Teory Himpunan Samar Part 3

22
Resume ===== OPERASI PADA HIMPUNAN SAMAR ===== Epri Kuriawan (06305144031) 3.1 Macam-Macam Operasi Ingat Operasi-operasi khusus pada komplemen, perpotongan, dan gabungan samar: (3.1) תሻሺܕ ܖǡሺሻǡ (3.2) ሻሺܕ ܠǡሺሻǡ (3.3) Untuk semua x Є X. operasi-operasi tersebut disebut dengan standar operasi samar. 3.2 Komplemen Samar Misalkan A himpunan samar pada X, didefinisikan oleh, A(x) diartikan termasuk derajad x ke A. Kompleman samar di notasikan cA, artinya A merupakan komlemen samar pada tipe c. misalkan cA sebuah komplemen yang didefinisikan oleh sebuah fungsi ሾǡሿ՜ሾǡሿ Yang mana nilai c(A(x)) untuk setiap masing masing batas keanggotaan A(x) pada setiap Himpunan bagian A yang diberikan. Nilai c(A(x)) menjelaskan nilai pada cA(x). sehingga, c(A(x)) = cA(x) (3.4) untuk semua x Є X. Aksioma c1. c(0) = 1 dan c(1) = 0 (Syarat Batas)

Transcript of Teory Himpunan Samar Part 3

Page 1: Teory Himpunan Samar Part 3

Resume

===== OPERASI PADA HIMPUNAN SAMAR =====

Epri Kuriawan (06305144031)

3.1 Macam-Macam Operasi

Ingat Operasi-operasi khusus pada komplemen, perpotongan, dan gabungan samar:

���� � ������ (3.1)

��� ���� � �� ������� ����� (3.2)

��� � ���� � ���������� ����� (3.3)

Untuk semua x Є X. operasi-operasi tersebut disebut dengan standar operasi samar.

3.2 Komplemen Samar

Misalkan A himpunan samar pada X, didefinisikan oleh, A(x) diartikan termasuk

derajad x ke A. Kompleman samar di notasikan cA, artinya A merupakan komlemen samar

pada tipe c. misalkan cA sebuah komplemen yang didefinisikan oleh sebuah fungsi

� � � ��� �� � � ��� �� Yang mana nilai c(A(x)) untuk setiap masing masing batas keanggotaan A(x) pada setiap

Himpunan bagian A yang diberikan. Nilai c(A(x)) menjelaskan nilai pada cA(x). sehingga,

c(A(x)) = cA(x) (3.4)

untuk semua x Є X.

Aksioma c1.

c(0) = 1 dan c(1) = 0 (Syarat Batas)

Page 2: Teory Himpunan Samar Part 3

Aksioma c2.

Untuk semua a, b Є [0,1], jika a ≤ b, maka c(a) ≥ c(b) (Sifat Kemonotonan)

Aksioma c1 dan c2 disebut kerangka dari complemen samar.

Aksioma c3.

c fungsi kontinu

Aksioma c4.

c involutive, yang mana c(c(a)) = a untuk setiap a Є [0, 1].

Keempat aksioma tersebut ditegaskan lagi dengan menggunkan teorema.

Teorema 3.1

Misalkan c : [0, 1] → [0, 1] memenuhi aksioma c2 dan c4. Maka, c selalau

memenuhi aksioma-aksioma c1 dan c3. Terlebih c adalah fungsi bijektif.

Bukti :

(i) Daerah pada c [0, 1], c (0) ≤ 1 dan c (1) ≥ 0. Oleh aksioma c2 c(c(0)) ≥ c(1); dan oleh

aksioma c4, 0 = c(c(0)) ≥ c(1). Oleh karena itu c (1) = 0, lajutkan aksioma c4, didapat

c (0) = c (c (1)) = 1. Sehingga, fungsi c memenuhi aksioma c1.

