teori antrian

35
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan sangatlah menjengkelkan. Rata – rata lamanya waktu menunggu (waiting time) sangat tergantung kepada ratrata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services). Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A.K.Erlang,seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis.Dalam waktu – waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para peneleponsecepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran,mungkin cukup lama. Persoalan 1 [email protected] Crazynet……………………………………. M.Nur, S.Kom

description

[email protected], S.KomLHOKSEUMAWE MATANG TOTE

Transcript of teori antrian

Page 1: teori antrian

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran

pelayanan sangatlah menjengkelkan. Rata – rata lamanya waktu menunggu

(waiting time) sangat tergantung kepada ratrata tingkat kecepatan pelayanan (rate

of services). Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh

A.K.Erlang,seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon

di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi

permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing

equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis.Dalam waktu –

waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para

peneleponsecepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu

giliran,mungkin cukup lama. Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan

perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator, kemudian pada tahun

1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa

operator.Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul

Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in

Automatic Telephone Exhange.Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian

Erlang diperluas penggunaa nya antara lain dalam teori antrian (Supranto, 1987).

1

[email protected]

Crazynet……………………………………. M.Nur, S.Kom

Page 2: teori antrian

Teori antrian adalah cabang dari terapan teori probabilitas yang awalnya

digunakan untuk mempelajari kemacetan lalu lintas telepon, Pertama kali

diperkenalkan oleh seorang ahli matematika dari Denmark, Agner Kramp Erlang

(1878-1929). Proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan

kedatangan seorang pelangan pada suatu fasilitas pelayanan kemudian menunggu

dalam suatu baris atau antrian karena pelayannya sedang sibuk dan akhirnya

meninggalkan sistem setelah selesai dilayani. Sedangkan yang dimaksud dengan

sistem antrian adalah himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang

mengatur kedatangan para pelanggan dan pemrosesan masalahnya.

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian -

antrian atau baris-baris penungguan. Fenomena menunggu adalah hasil langsung

dari keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, kedatangan pelangan

dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya karena jika bisa diketahui,

pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sedemikian rupa sehingga akan

sepenuhnya menghilangkan keharusan untuk menunggu. Tujuan mempelajari

pengoprasian sebuah sarana pelayanan dalam kondisi acaka dalah untuk

memperoleh beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem yang sedang

dipelajari.Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan dan pelayan adalah

berkaitan dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan

sebuah pelayanan, dalam antrian kedatangan pelanggan umumnya disebut sebagai

distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan

(service time distribution).

2

Page 3: teori antrian

Teori Antrian memiliki sedikitnya 3 elemen utama, yaitu elemen

customer, service facility, dan queue.Customer adalah istilah generic untuk pihak

yang meminta pelayanan.Service Facility adalah fasilitas dari sebuah sistem untuk

memberikan proses pelayanan terhadap customer. Sedangkan Queue adalah

antrian itu sendiri, yaitu tempat dimana customer-customer yang sedang tidak

dilayani berada sambil menunggu giliran untuk dilayani.

1.2 Tujuan

Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut :

1. Mengerti apa itu pengertian Teori Antrian

2. Memahami teori sistem antrian

3. Memahami struktur dam model-model sistem Teori Antrian

3

Page 4: teori antrian

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Teori Antrian

Teori antrian merupakan teori yang menyangkut studi matematis dari antrian-

antrian atau beris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan yang terjadi

apabila kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia. Dalam

hal ini, apabila pelayanan terlalu banyak, maka akan memerlukan ongkos yang

besar, sebaliknya jika kapasitas pelayanan kurang, maka akan terjadi baris

penungguan dalam waktu yang cukup lama dan juga akan menimbulkan ongkos.

Sebenarnya tujuan utama dari teori antrian ini adalah mencapai keseimbangan

antara ongkos pelayanan dengan ongkos yang disebabkan oleh adanya waktu

menunggu tersebut.

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian -antrian

atau baris-baris penungguan. Fenomena menunggu adalah hasil langsung dari

keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, kedatangan pelangan dan

waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya karena jika bisa diketahui,

pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sedemikian rupa sehingga akan

sepenuhnya menghilangkan keharusan untuk menunggu.

