81

contenencia de un, 81Propiedades de los conjuntos, 188Proposicion condicional, 48

formas de la, 49

Proposiciones, 23abiertas, 32atomicas, 23cerradas, 32compuestas, 23moleculares, 23simbolizacion de, 28simples, 23

Proposiciones categoricas, 148Proposiciones cuantificadas

certeza y falsedad de, 144falsedad por contraejemplo de, 147negacion de, 145

Razonamiento, 9deductivo, 10disyuntivo, 12inductivo, 15por analogıa, 15

Reduccion al absurdo, 165Regla de simplificacion, 120Reglas de Inferencia Logica, 117, 126, 155

Semantica, 71Silogismo, 11Silogismo Disyuntivo, 124Silogismo Hipotetico, 123Simplificacion de circuitos logicos, 87Sintaxis, 55Sofisma, 13Sujeto, 23

Terminos de enlace, 24Tabla logica, 83Tablas de pertenencia, 188Tautologıa, 72Teorema, 168Teorema de Morgan, 146

Union de conjuntos, 184

Validez, 113Verdad, 113

TEXTO LOGICA

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