teh. mehanika

download teh. mehanika

of 142

Transcript of teh. mehanika

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    1/142

    PREDGOVOR

    Ovaj prirunik sastavljen je prema vaeem nastavnom programu

    predmeta Tehnika mehanika preddiplomskog sveuilinog studijaPomorskanautika, koji se izvodi na Pomorskom fakultetu Sveuilita u Splitu alii svim

    pomorskim visokim uilitima u Hrvatskoj. On obuhvaa sve sadrajekoji su

    propisani programom Meunarodne pomorske organizacije (IMO) zanaobrazbu

    pomorskih asnika.

    U priruniku je dat saetak predavanja iz Tehnike mehanike, kojesam

    odrao u prvom semestru akademske 2006./2007. godine. U skladu stim, u

    tekstu su obraeni osnovni pojmovi i metode primijenjene mehanike upomorstvu,

    pri emu mi je tenja bila da ukaem na praktino znaenjerazmatranih

    problema, a da matematiki aparat koji je pri tome neophodan svedemna

    primjenu osnovnih elemenata matematike analize i vektorskograuna. Iako ovajsaeti materijal ne moe zamijeniti udbenik i zbirku zadataka,vjerujem da eon pomoi studentima u pripremanju ispita iz ovog temeljnog predmetatehnikestruke.

    Split, prosinac 2007.Autor

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    2/142

    Stranica

    SADRAJI. Uvod 11. Zadatak i podjela mehanike 1

    2. Elementi i osnovni zakoni mehanike 1

    II. Statika krutih tijela 3

    1. Osnovni pojmovi i zadaci 3

    2. Aksiomi statike 63. Veze i njihove reakcije 7

    4. Statika estice 94.1 Sastavljanje sila 9

    4.2 Rastavljanje sile 11

    4.3 Ravnotea sila 114.4 Rjeavanje zadataka ravnotee 12

    5. Statika tijela 14

    5.1 Moment sile 145.2 Momentno pravilo 15

    5.3 Spreg sila 16

    5.4 Redukcija sustava sila 17

    5.5 Ravnotea sustava sila 195.6 Rjeavanje zadataka ravnotee tijela 19

    6. Trenje 21

    6.1 Trenje klizanja 216.2 Trenje kotrljanja 22

    7. Nosai 247.1 Gredni nosai 24

    7.1.1 Reakcije u osloncima 25

    7.1.2 Unutranje sile 25

    7.2 Reetkasti nosai 297.2.1 Metoda vorova 30

    7.2.2 Metoda presjeka 31

    8. Geometrijske znaajke tijela i povrina 32

    8.1 Teite 328.2 Momenti tromosti i otpora 34

    III. Statika elastinih tijela 37

    1. Osnovni pojmovi i zadaci 37

    2. Naprezanja i deformacije 38

    3. Hookeov zakon 394. Aksijalno optereenje 41

    5. Smicanje 43

    6. Uvijanje 45

    7. Savijanje 48

    8. Izvijanje 52

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    3/142

    IV. Kinematika 54

    1. Kinematika estice 54

    1.1Osnovne kinematike veliine 54

    1.2Pravocrtno gibanje 55

    1.2.1 Jednoliko gibanje 57

    1.2.2 Jednoliko promjenljivo gibanje 571.3 Krivocrtno gibanje 58

    1.3.1 Prikazivanje u Descartesovom koordinatnom sustavu 58

    1.3.2 Prikazivanje u prirodnom koordinatnom sustavu 60

    2. Kinematika krutog tijela 62

    2.1 Translacija tijela 62

    2.2 Rotacija tijela oko nepomine osi 63

    2.3 Ravninsko gibanje tijela 65

    V. Dinamika 68

    1. Dinamika estice 68

    1.1Jednadbe gibanja 68

    1.2 D'Alembertov princip 691.3 Rad i snaga 70

    1.4 Kinetika i potencijalna energija 72

    1.5 Impuls i koliina gibanja 74

    1.6 Moment koliine gibanja 75

    2. Dinamika krutog tijela 76

    2.1 Geometrija masa 76

    2.2 Translacija tijela 78

    2.3 Rotacija tijela oko nepomine osi 78

    2.4 Ravninsko gibanje tijela 80

    VI. Mehanika fluida 82

    1. Hidrostatika 82

    1.2 Tlak 82

    1.3 Hidrostatiki uzgon i plivanje 85

    2. Hidrodinamika 87

    2.1 Jednadba kontinuiteta 87

    2.2 Bernoullijeva jednadba 88

    2.3 Istjecanje kroz otvore 90

    2.4 Protjecanje kroz cijevi 91

    Dodatak 94

    1. Mjerne jedinice u tehnikoj mehanici 94

    2. Predmetci (prefiksi) SI jedinica 95

    3. Grka slova 95

    4. Upute za polaganje pismenog ispita 96

    I. Primjer pismenog ispita 97UVOD

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    4/142

    1. ZADATAK I PODJELA MEHANIKE

    Mehanika je znanost o gibanju tijela i njegovim

    uzrocima. Gibanjeje promjena poloaja tijela u prostorui vremenu, a uzrokuju ga sile.

    Dio mehanike koji razmatra tehnike problemezove se tehnika mehanika. Ona poiva na zakonimaklasine mehanike (Newton - 17. st.) i daje praktinarjeenja.

    Pri gibanju, svako vrsto tijelo manje ili viemijenja svoj oblik i volumen odnosno, deformira se.

    Meutim, takve se promjene u praksi esto moguzanemariti jer ne utjeu na gibanje tijela, pa se govori o

    krutom tijelu. Ako su i dimenzije takvog idealiziranog tijela nebitne zarjeavanje problema njegovog gibanja, dolazi se do pojma estice. Za razliku od vrstih tijela, tekuine (kapljevine i plinovi) lako

    mijenjaju

    svoj oblik. Takva se tijela openito nazivaju fluidi i posebno seprouavaju.

    Prema problemima kojima se bavi, uobiajena podjela tehnikemehanike

    je:

    1. Statika -prouava sile i ravnoteu tijela2. Kinematika -prouava gibanja tijela bez obzira na sile3. Dinamika -prouava gibanja tijela pod utjecajem sila2. ELEMENTI I OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE

    Osnovni elementi klasine mehanike su:Prostor. To je geometrijsko podruje u kojem se prikazuje poloaj

    tijela.

    On se uvijek odreuje u odnosu na neki pogodan koordinatni sustav, atemelji se

    na mjerenju udaljenosti. Ako se koordinatni sustav vee za povrinuZemlje,

    tada se on moe smatrati apsolutno nepominim i predstavlja tzv.referentni k.

    sustav. Najee je to Descartesov pravokutni desni k. sustav, u komeje

    poloaj neke toke odreen s tri koordinate (x, y, z), odnosno s triduine koje

    se mjere od ishodita O u pravcima k. osi.Jedinica za duinu je metar [m].

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    5/142

    Poloaj neke toke moe seodrediti i vektorom poloaja r,

    usmjerenom veliinom koja je odreenaduinom (OA) i orijentacijom u

    prostoru (kutovi a, p iy prema k.

    osima x,y i z).

    Dakle, u mehanici postoje dvije

    vrste veliina:skalari i vektori.Skalari su veliine odreene samosvojom brojanom vrijednou(veliinom), kao npr. duljina, vrijeme, masa, temperatura itd.Vektori su veliine za iji je opis osim brojane vrijednosti potreban i

    poloaj uprostoru, kao npr. sila, pomak, brzina, ubrzanje itd.Vrijeme. Ono je mjera slijeda dogaanja. Univerzalno je jer tee

    isto i

    nepovratno u svim dijelovima prostora. Jedinica za vrijeme je sekunda

    [s].

    Masa. To je koliina materije koja ispunjava tijelo. Ona predstavljamjeru

    otpora tijela prema promjeni gibanja, odnosno mjeru tromosti tijela.

    Masa jekonstantna veliina i ima jedinicu kilogram [kg].

    Sila. Ona je mjera meusobnog djelovanja tijela i nastojipromijeniti

    njihovo gibanje ili izazvati deformacije.

    Sila je vektorska veliina koju u opem sluaju odreuju sljedeipodaci:

    1) veliina (intenzitet), 2) pravac, 3) smjer i 4) hvatite (napadnatoka).

    Grafiki, sila se predstavlja u odreenom mjerilu (UF) pomouorijentirane duine. Pokraj ovako predoenog vektora stavlja senjegova oznaka

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    6/142

    - veliko slovo sa strelicom (kukicom) iznad, npr.F.

    UF(N/cm)2

    Jedinica za silu je njutn [N = kgm' ].

    Polazei od osnovnih elemenata, Newton je postavio osnovnezakone

    mehanike, koji glase:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    7/142

    1. Zakon (zakon inercije)

    Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravocrtnog

    gibanja, sve dok neka sila koja na njega djeluje to stanje ne promijeni.

    2. Zakon (osnovni zakon dinamike)

    Ubrzanje je proporcionalno sili koja djeluje na tijelo, a zbiva se u

    njenom

    pravcu i smjeru.

    Njegov vektorski zapis glasi:

    F = m a

    gdje je:

    Fvektor sile, mmasa tijela, avektor ubrzanja.

    Prema ovom zakonu, teina tijela Gpredstavlja silu kojom Zemlja privlai tijelo premasvome sreditu i ima veliinu:G = m g2

    gdje jeg= 9,81 m/s - gravitacijsko ubrzanje.

    3. Zakon (zakon akcije i reakcije)Dva tijela djeluju jedno na drugo silama iste veliine i pravca a

    suprotnog

    smjera.

    Prvi zakon mehanike jasno ukazuje na postojanje sile.

    Drugi zakon mehanike definira veliinu sile.Trei zakon mehanike odreuje da izvor sile treba traiti umaterijalnim tijelima.

    II. STATIKA KRUTIH TIJELA1. OSNOVNI POJMOVI I ZADACI

    Silaje pojam koji u statici ima primarno znaenje.

    Osim grafikog

    prikaza, silu je mogue predstaviti i analitiki

    preko svojih komponenata,

    odnosno ortogonalnih (okomitih) projekcija na osi

    izabranog k. sustava.

    Razmotrimo silu Fiji pravac s osi x zatvara kut a

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    8/142

    .

    Moemo pisati:(1)X = X igdje je:

    X- komponenta sile (vektor) u pravcu osi x;

    X- projekcija sile (skalar) na os x;

    i -jedinini vektor osix(odreuje njen pravac i smjer).U prostornomk. sustavu, ijim su osima x,yi z, pridrueni jedinini

    vektori i,j i k, vektor sile napisan u analitikom obliku glasi:(2)

    F = X+ Y+Z = X i + Y j + Z kgdje su: X, YiZ- komponente sile u pravcima odgovarajuih k. osi;X, YiZ-projekcije sile na odgovarajue k. osi.

    Iz slike je vidljivo da je silaFprostorna dijagonala kvadra, koja s k.

    osima x,y i z zatvara kutove a,p iy, pa vrijedi:

    X =Fcosa, Y=Fcosp, Z=Fcosy (3)

    Na osnovi Pitagorina pouka, slijedi veliina sile:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    9/142

    F= VX2 + Y2 +Z2

    (4)

    (5)

    Pravac sile (kosinusi pravca), dobiva se na osnovi izraza (2):

    X O Y Z

    cosa =, cos O =, cosr =

    F F F

    Prema tome, sila je analitiki potpuno definirana izrazima (4) i (5).Skup sila F(i = 1,2,...,n) koje djeluju na tijelo naziva

    se sustav sila.

    Sustav sila je u ravnotei, ako se njegovimdjelovanjem stanje tijela (mirovanje ili jednoliko gibanje)

    ne mijenja.

    Dva sustava sila su ekvivalentna ako djelovanjem na isto tijelo

    uzrokuju

    jednaku promjenu njegovog stanja. Ako je sustav sila ekvivalentan

    samo jednoj

    sili, tada se ona naziva rezultanta takvog sustava sila.

    Sile koje predstavljaju djelovanje drugih tijela

    na promatrano tijelo, zovu se vanjske sile. Sile koje

    se suprotstavljaju djelovanju vanjskih sila, a nastajuizmeu pojedinih estica tijela, predstavljajuunutranje sile.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    10/142

    Prouavajui opa svojstva sila koja djeluju na kruto tijelo, u staticise

    rjeavaju sljedea dva osnovna zadatka:1. Svoenje sustava sila na jednostavniji oblik2. Odreivanje uvjeta ravnotee sustava silaOvi se zadaci mogu rjeavati grafikim i analitikim metodama. Udaljnjem

    razmatranju, analitikim metodama dat emo prednost.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    11/142

    2. AKSIOMI STATIKE

    To su istine koje su potvrene iskustvom i eksperimentima.1.Aksiom

    Tijelo se nalazi u ravnotei pod djelovanjem dviju sila samo ako su

    one

    jednake veliine i pravca a suprotnog smjera.