Tujuan mempelajari pengoprasian sebuah sarana pelayanan dalam kondisi acaka

dalah untuk memperoleh beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem

4

Page 5: teori antrian

yang sedang dipelajari. Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan dan

pelayan adalah berkaitan dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk

menyelesaikan sebuah pelayanan, dalam antrian kedatangan pelanggan umumnya

disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu

pelayanan (service time distribution).

2.1.1 Struktur Dasar Model-Model Antrian

Dalam teori antrian terdapat beberapa struktur dasar model-model

antrian, salah satu diantaranya adalah unit-unit (langganan) yang

memerlukan pelayanan yang diturunkan dari suatu sumber input

memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam waktu tertentu,

anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan didasarkan pada

suatu anturan yang disebut “disiplin pelayanan” dan “mekanisme

pelayanan”. Setelah itu kemudian unit-unit meninggalkan sistem antrian.

2.1.2 Disiplin Pelayanan

Disiplin pelayanan dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu

preemptive dan non preemptive.

1. Disiplin preemptive

Merupakan disiplin yang menggambarkan situasi dimana pelayan sedang

melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang

diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya.

5

Page 6: teori antrian

2. Disiplin non preemptive

Disiplin non preemptive merupakan disiplin yang menggambarkan situasi

dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian

beralih melayani orang yang diprioritaskan.

2.1.3 Mekanisme Pelayanan

Mekanisme pelayanan terdiri atas satu atau lebih fasilitas pelayanan yang

masing-masing terdiri atas satu atau lebih saluran paralel. Jika ada lebih

dari satu fasilitas pelayanan, maka unit-unit yang memerlukan pelayanan

akan dilayani oleh serangkaian fasilitas.

2.1.4 Input (Populasi)

Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat

dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi

yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa

terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite).

2.2 Model Sistem Antrian

Pada teori antrian, suatu model antrian digunakan untuk

memperkirakansuatu situasi antrian sesungguhnya , sehingga kelakuan antrian

dapat dianalisasecara matematik. Dengan model sistem antrian maka akan

dimungkinkanuntuk menentukan ukuran performansi pada kondisi steady, antara

laintermasuk:

6

Page 7: teori antrian

Jumlah rata-rata pelanggan yang berada dalam antrian atau sistem,

Waktu rata-rata dalam antrian atau sistem,

Distribusi statistik dari jumlah pelanggan dan waktu dalam antrian,

Probabilitas antrian penuh atau kosong, dan

Probabilitas mendapatkan sistem dalam suatu kondisi tertentu.

Ukuran-ukuran performansi tersebut sangat penting sebagai isu atau

problem yang disebabkan oleh situasi antrian yang biasanya terkait dengan

masalah kepuasan pelanggan terhadap layanan. Analisa terhadap model antrian

yang tepat akan memungkinkan penyebab antrian dapat diidentifikasi dan akibat-

akibatnya dapat diminimisasi.

Secara umum, model-model antrian sendiri dapat direpresentasikandengan

menggunakan notasi Kendall sebagai berikut :

A/B/S/K/N/Dis

Dimana :

A adalah distribusi waktu antar kedatangan

B adalah distribusi waktu layanan

S adalah jumlah dari server

K adalah kapasitas sistem

N adalah populasi pendudukan ( yang sedang melakukan pendudukan )

Dis adalah asumsi dari disiplin layanan

7

Page 8: teori antrian

Umumnya, 3 parameter terakhir diabaikan, sehingga notasi hanya terdiri

dari A/B/S dan diasumsikan bahwa K = infinitely (= ∾), N = infinitely,

dan Dis = FIFO.

Notasi standar yang sering digunakan untuk distribusi (A atau B) adalah:

M untuk suatu distribusi Markovian (exponential)

Eκ untuk suatu distribusi Erlang dengan fase κ

D untuk distribusi (konstan) Degenerate (atau Deterministic)

G untuk distribusi General (arbitrary)

PH untuk suatu distribusi Phase-type

Sebagai contoh, "G/D/1" akan mengindikasikan suatu proses

kedatanganGeneral (bisa apa pun), suatu proses layanan Deterministic (constant

time) dan suatu server tunggal (single).

