Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A0
Transcript of Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A0
1. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A (0,0 ) , B (2,4) dan C (6,1) oleh
translasi T=(−23 ) dan sketsalah segitiga asal dan segitiga bayangannya!
Jawab:
Untuk titik A(0,0)
( x 'y ')=(00)+(−2
3 )=(0+(−2)0+3 )=(−2
3 ) Untuk titik B(2,4)
( x 'y ')=(2
4 )+(−23 )=(2+(−2)
4+3 )=(07) Untuk titik C (6,1)
( x 'y ')=(61)+(−2
3 )=(6+(−2)1+3 )=(44 )
Jadi, A (0,0 ) → A' (−2,3)
B(2,4) → B' (0,7)
C (6,1) → C '(4,4)
Gambar segitiga asal dan segitiga bayangan.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
5
6
7
8
Y-Values
B (2,4)
C (6,1)
B'(0,7)
A (0,0)
A' (-2,3)
C' (4,4)
2. Suatau transformasi didefinisikan oleh persamaan:
x ’=3 x−4 y
y ’=2 x+ y
a. Tentukan matriks transformasinya!
b. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A(0,0), B(3,0), dan C (0,2) oleh
transformasi tersebut!
Jawab:
a). Persamaan transformasi
x ’=3 x−4 y
y ’=2 x+ y
Dapat diubah menjadi persamaan matriks
( x 'y ')=(3 −4
2 1 )( xy)
Jadi, matriks transformasi di atas adalah
M=(3 −42 1 ).
b).Menggunakan persamaan matriks transformasi yang telah ditentukan di atas
diperoleh:
Untuk titik A(0,0)
( x 'y ')=(3 −4
2 1 )(00)=(0
0)A(0,0)→A '(0,0)
Untuk titik B(3,0)
( x 'y ')=(3 −4
2 1 )(30)=(9
6)B(3,0)→B' (9,6)
Untuk titik C (0,2)
( x 'y ')=(3 −4
2 1 )(02)=(−8
2 )
C (0,2) → C '(−8,2)
3. Tentukan matriks transformasi linear yang memetakan titik A(1,1) ke A ’ (5,3) dan
titik B(2 ,−1) ke B’ (1,0).
Jawab:
Persamaan matriks yang menyatakan transformasi linear di atas adalah
( x ' A x ' B
y 'A y 'B)=(a b
c d)( x A xB
y A y B), dengan matriks transformasi M=(a b
c d )(5 13 0)=(a b
c d )(1 21 −1)
Menggunakan aturan invers dan kesamaan dua matriks, diperoleh:
(5 13 0)(1 2
1 −1)−1
=(a bc d)
(5 13 0) 1
−3 (−1 −2−1 1 )=(a b
c d)1
−3 (5 13 0)(−1 −2
−1 1 )=(a bc d )
1−3 (−6 −9
−3 6 )= (a bc d )
(2 31 2)=¿ (a b
c d )Jadi, matriks transformasinya adalah M=(2 3
1 2).
4. Suatu matriks transformasi linear didefinisikan oleh persamaan berikut. Tentukan
matriks transformasinya!
a). x ’=2 x+ y b). x ’=x−2 y c). x ’=2 x
y ’=+2 y y ’=−2x+ y y ’=−2 y
Jawab:
a). x ’=2 x+ y
y ’=+2 y
Dapat diubah menjadi matriks
( x 'y ')=(2 1
1 2)( xy)
Jadi, matriks transformasi di atas adalah
M=(2 11 2).
b). x ’=x−2 y
y ’=−2x+ y
Dapat diubah menjadi matriks
( x 'y ')=( 1 −2
−2 1 )( xy)
Jadi, matriks transformasi di atas adalah
M=( 1 −2−2 1 ).
c). x ’=2 x
y ’=−2 y
Dapat diubah menjadi matriks
( x 'y ')=(2 0
0 −2)(xy)
Jadi, matriks transformasi di atas adalah
M=(2 00 −2).
