TEORI ELASTISITAS

13
TEORI ELASTISITAS Metode seismik memanfaatkan sifat penjalaran gelombang mekanik yang dijalarkan melewati bumi. Karena penjalaran gelombang sangat bergantung pada sifat elastis dari batuan yang ada di bawah permukaan bumi, maka perlu terlebih dahulu dibahas mengenai konsep dasar elastisitas. Ukuran dan bentuk sebuah benda padat dapat berubah dengan cara memberikan gaya ke bagian permukaan luar dari benda tersebut. Gaya luar ini akan dilawan oleh gaya internal yang akan melawan perubahan bentuk dan ukuran benda tersebut. Sebagai akibat dari gaya internal tersebut, benda akan berusaha untuk kembali ke bentuk semula ketika gaya luar dihilangkan. Fluida akan mempertahankan perubahan volume, tetapi tidak dengan perubahan bentuk. Sifat melawan perubahan bentuk atau ukuran dan kembali ke bentuk awal ketika gaya luar dihilangkan dikenal dengan istilah elastisitas. Sebuah benda yang elastis sempurna adalah benda yang benar-benar kembali ke bentuk dan ukuran asal dengan sempurna setelah gaya luar dihilangkan. Batuan bisa dianggap elastis sempurna dengan melihat bahwa deformasi benda tersebut (perubahan bentuk atau ukuran) cukup kecil, seperti dalam kasus gelombang seismik, kecuali untuk bahan yang berada dekat sumber seismik. Teori elastisitas akan menghubungkan gaya yang diberikan terhadap suatu benda dengan perubahan bentuk dan ukuran yang diakibatkan. Hubungan antara gaya yang dikenakan pada benda terhadap deformasi benda tersebut dinyatakan dalam konsep stress dan strain (tegangan dan regangan). Tegangan (Stress) Stress atau tegangan didefinisikan sebagai gaya per satuan luas. Ketika sebuah gaya diberikan kepada sebuah benda, tegangan adalah perbandingan antara besar gaya terhadap luas dimana gaya tersebut dikenakan. Jika gaya yang dikenakan tegak lurus terhadap permukaan benda (luas yang akan diperhitungkan), maka tegangan TEORI ELASTISITAS 1

Transcript of TEORI ELASTISITAS

Page 1: TEORI ELASTISITAS

TEORI ELASTISITAS

Metode seismik memanfaatkan sifat penjalaran gelombang mekanik yang

dijalarkan melewati bumi. Karena penjalaran gelombang sangat bergantung

pada sifat elastis dari batuan yang ada di bawah permukaan bumi, maka perlu

terlebih dahulu dibahas mengenai konsep dasar elastisitas.

Ukuran dan bentuk sebuah benda padat dapat berubah dengan cara

memberikan gaya ke bagian permukaan luar dari benda tersebut. Gaya luar ini

akan dilawan oleh gaya internal yang akan melawan perubahan bentuk dan

ukuran benda tersebut. Sebagai akibat dari gaya internal tersebut, benda akan

berusaha untuk kembali ke bentuk semula ketika gaya luar dihilangkan. Fluida

akan mempertahankan perubahan volume, tetapi tidak dengan perubahan

bentuk.

Sifat melawan perubahan bentuk atau ukuran dan kembali ke bentuk awal

ketika gaya luar dihilangkan dikenal dengan istilah elastisitas. Sebuah benda

yang elastis sempurna adalah benda yang benar-benar kembali ke bentuk dan

ukuran asal dengan sempurna setelah gaya luar dihilangkan. Batuan bisa

dianggap elastis sempurna dengan melihat bahwa deformasi benda tersebut

(perubahan bentuk atau ukuran) cukup kecil, seperti dalam kasus gelombang

seismik, kecuali untuk bahan yang berada dekat sumber seismik.

Teori elastisitas akan menghubungkan gaya yang diberikan terhadap

suatu benda dengan perubahan bentuk dan ukuran yang diakibatkan.

Hubungan antara gaya yang dikenakan pada benda terhadap deformasi benda

tersebut dinyatakan dalam konsep stress dan strain (tegangan dan regangan).

