Teori Relativitas - Mirza Satriawanmirza.staff.ugm.ac.id/relativitas/RElativity-4.pdf · Fluida...

Teori Relativitas

Mirza Satriawan

December 7, 2010

Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus

M. Satriawan Teori Relativitas

Quiz

1 Tuliskan perumusan kelestarian jumlah partikel denganmemakai vektor-4 fluks jumlah partikel.

2 Tuliskan hukum kelestarian energi momentum denganmenggunakan tensor energi-momentum

3 Tuliskan bentuk umum tensor energi-momentum untukfluida sempurna dalam KDS

4 Apa perbedaan antara debu dan fluida sempurna?


Fluida

Fluida termasuk suatu kontinum dengan sifat-sifat tertentu.Kontinum adalah kumpulan partikel sedemikian banyaksehingga dinamika masing-masing partikelnya tidak dapatdiikuti, dan hanya besaran-besaran reratanya saja yang dipakaiuntuk mendeskripsikan dinamikanya. Nilai besaran-besaranrerata ini (seperti tekanan, temperatur) dapat bervariasi dalamsuatu fluida. Sekumpulan partikel yang cukup banyak, dengannilai besaran rerata tadi yang cukup homogen, disebut sebagaielemen. Fluida dicirikan oleh sifat dimana gaya paralel terhadapbidang batas antar elemennya relatif lebih kecil dibandingkangaya tegaklurus terhadap bidang batas antar elemen.


Debu (Vektor Jumlah Partikel ~N)

Tinjau suatu kumpulan partikel yang seluruhnya diamterhadap suatu kerangka acuan (dalam kerangka diam sesaat(KDS) partikel-partikel). Kumpulan partikel semacam inidisebut sebagai debu. Dalam KDS, didefinisikan kerapatanpartikel n, sebagai jumlah partikel per volume dalam kerangkaini. Dalam kerangka dimana semua partikel-partikel bergerakdengan kecepatan v, maka rapat jumlah partikelnya (karenakontraksi Lorentz) adalah

n√

1 − v2(1)


Fluks Partikel

Fluks partikel melewati suatu permukaan adalah jumlahpartikel yang melewati permukaan tersebut per satuan luas persatuan waktu.Dalam KDS, karena partikelnya diam maka fluksnya nol.Dalam kerangka dimana partikelnya bergerak dengankecepatan v ke arah x, maka dalam ∆t jumlah partikel yangmenembus suatu luasan ∆A adalah sejumlah rapat partikeldikali v∆t∆A, sehingga fluksnya

(fluks)x =nv

√

1 − v2(2)


Bila arah kecepatan tidak tegak lurus permukaan, maka

(fluks)x =nvx√

1 − v2(3)


Vektor empat fluks jumlah partikel

Vektor empat fluks jumlah partikel didefinisikan sebagai

~N = n~U (4)

dalam suatu kerangka O, komponennya

~N→O

( n√

1 − v2,

nvx√

1 − v2,

nvy√

1 − v2,

nvz√

1 − v2

)(5)

Perhatikan~N · ~N = −n2; n = (−~N · ~N)1/2 (6)

jadi n adalah besaran skalar Lorentz.


Dari definisi fluks jumlah partikel di atas, maka rapat jumlahpartikel dapat dianggap sebagai fluks - bak waktu. Dalamdiagram ruang waktu, fluks ruang yang menembuspermukaan dengan x konstan dalam interval waktu ∆t dapatdigambarkan sebagai


Untuk fluks -bak waktu, dapat dibayangkan partikel yangmenembus permukaan dengan t konstan dalam interval ruang∆x


Bentuk satu untuk mendeskripsikan permukaan

Permukaan didefinisikan melalui solusi dari suatu persamaan

φ(t, x, y, z) = konstan (7)

Gradien dari fungsi φ, dφ, adalah bentuk-satu normal, secaratidak langsung dφ mendeskripsikan permukaan φ = konstan,karena menentukan secara unik arah (normal) dari permukaan.Biasanya dipakai normal-satuan, bila permukaannya tidaknull, untuk mendeskripsikan permukaan

n ≡ dφ/|dφ| (8)

dengan|dφ| = |ηαβφ,αφ,β|1/2 (9)

adalah besar dari dφ.


Bila dalam ruang-3, ‘elemen permukaan’ didefinisikan sebagaivektor satuan normal dikalikan elemen area di permukaan.Dalam ruang-4 elemen volume suatu ruang spasial yangkoordinatnya xα, xβ, dan xγ diwakili dengan

ndxαdxβdxγ (10)

dan untuk volume satuan (dxα = dxβ = dxγ = 1), cukup diwakilidengan n.