5. Tentukan bayangan tiap titik berikut oleh transformasi linear yang didefinisikan
oleh persamaan
x ’=x+2 y
y ’=−x−3 y
a). A(0,5) b). B(4,1) c). C (−4,1) d).D(−2 ,−3)
Jawab:
x ’=x+2 y
y ’=−x−3 y
a). Untuk titik A(0,5)
( x 'y ')=( 1 2
−1 −3)(05)=( 10
−15)A(0,5) → A ’ (10 ,−15)
b). Untuk titik B(4,1)
( x 'y ')=( 1 2
−1 −3)(41)=( 6
−7)B(4,1)→ B' (6 ,−7)
c). Untuk titik B(−4,1)
( x 'y ')=( 1 2
−1 −3)(−41 )=(−2
1 )C (−4,1)→ C ' (−2,1)
d). Untuk titik B(−2 ,−3)
( x 'y ')=( 1 2
−1 −3)(−2−3)=(−8
11 )D(−2 ,−3)→ D '(−8,11).
6. Tentukan bayangan tiap titik berikut oleh transformasi linear yang matriks
transformasinya adalah M=(1 −32 1 ).
Jawab:
M=(1 −32 1 )
a. Untuk titik A(3,0)
( x 'y ')=(1 −3
2 1 )(30)=(3
6)
A (3,0 ) → A '(3,6)
b. Untuk titik B(1,3)
( x 'y ')=(1 −3
2 1 )(13)=(−8
−3)B(1,3) → B' (−8 ,−3)
c. Untuk titik C (−2,1)
( x 'y ')=(1 −3
2 1 )(−21 )=(−5
−3)C (−2,1) → C ' (−5 ,−3)
d. Untuk titik D(−1 ,−2)
( x 'y ')=(1 −3
2 1 )(−1−2)=( 5
−4)D(−1 ,−2) → D '(5 ,−4).
7. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A (0,6 ) , B(−1,1) dan C (3,2) oleh
translasi T=( 5−2) dan sketsalah segitiga asal dan segitiga bayangannya!
Jawab:
Gunakan persamaan vektor transalasi ( x 'y ')=( x
y )+(ab)
Untuk titik A (0,6 )
( x 'y ')=(06)+( 5
−2)=( 0+50+(−2))=(54)
Untuk titikB(−1,1)
( x 'y ')=(−1
1 )+( 5−2)=( −1+5
1+(−2))=( 4−1)
Untuk titikC (3,2)
( x 'y ')=(32)+( 5
−2)=( 3+52+(−2))=(80)
Jadi, A (0,6 ) → A' (5,4)
B(−1,1) → B' (4 ,−1)
C (3,2) → C '(8,0)
Gambar segitiga asal dan segitiga bayangannya.
Bayangan dari suatu translasi adalah kongruen dengan bangun asal.
8.
Karena translasi T=(ab), bayangan titik A(−3,4) adalah A' (1,−2 ) . Tentukan translasi
T tersebut.
Jawab:
( x 'y ')=( x
y )+(ab)
(ab)=( x '
y ')−( xy )
(ab)=( 1
−2)−(−34 )
(ab)=( 4
−6)Jadi, translasi tersebut adalah T=( 4
−6)
9. Tentukan persamaan bayangan kurva y=x2 oleh translasi T=(32).
Jawab:
Misalkan P(x , y) adalah sembarang titik pada kurva y=x2 dan oleh translasi
tersebut dipetakan ke titik P '(x ' , y '). Menentukan bayangan kurva tersebut harus
-2 0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Y-Values
B (-1,1)B (-1,1)
A (0,6)
C (3,2)
B '(4,-1)
A' (5,4)
C' (8,0)
menyatakan x dan y sebagai fungsi dari x ’ dan y ’ dengan menggunakan
persamaan vektor translasi ( x 'y ')=( x
y )+(ab), diperoleh:
( x 'y ')=( x
y )+(32)( x
y )=( x 'y ')−(3
2)( x
y )=(x '−3y '−2)
Dari vektor di atas diperoleh persamaan
x=x ’−3…….(1)
y= y ’−2…….(2)
Subtitusikan persamaan (1) dan (2) persamaan kurva y=x2, diperoleh
y ’−2=(x2−3)2
y ’=(x ’−3)2+2
y ’=x ’2−6 x ' +9+2
y ’=x ’2−6 x ' +11
Jadi, bayangan kurva y=x2 oleh translasi T=(32) adalah
y ’=x ’2−6 x ' +11.
