Survival Skrip

63
ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP YANG BERDISTRIBUSI RAYLEIGH PADA DATA TERSENSOR TIPE II BESERTA SIMULASINYA SKRIPSI Diajukan dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata 1 untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains Oleh : Nama : Muh. Aris Sunandar NIM : 4150401026 Program Studi : Matematika S1 Jurusan : Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2006

Transcript of Survival Skrip

Page 1: Survival Skrip

ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP

YANG BERDISTRIBUSI RAYLEIGH PADA DATA

TERSENSOR TIPE II BESERTA SIMULASINYA

SKRIPSI

Diajukan dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata 1

untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains

Oleh :

Nama : Muh. Aris Sunandar

NIM : 4150401026

Program Studi : Matematika S1

Jurusan : Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2006

Page 2: Survival Skrip

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi dengan judul “Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang

Berdistribusi Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II Beserta Simulasinya”

ini telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:

Hari :

Tanggal :

Panitia Ujian

Ketua, Sekretaris,

Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.SiNIP. 130781011 NIP. 130815345

Pembimbing Utama Penguji Utama

Dra. Sunarmi, M.Si Dra. Nur Karomah D, M.SiNIP. 131763886 NIP. 131876228

Pembimbing Pendamping Anggota Penguji

Drs. Khaerun, M. Si Dra. Sunarmi, M.SiNIP. 131813671 NIP. 131763886

Anggota Penguji

Drs. Khaerun, M. Si NIP. 131813671

iii

Page 3: Survival Skrip

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

MOTTO

Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.(QS. Alam Nasyrah : 6)

Pelajarilah ilmu. Barang siapa yang mempelajarinya karena Allah, itu

taqwa. Mengulang-ulangnya, itu Tasbih. Membahasnya, itu jihad.

Mengajarkannya orang yang tidak tahu, itu sedekah. Memberikan kepada

yang akhirnya, itu mendekatkan diri kepada Tuhan. (Al-Ghozali, 1986)

Keberhasilan adalah sisi lain dari kegagalan, seperti tinta perak di balik

awan keraguan dan kau takkan pernah tahu seberapa dekat tujuanmu,

mungkin sudah dekat ketika bagimu terasa jauh, maka tetaplah berjuang

bahkan ketika hantaman makin keras, ketika segalanya tampak sangat

buruk, kau tetap tak boleh berhenti. (Clinton Howell)

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan kepada :

Ibu & Bapak tercinta,

Ade’-ade’ku tersayang (Didik &

Agung),

Anak-anak Helloween cost,

Teman-teman Mat’ 01.

iv

Page 4: Survival Skrip

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah, Rabb seru sekalian alam. Dialah yang mengutus

Rasul-Nya dengan membawa petunjuk dan dien yang benar agar dimenangkan-

Nya atas semua dien dan cukuplah Allah sebagai saksi.

Sholawat dan salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad

SAW, keluarga, para sahabat serta umat beliau yang senantiasa menegakkan

kalimat-kalimat Allah hingga akhir masa.

Segala perencanaan manusia hanyalah usaha, adapun realisasinya

hanyalah Allah yang menentukan. Penyusunan skripsi ini juga tidak terlepas dari

hal tersebut dan patutlah bagi penulis untuk mengucapkan rasa syukur atas

terselesainya skripsi yang berjudul “Estimasi Parameter Untuk Data Waktu

Hidup Yang Berdistribusi Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II Beserta

Simulasinya ”.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dari

berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan yang baik ini, penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada :

1. Dr. H. A. T. Soegito, S.H, M. M, Rektor Universitas Negeri Semarang,

2. Drs. Kasmadi Imam S., M. S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang,

3. Drs. Supriyono, M. Si, Ketua jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri

Semarang,

4. Dra. Sunarmi, M.Si., Pembimbing Utama yang telah memberikan bimbingan,

dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini,

v

Page 5: Survival Skrip

5. Drs. Khaerun, M. Si., Pembimbing Pendamping yang telah memberikan

bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini,

6. Dra. Kusni, M. Si, Kepala Laboratorium Matematika FMIPA Universitas

Negeri Semarang yang telah memberikan ijin dan segala fasilitas selama

melakukan penelitian di Laboratorium Komputer,

7. Bapak dan Ibu serta keluarga semua yang selalu mencurahkan kasih sayang,

8. Teman-teman seperjuangan yang telah memberikan bantuan dan dukungan

kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini tidak luput dari kesalahan

serta jauh dari sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat penulis harapkan

demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis semoga skripsi ini dapat

bermanfaat bagi kita semua.

Semarang, Desember 2005

Penulis

vi

Page 6: Survival Skrip

ABSTRAK

Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi saat ini berlangsung sangat pesat. Hal ini mendorong manusia untuk terus berupaya memanfaatkan kemajuan teknologi tersebut yang diantaranya diwujudkan melalui penelitian-penelitian. Dalam bidang matematika terdapat cabang ilmu satistika yang sudah berkembang begitu jauh dengan adanya penemuan berbagai alat analisis untuk berbagai keperluan inferensi, estimasi, pengujian dan metode peramalan. Uji hidup adalah penyelidikan tentang daya tahan hidup suatu unit atau komponen pada keadaan operasional tertentu. Data waktu hidup yang diperoleh dari percobaan uji hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Data tersensor tipe II adalah suatu data waktu kematian atau kegagalan yang hanya terdapat r buah observasi terkecil dalam sampel random yang berukuran n dengan 1 nr ≤≤ . Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. untuk menganalisis terhadap fungsi distribusi dari data waktu hidup adalah dengan mengestimasi harga parameter distribusinya.

Permasalahan dalam penelitian ini adalah Bagaimana estimasi parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II?, Bagaimana simulasi hasil yang diperoleh dengan program Microsoft Visual Basic 6.0? dan batasan masalah dari penelitian ini adalah data yang digunakan adalah data waktu hidup yang tersensor tipe II, tidak berkelompok (tunggal), data Waktu hidup yang tersensor tipe II diasumsikan berdistribusi Rayleigh.

Langkah-langkah dalam penelitian ini yaitu mengidentifikasi dan mengumpulkan materi-materi prasyarat, mencari estimator parameter untuk data waktu hidup berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II serta membuat simulasi yang diperoleh dengan program Microsoft Visual Basic 6.0.

Berdasarkan hasil penelitian maka dapat disimpulkan bahwa Estimator

maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor

tipe II adalah

θ

21

2

1

2 )( ⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∑=

r

r

ii trnt

rθ dan Estimator maksimum likelihood dari

parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor tipe II dapat disimulasikan dengan program Microsoft Visual Basic 6.0 dengan hasil yang efisien dan dapat disajikan dalam tampilan yang lebih menarik. Berdasarkan hasil penelitian disarankan disarankan adanya penelitian lebih lanjut mengenai Estimator

maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor Tipe I serta simulasinya dan juga untuk distribusi-distribusi yang lain pada data berkelompok.

θ

θ

ii

Page 7: Survival Skrip

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………….. i

ABSTRAK ……………………………………………….…………………. ii

HALAMAN PENGESAHAN..………………………………………………. iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN …………………………….…………….. iv

KATA PENGANTAR...……………………………………………………… v

DAFTAR ISI ……………………………………………………………….. vii

DAFTAR GAMBAR…………………… ……..………………………… … ix

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL…………………………………………. x

I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ..…………………………………………………… 1

B. Rumusan Masalah …………………………………………………. 3

C. Pembatasan Masalah……………………………………………….. 3

D. Tujuan dan Manfaat Penelitian ……………………………………. 4

E. Sistematika Penulisan Skripsi ..……………………………………. 4

II. LANDASAN TEORI

A. Konsep Dasar Probabilitas….………………………………………. 6

B. Variabel Randon dan Distribusi Peluang …………….…………….. 9

C. Konsep Dasar Distribusi Waktu Hidup………….. ...…….………… 12

D. Statistik Terurut……………………….. …………………………… 16

E. Data Tersensor….. ……………………………….…………………. 17

F. Fungsi Tahan Hidup Empirik ……………………………………….. 19

G. Distribusi Weibull………………………………. …………………. 19

H. Distribusi Rayleigh …………………………………………………. 20

I. Metode Estimasi Parameter Distribusi dengan metode Maksimum

Likelihood……………………… ………………………………….. 21

J. Uji Kolmogorov – Smirnov ………………………………………… 23

K. Microsoft Visual Basic Versi 6.0……………………………………. 25

vii

Page 8: Survival Skrip

III. METODE PENELITIAN…………………………………………… 33

IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup Yang Berdistribusi

Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II dengan Metode Maksimum

Likelihood………………………………………………………….. 36

B. Simulasi Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup Yang

Berdistribusi Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II dengan

Menggunakan Program Microsoft Visual Basic 6.0

……………………………………………………………………... 41

V. PENUTUP

A. Simpulan …………………………………………………………… 51

B. Saran ………………………………………………………………. 51

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………. 53

LAMPIRAN ………………………………………………………………… 54

viii

Page 9: Survival Skrip

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Lingkungan Kerja Microsoft Visual Basic Versi 6.0 ………….. 26

