Teknik Pengaturan Metode Root Locus

MMEETODE TEMPAT KEDUDUKAN AKAR (ROOT TODE TEMPAT KEDUDUKAN AKAR (ROOT LOCUS)LOCUS)

Teknik untuk Menganalisis StabilitasTeknik untuk Menganalisis Stabilitas

• Kriteria Aljabar (stabilitas mutlak)

• Grafik

Tempat-KedudukanAkan-akar(root locus)

RouthHurwitz

Evans

Bode

Nyquist

Black

Fractions

PENDAHULUAN

• Karakteristik dasar tanggap transien sistem loop tertutup ditentukan oleh kutub-kutub loop tertutup.

• Kutub-kutub loop tertutup pada bidang s adalah akar-akar persamaan karakteristik.

• Untuk mencarinya kita perlu menguraikan polinomial karakteristik atas faktor-faktornya, yang umumnya sulit apabila derajat polinomialnya lebih tinggi dari dua.

• Metode tempat kedudukan akar merupakan metode yang menggambarkan akar-akar persamaan karakteristik untuk semua harga dari suatu parameter sistem.

• Akar-akar untuk suatu harga tertentu dari parameter terletak pada grafik yang diperoleh.

(a) Sistem Loop Tertutup. (b) Fungsi Alih Ekuivalen

ROOT LOCUS

• Persamaan karakteristik Loop-Tertutup: 1 + KG(s)H(s) = 0

• Penguatan K = parameter rancanganG(s)H(s) = penguatan loop

p

z

n

jj

n

ii

)ps(

)zs(

)s(H)s(G

1

1

dengan:zi , i = 1, 2, …, nz adalah nol-nol sistem loop terbuka

pj , j = 1, 2, …, np adalah kutub-kutub sistem loop terbuka

p

z

n

jj

n

ii

)ps(

)zs(

)s(H)s(G

1

1

pn

jjps

1

n

1ii )()z(s

kutubsudut sudut nolsudut sudut

z

DIAGRAM TEMPAT KEDUDUKAN AKAR-AKAR

• Menentukan kedudukan akar kutub-kutub loop tertutup (root loci) ketika K berubah antara o sampai .

• Dari persamaan: 1 + KG(s)H(s)Karena G(s)H(s) adalah besaran kompleks, maka dapat dipisahkan menjadi dua persamaan karakteristik:

1. Syarat sudut:

0,1,2,...k )k()s(H)s(G 12180

2. Syarat besar: 1)s(H)s(G

METODE TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

• Metode ini memberikan prosedur grafis yang efektif untuk mencari akar-akar polinomial dalam studi sistem fisik.

• Gagasan dasar adalah harga s yang membuat fungsi alih loop terbuka sama dengan -1 harus memenuhi persamaan karakteristik sistem.

• Jika penguatan diubah dari nol sampai tak terhingga, memungkinkan kita untuk mencari kutub-kutub loop tertutup dan kutub dan nol loop terbuka dengan penguatan sebagai parameter.

• Dalam merancang sistem kendali linier, metode tempat kedudukan akar terbukti cukup berguna untuk memodifikasi kutub dan nol loop terbuka sehingga tanggap memenuhi spesifikasi kinerja sistem.

180

)ps)(ps()zs(K

)s(H)s(KG

321

21

1

s-plane

s1

1 3

2

p1p2

z1

s1-p1s1-z1

Contoh:Contoh:

SISTEM ORDE KEDUA SEDERHANA

• Fungsi alih loop terbuka sistem adalah:

)s(sK

)s(H)s(G1

Fungsi alih loop tertutupnya adalah:

Kss

K)s(R)s(C

2

+-

R(s) C(s))s(s

K1

Persamaan karakteristik sistem ini adalah:

02 Kss

Kita akan mencari tempat kedudukan akar-akar persamaan ini jika K diubah dari nol sampai tak terhingga.

Ks , Ks 2 414121

21

21

21

1

• K=0 adalah sama dengan kutub-kutub dari G(s)H(s).• Jika K diperbesar dari nol sampai ¼, maka kutub-kutub loop

tertutup bergerak menuju titik (-½, 0).• Untuk harga K dari nol sampai ¼, semua kutub loop tertutup

terletak pada sumbu nyata (tanggap impulse tidak berosilasi).• Pada K= ¼, kedua kutub loop tertutup nyata tersebut bersatu

(sistem redaman kritis)

• Jika K > ¼ , maka kutub-kutub loop tertutup bergerak meninggalkan sumbu nyata, menjadi kompleks.