    ^ Uravnoteen sustav sila2. Aksiom

    Stanje tijela se ne mijenja ako mu se doda ili

    oduzme uravnoteen sustav

    sila.

    Na osnovi slike oigledno je da se hvatite sile moe pomjerati du

    pravcanjenog djelovanja. Prema tome, sila je klizei vektor ili vektor vezan za

    pravac.

    Kako se unutranje sile u tijelu uvijek pojavljuju u parovima akcijei reakcije,

    one ine uravnoteen sustav sila, to znai da pri prouavanjuravnotee krutogtijela u obzir treba uzeti samo vanjske sile.

    3. Aksiom

    Rezultanta dviju sila koje djeluju u toki tijela, djeluje u istoj toki

    a

    jednaka je dijagonali paralelograma konstruiranog nad silama kao

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    12/142

    stranicama.

    Paralelogram sila

    Trokut sila

    Pravilo paralelograma sila ili pravilo trokuta sila predstavlja

    vektorsko

    zbrajanje sila.

    Veliinu rezultanteR te kutove a1 i a2koji odreuju njen pravac,dobivamo

    mjerenjem. Meutim, njih je mogue i izraunati koritenjem poznatihpouakageometrije i to:

    Kosinusni pouak:Sinusni pouak:4. Aksiom

    Ravnotea deformabilnog tijela se ne mijenja, ako se ono ukruti.

    Ovaj princip ukruivanja omoguuje dase uvjeti ravnotee krutog tijela primjene i nadeformabilno tijelo. Tako npr. kada savitljivo

    ue pod djelovanjem sila zauzme deformiraniravnoteni oblik i poloaj, ono se moerazmatrati kao kruto tijelo.

    5. Aksiom

    Vezano tijelo moe se smatrati slobodnim ako se sve veze uklone, a

    njihov

    utjecaj zamijeni reakcijama tih veza.3. VEZE I NJIHOVE REAKCIJE

    Tijelo ije su mogunosti gibanja ograniene drugim tijelimanaziva se

    vezano tijelo. Tijela koji sprjeavaju gibanje nazivaju se veze, a silekojima

    takve veze djeluju na tijelo predstavljaju reakcije veza.

    Tijelo i veza meusobno djeluju jednakim silama istoga pravca asuprotnog

    smjera (zakon akcije i reakcije).

    Vanjske sile koje djeluju na vezano tijelo mogu biti aktivne i

    reaktivne.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    13/142

    Aktivne sile (i teina tijela) nastoje izazvati gibanje tijela, dok sureaktivne sile

    zapravo reakcije veza koje se suprotstavljaju tom gibanju.

    Odreivanje reakcija veza vaan je problem pri istraivanju

    ravnotee tijela.Postoji vie vrsta veza, a najvanije veze (bez trenja) su sljedee:

    R = V F,2 +F2 + 2 F,F2

    (6)

    (7)

    cosa

    F, _ F2

    R

    sin a2 sin a, sin a

    1.Glatka povrina

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    14/142

    Reakcija vezeNdjeluje okomito na zajednikupovrinu u dodirnoj toki.2.Savitljivo tijelo

    Ako je veza ostvarena pomou savitljivog tijela(ue, remen, lanac, opruga i sl.), reakcija veze Sima pravac osi zategnute veze.

    3.Cilindrini zglobTo je veza dva tijela spojena osovinom kroz

    otvore na njima. Ona doputa samo okretanje tijelau ravnini okomitoj na os zgloba (xy). Kako pravac

    reakcije vezeA nije poznat (kuta), ona se

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    15/142

    predstavlja svojim komponentama:Ax

    iAy

    u

    pravcima osi izabranog k. sustava.

    4.tapAko je tijelo vezano tarpom sa zglobovima nakrajevima, reakcija veze Sima pravac spojnice

    sredita zglobova.5.Oslonci

    U tehnikim konstrukcijama, tijela se oslanjaju na podlogu(postolje, temelj.

    leaj i sl.) pomou oslonaca. Najvaniji oslonci u ravnini su:a) Nepomini oslonacTo je zglobna veza koja doputa samo okretanje tijela oko toke oslanjanja u ravnini okomitoj na os zgloba.Reakcija vezeAjednaka je kao kod cilindrinog zgloba.c) Ukljetenje

    b) Pomini oslonacNe doputa samo pomak tijela okomito na povrinu

    klizanja. Reakcija vezeAje kao kod glatke povrine.

    vrsta veza koja ne doputa bilo kakvogibanje tijela. Ako je ukljetenje u ravnini,

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    16/142

    reakcije veze su dvije komponente sile:Ax i

    Ay (opiru se pomacima u pravcima k. osi) i

    momentMA (opire se okretanju u ravnini).

    4. STATIKA ESTICEAko se kruto tijelo prikae kao estica, tada se

    pravci svih sile koje na njega djeluju sijeku u

    jednoj toki. Takav sustav sila naziva se

    konkurentni (sueljeni) sustav sila.SASTAVLJANJE SILATo je postupak odreivanja rezultante

    sustava sila, to je mogue napravitigrafiki i analitiki.

    Grafiko sastavljanje sila temelji se na pravilu paralelograma(trokuta sila)

    koje se, poto se radi o veem broju sila, mora primijeniti vie putauzastopce.

    Na taj se nain dobije pravilo poligona sila.

    Poligon sila crta se nizanjem jedne sile na drugu,

    tako da na kraj prethodne sile postavljamo poetaksljedee. Zavrna stranica tako dobivene izlomljenecrte je rezultanta. Ona je usmjerena od poetka prve

    prema kraju zadnje sile u nizu.

    O

    Dakle, rezultanta konkurentnog sustava sila

    jednaka je njihovom vektorskom zbroju, tj.:

    pol i

    gon s i la

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    17/142

    R = f+F2+...+F = Z F (8)

    i=1

    U posebnom sluaju kada sile imajuzajedniki pravac djelovanja,one inekolinearni sustav sila. Poligon takvog sustava sila je pravac, to znaida je

    njihova rezultanta jednaka algebarskom zbroju veliina sila, tj.:R = Z F, (9)

    i=1Predznak zbroja (X) odreuje smjer rezultante.Analitiko sastavljanje sila temelji se na

    algebarskom zbrajanju projekcija

    sila na osi izabranog k. sustava. Zbroj tih

    projekcija na pojedinu k. os, predstavlja

    odgovarajuu projekciju rezultante.

    cos a

    cos

    (10)

    gdje su: at,pt i Y - kutovi koje svaka od

    silaFsustava zatvara s k. osimax,y iz.Rx = ZX, = Z F

    Ry = ZY, =ZFcos O,Rz =Z

    Zi =Z

    FcosY

    Projekcije rezultante na k. osi su:

    Veliina rezultante je:R=1/R7^R7+R7 (11)a njen pravac

    odreuju kutovi koje ona zatvara s k. osima:Rx O

    R

    y Rz (12)cos a R

    , cos pR= -?-, cosrR=(12)

    RR

    RR

    RV

    'Posebno, u sluaju da sve sile djeluju u jednoj

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    18/142

    ravnini, vrijedi:Ry

    RR

    x =EX, =E

    F,

    cosa

    Ry =E

    Y=Z

    Fsinai

    R = , / Rx2

    + Ry2

    tan aR=

    4.1 (13)RASTAVLJNJE SILE

    To je postupak obrnut sastavljanju sila. Rastaviti silu na

    komponente znainai takav sustav sila kome je dana sila rezultanta.

    U opem sluaju takva je zadaa neodreena i rjeiva je samo akosu poznati

    dopunski podaci o traenim komponentama. Najee su to njihovi

    unaprijed

    poznati pravci. Na taj je nain silu mogue jednoznano rastaviti uravnini na

    dvije, a u prostoru na tri komponente.

    Grafiki, sila se rastavlja na komponente pomou paralelogramaodnosno

    trokuta sila, a analitiki koritenjem izraza (10).Npr:

    4.2 RAVNOTEA SILASustav sila koje djeluju na esticu je u ravnotei, ako je njihova

    rezultanta

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    19/142

    jednaka nuli (R = 0). U tom sluaju estica ili miruje ili se gibajednoliko.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    20/142

    Grafiki uvjet ravnotee: Poligon (trokut) sila mora biti zatvoren(kraj

    posljednje sile poklapa se s poetkom prve).

    Analitiki uvjeti ravnotee: Algebarski zbrojevi projekcija svih silana k.

    osi moraju biti jednaki nuli.

    (14)

    Rx = 0 ^ 1. ZX, = 0

    Rv = 0 ^ 2. Z Y, = 0

    Rz= 0 ^ 3. ZZ, = 0

    Posebno, ako sile djeluju u jednoj ravnini, vrijedi:

    (15)

    1.Z X, = 0*2.Z Y= 0

    Za kolinearne sile, uvjet ravnotee glasi:(16)

    ZF, = 0

    4.4 RJEAVANJE ZADATAKA RAVNOTEEPri rjeavanju zadataka ravnotee estice ili krutog tijela, obino su

    nepoznate reakcije veza. Da bi zadatak bio rjeiv, odnosno statikiodreen,

    broj nepoznanica mora biti jednak broju uvjeta ravnotee (3 u prostoru,2 u

    ravnini).

    Za vei broj nepoznanica zadatak postaje statiki neodreen. U tomsluaju rjeenje se trai uzimanjem u obzir deformiranje tijela, ime seneemo

    baviti.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    21/142

    Postupak rjeavanja zadataka:1. Svaka tehnika konstrukcija obino predstavlja skup meusobno

    vezanih

    tijela. Zato je u ovisnosti od zahtijeva zadatka, potrebno izabrati

    tijelo ijae se ravnotea razmatrati.

    2. Izabrano tijelo treba osloboditi veza i prikazati slikom posebno.

    Ucrtavaju se

    sve aktivne sile i reakcije veza, pri emu se smjerovi reakcija moguuzeti

    proizvoljno.

    3. Postaviti uvjete ravnotee, Za vei broj sila koristiti njihov

    analitiki oblik,za to je potrebno izabrati pogodan koordinatni sustav s ishoditemu

    napadnoj toki konkurentnog sustava sila.4. Odrediti nepoznate veliine, pri emu negativna vrijednost

    dobivene

    reakcije znai da je njen stvarni smjer suprotan od pretpostavljenog. Pri rjeavanju zadataka vana je urednost, preglednost i postupnost.

    Racionalno je rjeavanje provesti u opim brojevima, a zadane

    brojanevrijednosti uvrstiti na kraju. Time je omoguena kontrola dimenzija ianaliza

    dobivenih rezultata.

    Primjer:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    22/142

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    23/142

    5.STATIKA TIJELA

    5.1MOMENT SILE

    Vektorska veliinakoja opisuje tenju sile da okrene tijelo okoneke tokenaziva se moment sile za toku.

    (17)

    Vektor momenta sile za toku O, definira se vektorskim (ex)produktom:

    MO = rx F

    gdje je: r- vektor poloaja hvatita A vektora sileFVektorMOprolazi kroz toku O, a okomit je na ravninu rotacije OAB

    u

    kojoj lee vektori F i r. Njegov je smjer odreenpravilom desne

    ruke:Ako sila nastoji da okrene tijelo u smjeru savijenih prstadesne ruke, tada vektor momenta ima smjer ispruenog

    palca.

    (18)

    Veliina momenta sile za toku je:MO = rF sin a = Fhgdje je: h - krak sile (udaljenost sile od momentne

    toke O)

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    24/142

    Predznak momenta je pozitivan ako

    sila tei da okrene tijelo u smjerusuprotnom gibanju kazaljke na satu.

    Jedinica za moment sile je njutnmetar

    [Nm].Valja primijetiti:MO = 0 ^F = 0 ili h =0 (sila prolazi tokomO).

    Zakljuimo:Moment sile za toku je vektor vezan za toku.Skalarna veliinakoja opisuje tenju sile da okrene tijelo oko neke

    osi

    naziva se moment sile za os.

    Definira se kao moment projekcije sile na ravninu okomitu na tu os, za

    toku u kojoj os probija ravninu.

    Prema slici, moment sile za oszglasi:

    (19)

    Mz= MF = F^ hgdje je:Fxy - projekcija sileFna ravninxy, h - krak sile u ravninixy.

    Oito je:Mz=0 ^Fxy = 0 (silaFparalelna osi z) ilih = 0 (silaFsijee os z)

    5.2 MOMENTNO PRAVILO

    Razmotrimo sustav silaFts hvatitem utoki A. Njihova rezultanta je:

    R = ZF (20)Njen moment za toku O glasi:

    MRR

    = rxR = rxZFt= MO1 +... +M,Fn

    O

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    25/142

    ili:

    (21)

    To je momentno pravilo koje glasi: moment rezultante za neku

    toku

    jednak je zbroju momenata njenih komponenata za istu toku.