Gambar 2.2 Toolbox di Microsoft Visual Basic Versi 6.0…………………... 28

Gambar 2.3 Jendela Source Program di Microsoft Visual Basic Versi 6.0 .... 30

Gambar 4.1 Form Menu Utama ……………………………………………. 42

Gambar 4.2 Form Input Data ………………………………………………. 43

Gambar 4.3 Tampilan Output 1…………………………………………… 44

Gambar 4.4 Tampilan Output 2…………………………………………… 46

Gambar 4.5 Tampilan Output 3…………………………………………… 48

Gambar 4.6 Tampilan Output 4…………………………………………… 50

ix

Page 10: Survival Skrip

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

S : Ruang Sampel

X : Variabel Random

F(.) : Fungsi Distribusi

f(.) : Fungsi Densitas Probabilitas

g(.) : Fungsi Densitas Untuk Statistik Terurut

S(.) : Fungsi Tahan Hidup

θ, β : Parameter

θ : Estimator Parameter

Ω : Ruang Parameter

n : Banyaknya Sampel Random

P : Probabilitas

h(.) : Fungsi Hazard

H(.) : Fungsi Hazard kumulatif

L(.) : Fungsi Likelihood

i : Rank Observasi

r : Indeks Batas Data Tersensor

T : Variabel Random Waktu Hidup

ti : Waktu Hidup Obyek ke-i

θddL(.) : Turunan dari Fungsi Likelihood terhadap Parameter θ

Π : Phi (Perkalian Faktor-faktor)

Σ : Sigma (Pemjumlahan Suku-Suku)

x

Page 11: Survival Skrip

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi saat ini berlangsung sangat

pesat. Hal ini mendorong manusia untuk terus berupaya memanfaatkan kemajuan

teknologi tersebut yang diantaranya diwujudkan melalui penelitian-peneliatian.

Penelitian yang dilakukan dapat berupa penelitian yang bertujuan untuk menemukan

dan menyelesaikan masalah-masalah baru, mengembangkan pengetahuan yang ada

maupun penelitian dalam menguji kebenaran suatu pengetahuan.

Dalam bidang matematika juga terdapat cabang statistika yang sudah

berkembang begitu jauh dengan adanya penemuan berbagai alat analisis untuk

berbagai keperluan inferensi, estimasi, pengujian dan metode peramalan. Uji hidup

adalah penyelidikan tentang daya tahan hidup suatu unit atau komponen pada

keadaan operasional tertentu. Ruang lingkup penggunaan uji hidup diantaranya

adalah dalam bidang teknik, biologi, rekayasa dan kedokteran.

Berbagai penelitian di bidang Biologi, Fisika, Pertanian dan Kedokteran

tersebut biasanya akan menghasilkan data yang berhubungan dengan waktu hidup

dari suatu individu. Data waktu hidup merupakan variabel random non negatif.

Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup tersebut

disebut analisis tahan hidup (Survival).

1

Page 12: Survival Skrip

2

Data waktu hidup yang diperoleh dari percobaan uji hidup dapat berbentuk

data lengkap, data tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Berbentuk data lengkap

jika semua benda dalam percobaan diuji sampai semuanya “mati”. Berbentuk data

tersensor tipe I jika data uji hidup dihasilkan setelah percobaan berjalan selama waktu

yang ditentukan, serta berbentuk data tersensor tipe II jika observasi diakhiri setelah

sejumlah kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982: 43). Data

tersensor tipe II adalah suatu data waktu kematian atau kegagalan yang hanya

terdapat r buah observasi terkecil dalam sampel random yang berukuran n dengan

1 nr ≤≤ . Eksperimen menunjukkan penyensoran tipe II lebih sering digunakan,

misalnya dalam uji hidup dari total observasi sebanyak n, tetapi uji akan berhenti

pada waktu observasi sampel mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-r untuk

1 nr ≤≤ .

Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi

tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Beberapa

distribusi yang dapat digunakan untuk menggambarkan waktu hidup antara lain

Distribusi Eksponensial, Distribusi Weibull, Distribusi Gamma, Distribusi Rayleigh,

dan lain-lain (Lawless, 1982: 26). Di antara beberapa distribusi tersebut, dalam

skripsi ini dipilih fungsi tahan hidup berdistribusi Rayleigh, atau data waktu hidup

diasumsikan mengikuti distribusi Rayleigh.

Untuk mengetahui apakah distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang

diasumsikan telah menggambarkan keadaan yang sesungguhnya, diperlukan suatu

Page 13: Survival Skrip

3

analisis terhadap data waktu hidup. Langkah untuk menganalisis terhadap fungsi

distribusi dari data waktu hidup adalah dengan mengestimasi harga parameter

distribusinya. Dari hasil-hasil yang diperoleh belum disimulasikan dengan bantuan

komputer khususnya dengan program Microsoft Visual Basic 6.0. Berdasarkan

tersebut maka mendorong untuk mengadakan penelitian tentang Estimasi Parameter

Untuk Data Waktu Hidup yang Berdistribusi Rayleigh Pada Data Tipe II Beserta

Simulasinya.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut.

1. Bagaimana estimasi parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi

Rayleigh pada data tersensor tipe II?

2. Bagaimana simulasi hasil yang diperoleh dengan program Microsoft Visual Basic

6.0?

C. Batasan Masalah

Untuk membatasi ruang lingkup pada penelitian ini diberikan batasan masalah

sebagai berikut.

1. Data yang digunakan adalah data waktu hidup yang tersensor tipe II, tidak

berkelompok (tunggal).

2. Data Waktu hidup yang tersensor tipe II diasumsikan berdistribusi Rayleigh.

Page 14: Survival Skrip

4

D. Tujuan Dan Manfaat Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Dapat menentukan estimator parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi

Rayleigh pada data tersensor tipe II.

2. Dapat Mengetahui simulasi hasil yang didapat dengan menggunakan program

Microsoft Visual Basic 6.0.

Adapun manfaat yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Secara teoritis akan memberikan tambahan wawasan terhadap ilmu statistika

terutama tentang fungsi tahan hidup untuk data waktu hidup yang berdistribusi

Rayleigh.

2. Karena bersifat aplikatif maka dapat diterapkan pada ilmu lain di luar statistika

misalnya ilmu biologi, kedokteran dan teknik.

E. Sistematika Skripsi

Secara garis besar Skripsi ini dibagi menjadi tiga bagian yaitu bagian

Pendahuluan, bagian Isi dan bagian Akhir.

1. Bagian Pendahuluan Skripsi meliputi: Halaman Judul, Abstrak, Halaman

Pengesahan, Motto dan Persembahan, Kata Pengantar dan Daftar isi.

Page 15: Survival Skrip

5

2. Bagian Isi skripsi terdiri dari lima bab, yaitu sebagai berikut.

BAB I Pendahuluan

Bab ini berisi tentang latar belakang, permasalahan, batasan masalah,

tujuan dan manfaat penelitian serta sistematika skripsi.

BAB II Landasan Teori

Bab ini berisi tentang teori-teori mendasar yang mendukung dalam

pelaksanaan penelitian.

BAB III Metode Penelitian

Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu

dengan menggunakan metode literatur.

BAB IV Hasil Penelitian dan Pembahasan

Bab ini berisi tentang penyelesaian dari permasalahan yang

diungkapkan, yaitu estimasi parameter untuk data waktu hidup yang

berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II dan simulasi hasil

yang didapat dengan menggunakan program Microsoft Visual Basic

6.0.

BAB V Penutup

Bab ini berisi simpulan dan saran.

3. Bagian Akhir skripsi, berisi Daftar Pustaka dan Lampiran

Page 16: Survival Skrip

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Konsep Dasar Probabilitas

1. Ruang Sampel dan Kejadian

Definisi 1

Himpunan semua hasil semua hasil (outcome) yang mungkin muncul pada

suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S.