(ii) Tujukkan c adalah fungsi bijektif, untuk semua a Є [0, 1] terdapat b = c (a) Є [0, 1]

sedemikian sehingga c (b) = c (a2); oleh aksioma c4, maka �� � �������� � ���������� ����� karena, c adalah fungsi satu-satu; maka c adalah fungsi bijektif.

(iii) c bijektif dan memenuhi aksioma c2, c bukan nilai yang kontinu. Asumsikan c tidak

kontinu pada a0, maka didapat �� �� �������� ���� � �����

Page 3: Teory Himpunan Samar Part 3

Jealas, terdapat b1 Є [0, 1] sehingga b0 > b1 > c (a0), tidak untuk a1 Є [0, 1] sehingga

terdapat c(a1) = b1. Hal ini kondiksi maka c adalah fungsi bijektif.

Kelas Sugeno adalah Kelas pertama pada compleman samar infolutif, didefinisikan oleh

����� �� �������� (3.5)

Dimana λ Є (-1, ∞).

Pada contoh kelas lainnya, kompleman samar infolutif, didefinisikan oleh

� ��� � �� ��� �� � (3.6)

Teorema 3.2.

Setiap kompleman samar seimbang hanya pada 1.

Bukti:

Misalkan c adalah complemen samar. c adalah persamaan solusi yang seimbang

���� � �� � �� Dimana a Є [0, 1]. Tunjukkan setiap persamaan c(a) – a = b, dimana b adalah rill konstan,

hanya terdapat satu solusi. Asumsikan a1 dan a2 adalah dua solusi yang berbeda dari

persamaan c(a) – a = b,karena a1 < a2. Maka c(a1) – a1 = b dan c(a2) – a2 = b, diperoleh

c(a1) – a1 = c(a2) – a2 (3.7)

oleh karena itu, karena c monoton tetap (menrut aksioma c2), c(a1) ≥ c(a2) dan, karena a1 <

a2

c(a1) – a1 > c(a2) – a2

kontradiski dengan (3.7), menunjukkan bahwa hanya ada satu solusi.

Page 4: Teory Himpunan Samar Part 3

Teorema 3.3

Asuumsi diberikan c adalah komplemen samar yang setimbang ec, maka

� ! ����"#$%�&%'(%�"#$%��� ! �)�� dan

� * ����"#$%�&%'(%�"#$%��� * �)�� Bukti:

Misal, asumsikan a < ec, a = ec, dan a > ec, maka, e monoton tetap oleh aksioma c2,

c(a) ≥ c(ec) untuk a < ec, c(a) = c(ec) untuk a = ec, dan c(a) ≤ c(ec) untuk a > ec. karena c(ec)

= ec, dapat ditulis c(a) ≥ ec, c(a) = ec,dan c(a) ≤ ec, berturut-turut. Selanjutnya c(a) > a, c (a)

< a, berturut-turut. Maka a ≤ ec menyatakan c(a) ≥ a dan a ≥ ec, menyatakan c(a) ≤ a.

menyatakan jenis invers yang sama.

Teorema 3.4

Jika e compleman samar yang kontinu, maka c adalah kesetimbangan unik.

Bukti :

Kesetimbangan ec pada komplemen samar c adalah solusi dari persamaan c(a) – a =

0. Hokum kekhususan pada persamaan umum c(a) – a = b, dimana b Є [-1, 1] konstan.

Menurut aksioma c1, c(0) – 0 = 1 dan c(1) – 1 = -1. c komplemen kontinu, dari teorema nilai

perantara untuk fungsi-fungsi kontinu untuk setiap b Є [-1, 1], paling sedikit terdapat a

sehingga c(a) – a = b.