10. Tentukan bayangan setiap titik berikut oleh translasi T=( 4−6).
a. A(0,0) c. C (3,6)
b. B(2 ,−4) d. D(−5 ,−4)
\
Jawab:
Persamaan vector translasi ( x 'y ')=( x
y )+(ab).
a. A(0,0)
( x 'y ')=(00)+( 4
−2)=( 0+40+(−2))=( 4
−2)Jadi, A (0,0 ) → A ’ (4 ,−2).
b. B (2,−4 )
( x 'y ')=( 2
−4)+( 4−2)=( 2+4
−4+(−2))=( 6−6)
Jadi, B(2 ,−4) → B' (6 ,−6 ) .
c. C (3,6)
( x 'y ')=(36)+( 4
−2)=( 3+46+(−2))=(74 )
Jadi, C (3,6) → C ' (7,4)
d. D(−5 ,−4)
( x 'y ')=(−5
−4)+( 4−2)=( −5+4
−4+(−2))=(−1−6)
Jadi, D(−5 ,−4) → D '(−1 ,−6)
11. Tentukan bayangan persegi ABCD dengan koordinat titik A(0,0), B(4,0), C (4,4 )
dan D(0,4 ) oleh transformasi linear yang matriks transformasinya adalah
M=(1 20 1) serta sketsalah bangun asal dan bayangannya!
Jawab:
M=(1 20 1)
a. Untuk titik A(0,0)
( x 'y ')=(1 2
0 1)(00)=(00)
A (0,0 ) → A' (0,0 )
b. Untuk titik B(4,0)
( x 'y ')=(1 2
0 1)(40)=(4
0)B(4,0) → B' (4,0)
c. Untuk titik C (4,4 )
( x 'y ')=(1 2
0 1)(44)=(12
4 )C (4,4 ) → C ' (12,4)
d. Untuk titik D(0,4 )
( x 'y ')=(1 2
0 1)(04)=(8
4)D(0,4 ) → D '(8,4 ).
0 2 4 6 8 10 12 140
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 C' (12,4)D' (8,4)C (4,4)
B (4,0)
A' (0,0)
A(0,0)
D(0,4)
Pada titik A(0,0) dan B(4,0) tidak berpindah karena transforamsi tersebut. Titik
yang bersifat demikian disebut Invarian.
12. Tentukan persamaan bayangan kurva y=x2, jika dicerminkan terhadap garis
y=x.
Jawab:
Misalkan titik P(x , y) adalah sebarang titik pada kura y=x2. dari
pencerminan tersebut bayangan titikP adalah titik P ’(x ’ y ’) dengan
( x 'y ')=M
y= x( x
y)= (0 1
1 0)( xy )
y=−√x
y=√x
y=x2 y=x
( x 'y ')=( x
y )Sehingga diperoleh hubungan x= y ’ dan y=x ’. Subtitusikan persamaan tersebut
ke kurva y=x2, maka diperoleh x ’= y2 atau y=±√ x ' .
Jadi, bayangan kurva tersebut adalah y=±√ x.
y
x
Gambar
13. Tentukan bayangan titik A(2,-4) jika dicerminkan terhadap:
a). garis x=3 b). garis y=−3
Jawab:
a). Rumus pencerminan terhadap garis x=a adalah (x , y ) → (2a−x , y ).
Jadi, untuk a=3 diperoleh
(2 ,−4) → (2 ∙3−2 ,−4)
(2 ,−4) → (4 ,−4)
Jadi, bayangan titik A(2,−4) adalah A ’ (4 ,−4 ).
b). Rumus pencerminan terhadap garis y=b adalah (x , y ) → (x ,2 b− y ).