( Bain, L.J, 1992: 2)

Tiap – tiap hasil yang mungkin dalam ruang sampel disebut unsur atau

anggota ruang sampel tersebut atau disebut juga dengan istilah titik sampel.

Contoh:

Pada percobaan melempar dua mata uang, diperoleh S = AA, AG, GA, GG,

dengan AA adalah kejadian muncul angka pada lemparan pertama, dan

muncul angka pada lemparan kedua; AG adalah kejadian muncul angka pada

lemparan pertama, dan muncul gambar pada lemparan kedua; GA adalah

kejadian muncul gambar pada lemparan pertama, dan muncul angka pada

lemparan kedua; GG adalah kejadian muncul gambar pada lemparan pertama,

dan muncul gambar pada lemparan kedua. Titik sampelnya adalah AA, AG,

GA, dan GG.

Definisi 2

Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

(Bain, L.J, 1992:4)

6

Page 17: Survival Skrip

7

Contoh :

Suatu percobaan yang dilakukan denga melantunkan sebuah dadu, maka ruang

sampelnya: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Misalkan A menyatakan suatu kejadian

bahwa bilangan genap muncul, maka kejadian A = 2, 4, 6, sehingga A

merupakan himpunan bagian ruang sampel S, dinotasikan sebagai A ⊂ S.

Definisi 3

Ruang nol atau ruang kosong adalah himpunan bagian ruang sampel yang

tidak mengandung unsur. Himpunan ini dinyatakan dengan lambang ∅.

(Walpole, 1995:4)

2. Definisi Peluang Suatu Kejadian

Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian

atau peristiwa. Peluang dinyatakan dalam pecahan atau desimal antara 0 dan

1. bila peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak akan

terjadi. Sedangkan bila peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian

tersebut pasti terjadi. Dalam teori peluang suatu kejadian adalah satu atau

beberapa kemungkinan hasil dari suatu tindakan. (Richard.I.levin: 2000).

Tujuan teori peluang adalah menggambarkan dan menaksir rata –rata

sedemikian itu dalam bentuk peluang kejadian. Peluang kejadian A ditulis

P(A). Menurut Papoulis (1992: 6) peluang didefinisikan dengan menggunakan

tiga pendekatan yang berbeda. Ketiga definisi tersebut adalah sebagai berikut.

Page 18: Survival Skrip

8

a. Definisi Aksiomatik.

Pendekatan aksiomatik peluang berdasar pada tiga postulat sebagai

berikut.

Peluang P(A) kejadian A adalah bilangan non negatif yang ditetapkan

pada kejadian ini yaitu

P(A) ≥ 0.

Peluang P(B) kejadian B pasti sama dengan 1, yaitu

P(B) = 1.

Dan bila kejadian – kejadian A dan B saling asing maka

P(A+B) = P(A) + P(B)

b. Definisi Frekuensi Relatif

Pendekatan frekuensi relatif berdasar pada definisi beikut.

Peluang P(A) kejadian A adalah limit dari perbandingan n(A) dengan N,

dimana n mendekati tak hingga , sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

P(A) = NAn

n

)(lim∞→

dimana n(A) adalah jumlah terjadinya suatu kejadian A dan N adalah

jumlah usaha.

c. Definisi Klasik

Menurut definisi klasik, Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N

macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari

hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

NAnAP )()( =

Page 19: Survival Skrip

9

Definisi 4

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah semua titik sampel yang termasuk A.

Jadi:

0≤P(A) ≤1, P(∅)=0, P(S)=1.

(Walpole, 1995:16)

Definisi 5

Misalkan A dan B menyatakan dua kejadian dalam koleksi kejadian dalam

ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari kejadian A bila diberikan

kejadian B dinotasikan dengan

P(AB) )(

)(BP

BAP ∩= dengan 0)( ≠BP

(Bain, L.J, 1992:18)

B. Variabel Random dan Distribusi Peluang

1. Variabel Random

Definisi 6

Variabel random X merupakan fungsi yang memetakan setiap hasil yang

mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian

sehingga X(e) = x.

(Bain, L.J, 1992:53)

Ada dua macam variabel random, yaitu variabel random diskrit dan

variabel random kontinu.

Page 20: Survival Skrip

10

Definisi 7

Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel random X

merupakan himpunan terbilang (countable set), yaitu x1, x2,, ..., xn atau

x1, x2,, ..., maka X disebut variabel random diskrit.

(Bain, L.J, 1992:53)

Definisi 8

Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel random X

merupakan selang bilangan real, maka X disebut variabel random kontinu.

(Bain, L.J, 1992:64)

2. Distribusi peluang

a. Distribusi Peluang Diskrit

Definisi 9

Misalkan A ruang dari variabel random diskrit X dan A terbilang. Fungsi f

dari A ke dalam R yang memenuhi:

a. f(x) ≥ 0 untuk setiap x di A

b. 1)( =∑xdiA

xf

dinamakan fungsi densitas probabilitas (fdp) dari variabel random diskrit X.

Jika variabel random diskrit X dengan fdp f(x), maka peluang suatu kejadian

A diberikan oleh

P(A) = ∑xdiA

xf )(

(Djauhari, 1990:41)

Page 21: Survival Skrip

11

Definisi 10

Fungsi distribusi kumulatif F(x) dari variabel random diskrit X didefinisikan

untuk sembarang bilangan real x oleh

)()( xXPxF ≤=

(Bain, L.J, 1992:53)

b. Distribusi Peluang Kontinu

Definisi 11

Misalkan A ruang variabel random kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam R

yang memenuhi:

a. f(x) ≥ 0, untuk semua x di A

b. ∫∞

∞−

=1)( dxxf

dinamakan fungsi densitas probabilitas (fdp) dari variabel random kontinu X.

Jika variabel random kontinu X memiliki fdp f(x), maka peluang suatu

kejadian atau peristiwa A, diberikan oleh

∫=xdiA

dxxfAP )()(

(Djauhari, 1990:43)

Definisi 12

Suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada selang nilai variabel random X

disebut fungsi densitas probabilitas (fdp kontinu), sehingga fungsi distribusi

kumulatifnya dapat dinyatakan sebagai

F(x) = ∫∞−

x

dttf )( .(Bain, L.J, 1992:64)

Page 22: Survival Skrip

12

C. Konsep Dasar Distribusi waktu Hidup

Misalkan variabel random T menunjukkan waktu hidup dari organisme

dalam populasi. Waktu hidup T merupakan variabel random kontinu dan non

negatif dalam interval [0,∞ ). Lawless (1982) menyebutkan bahwa distribusi

waktu hidup dapat dinyatakan dengan tiga fungsi yaitu, fungsi densitas

probabilitas, fungsi tahan hidup (Survival), dan fungsi hazard.

1. Fungsi Densitas Probabilitas

Menurut Lawless (1982) fungsi densitas probabilitas adalah

probabilitas suatu individu mati atau gagal dalam interval waktu dari t sampai

t + t, dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi densitas

Probabilitas dinyatakan dengan

Δ

f(t) = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ΔΔ+<≤

→Δ tttTtP

t

))((lim0

(2.1)

Waktu hidup merupakan variabel random non negatif, sehingga waktu hidup

hanya diukur untuk nilai t yang positif, maka diperoleh

f(t) = 0 untuk t<0 dan d(t) = 1. ∫∞

0

)(tf

2. Fungsi Tahan Hidup (Survival)

Menurut Lawless (1982) fungsi tahan hidup (Survival) adalah

probabilitas suatu individu yang masih dapat bertahan hidup sampai dengan

waktu t (t > 0). Jika T merupakan variabel random dari waktu hidup suatu

individu dalam interval [0,∞ ), maka fungsi distribusi kumulatif F(t) untuk

Page 23: Survival Skrip

13

distribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(t) dinyatakan sebagai

berikut

F(t) = P (T t) ≤

atau

F(t) = dx, untuk t > 0 (2.2) ∫t

xf0

)(

Oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup (Survival) yang didefinisikan

dengan

S(t) = P (T t) ≥

= 1 - P (T t) ≤

= 1 – F(t) (2.3)

Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-

komponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi Survival.

Jadi hubungan fungsi densitas probabilitas dengan fungsi tahan

hidup (Survival) adalah

f(t) = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ΔΔ+<≤

→Δ tttTtP

t

))((lim0

= F’(t) = - S’(t) (2.4)

Dalam hal ini fungsi tahan hidup S(t) merupakan fungsi monoton

turun yang mempunyai sifat

(i). S(0) =1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari

waktu nol adalah 1

(ii). S( ) = 0 , artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang

tak terhingga adalah 0.