Kesetimbangan untuk setiap masing-masing compleman samar c2 pada sugeno class

dihasilkan dari

)�� ��+������������� �, -,.�/� 0 ���� ��, -,.�/ � � 1 Dengan jelas didapatkan solusi positif dari persamaan

Page 5: Teory Himpunan Samar Part 3

� ��)��� � ���)�� � )�� Diberikan c kompleman samar dan memiliki nilai keanggotaan bilangan rill a Є [0, 1], maka

terdapat nilai keanggotaan yang dihasikan dari bilangan rill 4a Є [0, 1] sedemikian sehingga

��� ����2� � � � ���� (3.8)

Disebut sebagai Nilai Rangkap pada a ke c.

Teorema 3.5

Jika kompleman c setimbang ec, maka

)� ��)�3

Bukti:

Jika a = ec, maka pad kesetimbangan di definisikan, c(a) = a dan a – c(a) = 0.

tambahan, jika da = ec, maka c(da) = da dan c(da) – da = 0. Karena itu

c(da) – da = a – c(a)

hal ini memenuhi (3.8) ketika a = da = ec.oleh karena itu, kesetimbangan pada setiap

kompleman masing-masing mempunyai nilai rangkap.

Teorema 3.6

Untuk setiap a Є [0, 1]. da = c(a) jika hanya jika c(c(a)) = a, karena, ketika

kompleman adalah infolutif.

Bukti:

Misalkan da = c(a), maka. Subtitusikan c(a) pada 4a di (3.8) menghasilkan

c(c(a)) – c(a) = a – c(a).

karena itu, c(c(a)) = a, untuk implikasi sebaliknya, misal c(c(a)) = a. maka subtitusikan pada

c(c(a)) pada a di (3.8) menghasilkan persamaan fungsi

Page 6: Teory Himpunan Samar Part 3

c(4a) – 4a = c(c(a)) – c(a).

Solusi 4a adalah 4a = c(a).

Teorema 3.7 (Sifat Pertama Pada Compleman Samar)

c merupakan fungsi dari [0, 1] ke [0, 1]. Maka, c adalah komplemen samar

jika hanya jika terdapat fungsi kontinu g untuk [0, 1] ke Rill sedemikian sehingga g(0)

= 0, g naik, dan

c (a) = g-1 (g(1) – g(a)) (3.9)

untuk semua a Є [0, 1]

fungsi g pada teorema 3.7 disebut increasing generators. setiap fungsi g yang

terbatas mempuyai determinan komplemen samar increasing generator oleh (3.9).

Ukuran generator naik komplemen samar, adalah g(a) = a. untuk sugeno class pada

komplemen samar, generatornya naik adalah 4/���� ���/ � �� � �/�� (3.10)

Untuk λ > -1. Catatan ���/���4��5� � �

Untuk λ = 0; karena, ukuran kompleman samar dapat dihasilkan dari limit. Untuk Yager

class, genaratonya naik adalah 4 ��� ��� (3.11)

Untuk w > 0.

Kelas pada generator naik dengan dua parameter

4/�6��� ���� � �� � ��7� Untuk λ > -1 dan w > 0, diperoleh

���7��� ��8 ���7����79� 7: �� � ���7 � ��� (3.12)

Sugeno class (untuk w = 1) sama halnya dengan Yager Class (untuk λ = 0) pada bagian kelas

khusus.

Satu contoh, dengan memperhaikan kelas-kelas pada generator naik

Page 7: Teory Himpunan Samar Part 3

4;��� �� �<����<�� ��< � ��� (3.13)

Yang menghasilakan kelas pada komplemen samar �<��� �� <��������<�=����� ��< � �� (3.14)

Menujukkan nilai γ untuk cγ.

Teorema 3.8 (Sifat Kedua Pada Komplemen Samar)

Missal c fungsi dari [0, 1] ke [0, 1]. Maka c adalah kompleman samar jika

hanya jika terdapat fungsi kontinu dari [0, 1] ke R sedemikian sehingga f(1) =0, f

pengurang dan

���� � �>?��>��� � �>���� (3.15)

Untuk semua a Є [0, 1].

