T1_662008001_Full Text

download T1_662008001_Full Text

of 24

description

full text

Transcript of T1_662008001_Full Text

  • 1

    PENDAHULUAN

    Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan

    seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang

    memperdagangkannya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena

    saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain itu,para investor juga dapat

    berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu

    turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi

    memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual

    sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus

    mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. Masalah perhitungan harga opsi

    (option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau

    dijual.

    Pada tahun 1900 Louis Bachelier memodelkan pergerakan harga saham mengikuti

    gerak Brown dengan konstanta drift = 0. Pada tahun 1973 Fischer Black dan Myron

    Scholes mempublikasikan The Pricing of Options and Corporate Liabilities, suatu paper

    yang mengubah secara cepat teori dari perhitungan harga opsi. Pada paper tersebut Black

    Scholes membuat beberapa asumsi,salah satunya adalah nilai asset mengikuti Gerak Brown

    Geometrik (GBG), dengan drift (ekspektasi dari return) dan volatility (standar deviasi

    dari return) yang bersifat konstan. Menurut Brigo (2007) return dari harga saham

    berdistribusi normal dan bersifat independent.

    Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012

    digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga Opsi Eropa menggunakan metode Gerak

    Brown Geometrik dengan nilai volatility dicari menggunakan metode Maximum Likelihood

    Estimation,serta menganggap kedua asumsi diatas telah dipenuhi.

    Selanjutnya data PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012

    digunakan untuk menguji kedua asumsi tersebut sehingga metode Gerak Brown Geometrik

    dapat digunakan, baik untuk memprediksi pergerakan harga saham maupun untuk

    menentukan Harga Opsi Eropa.

  • 1

    Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometrik

    Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya1)

    , Bambang Susanto2)

    , dan Hanna Arini Parhusip3)

    1)Mahasiswa Program Studi Matematika

    email:1)[email protected] 2)[email protected] 3)[email protected] 2) 3)

    Dosen Program Studi Matematika

    Fakultas Sains dan Matematika

    Universitas Kristen Satya Wacana

    Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

    ABSTRAK

    Pada dasarnya opsi didefinisikan sebagai kontrak antara dua pihak (writer dan holder) dimana writer

    memberikan hak tetapi bukan kewajiban kepada holder untuk membeli (call option) atau menjual (put

    option) suatu saham dengan harga yang telah disepakati di masa mendatang. Hal ini jelas akan

    mengakibatkan kerugian bagi writer. Untuk menghindari hal tersebut, maka writer harus memberi

    harga pada opsi. Pada umumnya perhitungan harga opsi dilakukan dengan menggunakan model Black

    Scholes (1973). Dalam penelitian ini akan dibahas cara menentukan harga Opsi Eropa

    menggunakan metode Gerak Brown Geometri. Pergerakan harga saham dimasa mendatang

    diasumsikan mengikuti model Gerak Brown Geometri, oleh karena itu dilakukan simulasi untuk

    memprediksi pergerakan harga saham tersebut yang selanjutnya harga Opsi Eropa dihitung dengan

    menggunakan fungsi payoff. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai volatility dari harga saham

    harus diketahui terlebih dahulu. Estimasi untuk volatility dilakukan menggunakan metode Maximum

    Likelihood Estimation. Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT.

    HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012. Hasil yang didapatkan dari

    penelitian ini adalah harga Opsi Eropa seandainya terjadi suatu kontrak opsi antara PT. HM.

    Sampoerna Tbk. dengan pihak lain.

    Kata Kunci: Opsi Eropa, Gerak Brown Geometri, Maximum Likelihood Estimation, payoff, volatility

    PENDAHULUAN

    Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan

    seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang

    memperdagangkan sahamnya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor

    karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain berinvestasi dengan

    cara memiliki secara langsung saham yang diperdagangkan di pasar, investor juga dapat

    berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu

    turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi

    memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual

    sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus

    mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. Masalah perhitungan harga opsi

  • 2

    (option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau

    dijual.

    Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012

    digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga opsi menggunakan model Gerak Brown

    Geometrik dengan nilai volatility terbaik dicari menggunakan metode Maximum Likelihood

    Estimation.

    DASAR TEORI

    Opsi

    Opsi adalah suatu perjanjian atau kontrak dimana seorang writer memberikan

    hak,bukan kewajiban bagi seorang holder untuk membeli atau menjual suatu saham dengan

    harga dan waktu yang telah ditetapkan.

