Taxicab Bagian Vita

7/25/2019 Taxicab Bagian Vita

1/23

A. SEJARAH

Hermann Minkowski lahir pada tanggal

22 juni 1864 di Alexotas, Russia (sekarang

Kaunas, Lithuania) dan meninggal pada tanggal

12 Januari 1909 di Gottingen, Jerman. Hermann

Minkowski adalah putra kedua dari Lewin

Minkowski, seorang pebisnis, dengan Rachel

Taubmann. Kakak Hermann bernama Oskar

Minkowski seorang ahli patologi terkenal. Lewin

dan Rachel adalah warga Jerman meskipun anak

mereka Hermann lahir dan tinggal di Rusia.

Ketika Hermann berumur 8 tahun, Lewin

sekeluarga kembali ke Jerman dan mengembangkan bisnisnya di Knisberg.

Hermann Minkowski pertama kali menunjukkan keahlian dalam matematika ketika

belajar di Gymnasium Knigsberg. Setelah belajar di Gymnasium tersebut, beliau

membaca karya-karya Dedekind, Dirichlet, dan Gauss. Kemampuan luar biasanya tercatat

dalam sebuah surat yang ditulis oleh Heinrich Weber ketika di Universitas Konisberg yang

ditujukan kepada Dedekind pada tahun 1881. Beliau mulai belajar di Universitas

Knigsberg pada bulan April 1880. Beliau menghabiskan tiga semester di Universitas

Berlin pada tahun akademik 1882-1883.

Saat di Knisberg, Minkowski berteman akrab dengan Hilbert. Hilbert lulus

sarjana bersamaan dengan Minkowski. Pada tahun 1884, Minkowski menerima gelar

doktornya dengan disertasinya yang berjudul Untersuchungen ber quadratische Formen,

Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthlt.

Sejak belajar di universitas, Minkowski mulai tertarik dengan bentuk kuadrat, dan pada

tahun 1881 menerima penghargaan dari Academy of Sciences (Paris) atas prestasinya

dalam memecahkan Grand Prix Problem untuk masalah The number of representations of

an integer as the sum of five squares (banyak representasi dari sebuah bilangan bulat

sebagai jumlah dari lima kuadrat. Formula pemecahan masalah tersebut sebenarnya

sudah dirumuskan oleh Einstein pada tahun 1847, namun Einstein tidak berhasil

membuktikannya. Pada tahun 1867, Henry Smith berusaha menyempurnakan formula

Einstein tersebut dan mempublikasikan garis besar dari bukti tersebut, namun Academy of

Sciences tidak menyadarinya


2/23

Eisenstein telah mempelajari bentuk kuadrat dalam variabel n dengan koefisien

bilangan bulat pada saat ia mempubilkasikan formula tersebut pada tahun 1847, namun

tidak terbukti karena beliau sakit saat itu. Minkowski yang saat itu berumur 18 tahun

merekontruksi teori bentuk kuadrat Einstein dan menghasilkan sebuah solusi yang

manarik untuk masalah Grand Prix. Smith mengulang bukti sebelumnya, menambahkan

detail dan disampaikan kepada Academy of Sciences. Pada tanggal 2 April 1883 pihak

Academy of Sciences memberikan hadiah kepada Smith dan Minkowski. Walaupun

demikian, ini adalah awal karir Minkowski yang menakjubkan dalam matematika.

Disertasi Minkowski yang diajukan pada tahun 1885 merupakan kelanjutan dari

penemuannya tersebut. Setelah mendapatkan gelar doktor, beliau terus melakukan

penelitian di Konisberg.

Pada tahun 1887, terjadi kekosongan posisi guru besar di Universitas Bonn, dan

Minkowski dipromosikan untuk posisi tersebut. Menurut peraturan Universitas Jerman,

beliau harus menyerahkan karya tulis asli ke fakultas. Minkowsky menyajikan karyanya

Rumliche Anschauung und Minima positiv definiter quadratischer Formen (visualisasi

spasial dan minima dari bentuk kuadrat definit positif) yang belum dipublikasikan pada

saat itu. Tetapi pada tahun 1991, karya tulis tersebut dipublikasikan pada perkuliahan.