Bukti:

Menurut teorema 3.7, fungsi c adalah kompleman samar jika hanya jika terdapat

generator naik g sedemikian sehingga c(a) = g-1(g(1) - a).

Misalkan f(a) = g(1) – g(a).

Maka, f(1) = 0 dan, karena g naik, f turun. Selain itu,

>����� ��4?��4��� � �� ��4?��>��� � ��

Karena

>��� � �4���� � 4���� � �4����� � >�>?���� � 4��� � 4 8>?����9 � 4��� � 4 84?��4��� � ��9 � ��

Page 8: Teory Himpunan Samar Part 3

Dan

>���>����� ��4���4���� >���� � 4�� 84���� �4���� 4����9 ��4?��4���� � �

Sekarang,

���� � �4?��4��� � 4���� � >?��4���� ��>?� @4��� � 84��� � �4����9A � >?��>��� � >����B

Jika diberikan f generator turun, maka dapat didefinisikan g adalah genarator naik

4��� � >��� � >���B Maka, (3.15) dapat ditulis

C��� � �>?��>��� � �>���� ��4?��4��� � 4����

Oleh karena itu, definisi c pada (3.15) adalah sebuah kompleman samar.

3.3 Perpotongan Samar : t-Norms

Perpotongan pada dua himpunan samar A dan B umum terjadi pada operasi biner pada

kelompok interval;

Page 9: Teory Himpunan Samar Part 3

Diberikan elemen x pada himpunan semasta, menyatakan bahwa berpasangan konsisten pada

tingkat elemen keanggotaan himpunan A dan B, dan menghasilkan perpotongan tingkat

elemen himpunan keanggotaan pembentuk pada A dan B. ini,

�� ���� � D������ ���� (3.16)

Untuk semua x Є X

Sebuah perpotongan samar/t-norm i adalah operasi biner pada unit interval yang memenuhi

paling sedikit, menurut aksioma utnuk semua a, b, d Є [0, 1]:

Aksioma i1.

i(a, 1) = a (Syarat Batas)

Aksioma i2

b ≤ d = i (b, a) ≤ i (a, d) (Sifat Kemonotonan)

Aksioma i3.

i (a,b) = I (b, a) (Komutatif)

Aksioma i4.

i (a, i(b, d)) = i (i (a, b), d) (Asosiatif)

Sebut keempat aksioma tersebut adalah kerangka aksioma dari perpotongan samar/ t-norms.

Ingat hal-hal yang membatasi kelompok pada perpotongan samar (t-norms). Tiga aksioma

yang perlu di ingat:

Aksioma i5.

i fungsi kontinu (Kontinu)

Aksioma i6.

i (a, a) < a (Kesamaan)

Page 10: Teory Himpunan Samar Part 3

Aksioma i7.

a1 < a2 dan b1 < b2 menyatakan i (a1, b1) < i (a2, b2) (Kemonotonan.

Teorema 3.9.

Ukuran perpotongan samar hanya sama t-norm.

Bukti:

Dengan jelas, min (a, a) = a untuk semua a Є [0, 1]. Asumsikan terdapat t-nomr sedemikian

sehingga i(a, a) = a untuk semua a Є [0, 1]. untuk setiap a, b Є [0, 1], jika a ≤ b. Maka,

a = i (a, a) ≤ i (a, b) ≤ i (a, 1) = a

karena sifat kemonotonan dan sifat batas, oleh karena itu, i (a, b) = a = min (a, b). dengan

cara yang sama, jika a ≥ b, maka

b = i (b, b) ≤ i (a, b) ≤ i (1, b) = b

dan, sebagai akibatnya, i (a, b) = b = min (a, b). oleh karena itu, i (a, b) = min (a, b) untuk

semua a, b Є [0, 1].

Teorema 3.10.

Untuk semua a, b Є [0, 1].

D�� ��� �� ! D��� �� ! �� ���� �� (3.17)

Dimana imin melambangkan perpotongan minimal.