Fluks melewati suatu permukaan

Dalam hukum Gauss, fluks medan listrik yang menembussuatu permukaan diberikan oleh ~E · n. Analog dengan ini, fluksjumlah partikel yang menembus suatu permukaan φ konstandiberikan oleh 〈n, ~N〉. Misalkan, bila φ adalah koordinat x,maka permukaan konstan x memiliki normal dx. Fluks jumlahpartikel yang melewati permukaan x konstan adalah〈dx, ~N〉 = Nα(dx)α


Mewakili suatu kerangka dengan bentuk satu

Sebelumnya suatu kerangka inersial diwakili dengan vektorempat kecepatannya ~U. Kita dapat mewakilinya juga denganbentuk satu yang terkait dengan vektor empat kecepatannyag(~U, ), yang memiliki komponen

Uα = ηαβUβ (11)

Dalam KDS U0 = −1,Ui = 0, yang sama dengan −dt.Penggunaan dt untuk mendeskripsikan suatu kerangka lebihalami daripada ~U. Sebagai contoh, untuk mendapatkan energisuatu partikel pada suatu kerangka E = −~p · ~U, sedangkan bilamemakai bentuk satu, E = 〈dt,~p〉


Tensor Energi-Momentum

Dalam KDS, energi setiap partikel E = m, dan kerapatanpartikel adalah n, sehingga rapat energi

ρ = mn (12)

sehingga ρ adalah besaran skalar Lorentz.Dalam kerangka O yang bergerak dengan kecepatan ~v terhadapKDS, atau dalam kerangka dimana partikel-partikel bergerakdengan kecepatan sama ~v, kerapatan partikelnya adalahn/√

1 − v2, dan energi per partikelnya m/√

1 − v2, sehinggarapat energinya

rapatenergi =mn

1 − v2 =ρ

1 − v2 (13)

Karena bentuk ini mengandung dua faktor Λ00 = 1/

√

1 − v2,maka tentunya rapat energi adalah komponen dari suatu

tensor tipe (20 ).


Untuk debu, karena bentuk ρ di atas adalah perkalian antaravektor empat momentum dan vektor empat fluks jumlahpartikel dalam kerangka KDS, maka dapat diperumum, untuksembarang kerangka

T ≡ ~p ⊗ ~N = mn~U ⊗ ~U = ρ~U ⊗ ~U (14)

Komponen dari tensor energi-momentum

T(dxα, dxβ) = Tαβ. (15)

Tαβ adalah fluks dari momentum α yang melewati permukaandengan xβ konstan. Karena itu, misalnya T00 adalah fluksmomentum-0 (energi) yang menembus permukaan dengan x0

(=t) konstan (yang berarti kerapatan), atau dengan kata lain T00

adalah rapat energi. T0i adalah fluks momentum-0 (energi)yang menembus permukaan dengan xi konstan. Ti0 adalahfluks momentum-i yang menembus permukaan t konstan, atautidak lain adalah rapat momentum. Tij adalah fluksmomentum-i yang menembus permukaan xj konstan.


Dalam suatu kerangka,

Tαβ = T(ωα, ωβ) = ρUαUβ (16)

Dalam kerangka O dimana semua partikel bergerak dengankecepatan v, maka

T00 = ρ/(1 − v2); T0i = ρvi/(1 − v2) (17)

Ti0 = ρvi/(1 − v2); Tij = ρvivj/(1 − v2) (18)


Fluida Umum

Dalam debu, gerak partikel hanya gerak bersama, padahalsecara umum partikel juga dapat bergerak secara acak relatifsatu terhadap lainnya. Selain itu juga terdapat berbagai gayaantar partikel yang menyumbang pada energi potensial total.Dalam fluida umum, setiap elemen fluida mungkin memilikiKDS sendiri-sendiri. Semua besaran skalar dalam relativitasyang terkait dengan elemen fluida (seperti rapat jumlahpartikel, suhu, rapat energi, dll.) didefinisikan sebagai nilainyadalam KDS.


Berikut ini tabel besaran makroskopik untuk fluida~U kecepatan-4 ele-

men fluidakecepatan empat di KDS

n rapat partikel jumlah partikel per satuan volumedi KDS

~N vektor fluks par-tikel

~N ≡ n~U

ρ rapat energi rapat energi massa total (massadiam, energi kinetik acak, energikimia,dsb.)