Tegangan (Stress)

Stress atau tegangan didefinisikan sebagai gaya per satuan luas. Ketika

sebuah gaya diberikan kepada sebuah benda, tegangan adalah perbandingan

antara besar gaya terhadap luas dimana gaya tersebut dikenakan. Jika gaya

yang dikenakan tegak lurus terhadap permukaan benda (luas yang akan

diperhitungkan), maka tegangan tersebut adalah tegangan normal. Jika gaya

yang dikenakan berarah tangensial terhadap elemen luas permukaan benda,

tegangan tersebut adalah tegangan geser. Jika gaya tersebut tidak tegak lurus

maupun paralel terhadap elemen luas permukaan benda tersebut, gaya

tersebut dapat diuraikan ke komponen yang paralel dan tegak lurus terhadap

elemen luas permukaan benda tersebut. Dengan demikian, segala bentuk

tegangan dapat diuraikan dalam komponen normal dan tangensial.

TEORI ELASTISITAS 1

Page 2: TEORI ELASTISITAS

Jika kita mempertimbangkan sebuah elemen kecil volume, tegangan yang

beraksi pada enam buah permukaan dapat diuraikan menjadi komponen-

komponen, seperti yang terlihat pada Gambar 1.

Gambar 1. Komponen tegangan.

Pada saat benda berada dalam keadaan setimbang statis, gaya-gaya akan

seimbang. Ini berarti bahwa tiga komponen tegangan σxx , σyx , σzx yang

beraksi pada permukaan OABC harus sama dan berlawanan dengan tegangan

pada permukaan DEFG, dengan hubungan yang serupa pula untuk empat

permukaan yang lainnya. Sebagai tambahan, sejumlah tegangan geser, seperti

σyx, merupakan kopel yang cenderung memutar elemennya pada sumbu z.

Besarnya kopel tersebut adalah :

Jika kita pertimbangkan tegangan pada empat permukaan lain benda

tersebut, kita akan menemukan bahwa kopel ini akan dilawan hanya oleh kopel

yang disebabkan oleh pasangan tegangan σxy dengan besar . Karena

elemen tersebut dalam keadaan setimbang, maka momen total haruslah nol,

dengan demikian σxy = σyx. Secara umum, harus memenuhi σij = σji.

Tensor stress =

Regangan (Strain)Ketika benda elastis mendapat tegangan, maka akan terjadi perubahan

bentuk dan dimensi. Perubahan ini, yang dikenal dengan strain atau regangan,

dapat diuraikan dalam beberapa tipe dasar. Perhatikan bidang segiempat PQRS

pada bidang xy (Gambar 2). Pada saat stress berlaku, P akan berpindah ke P’;

PP’ memiliki komponen u dan v. Jika titik sudut lain Q, R dan S memiliki

perpindahan yang sama dengan P, bidang segiempat tersebut akan hanya

TEORI ELASTISITAS 2

A B

FE

C

GD

O dy

dx

σxx

x

y

z

σxy

σxz σyy

σyx

σyz

σzz

σzyσzx

dz

Normal Stress

Page 3: TEORI ELASTISITAS

akan berpindah secara keseluruhan dengan besar u dan v. Dalam hal ini tidak

ada perubahan bentuk maupun ukuran dan tidak ada regangan yang timbul.

Namun jika besar u dan v berbeda untuk titik sudut yang berbeda, bidang

segiempat tersebut akan mengalami perubahan bentuk dan atau ukuran, dan

regangan akan timbul.

Gambar 2. Analisis regangan 2 dimensi.

Asumsikan u = u(x,y), v = v(x,y), lalu koordinat dari PQRS dan P’Q’R’S’

dinyatakan sebagai berikut:

secara umum perubahan u dan v jauh lebih kecil daripada besar dx dan dy.

Berdasarkan hal tadi dapat diasumsikan bahwa bentuk ( ) ,( ) dan

lainnya akan sangat kecil sehingga dapat diabaikan.

Strain didefinisikan sebagai perubahan relatif (perubahan fraksional/kecil)

dalam dimensi atau bentuk dari suatu benda. Kuantitas dan

merupakan pertambahan panjang yang relatif terhadap sumbu-x dan sumbu-y

dan merujuk kepada normal strain. Kuantitas merupakan jumlah

dari sudut sebelah kanan dalam bidang xy yang berkurang ketika ada gaya

yang bekerja pada benda dan menyebabkan perubahan bentuk dari medium,

TEORI ELASTISITAS 3

QP

S R

P’

Q’

δ2

δ1

S’

R’

dx

dy

v

u

(dv/dy)dy

(du/dy)dy

(dv/dx)dx

(du/dx)dx

x

y

Page 4: TEORI ELASTISITAS

dikenal sebagai shearing strain yang dinotasikan oleh . Kuantitas

merepresentasikan rotasi dari benda di sekitar sumbu-z yang tidak meliputi

perubahan dalam ukuran atau bentuk sehingga ini bukan merupakan strain.