Bukti :

Batar atas. Dari kondisi batas dan kemonotonan,

D��� �� ! D���� �� � ��

Dan, komutatif dengan

D��� �� � D��� �� ! D��� �� � �

Page 11: Teory Himpunan Samar Part 3

Oleh karena itu, i (a,b) ≤ a dan i (a, b) ≤ b; berarti i (a,b) ≤ min (a,b).

Batas Bawah. Dari kodisi batas, i (a,b) = a ketika b = 1, dan i (a,b) = b ketika a = 1. Karena

i(a,b) ≤ min (a,b) dan i(a,b) Є [0, 1], dengan jelas

D��� �� � D��� �� � �

Sifat kemonotonan,

D��� ���� * D��� �� � D���� �� � �

Oleh karena itu, perpotongan imin (a, b) merupakan batas bawah pada i (a,b) untuk setiap a, b

Є [0, 1].

Lemma 3.1

f generator turun. Maka fungsi g didefinisikan oleh

4���� � >���� � �>���� Untuk setiap a Є [0,1] adalah sebuah generator naik dengan g (1) = f(0), dan pseudo-

invers untuk g-1 adalah

4����� � >�����>������ Untuk setiap a Є R.

Lemma 3.2.

g generator naik. Maka fungsi f didefinisikan oleh

>��� � �4��� � �4��� Untuk setiap a Є [0, 1] adalah fungsi turun dengan f(0) = g(1) dan pseudo-inverse untuk

f-1 adalah

>����� � 4�����4������

Page 12: Teory Himpunan Samar Part 3

Untuk semua a Є R.

Teorema 3.11 (teorema karakter pada t-Norms)

i operasi biner pada setiap intval. Maka, i adalah sebuah Archimedean t-norm jika

hanya jika terdapat generator turun f sedemikian sehingga

D��� �� � �>?��>���� � >���� (3.18)

Untuk semua a, b Є [0, 1].

1. [Schweizer and Sklar 1963] :

Kelompok pada generator turun dikelas sebgai parameter p dan didefinisikan >E��� � ����E������������������E 0 �� Maka

>E�����F� ��G ����.H-�.5�I�J���∞� ���� � F�� EK �.H-�.5�F�L���� ����.H-�.5�F�L����∞� 1 Sama dengan kelas pada t-norm yang digunakan (3.18): DE��� �� � >E���� @>E�����>E���A� ��>E�?���� � �E � �E�

�� M��E � �E � ���� EK ��N)ODN��� ���E � �EL���� ��������������������������������������, -,.� ��5��P5 4��5� 1 ����5����� �E ���E � ���� EK B

2. [Yager, 1980]:

Diberikan kelompok pada generator turun > ��� � �� � �� �� � ��B Didapat

> �����F� �� M� ��F� K �N)ODN��F�L��������N)ODN��F�L����∞� 1 Dan D ��� �� ��> ���� 8> ���� > ���9 � > �?������ � �� � ��� � �� ��

Page 13: Teory Himpunan Samar Part 3

�� M� � ��� � �� ���� � �� �� K �N)ODN���� � �� � �� � �� L���� ����QROQN�RDS�D�T�RU�S�DR 1 � � ��� ��� ��� � �� � �� � �� �� VK �

3. [Frank 1979];

Kelompok dasar pada t-norm dari kelompok generato turun

>W��� ��� � W� � �W � � �W � �� W 0 �� Dari pseudo-invers didapatkan >W�����F� � �X4W�� � �W � ��)���B Dengan menggunakan (3.18) didadat DW����� ��>W���� 8>W���� >W���9

��>W�?�� Y� � �W� � ���W� � ���W � ��� Z � �X4W Y� � �W � �� �W� � ���W� � ���W � ��� Z � �X4W Y� � �W� � ���W� � ��W � � Z

Dengan menguji salah satu dari tiga kelas yang dikenalkan pada t-norm, yaitu

Yarge class D ��� �� � �� ��� ��� ��� � �� � �� � �� �� K ��� � �� (3.19)

Teorema 3.12.