Φ energi internalper partikel

Φ = (ρ/n) − m (semua energi selainenergi massa diam)

ρ0 rapat massa diam ρ0 = mn ini adalah ‘energi’ massadiam saja

T temperatur definisi temperatur termodinamikdi KDS

p tekanan definisi tekanan di KDSs entropi jenis entropi per partikel


Hukum pertama termodinamika

Hukum I termodinamika tidak lain adalah pernyataankelestarian energi. Tinjau suatu elemen fluida dalam KDS-nya.Elemen ini dapat bertukar energi dengan elemen laindisekelilingnya melalui konduksi panas ∆Q dan melalui usaha(p∆V). Maka perubahan energi total elemen

∆E = ∆Q − p∆V (19)

Bila elemen fluida mengandung N buah partikel, dan tidakterjadi kreasi atau anihilasi partikel (N tetap) maka

V =Nn

; ∆V = −Nn2 ∆n (20)

Kita juga memiliki

E = ρV; ∆E = ρ∆V + V∆ρ (21)


Kedua hasil di atas menyebabkan

∆Q =Nn

∆ρ −N(ρ + p)∆nn2 (22)

Bila didefinisikan q ≡ Q/N, panas per partikel, maka

n∆q = ∆ρ −ρ + p

n∆n (23)

untuk perubahan infinitesimal

ndq = dρ −ρ + p

ndn (24)

Dari termodinamika untuk proses yang reversibel, entropididefinisikan sebagai ∆Q = T∆S, dengan s = S/N maka

dρ − (ρ + p)dnn

= nTds (25)


Tensor energi momentum secara umum

Definisi Tαβ pada ?? sudah dalam bentuk umum. Tinjau dalamKDS, di mana tidak ada gerak bersama partikel dalam elemenfluida, serta tidak ada momentum-3 partikel. Sehingga dalamKDS didapati

1 T00 = rapat energi = ρ2 T0i = fluks energi. Walau tidak ada gerakan, energi dapat

dipindahkan melalui konduksi panas, sehingga T0i adalahsuku konduksi panas dalam KDS.

3 Ti0 = rapat momentum. Walau partikel tidak memilikimomentum, tetapi karena ada fluks energi, makaenerginya membawa momentum.

4 Tij = fluks momentum. (akan dibahas selanjutnya)


Komponen ruang dari tensor T

Perdefinisi, Tij adalah fluks momentum-i yang melewatipermukaan j.

Tinjau dua elemen fluida di atas, dengan permukaan batasbersama S. Dalam gambar diperlihatkan gaya elemen Akepada B, sebesar F.


Karena dalam KDS (sehingga hukum Newton masih berlaku),maka A memberikan momentum dengan kelajuan sebesar Fkepada elemen B. Bila bidang S memiliki luas permukaan A,maka fluks momentum menembus S adalah F/A. Bila S adalahpermukaan dengan xj konstan, maka Tij untuk elemen fluida Aadalah Fi/A. Jadi Tij menggambarkan gaya antara dua elemenfluida. Secara umum gaya ini tidak harus tegak luruspermukaan batas fluida, tetapi bila tegaklurus maka Tij nol bilai , j.


Sifat simetri Tαβ dalam KDS

Tinjau gambar berikut ini

Gaya pada elemen tetangga pada permukaan-1 (permukaan−xkonstan) adalah Fi

1 = Tixl2, pada permukaan-2 adalahFi

2 = Tiyl2. Sedangkan pada permukaan-3 dan 4 adalah −Fi1 dan

−Fi2 agar elemen fluida ini tidak mengalami percepatan tak

hingga bila l→ 0.M. Satriawan Teori Relativitas

Pada elemen fluida tadi, torka terhadap sembarang sumbu jugaharus nol (agar tidak mengalami percepatan sudut tak hingga).Total torka akibat gaya di keempat permukaan tadi terhadapsumbu-z adalah

τz = l3(Txy− Tyx) (26)

dan dengan momen inersia elemen terhadap sumbu-zI ρVl2 ρl5 sehingga α = Txy

−Tyx

ρl2 . Agar α = 0, maka Txy = Tyx Bila

diterapkan untuk sembarang sumbu, maka diperoleh Tij = Tji


Kesamaan rapat momentum dan fluks energi

Fluks energi adalah rapat energi dikalikan kecepatan alirannya.Tetapi karena energi sama dengan massa, maka ini samadengan rapat massa dikalikan kecepatan, atau dengan kata lainrapat momentum. Jadi T0i = Ti0


Kelestarian energi-momentum

Tinjau gambar elemen fluida di bawah ini

Laju energi yang masuk melalui permukaan (4) (x = 0) adalahl2T0x, energi yang masuk permukaan (2) (x = l) adalah −l2T0x.Energi yang mengalir dalam arah y adalah l2T0y (di y = 0) dan−l2T0y (di y = l). Demikian juga untuk arah z.