    To pravilo vrijedi i za sustav sila s razliitim hvatitima, ako on imarezultantu. Posebno, ako sve sile lee u jednoj ravnini, vrijed i skalama

    jednadba:

    (22)Primjena momentnog pravila olakavaodreivanje momenta sileFza toku O, ako su

    poznate njene komponenteXi Yte koordinate

    x i y njenog hvatita A, tj:MO= Fh = Y x - X y (23)5.3SPREG SILA

    Spreg sila ine dvije jednake paralelne sile suprotnog smjera. Iakonema

    rezultantu (R = F -F =0), taj sustav sila nije u ravnotei ve on nastojiokrenuti

    tijeko u svojoj ravnini.(24)

    Moment sprega sila je vektor okomit na

    ravninu sprega. Smjer toga vektora odreenje pravilom desne ruke, a njegova veliinaiznosi:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    26/142

    M = F a

    Moment sprega silaMje slobodan vektor i

    moe se slobodno pomicati paralelno i du svogapravca. Zato se njegovo djelovanje u ravnini

    prikazuje samo krunom strelicom.

    gdje je: a - krak sprega (meusobnaudaljenost sila).

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    27/142

    Ako na tijelo djeluje viespregova sila s momentima

    M (i = 1, 2, ..., n), oni se mogu

    zamijeniti jednim rezultantnim

    spregom sila momentaM, tj:

    (25)

    Uvjet ravnotee spregova sila je:M= Mi

    i=1(26)

    X M i= 0

    i=1

    U sluaju da spregovi sila djeluju u jednoj ravnini, tada vrijediskalarni

    zapis izraza (25) i (26).

    5.4 REDUKCIJA SUSTAVA SILADjelovanje sile na kruto tijelo nee se promijeniti ako je

    pomaknemo

    paralelno u drugu toku i dodamo spreg sila, iji je moment jednak

    momentu

    sile za tu toku.

    Dokaz ovog pravila oigledan je na osnovi slike:(2. aks iom )

    Ovaj postupak naziva se redukcija sile na toku i moe se

    primijeniti ina bilo koji sustav sila F(i = 1,2,...,n).

    Ako se sve sile nekog sustava reduciraju na proizvoljnu toku O,tada u

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    28/142

    njoj djeluju sustavi konkurentnih vektora silaFi i spregova sila

    momenataMi .

    Vektorski zbroj svih sila F naziva se glavni vektor sustava silaFR, a

    vektorski

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    29/142

    zbroj svih momenata spregova sila Mi naziva se

    glavni moment MR sustava

    sila za toku O.

    Vrijedi:FR =ZFi

    MR = ZMi = ZM(27)

    (28)

    VeliineFR iMRodreuju se analitiki preko svojih projekcija nakoordinatne osi, tj:(29)

    (30)

    FRX=Z Xi , FRy =Z Yi,FRZ=Z Zi

    FR = VFRX+ FRy + F2

    MRX=Z Mix, MRy =Z My , MRz =Z Mu

    MR =VMRX+ MR + MlKut 5izmeu vektoraFR iMR, moe seodrediti na osnovi izraza:

    (31)

    5FRx '

    MRx +

    FRy '

    MRy +

    FRz '

    MRz

    cos 5 = --------------- ----- -------------

    FRMRZakljuimo:

    Redukcija sustava sila na neku toku predstavlja svoenje takvog

    sustava na jednostavniji oblik.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    30/142

    5.5RAVNOTEA SUSTAVA SILASustav sila je u ravnotei, ako je:FR = 0 iMR = 0, tj.(32)FR =0 ^

    FRx =

    FRy =

    FRz =0

    MR =0 ^MRX= MRy = MRZ=0

    Prema tome, na osnovi izraza (29) i (30), analitiki uvjeti ravnoteesustava

    sila u prostoru glase:

    (33)

    1. 2X,. = 0, 2. 2Y = 0, 3. 2Z = 0

    4.2Mix = 0, 5. 2M, = 0, 6. 2M, = 0

    Ako sve sile djeluju u jednoj ravnini, tada uvjeti

    ravnotee dobivaju oblik:

    1.2 X, = 0

    (34)

    2.2 Y= 02MO =0Mogue je koristiti i druge oblike uvjeta

    ravnotee, uz uvjet da budu

    meusobno neovisni.Tako npr. vrijede i sljedei uvjeti

    ravnotee:

    1.2MA=0

    (35)

    2.2MB =0

    5.62Mc =0RJEAVANJE ZADATAKA RAVNOTEE TIJELAPri rjeavanju zadaa ravnotee vezanog tijela, koje je optereeno

    proizvoljnim sustavom sila, veze je potrebno ukloniti i zamijeniti

    njihovim

    reakcijama. Nepoznate reakcije odreuju se primjenom uvjeta

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    31/142

    ravnotee (33) ili(34).Zadatak je statiki odreen samo ako broj nepoznanica nije veiod broja

    uvjeta ravnotee (6u prostoru, 3 u ravnini). Postupak rjeavanjazadataka

    ravnotee krutog tijela, jednak je kao kod estice.Primjer:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    32/142

    6.TRENJE

    Dodirne povrine tijela u stvarnosti nisu glatke nego su hrapave, toznaida se pri meusobnom pomicanju dva tijela koja se dodiruju javljaotpor nazvan

    trenje.

    U ovisnosti od karaktera gibanja tijela u dodiru, razlikujemo trenje

    klizanja i trenje kotrljanja.

    6.1 TRENJE KLIZANJA

    Kada jedno tijelo teine Gklie, ili tei da klie, po drugom tijeluhrapave povrine pod djelovanjem neke sileF, na mjestu dodira djelujenormalna silaNkao kod idealno glatke povrine, ali i tangencijalna silatrenja

    Tkoja se suprotstavlja gibanju. Dakle, trenje predstavlja poseban oblik

    veze.

    (36)Eksperimenti pokazuju da u mirovanju

    tijela (kada je silaFdovoljno mala) vrijedi

    izraz:T

    = UsN

    gdje je: T = Tmax - sila statikog trenja (najveasila koja se pojavljuje neposredno prije poetkaklizanja), uS- koeficijent statikog trenja.

    Ovaj izraz predstavlja Coulombov zakon

    trenja, koji se koristi u tehnikoj praksi zasluaj suhog trenja.gibanje

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    33/142

    (37)

    Ako silaFpostane dovoljno velika da

    svlada otpor podloge, nastupa klizanje tijela. Pri gibanju tijela, izraz

    (36) dobiva

    oblik:T=MKN

    gdje je: T- sila kinetikog trenjaUK- koeficijent kinetikog trenja

    Koeficijenti trenja su bezdimenzionalne veliine koje ne ovise oveliinidodirne povrine, ve samo o njenom materijalu i hrapavosti. Odreujuse

    eksperimentalno. Redovito je: uS>UK.(38)

    Ukupna reakcijaRhrapave povrine na tijelo,ini s njenom normalom tzv. kut trenjap. Slijedi:

    Kut trenja je najvei u graninom sluaju kada jeT = Tmax, odnosno u trenutku kada zapoinje klizanjetijela.

    T

    tanp == uN

    Zato se prouavanje ravnotea tijela uz trenje i razmatra u takvomgraninom sluaju.^ gibanje

    Trenje klizanja javlja se i pri

    dodiru savitljivog tijela, npr. ueta s

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    34/142

    valjkastim krutim tijelom. Zbog trenja,

    sile S1 i S2, koje zateu krajeve ueta,nisu jednake.

    Za smjer gibanja ueta kao naslici, vrijedi Eulerova formula:

    S2= S eua

    (39)

    gdje je: e - baza prirodnog logaritma ( = 2, 7183... )

    u - koeficijent trenja klizanja (na dodiru savitljivo tijelo - kruto tijelo)

    a - obuhvatnim kut savitljivog tijela [rad]

    Valja uoiti da u idealnom sluaju kada trenja nema (u = 0), izraz(39)

    glasi: S1 = S2.

    6.2 TRENJE KOTRLJANJATo je otpor koji nastaje pri kotrljanju cilindrinog tijela po hrapavojpodlozi.

    Ako na takvo tijelo polumjera rdjeluje silaF, zbog teine G tijelapodloga se lokalno deformira. Stoga je reakcijaR podloge na tijelo

    pomaknuta

    u toku B,za veliinu koja se naziva koeficijent trenja kotrljanjaf.Ovaj

    koeficijent ima dimenziju duine ([m]), a ovisi od svojstava materijala

    i stanjadodirnih povrina.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    35/142

    Ako se reakcijaRreducira na toku A i rastavi na komponenteNiT,

    pojavljuje se i spreg sila, koji se naziva moment trenja kotrljanjaMT.Kako jeMT= N f, iz ravnotee tijela slijedi veliina sileF

    potrebna za

    kotrljanje tijela:

    F =f G (40)

    r

    Da bi nastupilo kotrljanje bez klizanja, sila trenja kotrljanja Tmora

    biti

    manja od sile statikog trenja klizanja Tmax , tj.:

    T< Tmx ili

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    36/142

    znaenja za odreivanje potrebnih dimenzija nosaa, ime se osiguravada ne

    nastupe prevelike deformacije ili lom.

    Temeljne zadae statike analize nosaa su odreivanje reakcija u

    osloncima i unutranjih sila.7.1GREDNI NOSAI

    Osnovni tipovi grednih nosaa su:

    Jednostavna

    greda/

    /

    /

    r\uiiuii

    /

    /

    /

    /

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    37/142

    7.1.1 REAKCIJE U OSLONCIMA

    Grede mogu biti optereene razliitim vrstama optereenja, aosnovna

    optereenja su:

    Reakcije u osloncima i zadano optereenje grede moraju biti uravnotei,to znai da se reakcije u osloncima odreuju iz uvjeta ravnotee. Tosu

    analitiki uvjeti ravnotee sustava sila u ravnini, pri emu se koristidesni

    koordinatni sustav ija je oszpostavljena uzdu osi grede.

    7.1.2 UNUTRANJE SILEUnutranje sile pojavljuju se u nekom zamiljenom poprenom

    presjeku

    optereene grede i razdvojene dijelove dre u ravnotei. To su:N- uzduna sila, Q -poprena sila,M- moment savijanja.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    38/142

    Sve ove sile djeluju u teitu T presjeka. Za lijevi (L) i desni (D)dio

    grede, unutranje sile se razlikuju samo po smjeru (zakon akcije ireakcije).

    Veliine unutranjih sila mogu se odrediti iz uvjeta ravnotee, biloza

    lijevi ili za desni dio grede (bira se onaj dio za koji je raunjednostavniji), tj:

    N= ^Z(zbroj projekcija svih sila na uzdunu os z)Q = Z Y(zbroj projekcija svih sila na poprenu os y) (42)

    M= MT(zbroj momenata svih sila za teita T presjeka)Da bi unutranje sile imale isti predznak s bilo koje strane presjeka,

    uvodi

    se dogovor o predznacima, koji se temelji na nainu deformiranjagrede.

    Pozitivni smjerovi unutranjih sila u nekom presjeku z, gledano s lijeve(L) i desne (D) strane su:

    Vidljivo je da silaNoptereuje gredu aksijalno (vlano ili tlano,ovisno o

    predznaku), sila Qna smicanje (popreno klizanje), a momentMsavijagredu.

    Veliine unutranjih sila ovise od poloaja presjeka z grede.

    Grafikiprikaz promjene unutranjih sila du grede, prikazuju tzv. statikidijagrami.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    39/142

    To su:N, Q iMdijagram.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    40/142

    U tim dijagramima pozitivne vrijednosti unutranjih sila crtaju seiznad a

    negativne ispod nul - linije (linija grede). Oblik statikih dijagramaovisi od

    vrste optereenja izmeupromatranih presjeka grede.Za ilustraciju prikaimo statike dijagrame izmeu dva presjeka, za

    osnovna optereenja grede:

    Valja uoiti skokovite promjene u statikim dijagramima namjestima

    djelovanja koncentrirane sileF(u Q dijagramu) odnosno momentaM

    (uM

    dijagramu). Vidljivo je da moment savijanjaMraste na dijelu grede na

    kojem je

    poprena sila Q pozitivna (Q > 0), a opada na dijelu na kojem jepoprena silanegativna (Q< 0). Na mjestu gdje poprena sila Q mijenja predznak(Q = 0),

    moment savijanjaMpoprima ekstremnu vrijednost (maksimum ili

    minimum).

    Mjesto na gredi gdje moment savijanja ima maksimalnu vrijednostM

    = M^,naziva se opasni presjek. Taj presjek je vaan za dimenzioniranjegrede.

