T.A. Nur Haryaty

PENDUGAAN PARAMETER SEBARAN POISSON DENGAN

ALGORITMA CROSS-ENTROPY

Tugas Akhir

Untuk memenuhi sebagian persyaratan

mencapai derajat diploma tiga

Oleh:

Nur Haryaty

F3A208005

PROGRAM STUDI D-III STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HALUOLEO

KENDARI

2011

HALAMAN PENGESAHAN

Pendugaan Parameter Sebaran Poisson dengan Algoritma Cross-Entropy

Oleh:

Nur Haryaty

F3A208005

telah dipertahankan di depan Tim Penguji

pada tanggal 21 Oktober 2011

dan diyatakan telah memenuhi syarat

Susunan Tim Penguji

Pembimbing I,

Drs. Asrul Sani, M.Sc., Ph.D.

NIP. 19690212 199303 1 003

Pembimbing II,

Bahriddin Abapihi, S.Si., M.Si.

NIP. 19720619 200212 1 002

Penguji I,

Irma Yahya, S.Si., M.Si.

NIP. 19711208 200112 1 003

Penguji II,

Agusrawati, S.Si., M.Si.

NIP. 19720808 200112 2 003

Penguji III,

Rahmaliah Sahupala, S.Si., M.Sc.

NIP. 19821128 200604 2 001

Kendari, 21 Oktober 2011

Universitas Haluoleo

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan,

Drs. Pasrun Adam, M.S.

NIP. 19511231 198211 1 001

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kota Kendari Provinsi Sulawesi Tenggara pada tanggal

12 Mei 1990 dari Ayah La Aga dan Ibu Wa Ndaria. Penulis merupakan anak kedua

dari tiga bersaudara.

Tahun 1996 penulis lulus dari TK Aisyah Bustanul Alfa, tahun 2002 penulis

lulus dari SD Negeri 15 Baruga dan tahun 2005 penulis lulus dari SMP Negeri 10

Kendari. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Kendari dan pada tahun yang

sama diterima masuk Universitas Haluoleo pada Program Studi D-III Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Haluoleo

melalui jalur Program Penelusuran Minat dan Potensi (PPMP).

Selama mengikuti perkuliahan, penulis mendapat beasiswa Peningkatan

Prestasi Akademik (PPA) dari pihak Universitas Haluoleo atas prestasi akademik

yang diraih. Pada awal tahun 2011 penulis dipercayakan menjadi asisten Praktikum

Rancangan Percobaan pada program studi D-III Statistika Universitas Haluoleo.

Selain itu, penulis juga turut berperan dalam beberapa organisasi kemahasiswaan

yakni Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) F-MIPA Universitas Haluoleo,

Mahasiswa Pencinta Mushola (MPM) serta Himpunan Mahasiswa Statistika

(HIMASTIKA).

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT sehingga penulisan

tugas akhir yang berjudul “Pendugaan Parameter Sebaran Poisson dengan Algoritma

Cross-Entropy” dapat terselesaikan sebagaimana mestinya. Tugas akhir ini

merupakan salah satu persyaratan untuk menyelesaikan pendidikan pada Program

Studi D-III Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Haluoleo.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa banyak keterbatasan dalam

penyelesaian tugas akhir ini, dimulai dari tahap awal penyusunan hingga

penyelesaiannya. Namun, berkat bimbingan dan arahan yang penuh dengan

kesabaran dan keikhlasan dari Bapak Drs. Asrul Sani, M.Sc., Ph.D selaku

pembimbing I dan Bapak Bahriddin Abapihi, S.Si., M.Si selaku pembimbing II

akhirnya penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir ini. Untuk itu, penulis

haturkan ucapan terima kasih yang tak terhingga dan semoga dinilai sebagai amal

ibadah disisi Allah SWT.

Pada kesempatan ini pula dengan segala kerendahan hati penulis

menyampaikan terima kasih kepada:

1. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Haluoleo.

2. Ketua Program Studi D-III Statistika serta seluruh dosen dan staf pada Program

Sudi D-III Statistika.

3. Ayahanda La Aga dan Ibunda Wa Ndaria atas segala doa dan limpahan kasih

sayang yang tak ternilai harganya.

4. Saudaraku tercinta Abdul Gasar, SH dan Muh. Ady Saputra serta seluruh

keluarga besarku yang selalu memberikan doa dan motivasi. (smoga kita selalu

saling menyayangi dan menjaga satu sama lain, maaf kalau belum bisa jadi

saudara yang baik).