• Karena bagian nyata konstan, maka kutub-kutub loop tertutup bergerak sepanjang garis s = -½ (sistem redaman kurang).

Syarat sudut:

0,1,2,...k )k(ss)s(s

K

121801

1

Tinjau titik P, besaran kompleks s dan s+1 , masing-masing mempunyai sudut 1 dan 2 ,dan besar masing-masing adalah |s| dan |s+1|. Jumlah sudut 1 dan 2 adalah 180°.

Jika titik P terletak pada sumbu nyata antara 0 dan -1, maka 1 = 180° dan 2 = 0°.

Jika titik P bukan merupakan titik-titik pada tempat kedudukan akar, maka jumlah antara 1 dan 2 tidak sama dengan 180°(2k+1).

Jadi titik-titik yang tidak terletak pada tempat kedudukan akar, tidak memenuhi syarat sudut (bukan merupakan kutub loop tertutup untuk setiap harga K).

Jika kutub-kutub loop tertutup ditentukan dari tempat kedudukan akar, maka harga K yang berkaitan ditentukan dengan syarat besar.

Jika loop tertutup yang dipilih adalah s= - ½ + j2 , maka harga K untuk kondisi ini diperoleh dari:

11 2

21

js)s(s

K)s(H)s(G

atau4

171

221 js

)s(sK

Karena kutub-kutub saling berpasangan (konjugasi komplk), jika salah satu diantaranya diperoleh, misal s= - ½ + j2 maka yang lain dapat diperoleh secara otomatis.

Perubahan K pada perilaku tanggap transien sistem orde dua:

• Kenaikan harga K akan memperkecil rasio redaman , sehingga memperbesar overshoot dari tanggap.

• Kenaikan K juga memperbesar frekuensi alamiah.• Kutub-kutub loop tertutup selalu disebelah kiri

sumbu khayal bidang- s, jadi sampai berapapun K diperbesar, sistem selalu stabil.

Tempat Kedudukan Penguatan Konstan

• Tempat kedudukan penguatan konstan dari sistem diperoleh dari syarat besar

+-

R(s) C(s))s(s

K1

11

)s(s

K)s(H)s(G

atauK)s(s 1

Titik-titik pada bidang kompleks yang memenuhi persamaan diatas untuk suatu harga K tertentu membentuk suatu tempat kedudukan penguatan konstan.

• Diagram tempat kedudukan dari: |G(s)H(s)| = konstan adalah berupa lingkaran dengan pusat di titik asal.

• Tempat kedudukan untuk: G(s)H(s) = 180°(2k + 1) berada pada sumbu nyata negatif dari bidang G(s)H(s)

• Tempat kedudukan akar dan tempat kedudukan penguatan konstan pada bidang s adalah pemetaan konformal dari tempat kedudukan G(s)H(s) = 180°(2k + 1) dan |G(s)H(s)| = konstan pada bidang G(s)H(s).

SOAL 1

• Gambarkan diagram tempat kedudukan akar dan tempat kedudukan penguatan konstan untuk sistem berikut:

1H(s) , ss

)s(K)s(G

32

22

Jawab:Karena konfigurasi kutub-nol adalah simetri terhadap sumbu nyata, maka tempat kedudukan penguatan konstan juga simetri terhadap sumbu nyata.

SOAL 2

• Gambarkan diagram tempat kedudukan akar dan tempat kedudukan penguatan konstan untuk sistem berikut:

1H(s) , sss

K)s(G

23 23

Jawab:Karena konfigurasi kutub pada bidang s adalah simetri terhadap sumbu nyata dan garis yang sejajar sumbu khayal yang melalui titik (=-1, =0), maka tempat kedudukan penguatan konstan juga simetri terhadap garis =0 (sumbu nyata) dan garis =-1.

