Survival Skrip
Transcript of Survival Skrip
ESTIMASI PARAMETER UNTUK DATA WAKTU HIDUP
YANG BERDISTRIBUSI RAYLEIGH PADA DATA
TERSENSOR TIPE II BESERTA SIMULASINYA
SKRIPSI
Diajukan dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata 1
untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains
Oleh :
Nama : Muh. Aris Sunandar
NIM : 4150401026
Program Studi : Matematika S1
Jurusan : Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2006
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi dengan judul “Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang
Berdistribusi Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II Beserta Simulasinya”
ini telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:
Hari :
Tanggal :
Panitia Ujian
Ketua, Sekretaris,
Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.SiNIP. 130781011 NIP. 130815345
Pembimbing Utama Penguji Utama
Dra. Sunarmi, M.Si Dra. Nur Karomah D, M.SiNIP. 131763886 NIP. 131876228
Pembimbing Pendamping Anggota Penguji
Drs. Khaerun, M. Si Dra. Sunarmi, M.SiNIP. 131813671 NIP. 131763886
Anggota Penguji
Drs. Khaerun, M. Si NIP. 131813671
iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
MOTTO
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.(QS. Alam Nasyrah : 6)
Pelajarilah ilmu. Barang siapa yang mempelajarinya karena Allah, itu
taqwa. Mengulang-ulangnya, itu Tasbih. Membahasnya, itu jihad.
Mengajarkannya orang yang tidak tahu, itu sedekah. Memberikan kepada
yang akhirnya, itu mendekatkan diri kepada Tuhan. (Al-Ghozali, 1986)
Keberhasilan adalah sisi lain dari kegagalan, seperti tinta perak di balik
awan keraguan dan kau takkan pernah tahu seberapa dekat tujuanmu,
mungkin sudah dekat ketika bagimu terasa jauh, maka tetaplah berjuang
bahkan ketika hantaman makin keras, ketika segalanya tampak sangat
buruk, kau tetap tak boleh berhenti. (Clinton Howell)
PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan kepada :
Ibu & Bapak tercinta,
Ade’-ade’ku tersayang (Didik &
Agung),
Anak-anak Helloween cost,
Teman-teman Mat’ 01.
iv
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah, Rabb seru sekalian alam. Dialah yang mengutus
Rasul-Nya dengan membawa petunjuk dan dien yang benar agar dimenangkan-
Nya atas semua dien dan cukuplah Allah sebagai saksi.
Sholawat dan salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad
SAW, keluarga, para sahabat serta umat beliau yang senantiasa menegakkan
kalimat-kalimat Allah hingga akhir masa.
Segala perencanaan manusia hanyalah usaha, adapun realisasinya
hanyalah Allah yang menentukan. Penyusunan skripsi ini juga tidak terlepas dari
hal tersebut dan patutlah bagi penulis untuk mengucapkan rasa syukur atas
terselesainya skripsi yang berjudul “Estimasi Parameter Untuk Data Waktu
Hidup Yang Berdistribusi Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II Beserta
Simulasinya ”.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dari
berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan yang baik ini, penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada :
1. Dr. H. A. T. Soegito, S.H, M. M, Rektor Universitas Negeri Semarang,
2. Drs. Kasmadi Imam S., M. S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang,
3. Drs. Supriyono, M. Si, Ketua jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri
Semarang,
4. Dra. Sunarmi, M.Si., Pembimbing Utama yang telah memberikan bimbingan,
dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini,
v
5. Drs. Khaerun, M. Si., Pembimbing Pendamping yang telah memberikan
bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini,
6. Dra. Kusni, M. Si, Kepala Laboratorium Matematika FMIPA Universitas
Negeri Semarang yang telah memberikan ijin dan segala fasilitas selama
melakukan penelitian di Laboratorium Komputer,
7. Bapak dan Ibu serta keluarga semua yang selalu mencurahkan kasih sayang,
8. Teman-teman seperjuangan yang telah memberikan bantuan dan dukungan
kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini tidak luput dari kesalahan
serta jauh dari sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat penulis harapkan
demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis semoga skripsi ini dapat
bermanfaat bagi kita semua.