Kuantitas ini dinotasikan dengan simbol .

Strain atau regangan didefinisikan sebagai perubahan relatif (perubahan

kecil) dimensi atau bentuk dari suatu benda. Nilai kuantitas du/dx dan du/dy

adalah pertambahan relatif dimensi panjang dalam arah sumbu x dan y dan

berkenaan dengan regangan normal (normal strain). Sedangkan nilai kuantitas

(du/dx + du/dy) adalah besar dimana sudut sebelah kanan pada bidang xy

berkurang pada saat tegangan diberikan, dengan demikian merupakan ukuran

perubahan bentuk dari medium tersebut, yang dikenal dengan regangan geser

(shearing strain) yang dinotasikan dengan simbol εxy. Dalam perluasan ke

bidang tiga dimensi, elemen dasar dari regangan dinotasikan sebagai berikut :

Regangan Normal (1) Regangan Geser

(2)

Sebagai akibat dari regangan tersebut, benda mengalami rotasi

sederhana terhadap ketiga sumbu, yang diberikan oleh :

(3)

Perubahan dimensi yang diberikan oleh regangan akan menghasilkan perubahan volume benda, perubahan volume per unit volume disebut dilatasi dan direpresentasikan oleh Δ yang diberikan oleh :

(4)

TEORI ELASTISITAS 4

Page 5: TEORI ELASTISITAS

Tensor strain = , Rotasi Posisi benda =

Hukum Hooke

Hukum Hooke menyatakan bahwa ketika regangannya kecil, regangan

yang diberikan akan proporsional dengan tegangan yang menimbulkannya atau

dengan kata lain, masing-masing regangan merupakan fungsi linier dar

keseluruhan tegangan dan sebaliknya. Untuk medium homogen isotropik,

pernyataan tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk :

i = x,y,z (5)

i,j = x,y,z, i ≠ j

(6)Persamaan (5) menyatakan bahwa tegangan normal dapat menghasilkan

tegangan dalam arah selain arah dari tegangan tersebut, sedangkan

persamaan (6) menyatakan bahwa tegangan geser hanya menghasilkan

regangan geser (tidak ada regangan normal).

Besaran λ dan μ dikenal dengan konstanta Lame. Jika dituliskan ,

jelas bahwa nilai berbanding terbalik dengan μ. Oleh karena itu μ yang

merupakan ukuran tahanan terhadap regangan geser sering merujuk kepada

besaran modulus kekerasan atau modulus geser. Ketika tegangan dinaikkan

hingga melebihi limit elastis, maka Hukum Hooke tak lagi berlaku dan regangan

yang diakibatkan oleh tegangan tersebut tidak sepenuhnya hilang ketika

tegangannya dihilangkan.

Konstanta Elastis

Walaupun konstanta Lame sesuai untuk digunakan dalam peristiwa fisika

yang melibatkan sifat elatisitas benda, beberapa konstanta elastis lain sering

digunakan, diantaranya Modulus Young yang dirumuskan dengan :

(7)

dan perbandingan Poisson (Poisson’s Ratio) yang dirumuskan dengan :

(8)

Medium yang mengalami penegangan hidrostatis sebesar –p atau :

= = = -p = = = 0

akan memiliki perbandingan antara tegangan terhadap dilatasi sebesar k :

TEORI ELASTISITAS 5

Page 6: TEORI ELASTISITAS

(9)

(10)

Persamaan Gelombang

Gelombang yang berada pada keadaan tidak teredam dapat dinyatakan

dengan persamaan berikut :

(11)

dengan

(12)

Persamaan rambat gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum Hooke

yang menyatakan hubungan stress (gaya persatuan luas) dan strain

(perubahan dimensi) sebagai:

(13)

; ij

(14)

dalam persamaan tersebut i,j = x,y,z sedangkan dan dikenal sebagai

konstanta lame. konstanta didefinisikan sebagai kemampuan menahan strain

geser, sehingga seringkali disebut sebagai modulus geser. adalah

perubahan volume sebagai akibat dari tekanan :

Persamaan (13) menyatakan hubungan antara stress ( ) dan strain ( )

pada keadaan satu arah sedangkan persamaan (14) menyatakan hubungan

stress dan strain yang saling tegak lurus.