5. Teman-teman seangkatan: Ayu, Dika, Makrum, Nining, Muna, Alif, Dias, Karim,

Viska, Vinda, Muli, Kiki, Sani, Lusi, Lina, Mina, Ifa, Nia, Sanaf, Olis, Erna, Ani,

Idam, Jusma, Aty, dan Satma (sahabatku tersayang) serta kawan-kawan lainnya

yang tak bisa disebutkan satu-persatu atas kekompakan dan kebersamaan dalam

menyelesaikan studi. (Smoga kita semua diberikan kesuksesan hidup di dunia

maupun di akhirat oleh Allah SWT).

6. Teman-teman Asisten Laboratorium Statistika dan Aljabar tahun 2011 (Tetap

smangat dalam membimbing anak praktikan!).

7. Teman-teman jurusan Matematika F-MIPA: Piti, Untung, Ansar, Glen, dan Yudi

atas bantuannya selama menyelesaikan studi. (Senang bisa belajar bersama kalian

semua).

8. Keluarga Besar MPM Al-Misykat F-MIPA Unhalu atas kebersamaan,

kehangatan, dan kasih sayang yang tulus dari kalian semua, dan terkhusus untuk

teman-teman Akhwat: Yuyun, Aztin, Sri, serta yang tak bisa disebutkan satu-

persatu (Tetap smangat Ukhti…!).

9. Murobbiku: Ka’ Yuni dan Ka’ Derina (Kalian salah satu penyemangat hidupku)

serta teman-teman liqoan: Sat’m, Muly, Adra, Acha, Lia dan Indra (Smoga kita

selalu istiqomah di jalan-Nya).

10. Adik-adik di program studi D-III Statistik angkatan 2009 dan 2010: Budi,

Taufan, Fajar, Cici, Sarni, Masna, Inca, Azlan, Irma, Viny dan yang tak bisa

disebutkan satu persatu. (Jaga kekompakkannya ya…!).

11. Seluruh pihak yang ikut membantu terselesaikannya tugas akhir ini, yang penulis

tidak dapat sebutkan satu-persatu.

Penyusunan tugas akhir ini tentunya masih banyak keterbatasan dan

kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik dari semua pihak sangat diharapkan

demi perbaikan dan penyempurnaannya kelak.

Harapan yang paling besar dari penyusunan tugas akhir ini ialah mudah-

mudahan apa yang penulis susun ini penuh manfaat, baik untuk pribadi, teman-

teman, serta orang lain yang tertarik mengembangkan metode yang digunakan dalam

penelitian ini.

Kendari, september 2011

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL

DAFTAR LAMPIRAN

ABSTRAK

ABSTRACT

viii

ix

x

xi

BAB I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Tujuan Penelitian 2

1.3 Manfaat Penelitian

1

2

2

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Percobaan Poisson dan Sebaran Poisson

2.2 Metode Pendugaan Parameter Sebaran Poisson

2.1.1 Metode Maximum Likelihood

2.1.2 Metode Cross-Entropy

3

4

4

6

BAB III. METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data

3.2 Prosedur Penelitian

8

8

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pendugaan Parameter Sebaran Poisson

4.1.1 Pembangkitan Data

4.1.2 Penerapan Metode Cross Entropy (CE)

4.1.3 Penerapan Metode Maximum Likelihood

4.1.4 Penerapan Metode Cross Entropy (CE) dan Metode

Maximum Likelihood dengan Ukuran Contoh

Berbeda

4.1.5 Penerapan Metode Cross Entropy (CE) dan Metode

Maximum Likelihood Menggunakan Data Bangkitan

dengan µ Berbeda

4.1.6 Iterasi dan Waktu yang Digunakan Metode Cross

Entropy (CE)

9

9

9

11

11

12

14

BAB V. PENUTUP

5.1 Kesimpulan

5.2 Saran

16

16

DAFTAR PUSTAKA 17

LAMPIRAN 18

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1 Nilai parameter sebaran Poisson menggunakan metode

CE dan Maximum Likelihood.

12

Tabel 4.2 Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan

dengan µ = 1.

12


dengan µ = 3.

13


dengan µ = 4.

13


dengan µ = 5.

14

Tabel 4.6 Banyaknya iterasi dan waktu yang dibutuhkan dalam

menggunakan metode CE.

15

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Data bangkitan menggunakan software Matlab versi

5,3 dengan µ = 2 sebanyak 40 amatan.

18

Lampiran 2 Nilai parameter inisial awal untuk pendugaan

parameter sebaran Poisson menggunakan metode CE.