Dieudonn menulis:

"Kuliah ini sangat menarik, karena berisi contoh pertama dari metode Minkowski

yang berkembang beberapa tahun kemudian dalam bukunya yang terkenal

geometry of numbers"

Minkowski mengajar di Bonn dari tahun 1887, yang kemudian menjadi asisten

profesor pada tahun 1892. Dua tahun kemudian ia pindah kembali ke Knigsberg di mana

ia mengajar selama dua tahun di sana, setelah itu beliau diangkat di Eidgenssische

Polytechnikum Zrich. Di sana ia menjadi rekan Hurwitz yang telah ditunjuk untuk

mengisi jabatan Frobenius setelah beliau meninggalkan Zrich Berlin pada tahun 1892.

Minkowski menikah dengan Auguste Adler di Strasburg tahun 1897. Mereka memiliki

dua anak perempuan, Lily yang ahir pada tahun 1898 dan Ruth yang lahir pada tahun

1902.

Geometri Taxicab diusulkan oleh Herman Minkowski, seorang matematikawan

yang merupakan guru dari Albert Eibsteins ketka masih muda di Zurich. Selanjutnya

Minkowski menyajikan sebuah rumusan relativitas yang menarik dalam geometri empat

dimensi (ruang dan waktu), dan kemudian grafik ruang dan waktu tersebut banyak

digunakan dalam teori relativitas. Sekitar pergantian abad belia mempbuklikasikan


3/23

kumpulan hasil kerjanya di Jerman (dicetak ulang di U.S oleh Chelsea Publishing

Company pada tahun 1967), yang mana beiau menganalisis sebuah variasi sistem metrik,

yaitu ruang-runag topologi yang terdiri dari sebuah himpunan titik-titik yang terdefinisi

dan sebuah aturan pengukuran jarak antara dua titik.

B.JARAK TAXICAB

Jarak antara dua titik

Ketika kita belajar geometri Euclide, titik-titik direpersentasikan oleh titik-ttitik

pada bidang koordinat. Titik-titik ini disimbolkan dengan sebuah huruf Kapital atau

dengan sebuah pasangan bilangan real terurut yang menyatakan kedudukan titik pada

bidang koordinat. Misal pada gambar berikut terdapat dua titik P (-2,-1) dan Q (1,3).

Jarak antara titik P dan Q dapat ditentukan dengan membentuk sebuah segitiga siku-

siku dengan sebagai hipotenusa. Misal dibentuk sebuah segitiga sebagai berikut:

Dengan demikian, diperoleh kaki-kaki segitiga dengan panjang masing-masing 3

dan 4 secara berurutan.Dengan menggunakan teorema Phytagoras, jarak titik P dan Q

dapat dihitung sebagai berikut:

= 5. Jadi,

(P, Q) = 5.

Secara umum, pada geometri Euclid jarak antara dua titik P(x1, y1)dan Q(x2, y2)

dirumuskan dengan:

Geometri Taxicab hampir sama dengan geometri Euclide. Titik dan garis pada

geometri ini sama dengan titik dan garis pada Geometri Euclid. Sudutnya juga diukur

dengan cara yang sama seperti di Geometri Euclid. Hanya fungsi jarak yang berbeda.

Pada geometri Euclide, jarak minimum antara dua titik adalah garis lurus yang


4/23

menghubungkan langsung dua titik tersebut, sedangkan pada geometri Taxicab, jarak

kedua titik diilustrasikan sebagai banyak blok yang harus ditempuh oleh sebuah taksi

dari titik P ke titik Q dengan latar daerah atau kota seperti di Manhattan dimana jalan-

jalan ditata seperti kotak-kotak persegipanjang.

Jadi, untuk menuju Q dari P, sebuah taksi dapat menempuh lintasan ke barat atau ke

timur dan ke utara atau ke selatan. Artinya, jarak antara titik Pdan Qadalah panjang

jalur terpendek dariPke Qyang terdiri dari segmen garis yang sejajar atau tegak lurus

terhadap sumbu-x. Pada geometri Taxicab ada banyak kemungkinan jalur minimum

antara dua titik.

Untuk contoh di atas, jarak titik P dan Q pada geometri Taxicab adalah

(P, Q) = 3+4 = 7.

Secara umum, pada geometri taxicab jarak antara dua titik P(x1, y1)dan Q(x2, y2)

dirumuskan dengan:

| | | |Dengan kata lain, jarak didefinisikan sebagai jumlah dari jarak horizontal dan

vertikal dari dua titik. Ini adalah jarak minimum pada geometri Taxicab yang akan

diperlukan dalam melakukan perjalanan untuk mencapai titik Qdari titikP, jika semua

jalan-jalan hanya berorientasi horizontal dan vertikal.