    Dilihat dari hak yang dimiliki holder, opsi dibedakan menjadi dua,yaitu:

    1. Opsi beli

    Opsi beli yang lebih dikenal sebagai call option, adalah suatu hak untuk membeli

    sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu.

    2. Opsi Jual

    Opsi jual yang lebih dikenal sebagai put option, adalah suatu hak untuk menjual

    sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu.

    Dilihat dari waktu pelaksanaan, opsi dibedakan menjadi dua, yaitu :

    1. Opsi Eropa

    Opsi Eropa yaitu suatu kontrak opsi yang hanya bisa di laksanakan pada hari terakhir

    saat tanggal jatuh tempo masa berlakunya opsi tersebut.

    2. Opsi Amerika

    Opsi Amerika yaitu suatu kontrak opsi yang bisa dilaksanakan kapan saja di dalam

    masa berlakunya kontrak opsi.

    Fungsi Payoff

    Sekarang diperhatikan Opsi Eropa. Pada saat 0 t < T sebelum expiry date dari opsi

    akan ditemukan kesulitan untuk menghitung nilai opsi (V), tetapi pada saat expiry date T

    akan mudah sekali untuk menghitung nilai tersebut. Untuk harga Opsi Call Eropa, terdapat

    tiga kasus yang mungkin, yaitu

  • 3

    1. Harga saham lebih besar dari Strike Price (S > K)

    Karena tidak ada biaya transaksi, maka nilai opsi adalah V = S K > 0. Ini adalah

    alasan bagi holder untuk membeli saham dengan strike price K tetapi sebaliknya

    untuk Opsi Put Eropa.

    2. Harga saham lebih kecil dari Strike Price (S < K)

    Hal ini akan menyebabkan kerugian karena holder akan membeli saham tersebut

    dengan harga di atas harga pasar tetapi sebaliknya untuk Opsi Put Eropa.

    3. Harga Saham sama dengan Strike Price (S = K )

    Dalam kasus ini tidak ada perbedaan apakah holder akan menggunakan haknya untuk

    membeli(opsi call) atau menjual (opsi put) saham karena akan memberikan nilai V=0.

    Dari ketiga kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai dari Opsi Eropa pada saat

    expiry date T adalah

    V(S, T) = maks{d(ST - K ), 0} (1)

    dengan d= .

    Gerak Brown

    Suatu gerak Brown [ ,t 0] adalah proses stokastik yang memiliki sifat sifat

    berikut :

    1. B(0) = 0.

    2. Untuk t > s : berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s.

    3. Untuk 0 s t u : dan saling bebas.

    4. Lintasan kontinu : adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial

    dimanapun.

    Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1

    dinamakan gerak Brown baku (Nugroho).

    Model harga saham

    Didalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu

    keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon

    saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat dikatakan

  • 4

    bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai Markov

    merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi harga

    yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan dengan t.

    Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham terdiri atas

    dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan dt

    Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan drift

    ditunjukkan sebagai . Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham

    secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan

    dBt. Nilai didefinisikan sebagai volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar

    deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai dan dapat

    diestimasi menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Model harga saham yang

    dipengaruhi oleh nilai dan dengan masing-masing bergantung pada S dan t dirumuskan

    sebagai berikut

    dengan

    : nilai ekspektasi dari return ; : volatility saham (standar deviasi dari return)

    Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk

    (2)

    dengan merupakan gerak Brown baku sehingga model (2) disebut juga Gerak Brown

    Geometri untuk harga saham. Dengan mengaplikasikan Lemma Ito untuk f = ln(S(t)),

    persamaan (2) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009)

    . (3)

    Untuk = 0, maka persamaan (3) dapat dituliskan kembali menjadi

    atau (4)

    dengan B(t)= ; Z~N(0,1) dan return.

    Karena saham merupakan suatu asset yang berisiko (pergerakannya tidak dapat

    diprediksi), maka diperlukan suatu model agar pergerakan harga saham menjadi tidak

    berisiko sehingga dapat diprediksi pergerakanya. Selanjutnya dijelaskan pemodelan harga

    saham yang bebas risiko atau Risk Neutral Pricing.

  • 5

    Risk Neutral Pricing

    Hubungan antara suku bunga dan harga saham juga merupakan perhatian dalam

    finansial. Misalnya hal ini ditunjukan Alam dan Uddin (2009) yang membahas tentang suku

    bunga dan harga saham diantara negara berkembang. Pada makalah tersebut digunakan

    analisa runtun waktu dan regresi. Pada makalah ini kita akan membahas suku bunga dalam

    fungsi diskrit dan fungsi kontinu sebagaimana dibahas pada paragraf berikut.