Analisis Sistem dengan Root Locus

1. Pertama, carilah persamaan karakteristiknya- Syarat besar menjadi:

+-

R(s) C(s)

sss

K

23 23

1802121

sss)s)(s(s

K)s(G

- Syarat sudut untuk sistem diatas adalah:

121

)s)(s(s

K)s(G

2. Tentukan asimtot tempat kedudukan akarAsimtot adalah tempat kedudukan akar jika K mendekati tak terhingga

321 s

Klim

)s)(s(sK

lim)s(Glimsss

Sehingga syarat sudut menjadi:

)k(s 121803

atau:

)k()k(

asimtot Sudut 12603

12180

Karena sudut berulang jika k diubah, maka ada tiga asimtot 60°, -60° dan 180° (sumbu nyata negatif).

3. Tentukan titik potong tempat kedudukan akar dengan sumbu khayal.

Titik-titik ini dapat diperoleh dari kriteria kestabilan Routh dari persamaan karakteristik sistem: s3+3s2+2s +K = 0

Ks

Ks

Ks

s

0

2

3

3

63

21

Harga K yang membuat koefisien s1 pada kolom pertama sama dengan nol adalah K = 6.

Titik potong pada sumbu khayal diperoleh dengan menggunakan persamaan dari baris s2, yaitu:

0633 22 sKs

yang menghasilkan: 2js Jadi tempat kedudukan akar memotong sumbu khayal di: 2Hingga penguatan pada titik potong ini adalah K = 6.

Diagram tempat kedudukan akar-akar

Contoh Aplikasi Metode Root LocusContoh Aplikasi Metode Root Locus

Aturan Penggambaran Root Locus

• Pada real axis tempat kedudukan berada pada titik di mana pole dikurangi zero berharga ganjil untuk sebelah kanan titik.

• Loci akar selalu berasal, untuk total gain lup = 0, pada pole OLTF.

• Jumlah loci atau cabang sama dengan jumlah pole OLTF (n).

• Semakin naik total gain lup, loci atau cabang akan mendekati zero OLTF atau . Jumlah loci menuju = n – m.

29

Aturan Penggambaran Root Locus (2)

• Loci yang menuju sepanjang garis asimtot. Semua garis asimtot harus melewati center of gravity (CG) dari pole dan zero OLTF.

• Asimtot membuat sudut dengan sumbu real:dengan k = 0, 1, …, n-m-1

• Titik-titik pada sumbu real di mana loci bertemu atau meninggalkan, atau masuk dari daerah kompleks pada bidang s, disebut breakaway point.

30

mn

zp

CG

n

j

m

iij

1 1

mn

k

)360(180 00

n

j j

m

i i pszs 11

11

Contoh 4

• Persamaan karakteristik:

• pole: -1/10, -1/30, dan –1/3 n = 3• zero: tidak ada m = 0

31

Kc

R(s)

C(s)Kc

Toset(s

)

E(s)

M(s)

F(s)

13

016.0

s 130

50

s

110

1

s

31

301

101

'

sss

KOLTF

0)13)(130)(110(

8,01

sss

Kc

Jawaban (1)

32

cc K

KK 000888,0

)3)(30)(10(

8,0'

155,003

31

301

101

CG

000

000000

300 ,180 ,60

3

)2(360180 ,

3

)1(360180 ,

3

)0(360180

0111

31

101

301

sss

Breakaway point:

Jawaban (2)

• Dengan menyamakan penyebut pers. kuadrat– s = -0,247 (tidak mungkin, karena tidak di antara

dua titik) dan – s = -0.063 (valid)– u = 0,22

– Kcu = 24

33

Gambar RL

34

Root Contour• Root Loci (RL)

– Bagian tempat kedudukan akar ketika Kc bervariasi dari 0 hingga ∞ (Kc positif)

• Complementary Root Loci (CRL)– Bagian tempat kedudukan akar ketika Kc bervariasi dari -∞

hingga 0 (Kc negatif)• Root Contours (RC)

– Tempat kedudukan akar ketika bervariasi lebih dari satu parameter

• Complete Root Loci– Kombinasi RL dan CRL (-∞<Kc< ∞)

35

Kondisi RL

• Besaran

• Sudut

01 :PK

01 :PK

1

OLTF

sHsG

sHsG

sG

sR

sC

cc

KK

OLTF - 1

36

o

o

180atau radian dari genapkelipatan

0 2

180atau radian dari ganjilkelipatan

0 12

c

c

KkOLTF

KkOLTF

Perhitungan K

m

ii

n

ji

n

jj

m

ii

zs

ps

c

n

jj

m

ii

n

jj

m

ii

ccps

zs

n

m

K

mnk

kpszsOLTFCRL

kpszsOLTFRL

KK

OLTF

pspsps

zszszsKOLTF

1

1

1

1

1 ,....,2 ,1 ,0

2 :

12 :

1

...