Secara umum, jarak pada geometri Euclid dan Taxicab sama yaitu ketika kedua

titik terletak di sepanjang garis horizontal atau vertikal yang sama.


5/23

Misalkan l adalah sebuah garis melalui titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dan l tidak

sejajar dengan sumbu-xmaupun sumbu-y. Dengan demikianx1 x2 dany1 y2 , misal lbergradien m, maka m= . Dengan demikian, hubungan antara jarak titik P dan Q

pada geometri Euclide (P, Q) dan jarak titik P dan Q pada geometri Taxicab (P, Q)dapat dirumuskan sebagai berikut:

(P, Q) = ||(P, Q)

Artinya jarak titik P dan Q pada geomeri Taxicab merupakan sebuah hasil

perkalian jarak titik P dan Q pada geometri Euclide dengan sebuah bilangan real positif

tertentu yang konstan untuk setiap dua titik pada sebuah gatis (l)tersebut.

Jarak Titik ke Garis

Pada geometri Euclide, jarak titik ke garis, msal titik A ke garis ldapat dientukan

dengan cara mengonstruksi sebuah garis tegak lurus terhadap garis l melalui A yang

misal memotong garis l di titik B. Jarak titik A ke garis l diidentifikasi sebagai jarak

dari titik A ke titik B.


6/23

Cara lain dalam memvisualisasikan jarak titik ke garis pada geometri Eclide adalah

dengan cara mengonstruksi lingkaran melalui titik pusat A sedemikian hingga lingkaran

tersebut menyinggung garis l (garis l merupakan garis singgung lingkaran yang

dikonstruksi). Pada kasus ini, jarak titik A ke garis l diidentifikasi sebagai panjang

hjari-jari lingkaran tersebut (jarak titik A ke B).

.

Dengan pendekatan yang sama, maka dapat ditentukan jarak titik ke garis pada

geometri Taxicab.

Lingkaran Taxicab yang dikonstruksi dengan titik pusat A menyinggung garis l pada

titik B. Pada gambar pertama (a), jarak titik A ke garis l sama dengan panjang jari-jari

lingkaran yang berupa segmen garis vertikal. Hal ini akan berlaku bila garis l memiliki

nilai mutlak gradien kurang dari 1. Selanjutnya pada gambar (b) jarak titik A ke garis l

sama dengan panjang jari-jari lingkaran yang berupa segmen garis horizontal. Hal ini

akan berlaku bila garis l memiliki nilai mutlak gradien lebih dari dari 1. Terakhir, pada

gambar (c), terdapat tak hingga banyak jari-jari lingkaran yang menyinggung garis l,

sehingga jarak titik A ke garis l sama dengan panjang jari-jari lingkaran yang berupa

segmen garis horizontal atau garis vertikal. Hal ini akan berlaku bila garis lmemiliki


7/23

nilai mutlak gradien sama dengan 1. Dengan demikian, kedudukan (gradien) garis akan

mempengaruhi cara pengukuran jarak dari sebuah titik terhadap garis tersebut.

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat dirangkum jarak titik ke garis dibedakan

menjadi tiga kasus.

1. Jika garis memiliki nilai multak gradien kurang dari 1, maka ukuran jarak dari titik

ke garis adalah sepanjang segmen garis vertikal yang menguhungkan titik pada garis

tersebut.

2. Jika garis memiliki nilai multak gradien lebih dari 1, maka ukuran jarak dari titik ke

garis adalah sepanjang segmen garis horizontal yang menguhungkan titik pada garis

tersebut.

3. Jika garis memiliki nilai multak gradien sama dengan 1, maka ukuran jarak dari titik

ke garis adalah sepanjang segmen garis vertikal atau segmen garis horizontal yang

menguhungkan titik pada garis tersebut

C.IRISAN KERUCUT PADA TAXICAB

Konsep jarak berpengaruh besar terhadap suatu geometri. Semua unsur-unsur

dalam irisan kerucut, baik luas ataupun volumenya bergantung pada makna jarak yang

digunakan. Karena konsep jarak pada geometri Taxicab berbeda dengan konsep jarak

pada geometri Euclid, maka irisan kerucut (lingkaran, parabola, hiperbola, dan elips)

pada geometri ini juga berbeda. Bahkan, beberapa diantaranya sangat berbeda, sehingga

mungkin akan mengejutkan. Namun perbedaan tersebut didasarkan pada asumsi dasar

dalam geometri Taxicab.