    Dimisalkan besarnya tabungan awal F = 1. Besarnya tabungan setelah t periode

    dinotasikan dengan . Bunga yang dibayarkan untuk periode t sama dengan

    Jika bunga sebanding dengan besarnya maka dinamakan bunga berganda. Artinya

    (5)

    dimana r > 0 dinamakan suku bunga (interest rate). Persamaan (5) dapat dituliskan kembali

    menjadi

    (6)

    dan diambil = F = 1, maka diperoleh dengan adalah

    besarnya tabungan.

    Sekarang diandaikan bahwa r suku bunga tahunan yang dibayarkan n kali setiap

    tahunnya. Kita membagi satu tahun menjadi n subperiode dengan lebar sama, sehingga suku

    bunga untuk setiap periode , maka besarnya tabungan setelah m periode dirumuskan oleh

    . (7)

    Dimisalkan untuk bilangan bilangan asli m dan n , maka besarnya deposito

    saat t untuk bunga berganda dengan suku bunga r mempunyai rumus

    . (8)

    Untuk n mendekati tak hingga maka dipunyai = . Karena

    = F = 1,maka secara umum dipunyai bentuk atau dapat pula dituliskan dalam

    bentuk

  • 6

    (9)

    dengan disebut sebagai faktor terdiskon.

    Selanjutnya dimisalkan harga saham pada saat expiry date T dinyatakan dengan S (T) dan

    diasumsikan bahwa:

    1. X = ln ~ N(T,2T)

    2. S (0) = E(S (T)).

    Dari asumsi pertama, pdf untuk X dapat dituliskan dengan

    (10)

    Sehingga pdf untuk S(T) dapat diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi peubah

    acak melalui persamaan (10)

    . (11)

    Expected asset dapat diturunkan dengan memanfaatkan asumsi pertama,yaitu

    E[S(T) / S0] = E[ ] = E[ ] =

    Sehingga . (12)

    Dari asumsi kedua dan persamaan (12),dapat diperoleh

    S0 = = S0 sehingga

    Jadi . (13)

    Sehingga pdf untuk persamaan (11) dapat dituliskan menjadi

    ; sehingga

    (14)

    Maximum Likelihood Estimation untuk Data Berdistribusi Normal

    Misalkan sampel acak dengan pdf f(xi,) ,i = 1, 2, ... ,n dengan .

    Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X1,X2,...,Xn dipandang sebagai fungsi dari dan

    X1, X2, ... , Xn konstan, maka L() = disebut sebagai fungsi likelihood.

    Misalkan X1,X2,...,Xn sampel acak dengan pdf f(xi,) dan fungsi likelihood L(). Nilai

    = (X1,X2,...,Xn) yang memaksimumkan L() yakni L( ) L() untuk semua

  • 7

    dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk . Selanjutnya dibentuk fungsi

    Likelihood

    Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk

    .

    Nilai optimal diperoleh dengan kondisi yaitu . Diperoleh

    . (15)

    Demikian pula nilai optimal diperoleh dengan memenuhi kondisi , yaitu

    (16)

    Untuk mempelajari sifat optimal selanjutnya dibentuk matrik Hessian dr l

    karena dan det( ) > 0, maka negatife definite (Peressini,1988) yang berarti

    dan memaksimumkan .

    ANALISIS DAN PEMBAHASAN

    Estimasi Parameter

    Volatility saham merupakan nilai standar deviasi dari return. Perhitungan

    menggunakan rumus harga saham yang ditunjukan oleh persamaan (4) berdasarkan data

  • 8

    0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    5

    5.5x 10

    4 Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna

    waktu (t)

    Harg

    a S

    aham

    0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.15

    -0.1

    -0.05

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2Nilai Return dari Harga Saham

    Retu

    rn H

    arg

    a S

    aham

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 15.2

    5.3

    5.4

    5.5

    5.6

    5.7

    5.8

    5.9x 10

    4

    waktu

    Harg

    a Sa

    ham

    Simulasi Pergerakan Harga Saham

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005.3

    5.4

    5.5

    5.6

    5.7

    5.8

    5.9x 10

    4

    simulasi

    Harg

    a Sa

    ham

    Simulasi Harga Saham Saat Satu Tahun Kedepan

    saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. yang diambil pada tanggal 1 Maret 2010

    sampai 29 Februari 2012. Data ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari harga saham

    penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2 yang merupakan selisih

    dari nilai logaritma harga saham saat t dengan harga saham saat t-1.

    Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna Gambar 2 return dari harga saham

    Dengan menggunakan persamaan (15) dan (16), maka diperoleh = 0,00281 , =

    0,000402 dan volatility = 0,02004.

    Simulasi Harga Saham

    Setelah didapatkan estimasi volatility, maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi harga saham

    dengan expiry date T = 1 tahun menggunakan model harga saham Risk Neutral. Nilai r yang

    digunakan adalah suku bunga acuan yang dikeluarkan oleh Bank Indonesia atau yang lebih

    dikenal sebagai BI rate sebesar 5,75% per tahunnya. Hasil dari simulasi pergerakan harga

    saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan oleh Gambar 3 dan untuk hasil simulasi

    harga saham satu tahun kedepan ditunjukkan oleh Gambar 4.

    Gambar 3. S0 = 53.000 , T = 1 Tahun , =

    0,02004 dan r = 5,75%.

    Gambar 4. Hasil simulasi harga saham saat satu

    tahun kedepan.

    Perhitungan Nilai Opsi Eropa

    Selanjutnya dihitung harga Opsi Eropa saat ini menggunakan persamaan (1) dan (9)

    dapat diperoleh persamaan

  • 9

    dengan

    M : Banyaknya simulasi,K : Harga pelaksanaan (Strike Price ) dan d=

    Karena terdapat tiga nilai K yang mugkin yaitu K< , K= , dan K> maka

    diambil K dengan nilai 50.000, 53.000,dan 56.000 dan diperoleh hasil yang ditunjukan oleh

    Tabel 1.

    Tabel 1. Harga opsi Call dan Put Eropa dengan S0 = 53.000 , T = 1 Tahun , = 0,02004, r = 5,75%

    dan K yang berbeda.

    Strike Price (K) Harga Call Option Harga Put Option

    50.000 5.777 0

    53.000 2.944 0

    56.000 470 358

    Tabel diatas menunjukan harga Opsi Eropa baik Call Option maupun Put Option dari data

    harga saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. Dari tabel diatas dapat disimpulkan

    bahwa harga Put Option bernilai nol jika Strike Price berada dibawah atau sama dengan

    harga pasar. Sehingga PT. H.M. Sampoerna Tbk. tidak akan menjual sahamnya karena tidak

    akan menghasilkan keuntungan.

    KESIMPULAN

    Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana melakukan perhitungan harga Opsi

    Eropa dengan menggunakan data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna

    Tbk. pada tanggal 1 maret 2010 sampai 29 februari 2012. Metode yang digunakan adalah Gerak

    Brown Geometri dan diperoleh hasil berbagai harga Opsi Eropa baik Call Option maupun

    Put Option untuk harga kesepakatan yang berbeda. Jadi jika terjadi kontrak opsi antara PT

    Sampoerna terhadap pihak lain baik sebagai holder dan sebagai writer maka PT. H.M.

    Sampoerna Tbk. dapat menentukan harga opsi sehingga tidak terjadi kerugian saat kontrak

    opsi dilaksanakan.

  • 10

    DAFTAR PUSTAKA

    Alam,M.M dan Uddin , G.S. 2009. Relationship between Interest Rate and Stock Price:

    Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and

    Management, Vol 4. No. 3, http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217,

    (diakses pada 24 April 2012).

    BI Rate, http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate, (diakses pada 6

    Maret 2012).

    Black, F. Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of

    Political Economy, Vol 81. No. 3

    Brigo, D. Dalessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F. 2007. A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, http://ssrn.com/abstract=1109160, (diakses pada 25 Februari

    2012).

    Higham, Desmond J., 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. United

    Kingdom: Cambridge University Press.

    HMSP.JK Historical Prices, http://finance.yahoo.com, (diakses pada 1 Maret 2012).

    Hull, John C. 2009. Options,Futures, And Other Derivatives, 7th

    Edition. New Jersey:

    Pearson Education

    Nugroho, D. B. 2008. Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia

    Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung.

    Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J. 1988. The Mathematics of Nonlinear

    Programming. New York : Springer-Verlag.

    Rahman, A. 2010. Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan

    Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

    Sebelas Maret.

    Wikipedia, http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_%28keuangan%29, (diakses pada 3 Januari

    2012).

  • 1

    Uji Normalitas dan Uji Independensi Dalam Model Gerak Brown Geometrik Untuk

    Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna Tbk.

    Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya1)

    , Bambang Susanto2)

    , dan Hanna Arini Parhusip3)

    1)Mahasiswa Program Studi Matematika

    email:1)[email protected] 2)[email protected] 3)[email protected]

    2) 3)Dosen Program Studi Matematika

    Fakultas Sains dan Matematika

    Universitas Kristen Satya Wacana

    Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

    ABSTRAK

    Pergerakan harga saham tidak dapat ditentukan dengan pasti tetapi dapat diprediksi

    melalui suatu simulasi. Pergerakannya dimodelkan mengikuti Gerak Brown

    Geometrik. Terdapat dua asumsi yang ada pada Gerak Brown Geometrik, yaitu

    return dari harga saham berdistribusi normal dan bersifat independent. Pada

    penelitian ini akan dibahas mengenai cara menguji kedua asumsi tersebut serta

    simulasi pergerakan harga saham. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai

    volatility dan dari harga saham harus diestimasi terlebih dahulu. Estimasi untuk

    volatility dan dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation.

    Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT. HM.

    Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 31 Mei 2012. Hasil yang didapatkan

    dari penelitian ini adalah harga saham penutupan harian dari PT. HM Sampoerna

    mengikuti Gerak Brown Geometrik dan hasil simulasi Gerak Brown Geometrik

    untuk harga saham PT. HM Sampoerna juga disertakan.

    Kata Kunci: Gerak Brown Geometrik, return, distribusi normal, independent, volatility, Maximum

    Likelihood Estimation

    PENDAHULUAN

    Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan

    seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang

    memperdagangkannya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena

    saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Pada tahun 1900 Louis Bachelier

    memodelkan pergerakan harga saham mengikuti gerak Brown dengan konstanta drift = 0.

    Pada tahun 1973 Fischer Black dan Myron Scholes mempublikasikan The Pricing of

    Options and Corporate Liabilities, suatu paper yang mengubah secara cepat teori dari

    perhitungan harga opsi. Pada paper tersebut Black Scholes membuat beberapa asumsi,salah

  • 2

    satunya adalah nilai asset mengikuti Gerak Brown Geometrik (GBG), dengan drift

    (ekspektasi dari return) dan volatility (standar deviasi dari return) yang bersifat konstan.

    Menurut Brigo (2007) return dari harga saham berdistribusi normal dan bersifat independent.

    Pada penelitian sebelumnya (Pradhitya dkk, 2012) telah dibahas mengenai Gerak

    Brown Geometrik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah perhitungan harga Opsi

    Eropa dengan memanfaatkan kedua asumsi dari Gerak Brown Geometrik tersebut.

    Sedangkan pada penelitian kali ini akan dibahas mengenai pengujian asumsi tersebut

    sehingga metode ini dapat digunakan.

    Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 31 Mei 2012

    digunakan untuk menguji asumsi tersebut sehingga dapat dilakukan simulasi pergerakan

    harga sahamnya.

    PEMBAHASAN

    Model Harga Saham

    Dalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu

    keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon

    saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat

    diasumsikan bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai

    Markov merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi

    harga yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan

    dengan t. Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham

    terdiri atas dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan

    dengan dt Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan

    drift ditunjukkan sebagai . Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga

    saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan

    dengan dBt. Nilai adalah volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi

    dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai dan dapat diestimasi

    menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Dengan demikian model harga saham

    yang dipengaruhi oleh nilai dan dengan masing-masing bergantung pada S dan t

    dirumuskan sebagai berikut

    dengan

    : nilai ekspektasi dari return ; : volatility saham (standar deviasi dari return)

  • 3

    Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk

    (1)

    dengan merupakan gerak Brown baku sehingga model (1) disebut juga Gerak Brown

    Geometrik untuk harga saham.

    Adapun [ ,t 0] disebut sebagai Gerak Brown jika memiliki sifat sifat berikut :

    1. B(0) = 0.

    2. Untuk t > s : berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s.

    3. Untuk 0 s t u : dan saling bebas

    4. Lintasan kontinu : adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial

    dimanapun.

    Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1

    dinamakan gerak Brown baku.

    Dengan mengaplikasikan Lemma Ito, persamaan (1) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009)

    . (2)

    Persamaan (2) dapat dituliskan menjadi

    Untuk dan = 0, maka persamaan (2) dapat dituliskan kembali menjadi

    (3)

    dengan

    = harga saham saat T; = harga saham saat ini; T = waktu (dalam tahun).