Page 24: Survival Skrip

14

3. Fungsi Hazard

Menurut Lawless (1982) fungsi hazard adalah probabilitas suatu

individu mati dalam interval waktu dari t sampai t+Δ t, jika diketahui individu

tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t. fungsi hazard

secara matematika dinyatakan sebagai:

h(t) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

≥Δ+<≤→Δ t

tTttTtPt

))((lim

0 (2.5)

Misalkan f(t) adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari

persamaan (2.5) diperoleh:

h(t) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

≥Δ+<≤→Δ t

tTttTtPt

))((lim

0

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ≥

≥∩Δ+<≤→Δ ttTP

tTttTtPt ).(

)]())([(lim0

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ≥Δ+<≤

→Δ ttTPttTtP

t ).())((lim

0

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−Δ+Δ→Δ )(1

)()(1lim0 tF

tFttFtt

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ+→Δ )(

1.)()(lim0 tSt

tFttFt

=)()('

tStF

h(t) = )()(

tStf (2.6)

Page 25: Survival Skrip

15

Dari persamaan (2.4) dan (2.6) diperoleh h(t) sebagai berikut

h(t) )()('

tStS

−=

)()(ln).('

tdStSdtS−=

)()(ln.)(

tdStSd

dttdS

−=

h(t) )(ln tSdtd

−= (2.7)

Dari (2.7) diperoleh

∫t

dxxh0

)( = dxxSdxdt

o∫− )(ln

∫−⇔t

dxxh0

)( = dxxSdxdt

o∫ )(ln

∫−⇔t

dxxh0

)( = ln S(x) t0 .

Karena S(0) = 1, maka diperoleh

∫−t

dxxh0

)( = )(ln tS

⇔ S(t) = exp[ ]. ∫−t

dxxh0

)(

Dari uraian di atas diperoleh hubungan antara f(t), S(t) dan h(t) sebagai

berikut.

i) f(t) = - S’(t) (2.8)

Page 26: Survival Skrip

16

ii) h(t) = )()(

tStf

iii) S(t) = exp[ ]. ∫−t

dxxh0

)(

Dengan demikian jika fungsi hazard h(t) dari suatu distribusi dalam

tahan hidup diketahui, maka f(t), F(t) dan S(t) dapat dicari. Sedangkan fungsi

hazard kumulatif didefinisikan dengan

H(t) = (2.9) ∫t

dxxh0

)(

melalui persamaan (2.8) fungsi hazard kumulatif yang dihubungkan dengan

fungsi tahan hidup diperoleh

S(t) = exp[-H(t)]

atau

H(t) = -lnS(t).

Dan dari persamaan (2.6) dan (2.8) diperoleh

f(t) = h(t) exp[ ]. (2.10) ∫−t

dxxh0

)(

D. Statistik Terurut

Definisi 13

Himpunan variabel random X1, X2, …, Xn disebut sampel random yang

berukuran n dari suatu populasi denga fungsi densitas f(x) maka fungsi densitas

probabilitas bersama dari variabel random independen akan diberikan sebagai

f(x1, x2, ....,xn) = f(x1) f(x2) ... f(xn)

(Bain, L.J, 1992:159)

Page 27: Survival Skrip

17

Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu

urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari X1, X2, …, Xn

dan dinyatakan dengan X1.n, X2.n, …, Xn.n atau Y1, Y2, …, Yn dengan Xin = Yi ,

i = 1, 2, … , n.

Dan misalkan X1, X2, …, Xn adalah sampel random yang berukuran n dari fungsi

densitas probabilitas, f(x), dimana untuk f(x) kontinu dan f(x)>0; a<x<b, maka

fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k, Yk adalah

gk(yk) = [ ] [ ] )()(1)()!()!1(

! 1k

knk

kk yfyFyF

knkn −− −

−− jika a<yk<b.

(Bain, L.J, 1992:217)

E. Data Tersensor

Dalam penyensoran sering terjadi individu yang diamati tersensor.

Masalah penyensoran ini merupakan suatu hal yang membedakan antara uji hidup

dengan bidang ilmu statistik yang lain. Data tersensor adalah data yang diperoleh

sebelum hasil yang diinginkan dari pengamatan terjadi, sedangkan waktu

pengamatan telah berakhir atau oleh sebab lain. Data yang mengalami

penyensoran hanya memuat sebagian informasi mengenai variabel random yang

diperhatikan, namun berpengaruh terhadap pengertian-pengertian dan perhitungan

statistik.

Ada tiga macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji

hidup, yaitu sebagai berikut.

1. Sampel lengkap, bila uji dihentikan setelah semua unit gagal atau mati

2. Sensor tipe I, bila uji dihentikan setelah waktu tertentu.

Page 28: Survival Skrip

18

3. Sensor tipe II, bila uji dihentikan setelah diperoleh sejumlah kegagalan

tertentu.

Lawless (1982) menyebutkan bahwa data tersensor tipe II merupakan data

kematian atau kegagalan yang tidak lengkap (incomplete mortality data)

yaitu data waktu kematian atau kegagalan dari r observasi terkecil dalam

sampel random yang berukuran n dengan 1 nr ≤≤ . Dalam eksperimen

menunjukkan penyensoran tipe II lebih sering digunakan sebagai contoh

dalam uji hidup dari total observasi sebanyak n, tetapi uji hidup akan

berhenti pada waktu observasi sampel mempunyai waktu kematian atau

kegagalan ke-r. Oleh karena itu uji hidup ini dapat menghemat waktu dan

biaya, karena uji hidup memakan waktu yang lama untuk penyensoran

terhadap kegagalan dari observasi. Data tersensor tipe II diperoleh dari

penyelidikan terhadap n observasi, sehingga penyensoran berhenti sampai

observasi sampel yang mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-r.

Oleh karena itu dalam penyensoran tipe II umumnya data terdiri dari r waktu

hidup terkecil t1 ≤t2 ≤... ≤tr dari sampel random berukuran n. Bila t1, t2, ..., tr

i.i.d dan berdistribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(t) dan

fungsi survivor S(t) maka fungsi densitas probabilitas (fdp) bersama dari t1,

t2, ..., tr adalah

rn

rr

rnr

r

iir

tStftfrn

n

tFtfrn

ntttg

=

−=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= ∏

)()(...()!(

!

)](1[)()!(

!],...,,[

)()()1(

)(1

21

(Lawless, 1982:32)

... (2.11)

Page 29: Survival Skrip

19

F. Fungsi Tahan Hidup Empirik

Menurut Elandt dan Johnson (1980), misalkan t1≤ t2≤ t3≤…≤ tr≤… t≤ n adalah

data tersensor tipe II dan ti merupakan r observasi terkecil didalam sampel yang

berukuran n. misalkan juga t1≤ t2≤ t3≤…≤ tr≤…≤ tn adalah n order waktu

kematian, sedangkan P(T t≤ i) = F(ti) merupakan fungsi distribusi kumulatif dan

P(T > ti) = 1 - F(ti) = S(ti) merupakan fungsi tahan hidup maka distribusi

kematian atau kegagalan kumulatif empirik didefinisikan dengan

F0(t) =

⎪⎪

⎪⎪

<≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

<

∏=

+

r

11ii

1

tuntuk t ,1

tt untuk t,111

tuntuk t ,0i

j jN

Fungsi tahan hidup empirik adalah

S0(t) =

⎪⎪

⎪⎪

<≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

<

∏=

+

r

11ii

1

tuntuk t ,1

tt untuk t,11

tuntuk t ,0i

j jN

dengan Nj = n – i + 1 adalah jumlah relatif dari individu pada waktu rank

observasi ke-i.

G. Distribusi Weibull

Menurut Lawless(1982), distribusi Weibull merupakan distribusi yang

menggambarkan kejadian ekstrim seperti waktu hidup dari makhluk hidup.

Distribusi Weibull paling banyak digunakan dalam model distribusi waktu hidup.