    Na osnovi gornjih slika i izraunatih vrijednosti unutranjih sila ukarakteristinim presjecima grede, mogue je nacrtati njene statikedijagrame.Primjer:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    41/142

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    42/142

    7.2 RESETKASTI NOSAIReetkasti nosa (reetka) je konstrukcija sastavljena od ravnih

    tapovameusobno vezanih zglobovima na krajevima. Zglobne veze zovu se

    vorovi ine prenose moment. Ako se uzme da vanjske sile djeluju u vorovima ida su

    teine tapova zanemarive, slijedi da su tapovi reetke optereenisamo

    aksiialno. na vlak ili na tlak.

    Primjeri reetkastih nosaa

    Da bi reetka bila nosa, ona mora biti geometrijski nepromjenljivaodnosno kruta. Zato njeni tapovi moraju biti spojeni tako da inetrokute.

    Reetkasti nosa je statiki odreen ako je zadovoljen uvjet:

    s = 2n - 3 (43)gdje je: s -broj tapova, n -broj vorova.

    Ako je broj tapova vei, reetka je statiki neodreena, a za manjibroj

    tapova reetka postaje labilna (mehanizam).Proraun reetkastih nosaa sastoji se od odreivanja reakcija u

    osloncima

    i unutranjih sila u tapovima.Reakcije u osloncima odreuju se na osnovi analitikih uvjeta

    ravnoteesustava sila u ravnini, pri emu se reetka razmatra kao kruta ploaosloboenaveza.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    43/142

    Sile u tapovima reetke obino se odreuju analitikim metodama,najee metodom vorova i metodom presjeka.7.2.1 METODA VOROVA

    Sile u voru A

    Ova se metoda temelji na uvjetu da sve sile, vanjske (aktivne sile ireakcije u osloncima) i unutranje (sile u tapovima), koje djeluju na

    jedan vorreetke, moraju biti u ravnotei ako je i cijeli nosa u ravnotei. Prematome,

    ako se iz reetke izdvoji neki vor te ucrtaju sve sile u njemu,nepoznate

    unutranje sile S u presjeenim tapovima mogu se dobiti iz analitikihuvjeta

    ravnotee konkurentnog ravninskog sustava sila.

    Uvjeti ravnotee Sile u tapovima

    1. Ix=o s,2. 1LY=0 ~S2

    C - -S S58. 2Me=0 S6GEOMETRIJSKE ZNAAJKE TIJELA I PLOHA8.1 TEITE

    Na svaki djeli tijela djeluje privlana sila sila Zemlje, kojapredstavlja

    njegovu teinu Gt(i = 1, 2, ... , n). Rezultanta takvog sustava vezanihparalelnih

    sila je teina tijela G, ija je veliina:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    46/142

    G = G, (44)

    Hvatite teine tijela naziva se

    teite T. Njegov poloaj s obzirom natijelo ostaje uvijek nepromijenjen bez

    obzira na poloaj tijela u prostoru.Primjenom momentnog pravila za

    koordinatne osi, jednostavno je odrediti

    poloaj teita tijela.Koordinate teita su:Z

    G.x.. Z

    G.y.. Z

    G>

    z>

    (45)

    x

    yT

    T

    T

    G

    G

    G

    gdje su:xi ,,yi ,zi - koordinate i - tog djelia tijela.Kod homogenog tijela gustoa materijala jednaka je za sve njegove

    djelie, tj.p = konst. Kako je Gmg = pVg, iz (45) slijede koordinateteitavolumena:

    Z vx,

    ZV z

    x. Zvy

    yT =

    (46)xT

    =

    VV

    V

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    47/142

    gdje

    je:V- volumen itog djelia tijela; V = Zv - volumen tijela.

    Ako je jedna dimenzija tijela mala u odnosu na ostale dvije, radi se

    o

    povrini (npr. tanka ploa). Koordinate teita povrine u njenojravnini,

    dobivaju se analogno i iznose:

    ZA x

    > .

    ZA

    >y>

    x

    yT

    A

    A

    gdje je: Ai -povrina itog djelia tijela. AZA, -povrinatijela.Izraz (47) koristi se i u sljedeem obliku:S

    Sx_

    A

    y

    xT

    yr

    A

    (48)

    gdje su:S

    x =1A

    ,yS

    y=1 A.xi - statiki momenti povrine za osi x iyJedinica statikog momenta povrine je [m ].

    Zl>

    x>

    (49)

    xT=

    l

    Ako su dvije dimenzije tijela zanemarive,

    tijelo prelazi u liniju (npr. tap). Koordinateteita linije u ravnini glase:gdje je: lt- duina i -tog djelia tijela;l= Zl, - duina tijela.Z

    l>y>

    yT =

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    48/142

    l

    Prema tome, teita homogenih tijela odreuju se kao teitavolumena,

    povrina i linija, a ovise samo od geometrijskih svojstava tijela.Svi gornji izrazi su priblini. Toni izrazi dobivaju se ako se uzme

    da

    tijelo ima beskonano mnogo djelia i razmotri granini sluaj. Kako je zbrajanje beskonano malih veliina zapravo integriranje, u svimizrazima znak

    zbroja (Z) treba zamijeniti znakom integrala (J). Takvi izrazi vrijede u

    opemsluaju, dakle i za nehomogena tijela.

    Tako npr. izraz (47) dobiva oblik:x(50)

    A JxdA;yT = A JydA

    AAgdje je: dA -povrina djelia tijela;A = JdA -povrina tijela.os simetrije

    Postupak traenja poloaja teita tijela moe se znatnopojednostaviti ako

    je tijelo simetrino, zatim pogodnim izboromkoordinatnog sustava, te odgovarajuom

    zamiljenom podjelom tijela na jednostavnijedijelove.os simetrije

    Kod simetrinih tijela teite se uvijeknalazi u ravnini, na osi ili u toki simetrije.Ako se tijelo moe rastavitina konaan broj dijelova iji je poloaj teita

    poznat, tada se koordinate teita tijela odreuju na osnovi izraza (46),(47) i

    (49). Kod tijela s izrezima, volumene i povrine takvih izreza treba uvrstiti s negativnim predznakom. Tako npr.,

    ako su koordinate teita dijelova 1, 2 i 3 sloenog lika

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    49/142

    poznate: T1(x1;y1), T2(x2;y2), T3(x3;y3), koordinate teitaT sloenog lika glase:A

    iX

    i A1^1A2^2 + A3%3A A1A2 +A3^ Ai y i _A1y1A2y 2 + A3y 3yT _

    AA1

    A2 +

    A3

    8.2 MOMENTI TROMOSTI I OTPORA

    U statici elastinih tijela koriste se karakteristine geometrijskeveliinenjihovih poprenih presjeka povrineA. To su:

    1. Momenti tromosti povrine

    Aksijalni momenti tromosti oko osi x iy :(51)1x _Jy2

    dA; 1 y _Jx2

    dA

    Polarni moment tromosti oko pola P:

    Jedinica momenata tromosti povrine je [m ].Polumjer tromosti oko

    osi x i y:y

    A

    (53),X

    1/A; iy

    'Jedinica polumjera tromosti je [m].

    Moment tromosti sloenog presjeka za neku os jednak je zbrojumomenata tromosti pojedinih njegovih dijelova za istu os.

    Npr.

    I=I+1-1-11 x 1x1^

    1x 2 1 x 3 1 x 4

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    50/142

    Moment tromosti presjeka za os paralelnu

    teinoj osi, mogue je dobiti na osnovi tzv.Steinerovog pravila.

    (54)

    Npr., ako je poznat moment tromosti presjeka

    za njegovu teinu os x, za paralelnu osx1 naudaljenosti a, moment tromosti glasi:

    Ix1 = Ix + a A

    2.Momenti otpora povrine

    Aksijalni momenti otpora oko osi x i yW

    (55)

    W,-^gdje su: xmax iymax - najvee udaljenosti konture presjeka odkoordinatnih osi.

    Polarni moment otpora oko pola P:

    Wh-p

    r

    max

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    51/142

    gdje je: r

    najvei polumjer konture presjeka (vrijedi samo za krune iprstenaste presjeke).Jedinica za momente otpora je [m

    3].

    Valja naglasiti da se momenti otpora povrine ne mogu zbrajati.

    Veliine momenata tromosti i otpora nekih jednostavnih povrina

    presjeka:

    bh3

    12

    I=

    I=

    I* _jy _ j _I: _

    D

    (1* * * 64 64 64

    TnD4(1 4)

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    52/142

    jp _ ir(1 _ ^

    ) ;

    "*_"=

    i D 3(1 _ ^4) ;

    wp _ n D "(1 _ ^

    4)

    j _T_nD4T_ nD4

    * _ _ 64 ; p _ 32 ;" _ W _; Wp _

    * 32 p 16gdje je

    :y/_ D.

    hb_

    12

    4

    III STATIKA ELASTINIH TIJELA1.OSNOVNI POJMOVI I ZADACI

    Svako vrsto tijelo pod djelovanjem vanjskog optereenja mijenjasvoj

    oblik i volumen, a u njemu se pojavljuju unutranje sile. Promjenaoblika i

    volumena tijela naziva se deformacija, a specifino optereenje tijelaizazvano

    njegovim unutranjim silama predstavlja naprezanje.Nakon rastereenja deformacije mogu nestati (elastine

    deformacije) ili

    ostati trajne (plastine deformacije).Analizom naprezanja i deformacija elastinih tijela kao elemenata

    tehnikih konstrukcija, bavi se elastostatika ili nauka o vrstoi. Njeniosnovni

    zadaci su prouavanje vrstoe, krutosti i stabilnosti konstrukcija, kojemoraju

    ispunjavati i zahtjeve sigurnosti i ekonominosti.vrstoa konstrukcije je njezina sposobnost da prenese optereenje

    bezloma, trajnih deformacija ili oteenja (pukotina).Krutost konstrukcije podrazumijeva njezinu otpornost prema

    deformiranju.

    Stabilnost jest sposobnost konstrukcije da zadri poetni ravnotenioblik.

    Pri analizi konstrukcija, uvode se odreene pretpostavke kojepojednostavljuju rjeavanje i osiguravaju inenjersku tonost (pogrekamanja

    od 5%). Najvanije pretpostavke su izotropnost i homogenostmaterijala (ista

    svojstva u svim tokama i pravcima), te male deformacije (u odnosu na

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    53/142

    veliinutijela).

    Kakve e deformacije vrstog tijela nastupiti pod utjecajemvanjskih sila,

    ovisi o vrsti optereenja. To se moe pokazati na primjeru tapa kaonajvanijeginajjednostavnijeg konstrukcijskog elementa.

    Osnovne vrste optereenja:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    54/142

    Aksijalno optereenje. Sile djeluju uzdu osi tapa, tako da njegovooptereenje moe biti vlano (rastezanje), to izaziva produljenje tapa,slika a,

    ili tlano (sabijanje), koje proizvodi skraenje tapa, slika b.

    Smicanje. Sile djeluju u ravnini poprenog presjeka tapa i nastojeizazvati

    klizanje jednog njegovog dijela u odnosu na drugi, slika c.

    Uvijanje (torzija). tap je optereen spregovima sila koji lee uravnini

    njegovogpoprenog presjeka, slika d.Savijanje. Takvo optereenje tapa moe biti spregovima sila, slika

    e, ili

    silama u ravnini koja prolazi kroz njegovu os, slika f. U prvom sesluaju radi oistom savijanju,dok drugi sluaj predstavlja savijanje silama.

    Izvijanje. Tlano optereenje vitkog tapa (dug i tanak tap), kadasila

    prijee odreenu graninu vrijednost, dovodi do iskrivljenja osi tapa,tj. do

    njegovog bonog izvijanja, slika g. Izvijanje je, zapravo, gubitakelastine

    stabilnosti tapa.Za prikazana optereenja, navest emo izraze za odreivanje

    naprezanja i

    deformacija.

    2.NAPREZANJA I DEFORMACIJE

    Ako na neko tijelo djeluju vanjske sile, one nastoje da priblie ilirazdvoje

    pojedine estice tijela, emu se suprotstavljaju unutranje sile kojedjeluju meu

    esticama. Pretpostavimo da se tijelo pod djelovanjem vanjskih silaF(/ = 1, 2,..., n) nalazi u ravnotei. Ovo znai da je uspostavljenaravnoteaizmeu vanjskih i unutranjih sila i da je deformiranje zavreno.U nekoj toki O presjeka, naprezanje se definira vektorom:

    U zamiljenom presjeku tijela ravninom djeluju unutranje sile,koje

    predstavljaju utjecaj odstranjenog dijela. Mjera intenziteta ovih sila

    naziva senaprezanje, i podrazumijeva veliinu unutranje sile svedenu na

    jedinicu

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    55/142

    povrine.

    dFp

    (i)dAgdje je: dF- elementarna unutranja sila, dA - elementarna povrina

    presjeka oko

    toke O.2

    Jedinica za naprezanje je paskal [Pa = N/m ].