    Persamaan (3) menunjukan Gerak Brown Geometrik untuk harga saham berdistribusi

    log-normal dengan return ln berdistribusi normal dan bersifat independent (Brigo).

    Data harga saham penutupan harian dari PT. HM Sampoerna yang diambil pada

    tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari

    harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2.

  • 4

    0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    5

    5.5x 10

    4 Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna

    waktu (t)

    Harg

    a S

    aham

    -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    160

    Return

    Frek

    uens

    i

    0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.15

    -0.1

    -0.05

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2Nilai Return dari Harga Saham

    Re

    turn

    Ha

    rga

    Sa

    ha

    m

    waktu (t)

    Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna. Gambar 2 return dari harga saham.

    (finance.yahoo.com)

    Uji Normalitas

    Terdapat dua metode dalam uji normalitas data, yaitu menggunakan statistik uji dan

    dengan metode grafis. Berikut ini akan dibahas mengenai uji normalitas data menggunakan

    metode grafis.

    Dalam metode grafis terdapat beberapa alat yang dapat digunakan untuk memeriksa

    apakah data berdistribusi normal atau tidak, misalnya:

    1. Histogram

    Apabila data berdistribusi normal atau mendekati normal maka bentuk

    histogram akan simetris atau mendekati simetris (seimbang). Hal ini ditunjukkan

    dengan nilai - nilai frekuensi yang besar berada di tengah tengah histogram.

    Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, model return dari Gerak Brown

    Geometrik diasumsikan berdistribusi normal. Maka selanjutnya diuji apakah return

    dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. memiliki distribusi

    normal. Histogram dari return ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut ini.

    Gambar 3. Histogram dari return

  • 5

    -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0.15

    -0.1

    -0.05

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    Standard Normal Quantiles

    Qua

    ntile

    s of

    Inpu

    t Sam

    ple

    QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal

    Dari histogram yang tersebut,dapat dilihat bahwa return harga saham

    penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. terpusat ditengah tengah histogram

    tepatnya berada disekitar nilai nol. Hal ini menunjukan bahwa return memiliki mean

    sama dengan nol. Selain itu dapat dilihat pula bahwa bentuk histogram mendekati

    simetris sehingga dapat disimpulkan bahwa return harga saham penutupan harian PT.

    HM Sampoerna Tbk. berdistribusi normal.

    2. QQ-Plot (Quantile Quantile Plot)

    QQ plot akan membentuk plot antara nilai nilai quantil teoritis (sumbu x)

    melawan nilai - nilai quantil dari data (sumbu y). Apabila plot berbentuk linier (garis

    lurus), maka hal ini merupakan indikasi bahwa data berdistribusi normal.

    QQ-Plot untuk return dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna

    Tbk. ditunjukkan oleh Gambar 4 berikut.

    Gambar 4. QQ-Plot dari return

    Dari QQ-Plot tersebut dapat dilihat bahwa return harga saham penutupan harian

    PT. HM Sampoerna Tbk. mendekati garis lurus sehingga dapat disimpulkan bahwa

    return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. berdistribusi normal

    walaupun ujung ujung dari QQ-Plot menyimpang dari garis lurus (Kurniawan).

    Uji Independensi

    Sifat penting lainnya dari Gerak Brown Geometrik adalah return bersifat independent.

    Untuk menjamin Gerak Brown Geometrik sesuai untuk memodelkan harga saham, harus diuji

    bahwa return dari data yang diamati bersifat independent.

  • 6

    0 5 10 15 20-0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    Lag

    Sam

    ple

    Auto

    corre

    latio

    n

    Sample Autocorrelation Function (ACF)

    Data dapat dikatakan independent jika nilai suatu data tidak dipengaruhi oleh nilai

    dari data yang sebelumnya atau tidak terdapat autokorelasi. Dalam makalah ini metode yang

    digunakan adalah dengan pengamatan terhadap nilai autokorelasi (ACF). Fungsi autokorelasi

    untuk lag k didefinisikan oleh:

    (4)

    dengan

    n = banyak data; k = panjang lag; x = return; = variansi dari return;

    = ekspektasi dari return.

    ACF(k) dapat dikatakan memberikan perkiraan korelasi antara dan .

    Independensi dapat pula diamati dari fungsi autokorelasi parsial (PACF). PACF(k)

    memberikan informasi tentang korelasi antara dan dan dapat dedfinisikan

    dengan

    dengan dan adalah estimasi terbaik dari dan jika

    diberikan (Brigo).