TEORI ELASTISITAS 6

Page 7: TEORI ELASTISITAS

Gambar 3. Penggambaran stress dan strain yang ditimbulkan oleh tekanan.

Dalam hukum Newton, gaya (F) pada suatu benda setara dengan massa

benda (M) dikali dengan percepatannya (a). Sehubungan dengan pergeseran

(u) sebagai akibat dari tekanan sepanjang sumbu-x, hukum Newton tersebut

diungkapkan sebagai berikut:

Hukum newton : = = .

(15)

dimana xx = Stress normal arah x, xy = Stress geser arah x ke y dan xz = Stress geser arah x ke z.

Dengan mengunakan Hukum Hooke :

dan dimana ij

Jika Hukum Hooke dimasukkan ke persamaan (15), akan mendapatkan :

(16)

(17)

Jika dilakukan operasi divergensi arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z :

(18)

TEORI ELASTISITAS

strain tegak lurus stress

strain searah stress

tekanan

Kondisi benda pada keadaan awal

Kondisi benda pada keadaan akhir

7

Page 8: TEORI ELASTISITAS

(19)

(20)

Kita kembangkan lebih jauh, lakukan operasi pada 3 arah ”displacement” u, v,

w :

.D = x.u + y.v +z.w

(21)

.D =

(22)

Kita jumlahkan persamaan (18), persamaan (19), dan persamaan (20) :

(23)

(24)

Persamaan (24) adalah persamaan untuk gelombang P karena beroperasi

pada arah sejajar (searah) dengan komponen gaya. Jika persamaan (18)

dibandingkan dengan persamaan gelombang umum (11), maka akan diperoleh

perumusan kecepatan gelombang P, yaitu:

(19)

dengan adalah konstanta Lame dan adalah densitas.

Selanjutnya sehubungan dengan gerak puntir seperti dikemukakan dalam

lampiran B, diperoleh persamaan:

(20)

dengan , yang menyatakan vektor sudut puntir. Persamaan (20) ini

disebut juga sebagai persamaan gelombang S karena gelombang merambat

dengan gerakan memutar (curl).

Dengan membandingkan persamaan (9) dan persamaan gelombang

umum (1) maka diperoleh kecepatan gelombang S, yaitu :

TEORI ELASTISITAS 8

Page 9: TEORI ELASTISITAS

(21)

dengan adalah modulus geser dan adalah massa jenis. Berdasarkan

persamaan ini, gelombang S tidak dapat merambat pada medium cair maupun

udara karena cairan dan udara mempunyai modulus geser bernilai nol.

Gambar 4. Perambatan gelombang P dan gelombang S

Konsep Tensor Stress, Strain dan Tensor Anisotropi

Dari Hukum Hooke yang menyatakan hubungan stress (gaya persatuan

luas) dan strain (perubahan dimensi) sebagai:

= C.

(22)

dimana : = tensor stress, = tensor strain dan C = tensor stiffness (derajat

kekakuan), atau

ij = Cijkl.kl

(23)

Cijkl adalah tensor stiffness berukuran 9x9

ij = ijkl.kl

(23)

ijkl adalah tensor compliance berukuran 9x9, ijkl = 1/(Cijkl)

dimana IJ : Stress (rank 2), KL : Strain (rank 2) dan CIJKL : Tensor Elastisitas (rank 4)11 = C1111.11C1112.12 C1113.13 C1121.21 C1122.22 C1123.23C1131.31C1132.32 C1133.3312 = C1211.11C1212.12 C1213.13 C1221.21 C1222.22 C1223.23C1231.31C1232.32 C1233.33