Misalkan kelompok pada Yarge t-norm dinosikan iw menurut (3.19). maka

D�� ���� �� ! D ������ ![DR������ Untuk semua a, b Є [0, 1].

Bukti:

Batas Bawah. iw (1, b) = b dan iw (a, 1) = a indefenden pada w. dapat ditunjukkan

Page 14: Teory Himpunan Samar Part 3

��� ����� � �� � �� � �� ��� K � �∞\ Oleh karena itu,

��� �� D ����� � �

Untuk semua a,b Є [0, 1).

Batas Atas. Dari pembuktian teorema 3.17, diketahui

]#^_�∞^#'�`a� ��a � b�_ � �a � c�_�a _K d � ^%e�a � b� a � c�B

i∞ (a, b) = 1 – max [1 - a, 1 - b] = min (a,b), Terbukti.

Teorema 3.13.

Misalkan i adalah t-norm dan g : [0, 1] →[0, 1] merupakan suatu fungsi naik

dan kontinu di (0, 1) dan g(0) = 0, g(1) = 1. Maka, fungsi igdidefinisikan oleh

D4��� �� ��4���� 8D�4���� 4����9 (3.20)

Untuk semua a, b Є [0, 1], dimana pseudo-inver pada g dinotasikan g-1, begitu juga

pada t-norm.

3.4 Gabungan Samar : t-Conorms

Gabungan samar /t-conorm u adalah operasi biner pada unit interval terkecil, menurut

aksioma untuk semua a, b, d Є [0, 1]:

Aksioma u1.

u (a, 0) = a (syarat batas)

Aksioma u2.

b ≤ d implikasi u (a, b) ≤ u (a, d) (monoton)

Page 15: Teory Himpunan Samar Part 3

Aksioma u3.

u (a, b) = u (b, a) (komutatif)

Aksioma u4.

u (a, u(b, d) = u (u (a, b), d) (assosiatif)

Aksioma u5.

u adalah fungsi kontinu (sifat kekontinuan)

Aksioma u6.

u (a, a) > a (Kesamaan)

Aksioma u7.

a1 < a2 dan b1 < b2 menunjukkan u(a1, b1) < u(a2, b2) (stirct monotonicity)

Teorema 3.14.

Ukuran gabungan samar hanya idempoten t-conorm.

Teorema 3.15.

Untuk semua a, b Є [0, 1]

Max (a, b) ≤ u (a, b) ≤ umax (a, b) (3.22)

Teorema 3.16. (teorema karatristik pada t-conorm)

Misalkan u operasi bilangan biner pada unit interval. Maka u sebuah

archimedean t-conorm jika dan hanya jika terdapat generator naik sehingga

u (a, b) = g(-1)(g(a) + g(b)) (3.23)

untuk semua a, b Є [0, 1]

Page 16: Teory Himpunan Samar Part 3

Teorema 3.17.

Misalkan kelas pada Yarge t-conorm dilambangkan dengan uw, menurut

(3.24). maka

������� �� ! �Q ��� �� ! �Q[����� �� Untuk semua a, b Є [0, 1].

Bukti:

Batas Bawah. Akan dibuktikan

��� �∞�� f�� �� �� �� K g � �5� ���� �� (3.25)

Yang mana pada bagian (1) a atau b sama dengan 0, atau (2) a=b, karena limit pada 21/w

dengan w → ∞ sama dengan 1, jika a ≠ b dan (aw + bw)1/w adalah minimal, dengan

menggunakan penuurnan maka

��� �∞�� �� �� K � �5���� �� B

Dengan mengasumsikan, tidak ada penurunan pada kadaaan awalnya, maka a < b, dan

misalkan Q = (aw + bw)1/w. maka

��� �∞� h �� ��� �∞

� �� �� � B ��� �∞

� h �� ��� �∞

�� � � � � � ��� ��

�� ��� �∞

8� �: 9 � � � � � �8� �: 9 � �� � � �

Oleh karena itu,

��� �∞h �� ��� �� �� �� K � ������������ �5���� ���

Menunjukkan (3.25) ketika minimalnya adalah 1.