Semarang, Desember 2005
Penulis
vi
ABSTRAK
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi saat ini berlangsung sangat pesat. Hal ini mendorong manusia untuk terus berupaya memanfaatkan kemajuan teknologi tersebut yang diantaranya diwujudkan melalui penelitian-penelitian. Dalam bidang matematika terdapat cabang ilmu satistika yang sudah berkembang begitu jauh dengan adanya penemuan berbagai alat analisis untuk berbagai keperluan inferensi, estimasi, pengujian dan metode peramalan. Uji hidup adalah penyelidikan tentang daya tahan hidup suatu unit atau komponen pada keadaan operasional tertentu. Data waktu hidup yang diperoleh dari percobaan uji hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Data tersensor tipe II adalah suatu data waktu kematian atau kegagalan yang hanya terdapat r buah observasi terkecil dalam sampel random yang berukuran n dengan 1 nr ≤≤ . Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. untuk menganalisis terhadap fungsi distribusi dari data waktu hidup adalah dengan mengestimasi harga parameter distribusinya.
Permasalahan dalam penelitian ini adalah Bagaimana estimasi parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II?, Bagaimana simulasi hasil yang diperoleh dengan program Microsoft Visual Basic 6.0? dan batasan masalah dari penelitian ini adalah data yang digunakan adalah data waktu hidup yang tersensor tipe II, tidak berkelompok (tunggal), data Waktu hidup yang tersensor tipe II diasumsikan berdistribusi Rayleigh.
Langkah-langkah dalam penelitian ini yaitu mengidentifikasi dan mengumpulkan materi-materi prasyarat, mencari estimator parameter untuk data waktu hidup berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II serta membuat simulasi yang diperoleh dengan program Microsoft Visual Basic 6.0.
Berdasarkan hasil penelitian maka dapat disimpulkan bahwa Estimator
maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor
tipe II adalah
∧
θ
21
2
1
2 )( ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
∑=
∧
r
r
ii trnt
rθ dan Estimator maksimum likelihood dari
parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor tipe II dapat disimulasikan dengan program Microsoft Visual Basic 6.0 dengan hasil yang efisien dan dapat disajikan dalam tampilan yang lebih menarik. Berdasarkan hasil penelitian disarankan disarankan adanya penelitian lebih lanjut mengenai Estimator
maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor Tipe I serta simulasinya dan juga untuk distribusi-distribusi yang lain pada data berkelompok.
∧
θ
∧
θ
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………………………….. i
ABSTRAK ……………………………………………….…………………. ii
HALAMAN PENGESAHAN..………………………………………………. iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN …………………………….…………….. iv
KATA PENGANTAR...……………………………………………………… v
DAFTAR ISI ……………………………………………………………….. vii
DAFTAR GAMBAR…………………… ……..………………………… … ix
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL…………………………………………. x
I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ..…………………………………………………… 1
B. Rumusan Masalah …………………………………………………. 3
C. Pembatasan Masalah……………………………………………….. 3
D. Tujuan dan Manfaat Penelitian ……………………………………. 4
E. Sistematika Penulisan Skripsi ..……………………………………. 4
II. LANDASAN TEORI
A. Konsep Dasar Probabilitas….………………………………………. 6
B. Variabel Randon dan Distribusi Peluang …………….…………….. 9
C. Konsep Dasar Distribusi Waktu Hidup………….. ...…….………… 12
D. Statistik Terurut……………………….. …………………………… 16
E. Data Tersensor….. ……………………………….…………………. 17
F. Fungsi Tahan Hidup Empirik ……………………………………….. 19
G. Distribusi Weibull………………………………. …………………. 19
H. Distribusi Rayleigh …………………………………………………. 20
I. Metode Estimasi Parameter Distribusi dengan metode Maksimum
Likelihood……………………… ………………………………….. 21
J. Uji Kolmogorov – Smirnov ………………………………………… 23
