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Tema 7 Problemas métricos

1. Plano perpendicular. Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A (-4, 0,-2) y B (0, 3, -1) y es perpendicular al plano

.053: zx

n

A

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para resolver este ejercicio, resolveremos el determinante.

Figura 1.

*Recordamos que para calcular un determinante, pinchamos en la pestaña Matrices y a continuación en el botón

Determinante, indicamos cuántas filas y columnas queremos que tenga, las rellenamos y pulsamos el botón igual.

Enlace con el ejercicio resuelto en la web:

2. Punto simétrico. Halla el punto simétrico de P (1, 0, 1) respecto del plano .1: zyx

AB nLos vectores y (vector normal del plano ) y uno de

los puntos A o B determinan el plano que buscamos:

03031190

312

03

144

zyx

z

y

x

Matemáticas II – Tema 7 .

2

Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular a :

1

1

)1,1,1(

z

y

x

nd r

)1,0,1(P

),,( zyxP

r

Obtenemos el punto M de corte de r y :

3

2,

3

1,

3

2

3

113111 M

M

El punto que buscamos, ),,,( zyx es simétrico de P respecto del punto M. P

Como M es el punto medio de ,PP se tiene:

2

1,

2,

2

1 zyxP

3

2,

3

1,

3

2

3

1,

3

2,

3

1

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para obtener cada coordenada del punto, tenemos que resolver tres ecuaciones:

Figura 2.

*Para obtener el resultado de una ecuación, pinchamos en Operaciones, luego en Resolver ecuación, rellenamos

los datos y pulsamos igual.

**Para poner una fracción, nos vamos dentro de operaciones y pinchamos en el icono representado por dos

cuadrados y una barra entre ellas.


Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato

3

3. Punto simétrico.

Determina el punto simétrico de A (-3, 1, -7) respecto de la recta siguiente: .2

1

2

3

1

1:

zyxr

Hallamos el plano que contiene a A y es perpendicular a r:

01423022:)2,2,1( kkzyxdn r

0152215 zyxk

r

A

AM

Buscamos el punto de corte de r y : M (-3, -1, -5)

El punto A es simétrico de A respecto de M: )3,3,3

(5,1,32

1

2

3

2

3

A

zyx

Ahora resolveremos el problema con Wiris:

1. Para resolver este ejercicio, utilizaremos la opción ‘simetría’. Calcularemos el punto simétrico escribiendo

‘simetría’ y entre paréntesis los dos puntos sobre los que queremos calcular el tercero:

Figura 3.


Otra forma de hallar M. M es un punto de r. Sus coordenadas son ( ).21,23,1

El vector AM debe ser perpendicular al vector director de r:

201890)2,2,1(62,22,20 rdAM

Sustituyendo este valor de en r, obtenemos M (-3, -1, -5).


4

4. Distancia punto-recta.

Halla el punto de cuya distancia al punto P (1, 0, 2) sea

21

3:

z

y

x

r .5

El punto que buscamos, Q, es de la forma )21,3,( por pertenecer a la recta r:

5)221()3()1(),( 222 PQQPdist :

3,2,1106126522131 222 Q


1. Resolvemos la ecuación que se nos plantea, sabiendo que para introducir una letra como , sólo tenemos que

pinchar en la pestaña Griego y pinchar en ella:

Figura 4.

*Recordamos que para resolver una ecuación pinchamos en Operaciones y luego en Resolver Sistema. Después

solo tenemos que rellenar ambos miembros de la ecuación.


5. Distancia entre rectas.

Halla la distancia entre las rectas r y s:

3

1

2

:

z

y

x

r

0

012:

zy

yxs


5

Estudiamos la posición de las rectas:

Hallamos )1,1,2()1,1,0()0,2,1( rd ; )1,1,2( rd )1,1,2( sd r y s tienen la misma

dirección. A (0, 1, 3,) sAr r y s son paralelas.

sd

A r

sB

Calculamos la distancia de A a s:

Tomamos un punto de s haciendo z = 0: B (1, 0, 0)

89,23

5

6

25

6

50),(

)3,1,1(

)0,0,1(

s

s

d

dABsAdist

AB

B


Figura 5.