Misalkan variabel random kontinu T berdistribusi Weibull, dengan parameter θ

dan β, disingkat T ~ WEI (θ, β) maka fungsi densitas probabilitasnya adalah

Page 30: Survival Skrip

20

f(t) [ ] 0,)(exp)( 1 >−= − ttt βββ θβθ , .0,0 >> βθ (2.12)

Adapun fungsi tahan hidup dan fungsi hazard dari distribusi Weibull adalah

S(t) = [ ]βθ )(exp t− , t>0 (2.13)

dan

h(t) = (2.14) 1)( −βθθβ t

dimana .0,0,0 >>> tβθ

sedangkan fungsi distribusi dari distribusi Weibull adalah

F(t) = 1 - exp ( )[ ]2tθ− (2.15)

Dimana .0,0 >> tθ

(Lawless, 1982: 15)

H. Distribusi Rayleigh

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), dalam beberapa kasus khusus

parameter bentuk, β, dari distribusi Weibull diberi harga β = 2, dikenal sebagai

distribusi Rayleigh. Sehingga diperoleh fungsi tahan hidup dari distribusi

Rayleigh sebagai berikut.

S(t) ( )[ ]2exp tθ−= dinama 0,0 >> tθ (2.16)

dan diperoleh fungsi hazard dari distribusi Rayleigh yaitu:

h(t) (2.17) t22θ=

dimana t >0, θ>0, dan t menunjukkan waktu hidup dari individu yang

diobservasi.

Dari fungsi tahan hidup, persamaan (2.16), dapat ditentukan fungsi

distribusi kegagalan dari data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh,

Page 31: Survival Skrip

21

F(t) = 1 – S(t)

= 1 - exp ( )[ ]2tθ−

1 - F(t) = exp ( )[ ]2tθ−

dari persamaan (2.8) dan (2.16) diperoleh persamaan:

f(t) = ( )[ ]( )dt

tddt

tdS 2exp)( θ−−=− (2.18)

sehingga diperoleh fungsi densitas probabilitas dari distribusi Rayleigh, yaitu

sebagai berikut

f(t) = ( )[ ]22 exp2 tt θθ − untuk t>0, θ>0.

I. Metode Estimasi Parameter Distribusi dengan Metode Maksimum

Likelihood

Metode untuk mengestimasi harga parameter distribusi dari data dalam

fungsi tahan hidup (Survival) adalah dengan menggunakan metode maksimum

likelihood.

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), metode maksimum likelihood

menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian dengan harga

kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari parameter yang

tidak diketahui.

Dalam aplikasinya L(θ) menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama

dari sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan

L(θ) merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada

Ω maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah

Page 32: Survival Skrip

22

0)( =θθ

Ldd (2.19)

Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari L(θ)

dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan (2.17) sukar diselesaikan

maka fungsi L(θ) dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan

memaksimumkan lnL(θ), sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya

adalah

0)(ln =θθ

Ldd (2.20)

Definisi 14

Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n variabel random X1, X2,…,Xn yang

diobservasi pada x1, x2, … ,xn dinotasikan dengan f(x1, x2, … ,xn). maka fungsi

liklelihood dari himpunan pengamatan x1, x2, … ,xn dinyatakan sebagai

L(θ) = f(x1;θ) f(x2;θ)… f(xn;θ) = ∏ (2.21) =

n

iixf

1

);( θ

dengan θ parameter yang tidak diketahui.

(Bain, L.J, 1992 : 293)

Penduga maksimum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan

persamaan 0)(ln =θθ

Ldd , misalkan ada k parameter yang tidak diketahui, maka

penduga parameter likelihood dari θi didapat dengan menyelesaikan

0),...,,(ln 21 =ki

Ldd θθθθ

, dengan i = 1, 2, 3, …, k.

(Bain, L.J, 1992 : 290)

Page 33: Survival Skrip

23

J. Uji Kolmogorov – Smirnov

Pendekatan secara statistik mempunyai berbagai macam bentuk, bentuk

yang paling banyak digunakan dalam metode nonparametrik adalah uji hipotesis.

Uji hipotesis merupakan proses pendekatan dari sampel apakah menerima atau

menolak suatu pernyataan tentang populasi. Dalam analisis tahan hidup langkah

penting yang perlu dilakukan adalah dengan mengestimasi harga parameter

distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup. Namun dalam membuat keputusan

atau kesimpulan diperlukan uji signifikan untuk menguji kebaikan sesuai

(goodness of fit) dari parameter distribusi yang telah diasumsikan, yaitu distribusi

Rayleigh. Dalam hal ini digunakan uji kolmogorov-smirnov untuk data sampel

tunggal atau tidak dikelompokkan.

Uji kolmogorov smirnov merupakan suatu uji nonparametrik untuk

menguji sampai dimana distribusi kegagalan kumulatif yang diamati sesuai

dengan distribusi kegagalan kumulatif berdasarkan hipotesis. Untuk menguji

kebaikan sesuai dari parameter distribusi Rayleigh akan diambil uji hipotesis dua

sisi yaitu, H0 : F(t) = F0(t) dan H1 : F(t)≠ F0(t). untuk data tersensor tipe II yang

tidak dikelompokkan akan digunakan statistik kolmogorov - smirnov dari uji dua

sisi dan didefinisikan sebagai

Dn )()()( 00 tFtFmaksD

nr

rttn −==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≤φ ,

dengan nr

=φ , F0(t) adalah distribusi kegagalan kumulatif observasi dan F0(t)

adalah distribusi kegagalan kumulatif berdasarkan hipotesis.

Page 34: Survival Skrip

24

Diasumsikan r adalah pengukuran tunggal dari himpunan waktu kematian atau

kegagalan yang tersensor tipe II dari total sampel yang berukuran n. maka

diperoleh daerah kritiknya yaitu H0 ditolak jika α−> 1ynDn atau H0 diterima jika

α−≤ 1ynDn dengan y1-α adalah kuantil ke-(1- α) yang dperoleh dari tabel

kolmogorov – smirnov pada lampiran 3. Untuk susunan satu sisi statistik uji

kolmogorov-smirnov berbentuk

Dn [ )()( 00 tFtFmaks

nr

t−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

], untuk alternatif F(t)>F0(t)

Dan

Dn [ )()( 00 tFtFmaks

nr

t−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

] ,= untuk alternatif F(t)<F0(t)

Jika T1<T2<…<Tr adalah r order kematian atau kegagalan terkecil dari sampel

random berukuran n distribusi Rayleigh, maka untuk menghitung dan

dari uji satu sisi digunakan rumus

+)(φnD

−)(φnD

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−

⎟⎟

⎜⎜

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∏

=

+ )(111 01

i

i

j jtn tF

NmaksD

dan

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−= ∏

=

−i

j jitn N

tFmaksD1

0111)(

dengan Nj = n – i +1, i = 1, 2, …, r.

untuk menghitung Dn dari dua sisi diperoleh dari

Dn = maks ( Dn+,Dn

-).

Page 35: Survival Skrip

25

K. Microsoft Visual Basic Versi 6.0

1. Pengertian Microsoft Visual Basic versi 6.0

Microsoft Visual Basic versi 6.0 merupakan bahasa pemrograman yang

berbasis Microsoft Windows, sebagai bahasa pemrogramaan yang mutakhir,

Microsoft Visual Basic versi 6.0 dirancang untuk dapat memanfaatkan

fisilitas yang tersedia dalam Microsoft Windows. Microsoft Visual Basic

versi 6.0 juga merupakan bahasa pemrograman Object Oriented Programing

(OOP), yaitu pemrograman yang berorientasi pada objek.

Visual Basic adalah salah satu development tool untuk membangun

aplikasi dalam lingkungan windows. Dalam pengembangan aplikasi, Visual

Basic menggunakan pendekatan visual untuk merancang user intervace

dalam bentuk form, sedangkan untuk kodenya menggunakan bahasa basic

yang cenderung mudah dipelajari. Visual Basic telah menjadi tool bagi para

pemula maupun para developer. Dalam lingkungan Window’s User-intervace

sangat memegang peranan penting, karena dalam pemakaian aplikasi yang

kita buat, pemakai senantiasa berinteraksi dengan User-interface tanpa

menyadari bahwa di belakangnya berjalan intruksi-instruksi program yang

mendukung tampilan dan proses yang dilakukan.

Pada pemrograman Visual, pengembangan aplikasi dimulai dengan

pembentukan user intervace, kemudian mengatur properti dari objek yang

digunakan dalam user interface, dan baru dilakukan penulisan kode program

untuk menangani kejadian-kejadian (event). Tahap pengembangan aplikasi

Page 36: Survival Skrip

26

demikian dikenal dengan istilah pengembangan aplikasi dengan pendekatan

Bottom Up.