1. Lingkaran dalam Geometri Taxicab

Pada geometri Euclid dan Taxicab, lingkaran didefinisikan sama yaitu tiktik-titik

yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang disebut titik pusat. Namun, karena

gagasan jarak di kedua geometri ini berbeda maka bentuk lingkarannya juga berbeda.

Pada geometri Euclid, himpunan semua titik yang berjarak sama terhadap suatu

titik A terlihat seperti gambar 4. Sedangkan pada geometri Taxicab, himpunan semua

titik yang berjarak sama terhadap suatu titik A terlihat seperti di gambar 5. Lingkaran

Taxicab berbentuk persegi dengan sisi yang berorientasi pada sudut 450terhadap sumbu

koordinat.


8/23

Persamaan lingkaran

Menurut definisinya, lingkaran yang berjari-jari r dan berpusat pada titik (a,b),

setiap titik (x,y) pada lingkaran tersebut harus berjarak r dari pusat. Dengan

menggunakan rumus jarak geometri Taxicab, yaitu jarak dari (a,b) ke titik (x,y) pada

lingkaran, maka persamaan umum untuk lingkaran geometri Taxicab berjari-jari r

berpusat di (a,b) adalah :

| | | | Dengan demikian, berdasarkan definisi jarak, dapat ditentukan persamaan

lingkaran pada Taxicab dengan pusat di (0,0) adalah || || , berbeda denganpersamaan lingkaran pada geometri Euclid, yaitu x

2+ y

2=1.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran adalah panjang gais terluar pada bidang datar. Lingkaran

pada geometri Taxicab berbentuk persegi yang memiliki empat sisi yang sama

panjang, dengan jari-jari r. Panjang tiap sisi berdasarkan konsep jarak pada geometri

Taxicab adalah 2r. Dengan demikian, keliling lingkaran adalah 8r.

Nilai

Pada geometri Taxicab, definisi nilai sama dengan geometri Euclid, yaitu

suatu bilangan konstan yang merupakan rasio dari keliling lingkaran dengan

diameternya. Karena keliling lingkaran pada geometri Taxicab adalah 8r, maka nilai

dalam geometri ini adalah 4.

Gambar 4 : lin karan ada eometri Euclid Gambar 5 : lingkaran pada geometri Taxicab


9/23

Luas lingkaran

Pada geometri Taxicab metrik panjang setiap sisi lingkaran dengan radius r

adalah 2r. Kita dapat menghitung luas lingkaran Taxicab dengan mempertimbangkan

panjang horizontal dan vertikalnya. Lingkaran Taxicab dapat dibagi menjadi empat

segitiga sama kaki yang kongruen masing-masing dengan sebuah alas dan tinggi r.

Hal ini penting untuk diperhatikan bahwa rumus untuk luas berdasarkan fakta yaitu

alas dan tinggi di ukur horizontal dan vertical.

Luas segitiga =

Luas empat segitiga =

Jadi, luas lingkaran Taxicab (A) =Selain itu, rumus luas lingkaran dapat ditulis menggunakan panjang dari empat

sisi kongruen dari lingkaran taxicab (s). Karena panjang setiap sisi apada lingkaran

Taxicab adalah dua kali jari-jari lingkaran Taxicab (2r), maka dapat disubtitusikan

s=2ratau r =

pada rumus luas lingkaran yang telah diperoleh sebelumnya (A=2r

2).

Hasilnya adalah rumus untuk luas lingkaran bila diketahui panjang sisinya, yaitu

()=

.

2. Parabola dalam Geometri Taxicab

Sebuah parabola adalah titik-titik yang memiliki jarak sama dari sebuah titik

tetap (focus) dan sebuah garis tetap (directrix). Berikutadalah ilustrasi sebuah

parabola dengan sebuah titik tetap dan garis tetap. Untuk mensketsa parabola bila

diketahui sebuah garis tetap dan titik tetapnya dibedakan menjadi empat kasus, yakni

dibedakan berdasarkan posisi garis tetap.


10/23

1.