6. Volumen de un tetraedro. Un tetraedro tiene por vértices A (2, 1, 0), B (3, 4, 0) y C (5, 1, 0). El cuarto vértice, D, esta sobre la recta

. Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6 unidades cúbicas.

3

2

1

:

z

y

x

r

D es un punto de r. Sus coordenadas son ).3,2,1( D ],,[6

1ADACABVABCD

)0.3.1(AB )0,0,3(AC )3,1,1( AD .


6

Calculamos el valor absoluto de 36)3(96

311

003

031

6

1

y esta ecuación tiene 2 soluciones

que son 743

143

Hay 2 soluciones del problema: )4,5,8(

)4,3,0(

D

D


1. Calculamos el determinante pinchando en la pestaña ‘Matrices’, indicando cuántas filas y columnas queremos

que tenga y rellenamos con nuestros datos. Después escribimos delante del determinante la fracción por la que

queremos multiplicarla y pulsamos igual para obtener el resultado:

Figura 6.

2. En segundo lugar, igualamos el resultado obtenido al calcular el determinante a seis, pero para ello, debemos

poner este en valor absoluto, y para ello, lo seleccionamos y pichamos en el icono de valor absoluto dentro de

la pestaña de ‘Operaciones’:

Figura 7.


7


7. Punto equidistante de otros dos.

a) Calcula un punto de R de la recta que equidiste de los puntos P (1, 0, -1) y Q (2, 1, 1).

2

5

:

z

y

x

s

b) Calcula el área del triangulo determinado por los puntos P, Q, y R. a) El punto R, por ser un punto de s, tiene por coordenadas ).22,,5( R Este punto debe cumplir:

222 )21()4(),(),( RQdistRPdist2

1024)23()1()3( 222

Por tanto, .1,2

1,

2

9

R

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Resolveremos la ecuación de una manera muy sencilla. Recordaremos que después de pinchar en Resolver

Ecuación, y rellenar los miembros, pulsamos el botón de igual y obtenemos el resultado:

Figura 8.


b) Área del triangulo PQR: PRPQS2

1)4,7,1(0,

2

1,

2

7;2,1,1(

PRPQPRPQ

2

2

6616491

2

1uS


8

Como el triangulo PQR es isósceles, podríamos obtener su área calculando su base, ,6PQ

Y su altura, que es la distancia de R al punto medio de PQ, 11:0,2

1,

2

3

RMM así

.2

66

2

116 2uS

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Resolvemos la operación para calcular S (ya sabemos que para incorporar las fracciones y las raíces, vamos a

Operaciones y pulsamos sus correspondientes iconos):

Figura 9.


8. Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.

dados por: r

2

1

:

z

y

x

0132: zyx Sean la recta r y el plano

n a) Calcula el seno del ángulo que forman r y .

b) Halla la ecuación de la proyección ortogonal de r sobre . d 90º-

a) El ángulo que forman el vector director de r y el vector normal de es el

complementario del ángulo que forman r y .


9

84

3

194411

)1,3,2()2,1,1()º90cos(

nd

nd

Por tanto: 84

3)()º90cos( sen

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Haremos el cálculo de la fracción:

Figura 10.

*Deberemos recordar que para hacer una multiplicación de vectores, los pondremos entre corchetes, y que para

insertar una raíz, nos iremos a la pestaña Operaciones.


b) La proyección ortogonal de r sobre es la recta de intersección de dicho plano con otro

r

r

perpendicular a y que contenga a r.

)1,3,2();2,1,1();0,0,1( ndA r

Ecuación de 01 zyx

Proyección ortogonal:

01

0132:

zyx

zyxr

9. Recta perpendicular. Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto P (2, -1, 1) y corta perpendicularmente a la recta

.32

1

1

3:

zyxr


10

La recta s es la recta de intersección de los planos y .