    ACF dan PACF dari return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk.

    yang ditunjukkan oleh Gambar 5 dan Gambar 6 berikut.

    Gambar 5. ACF dari return

  • 7

    0 5 10 15 20-0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    Lag

    Sample Pa

    rtial A

    utoc

    orrelatio

    ns

    Sample Partial Autocorrelation Function

    Gambar 6. PACF dari return

    Dari Gambar 5 dan Gambar 6 dapat dilihat bahwa nilai ACF dan PACF dari return harga

    saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. mendekati nol. Sehingga dapat

    disimpulkan bahwa return tidak berkorelasi yang berarti return harga saham penutupan

    harian PT. HM Sampoerna Tbk. bersifat independent (Brigo).

    Maximum Likelihood Estimation untuk Data Berdistribusi Normal

    Setelah asumsi normal dan independent dari return dipenuhi, selanjutnya model

    Gerak Brown Geometri dapat digunakan untuk mensimulasi pergerakan harga saham PT. HM

    Sampoerna Tbk. dimasa mendatang. Sebelumnya nilai volatility dan harus diketahui.

    Untuk mengetahui nilai volatility dan digunakan metode Maximum Likelihood Estimation.

    Misalkan sampel acak dengan pdf f(xi,) ,i = 1, 2, ... ,n dengan .

    Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X1,X2,...,Xn dipandang sebagai fungsi dari dan

    X1, X2, ... , Xn konstan, maka L() = disebut sebagai fungsi likelihood.

    Misalkan X1,X2,...,Xn sampel acak dengan pdf f(xi,) dan fungsi likelihood L(). Nilai

    = (X1,X2,...,Xn) yang memaksimumkan L() yakni L( ) L() untuk semua

    dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk . Selanjutnya dibentuk fungsi

    Likelihood

    Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk

  • 8

    .

    Nilai optimal diperoleh dengan kondisi , sehingga didapatkan

    . (5)

    Demikian pula nilai optimal diperoleh dengan memenuhi kondisi , sehingga

    didapatkan

    (6)

    dengan x = return; = variansi dari return; = ekspektasi dari return.

    Dengan menggunakan persamaan (5) dan (6) maka diperoleh = 0,00281 ,

    = 0,000402 dan volatility = 0,02004.

    Simulasi Gerak Brown Geometrik

    Setelah didapatkan estimasi volatility dan , maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi

    harga saham tiga bulan mendatang (T = 1/4) dengan sama dengan 53000 yang dilihat dari

    data harga saham penutupan PT. HM Sampoerna tanggal 29 Februari 2012.

    Untuk simulasi Gerak Brown Geometrik, persamaan (3) dituliskan dalam bentuk :

    dengan Z adalah bilangan acak berdistribusi normal baku (Brigo,2007) dan dt = T/n.

    Hasil dari simulasi pergerakan harga saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan

    oleh Gambar 7.

  • 9

    0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.255.1

    5.15

    5.2

    5.25

    5.3

    5.35

    5.4

    5.45x 10

    4

    waktu(Tahun)

    Harga Sa

    ham(R

    upiah)

    Simulasi Pergerakan Harga Saham

    Gambar 7. simulasi pergerakan harga saham PT. HM Sampoerna Tbk.

    selama tiga bulan mendatang.

    Dari Gambar 7 dapat dilihat adanya variasi perubahan harga saham saat tiga bulan

    kedepan. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, hal ini disebabkan oleh adanya faktor

    dari luar yaitu informasi baru tentang saham PT. HM Sampoerna Tbk.

    Studi Error

    Karena , artinya nilai saham t menentukan nilai saham pada

    waktu selanjutnya (t + 1), sehingga nilai juga berpengaruh terhadap kesalahan simulasi

    pada waktu (terjadi perambatan error).

    Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari

    sampai 31 Mei 2012 yang ditunjukan oleh Gambar 8 digunakan untuk mendapatkan nilai

    error dari simulasi yang ditunjukkan oleh Gambar 7. Prosentase Nilai error didapatkan

    dengan menggunakan rumus

    dengan merupakan rata rata dari simulasi ke i dan ditunjukan oleh Gambar 9.