Jumlah laju energi yang masuk harus sama dengan lajupertambahan energi di elemen tersebut ∂(T00l3)/∂t, sehingga

∂∂

l3T00 = l2[T0x(x = 0) − T0x(x = l) + T0y(y = 0)

− T0y(y = l) + T0z(z = 0) − T0z(z = l)] (27)

setelah dibagi l3 dan diambil limit l→ 0 maka

∂∂

T00 = −∂∂x

T0x−∂∂y

T0y−∂∂z

T0z (28)

atau dapat juga ditulisT0α,α = 0 (29)

Hal yang sama juga dapat dijabarkan untuk aliran momentum(dengan mengganti 0 dengan i = 1, 2, 3). Sehingga hukumkelestarian energi-momentum secara umum dapat dituliskan

Tαβ,β = 0 (30)

Ini berlaku untuk sembarang materi dalam teori relativitaskhusus (tidak lain adalah divergensi empat dimensi).


Kelestarian Partikel

Penjabaran seperti untuk energi dan momentum juga dapatkita lakukan untuk fluks jumlah partikel, bila dalam aliranfluida jumlah partikel total tetap. Sehingga dapat dituliskan

∂∂

N0 = −∂∂x

Nx−∂∂y

Ny−∂∂z

Nz (31)

atauNα,α = (nUα),α = 0 (32)


Fluida sempurna

Dalam relativitas fluida sempurna didefinisikan sebagai suatufluida yang tidak mempunyai viskositas dan tidak memilikihantaran panas dalam KDS. Karena tidak ada hantaran panas,maka dalam KDS, T0i = Ti0 = 0. Bila jumlah partikel tetap,maka entropi jenis akan terkait dengan aliran panas melaluipersamaan

Tds = dQ

artinya, dalam fluida sempurna, bila pers. (32) terpenuhi, makaentropi jenis s selalu konstan.


Viskositas adalah gaya yang paralel dengan permukaan antaraelemen fluida. Bila tidak ada viskositas, berarti gaya selalutegak lurus permukaan batas antar elemen fluida, sehinggaTij = 0 bila i , j, atau Tij adalah matriks diagonal. Dan karenaketiadaan viskositas ini tidak bergantung pada kerangkaruang, maka matrik Tij selalu ortogonal dalam semua kerangkaKDS. Dan ini berarti matriks tersebut merupakan kelipatandari matriks identitas. Permukaan x akan memiliki gaya padaarah x saja, demikian juga untuk arah y dan z. Gaya persatuanluas ini sama untuk ketiga arah dan disebut sebagai tekanan.Sehingga Tij = pδij.


Bentuk T

Dalam KDS, T untuk fluida sempurna memiliki bentuk

(Tαβ) =

ρ 0 0 00 p 0 00 0 p 00 0 0 p

(33)

Dapat ditunjukkan bahwa dalam KDS

Tαβ = (ρ + p)UαUβ + pηαβ (34)

atau dalam bentuk yang bebas kerangka,

T = (ρ + p)~U ⊗ ~U + pg−1 (35)

Debu adalah bentuk fluida sempurna tanpa tekanan.


Hukum kelestarian

Pers. (30) bila diterapkan pada fluida ideal

Tαβ,β = [(ρ + p)UαUβ + pηαβ],β = 0 (36)

Anggap jumlah partikel tetap sehingga (nUβ),β = 0. Sukupertama dari pers. (36) dapat dituliskan sebagai

[(ρ + p)UαUβ],β =[ρ + p

nUαnUβ

],β = nUβ

(ρ + pn

Uα),β (37)

karena ηαβ adalah matriks yang konstan, maka ηαβ,γ = 0. Selainitu juga diperoleh

UαUα = −1 sehingga (UαUα),β = 0 (38)

atauUα,β Uα = 0 (39)


Dengan menggunakan hasil-hasil di (37) dan (39), pers. awal di(36) menjadi

nUβ(ρ + p

nUα

),β +p,β ηαβ = 0 (40)

Kalikan dengan Uα dan dijumlah terhadap α, diperoleh

nUβUα

(ρ + pn

Uα),β +p,β ηαβUα = 0 (41)

suku terakhir p,β Uβ tidak lain adalah derivatif p sepanjanggaris dunia dari elemen fluida, dp/dτ. Kita peroleh setelahbeberapa manipulasi

Uβ[− n

(ρ + pn

),β +p,β

]= 0 (42)

atau−Uβ

[ρ,β −

ρ + pn

n,β]