Jadi, untuk b=−3 diperoleh
(2 ,−4) → (2,2 ∙(−3)−(−4))
(2 ,−4) → (2 ,−2)
Jadi, bayangan titik A(2,−4) adalah A(2,−2) .
14. Tentukan bayangan tiap titik berikut, jika dicerminkan terhadap sumbu x dan
sumbu y.
a). A(4,2) b). B(5,6) c). C (−2,6) d). D(−6,12)
Jawab:
a). A(4,2)
Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah
M y=0=(1 00 −1), bayangan titik A(4,2) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(1 0
0 −1)(42)
( x 'y ')=( 4
−2)Jadi, A(4,2) → A ’ (4 ,−2)
Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah
M x=0=(−1 00 1), bayangan titik A(4,2) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(−1 0
0 1)(42)
( x 'y ')=(−4
2 )Jadi, A(4,2) → A ’ (−4,2)
b). B(5,6)
Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah
M y=0=(1 00 −1), bayangan titik B(5,6) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(1 0
0 −1)(56)
( x 'y ')=( 5
−6)Jadi, B(5,6) → B' (5 ,−6)
Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah
M x=0=(−1 00 1), bayangan titik B(5,6)dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(−1 0
0 1)(56)
( x 'y ')=(−5
6 )Jadi, B (5,6 ) → B' (−5,6)
c). C (−2,6)
Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah
M y=0=(1 00 −1), bayangan titik C (−2,6) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(1 0
0 −1)(−26 )
( x 'y ')=(−2
−6)Jadi, C (−2,6) → C ' (−2 ,−6)
Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah
M x=0=(−1 00 1), bayangan titik C (−2,6)dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(−1 0
0 1)(−26 )
( x 'y ')=(26)
Jadi, C (−2,6 ) → C ' (2,6)
d). D(−6,12)
Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah
M y=0=(1 00 −1), bayangan titik D(−6,12) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(1 0
0 −1)(−612 )
( x 'y ')=( −6
−12)Jadi, D(−6,12) → D '(−6 ,−12)
Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah
M x=0=(−1 00 1), bayangan titik D(−6,12)dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(−1 0
0 1)(−612 )
( x 'y ')=( 6
12)Jadi, D (−6,12 ) → D '(6,12)
15. Tentukan bayangan titik berikut, jika dicerminkan terhadap garis y=x dan
garis y=− x
a). A(0,2) b).B(−2,4) c). C (4 ,−5) d). D(−1 ,−3)
Jawab:
a) A(0,2)
Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=x adalah
M y=x=(0 11 0). Bayangan titik A ¿) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(0 1
1 0)(02)( x '
y ')=(20)Jadi, A(0,2) → A ’ (2,0)
Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=− x adalah
M y=− x=( 0 −1−1 0 ), bayangan titik A(0,2) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=( 0 −1
−1 0 )(02)
( x 'y ')=(−2
0 )Jadi, A(0,2) → A ’ (−2,0)
b) B(−2,4)
Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=x adalah
M y=x=(0 11 0). Bayangan titik A ¿) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(0 1
1 0)(−24 )
( x 'y ')=( 4
−2)Jadi, B(−2,4) → B’ (4 ,−2)
Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=− x adalah
M y=− x=( 0 −1−1 0 ), bayangan titik B(−2,4) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=( 0 −1
−1 0 )(−24 )
( x 'y ')=(−4
2 )Jadi, B(−2,4) → B’ (−4,2).
c) C (4 ,−5)
Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=x adalah
M y=x=(0 11 0). Bayangan titik C (4 ,−5) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(0 1
1 0)( 4−5)
( x 'y ')=(−5
4 )Jadi, C (4 ,−5) → C ’ (−5,4)
Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=− x adalah
M y=− x=( 0 −1−1 0 ), bayangan titik C (4 ,−5) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=( 0 −1
−1 0 )( 4−5)
( x 'y ')=( 5
−4)Jadi, C (4 ,−5) → B’ 5 ,−4¿.
d) D (−1 ,−3 )
Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=x adalah
M y=x=(0 11 0). Bayangan titik D (−1 ,−3 )dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(0 1
1 0)(−1−3)
( x '
y ' )=(−3−1)
Jadi, D (−1 ,−3 )→ D (−3 ,−1 )
Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=− x adalah
M y=− x=( 0 −1−1 0 ), bayangan titik D (−1 ,−3 ) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=( 0 −1
−1 0 )(−1−3)
( x 'y ')=(31)
Jadi, D (−1 ,−3 ) → D (3,1 ).