    U opem sluaju, vektorpmoe se rastaviti na dvije komponente:- normalno naprezanje o (okomito na presjek - pravac normale n) i

    - tangencijalno naprezanje t(lei u ravnini presjeka - pravac tangente

    t).Deformacija u nekoj toki tijela, moe se opisati

    promjenom

    elementarnih duina i kutova njezine okolice. Za

    toku O i dva meusobno

    okomita pravca povuena kroz nju, mjere

    deformiranja su:

    (2)

    s

    Duljinska deformacijas definira se kao relativnoproduljenje elementarne duine na pravcu, tj. kaoomjer produljenja i poetne duine:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    56/142

    Kutna deformacijay definira se kao promjena

    prvobitnog pravog kuta izmeu dva pravaca kroztoku:A(dl)

    dl

    a

    Y

    (3)Deformacije su bezdimenzionalne veliine. Duljinsku deformacijusizaziva

    normalno naprezanje a, a kutnu deformacijuy izaziva tangencijalno

    naprezanje

    T.U tehnikoj praksi deformacije su vrlo male, reda veliine 10-3 i

    manje.3. HOOKEOV ZAKON

    Meusobna ovisnost izmeu naprezanja i deformacija svakogvrstog tijelaovisi o fiziko-mehanikim svojstvima materijala od kojeg je tijeloizgraeno, autvruje se eksperimentalno. Rezultati pokusa najee se prikazujudijagramom, u kojem se daje ovisnost naprezanja o deformaciji, tj.: a-

    s ili T-

    y.Prema obliku dobivenih dijagrama, tehniki materijali se dijele nakrhke i

    rastezljive.Tijelo od krhkog materijala (npr. kaljeni elik,sivi lijev, beton itd.) prije loma dobiva male

    elastine deformacije (eei), za razliku od tijelaizgraenog od rastezljivog materijala (npr. mekielik, bakar, bronca itd.), koje nakon poetnihelastinih deformacija pokazuje sposobnostznatnih plastinih deformacija (epi) prije loma.

    Vane toke nadijagramu s odgovarajuimnaprezanjima su:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    57/142

    cei

    cfil

    P ^ gp- granica proporcionalnosti (do te toke ovisnost naprezanja ideformacije je linearna, a deformacije su elastine);T ^ gt- granica teenja (od te toke zapoinju velike deformacije, tzv.teenje materijala, pri emu su takve deformacije plastine);

    ^ gm- granica vrstoe (najvee naprezanje koje materijal moepodnijeti

    prije loma).

    Prema tome, pri malim elastinim deformacijama (do toke P),postoji

    proporcionalnost izmeu naprezanja i deformacija, tj.:a _ E s (4)

    ili t_G y (5)

    a

    M

    gdje je:E- modul elastinosti [Pa], G - modul smicanja [Pa]. To sukonstantne

    veliine za odreeni materijal. Npr. za elik vrijedi:E= 210 GPa i G =80 GPa.

    Izrazi (4) i (5) predstavljajuHookeov

    zakon. To je temeljni zakon nauke ovrstoi, jer sva dobivena rjeenja vrijedesamo u njegovim granicama, tj. do granice

    proporcionalnosti.

    Da bi konstrukcija u radu bila sigurna

    (bez loma ili trajnih deformacija), njeno

    najvee naprezanja mora biti manje odnekog doputenog naprezanja, koje sedefinira kao:

    a

    ad_S~" krhki materijali; ad_^T- - rastezljivi materijali

    4. gdje je: S- koeficijent sigurnosti (S> 1).AKSIJALNO

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    58/142

    OPTEREENJERazmotrimo tap proizvoljnog poprenog presjeka povrineA na

    krajevima optereen silama F, koje djeluju du njegove osi z. U nekompoprenom presjeku tapa, pojavljuju se unutranje sile koje suparalelne

    njegovoj osi. Njihova rezultanta je uzduna sila N. To znai da se usvakoj toki

    presjeka pojavljuje samo normalno naprezanje a.

    Na svakoj elementarnoj povrini dAdjeluje normalna unutranja silaa dA. Uvjet ravnotee dijela tapa glasi:ili(-)

    N - F = 0

    Ja dA = F

    Kako je raspodjela naprezanja po presjeku jednolika, tj. a= konst.,

    slijedi

    naprezanje:

    N

    a =A

    Z7 A T

    (7)

    a =iliA

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    59/142

    U sluaju vlanog optereenja tapa (N > 0), naprezanje jepozitivno (a >

    0), a kod tlanog optereenja (N < 0), naprezanje je negativno (a < 0).Aksijalno optereenje

    tapa duljine l, uzrokujepromjenu njegove duljine za

    Al . Pri vlanomoptereenjuAl > 0 (produljenje) , a pri

    tlanom Al< 0 (skraenje).

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    60/142

    Uzimajui u obzir Hookeov zakon (4), uzduna duljinskadeformacija

    tapa iznosi:Al a

    (8)Sl E

    Ako se u izraz (7) uvrsti izraz (8), slijedi promjena duljine tapa:Al(9)

    Nl

    EAVeliina EAnaziva se aksijalna krutost tapa i

    predstavlja mjeru opiranja

    tapa deformiranju u pravcu njegove osi.

    U sluaju da se popreni presjek tapa i/ilinjegovo optereenje mijenjaju skokovito, tadaukupno produljenje tapa iznosi:(10)

    AlZ^ EAgdje je: lt- duljina i-tog dijela tapa na kojem jeNt= konst. iEiA t= konst.

    Promjena duljine tapa moe nastati i zbog promjene njegovetemperature za

    At i iznosi:

    AlalAt (11)gdje je: a - koeficijent toplinskog rastezanja [K

    -

    1].

    Pri tome je toplinska deformacija tapa:(12)

    Al

    sTaAt(13)Ako je promjena duljine tapa sprijeena, npr. zbog nepominih i

    krutihstijenki izmeu kojih je tap uvren, tada se pojavljuje toplinskonaprezanje:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    61/142

    aTsTEaEAt

    Naprezanje u tapu je tlano (aT< 0), ako se temperatura povisi (At> 0). Pri

    smanjenju temperature (At < 0), u tapu se pojavljuje vlanonaprezanje (aT>

    0).

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    62/142

    Odreivanje dimenzija tapova ili njihova provjera za zadanooptereenje,izvodi se prema:

    1.Uvjet vrstoe: ox = Nj-

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    63/142

    Iako je rasporedjela T naprezanja neravnomjerna po presjeku, u

    praksi se

    uzima da je T = konst., pa iz izraza (16) slijedi naprezanje:

    F T Q

    (17)

    T = ili T = A A

    Ovaj izraz je priblian, a koristi se kod dimenzioniranja ili kodprovjere

    vrstoe konstrukcijskih elemenata izloenih istom smicanju.Uvjet vrstoe glasi:

    T

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    64/142

    Trup zakovice bit e prerezan u tom presjeku, ako silaFbudedovoljno velika.

    (20)

    Uvjet vrstoe na smicanje zakovice je:T=

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    65/142

    6.UVIJANJE

    Uvijanje tapa izazivaju momentiMtkoji djeluju u ravnini njegovog poprenog

    presjeka. Kako su u praksi najei tapoviokruglog poprenog presjeka, moe se uzetida se pri uvijanju popreni presjeci nedeformiraju ve se zakreu kao krute figure oko osi tapa z. To znaida se u tim

    presjecima pojavljuju samo tangencijalna naprezanja t.Prikaimo tap koji je uklijeten na jednom kraju, a na drugom

    optereenvanjskim momentom uvijanjaMt. Eksperimenti pokazuju da se svaka

    njegova

    izvodnica nakon deformiranja zakree za konstantan kuty, kojipredstavlja

    kutnu deformaciju (kut smicanja).

    Kvadrat na povrini tapa poprima oblik romba, to znai da jeizloensmicanju tangencijalnim naprezanjima t. Meusobni zakret krajnjih

    poprenihpresjeka tapa, opisuje kut uvijanja ^.

    Na osnovi geometrijske analize gornje slike slijedi:Y = r3 (21)

    pa Hookeov zakon (4) glasi:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    66/142

    t= Gy = Gr 3 (22)

    gdje je: 3 =- relativni kut uvijanja (analogans kod aksijalnogoptereenjadz

    tapa).Izrazi (21) i (22) pokazuju day i T, rastulinearno od nule u osi tapa (r =0), do maksimalnevrijednosti na povrini tapa (r = R).

    Na svaku elementarnu povrinu tapa dA djelujeunutranja sila T- dA, pa uvjet ravnotee jednog dijelatapa glasi:(23)

    2 Mz= 0 JVdA - r - Mt= 0

    Nakon uvrtavanja izraza (22) i rjeavanja slijedi:Relativni kut uvijanja:(24)gdje je:Ip - polarni moment tromosti

    povrine presjeka.Veliina GIPnaziva se krutost na uvijanje (torzijska krutost).

    Naprezanje:

    (25)

    Mt

    T=- rIP

    Za r = rmax = R(povrina tapa), slijedi veliina maksimalnog

    naprezanja:M

    tM

    t

    Wp(26)t=

    max

    -r_ =gdje je: Wp -polarni moment otpora povrine presjeka.

    Na slici je pokazana raspodjela naprezanja u poprenom presjekutapa: a)kruni presjek, b) prstenasti presjek.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    67/142

    Kut uvijanja:9 = 3-1 =Mt

    - (27)

    GIPy JJedinica za kut uvijanja je [rad].

    U sluaju da se popreni presjek tapa i/ilinjegovo optereenje mijenjaju skokovito, vrijedi:(28)

    ^M

    ti h.p=5~GJ7

    iPi

    gdje je: - duljina i-tog dijela tapa na kojem jeMtl= konst. i G. Ipi =

    konst.

    Dimenzioniranje ili provjera tapova optereenih na uvijanje,provodi se

    na osnovi:

    1. Uvjet vrstoe:

    Tm = < Td (29)WP

    d

    gdje je: Td- doputeno tangencijalno naprezanje.2. Uvjet krutosti:

    3max =

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    68/142

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    69/142

    7. SAVIJANJE

    Stap je optereen na savijanje kada vanjsko optereenje djeluje uravnini

    koja prolazi kroz njegovu uzdunu osz. Konstrukcijski element oblika

    tapaoslonjen o podlogu i optereen na savijanje naziva se greda, pri emuon dobiva

    zakrivljeni oblik.

    Ako u ravnini optereenja djeluju samo spregovi sila, tap je

    optereen naisto savijanje. U sluaju da u njoj djeluju i sile, radi se o savijanjusilama.

    Razmotrimo najei sluaj istog savijanja tapa, kada su teineosi

    poprenog presjekax i y, ujedno i njegove osi simetrije. Ravninayzjeravnina

    optereenja. Stap je na svojim krajevima optereen spregovima silamomentaM.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    70/142

    Pod djelovanjem optereenja tap se deformira, a njegova uzdunaos

    prelazi u zakrivljenu crtu koja se naziva elastina linija. U ovomsluaju

    elastina linija ima oblik krunog luka (polumjer zakrivljenostip =konst.).

    Ako su deformacije male, moe se pretpostavitida poprenipresjeci tapaostaju ravni i okomiti na elastinu liniju i nakon deformiranja. Pri tomse

    uzduna vlakna na gornjoj strani tapa skrauju a na donjoj produljuju.Naravno,

    postoje vlakna koja ne mijenjaju svoju duljinu a lee u neutralnoj liniji,

    koja u

    poprenom presjeku daje neutralnu os (n-n). Ona se poklapa s osi x.Prema tome, u poprenom presjeku tapa postoje samo normalna

    naprezanja au pravcu osi tapa.Razmotrimo jedan

    deformirani element tapa izmeudva bliska poprena presjeka kojameusobno zatvaraju kut da.Vlakno duljine dzna udaljenostiy

    od neutralne linije produljuje se za

    Adz, uslijed normalnog naprezanja

    a.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    71/142

    Uzduna deformacija togavlakna, prema definiciji je:

    Adz = yda

    dz p da

    EE

    a = Es =yp

    Jednadba ravnotee elementa tapa glasi:2Mx = 0M -jadA - y = 0

    Uvrtavanjem izraza (32), slijedi zakrivljenost elastine linije:P EIx

    1M

    gdje je:Ix - aksijalni moment tromosti povrine presjeka za os x(neutralna os).VeliinaEIXnaziva se krutost na savijanje.

    Prema Hookeovom zakonu, naprezanje iznosi:y

    p

    (31)

    s

    (32)

    (33)

    (34)

    Uvrtavajui izraz (34) u izraz (32), dobiva se naprezanje:T = Yy (35)Pomou ovog izraza mogue je odrediti naprezanje u bilo kojoj

    toki

    presjeka tapa. Moe se zakljuiti da je raspodjela normalnognaprezanja o

    linearna po visini poprenog presjeka. U tokama neutralne osi (y = 0),

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    72/142

    naprezanja nema, dok se najvea naprezanja pojavljuju u tokamapresjeka koje

    su najudaljenije od neutralne osi (y = ymax).