19

Lampiran 3 Program Matlab untuk menduga parameter sebaran

Poisson dengan menggunakan algoritma CE dengan

µ = 2 dan N = 40.

20

Lampiran 4 Output pendugaan parameter sebaran Poisson

menggunakan metode Maximum Likelihood dengan

µ = 1, 2, dan 3.

21

Lampiran 5 Output pendugaan parameter sebaran Poisson

menggunakan metode Maximum Likelihood dengan

µ = 4 dan 5.

22

ABSTRAK

NUR HARYATY. Pendugaan Parameter Sebaran Poisson dengan Algoritma Cross-

Entropy (CE) dibimbing oleh Bapak Asrul Sani dan Bahriddin Abapihi.

Tujuan penelitian ini adalah menerapkan metode Cross-Entropy (CE) dalam

melakukan pendugaan parameter sebaran Poisson. Hasil penelitian menunjukkan

bahwa program Matlab menggunakan algoritma Cross- Entropy (CE) yang dibuat

dengan konsep Metode Maximum Likelihood dapat digunakan untuk menduga

parameter dari data yang menyebar Poisson dengan waktu yang relatif singkat.

ABSTRACT

NUR HARYATY. Parameter Estimation of Poisson Distribution using Cross-

Entropy Algorithm, supervised by Asrul Sani and Bahriddin Abapihi.

The main purpose of this study is to apply Cross-Entropy method in the

parameter estimation of Poisson distribution. The results show that the Cross-

Entropy (CE) algorithm with the concept of maximizing likelihood function

converge to the estimated parameters of Poisson distributed data with relatively short

in time frame.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada

setiap unsur dalam ruang sampel (Walpole & Myers, 1995). Suatu peubah acak

disebut peubah acak diskret bila himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Suatu

peubah acak diskret mendapat setiap nilainya dengan peluang tertentu. Sebaran

peluang diskret adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua

kemungkinan nilai suatu peubah acak diskret berikut peluangnya (Walpole, 1995).

Salah satu sebaran peluang diskret yaitu sebaran Poisson. Menurut Walpole (1995),

sebaran Poisson adalah sebaran peluang acak Poisson X, yang menyatakan

banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu.

Suatu kesimpulan statistik mengenai parameter populasi harus dibuat

khususnya populasi yang menyebar Poisson. Oleh karena itu, perlu diterapkan teori

inferensia statistik. Teori inferensia statistik mencakup semua metode yang

digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi suatu populasi (Walpole,

1995). Salah satu proses dalam inferensia statistik yaitu pendugaan parameter

populasi.

Metode yang dapat digunakan dalam pendugaan parameter populasi,

khususnya populasi yang menyebar Poisson yaitu metode kemungkinan maksimum

(Maximum Likelihood). Metode Maximum Likelihood merupakan metode pendugaan

parameter yang menggunakan sebaran peluang bersama dari sekumpulan data

pengamatan (Collet, 1991).

Dalam kenyataannya metode kemungkinan maksimum dianggap sebagai

metode yang rumit/kompleks dalam pendugaan parameter, sebab metode tersebut

membutuhkan teknik perhitungan matematis yang cukup rumit. Oleh karena itu,

dalam penelitian ini penulis mencoba menerapkan metode alternatif yang dianggap

lebih mudah dalam menyelesaikan masalah pendugaan parameter yakni metode

Cross Entropy (CE). Metode CE merupakan algoritma baru yang telah diaplikasikan

untuk penyelesaian masalah optimasi. Salah satu kelebihan dari metode CE untuk

simulasi kejadian langka adalah memberikan suatu cara cepat untuk menentukan atau

menduga parameter secara optimal.

Beranjak dari uraian di atas, penulis tertarik untuk melakukan penelitian

dengan judul “Pendugaan Parameter Sebaran Poisson dengan Algoritma Cross -

Entropy”.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dalam penelitian ini yakni menerapkan metode Cross- Entropy

dalam melakukan pendugaan parameter sebaran Poisson.

1.3 Manfaat Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan tambahan informasi

mengenai metode alternatif yang dapat digunakan dalam pendugaan parameter

sebaran Poisson.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Percobaan Poisson dan Sebaran Poisson

Percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik, yaitu

banyaknya hasil selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu disebut

percobaan Poisson dan sebaran peluangnya disebut sebaran Poisson. Panjang selang

waktu tersebut boleh berapa saja, semenit, sehari, seminggu, sebulan atau bahkan

setahun. Jadi, percobaan Poisson dapat menghasilkan pengamatan untuk peubah acak

X yang menyatakan banyaknya hubungan telepon perjam yang diterima suatu kantor,

banyaknya hari sekolah yang ditutup karena banjir, banyaknya pertandingan sepak

bola yang terpaksa diundurkan karena hujan selama musim kompetisi sepak bola.