16. Tentukan bayangan titik A(−2,1), jika dicerminkan terhadap:
a). garis x=2 b). garis y=5
Jawab:
a). Rumus pencerminan terhadap garis x=a adalah (x , y ) → (2a−x , y ). Jadi
untuk a=2 diperoleh:
(−2,1) → (2.2−(−2) ,1)
(−2,1) → (6,1)
Jadi, bayangan titik A(−2,1) adalah A ’ (6,1) .
b). Rumus pencerminan terhadap garis y=b adalah (x , y ) → (x ,2 b− y ). Jadi
untuk b=5 diperoleh:
(−2,1) → (−2,2.5−1)
(−2,1) → (−2,9)
Jadi, bayangan titik A(−2,1) adalah A ’ (2,9).
17. Tentukan bayangan titik A(2,−4) oleh dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor
skala k=3.
Jawab :
Matriks transformasi yang bersesuaian dengan dilatasi tersebut adalah D3=(3 00 3),
bayangan titik A(2,−4) dapat ditentukan sebagai berikut:
( x 'y ')=D3( x
y)¿(3 0
0 3)( 2−4)=( 6
−12)Jadi, bayangan titik A (2 ,−4 ) oleh dilatasi tersebut adalah A' (6 ,−12).
18. Tentukan bayangan titik A(2,−2) oleh rotasi terhadap titik asal O(0,0) sebesar
45 °.
Jawab:
( x 'y ')=R45° (x
y)= (cos 45 ° −sin 45 °
sin 45 ° cos 45 ° )( 2−2)
= (12√2
−12
√2
12√2
12√2 )( 2
−2)
= (2√20 )
Jadi, oleh rotasi tersebut bayangan titik A(2,−2) adalah A' (2√2 ,0).
19. Tentukan bayangan garis x+2 y=4, jika dirotasikan dengan pusat O(0,0) dan
sudut rotasi −90 °.
Jawab:
Matriks transformasi yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
R−90°=( 0 1−1 0), dengan demikian diperoleh persamaan berikut
( x 'y ')=R−90 °( x
y )=( 0 1
−1 0)( xy )
( x 'y ')=( y
−x)x ’= y → y=x ’
y ’=−x→ x=− y ’
Subtitusikan nilai tersebut ke persamaan garis x+2 y=4, diperoleh
− y ’+2 x ’=4
2 x ’− y '=4
Jadi, bayangan garis x+2 y=4 oleh rotasi tersebut adalah 2 x− y=4.
20. Tentukan bayangan titik A(4,6) oleh rotasi sebesar 90 ° dengan titik
P(3 ,−2) .
Jawab:
Rotasi yang sudah dipelajari adalah rotasi berpusat di titik O(0,0). Oleh karena itu
pusat rotasi tersebut ditranslasikan sehingga berpindah ke titik asal dengan translasi
T 1=(−32 ), Akibatnya titik A(4,6) juga ikut bergeser menjadi A(1,8) . Titik
inilah yang selanjutnya dirotasikan sebesar 90 ° berpusat di titik O(0,0)
dengan menggunakan rumus
( x ' 'y ' ')=R90° (x '
y ' )¿(0 −1
1 0 )(18)
¿(−81 )
Jadi, titik A ’ (1,8) berpindah menjadi titik A ’’ (−8,1) selanjutnya titik
A ’’ (−8,1) ditranslasikan lagi dengan lawan translasi T 1 yaitu T 2=( 3−2) yang
menghasilkan titik A ’’’ (−5 ,−1).
Jadi, bayangan titik A(4,6) oleh rotasi di atas adalah titik A ’’’ (−5 ,−1) .