...

11

11

21

21

37

Contoh

21

1

pspss

zsKOLTF c

A

BCD

zs

pspssKc

11

21111

38

Sifat dan Pembuatan RL

1. Titik Kc = 02. Titik Kc = ±∞3. Jumlah cabang4. Simetri5. Asimtot6. Sentroid (Interseksi dari Asimtot)7. RL pada Sumbu Nyata8. Sudut Berangkat dan Sudut Datang9. Interaksi dengan Sumbu Imajiner10. Titik Breakaway (Sadel)11. Perhitungan Kc

032265 :PK 2 sKsssss c

39

1. Titik Kc = 0


40

• Pole:– s = 0, -5, -6, -1 ± i– Jumlah (m) = 5

2. Titik Kc = ±∞


41

• Zero:– s = -3– Jumlah (n) = 1

3. Jumlah Cabang

• Cabang selalu berasal dari pole• Ada 2 cabang, dari pole:

– Menuju zero– Menuju tak berhingga (∞)

• Jumlah semua cabang dari RL adalah sama dengan ORDE POLINOMIAL (jumlah pole)

• Jumlah cabang yang menuju ∞ = n - m• Orde = 5 jumlah semua cabang = 5• Jumlah zero = 1 jumlah cabang menuju ∞ = 4


42

4. Simetri

• RL yang sempurna adalah simetrik terhadap sumbu nyata dari bidang-s


43

5. Asimtot

ooook

k

mn

k

RL

135,135,45,4515

1212

:

ooook

k

mn

k

CRL

270,180,90,015

22

:


44

6. Sentroid (Interseksi dari Asimtot)

5.2

4

311650

1

iimn

zeropole


45

7. RL pada Sumbu Nyata

• Ada RL pada sumbu nyata antara:– s = 0 dan s = -3– s = -5 dan s = -6

• Ada CRL pada sumbu nyata antara:– s = -3 dan s = -5– s = -6 dan s = ∞


46

8. Sudut Berangkat dan Sudut Datang

• Sudut berangkat dari RL meninggalkan pole pada -1 + i. Jika s1 adalah titik pada RL meninggalkan pada -1 + i dan s1 sangat dekat dengan pole tersebut, maka:

o

oooooo

o

k

atau

kisssisss

8.43

180124.1114901356.26

1801216513 111111

47


9. Interseksi dengan Sumbu Imajiner

0

35atau 0163.01053940

309atau 0212.06.65 2

c

ccc

cc

K

KKK

KK

34.1dan 34.1

01052.58

03212.06.65

:35 Pada

2

2

isis

s

KsKsA

K

cc

c

48


Kurva memotong sumbu imajiner pada Kc = 35 dan Kc = 0

10. Titik Breakaway (Titik Sadel)

• Merupakan titik yang berada pada sumbu nyata (real) tempat bertemu akar (loci) pergi dan akar datang, tempat mulai memasuki daerah bilangan kompleks.

• Akar selalu datang dan pergi dengan sudut 90o pada titik breakaway.

m n

1 1

Metode lain:

1 1

i ji js z s p

OLTF0cdK d

ds ds

49

Titik Breakaway (Titik Sadel)

5 4 3 2

OLTF0

13 5 66 142 123 45 0

3 33 1 204

0 656 0 468

5 53

cdK d

ds ds

s . s s s s

s . i .

s . i .

s .

50


Titik Breakaway (Titik Sadel)

53.5

468.0656.0

204.133.3

045123142665.13

0180492568264544

0)180552650318675(60825413

060825413

)60164162525)(3()60825413)(1(''

0)22)(6)(5(

3OLTF

2345

2345

23452345

2345

2342345

2

2

s

is

is

sssss

s s sss

s + + s+ s+ s + ss s sss

s s sss

s sssss s sss

v

uvvu

sssss

s

ds

d

ds

d

ds

dKc

51


YANG DIPAKAI

Ada 5 akar

RL Sempurna

52

Teknik Pengaturan Metode Root Locus

Documents

Transcript of Teknik Pengaturan Metode Root Locus