Daerah yang dimaksud dapat berupa sepotong garis, suatu luas daerah, suatu isi

benda, ataupun sepotong benda. Dalam hal seperti ini X mungkin menyatakan

banyaknya tikus sawah perhektar, banyaknya bakteri dalam suatu kultur, ataupun

banyaknya salah ketik perhalaman.

Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya

hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu adalah:

(2.1)

Dalam hal ini µ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi

selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan dimana µ > 0 dan e =

2,71828... (Walpole, 1995).

Menurut Walpole & Myers (1995), himpunan pasangan terurut (x, f(x))

merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau sebaran peluang peubah

acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x sebagai berikut:

1. p(x) ≥ 0

2.

3. P(X = x) = f(x)

Ada beberapa ciri untuk menentukan apakah percobaan tersebut temasuk

dalam kriteria percobaan Poisson atau tidak (Walpole, 1995). Adapun ciri-ciri

tersebut adalah:

a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu

daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi

pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

b. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat

sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang

waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada

banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.

c. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu

yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan.

2.2 Metode Pendugaan Parameter Sebaran Poisson

Menurut Walpole (1995) sifat-sifat yang harus dimiliki oleh suatu fungsi

keputusan yang baik yang akan digunakan dalam mempertimbangkan pemilihan

penduga yang satu daripada lainnya yaitu:

1. Penduga takbias. Statistik dikatakan penduga takbias bagi parameter Ө bila

= E( ) = Ө.

2. Penduga paling efisien. Diantara semua kemungkinan penduga takbias bagi

parameter Ө, yang ragamnya terkecil adalah penduga paling efisien bagi Ө.

2.2.1 Metode Maximum Likelihood

Metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood) ialah metode yang

memaksimumkan fungsi kemungkinan. Fungsi kemungkinan paling baik dijelaskan

menggunakan contoh sebaran diskret berparameter tunggal. Misalkan X1, X2, …, Xn

menyatakan peubah acak bebas diambil dari sebaran peluang diskret yang dinyatakan

dengan f(X,Ө), Ө adalah parameter tunggal sebaran tersebut.

L(X1, X2, …, Xn;Ө) = f(X1, X2, …, Xn;Ө)

= f(X1,Ө) . f(X2,Ө) . … . f(Xn;Ө)

(2.2)

Persamaan (2.2) adalah sebaran gabungan dari peubah acak. Ini sering disebut

sebagai fungsi kemungkinan. Misalkan x1, x2, …, xn menyatakan nilai pengamatan

pada sampel. Dalam kasus peubah acak diskret, tafsirannya amat jelas. Besaran L(x1,

x2, …, xn;Ө), kemungkinan dari sampel, adalah peluang gabungan.

P(X1 = x1; X2 = x2; …, Xn = xn) (2.3)

Dengan kata lain, besaran ini adalah peluang mendapatkan nilai sampel x1, x2, …, xn.

Untuk kasus diskret, penaksir kemungkinan maksimum ialah penaksir yang

diperoleh dengan memaksimumkan nilai peluang gabungan atau memaksimumkan

kemungkinan dari sampel.

Filosofi penaksiran kemungkinan maksimum muncul dari gagasan bahwa

penaksir parameter yang wajar yang berdasarkan informasi sampel ialah nilai

peluang yang menghasilkan peluang terbesar untuk mendapatkan sampel. Metode

kemungkinan maksimum menggunakan sebaran peluang bersama dari sekumpulan

data pengamatan. Jika sebaran peluang bersama ini dipandang sebagai fungsi dari

parameter-parameter untuk suatu amatan maka fungsi parameter tersebut dinamakan

fungsi likelihood.

Misalkan bahwa suatu sampel acak x1, x2, …, xn diambil dari sebaran Poisson,

maka taksiran kemungkinan maksimum untuk µ yaitu:

Fungsi kemungkinan berbentuk:

(2.4)

Untuk memudahkan pendugaan parameter µ, kedua ruas persamaan (2.4) dinyatakan

dalam bentuk logaritma natural.