    Maksimalno naprezanje ima veliinu:MMTmax T

    ymax

    (36)

    Raspodjela normalnih naprezanja u poprenom presjeku prikazana jesljedeomslikom:

    Kod savijanja silama, u poprenom presjeku tapa pojavljuje se i tangencijalno naprezanje Tizazvano poprenom silom Q. Meutim,

    ono je u

    pravilu mnogo manje od normalnog naprezanja o, pa ga neemoodreivati.

    Prema tome, uvjet vrstoe na savijanje glasi:

    MTmax

    gdje je: Mmax - maksimalni moment savijanja u opasnom presjeku

    tapa,

    od- doputeno naprezanje na savijanje.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    73/142

    Elastina linija predstavlja mjeru deformacije tapa pri savijanju.Poznavanje njezinog oblika vano je pri ispitivanju krutosti ovakooptereenihkonstrukcijskih elemenata.

    Jednadba elastine linije u opem sluaju ima obliky = y (z).Vertikalni

    pomak teita T presjeka tapa u nekoj toki naziva se progibf, a kutzakreta

    tangente tna elastinu liniju naziva se nagib ^.Podaci o elastinim linijama za razliito optereene grede, mogu se

    nai utehnikim prirunicima.Primjer:

    cp = nagibmax

    2EIX

    progib7. IZVIJANJE

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    74/142

    B

    Kod tlano optereenih tapova koji imajurelativno veliku duljinu u odnosu na dimenzije

    poprenog presjeka (tzv. vitki tapovi), moe doi dosavijanja u stranu, odnosno izvijanja. Takvo krivljenje

    tapa izazvano je aksijalnom a ne poprenom silom i predstavlja gubitak stabilnosti oblika. Gubitak

    stabilnosti i pored ispunjenih uvjeta vrstoe i krutosti,neizbjeno vodi do loma tapa. To znai da sigurnostkonstrukcijskog elementa iji deformirani ravnotenioblik nije stabilan, zapravo i ne postoji. Prema tome,

    osim vrstoe i krutosti konstrukcije, prvorazrednoznaenje ima i pitanje njezine stabilnosti. Ovo je

    posebno izraeno u suvremenim konstrukcijama, gdjese do minimuma smanjuju poprene dimenzije zbog uporabe otpornijihmaterijala i nastojanja da se teina to vie smanji.

    Najmanja sila pri kojoj se tap izvija, naziva se kritina silaFkr.Njena

    veliina definirana je Eulerovim izrazom, koji glasi:(38)

    F=n EI

    min

    kr i2lc\

    gdje je:Imin - minimalni aksijalni moment tromosti presjeka tapa(izvijanje se

    uvijek odvija oko osi presjeka za koju je krutost tapa najmanja,odnosno za koju je aksijalni moment tromosti najmanji),

    l0 - slobodna duljina izvijanja.

    Na slici su prikazani osnovni oblici i slobodne duljine izvijanja za

    razliite

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    75/142

    naine uvrenja tapa.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    76/142

    U trenutku izvijanja tapa, kritino naprezanje iznosi:* - T -9 (39)gdje je: 9 --bezdimenzijska karakteristika tapa koja se nazivavitkost

    ^min

    tapa,

    zm,n -J- minimalnipolumjer tromosti presjeka tapa.

    Izrazi (38) i (39) vrijede samo u

    elastinom podruju, tj. za naprezanja:akr 9E

    gdje je: 9P-n -----------granina vitkost (npr. elik9P 100).a,

    Priprovjeri stabilnosti oblika, mora se voditi rauna da tap imaizvjesnu

    sigurnost protiv izvijanja, to znai da naprezanje mora biti manje oddoputene vrijednosti, tj.:(40)

    gdje je: S- koeficijent sigurnosti (stabilnosti). On ovisi o materijalu,

    vitkosti i

    drugim faktorima (npr. za elik vrijedi S -1,5 * 3 i vie).

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    77/142

    IV. KINEMATIKAKinematika prouava geometrijska svojstva gibanja tijela ne

    uzimajui uobzir njihovu masu i sile koje na njih djeluju.

    Temeljni zadatak kinematike je odreivanje kinematikih veliina(putanja, brzina i ubrzanja) pojedinih toaka tijela. Kinematikeveliinefunkcije su vremena.

    1.KINEMATIKA CESTICE

    1.1 OSNOVNE KINEMATIKE VELIINESvaka toka tijela ili estica opisuje pri gibanju krivulju koja se naziva

    putanja. Ovisno o njenom obliku, gibanje moe biti pravocrtno i

    krivocrtno.

    Poloaj estice u prostoru,odreen je vektorom poloaja r,(1)

    ili vrh slijedi putanju estice.

    Dakle rje funkcija vremena, tj.:r = r(t)

    To je jednadba gibanja estice uvektorskom obliku.

    U intervalu vremena At, esticaprelazi iz poloaja A1u poloajA2na putanji, pri emu se vektorrpromijeni za AF .Omjer prirasta vektora poloaja i prirasta pripadnogvremena, naziva se

    srednja brzina estice Vsr:(2)

    r Ar

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    78/142

    V =

    sr

    At

    VektorVsr ima isti pravac i smjer kao i vektorAr.

    V:

    Granina vrijednost izraza (2), daje trenutnu brzinu estice(3)

    r... Ar dr r

    v = lim== r

    AtAt dt

    (4)a

    sr

    Dakle, vektor brzine jednak je prvoj derivaciji vektora poloaja povremenu. On

    ima pravac tangente na putanju u datoj toki i smjer gibanja.Jedinica za brzinu je [ms

    -1].

    U promatranom intervalu

    vremena At, promijenit e se i

    vektor brzine Vza Av.

    Omjer prirasta vektora brzine

    i prirasta pripadnog vremena,

    naziva se srednje ubrzanje esticeAv

    At

    sr

    Vektorasr ima isti pravac i smjer

    kao i vektor Av.

    Granina vrijednost izraza (4), daje trenutno ubrzanje estice a:-Av

    a = lim -----

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    79/142

    At 0At

    dv

    dt

    (5)

    =v=r

    Prema tome, vektor ubrzanja jednak je prvoj derivaciji vektora brzine

    po

    vremenu, odnosno drugoj derivaciji vektora poloaja po vremenu.Vektor

    ubrzanja uvijek je usmjeren u konkavnu

    stranu putanje estice.Jedinica za ubrzanje je [ms

    -2].

    U opem sluaju, svakom trenutku

    vremena todgovara odreeni vektorr, v ia.

    1.2PRAVOCRTNO GIBANJE

    Izvodi ga estica ija je putanja pravac. Ako se ishodite vektorapoloajaodabere u jednoj toki putanje, tada se vektori r, v i a, poklapaju s

    putanjom,

    pa vektorsko opisivanje nije potrebno.

    Poloaj estice prikazuje se njenom udaljenou od ishodita O, koja senaziva puts.Vrijedi:

    (6)

    s = s(t)

    To je zakon pravocrtnog gibanja

    estice.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    80/142

    Jedinica za put je [m].

    Prema izrazu (3), brzina estice je:(7)

    ds

    v ==sdt

    a prema izrazu (5), njeno ubrzanje iznosi:dv

    a == v = sdt

    (8)

    Predznacis, v i a, odgovaraju

    smjeru gibanja estice. Ako supredznaci v i a jednaki, gibanje

    estice je ubrzano. U suprotnom,gibanje estice je usporeno.

    U sluaju da je poznato ubrzanje aestice, tada se brzina v i putsmogu

    odrediti integriranjem, tj.:dv

    dt

    dv = adt| |

    = | adt + C1

    = | vdt + C2

    a =

    (9)

    dsv =^ ds = vdt

    dt

    s

    gdje su: Cj i C2konstante integracije, za ije se odreivanje morajupoznavati

    poetni uvjeti, odnosno vrijednosti s i v na poetku gibanja.Radipreglednosti,

    esto se promjene

    kinematikih veliina:s(t),v(t) i a(t), prikazuju

    grafiki tzv. kinematikim

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    81/142

    dijagramima:

    k " CL

    i

    1.2.1 JEDNOLIKO GIBANJE

    Takvo gibanje izvodi estica ija je brzina konstantna (v = konst.), aubrzanja nema (a = 0).

    Razmotrimo esticu kojazapoinje gibanje iz nekog

    poloaja A0, udaljenog za s0od ishodita O. U tom

    poetnom trenutku vremenat0, poetna brzina esticeiznosi v0.

    Nakon vremena testica se pomjeri u poloaj A, pri emu njena brzinaostaje

    ista. Na osnovi izraza (9) slijedi:

    s = J vdt + C = vt + C

    Poetni uvjeti glase: u trenutku t= 0, s = s0 ^ C = s0, to uvrteno ugornji

    izraz daje prijeeni put:s = s0 + vt (10)

    Kinematiki dijagramijednolikog gibanja estice imaju izgled:

    1.2.2 JEDNOLIKO PROMJENLJIVO GIBANJE

    Pri ovakvom gibanju, ubrzanje estice je konstantno (a = konst.).Na

    osnovi izraza (9) moe se pisati:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    82/142

    v

    = J adt + C1 = at + C1

    Poetni uvjeti glase: u trenutku t= 0, v = v0 ^ Cj = v0, to uvrteno ugornji izraz daje brzinu:

    v = v0 + at (11)

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    83/142

    = | vdt + C2 =| (v0 + at )dt + C2 = v0t +a+ C

    2~V0

    l 121^2

    s

    Vrijedi i:

    Poetni uvjeti glase: u trenutku t= 0, s =s0 ^ C2 = s0,to uvrteno ugornji izraz daje prijeeni put:(12)

    at2

    s = s0 + v0t + 2

    Izrazi (11) i (12) vrijede za jednoliko ubrzano gibanje (a > 0). Za

    jednoliko usporeno gibanje (a < 0), u te izraze treba ubrzanje uvrstiti s

    negativnim predznakom.

    Kinematiki dijagramijednoliko promjenljivog gibanja esticeimaju

    izgled:

    Tipini primjeri jednoliko promjenljivog gibanja estice su slobodanpad

    2

    (v0 = 0; a =g = 9,81 ms' - gravitacijsko ubrzanje) i vertikalni hitac

    (prema

    dolje: a = g; uvis: a = - g).

    1.3KRIVOCRTNO GIBANJEKinematike veliine pri krivocrtnom gibanju estice obino se

    prikazuju

    u nekom koordinatnom sustavu. Najee se koriste pravokutniDescartesov

    koordinatni sustav i prirodni koordinatni sustav.

    1.3.1 PRIKAZIVANJE U DESCARTESOVOM K. SUSTAVU

    Poloaj estice u ovom koordinatnom sustavu, odreen je njenimkoordinatama, koje ovise od vremena, tj.:

    (13)

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    84/142

    x =x(t) ;y = y(t) ;z = z(t)

    To su jednadbe gibanja estice uDescartesovim koordinatama.

    Vektor poloaja estice u tom sluaju glasi:(14)

    r = xi + yj + zk

    gdje su: i,j, k-jedinini vektori koordinatnih osi x,y, z (ne ovise o vremenu t).

    Vektor brzine je:

    (15)

    v = r = xi + yj + zk

    gdje su veliine komponenata vektora brzine upravcima koordinatnih osi:

    (16)

    dxdt

    & = dv

    dt

    dz

    dt

    Veliina i pravac vektora brzine su:v

    = a/v2 + v2 + v2

    (17)

    v

    cos av=; cosf3v=; cosyv =z

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    85/142

    v

    v

    va = v = r = xi + yj + zk

    (18)

    Vektor ubrzanja glasi:(19)

    ax=

    x =av = v =

    az= z =

    z

    gdje su veliine komponenata vektora brzineu pravcima koordinatnih osi:

    d2x

    d2

    d2y~dtY

    d2 z

    ~dF

    Veliina i pravac vektora ubrzanja su:=V

    a

    a

    (20)

    a

    zcos

    Ya =

    acosa

    a = ~ ;cos

    Pa =

    aaaX +

    al+

    aZ

    y .

    a

    Ako se estica giba u ravnini, vektori poloaja, brzine i ubrzanjaimaju

    samo po dvije komponente u toj ravnini.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    86/142

    1.3.2 PRIKAZIVANJE U PRIRODNOM KOORDINATNOM

    SUSTAVU

    Prirodni koordinatni sustav vee se za esticu koja se giba, a inega dvije

    meusobno okomite osi: tangenta Ti glavna normalaN, definiranesvojim

    jedininim vektorima rT i eN.

    s = s(t)

    Pozitivan smjer osi Tbira se

    proizvoljno, dok je pozitivan smjer

    osiNonaj koji gleda prema sredituzakrivljenosti putanje C s

    Tpolumjerom zakrivljenostiR.Poloaj estice A na putanji,

    odreen je duljinom lukas, mjereno sobzirom na poetni poloaj A0. Dakles je krivocrtna koordinata i funkcija

    je vremena, tj.:

    (21)

    To je jednadba gibanja estice u prirodnim koordinatama.Za beskonano male pomake estice na putanji vrijedi: dr * dseT, pa

    vektor brzine estice glasi:(22)dr ds _

    v = r =

    =eT= seTdt dtVektor brzine poklapa se s osi T, a veliina brzine estice iznosi:v

    = s

    (23)Vektor ubrzanja estice je:a = v ==d

    (seT) = SeT+ SeT

    (24)

    dt dt

    Kako jedinini vektoreTmijenja svoj pravac tijekom vremena (pripadapominom k. sustavu), vrijedi:rS r

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    87/142

    eT = R

    eN

    pa izraz (24) dobiva oblik:a

    =Se

    T +eN

    (25)

    R

    Oigledno je da vektor ubrzanja ima dvijekomponente u pravcima k. osi TiN.