21. Tentukan bayangan titik A(3 ,−4 ), jika dicerminkan terhadap:
a). Sumbu x b). Sumbu y
c). Sumbu y=x c). Sumbu y=− x
Jawab:
a). Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah M y=(1 00 −1)
Bayangan titik A(3 ,−4 ) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(1 0
0 −1)( 3−4)
( x 'y ')=(34 )
Jadi, A(3 ,−4 ) → A ’ (3,4)
b). Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah M x=(−1 00 1)
Bayangan titik A(3 ,−4 ) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(−1 0
0 1)( 3−4)
( x 'y ')=(−3
−4)Jadi, A(3 ,−4 ) → A ’ (−3 ,−4)
c). Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y=x adalah
M y=x=(0 11 0)
Bayangan titik A(3 ,−4 ) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=(0 1
1 0)( 3−4)
( x 'y ')=(−4
3 )Jadi, A(3 ,−4 ) → A ’ (−4,3)
d). Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y=− x adalah
M y=− x=( 0 −1−1 0 )
Bayangan titik A(3 ,−4 ) dapat ditentukan oleh
( x 'y ')=( 0 −1
−1 0 )( 3−4)
( x 'y ')=( 4
−3)Jadi, A(3 ,−4 ) → A ’ (4 ,−3)
22. Tentukan bayangan titik A(−2,5) oleh dilatasi dengan pusat P(1 ,−1) dan faktor
skala k=2.
Jawab :
Matriks transformasi yang bersesuaian dengan dilatasi tersebut adalah D2=(2 00 2),
gunakan rumus di atas, bayangan titik A adalah:
( x 'y ')=(k 0
0 k )( x −ay −b)+(a
b)( x '
y ')=(2 00 2)(−2 −1
5 −(−1))+( 1−1)
( x 'y ')=(2 0
0 2)(−36 )+( 1
−1)( x '
y ')=(−612 )+( 1
−1)( x '
y ')=(−511 )
Jadi, bayangan titik A(−2,5) adalah A ’ (−5,11) .
23. Tentukan bayangan tiap titik berikut karena dilatasi dengan pusat O(0,0)dan faktor
skala k=2.
a). A(0,5) b). B(4,1) c). C (−4,1) d). D(−2 ,−3)
Jawab :
a). D2=(2 00 2), bayangan titik A(0,5) diperoleh:
( x 'y ')=(2 0
0 2)(05)( x '
y ')=( 010)
Jadi, bayangan titik A(0,5) oleh dilatasi tersebut adalah A ’ (0,10).
b). D2=(2 00 2), bayangan titik B(4,1) diperoleh:
( x 'y ')=D2( x
y)( x '
y ')=(2 00 2)(4
1)( x '
y ')=(82)Jadi, bayangan titik B(4,1)oleh dilatasi tersebut adalah B' (8,2).
c).D2=(2 00 2), bayangan titik C (−4,1) diperoleh:
( x 'y ')=D2( x
y)( x '
y ')=(2 00 2)(−4
1 )( x '
y ')=(−82 )
Jadi, bayangan titik C (−4,1) oleh dilatasi tersebut adalah C (−8,2),
d). D2=(2 00 2), bayangan titik D(−2 ,−3) diperoleh:
( x 'y ')=D2( x
y)( x '
y ')=(2 00 2)(−2
−3)( x '
y ')=(−4−6 )
Jadi, bayangan titik D(−2 ,−3)oleh dilatasi tersebut adalah D(−4 ,−6).
24. Tentukan bayangan titik A(2,−3) oleh translasi T 1=(−23 ) dilanjutkan T 2=(3
2)
Jawab :
Translasi tunggal yang mewakili komposisi translasi tersebut adalah
T=(−23 )+(32)=(15), bayangan titik A ditentukan sebagai berikut:
( x 'y ')=( x
y )+T
¿( 2−3)+(15)
¿(32)
Jadi, bayangan titik A (2 ,−3 ) oleh komposisi translasi tersebut adalah A '(3,2).