(2.5)

Penyelesaian untuk , penaksir kemungkinan maksimum menyangkut menyamakan

turunannya sama dengan nol dan menyelesaikan parameternya

(2.6)

Sehingga diperoleh:

(2.7)

Karena µ adalah rataan sebaran Poisson, rata-rata sampel ini tentunya

merupakan penaksir yang wajar.

2.2.2 Metode Cross - Entropy

Metode Cross-Entropy (CE) merupakan suatu metode simulasi Monte Carlo

yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dan simulasi yang

telah diaplikasikan untuk memecahkan berbagai permasalahan optimasi dengan hasil

yang baik.

Cross-Entropy menyelesaikan suatu permasalahan dengan membangkitkan

data sejumlah N secara random dengan sebaran tertentu yang kemudian difikskan

pada fungsi tujuan. Kemudian dari sampel tersebut dipilih sejumlah n sampel terbaik

yang kemudian dijadikan inputan untuk memperbaharui parameter yang digunakan

sehingga kandidat solusi pada iterasi berikutnya berasal dari sampel terbaik pada

iterasi sebelumnya.

Metode CE pada beberapa permasalahan dapat menghasilkan penyelesaian

yang cukup optimal dengan perbandingan waktu penghitungan yang relatif lebih

singkat.

Secara umum, CE dapat diaplikasikan dalam dua tipe masalah yaitu:

1. Pendugaan. Dengan menduga ( )E H X , dimana X adalah variabel acak atau

vektor yang nilainya merupakan anggota dari beberapa pasangan X dan H

adalah fungsi dari X. Khusus pada kasus pendugaan suatu peluang

( )P S X , dimana S adalah fungsi lain pada X.

2. Optimasi. Optimasi dalam hal ini adalah memaksimumkan atau meminimumkan

S(X), dimana S adalah beberapa fungsi objektif pada . S dapat merupakan

sebuah fungsi yang diketahui atau sebuah fungsi yang banyak. Namun, kasus

pada fungsi objektif membutuhkan pendugaan melalui simulasi.

Dalam pendugaan, metode CE dapat dipandang sebagai suatu penyesuaian

prosedur importance sampling yang menggunakan Cross-Entropy atau Kullback-

Leibler Divergence sebagai suatu ukuran pendekatan antara dua sebaran sampling.

Pada pengaturan optimasi, masalah optimasi pertama kali diterapkan ke dalam

pendugaan suatu kejadian yang jarang terjadi dan kemudian metode CE untuk

estimasi digunakan sebagai algoritma adiptif untuk mencari nilai optimal.

Menurut Kroese (2002), Cross-Entropy (CE) atau jarak Kullback-Leiber

antara dua fungsi densitas dari adalah suatu jarak yang didefinisikan sebagai:

)(

)(ln)(

)(

)(ln),(

xh

xgxg

xh

xgEhgD g

dxxhxgdxxgxg )(ln)()(ln)(

(8)

Jadi, berdasarkan definisi tersebut, metode CE memiliki fungsi tujuan yakni

meminimumkan jarak dua fungsi densitas. Misalkan fungsi densitas yang menjadi

target adalah dengan parameter , maka akan dibangkitkan fungsi-fungsi densitas

dengan parameter dan diharapkan akan konvergen ke . Teori tentang CE

cukup rumit, namun dalam aplikasinya sangat sederhana.

Secara singkat metode CE dapat dikatakan sebagai metode iterasi dengan dua

prosedur utama yaitu:

1) Membangkitkan sampel data dengan sebaran tertentu

2) Memperbaharui parameter sebaran tersebut berdasarkan sampel terbaik untuk

menghasilkan sampel yang lebih baik pada iterasi berikutnya.

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data bangkitan dengan

menggunakan aplikasi Matlab versi 5,3.

3.2 Prosedur Penelitian

Adapun prosedur pengembangan metode Cross-Entropy dalam menduga

parameter sebaran Poisson dapat dijelaskan dengan tahapan sebagai berikut:

1. Merumuskan fungsi tujuan, dalam hal ini memaksimumkan fungsi Likelihood.

2. Menentukan mekanisme acak yang akan digunakan.

3. Membuat algoritma.

4. Membuat program dalam Matlab.

5. Melakukan simulasi.

Ada beberapa proses yang dilalui dalam melakukan simulasi yaitu sebagai

berikut:

(i) Membangkitkan data yang memiliki sebaran Poisson dengan parameter

tertentu.