Bila garis tetap sejajar sumbu-x

Buatlah garis vertikal dan horizontal melalui titik fokus. Tentukan titik

puncak (vertex) dari parabola, yaitu titik tengah dari segmen vertikal dari titik

fokus ke garis tetap misal titik M. Misal panjang segmen tersebut adalah d, maka

tentukan titik pada garis horizontal yang melalui titik fokus dengan jarak d di

sebelah kiri dan sebelah kanan titik fokus, misal titik A dan B. Buat segmen dan . Melalui titik A dan B, buatlah sinar garis vertikal dengan titik pangkalkedua titik tersebut menjauhi garis tetap. Parabola telah dikonstruksi.

2. Bila garis tetap sejajar sumbu-y

Buatlah garis vertikal dan horizontal melalui titik fokus. Tentukan titik

puncak (vertex) dari parabola, yaitu titik tengah dari segmen horizontal dari titik

fokus ke garis tetap misal titik M. Misal panjang segmen tersebut adalah d, makatentukan titik pada garis vertikal yang melalui titik fokus dengan jarak d di atas

dan bawah titik fokus, misal titik A dan B. Buat segmen dan . Melaluititik A dan B, buatlah sinar garis horizontal dengan titik pangkal kedua titik

tersebut menjauhi garis tetap. Parabola telah dikonstruksi.

V

B

A

V

A B

f


11/23

3.

Bila garis tetap bergradien 1 atau -1

Buatlah garis vertikal dan horizontal melalui titik fokus memotong garis tetap

membentuk dua segmen yang menghubungkan titik fokus ke titik tetap. Tentukan

titik tengah dari tiap-tiap segmen tersebut, misal titik A dan B. Buat segmen .Melalui titik A buatlah sinar garis horizontal dengan titik pangkal di A menjauhi

garis tetap, sedangkan melalui titik B buatlah sinar garis horizontal dengan titik

pangkal di B menjauhi garis tetap. Parabola telah dikonstruksi

4.

Bila garis tetap tidak sejajar sumbu-x, garis tetap tidak sejajar sumbu-y, dan tidak

bergradien 1 atau -1

Misal garis tetap memiliki nilai mutlak gradien kurang dari 1, buat segmen

vertikal dari titik fokus memotong garis tetap (bila garis tetap memiliki nilai

mutlak gradien lebih dari 1, buat segmen horizontal dari titik fokus memotong

A

B

AB

V

f


12/23

garis tetap). Tentukan titik puncak parabola, yaitu titik tengah dari segmen

vertikal tersebut. Selanjutnya akan ditentukan gradien dari dua segmen pada

parabola yang melalui titik puncak. Misal gradien dari garis tetap adalah , maka

gradien segmen pertama dan kedua berturut-turut adalah dan . Tentukan

persamaan-persamaan garis yang masing-masing memuat segmen garis tersebut

(dengan diketahui gardien dan sebuah titik yang dilaluinya, yaitu titik puncak

parabola). Lukis kedua garis tersebut sehingga memotong garis horizontal melalui

titik fokus, misal di titik A dan B. Dari tiap-tiap titik tersebut, buatlah sinar garis

vertikal dengan titik pangkal di A dan B menjauhi garis tetap.

Contoh:

Gambarlah parabola dengan garis tetap (direktriks)y=x4 dan sebuah titik tetap

F (-2,2). Dalam Taxicab, persamaannya adalah dalam bentuk tiga baris, yaitu y=-2,

y=x, danx=2.

3.

4. Hiperbola dalam Geometri Taxicab

Hiperbola pada geometri Euclid dan Taxicab didefinisikan sebagai sebuah

himpunan titik-titik yang mana selisih jarak setiap titik tersebut terhadap dua titik tetap

selalu sama. Untuk titik tetap A(a,b) dan B(h,g), himpunan titik-titik yang memiliki

selisih jarak terhadap dua titik tetap yang selalu konstan ditentukan oleh persamaan

berikut :

| | | |

Gambar 6 : arabola dalam eometri Taxicab


13/23

Berikut merupakan ilustrasi sebuah hiperbola pada geometri Taxicab dengan titik

tetap A dan B dengan selisih konstan nol. Dapat dilihat bahwa hiperbola hanya

berbentuk sebuah branch.

Berikut ilustrasi sebuah hiperbola pada geometri Taxicab dengan titik tetap A dan

B dengan selisih konstan 4. Dapat dilihat bahwa hiperbola berbentuk dua buah branch

dengan panjang tak terbatas.