  • 10

    0 10 20 30 40 50 60 705.25

    5.3

    5.35

    5.4

    5.45

    5.5

    5.55

    5.6x 10

    4

    waktu(Hari)

    Ha

    rga

    Sa

    ha

    mHarga Saham PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012

    0 10 20 30 40 50 60 700

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    5

    waktu(Hari)

    Err

    or

    Da

    ri S

    imu

    las

    i (d

    ala

    m p

    ers

    en

    )

    Studi Error

    Gambar 8. Harga Saham Penutupan Harian PT.

    HM Sampoerna Tbk. Tanggal 29 Februari Sampai

    31 Mei 2012

    Gambar 9. Nilai Error Dari Simulasi

    Prosentase nilai error terbesar dari simulasi adalah sebesar 4.95 %.

    KESIMPULAN

    Pada makalah ini telah dijelaskan mengenai bagaimana menguji asumsi yang terdapat

    pada Gerak Brown Geometri serta simulasi Gerak Brown Geometrik. Data yang digunakan

    data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret

    2010 sampai 29 Februari 2012. Hasil yang didapatkan adalah return dari harga saham

    penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29

    Februari 2012 berdistribusi normal dan independent sehingga harga saham penutupan harian

    dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012

    mengikuti Gerak Brown Geometrik. Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna

    Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk mengamati nilai error dari

    simulasi. Dengan mengamati nilai error tersebut dapat disimpulkan bahwa Gerak Brown

    Geometrik dapat digunakan untuk memprediksi pergerakan dari harga saham penutupan

    harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk.

  • 11

    DAFTAR PUSTAKA

    Black, F. Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of

    Political Economy, Vol 81. No. 3.

    Brigo, D. Dalessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F. 2007. A Stochastic Processes

    Toolkit for Risk Management, http://ssrn.com/abstract=1109160, (diakses pada 25 Februari

    2012).

    Higham, Desmond J., 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. United

    Kingdom: Cambridge University Press.

    HMSP.JK Historical Prices, http://finance.yahoo.com, (diakses pada 1 Maret 2012).

    Hull, John C. 2009. Options,Futures, and Other Derivatives, 7th

    Edition. New Jersey: Pearson

    Education.

    Kurniawan, D. 2008. Regresi Linier, http://ineddeni.wordpress.com,(diunduh pada 10 Mei

    2012).

    Nugroho, D. B. 2008. Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia

    Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung.

    Pradhitya, K.A.S., Susanto, B., dan Parhusip,H.A.,2012. Perhitungan Harga Opsi Eropa

    Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri. Prosiding Seminar Nasional Penelitian,

    Pendidikan dan Penerapan MIPA,Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta.

    Rahman, A. 2010. Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan

    Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

    Sebelas Maret, Surakarta.

  • 2

    PENUTUP

    Hasil analisa dan pembahasan yang didapatkan adalah return dari harga saham

    penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29

    Februari 2012 berdistribusi normal dan independent sehingga harga saham penutupan harian

    dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012

    mengikuti Gerak Brown Geometri. Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna

    Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk mengamati nilai error dari

    simulasi. Dengan mengamati nilai error tersebut dapat disimpulkan bahwa Gerak Brown

    Geometri dapat digunakan untuk memprediksi pergerakan harga saham ataupun menentukan

    harga Opsi Eropa PT. H.M. Sampoerna Tbk.

  • DAFTAR PUSTAKA

    Alam,M.M dan Uddin , G.S. 2009. Relationship between Interest Rate and Stock Price:

    Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and

    Management, Vol 4. No. 3, http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217,

    (diakses pada 24 April 2012).

    BI Rate, http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate, (diakses pada 6

    Maret 2012).

    Black, F. Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of

    Political Economy, Vol 81. No. 3

    Brigo, D. Dalessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F. 2007. A Stochastic Processes

    Toolkit for Risk Management, http://ssrn.com/abstract=1109160, (diakses pada 25 Februari

    2012).

    Higham, Desmond J., 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. United

    Kingdom: Cambridge University Press.

    HMSP.JK Historical Prices, http://finance.yahoo.com, (diakses pada 1 Maret 2012).

    Hull, John C. 2009. Options,Futures, And Other Derivatives, 7th

    Edition. New Jersey:

    Pearson Education.

    Kurniawan, D. 2008. Regresi Linier, http://ineddeni.wordpress.com,(diunduh pada 10 Mei

    2012).

    Nugroho, D. B. 2008. Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia

    Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung.

    Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J. 1988. The Mathematics of Nonlinear

    Programming. New York : Springer-Verlag.

    Rahman, A. 2010. Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan

    Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

    Sebelas Maret.

    Wikipedia, http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_%28keuangan%29, (diakses pada 3 Januari

    2012).