2. Struktur Aplikasi Visual Basic versi 6.0

Project Window Properties WindowMenu Bar Main Toolbar Form Desainer Code Window

Watches Windows Form Layout WindowToolbox Immediate Window

Gambar 2.1. Lingkungan Kerja Microsoft Visual Basic Versi 6.0

a. Form

Merupakan window atau jendela di mana akan dibuat User-

interface atau tampilan.

b. Control

Merupakaan tampilan berbasis grafis yang dimasukkan dalam form

untuk membuat interaksi dengan pemakai.

Page 37: Survival Skrip

27

Adapun secara garis besar fungsi dari masing-masing kontrol

tersebut adalah sebagai berikut.

1) Pointer bukan merupakan suatu kontrol. icon ini digunakan ketika

anda ingin memilih kontrol yang sudah berada pada form.

2) PictureBox adalah kontrol yang digunakan untuk menampilkan

gambar (image) dengan format BMP, DIB(bitmap), CUR(cursor),

WMF(metafile), EMF(enhanced metafile), GIF, dan JPG.

3) Label adalah kontrol yang digunakan untuk menampilakan text yang

tidak dapat diperbaiki oleh pemakai

4) Textbox adalah kontrol yang mengandung string yang dapat diperbaiki

oleh pemakai, dapat berupa satu baris tunggal, atau banyak baris.

5) Frame adalah kontrol yang digunakan sebagai container bagi kontrol

lainnya.

6) CommandButton merupakan kontrol yang hampir sering ditemukan

pada setiap form, dan digunakan untuk membangkitkan event proses

tertentu ketika pemakai melakukan diklik disana.

Page 38: Survival Skrip

28

7) CheckBox digunakan untuk pilihan yang isinya bernilai yes/no,

true/false.

FileListBox

PictureBox

Textbox

Command Button

OptionButton

Combobox

VScrollBar

DriveListBox

Line

Data

Pointer

Label

Frame

CheckBox

ListBox

HScrollBar

Timer

DirListBox

Shape

Image

OLE

Gambar 2.2. ToolBox di Microsoft Visual Basic Versi 6.0

8) OptionButton sering digunakan untuk pilihan yang hanya satu pilihan

dari beberapa option.

9) ListBox mengandun sejumlah item dan user dapat memilih lebih dari

lebih dari satu (bergantung pada properti multiselect).

10) ComboBox merupakan kombinasi dari textBox dan suatu ListBox di

mana pemasukan data dapat dilakukan dengan pengetikan maupun

pemilihan.

Page 39: Survival Skrip

29

11) HScrollbar dan VscrollBar digunakan untuk membentuk scrollbar

berdiri sendiri.

12) Timer digunakan untuk proses background yang diaktifkan

berdasarkan interval waktu tertentu yang merupakan kontrol non-

visual.

13) DriveListBox, DirListBox, dan FileListBox sering digunakan untuk

membentuk dialog box yang berkaitan dengan file.

14) Shape dan Line digunakan untuk menampilakan bertuk seperti garis,

persegi, lingkaran dan sebagainya

15) Image berfungsi seperti ImageBox, tetapi tidak dapat digunakan

sebagai container bagi kontrol lainnya. Sesuatu yang perlu diketahui

bahwa kontrol Image menggunakan resource lebih kecil dibandingkan

dengan PictureBox.

16) Data digunakan untuk data binding.

17) OLE dapat digunakan sebagai tempat bagi program eksternal seperti

Microsoft Excel, Microsoft Word dan sebagainya.

c. Properties

Merupakan nilai atau karakteristik yang dimiliki oleh sebuah objek

visual basic.

d. Event Procedure

Merupakan kode yang berhubungan dengan objek. Kode ini akan

dieksekusi ketika ada respon dari pemakai berupa event tertentu.

Page 40: Survival Skrip

30

e. General Procedure

Merupakan kode yang tidak berhubungan dengan objek. Kode ini

harus diminta oleh aplikasi.

f. Metods

Merupakan serangkaian perintah yang tersedia pada suatu objek

yang diminta untuk mengerjakan tugas khusus.

Gambar 2.3. Jendela Source Program di Microsoft Visual Basic Versi 6.0

g. Module

Merupakan kumpulan dari prosedur umum, deklarasi variabel dan

definisi konstanta yang digunakan oleh aplikasi.

3. Mengenal Data dan Variabel

Ketika seorang user (pengguna) menggunakan sebuah program

komputer, seringkali komputer memintanya untuk memberikan informasi.

Informasi ini kemudian disimpan atau diolah oleh komputer. Informasi inilah

yang disebut dengan data.

Page 41: Survival Skrip

31

Visual Basic 6 mengenal beberapa type data, antara lain:

a. string adalah tipe data untuk teks (huruf, angka dan tanda baca).

b. integer adalah tipe data untuk angka bulat.

c. single adalah tipe data untuk angka pecahan.

d. currency adalah tipe data untuk angka mata uang.

e. date adalah tipe data untuk tanggal dan jam.

f. boolean adalah tipe data yang bernilai TRUE atau FALSE.

Data yang disimpan di dalam memory komputer membutuhkan sebuah

wadah. Wadah inilah yang disebut dengan variabel. Setiap variabel untuk

menyimpan data dengan type tertentu membutuhkan alokasi jumlah memory

(byte) yang berbeda.

Aturan di dalam penamaan variabel adalah sebagai berikut.

a. Harus diawali dengan huruf.

b. Tidak boleh menggunakan spasi. Spasi bisa diganti dengan karakter

underscore ( _ ).

c. Tidak boleh menggunakan karakter-karakter khusus (seperti : +, -, *, /, <,

>, dan lain-lain).

d. Tidak boleh menggunakan kata-kata kunci yang sudah dikenal oleh Visual

Basic 6 (seperti : dim, as, string, integer, dan lain-lain).

Sebuah variabel hanya dapat menyimpan satu nilai data sesuai dengan

tipe datanya. Untuk tipe data tertentu nilai_data harus diapit tanda pembatas.

Tipe data string dibatasi tanda petik ganda. Tipe data date dibatasi tanda

Page 42: Survival Skrip

32

pagar. Tipe data lainnya tidak perlu tanda pembatas. Sebuah variabel

mempunyai ruang-lingkup (scope) dan waktu-hidup (lifetime).

Ada 2 macam variabel dalam sebuah program, yaitu:

a. variabel global adalah variabel yang dapat dikenali oleh seluruh bagian

program. Nilai data yang tersimpan didalamnya akan hidup terus selama

program berjalan.

b. variabel lokal adalah variabel yang hanya dikenali oleh satu bagian

program saja. Nilai data yang tersimpan didalamnya hanya hidup selama

bagian program tersebut dijalankan.

Variabel yang nilai datanya bersifat tetap dan tidak bisa diubah disebut

konstanta.

Page 43: Survival Skrip

BAB III

METODE PENELITIAN

Peranan metode penelitian dalam suatu penelitian sangat penting.

Sehingga dengan metode penelitian dapat mencapai tujuan penelitian yang telah

ditetapkan dan agar penelitian yang telah dilakukan berjalan dengan lancar.

Melalui metode penelitian, masalah yang dihadapi dapat diatasi dan dipecahkan

dari perolehan data yang telah dikumpulkan.

Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini meliputi beberapa hal yaitu

sebagai berikut.

A. Pemilihan Masalah

Dalam perkuliahan yang diperoleh penulis, banyak masalah yang perlu dikaji

lebih lanjut. Dari beberapa masalah tersebut dihadapkan pada persoalan

untuk memilih masalah yang kemudian dijadikan bahan dasar untuk

melakukan penelitian lebih lanjut.

B. Merumuskan Masalah

Perumusan masalah diperlukan untuk membatasi permasalahan sehingga

diperoleh bahan kajian yang jelas. Sehingga akan lebih mudah untuk

menentukan langkah dalam memecahkan masalah tersebut.

C. Studi Pustaka

Setelah diperoleh masalah untuk diteliti, peneliti mengadakan studi pustaka.

Studi pustaka adalah penelaahan sumber pustaka yang relevan, digunakan

untuk mengumpulkan data informasi yang diperlukan dalam penelitian. Studi

33

Page 44: Survival Skrip

34

pustaka diawali dengan mengumpulkan sumber pustaka yang berupa buku

atau literatur, jurnal, skripsi dan sebagainya. Setelah pustaka terkumpul

dilanjutkan dengan pemahaman isi sumber pustaka tersebut yang pada

akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk menganalisis

permasalahan.

D. Memecahkan Masalah

Setelah permasalahan dirumuskan dan sumber pustaka terkumpul, langkah

selanjutnya adalah pemecahan masalah melalui pengkajian secara teoritis

yang selanjutnya disususn secara rinci dalam bentuk pembahasan.