Berikut ilustrasi lain dari sebuah hiperbola pada geometri Taxicab dengan titik

tetap A dan B dengan selisih konstan 2. Dapat dilihat bahwa hiperbola berbentuk duabuah branch yang masing-masing merupakan himpunan titik-titik tak terbatas, satu


14/23

terletak pada sektor bangun datar di kiri atas dan satu terletak pada sektor bangun datar

di kanan bawah, dimana masing-masing memiliki ekor dengan panjang tak terbatas.

Berikut ilustrasi dari sebuah hiperbola pada geometri Taxicab dengan titik tetap A

dan B dengan selisih konstan 8. Hampir sama dengan sebelumnya, dapat dilihat bahwa

hiperbola ini berbentuk dua buah branch yang masing-masing merupakan himpunan

titik-titik tak terbatas, namun satu terletak pada sektor bangun datar di kanan atas dan

satu terletak pada sektor bangun datar di kiri bawah, dan masing-masing tidak memiliki

ekor.


15/23

Untuk mensketsa hiperbola bila diketahui dua titik fokusnya misalnya titik A

(xa, ya) dan B (xb, yb) dengan instruksi selisih jarak dari titik ke kedua titik fokus

tersebut adalah d dibedakan menjadi empat kasus, yakni dibedakan berdasarkan posisi

garis yang mneghubungkan kedua titik fokus tersebut, disebut garis fokus.

1.

Bila garis fokus sejajar sumbu-x

Untuk kasus ini dapat dibuat parabola berupa dua buah garis vertikal. Misal

jarak antara titik A dan B adalah n, maka persamaan kedua garis vertikal yang

merupakan hiperbola tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:

x1= xa+(n-d)danx2= xb-

(n-d)

2. Bila garis fokus sejajar sumbu-y

Untuk kasus ini dapat dibuat parabola berupa dua buah garis horizontal.

Misal jarak antara titik A dan B adalah m, maka persamaan kedua garis vertikal

yang merupakan hiperbola tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:

x1= xa -(m-d)danx2= xb+

(m-d)

B

A

A B


16/23

3.

Bila garis fokus bergradien 1 atau -1

Buatlah garis vertikal dan horizontal melalui kedua titik fokus. Misal jarak

antara dua garis horizontal yang melalui kedua titik fokus adalah m, dan jarak

antara dua garis horizontal yang melalui kedua titik fokus adalah n. Akan

ditentukan persamaan alley (garis yang tidak vertikal maupun tidak horizontal

pada parabola. Tentukan nilai (

) yang merupakan jarak antara titik

perpotongan garis vertikal atau horizontal yang melalui titik fokus dengan alley

terhadap titik fokus terdekat. Lalu tentukan persamaan alley sebagai berikut:

y1= -x + (

), dan

y2= -x + + (

)

Setelah itu, pada setiap titik perpotongan persamaan tersebut dengan garis

horizontal dan vertikal dari titik fokus yang bersesuaian, maka buatlah sinar garis

secara berurutan vertikal dan horizontal menjauhi garis fokus dengan titik

pangkal di setiap titik perpotongan tersebut. Parabola telah dikonstruksi.

A

B

( ,

( ,


17/23

4.

Bila garis tetap tidak sejajar sumbu-x, garis tetap tidak sejajar sumbu-y, dan tidak

bergradien 1 atau -1

Sama seperti sebelumnya, buatlah garis vertikal dan horizontal melalui kedua

titik fokus. Misal jarak antara dua garis horizontal yang melalui kedua titik fokus

adalah m, dan jarak antara dua garis horizontal yang melalui kedua titik fokus

adalah n. Akan ditentukan persamaan alley (garis yang tidak vertikal maupun

tidak horizontal pada parabola). Tentukan nilai (

) yang merupakan jarak

antara titik perpotongan garis vertikal atau horizontal yang melalui titik fokus

dengan alleyterhadap titik fokus terdekat. Lalu tentukan persamaan alley sebagai

berikut:

y1= -x + (

), dan

y2= -x + + (

).

Setelah itu, pada setiap titik perpotongan persamaan tersebut dengan garis

horizontal dan vertikal dari titik fokus yang bersesuaian, maka buatlah sinar garis

secara berurutan vertikal dan horizontal menjauhi garis fokus dengan titik

pangkal di setiap titik perpotongan tersebut. Parabola telah dikonstruksi.