Pada sistem switching, implementasi sistem antrian memungkinkan

pelanggan-pelanggan yang belum terlayani untuk antri sampai tersedianya sarana

(resources) untuk proses pelayanan. Ini berarti bahwa jika level intensitas trafik

melebihi kapasitas yang tersedia, maka panggilan dari pelanggan yang tidak dapat

dilayani tidak harus langsung hilang; tapi dibuat menunggu sampai dapat dilayani.

Model sistem antrian dapat diilustrasikan secara sederhana pada gambar 2.1.

Disiplin suatu antrian ditentukan oleh cara sistem switching menangani

panggilan. Secara umum ada empat disiplin antrian yang dikenal, yaitu:

8

Page 9: teori antrian

A. First in first out

Prinsip disiplin ini, hanya satu pelanggan yang dapat dilayani pada suatu

waktu tertentu dan pelanggan yang sudah menunggu paling lama yang akan

dilayani lebih dulu.

B. Last in first out

Pada disiplin ini hanya satu pelanggan juga yang dapat dilayani pada suatu waktu

tertentu, tapi pelanggan dengan waktu menunggu paling pendek yang akan

dilayani lebih dulu.

Gambar 2.1 Model Sistem Antrian

C. Processor sharing

Pelanggan-pelanggan akan dilayani secara sama. Kapasitas jaringan dibagi

(shared) diantara para pelanggan dan para pelanggan secara efektif akan

mengalami delay yang sama.

9

Page 10: teori antrian

D. Priority

Pelanggan dengan prioritas tinggi akan dilayani lebih dulu. Proses antrian

ditangani oleh sistem prosesor perangkat switching dan dapat dimodelkan dengan

menggunakan persamaan kondisi. Sistem antrian biasanya menggunakan suatu

bentuk persamaan kondisi tertentu yang dikenal sebagai Markov chain yang

menjadi model sistem pada setiap kondisi. Trafik yang datang ke sistem di-model-

kan dengan suatu distribusi Poisson dan menjadi subyek dari asumsi sistem

antrian Erlang, yaitu :

1. Pure-chance traffic – Kelahiran dan kematian panggilan bersifat random

dan kejadian-kejadiannya bersifat independent.

2. Statistical equilibrium – Probabilitas dalam sistem tidak berubah.

3. Full availability – Semua trafik yang datang dapat di-routing-kan ke

semua pelanggan lainnya dalam jaringan.

4. Congestion di clear kan segera setelah server-server bebas.

Asumsi (1) sampai (3) merupakan faktor umum pada sistem rugi.

Dalamhal ini, asumsi (2) mengimplikasikan bahwa A ≤ N ( A, trafik yang

ditawarkan,dan N, kapasitas server sistem switching). Jika A ≥ N, maka

panggilanpanggilanakan masuk ke sistem dengan rateyang jauh lebih besar

disbanding keluarnya. Sebagai hasilnya, panjang antrian secara kontinyu akan

bertambah ke arah tidak terhingga (infinity). Ini berarti tidak terjadi keseimbangan

statistic (statistical equilibrium).

Jika k merupakan jumlah total panggilan dalam sistem, maka jika k <N

panggilan-panggilan akan dapat dilayani semuanya dan tidak terjadi delay.

10

Page 11: teori antrian

Apabila k > N, jika semua server sibuk maka panggilan-panggilan yang dating

pada saat itu akan mengalami delay. Jadi akan ada N panggilan yang dilayani

dank – N panggilan dalam antrian

Jika k ≤ N

Tidak ada antrian dan perilaku sistem sama dengan sistem rugi tanpa congestion.

Dimana

untuk 0 ≤ k ≤ N .................................................... (2-1)

Jika k ≥ N

Probabilitas dari suatu panggilan datang pada suatu periode waktu yang sangat

pendek, δt, dari persamaan terdahulu di bab 2, yaitu probabilitas suatu panggilan

datang yang dinyatakan dengan

P(a) = A δt / h

dimana h adalah waktu pendudukan rata-rata.