13 = C1311.11C1312.12 C1313.13 C1321.21 C1322.22 C1323.23C1331.31C1332.32 C1333.33

21 = C2111.11C2112.12 C2113.13 C2121.21 C2122.22 C2123.23C2131.31C2132.32 C2133.33

22 = C2211.11C2212.12 C2213.13 C2221.21 C2222.22 C2223.23C2231.31C2232.32 C2233.33

23 = C2311.11C2312.12 C2313.13 C2321.21 C2322.22 C2323.23C2331.31C2332.32 C2333.33

31 = C3111.11C3112.12 C3113.13 C3121.21 C3122.22 C3123.23C3131.31C3132.32 C3133.33

TEORI ELASTISITAS 9

Page 10: TEORI ELASTISITAS

32 = C3211.11C3212.12 C3213.13 C3221.21 C3222.22 C3223.23C3231.31C3232.32 C3233.33

33 = C3311.11C3312.12 C3313.13 C3321.21 C3322.22 C3323.23C3331.31C3332.32C3333.33

Matriks Stiffness Ordo 9x9

11 C1111 C1112 C1113 C1121 C1122 C1123 C1131 C1132 C1133

12 C1211 C1212 C1213 C1221 C1222 C1223 C1231 C1232 C1233

13 C1311 C1312 C1313 C1321 C1322 C1323 C1331 C1332 C1333

21 C2111 C2112 C2113 C2121 C2122 C2123 C2131 C2132 C2133

22 = C2211 C2212 C2213 C2221 C2222 C2223 C2231 C2232 C2233

23 C2311 C2312 C2313 C2321 C2322 C2323 C2331 C2332 C2333

31 C3111 C3112 C3113 C3121 C3122 C3123 C3131 C3132 C3133

32 C3211 C3212 C3213 C3221 C3222 C3223 C3231 C3232 C3233

33 C3311 C3313 C3315 C3321 C3322 C3323 C3331 C3332 C3333

Jika IJ = JI, CIJKL = CIJLK, CIJKL = CJIKL dan KL = LK

11 = C1111.11C1112.12 2C1113.13 C1122.22 2C1123.23 C1133.33

12 = C1211.11C1212.12 2C1213.13 C1222.22 2C1223.23C1233.33

21 = C2111.11C2112.12 2C2113.13 C2122.22 2C2123.23C2133.33

13 = C1311.11C1312.12 2C1313.13 C1322.22 2C1323.23C1333.33

22 = C2211.11C2212.12 2C2213.13 C2222.22 2C2223.23C2233.33

23 = C2311.11C2312.12 2C2313.13 C2322.22 2C2323.23C2333.33

31 = C3111.11C3112.12 2C3113.13 C3122.22 2C3123.23C3133.33

32 = C3211.11C3212.12 2C3213.13 C3222.22 2C3223.23 C3233.33

33 = C3311.11C3312.12 2C3313.13 C3322.22 2C3323.23C3333.33

atau :11 = C1111.11C1112.12 2C1113.13 C1122.22 2C1123.23 C1133.33

12 = (C1211 + C2111)11C1212 + C2112)12 2(C1213 +C211313 (C1222 +C212222 2(C1223 +C2123)23C1233 + C2133)33

13 = (C1311 + C3111)11C1312 + C3112)12 2(C1313 +C311313 (C1322 +C312222 2(C1323 +C3123)23C1333 + C3133)33

22 = C2211.11C2212.12 2C2213.13 C2222.22 2C2223.23C2233.33

23 = (C2311 + C3211)11C2312 + C3212)12 2(C2313 +C321313 (C2322 +C322222 2(C2323 +C3223)23C2333 + C3233)33

33 = C3311.11C3312.12 2C3313.13 C3322.22 2C3323.23C3333.33

Matriks Stiffness Ordo 6x6

11 C1111 2C1112 2C1113 C1122 2C1123 C1133 11

12 (C1211 + C2111) 2C1212 + C2112) 2(C1213 +C2113 (C1222 +C2122 2(C1223 +C2123) C1233 + C2133) 12

13 = (C1311 + C3111) 2C1312 + C3112) 2(C1313 +C3113 (C1322 +C3122 2(C1323 +C3123) C1333 + C3133) 13

22 C2211 2C2212 2C2213 C2222 2C2223 C2233 22

23 (C2311 + C3211) 2C2312 + C3212) 2(C2313 +C3213 (C2322 +C3222 2(C2323 +C3223) C2333 + C3233) 23

33 C3311 2C3313 2C3315 C3322 2C3323 C3333 33

11 C1111 2C1112 2C1113 C1122 2C1123 C1133 11

12 2C1211 4C1212 4C1213 2C1222 4C1223 C1233 12

13 = 2C1311 4C1312 4C1313 2C1322 4C1323 C1333 13

TEORI ELASTISITAS 10

Page 11: TEORI ELASTISITAS

22 C2211 2C2212 2C2213 C2222 2C2223 C2233 22

23 2C2311 4C2312 4C2313 2C2322 4C2323 C2333 23

33 C3311 2C3313 2C3315 C3322 2C3323 C3333 33

TEORI ELASTISITAS 11