Dalam pembahasan masalah dilakukan beberapa langkah pokok yaitu sebagai

berikut.

1. Mengidentifikasi dan mengumpulkan materi-materi prasyarat yang

nantinya digunakan untuk perhitungan dalam menentukan estimasi

parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh, yaitu

antara lain materi-materi dalam mata kuliah Statistika Matematika I dan II,

Deferensial dan Integral dalam Kalkulus I dan II, serta mata kuliah

Program Komputer I dan II.

2. Mencari estimator parameter dengan metode maximun likelihood untuk

distribusi Rayleigh.

3. Membuat simulasi hasil yang didapat dengan program Microsoft Visual

Basic 6.0.

Page 45: Survival Skrip

35

E. Menarik kesimpulan

Langkah terakhir dalam kegiatan penelitian ini adalah menarik kesimpulan

dari keseluruhan permasalahan yang telah dirumuskan dengan berdasarkan

pada landasan teori dan hasil pemecahan masalah.

Page 46: Survival Skrip

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang Berdistribusi Rayleigh Pada

Data Tersensor Tipe II dengan Metode Maksimum Likelihood

Seringkali data hasil eksperimen tidak diketahui bentuk hubungan fungsional

antara variabel-variabel yang mempengaruhi nilai data sampel, sehingga sulit dalam

melakukan suatu analisis statistik terhadap populasi yang diamati. Hubungan

fungsional ini digambarkan dengan suatu persamaan matematika yang berupa fungsi

pendekatan, yaitu fungsi distribusi.

Untuk itu terlebih dahulu dipilih bentuk distribusi dari data dalam fungsi tahan

hidup yang diduga, yaitu yang berbentuk parametrik dan data waktu hidup

diasumsikan berdistribusi Rayleigh. Kemudian dicari bentuk fungsi parameter yang

diwakili data hasil eksperimen tersebut, agar dapat menduga nilai data pada harga

selanjutnya. Dalam skripsi ini digunakan metode maksimum likelihood untuk

mencari estimasi parameter dari distribusi Rayleigh.

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), metode maksimum likelihood

menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian dengan harga

kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari parameter yang

tidak diketahui.

36

Page 47: Survival Skrip

37

Dalam aplikasinya L(θ) menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama

dari sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan

L(θ) merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada Ω

maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah

0)( =θθ

Ldd

Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari L(θ)

dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan tersebut sukar untuk

diselesaikan maka fungsi L(θ) dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan

lnL(θ) maksimum, sehingga persamaan logaritma natural maksimum likelihoodnya

adalah

0)(ln =θθ

Ldd

Penduga maksimum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan

persamaan 0)(ln =θθ

Ldd , misalkan ada k parameter yang tidak diketahui, maka

penduga parameter likelihood dari θi didapat dengan menyelesaikan

0),...,,(ln 21 =ki

Ldd θθθθ

, dengan i = 1, 2, 3, …, k.

Misalkan t1 ≤t2 ≤... ≤tr adalah data tersensor tipe II dan merupakan r observasi

terkecil dalam sampel random berukuran n dengan r≤ n dari distribusi Rayleigh untuk

data yang tidak dikelompokkan (data tunggal), sehingga diperoleh fungsi densitas

Page 48: Survival Skrip

38

probabilitas bersama dari statistik terurut r yang pertama dari sampel random

berukuran n dari f(ti) yang kontinu adalah

g(t1…..tr) = [ ] ∏=

−−−

r

ii

rnt tftF

rnn

1

)()(1)!(

! (4.1)

Fungsi likelihood dari distribusi Rayleigh untuk data tersensor tipe II memiliki

bentuk sebagai berikut.

L(θ) = ( )[ ] ( )[ ]∏=

−−−−

r

iiir ttrnt

rnn

1

222 exp2)(exp)!(

! θθθ

= ( )[ ] ( ) ( ) ∏∑==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

r

ii

r

ii

rr ttrnt

rnn

11

222 exp2)(exp)!(

! θθθ

L(θ) = ( ) ( ) ( ) ∏∑== ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−

r

iir

r

ii

r ttrntrn

n1

2

1

22 )(exp2)!(

! θθθ (4.2)

Kemudian ditarik logaritma natural (ln) dari fungsi likelihood (4.2), sehingga

diperoleh fungsi log-likelihood dari distribusi Rayleigh sebagai berikut.

lnL(θ) = ( ) ( ) ( ) ∑∑==

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−++

r

iir

r

ii ttrntr

rnn

1

2

1

22 ln)(2ln)!(

!ln θθθ

= ( ) ( ) ( ) ∑∑==

+−−−+−

r

iir

r

ii ttrntr

rnn

1

2

1

22 ln)(2ln)!(

!ln θθθ (4.3)

dengan menurunkan ln L(θ) terhadap parameter θ, diperoleh

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−= ∑

=

2

1

2 )(22)(lnr

r

ii trntr

dLd θ

θθθ (4.4)

Page 49: Survival Skrip

39

Estimator maksimum likelihood didapat dengan menyelesaikan persamaan ∧

θ

0)(ln=

θθ

dLd , sehingga diperoleh

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+− ∑

=

2

1

2 )(22r

r

ii trntr θ

θ= 0

0)( 2

1

22 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+− ∑

=r

r

ii trntr θ , dengan θ >0 (4.5)

Estimator maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk

data tersensor tipe II diperoleh dengan penyelesaian sistem persamaan:

θ

0)( 2

1

22 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+− ∑

=r

r

ii trntr θ

dan diperoleh

21

2

1

2 )( ⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∑=

r

r

ii trnt

rθ (4.6)

Contoh 4.1 (Lawless, 1982: 145)

Mann dan Fertig (1973) memberikan waktu kegagalan dari 13 komponen pesawat

terbang yang akan ditentukan uji hidupnya dan proses dihentikan pada waktu

kegagalan ke-10. waktu kegagalan ti (dalam jam ) dari 10 komponen pesawat terbang

tersebut adalah 0.22; 0.50; 0.88; 1.00; 1.32; 1.33; 1.54; 1.76; 2.50; dan 3.00. oleh

Page 50: Survival Skrip

40

karena itu dari data tersebut dilakukan estimasi parameter distribusi dari data dalam

fungsi tahan hidup yang diasumsikan berdistribusi Rayleigh.

Penyelesaian :

t1 = 0,22 t2 = 0,50 t3 = 0,88 t4 = 1,00 t5 = 1,32 t6 = 1,33

t7 = 1,54 t8 = 1,76 t9 = 2,50 t10 = 3,00

n = 13

r = 10

tr = t10 = 3,00

21

2

1

2 )( ⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∑=

r

r

ii trnt

21

222222 (3,00) . 10) - (13(3.00)...(1.00)(0.88)(0.50)(0.22)10

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++

=

21

30,5310

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

433,0= .

Jadi nilai estimasi parameter untuk θ dari distribusi Rayleigh adalah = 0,433. θ

Page 51: Survival Skrip

41

B. Simulasi Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup Yang Berdistribusi

Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II dengan Menggunakan Program

Microsoft Visual Basic 6.0

Simulasi untuk menghitung Estimator Parameter untuk data waktu hidup yang

berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II ini dibuat dengan menggunakan

program Microsoft Visual Basic versi 6.0. Program Microsoft Visual Basic 6.0

mempunyai banyak kelebihan, di antaranya adalah tampilan visual yang dihasilkan

oleh program ini cukup menarik karena dilengkapi dengan objek-objek desain yang

cukup banyak. Selain itu bahasa yang digunakan dalam pemrograman ini juga tidak

begitu rumit yaitu menggunakan bahasa pemrograman tingkat tinggi seperti bahasa

pemrograman Pascal dan C++.

Simulasi dari program Microsoft Visual Basic 6.0. ini digunakan untuk

memudahkan dalam perhitungan mencari Estimator Parameter untuk data waktu

hidup yang berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II. Berikut penjelasan

mengenai simulasi Estimator Parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi

Rayleigh pada data tersensor tipe II dengan menggunakan program Microsoft Visual

Basic 6.0.

1. Form Awal

Pada form ini terdapat tombol-tombol untuk untuk memanggil form-form

yang lain, yaitu tombol open dan tombol Exit.

Page 52: Survival Skrip

42

Jika menekan tombol open, akan muncul Form Input Data yang digunakan

untuk memasukkan data-data yang berkaitan dengan sampel pengujian. Jika

menekan tombol Exit, maka akan keluar dari program ini.