25. Tentukan bayangan titik A(3,2) karena pencerminan terhadap garis x=−2
dilanjutkan pencerminan terhadap garis x=1.
Jawab :
A(3,2) → A' (3+2 (1+2 ) , 2)
A' (3+6,2)
A' (9,2)
Jadi, bayangan titik A(3,2) oleh komposisi pencerminan tersebut adalah A' (9,2).
26. Tentukan bayangan titik A(2,−5) karena rotai sebesar 30 ° dilanjutkan rotasi
pencerminan terhadap garis x=−2 dilanjutkan pencerminan 60 ° dengan pusat
O(0,0).
Jawab :
Transformasi tunggal yang mewakili komposisi rotasi tersebut adalah rotasi sebesa
30 °+60 °=90 ° dengan pusat O(0,0), sehingga bayangan titik A adalah
( x '
y ' )=R90 °( xy)
¿(0 −11 0 )( 2
−5)¿(5
2)Jadi, bayangan titik A(2,−5) karena komposisi rotasi tersebut adalah A '(5,2).
27. Tentukan matriks transformasi tunggal yang menyatakan pencerminan terhadap
garis y=x dilanjutkan rotasi dengan sudut rotasi 90 °.
Jawab :
Matriks transformasi yang bersesuaian dengan kedua transforamasi tersebut adalah
M y=x=(0 11 0) dan R90 °=(0 −1
1 0 )sehingga matriks transformasi tunggalnya adalah
R90 ° × M y= x=(0 −11 0 )(0 1
1 0)
¿(−1 00 1)
Jadi, matriks yang bersesuaian dengan komposisi transformasi tersebut adalah
(−1 00 1).
28. Tentukan bayangan A(3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan
pencerminan terhadap sumbu y .
Jawab :
Matriks transformasinya adalah M y=0=(1 00 −1) dan M x=0=(−1 0
0 1).Misalkan bayangan titik A(3,4) oleh komposisi transformasi tersebut adalah
A ’ (x ’ , y ’), maka ( x 'y ')=M x=0× M y=0
¿(−1 00 1)×(1 0
0 −1)×(34 )¿(−1 0
0 −1)(34)
¿(−3−4)
Jadi, bayangan titik A(3,4) oleh komposisi transformasi tersebut adalah
A '(−3 ,−4).
29. Tentukan persamaan bayangan lingkaran x2+ y2=1 oleh suatu transformasi yang
matriks transformasinya adalah M=(4 00 3).
Jawab :
Matriks transformasinya adalah M=(4 00 3) dan det .M =12, sehingga transformasi
tersebut adalah transformasi nonsingular, dengan demikian berlaku hubungan:
( xy )=M−1( x '
y ')¿ 1
12 (3 00 4)( x '
y ')
( xy )= 1
12 ( 3 x '4 y ')
¿ [ 14
x '
13
y ' ]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Gambar.
30. Tentukan persamaan bayangan garis x− y=1 oleh transformasi t dilanjutkan
transformasi s yang matriks transformasinya berturut-turut adalah T=(1 11 2) dan
S=(1 10 1).
Jawab :
Matriks komposisi transformasi tersebut adalah
M=S×T=(1 10 1)(1 1
1 2)=(2 31 2)
dan determinan M=(2 ) (2 )−(3 ) (1 )=1
Sehingga transsformasi tersebut adalah transformasi nonsingular dan
M−1=( 2 −3−1 2 ) bayangan kurva tersebut dapat dicari sebagai berikut:
x2
16+ y2
9=1
x2+ y '=1
( xy )=M−1( x '
y ')¿( 2 −3
−1 2 )( x 'y ')
( xy )=(2 x'−3 y '
−x '+2 y ')Sehingga diperoleh :
x=2x '−3 y 'y=− x'+2 y '
Dengan mensubtitusikan nilai tersebut pada persamaan x− y=1, diperoleh:
(2 x '−3 y ' )−¿(−x '+2 y ' ¿=1
3 x '−5 y '=1
Jadi, oleh komposisi transformasi tersebut persamaan garis x− y=1 berubah
menjadi 3 x−5 y=1.