(ii) Mengaplikasikan algoritma yang telah dikembangkan terhadap data tersebut

untuk menduga parameter yang digunakan.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.2 Pendugaan Parameter Sebaran Poisson

4.2.1 Pembangkitan Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini yaitu data bangkitan. Untuk

memperoleh data bangkitan tersebut, ditetapkan parameter dari suatu sebaran

Poisson kemudian dibangkitkan dengan menggunakan aplikasi Matlab versi 5,3.

Adapun parameter yang digunakan dalam pembangkitan data yaitu µ = 2 sebanyak

40 amatan, hasil yang diperoleh dapat dilihat pada Lampiran 1.

4.2.2 Penerapan Metode Cross Entropy (CE)

Metode CE menyelesaikan pendugaan parameter sebaran Poisson

menggunakan suatu program simulasi yang dirancang menggunakan konsep metode

Maximum Likelihood. Program simulasi tersebut dibuat menggunakan aplikasi

Matlab versi 5.3.

Konsep dasar metode CE dalam menduga parameter sebaran Poisson adalah

memaksimumkan fungsi tujuan. Dalam hal ini, mencari nilai parameter yang

menghasilkan fungsi Likelihood yang paling maksimum. Oleh karena itu, akan

terjadi proses update parameter secara berulang-ulang hingga fungsi tujuannya

terpenuhi. Adapun algoritma CE dalam pendugaan parameter sebaran Poisson hingga

mendapatkan nilai parameter paling optimum dipaparkan sebagai berikut:

Tidak

Ya

Gambar 4.1. Flowchart algoritma CE dalam pendugaan parameter sebaran Poisson

Proses pendugaan parameter sebaran Poisson dengan metode CE diawali

dengan menginputkan data hasil bangkitan, selanjutnya menentukan parameter inisial

awal dari µ dengan asumsi bahwa µ ~ N(µ, σ), misalkan µ = 0 dan σ = 100. Setelah

itu dilanjutkan dengan membangkitkan parameter µ. Hasil bangkitan parameter µ

kemudian difikskan/dimasukkan pada fungsi tujuan yakni fungsi Likelihood. Setelah

itu, dipilih 10% nilai µ yang menghasilkan nilai Likelihood terbesar yang dinamakan

parameter elit. Selanjutnya dilakukan penghitungan nilai µ dan σ berdasarkan nilai

parameter elit, dimana nilai µ dan σ tersebut akan dijadikan inputan untuk

memperbaharui parameter inisial awal, setelah itu dilakukan kembali pembangkitan

parameter µ. Proses pembaruan (update) dan pembangkitan parameter µ akan terus

Mulai

Input Data

Penentuan Parameter

Inisial Awal

(µ = 0, σ = 100)

Membangkitkan

Parameter

(µ = 0, σ = 100)

Selesai

σ ≈ 0

Pemilihan

Parameter Elit

Update Parameter

berlanjut dan akan berhenti ketika nilai parameter yang diperoleh merupakan

parameter yang paling optimum (nilai σ ≈ 0). Program Matlab yang dibuat

ditampilkan pada Lampiran 3. Adapun hasil yang diperoleh

dengan menggunakan metode CE untuk data sebanyak 40 amatan diperoleh nilai µ =

1,9250.

4.2.3 Penerapan Metode Maximum Likelihood

Pendugaan parameter sebaran Poisson dengan menggunakan metode

Maximum Likelihood dilakukan dengan menggunakan aplikasi SPSS versi 13. Data

yang digunakan sama seperti pada metode CE yakni menggunakan data bangkitan

yang terdapat pada Lampiran 1. Hasil pendugaan parameter menggunakan metode

Maximum Likelihood untuk data sebanyak 40 amatan diperoleh nilai µ = 1,9250.

Nilai parameter tersebut relatif sama dengan parameter yang dihasilkan dengan

menggunakan metode CE.

4.2.4 Penerapan Metode Cross Entropy (CE) dan Metode Maximum Likelihood

dengan Ukuran Contoh Berbeda

Nilai Parameter yang diperoleh dari metode CE dan metode Maximum

Likelihood dengan menggunakan data bangkitan sebanyak 40 amatan dan µ = 2

memperoleh hasil yang relatif sama. Oleh karena itu, perlu dilakukan penerapan

metode CE dan metode Maximum Likelihood dengan ukuran sampel yang berbeda

agar dapat dilihat konsistensi dari nilai parameter yang dihasilkan oleh metode CE

dan bisa lebih menegaskan bahwa metode CE dapat diaplikasikan dalam pendugaan

parameter sebaran Poisson. Berikut nilai parameter yang diperoleh dengan

menggunakan data dengan jumlah amatan yang berbeda-beda:

Tabel 4.1. Nilai parameter sebaran Poisson menggunakan metode CE dan

Maximum Likelihood

No Banyaknya Amatan

(N)

Metode CE Maximum Likelihood

µ µ

1 10 1,8000 1,8000

2 20 2,4500 2,4500

3 30 2,2667 2,2667

4 40 1,9250 1,9250

5 50 2,1200 2,1200

6 60 2,2167 2,2167

7 70 2,3571 2,3571

8 80 2,1625 2,1625

9 90 2,1111 2,1111

10 100 2,0300 2,0300

Berdasarkan tabel di atas dapat diketahui bahwa untuk data bangkitan dengan

µ = 2, metode CE dan metode Maximum Likelihood menghasilkan nilai parameter

yang relatif sama meskipun menggunakan banyaknya amatan yang berbeda-beda.

4.2.5 Penerapan Metode Cross Entropy (CE) dan Metode Maximum Likelihood

Menggunakan Data Bangkitan dengan µ Berbeda

Pendugaan parameter sebaran Poisson dengan metode CE dan metode

Maximum Likelihood perlu pula dilakukan dengan menggunakan data bangkitan

yang berbeda. Dalam hal ini, dilakukan pada data bangkitan dengan nilai µ yang

berbeda dan jumlah amatan yang berbeda pula.

Tabel 4.2. Hasil pendugaan parameter menggunakan data bangkitan dengan µ = 1

No Banyaknya Amatan

(N)


µ µ

1 10 1,0000 1,0000

2 20 1,0000 1,0000

3 30 0,8667 0,8667

4 40 0,9750 0,9750

5 50 1,1200 1,1200

6 60 1,1333 1,1333

7 70 1,1571 1,1571

8 80 1,0625 1,0625

9 90 1,0778 1,0778

10 100 1,0400 1,0400


µ = 1, metode CE dan metode Maximum Likelihood tetap menghasilkan nilai

parameter yang relatif sama meskipun menggunakan banyaknya amatan yang

berbeda-beda.


No Banyaknya Amatan

(N)


µ µ

1 10 2,2000 2,2000

2 20 3,4000 3,4000

3 30 2,5333 2,5333

4 40 2,8500 2,8500

5 50 3,3200 3,3200

6 60 3,2167 3,2167

7 70 3,3000 3,3000

8 80 3,0875 3,0875

9 90 3,1333 3,1333

10 100 3,1700 3,1700




berbeda-beda..


No Banyaknya Amatan

(N)


µ µ

1 10 3,9000 3,9000

2 20 3,7500 3,7500

3 30 4,4667 4,4667

4 40 3,8000 3,8000

5 50 4,2600 4,2600

6 60 4,1167 4,1167

7 70 4,1714 4,1714

8 80 3,9625 3,9625

9 90 4,0889 4,0889

10 100 4,1300 4,1300




berbeda-beda.


No Banyaknya Amatan

(N)


µ µ

1 10 5,5000 5,5000

2 20 5,3000 5,3000

3 30 5,5000 5,5000

4 40 5,3250 5,3250

5 50 5,1400 5,1400

6 60 4,9500 4,9500

7 70 5,0714 5,0714

8 80 4,9625 4,9625

9 90 5,1333 5,1333

10 100 5,1700 5,1700




berbeda-beda.

4.2.6 Iterasi dan Waktu yang Digunakan Metode Cross Entropy (CE)

Sebagai metode pendekatan baru dalam menduga parameter sebaran Poisson,

metode CE dapat menghitung nilai parameter dengan waktu yang relatif singkat.

Dalam proses pendugaan tersebut terjadi beberapa kali iterasi (ulangan) hingga

fungsi tujuan terpenuhi atau sampai diperoleh nilai parameter yang memiliki fungsi

Likelihood yang paling maksimum. Waktu dan ulangan (iterasi) yang dibutuhkan

dalam pendugaan parameter pada setiap amatan ditampilkan dalam tabel berikut:

Tabel 4.6. Banyaknya iterasi dan waktu yang dibutuhkan dalam menggunakan

metode CE (untuk data bangkitan dengan µ = 1)

No Banyaknya Amatan

(N) Iterasi Waktu

(detik)

1 10 43 0.1100

2 20 46 0.1250

3 30 24 0.0930

4 40 33 0.0780

5 50 61 0.1250

6 60 83 0.1400

7 70 39 0.1100

8 80 58 0.1250

9 90 40 0.1100

10 100 87 0.1250

Rata-rata 51,4 0,1141

Waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan nilai parameter jika

menggunakan metode CE dirata-ratakan selama 0,1141 detik dan iterasi sebanyak

51,4 kali. Lamanya proses yang dibutuhkan oleh metode CE dalam pendugaan

parameter ini tergantung pada spesifikasi kerja komputer.