Gambar 4.1. Form Menu Utama

2. Form Input Data

Form Input Data digunakan sebagai form pengisian data-data dari sampel

pengujian. Jika akan menghitung estimator parameter dari data waktu hidup yang

berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II maka harus mengisi terlebih

dahulu data-data yang diperlukan seperti banyaknya sampel, Banyaknya sampel

terobservasi, dan nilai-nilai sampel pengujian. Banyaknya sampel diisikan pada

kotak Jumlah Sampel, Banyaknya sampel terobservasi diisikan pada kotak Sampel

Page 53: Survival Skrip

43

Terobservasi (r), dan nilai-nilai sampel pengujian diisikan pada kotak Data Ke-i,.

Form Input Data ini dapat diakses melalui Form Awal yaitu dengan menekan

tombol Open.

Misalnya seperti pada contoh 4.1. akan dicari estimator Parameternya

dengan menggunakan simulasi. Caranya, pertama-tama pilih tombol Open

melalui Form awal kemudian akan muncul Form Input Data untuk mengisi

banyaknya data, banyaknya data terobservasi (r), dan data-data sampel

pengujian. Adapun langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut.

Gambar 4.2 Form Input Data

a Masukkan banyaknya sampel pada textbox jumlah sampel. Isi dengan

angka 13 yaitu jumlah sampel yang diketahui.

Page 54: Survival Skrip

44

b Masukkan banyaknya sampel yang terobservasi (r) yaitu 10

c Masukkan data pada textbox ti sebanyak 10 data yang akan ditampilkan

pada tabel data yang terletak di sebelah kanan.

d Setelah semua data terisi, pilih tombol Hitung yang terdapat pada Form

Input Data.

e Nilai MLE akan ditampilkan.

Hasil perhitungan dapat dilihat pada tampilan berikut.

Dengan menggunakan simulasi besarnya Estimator maksimum likelihood

dari parameter distribusi Rayleigh, adalah 0.433 dan hasilnya sama seperti

cara perhitungan secara manual.

θ

Gambar 4.3 Tampilan Output 1

Page 55: Survival Skrip

45

Contoh 4.2

Berikut diberikan 30 sampel dari suatu observasi mengenai waktu uji hidup yang

distribusi Rayleigh dan proses dihentikan pada 24 0bservasi yang pertama, yaitu

sebagai berikut.

0.40 0.77 1.62 1.88

0.55 1.05 1.66 1.89

0.59 1.32 1.72 1.93

0.63 1.35 1.77 3.02

0.65 1.36 1.85 3.05

0.75 1.57 1.86 4.15

Hitunglah estimator parameter untuk data waktu hidup tersebut?

Penyelesaian:

Untuk menghitung estimator parameter dengan menggunakan simulasi caranya

adalah:

a. Masukkan banyaknya sampel pada textbox jumlah sampel. Isi dengan angka 30

yaitu jumlah sampel yang diketahui.

b. Masukkan banyaknya sampel yang terobservasi (r) yaitu 24

c. Masukkan data pada textbox ti sebanyak 24 data yang akan ditampilkan pada

tabel data yang terletak di sebelah kanan.

d. Setelah semua data terisi, pilih tombol Hitung yang terdapat pada Form Input

Data.

e. Nilai MLE akan ditampilkan.

Page 56: Survival Skrip

46

Hasil perhitungan dapat dilihat pada tampilan berikut.

Dengan menggunakan simulasi besarnya Estimator maksimum likelihood dari

parameter distribusi Rayleigh, adalah 0.365 ∧

θ

Contoh 4.3

Berikut diberikan 40 sampel dari suatu observasi mengenai waktu uji hidup yang

distribusi Rayleigh dan proses dihentikan pada 28 0bservasi yang pertama, yaitu

sebagai berikut.

Gambar 4.4 Tampilan Output 2

Page 57: Survival Skrip

47

0.046 1.234 2.456 3.456

0.056 1.330 2.562 3.658

0.102 1.356 2.789 3.789

0.453 1.689 2.893 3.862

0.465 1.989 2.987 3.889

0.568 2.005 3.230 4.120

0.896 2.025 3.334 4.256

Hitunglah estimator parameter untuk data waktu hidup tersebut?

Penyelesaian:

Untuk menghitung estimator parameter dengan menggunakan simulasi caranya

adalah:

a. Masukkan banyaknya sampel pada textbox jumlah sampel. Isi dengan angka 40

yaitu jumlah sampel yang diketahui.

b. Masukkan banyaknya sampel yang terobservasi (r) yaitu 28

c. Masukkan data pada textbox ti sebanyak 28 data yang akan ditampilkan pada

tabel data yang terletak di sebelah kanan.

d. Setelah semua data terisi, pilih tombol Hitung yang terdapat pada Form Input

Data.

e. Nilai MLE akan ditampilkan.

Page 58: Survival Skrip

48

Hasil perhitungan dapat dilihat pada tampilan berikut.

Dengan menggunakan simulasi besarnya Estimator maksimum likelihood dari

parameter distribusi Rayleigh, adalah 0.280. ∧

θ

Contoh 4.4

Bugaighis (1995) memberikan data dalam suatu observasi 5 komponen elektronik

pada tegangan 1000 volt yang akan ditentukan uji hidupnya dan proses dihentikan

pada waktu kegagalan ke-4. waktu kegagalan ti (dalam jam ) dari 4 komponen

elektronik tersebut adalah 450; 550; 600; 650. oleh karena itu dari data tersebut

Gambar 4.5 Tampilan Output 3

Page 59: Survival Skrip

49

dilakukan estimasi parameter distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang

berdistribusi Rayleigh.

Penyelesaian :

Untuk menghitung estimator parameter dengan menggunakan simulasi caranya

adalah sebagai berikut.

a. Masukkan banyaknya sampel pada textbox jumlah sampel. Isi dengan angka 5

yaitu jumlah sampel yang diketahui.

b. Masukkan banyaknya sampel yang terobservasi (r) yaitu 4

c. Masukkan data pada textbox ti sebanyak 4 data yang akan ditampilkan pada tabel

data yang terletak di sebelah kanan.

d. Setelah semua data terisi, pilih tombol Hitung yang terdapat pada Form Input

Data.

e. Nilai MLE akan ditampilkan.

Hasil perhitungan dapat dilihat pada tampilan berikut.

Page 60: Survival Skrip

50

Dengan menggunakan simulasi besarnya Estimator maksimum likelihood dari

parameter distribusi Rayleigh, adalah 0.00153. ∧

θ

Gambar 4.6 Tampilan Output 4

Page 61: Survival Skrip

BAB V

PENUTUP

A. Simpulan

Berdasarkan hasil penelitian maka dapat ditarik simpulan sebagai berikut.

1. Estimator maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk

data tersensor tipe II adalah

θ

21

2

1

2 )( ⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∑=

r

r

ii trnt

rθ .

2. Estimator maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk

data tersensor tipe II dengan menggunakan program Microsoft Visual Basic

6.0 dapat dilihat pada halaman 41 - 50. Program Microsoft Visual Basic 6.0

dapat menampilkan bentuk metode pencarian Estimator maksimum likelihood

dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor tipe II dengan

hasil yang efisien dan dapat disajikan dalam tampilan yang lebih menarik

karena Microsoft Visual Basic 6.0 memiliki berbagai macam objek visual

yang variatif dan mudah digunakan.

θ

θ

B. Saran

Skripsi ini hanya membahas mengenai bentuk Estimator maksimum

likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor tipe II serta

simulasinya dengan menggunakan program Microsoft Visual Basic 6.0. Oleh

θ

51

Page 62: Survival Skrip

52

karena itu disarankan adanya penelitian lebih lanjut mengenai Estimator

maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor

Tipe I serta simulasinya dan juga untuk distribusi-distribusi yang lain pada data

berkelompok.

θ

Page 63: Survival Skrip

DAFTAR PUSTAKA

Bain, L.J., dan Engelhardt, M. (1992). Introduction to Probability and Mathematical

Statistics, Duxbury of Wathfor, Inc., California.

Djauhari, M. A. 1990. Statistik Matematik. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Elandt, R. C. and Johnson, N. L. 1980. Survival Models and Data Analysis, New

York: John Wiley and Sons, Inc.

Lawless, J.K. (1982). Statistics Model and Methods for Lifetime Data, John Willey

and Sons, Inc. New York.

Papoulis, A. 1992. Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik.

Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

Walpole, R. E dan Myers, R. H. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur

dan Ilmuwan. Terjemahan. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

53