= 0 (43)


yang dapat juga ditulis sebagai

dρdt−ρ + p

ndndτ

= 0

Bila dibandingkan dengan pers. (25) maka dapat disimpulkan

Uαs,α =dsdτ

= 0

Jadi aliran partikel konstan fluida ideal, memiliki entropi jenisyang lestari, ini disebut sebagai adiabatik. Selain itu, apa yangkita lakukan, bahwa kelestarian energi dalam termodinamika,telah tersimpan dalam pers.36, paralel dengan Uα.Tiga komponen pers. (36) lainnya dapat dijabarkan sebagaiberikut. Mulai dari pers

nUβ(ρ + p

nUα

),β +p,β ηαβ = 0


kemudian pindah ke KDS dengan Ui = 0, tetapi Ui,β , 0.Komponen ke-i nya

nUβ(ρ + p

nUi

),β +p,β ηiβ = 0 (44)

karena Ui = 0 maka diperoleh

(ρ + p)Ui,β Uβ + p,β ηiβ = 0

dengan menurunkan indeks i, diperoleh

(ρ + p)Ui,β Uβ + p,i = 0

karena Ui,β Uβ adalah percepatan ai maka

(ρ + p)ai + p,i = 0 (45)


Pentingnya T dalam Teori Relativitas Umum

Dalam teori gravitasi Newton, sebagai sumber medan gravitasiadalah rapat massa ρ, yang dalam bahasa relativistik adalahrapat massa diam ρ0. Tetapi akan sangat aneh bila yangmenjadi sumber hanya ρ0 karena energi dan massa diam salingterkait secara relativistik. Karena itu tentunya sebagai sumberharuslah dipakai seluruh energi massa total T00. Tetapi bilahanya dipakai T00, yaitu salah satu komponen dari T akanmenghasilkan suatu teori yang tidak invarian Lorentz. Karenaitu sebagai sumber gravitasi haruslah keseluruhan tensorenergi momentum.


Hal kedua yang terkait tensor energi momentum adalahperanan tekanan dalam Teori Relativitas Umum (TRU) sebagaisumber dari medan gravitasi dan kemunculannya dalam pers.(45). Dalam sebuah bintang yang masif, medan gravitasi yangkuat membutuhkan gradien tekanan yang besar untukmenyeimbangi tarikan gravitasi. Berapa besar gradien tekananyang dibutuhkan diberikan oleh percepatan yang ditimbulkangravitasi bila tidak ada tekanan. Besarnya gradien tekananditentukan dari

−ai =p,iρ + p

Karena ρ + p jelas lebih besar daripada ρ maka besar gradientekanan yang dibutuhkan lebih besar daripada dalam teoriNewton, ρ~a + ∇p = 0. Karena p yang lebih besar akanmenambah besar komponen T, medan gravitasi yang lebihbesar juga muncul. Ketika besar p sudah sebanding dengan ρ,meningkatkan p justru tidak dapat menahan besar tarikangravitasi, dan muncullah keruntuhan gravitasi.


Hukum Gauss

Hukum Gauss disini adalah kesamaan antara integral volumedari suatu divergensi dengan suatu integral permukaan∫

Vα,α d4x =

∮Vαnαd3S

yang tidak adalah lain adalah bentuk integral dari Tαβ,β = 0 danNα,α = 0. Perhatikan gambar berikut


Volume dalam gambar dibatasi oleh empat pasang permukaanhiper untuk t, x, y, dan z konstan (hanya t dan x yangdigambarkan). Normal pada t2 adalah dt dan pada t1 adalah−dt. Normal pada x2 dan x1 adalah dx dan −dx berturutan.Sehingga integral permukaan di atas adalah∫

t2

V0dxdydz +

∫x1

(−V0)dxdydz∫x2

Vxdtdy dz +

∫x1

(−Vx)dtdydz + permukaan lainnya

(46)


yang dapat juga ditulis sebagai∫[V0(t2) −V0(t1)]dxdydz +

∫[Vx(x2) −Vx(x1)]dtdydz + · · · (47)

atau ∫∂V0

∂tdtdxdydz +

∫∂Vx

∂xdxdtdydz + · · ·

Diringkas ∫Vα,α dtdxdydz


Teori Relativitas - Mirza Satriawanmirza.staff.ugm.ac.id/relativitas/RElativity-4.pdf · Fluida...

Documents

Transcript of Teori Relativitas - Mirza Satriawanmirza.staff.ugm.ac.id/relativitas/RElativity-4.pdf · Fluida...