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa program Matlab

menggunakan metode CE yang dibuat dengan konsep Metode Maximum Likelihood

dapat digunakan untuk menduga parameter dari data yang menyebar Poisson. Hal ini

telah dibuktikan bahwa nilai parameter yang diperoleh dengan menggunakan metode

CE relatif sama dengan hasil yang diperoleh dengan metode Maximum Likelihood.

Selain itu, metode CE membutuhkan waktu yang singkat dalam proses pendugaan

parameter.

5.2 Saran

Bagi pembaca, diharapkan dapat mengembangkan ataupun menerapkan

metode Cross-Entropy dalam membuat suatu simulasi kejadian atau proses tertentu

agar diperoleh suatu cara cepat dan tepat dalam penyelesaiannya.

LAMPIRAN

Lampiran 1. Data bangkitan menggunakan software Matlab versi 5,3 dengan µ = 2

sebanyak 40 amatan

x = Poissrnd (2,40,1)

x =

3

2

3

0

1

1

4

2

2

2

1

2

2

1

3

0

3

3

2

2

5

2

2

2

3

2

3

2

4

1

1

0

2

1

0

1

0

3

3

1

Lampiran 2. Nilai parameter inisial awal untuk pendugaan parameter sebaran

Poisson menggunakan metode CE

n : length(x); (banyaknya data yang digunakan)

np : 100; (banyaknya parameter yang akan dibangkitkan)

ne : 10; (banyaknya sampel parameter elit akhir)

eps : 1x10-10

; (nilai eksponensial sebagai keadaan kondisi)

Like : zeros(100, 1); (matriks tujuan untuk memperoleh parameter)

mubar : 0; (nilai µ awal)

mustd : 10; (nilai standar deviasi awal)

it : 0; (iterasi/ulangan)

toc : waktu

Lampiran 3. Program Matlab untuk menduga parameter sebaran Poisson

menggunakan algoritma CE dengan µ = 2 dan N = 40

tic

x = poissrnd (2,40,1);

n = length (x);

x = x';

for i= 1: n

facx(i) = factorial(x(i));

end

np = 100;

ne = 10;

eps = 1e-10;

it = 0;

sumx = sum(x);

mubar = 0;

mustd = 100;

Like = zeros(100,1);

while mustd > eps

mu = mubar + mustd*randn(100,1);

for i = 1:100

mu(i) = abs(mu(i));

Like(i) = -n*mu(i) + sumx*log(mu(i)) - sum (log(facx));

end

Likes = sortrows([Like mu], 1);

mubar = mean(Likes(np-ne+1:np,2));

mustd = std(Likes(np-ne+1:np,2));

it = it + 1;

end

mubar

it

toc

Lampiran 4. Output pendugaan parameter sebaran Poisson menggunakan metode

Maximum Likelihood dengan µ = 1, 2, dan 3

Descriptive Statis tics

10 1,0000

20 1,0000

30 ,8667

40 ,9750

50 1,1200

60 1,1333

70 1,1571

80 1,0625

90 1,0778

100 1,0400

10

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

Valid N (lis tw ise)

N Mean


10 1,8000

20 2,4500

30 2,2667

40 1,9250

50 2,1200

60 2,2167

70 2,3571

80 2,1625

90 2,1111

100 2,0300

10

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10


N Mean


10 2,2000

20 3,4000

30 2,5333

40 2,8500

50 3,3200

60 3,2167

70 3,3000

80 3,0875

90 3,1333

100 3,1700

10

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10


N Mean

Lampiran 5. Output pendugaan parameter sebaran Poisson menggunakan metode

Maximum Likelihood dengan µ = 4 dan 5


10 3,9000

20 3,7500

30 4,4667

40 3,8000

50 4,2600

60 4,1167

70 4,1714

80 3,9625

90 4,0889

100 4,1300

10

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10


N Mean


10 5,5000

20 5,3000

30 5,5000

40 5,3250

50 5,1400

60 4,9500

70 5,0714

80 4,9625

90 5,1333

100 5,1700

10

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10


N Mean

T.A. Nur Haryaty

Documents

Transcript of T.A. Nur Haryaty