    Veliine komponenata ubrzanja su:(26)

    tangencijalna komponenta aT= s

    normalna komponenta aN = RVeliina i pravac vektora ubrzanja

    iznose:a = \l a'T + a'Na

    (27)

    cosa

    a

    Vektori tangencijalnog ubrzanja aTi brzine V imaju isti pravac jer

    leena osi T.Ako ti vektori imaju isti smjer, gibanje estice je ubrzano. U suprotnom, njeno je gibanje usporeno. U sluaju da je aT=0, gibanjeestice je

    jednoliko (v = konst.). Vektor normalnog ubrzanja aNlei na osiNiuvijek je

    usmjeren prema sreditu zakrivljenosti C putanje. Ako je putanjaestice pravac,tada je a

    rN= 0 .

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    88/142

    2. KINEMATIKA KRUTOG TIJELA

    Poloaj krutog tijela koje se moeslobodno gibati u prostoru, potpuno je

    odreen koordinatama njegove tri proizvoljne

    nekolinearne toke. Kako je meusobnirazmak tih toaka nepromjenljiv, ostaje estmeusobno neovisnih koordinata poloajakrutog tijela koje su funkcije vremena t, tj.:

    *, = *,(t);yt= yt(t);

    (t)

    AiAj = konst. i, j = 1, 2, 3 (i ^j)

    To sujednadbe opeg gibanja slobodnog krutog tijela. Meutim,slobodna tijela u tehnici praktiki ne postoje, jer su meusobno vezanakao

    dijelovi najrazliitijih konstrukcija. Takve veze smanjuju mogunostigibanjatijela, to znai da se analiza gibanja pojednostavljuje. Zato emorazmotriti

    samo neka od osnovnih gibanja tijela u tehnikoj praksi i to:translaciju,

    rotaciju i ravninsko gibanje.

    2.1 TRANSLACIJA TIJELA

    To je gibanje krutog tijela kod kojeg svaki njegov pravac ostaje

    paralelansvom prvobitnom poloaju. Ovo znai da sve toke tijela opisujusukladne

    putanje, a prema njihovom obliku translacija moe bitipravocrtna ikrivocrtna.

    Poloaj dviju proizvoljnih toaka tijela A i B, definiran jevektorima

    poloaja rA i rB.Iz slike je vidljivo:

    r r I d r r \d r rrB = rA + AB \^ vR= v A | ^ aB = aAdt dt

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    89/142

    Dakle, brzine i ubrzanja svih

    toaka krutog tijela pri njegovojtranslaciji su jednaka.

    Prema tome, dovoljno je

    promatrati gibanje samo jedne toke

    tijela, to znai da se translacija krutogtijela svodi na translaciju estice.ROTACIJA TIJELA OKO

    NEPOMINE OSI Pri takvom gibanju sve toke tijela opisuju

    krune putanje sa sreditem na nepominom

    pravcu koji se naziva os rotacije. Pri tome nijenuno da ova os prolazi kroz tijelo.(28)

    Poloaj tijelapotpuno je definirankutom rotacije o , to ga bilo koji pravactvezan za tijelo i okomit na os rotacije, zatvara

    s poetnim poloajem, tj.:p = (p{t

    )

    To je jednadba rotacijskog gibanjakrutog tijela.

    Kut rotacije je pozitivan ako raste u

    smjeru suprotnom gibanju kazaljke na satu.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    90/142

    Jedinica zap je [rad].Promjena kuta rotacije s vremenom, daje kutnu

    brzinu w:

    (29)

    dp

    (Q == p

    dtJedinica za w je [ rad s-1

    ] ili [ s-1

    ].

    Kao mjera brzine rotacije tijela u tehnikoj praksi slui i tzv. brzina vrtnje n [min

    -1]. To je broj punih okretaja tijela (p = 2n) u minuti, pa

    vrijedi:

    (30)

    2n n nn

    O =

    60 30Izraz (29) deriviran po vremenu daje kutno ubrzanje a:

    (31)

    dO

    a == O = pdt

    Jedinica za a je [ rad s-2

    ] ili [ s-2

    ].

    Na osnovi gornjih izraza, moe se zakljuiti da postoji potpunaanalogija

    izmeu kinematikih veliina kod rotacijskog i translacijskogpravocrtnog

    gibanja krutog tijela, tj:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    91/142

    Rotacijsko gibanje Translacijsko pravocrtno gibanje

    s

    D v

    a a

    Tako npr. za jednoliko promjenljivu rotaciju tijela (a = konst.),

    vrijede

    izrazi analogni onim kod pravocrtnog gibanja, tj.:

    aV

    2

    (p = ^Q + G)01 +

    (32)

    gdje je: ^0 -poetni kut rotacije; d0 -poetna kutna brzina.(33)

    (34)

    Slijedei prirodni nain definiranjagibanja, lukskoji neke toka A tijela

    prijee za vrijeme t, iznosi:s = ry

    gdje je: r-polumjer putanje toke.

    Brzina toke vima veliinu:v = s = ry = rm

    Ova brzina naziva se i obodna brzina.Ubrzanje toke aodreeno je sdvije komponente, ije su veliine:tangencijalna komponenta aT= s = ry = ra(35)22

    sv

    R ~ R

    = rmaN ~

    normalna komponentaUkupno ubrzanje iznosi:

    (36)

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    92/142

    2.2 . 22I2 4a = \ laT + aN = rV a + mKutnoj brzini i kutnom ubrzanju tijela, moese dati i vektorski smisao.

    Oba vektora m i alee na osi rotacije, a smjer im je odreen pravilomdesne

    ruke. Ako su smjerovi oba vektora jednaki, rotacija tijela je ubrzana a u

    suprotnom, rotacija je usporena.RAVNINSKO GIBANJE TIJELA

    Ako se sve toke krutog tijela gibaju paralelno nekoj nepominojravnini,

    radi se o ravninskom gibanju. Zbog toga je pri prouavanju ravninskoggibanja

    tijela mogue promatrati njegov presjek u takvoj referentnoj ravnini.

    Moe se jednostavno pokazati da se ravninsko gibanje tijela sastojiod dvaosnovna gibanja u referentnoj ravnini i to: translaciie tijela s nekom

    tokom irotacije tijela oko osi koja prolazi tom tokom okomito na referentnuravninu

    (rotacija oko toke A).

    Takva predodba omoguava da se poloaj tijela u ravnini odredikoordinatama x iyjedne toke A presjeka tijela (translacija) i kutom akoji

    neka duina AB zatvara s osi x (rotacija). Sve tri koordinate funkcije suvremena

    t, tj.:

    x = x(t);y = y (t);p = (p(t) (37)

    To su jednadbe ravninskog gibanja krutog tijela.Poloaj toke B tijela, odreen je vektorom poloaja rB, koji se

    prema

    slici moe zapisati kao:rB =

    rA +

    AB (38)

    Deriviranjem ovog izraza po vremenu, slijedi vektor brzine vBtokeB:vB =

    rB =

    rA +

    AB=

    vA +

    vBA

    (39)

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    93/142

    gdje je: vA - vektor brzine toke A (translacija tijela s tokom A),vBA - vektor brzine toke B u odnosu na toku A (rotacija tijela oko

    toke A),veliina: vBA =AB o, pravac: vBA 1 AB.

    Vektorski izraz (39), mogue je prikazati slikom:

    U ravnini gibanja tijela uvijek postoji toka ija je brzina u danomtrenutku vremena jednaka nuli. Ta se toka naziva trenutni pol brzinaP.

    Iako toka P mijenja svoj poloaj tijekomgibanja, uvijek je vP=0. Okomica na bilo koji vektor

    brzine tijela mora prolaziti kroz trenutni pol brzina, jer

    prema slici vrijedi:vA = vAP=AP OvB = vBP=BP OvA B

    O =

    AP BP

    Prema tome, ravninsko gibanje tijela moe sepredoiti i kao rotacija tijela oko trenutnog polabrzina P. Poznavanje poloaja toke P, omoguujejednostavno odreivanjebrzina pojedinih toakatijela. Tipian primjer ravninskog gibanja tijela jenjegovo kotrljanje bez klizanjapo podlozi, pri emuse toka P poklapa s tokom dodira tijela i podloge.

    Deriviranjem izraza (39) po vremenu, dobiva se vektor ubrzanja aB

    toke B:aB =

    vB =

    vA +

    vBA =

    aA +

    aBA =

    aA +

    aBAT +

    aBAN

    gdje je: aA - vektor ubrzanja toke A (translacija tijela s tokom A),

    aBA - vektor ubrzanja toke B u odnosu na toku A (rotacija tijela oko toke A),aBAT- tangencijalna komponenta vektora aBA ,

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    94/142

    a, pravac: aBAT1 AB.

    ili

    (40)

    (41)

    veliina: aBAT=AB aBAN- normalna komponenta vektora aBA,

    2y

    BA

    AB

    veliina:a

    BAN

    = AB o2, pravac: aBANII AB, smjer: B ^A.

    Vektorski izraz (41), mogue je prikazati slikom:

    Vektorske jednadbe (39) i (41) mogue je rijeiti analitiki,njihovim

    projiciranjem na osi izabranog koordinatnog sustava u ravnini gibanja.

    Na taj se

    nain dobivaju po dvije skalarne (algebarske) jednadbe brzina i

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    95/142

    ubrzanja.

    Grafiko rjeavanje vektorskih jednadbi (39) i (41), izvodi secrtanjem

    plana brzina i plana ubrzanja. To su zapravo vektorski poligoni u

    kojima vektori

    brzina odnosno ubrzanja pojedinih toaka tijela, imaju zajednikipoetak.

    V. DINAMIKADinamika prouava gibanja tijela pod utjecajem sila. Dakle, ona

    dovodi u

    vezu osnovne kinematike veliine (poloaj, brzina, ubrzanje) sosnovnom

    statikom veliinom (sila).Zadaci dinamike dijele se u dvije skupine:

    1. Poznato je gibanje tijela a treba nai sile koje djeluju na tijelo - prvizadatak

    2. Poznate su sile a treba odrediti gibanje tijela - drugi (osnovni)

    zadatak

    1.DINAMIKA ESTICE1.1JEDNADBE GIBANJA

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    96/142

    Razmotrimo esticu mase m, iji jepoloaj u prostoru odreen vektorom poloajar. Ako je silaFrezultanta svih vanjskih sila

    to djeluju na esticu, tada je njeno ubrzanje au pravcu sile.

    Drugi Newtonov zakon glasi:

    F = ma = mv = m r (1)

    To je diferencijalna jednadba gibanjaestice u vektorskom obliku.

    U opem sluaju sila je promjenljiva veliina i ovisi od vremena, poloaja i brzine estice, tj.F = F(t,r,v). Jednadba (1) izraava sepreko

    skalarnih jednadbi u nekom od koordinatnih sustava:

    Descartesov koordinatni sustavProjiciranjem vektorskog izraza (1) na k. osi, slijede komponente

    sile:

    Fx = max = mvx = mx

    Fy = may = mvy = m y

    y y yy

    Fz= maz= mvz= mz (2)

    To su diferencijalne jednadbe gibanja estice ovom koordinatnomsustavu.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    97/142

    Komponente sile u pravcu tangente Ti

    glavne normaleNsu:

    Prirodni koordinatni sustav

    FT = maT= mv = ms

    (3)

    2-2v s

    FN = maN= m= mN N

    R R

    Izrazi (3) predstavljaju diferencijalne

    jednadbe gibanja estice u ovom koordinatnom sustavu.Rjeavanje zadataka dinamike:

    1.2 DALEMBERTOV PRINCIPOvaj princip omoguava u mnogim sluajevima jednostavno

    rjeavanjedinamikih zadaa, tako da se jednadbe gibanja predstave u oblikustatikih

    jednadbi ravnotee.

    Jednadba gibanja estice moe se napisatiu sljedeem obliku:

    F = ma iliF - ma =0

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    98/142

    iliF+Fn = 0 (4)

    gdje je:Fin - fiktivna (zamiljena sila) koja se naziva inercijska sila.Ona je

    uvijek usmjerena suprotno ubrzanju a.