Page 17: Teory Himpunan Samar Part 3

�� �� �� K * �

Atau

� �� * �

Untuk semua w Є (0, ∞). Ketika w → ∞, ketidaksamaan jika a = 1 atau b = 1 (ketika a, b Є

[0, 1]).

Batas atas. Untuk u(0,b) = b dan u(a,0) = a bebas terhadap w, sehingga

��� �∞�� �� �� K � ∞\

Oleh karena itu,

��� �∞Q ����� � �

Untuk semua a,b Є [0,1].

Teorema 3.18

Misalkan u adalah t-conorm dan g : [0,1]→→→→ [0,1] sehingga g adalah fungsi naik

dan kontinu di [0,1] dan g(0)=0, g(1)=1. Maka fungsi ug didefinisikan

Q4������ � 4���� 8Q�4���� 4����9 Untuk semua a,b Є [0,1].

3.5 Operasi-operasi Kombinasi

Dikatakan bahwa t-norm i dan t-conorm u adalah dual with respect pada

komplemen samar c jika dan hanya jika

��D��� ��� � Q������ ������ (3.27)

Dan

Page 18: Teory Himpunan Samar Part 3

��Q��� ��� � D������ ����� (3.28)

Teorema 3.19

{min,max,c} dan {imin, umax, c}adalah kesamaan untuk setiap komplemen samar c.

Bukti :

Asumsikan, dengan tidak memandang pada pembangkitnya, a ≤ b.maka c(a) ≥ c(b)

untuk setiap kompleman samar, oleh karena itu,

�5������� ����� � ���� � ���� ���� ���B �� ������ ����� � ���� � ���5����� ���B

Teorema 3.20.

t-norm i dan komplemen samar c, u operasi biner pada [0,1] didefinisikan oleh

Q��� �� � � 8D�����B �����9 (3.29)

Untuk semua a,b Є [0,1] adalah t- conorm sedemikian sehingga i,u,c sama.

Bukti:

(u1) Untuk setiap a Є [0, 1]

Q��� �� � � 8D�����B �����9 (3.29)

� ��D�����B ��� (aksioma c1)

� ������� (aksioma i1)

� � (aksiomac4)

(u2) Untuk setiap a, b, d Є [0,1], jika b ≤ d, maka c(b) ≥ c(d). sehingga

D�����B ����� * D�����B ��3��

Page 19: Teory Himpunan Samar Part 3

Menurut aksioma i2. Oleh karena itu menurut (3.29),

Q��� �� � � 8D�����B �����9 ! � 8D�����B ��3��9 � Q��� 3� (u3) Untuk setiap a, b Є [0,1], didapatkan

Q��� �� � � 8D�����B �����9 ! � 8D�����B �����9 � Q��� �� Menurut (3.29) dan aksioma i3.

(u4) Untuk setiap a, b, d Є [0,1],

i��� Q�3� 3�� �� � @D 8����� ��Q��� 3��9A (3.29)

� �jDk����� � @� 8D������ ��3��9Alm (3.29)

� � @D 8����� D������ ��3��9A (Aksioma c4)

� � @D 8D������ ������ ��3�9A (Aksioma i4)

� �jDk� @� 8D������ �����9A � ��3�lm (Aksioma c4)

� Q�Q�Q� ��� 3� (3.29)

Dari (3.29) dan aksioma c4. Kiata dapat tunjukkan bahawa u sesuai dengan hukun

De-Morgan:

��Q��� ��� � � @� 8�������� �����9A � D������ ����� Q������ ����� � � @D 8�������� �������9A � ��D��� ��� Oleh karena itu, i dan u dua hal yang sama ke c.