Maka, probabilitas suatu transisi dari panggilan k – 1 ke k pada sistem selama δt,

dapat dinyatakan dengan

P(k-1 → k) = P(k-1) A δt / h

Karena semua server sibuk, hanya N panggilan yang sedang dilayani yang

akanditerminasi, sehingga probabilitas panggilan berakhir (ending)

dapatdinyatakan dengan

P(e) = N δt / h

dan probabilitas suatu transisi dari k ke k-1 adalah

11

Page 12: teori antrian

P(k → k-1) = P(k) P(e) = P(k) N δt / h

Dan,

……………………………….………………... (2-2)

Maka, secara umum untuk k ≥ N :

………...……………………….(2-3)

Selanjutnya, dari persamaan (2-1) dan (2-3) :

……………………………………..(2-4)

Sehingga didapat,

………………………………(2-5)

Dalam hal ini, persamaan (2-1) dan (2-3) tergantung pada apakah k ≤ N atau k ≥N,

dimana P(0) adalah berdasarkan persamaan (2-5). Ini dikenal sebagaiDistribusi

Erlang Kedua (Second Erlang Distribution).

2.3 Spesifikasi sistem antrian

1. Terdapat c server dalam sistem antrian

2. Customer masuk ke sistem dengan rata-rata kedatangan persatuan

waktu (arrival rate) λ, dan jarak antar kedatangannya (interarrival rate)

adalah τ

3. Server malayani customer rata-rata (service rate)dalam waktu μ per

customer per server.

12

Page 13: teori antrian

2.3.1 Faktor faktor penting dalam pengembangan model antrian

A. FCFS (First Come First Served) atau biasanya di dalam studi struktur

data sering disebut dengan FIFO (First In First Out). Maksud dari

sistem pelayanan FCFS adalah melayani duluan customer yang masuk

ke dalam sistem paling awal. Disiplin FCFS paling banyak ditemukan

di kehidupan sehari-hari, misalnya antrian di bank atau di supermarket.

B. LCFS (Last Come First Served) atau biasa juga disebut LIFO (Last In

First Out). Kebalikan dari FCFS, disiplin ini membuat sistem antrian

melayani customer yang datang paling terakhir.

C. RSS (random-selection service) atau biasa juga disebut SIRO (service

in random order). Sesuai dengan namanya disiplin pada sistem antrian

jenis ini akan mengacak urutan customer yang akan dilayani lebih

dahulu tidak peduli urutan customer-customer tersebut masuk ke

dalam sistem.

D. Yang terakhir adalah PRI (priority service). Disiplin ini menyebabkan

service facility pada sistem antrian akan melayani customer tertentu

terlebih dahulu sesuai dengan tingkat prioritas yang sebelumnya telah

ditentukan di dalam sistem.

13

Page 14: teori antrian

2.4 Little’s Formula

J.D.C Little menunjukkan dalam sebuah sistem antrian yang steady state

memiliki kasus umum yang memenuhi dua kondisi berikut :

- L = λW

Jumlah customer dalam sebuah sistem antrian yang steady state adalah hasil

kali dari tingkat kedatangan rata-rata customer per satuan waktu dengan waktu

total sistem antrian tersebut.

- Lq = λWq

Sedangkan jumlah customer dalam antrian diperoleh dari hasil kali tingkat

kedatangan rata-ratanya dengan waktu tunggu antrian.

2.5 Performance dalam sistem antrian

Sedangkan ukuran dari sebuah performance antrian di pengaruhi oleh varian-

varian berikut:

E. E[s] = 1/μ adalah waktu layanan rata-rata per server;

F. E[τ] = 1/λ adalah waktu antar kedatangan rata-rata

G. u = E[s]/E[τ] = λ/μ adalah intensitas antrian (traffic intensity)

H. ρ = u/c adalah utilisasi server (server utilization) biasanya dinyatakan

dalam (%). Server utilization adalah parameter yang menunjukan

tingkat kesibukan sebuah server dalam melakukan pelayanan relatif

terhadap tingkat kedatangan customer.