    Jednadba (1) poznata je pod nazivom jednadba dinamike

    ravnotee

    estice i predstavlja DAlembertov princip.Iskazan rijeima on glasi:Ako se svim silama to djeluju na esticu u

    danom trenutku doda i inercijska sila, onda e takav sustav sila biti u

    ravnotei i za njega vrijede zakoni statike.

    Inercijska sila prikazuje se preko svojih komponenata u nekom od

    koordinatnih sustava. Takve su komponente uvijek suprotne

    odgovarajuimubrzanjima.

    RAD I SNAGA

    Rad sile karakterizira djelovanje sile

    na esticu u gibanju.(5)

    Elementarni rad sileFkoja djeluje

    na esticu pri njenom elementarnom

    pomaku drna putanji, definira se kaoskalarni produkt tih vektora, tj:

    dW = F dr = Fdrcos a

    (6)

    Kako je dr * ds - pomak u pravcu

    tangente Ti FT= Fcos a - tangencijalna

    komponenta sile, slijedi:

    dW = FTdsRad sile Wna nekom putu od poloaja 1 do poloaja 2estice na putanji,dobiva se integriranjem izraza (6):z z

    (7)

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    99/142

    W= J dW= JFTds

    1

    Dakle, rad sile je skalama veliina, a daje ga samo tangencijalna

    komponentasileFT. Rad normalne komponente sileFNjednak je nuli.

    Za pravocrtno translacijsko gibanje estice, izraz (7) dobiva oblik:z

    W= JFds

    Ako jeF = konst., vrijedi:

    (8)Analogno, pri rotacijskom gibanju estice okotoke O, rad momenta sile odnosno sprega sila je:

    z, z, z,

    (10)

    W= |Fds = |Frdp = JMdp

    (11)

    Ako jeM = konst., vrijedi:

    W = Mpgdje je:p - kut rotacije [rad].Jedinica za rad je dul [J = Nm].Snaga silePje brzina kojom sila obavlja rad. To je skalarna veliinakojaiznosi:(12)

    _dW FTds

    P = ---- ==FTvdt dtAko se rad obavlja jednoliko, tada je:(13)

    (14)

    W

    P =

    t

    Analogno, snaga momenta sile odnosno sprega sila iznosi:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    100/142

    dW Mdp , ^P = ----------------------------------- = ----=MOdt dtgdje je: O - kutna brzina [s

    -1].

    Jedinica za snagu je vat [W = Js-1

    ].

    Pri radu nastaju gubici. Omjer korisne (dobivene) snagePKi

    uloenesnagePU, naziva se iskoristivost:

    P

    1.3-i T TKINETIKA I POTENCIJALNA ENERGIJAElementarni rad sile moe se izraziti kao:dW = FTds = maTds = m

    dvds

    = mvdv = dT T

    dt(16)

    ilidW = dEKmv

    gdje je:

    kinetika energija(17)

    EK=

    2

    Kinetika energija je energija gibanja i predstavlja skalarnuveliinu s

    jedinicom dul [J = Nm].Integriranjem izraza (16) od poloaja 1 do poloaja 2 estice na

    putanji,

    slijedi:

    22

    E- E= =W

    K2Kl 2 2

    (18)

    To je zakon kinetike energije, jedan od osnovnih zakona dinamike.On

    pokazuje da je promjena kinetike energije estice na nekom putu,

    jednaka

    radu sile zbog koje se estica giba.

    Taj zakon omoguava jednostavno rjeavanje dinamikih zadaa usluajuda sila ovisi samo od poloaja estice na putanji, tj. ako jeF = F(x,y,z).Takve

    sile nazivaju se konzervativne sile i za njih vrijedi:(19)

    dW = -dEv

    gdje je:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    101/142

    EP= EP(x, y, z)- potencijalna energija

    Potencijalna energija je skalarna veliina i predstavlja energijupoloaja sjedinicom dul [J = Nm].

    Integriranjem izraza (19) od poloaja 1 do poloaja 2 estice naputanji,

    slijedi:

    2

    W= -J dEP= EP1 - EP2 (20)

    Ovaj izraz pokazuje da rad konzervativne sile

    (npr. gravitacijska, elastina, magnetska itd.) ne ovisiod oblika putanje estice, ve samo o poloaju njenih krajnjih toaka 1 i 2 na putanji.

    To ne vrijedi za nekonzervativne sile (npr. trenje, otpor sredine

    itd.), koje

    nemaju potencijalnu energiju.Potencijalna energija u nekom poloaju estice izraunava se iz radasile.

    Pri tome se nulti poloaj u kojem jeEP=0, odreuje dogovorno. Npr.:

    Sila teine: G = mg(21)

    Potencijalna energija:

    EP= mgh

    cs

    Elastina sila:Fe =gdje je: c - krutost linearno elastine opruge [N/m],

    s - promjena duljine opruge

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    102/142

    [m].

    cs

    (22)

    2

    Potencijalna energija:

    EP =

    Ako na esticu djeluju samo konzervativne sile, tada se na osnoviizraza

    (18) i (20) moe napisati:EK1 +

    EP1

    EK2 +

    EP2

    ili EK + EP= konst. (23)

    To je zakon odranja mehanike energije, koji pokazuje damehanika

    energija (kinetika i potencijalna) u svakom poloaju estice ostaje

    konstantna.

    Drugi oblik ovoga zakona je:EK2

    EK1 +

    EP2

    EP1 = 0

    ili AEK+AEP=0 (24)

    Dakle, poveanje kinetike energije estice dovodi do smanjenjanjene

    potencijalne energije i obratno.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    103/142

    Ako na esticu djeluju i nekonzervativne sile, tada vrijedi:(25)

    AEk + A Ep = WT

    gdje je: WT- rad nekonzervativnih sila (npr. rad sile trenja je

    negativan).

    1.4IMPULS I KOLIINA GIBANJAImpuls sile je dinamika veliina koja opisuje djelovanje sile na

    esticutijekom vremena.

    (26)

    Elementarni impuls sile definira se kao produkt sileFi

    elementarnog

    intervala vremena dt, tj.:dI = Fdt

    Integriranjem ovog izraza unutar nekog intervala vremena (t1 -12),

    slijedi

    impuls sile I:

    (27)

    Impuls sile je vektor i prikazuje se pomou komponenata u nekom koordinatnom sustavu.

    Jedinica za impuls sile je [Ns].

    2koliina gibanja.Koliina gibanjap predstavlja produkt mase m

    i brzine v estice, tj.:(28)

    p = mv

    1Za opisivanje gibanja estice ija je brzina

    poznata, koristi se dinamika veliina nazvanaKoliina gibanja je vektor, pravca i smjera kao i brzina. Prikazuje

    se

    pomou komponenata u nekom koordinatnom sustavu.Jedinica za koliinu gibanja je [kgms-1 = Ns].(29)

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    104/142

    Deriviranjem izraza (28) po vremenu, slijedi:

    p = mv = ma = F

    Dakle, derivacija vektora koliine gibanja po vremenu, jednaka jevektoru sile

    koja izaziva to gibanje. Mnoenjem izraza (29) s dt, dobije se:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    105/142

    dp = dl (30)

    to nakon integriranja unutar razmatranog intervala vremena daje:p2 - p1 =

    I

    t2

    ili mv2 - mv1 = JFdt (31)t1

    Ovo je zakon koliine gibanja. On pokazuje da je promjenakoliine

    gibanja estice u nekom intervalu vremena, jednaka impulsusile koja

    djeluje

    na esticu u istom intervalu vremena.

    Oigledno je da bez impulsa sile nema promjene brzine. Prematome, ako

    jeI =0, tada vrijedi:p1 = p2(32)

    Taj izraz predstavlja zakon odranja koliine gibanja.1.5MOMENT KOLIINE GIBANJA

    Analogno statikom momentu sile za tokuMO, u dinamici sedefinira

    veliina koja se naziva moment koliine gibanja (ili kinetiki moment)za

    tokuLO .

    Vektor toga momenta za neku toku O, jednak je vektorskom (ex) produktu vektora poloaja ri vektora koliine gibanjapestice, tj.:

    LO = rxp (33)

    VektorLOokomit je na ravninu u kojoj leevektori rip(meusobno zatvaraju kut a). Veliinavektora momenta koliine gibanja estice za toku O je:o

    LO = rmv sina (34)

    a smjer mu je definiran je pravilom desne ruke. Jedinica momenta

    koliine21

    gibanja je [kgm s" = Nms].

    Kako je koliina gibanja pogodna za opisivanje translacije estice,tako je

    moment koliine gibanja pogodan za opisivanje njene rotacije.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    106/142

    Deriviranjem izraza (33) po vremenu, slijedi:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    107/142

    LO = r x F = MO (35)

    To je zakon momenta koliine gibanja. Iskazan rijeima on glasi: Derivacija momenta koliine gibanja estice po vremenu za neku

    toku,

    jednaka je momentu sile koja djeluje na esticu za istu toku.

    Izraz (35) vrijedi i za bilo koju os koja prolazi kroz toku O. Takonpr. za

    osz, skalarni zapis ovog zakona glasi:

    L, = Mz (36)

    U posebnom sluaju kada jeMO = o (nema momenta vanjskih silaza tokuO), vrijedi: v

    LO = konst. (37)Ovaj izraz predstavlja zakon odranja momenta koliine gibanja.2. DINAMIKA KRUTOG TIJELA

    2.1 GEOMETRIJA MASA

    Gibanje krutog tijela ovisi o masi ali i o ITI

    njenoj raspodjeli.

    Ukupna masa tijela je:

    m = | dm (38)

    m

    gdje je: dm - masa djelia tijela.Sredite mase tijela je geometrijska toka C, koja se podudara s

    teitemtijela T (samo zag = konst.). Njegov poloaj definiran je vektorom

    poloaja:rC=[ rdm (39)m

    m

    gdje je: r- vektor poloaja djelia tijela.Masa tijela je mjera njegovog otpora prema translaciji, dok je mjera

    otporaprema rotaciji moment tromosti mase tijela. Njime se uzima u obzir i

    raspodjela

    mase tijela, a definira prema nekoj osi. Npr. za oszvrijedi:

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    108/142

    | r2dm

    (40)

    sljedei nain:gdje je: r- udaljenost djelia mase dm od osi z.Jedinica momenta tromosti mase je [kgm ].

    Moment tromosti mase tijela moe se izraziti i na(41)I7 = mi2

    z zgdje je iz- polumjer tromosti [m].

    Za tijela razliitih pravilnih oblika, veliine momenta tromosti za osikoje

    prolaze kroz sredite njihove mase C, mogu se pronai u tehnikimprirunicima.

    Npr.:

    kruna ploa ili valjak

    Z k

    2*i

    C

    U praksi je esto potrebno odrediti moment tromosti

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    109/142

    tijela za neku paralelnu os. U tom se sluaju koristi Steinerovo pravilo:

    lA = lz+d2m (42)

    gdje je: d- razmak osiziz1(paralelna osiz).

    z k

    m C

    l1 * r* itap

    U

    Npr.:if* 'fe * (

    *lz

    3Spomenimo jo da se momenti tromosti za istu os mogu zbrajati,

    toolakava njihovo odreivanje kod tijela sloenog oblika koja susastavljena od

    dijelova poznatih momenata tromosti.Ona nastupa kada rezultantavanjskih sila

    to djeluju na tijelo, prolazi kroz sredite mase C(teite) tijela. Kako su putanje svih toaka tijela utom sluaju sukladne, a vektori brzina i ubrzanje

    jednaki, kruto tijelo se moe smatrati esticomjednake mase.

    2.2 TRANSLACIJA TIJELA

    Prema tome, pri translaciji tijela izrazi i

    zakoni dinamike, jednaki su kao i za esticu, a jednadbatranslacijskog gibanja

    glasi:

    FR = maC (43)

    gdje je: aC- ubrzanje sredita mase C tijela.ROTACIJA TIJELA OKO NEPOMINE OSI(44)

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    110/142

    Ako kruto tijelo mase m ubrzano

    rotira oko osizpod djelovanjem

    momentaMz, na svaku njegovu esticumase dm djeluje inercijska silaFin, ijatangencijalna komponenta iznosi:

    Mz= aJ r2dm

    pa slijedi:Jednadba dinamike ravnotee

    tijela u ovom sluaju glasi:YM: =0 Mz-JdFmT r =0

    dFnT= aTdm = radmiliMz =

    Iz

    a=

    I^ = hV

    gdje su:Iz- moment tromosti mase tijela za os rotacijez,

    a, o, (p - kutno ubrzanje, kutna brzina i kut rotacije tijela.

    Izraz (45) predstavlja jednadbu rotacije tijela oko nepomine osi.

  • 7/27/2019 teh. mehanika

    111/142

    Valja uoiti da je taj izraz analog