: es perpendicular a r y contiene a P.

: contiene a r y a P.

Plano 3013)1(22032: kkkzyx ; 0332: zyx

Plano : vectores del plano )3,2,1(rd y ),1,0,1(AP siendo )0,1,3( A un punto de r.

0520

131

021

112

:

zyx

z

y

x

La recta que buscamos es:

052

0332:

zyx

zyxs

Vector director de s: (-8, -2,4) Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar, resolvemos la ecuación del plano para obtener el valor de k, que luego sustituiremos para

obtener la primera ecuación de la recta:

Figura 11.

2. En segundo lugar, calculamos el determinante como en otros ejercicios (dentro de la pestaña ‘Matrices’). El

resultado de este determinante es la segunda ecuación de la recta:

Figura 12.

P

r


11


- Otra forma de resolver el problema Después de hallar el plano , perpendicular a r y que contiene a p,

buscamos el punto de corte de r y , Q. Los puntos P y Q determinan s.

r

P

Q

0333)21(230332: zyx

7

3,

7

5,

7

22

7

1Q

41

21

82

:)4,2,8(7

4,

7

2,

7

8:

z

y

x

sdPQs

- Otro método

También podemos buscar el vector director de s, ),,( cbad teniendo en cuenta que:

1. 0320 cbadddd

2. r y s se cortan 0

101

3212),,(

cba

PAddran Las soluciones del sistema:

02.)2

032.)1

cba

cba

Son los vectores de la recta s

,

2

1,2d para ,4 obtenemos ).4,2,8( d

10. Perpendicular común. Comprueba que las rectas r y s se cruzan, y halla la ecuación de la perpendicular común a ambas.

2

3

1

1

0:

zyxr

31

1

1

1:

zyxs

Tomamos y rA )3,1,0( )3,2,1()0,1,1( ABsB

3)3,2,1)(3,1,1)(2,1,0(ran r y s se cruzan. La recta P, perpendicular a r y s, tiene por vector director

).1,2,5()3,1,1()2,1,0( dd

Daremos la recta P como intersección de los planos y .


12

Plano : contiene a s y al vector 0

13

211

511

z

y

x

dd

Plano : contiene a s y al vector 0

123

211

50

z

y

x

dd

Ecuaciones de la recta

052

0217165:

zyx

zyxP


1. Este ejercicio lo resolveremos como los anteriores, calculando el determinante:

Figura 13.


- Otro método. Vamos a hallar los puntos de R y S, en los que la recta P corta a r y s. Un punto genérico de r es .23,1,0 Un punto genérico de s es .3,1,1 Un vector genérico de origen en r y extremo en s es:

)323,2,1( RS

r

P

s

R

S s

P

r


13

Este vector debe ser perpendicular a r y s.

455064620)2,1,0( RS

121150969210)3,1,1( RS

5

15

8

3

4

)1,2,5(

15

1,

15

2,

3

1

4,3

1,

3

1

3

43,

3

41,

3

41

15

61,

15

7,0

15

163,

15

81,0

d

RS

S

R

Ecuaciones paramétricas de P:

4

231

531

z

y

x

11. Posición relativa de esferas.

Halla la posición relativa de las siguientes esferas: 0131064: 2221 zyxzyxC

.0441282: 2222 zyxzyxC

513532

)35,2(222

1

1

r

O

:1C

3

7,68

:2C344641

)6,4,1(222

2

2

r

O

La distancia entre sus centros es:

68,759173 22221 OO

Como la distancia entre sus centro es 7.68, es menor que la suma de sus radios,

,821 rr las esferas se cortan. Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Obtenemos los dos radios (recordamos que para insertar raíces y potencias, pinchamos en sus respectivos

símbolos en Operaciones):


14

Figura 14.

2. Calculamos la distancia entre los centros de la misma forma:

Figura 15.


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