14

Page 15: teori antrian

2.6 Model Antrian M/M/1

Sistem antrian M/M/1 adalah salah satu sistem antrian yang paling

sederhana. Sesuai dengan notasi Kendalnya, sistem M/M/1 menunjukkan sistem

antrian tersebut memiliki distribusi interarrival time dan distribusi service time

berbentuk distribusi eksponensial dan juga memiliki jumlah server = 1.

Gambar 2.2 Model Antrian M/M/1

Biasanya dalam analisis problem sebuah sistem antrian M/M/1, diberikan 2 buah

nilai variabel yaitu :

λ : Tingkat kedatangan rata-rata customer per-satuan waktu

μ : Tingkat pelayanan sistem antrian per customer per server.

Dan dicari beberapa nilai variabel lain yaitu :

L : jumlah rata-rata customer di dalam seluruh sistem antrian

Lq : jumlah rata-rata customer di dalam antrian

15

Page 16: teori antrian

W : waktu rata-rata yang di perlukan customer dalam menjalani sebuah

sistem antrian secara utuh.

Wq : waktu tunggu rata-rata customer dalam antrian

Hubungan antara variabel-variabel tersebut adalah sebagai berikut :

L = λW

Lq = λWq (berada dalam keadaan steady state. Sesuai dengan perumusan

Little’s Formula)

W = Wq + (1/μ)

Tingkat kesulitan mencari nilai L tergantung dari tipe sistem antrian yang

digunakan. Secara umum :

Dengan Pn(t) adalan probabilitas seuah sistem antrian terdiri dari n buah

customer saat waktu t. Dari perumusan L tersebut, kemudian akan dicari

hubungan nilai Pn dengan nilai λ dan μ. Hal ini dilakukan dengan tujuan agar L

bisa dinyatakan oleh variabel λ dan μ saja dan kemudian diketahui nilainya.

Apabila nilai L dapat diketahui, maka nilai Lq, W dan Wq juga dapat ditemukan

dengan mudah.Berikut perumusan nilai L.

2.7 Model Antrian M/M/C

Dalam teori matematika dari proses acak, model M / M / c adalah model

antrian multi-server. Ini adalah generalisasi dari model M/M/1.

16

Page 17: teori antrian

Berikut ini notasi Kendall itu menunjukkan sistem di mana:

Kedatangan adalah proses Poisson

Waktu layanan eksponensial didistribusika

Ada server c

Panjang antrian di mana pengguna tiba menunggu sebelum dilayani tidak

terbatas

Populasi pengguna (yaitu kolam pengguna), atau permintaan, tersedia

untuk bergabung sistem ini terbatas

Jenis sistem muncul dalam banyak situasi, termasuk jalur di bank, sistem telepon

antrian,aplikasi sumber daya komputer, dll ..

Sama seperti model M/M/1, model M / M / c dapat dianggap sebagai

kelahiran dan proses kematian, mengambil dalam asumsi bahwa server tidak

kosong jika ada pelanggan yang menunggu di antrian, kita mendapatkan

parameter sebagai berikut:

Dimanaintensitastrafficyang diberikan,

17

Page 18: teori antrian

Jika intensitastrafficlebih besar darisatu makaantrianakan bertambahtanpa

batastetapi jikaλ<cμ maka kitamendapatkandistribusistasionerberikutditentukan

oleh:

Probabilitasbahwa permintaanharus menunggudalam antrian(jika semua server

semuadiduduki):

Probabilitastungguini jugadiberikan olehrumusErlangC.

Rata-rata(diharapkan) jumlah permintaandalam sistem:

Rata-rata(yang diharapkan) panjangantrian:

18

Page 19: teori antrian

Rata-rata(diharapkan) waktu tunggudalam antrian:

2.8 Penerapan dalam bidang Telekomunikasi

Contoh Problem Sistem Antrian dalam Sistem Informasi dan

Telekomunikasi.Dapat dilihat dibawah ini:

A. Dalam sebuah network gateway, pengukuran menunjukkan paket-paket

data datang dengan tingkat kedatangan rata-rata sama dengan 125

paket/sekon (pps). --Sebuah Network Gateway (gerbang jaringan) adalah

sebuah sistem internetworking yang bertujuan menghubungkan dua buah

jaringan (network) yang menggunakan base protocol yang berbeda--.

