TEORI PROBABILITAS

31
TEORI PROBABILITAS Masthura, S.Si, M.Si

description

teori probabilitas

Transcript of TEORI PROBABILITAS

TEORI PROBABILITAS

TEORI PROBABILITAS

Masthura, S.Si, M.Si

PENDAHULUAN

Teori probabilitas teori yang mempelajari persoalan dari peristiwa-peristiwa yang kejadiannya tidak dapat diramalkan terlebih dahulu

Kata Probabilitas sering dipertukarkan dengan istilah lain seperti peluang dan kemungkinan.

Probabilitas dinyatakan dengan bilangan desimal atau pecahanContoh :0,50, 0,25, 0,75

Nilai probabilitas berkisar antara 0 dan 1Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadiSebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1 semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.A. HimpunanHIMPUNAN adalah Suatu daftar dari sekumpulan obyek yang mempunyai ciri-ciri tertentu.Obyek yang ada dalam himpunan dapat berupa : Bilangan, Nama orang, Huruf, Nama kota, dsb. Obyek yang ada dalam himpunan disebut Elemen atau Unsur atau Anggota.Himpunan biasanya ditulis dalam huruf besar, seperti: A, B, C, D, X, Y., Sedangkan anggota himpunan ditulis dalam huruf kecil, seperti : a, b, c, d, x, y.

5sambunganCara menulis himpunan : Dengan cara mendaftar anggota himpunannyaContoh : A = a, b, c, d artinya himpunan A mempunyai 4 anggota yaitu a, b, c, dan d.Dengan cara menentukan suatu aturan pernyataan Contoh : Suatu himpunan B yang beranggotakan x sedemikian rupa sehingga x adalah bilangan ganjil (1, 3, 5, 7, dst), ditulis dengan :B = x x bilangan ganjil P = x x mahasiswa penerima beasiswa

sambungansambunganLambang-lambang dalam Teori Himpunan dan artinyaNoLambangArtiContoh Penggunaan1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

_

U

Anggota(element)

himpunan bagian(subset)

gabungan(union)

irisan(intersection)

selisih

bukan A(komplemen)

himpunan universal

himpunan kosongxA : obyek x adalah anggota dari himpunan A

AB : A adalah himpunan bagian dari B

A B : gabungan antara A dan B

A B : irisan antara A dan B

AB : selisih antara himp A dikurangi himp BA = bilangan positif = bilangan negatif

Seluruh abjad dari a sampai zSeluruh penduduk di dunia

B. PERMUTASI DAN KOMBINASIPermutasiadalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa obyek ke dalam suatu urutan tertentuDalam permutasi urutan/posisi diperhatikan!!!Rumus PermutasiDalil-1 Permutasi:Banyaknya Permutasi n benda yang berbeda adalah n! nPn = n!Contoh: Dari huruf A, B, C permutasi yang mungkin: ABC ACB BACBCACAB CBA. Permutasi = 6 = 3 2 1= 3!

sambunganDalil-2 Permutasi : Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :

Contoh :Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang berbeda. Undian urutan pertama akan memperoleh rumah, undian urutan kedua memperoleh mobil dan undian urutan ketiga memperoleh paket wisata ke Eropa. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?

sambunganPenyelesaian := 59280

Dalil-3 Permutasi Melingkar: Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)! Contoh :Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar. Berapa susunan yang mungkin dibentuk? n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5 4 3 2 1 = 120

sambunganKombinasiadalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebutMisalkan: Kombinasi 3 dari 3 obyek A, B dan C adalah: ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ( Hanya terdapat 1 kombinasi)Rumus KombinasiDalil-1 Kombinasi :Kombinasi r dari n obyek adalah

sambunganContoh : Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang sama. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?

= 9880

Hubungan permutasi dengan kombinasi.Hubungan permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut :

C. PROBABILITASadalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak)Probabilitas dirumuskan :

dimana :P(A) : probabilitas terjadinya kejadian An : banyak titik contoh penyusun Kejadian N : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S)

Nilai Peluang Kejadian A 0 P(A) 1dan P (A) = 1Peluang Kejadian yang pasti terjadiP (A) = 0 Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi

sambunganIstilah yang berhubungan dengan Probabilitas :a. Percobaan : proses pelaksanaan pengukuran atau observasi yang bersangkutanb. Ruang sampel : himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu percobaanc. Titik sampel : setiap anggota dari ruang sampeld. Kejadian/peristiwa : himpunan bagian dari ruang sampel pada suatu percobaan atau hasil dari percobaansambunganContoh :Percobaan:Pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kaliS : {sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5, sisi-6}N = 6Kejadian A: Munculnya sisi dadu bernilai GENAP dalam pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kaliA = {sisi-2, sisi-4, sisi-6} ; n = 3Peluang kejadian A:

Contoh SoalD. Probabilitas Beberapa Peristiwa.Peristiwa Saling Lepas( Mutually exclusive)Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

P (A atau B) = P (A) + P (B) atauP ( A B) = P (A) + P (B)

Contoh SoalSebuah Dadu dilemparkan ke atas, peristiwa-peristiwanya adalah:A= peristiwa mata dadu 4 MunculB = Peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 munculC = Peristiwa mata dadu bilangan prima muncul

Tentukan probabilitas dari kejadian berikut!A) mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul!B) mata dadu 4 atau bilangan prima muncul!Penyelesaian :Peristiwa tidak saling lepas (non exclusive)

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas, apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa tidak saling lepas disebut juga peristiwa bersama.

Jika dua peristiwa A dan B tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

P (A atau B ) = P(A) + P(B) - P(A dan B)P ( A B) = P(A) + P(B) P(A B)

Contoh Soal :Dua buah dadu dilempar bersamaan, apabila : A = peristiwa mata (4,4) muncul B = peristiwa mata lebih kecil dari (3,3) muncul C = peristiwa bilangan sama muncul

Tentukan probabilitas berikut : a. P(A atau C) b. P(B atau C) c. P(A atau B)Penyelesaian :SambunganPeristiwa Saling Bebas ( peristiwa independen)Apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain.

Probabilitas peristiwa saling lepas dibedakanatas tiga macam, yaitu :Probabilitas marginal / tidak bersyarat.Probabilitas gabungan.Probabilitas bersyarat.1. Probabilitas marginal/ tidak bersyarat. Probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain.

2. Probabilitas GabunganTerjadinya 2 peristiwa atau lebih secara berurutan dan peristiwa-peristiwa tersebut tidak saling mempengaruhi.Jika peristiwa A dan B gabungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :P (A B) = P (A) x P (B)

Contoh SoalSebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilemparkan satu kali secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya gambar pada mata uang dan mata 4 pada dadu.

Penyelesaian :Misalkan A = gambar pada mata uang B = mata 4 pada daduP(A dan B) = P(A) x P(B)1/2 x 1/6 = 1/123. Probabilitas BersyaratProbabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi.Jika B bersyarat terhadap A, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :P (B/A) = P (B)29Contoh SoalSsebuah mata uang logam dilempar dua kali. Jika pelemparan pertama menghasilkan angka (A), tentukan probabilitas menghasilkan angka pada lemparan kedua (B)

Penyelesaian :Probabilitas munculnya A pada lemparan pertama = 0,5. pada lemparan kedua, pengaruhnya tidak ada, sehingga hasilnya juga 0,5, jadi :P(B/A) = 0,5Peristiwa tidak saling bebas.Apabila peristiwa yang satu dipengaruhi atau bergantung pada peristiwa lainnya.Probabilitas Bersyarat :