Page 20: Teory Himpunan Samar Part 3

Teorema 3.21

Diberikan t-conorm u dan komplemen samar c, i adalah operasi biner pada

[0,1] didefinisikan oleh

D��� �� � � 8Q������ �����9 (3.30)

Untuk semua a,b Є [0,1] adalah t- norm sedemikian sehingga (i,u,c).

Teorema 3.22

C adalah kompleman samar dan g generator naik pada c, t-norm dan t-

conorm pembangkit oleh g dengan kesamaan pada c.

Teorema 3.23

Misalkan (i,u.c) adalah tiga pembangkit yang sama menurut teorema 3.22,

maka i,u,c operasi samar menurut hukum middle dan hukum kontradiksi.

Teorema 3.24

(i,u,c) sama menurut Hukum middle dan hukum kontradiksi, sehingga (i,u,c)

bukan termasuk hukum distribusif.

3.6 Operasi Campuran

Aksioma h1. n��� ��o � �� � ��p5 �n��� �� o � �� � ���WT�q�O���O�W� Aksioma h2.

Untuk setiap pasang (a1, a2,…., an) dan (b1, b2,…., bn) pada n-tupel sedemikian

sehingga ai, bi Є [0,1] untuk semua i Є Nn, jika ai ≤ bi untuk semua i Є Nn, maka r�bs� bt� o � bu� ! �r�cs� ct� o � cu�\ h monoton naik pada semua pernyataan tersebut.

Page 21: Teory Himpunan Samar Part 3

Aksioma h3.

h adalah fungsi kontinu

Aksioma h4.

h fungsi simetrik; n���� ��� o � �R� � n��E���� �E���� o � �E�R�� untuk setiap permutasi p pada Nn.

Aksioma h5.

h fungsi independent, sehingga n��� ��o � �� � �

untuk semua a Є [0,1].

Teorema 3.25

h: [0,1]n→→→→R+ yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h2, dan sifat n��� � ��� ��� � ���� o � �R � �R� � n���� ��� o � �R� � n���� ��� o � �R� (3.33)

Dimana ai,bi, ai + bi Є [0,1] untuk semua i Є Nn. maka, n���� ��� o � �R� � v D�DRDw� (3.34)

Dimana wi > 0 untuk semua i Є Nn.

Teorema 3.26

h: [0,1]n→→→→[0,1] yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h3, dan sifat n��5����� ����o ��5���R� �R�� � �5���n���� o � �R�� n���� o � �R�� (3.35) nD�nD��D�� � nD��D� (3.36)

Dimana nD��D� � n���o � �� �D� ��o � �� untuk semua i Є Nn. maka n���� o � �R� � �5���� � �� ���� o ��� � R� � �� (3.37)

Dimana wi Є [0,1] untuk semua i Є Nn.

Page 22: Teory Himpunan Samar Part 3

Teorema 3.27

h: [0,1]n→→→→[0,1] yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h3, dan sifat n���� ���� ���� o ��� ��R� �R�� � �� �n���� o � �R�� n���� o � �R����� (3.38) nD���� � nD���nD���p5 �nD��� � � (3.39)

Untuk semua i Є Nn, dimana nD��� � nD���o � �� �D� ��o � ��B maka, terdapat bilangan α1,

α2, ..., αn Є [0, 1], sedemikian sehingga n���� ��� o � �R� � �� ���x� � ��x� � o � � x �

Teorema 3.28

Operasi norm h adalah kontinu dan idempotent maka terdapat λλλλ Є [0,1]

sedemikian sehingga

n��� �� G�5����� ���.H-�.5��� ��J���� y��� ���� ��.H-�.5��� ��J��y� ��y�QROQN�RDS�D�T�RU�S�DR 1 Untuk setiap a,b Є [0,1]