Contoh:

Gambar berikut adalah hiperbola taxicab dengan titik tetap A(6,7) dan B(14,14),

dengan jarak tetap d= 3

A

B

( ,

( ,


18/23

D.SUDUT DALAM TAXICAB

Definisi

t-radian adalah ukuran sudut dalam Taxicab yang titik sudutnya merupakan titik pusat

suatu lingkaran Taxicab dengan jari-jari satu satuan dan memotong busur lingkaran

dengan panjang satu satuan.

Oleh karena itu, lingkaran satuan Taxicab mempunyai sudut penuh 8 t-radian karena

keliling lingkaran satuan Taxicab adalah 8. Untuk informasi tambahan, sudut ,dan

radian pada geometri Euclid masing-masing nilainya sama dengan 1, 2, dan 4 t-radian

pada geometri Taxicab.

Gambar 7 : Hi erbola dalam eometri Taxicab


19/23

Teorema berikut menunjukkan cara untuk menentukan ukuran sudut Taxicab untuk

sudut-sudut Geometri Euclid yang telah diketahui.

Mengubah ukuran dari sudut Euclid ke sudut taxicab

Jika diberikan sebuah sudut Euclid edalam posisi standar, maka dapat diturunkan sebuah

formula untuk ukuran taxicab dari sudut tersebut.

Teorema 1

Sebuah sudut lancip Euclid pada posisi standar mempunyai ukuran taxicab :

Bukti:

Satu sinar garis sudut adalah garis yang melewati titik asal dengan kemiringan .Jadi, ukuran taxicab dari sudut Euclid sama dengan jarak taxicab dari (1,0) ke

perpotongan garis y = -x + 1 dan y = x . Koordinat X dari perpotongan ini adalah

Dan koordinat Y dari perpotongan tersebut adalah:

Oleh karena itu, jarak taxicab dari (1,0) ke titik perpotongan kedua garis tersebut adalah

| | | |


20/23

Definisi:

Sudut referensi dari sudut adalah sudut terkecil antara dengan sumbu X.

Corollary Teorema 1

Jika sebuah sudut lancip pada geometri Euclide edengan sudut referensi eyang termuat

dalam satu kuadran, maka sudut tersebut dala geometri Taxicab memiliki ukuran berikut:

Dari Corollary tersebut, didapatkan bahwa sudut yang sama pada geometri Euclide tetapi

berada pada posisi yang beda akan memiliki ukuran yang berbeda pula pada geometri

Taxicab, Sudut dalam Taxicab akan sama bila ditranslasikan, namun belum tentu sama

bila dirotasikan.

E.Sudut siku-siku

Salah satu sudut terpenting dalam geometri Euclid adalah sudut siku-siku yang ukurannya

sama denganradian atau 90

0. Secara umum, untuk sudut yang sama, sudut pada Euclid

akan mempunyai perbedaan dengan ukuran sudut taxicab bergantung pada posisinya.

Tetapi hal ini tidak berlaku untuk sudut siku-siku.

Teorema 2

Ukuran taxicab pada sebarang sudut siku-siku Euclid adalah 2t-radian.


21/23

Bukti :

Tanpa mengurangi keumuman arti, misalkan adalah sudut siku-siku Euclid yang melalui

sumbu-y. Seperti ditunjukkan pada gambar di atas, bagi menjadi dua sudut Euclid

dan

dengan sudut referensi dan . Gunakan corollary sebelumnya dan fakta

bahwa dan , kita lihat bahwa ukuran taxicab pada sudut

siku-siku adalah:

( )

Theorem 3 (Panjang Busur)

Panjang s pada busur lingkaran Taxicab bejari-jari r dengan sudut pusat t-radian adalah

s= r.


22/23

Busur lingkaran pada Taxicab adalah hasil perkalian dari sudut pusat dan jari-jari

lingkaran.


23/23

Daftar Pustaka

Gardner, M. (1997). The Last Recreations: Hydras, Eggs. And Pther

MathematicalMystification.New York: Springer-Verlag NewYork, Inc.

Krause, E. F. (1975). Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry.

Mineola: Dover Publications, Inc.

Posamentier, A. S. (2000). Making Geometry Come Alive:Student Activities & Teacher

Notes. California: Corwin Press, Inc.

Lee, J. M. (1950).Axiomatic Geometry. Rhode, USA: American Mathematical Society.

Martin, G. (1932). The Foundation of Geometry and the Non-Euclidean Plane. M. New

York: Springer-Verlag New York, Inc.

Taxicab Bagian Vita

Documents

Transcript of Taxicab Bagian Vita