Gerbang tersebut membutuhkan waktu sekitar 2 milisekon untuk

melanjutkan paket-paket tersebut. Tentukan nilai ρ (server utilization)

terlebih dahulu dan cari peluang terjadinya buffer overflow (saat dimana

sistem menemukan terdapat paket yang menumpuk karena server (buffer)

tidak dapat melayani semua paket yang datang sekaligus). Diketahui

jumlah buffer dalam gerbang adalah 13, dan di asumsikan sistem antrian

yang digunakan dalam sistem network gateway ini sesuai dengan sistem

M/M/1.

19

Page 20: teori antrian

Jawab.

λ (tinkat kedatangan rata-rata) = 125 paket/sekon

μ (tingkat pelayanan) = 1/2ms = 500paket/sekon

ρ = λ/μ = 125/500 = 0.25 = 25%

Buffer overflow terjadi jika di dalam gerbang, paket

20

Page 21: teori antrian

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

1. Teori antrian adalah sebuah teori yang menganalisis sebuah sistem antrian,

beserta elemen didalamnya yaitu customer,service facility dan antrian itu

sendiri secara matematis. Teori antrian merupakan cabang ilmu

probabilitas dan statistika dan banyak menggunakan studi distribusi

peluang di dalamnya dalam mengukur berbagai faktor di dalam sebuah

sistem. Model sistem antrian sekarang banyak diaplikasikan ke dalam

studi jaringan informasi maupun telekomunikasi dimana sering muncul

problem mengenai sebuah pelayanan dengan sebuah server terbatas namun

memiliki source input yang infinit.

2. Sistem antrian M/M/1 adalah salah satu sistem antrian yang paling

sederhana. Sesuai dengan notasi Kendalnya, sistem M/M/1 menunjukkan

sistem antrian tersebut memiliki distribusi interarrival time dan distribusi

service time berbentuk distribusi eksponensial dan juga memiliki jumlah

server = 1.

3. Dalam teori matematika dari proses acak, model M / M / c adalah model

antrian multi-server. Ini adalah generalisasi dari model M/M/1.Sama

seperti model M/M/1, model M / M / c dapat dianggap sebagai kelahiran

dan proses kematian, mengambil dalam asumsi bahwa server tidak kosong

jika ada pelanggan yang menunggu di antrian,

21

Page 22: teori antrian

3.2 Saran

22

Page 23: teori antrian

DAFTAR PUSTAKA

http://thesonofdevil.wordpress.com/2010/01/18/teori-antrian/ (diakses tanggal 18

Oktober 2011)

http://irhabi-abdi.blogspot.com/2011/02/teori-antrian.html (diakses tanggal 18

Oktober 2011)

Makalah II2092 Gharta Hadisa Halim / 18209013 ,Probabilitas dan Statistik –

Sem. I Tahun 2010/2011

http://en.wikipedia.org/wiki/M/M/c_model (diakses tanggal 19 Oktober 2011)

UNJANI/REKAYASA TRAFIK TELEKOMUNIKASI/BAB V

(http://ocw.gunadarma.ac.id/course/diploma-three-program/study-program-of-

informatics-management-2013-d3/teknik-riset-operasional/teori-antrian)

23

Page 24: teori antrian

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR................................................................................. i

DAFTAR ISI................................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang............................................................................1

1.2 Tujuan.........................................................................................

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Teori Antrian.............................................................4

2.2 Model Sistem Antrian.................................................................6

2.3 Spesifikasi sistem antrian............................................................12

2.4 Little’s Formula...........................................................................14

2.5 Performance dalam sistem Antrian.............................................14

2.6 Model Antrian M/M/1.................................................................15

2.7 Model Antrian M/M/C................................................................16

2.8 Penerapan Dalam Bidang Telekomunikasi.................................19

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpula..................................................................................21

3.2 Saran..........................................................................................22

DAFTAR PUSTAKA

24ii

Page 25: teori antrian

25