K. Microsoft Visual Basic Versi 6.0……………………………………. 25
vii
III. METODE PENELITIAN…………………………………………… 33
IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A. Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup Yang Berdistribusi
Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II dengan Metode Maksimum
Likelihood………………………………………………………….. 36
B. Simulasi Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup Yang
Berdistribusi Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II dengan
Menggunakan Program Microsoft Visual Basic 6.0
……………………………………………………………………... 41
V. PENUTUP
A. Simpulan …………………………………………………………… 51
B. Saran ………………………………………………………………. 51
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………. 53
LAMPIRAN ………………………………………………………………… 54
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Lingkungan Kerja Microsoft Visual Basic Versi 6.0 ………….. 26
Gambar 2.2 Toolbox di Microsoft Visual Basic Versi 6.0…………………... 28
Gambar 2.3 Jendela Source Program di Microsoft Visual Basic Versi 6.0 .... 30
Gambar 4.1 Form Menu Utama ……………………………………………. 42
Gambar 4.2 Form Input Data ………………………………………………. 43
Gambar 4.3 Tampilan Output 1…………………………………………… 44
Gambar 4.4 Tampilan Output 2…………………………………………… 46
Gambar 4.5 Tampilan Output 3…………………………………………… 48
Gambar 4.6 Tampilan Output 4…………………………………………… 50
ix
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
S : Ruang Sampel
X : Variabel Random
F(.) : Fungsi Distribusi
f(.) : Fungsi Densitas Probabilitas
g(.) : Fungsi Densitas Untuk Statistik Terurut
S(.) : Fungsi Tahan Hidup
θ, β : Parameter
θ : Estimator Parameter
Ω : Ruang Parameter
n : Banyaknya Sampel Random
P : Probabilitas
h(.) : Fungsi Hazard
H(.) : Fungsi Hazard kumulatif
L(.) : Fungsi Likelihood
i : Rank Observasi
r : Indeks Batas Data Tersensor
T : Variabel Random Waktu Hidup
ti : Waktu Hidup Obyek ke-i
θddL(.) : Turunan dari Fungsi Likelihood terhadap Parameter θ
Π : Phi (Perkalian Faktor-faktor)
Σ : Sigma (Pemjumlahan Suku-Suku)
x
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi saat ini berlangsung sangat
pesat. Hal ini mendorong manusia untuk terus berupaya memanfaatkan kemajuan
teknologi tersebut yang diantaranya diwujudkan melalui penelitian-peneliatian.
Penelitian yang dilakukan dapat berupa penelitian yang bertujuan untuk menemukan
dan menyelesaikan masalah-masalah baru, mengembangkan pengetahuan yang ada
maupun penelitian dalam menguji kebenaran suatu pengetahuan.
Dalam bidang matematika juga terdapat cabang statistika yang sudah
berkembang begitu jauh dengan adanya penemuan berbagai alat analisis untuk
berbagai keperluan inferensi, estimasi, pengujian dan metode peramalan. Uji hidup
adalah penyelidikan tentang daya tahan hidup suatu unit atau komponen pada
keadaan operasional tertentu. Ruang lingkup penggunaan uji hidup diantaranya
adalah dalam bidang teknik, biologi, rekayasa dan kedokteran.
Berbagai penelitian di bidang Biologi, Fisika, Pertanian dan Kedokteran
tersebut biasanya akan menghasilkan data yang berhubungan dengan waktu hidup
dari suatu individu. Data waktu hidup merupakan variabel random non negatif.
Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup tersebut
disebut analisis tahan hidup (Survival).
1
2
Data waktu hidup yang diperoleh dari percobaan uji hidup dapat berbentuk
data lengkap, data tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Berbentuk data lengkap
jika semua benda dalam percobaan diuji sampai semuanya “mati”. Berbentuk data
tersensor tipe I jika data uji hidup dihasilkan setelah percobaan berjalan selama waktu
yang ditentukan, serta berbentuk data tersensor tipe II jika observasi diakhiri setelah
sejumlah kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982: 43). Data
tersensor tipe II adalah suatu data waktu kematian atau kegagalan yang hanya
terdapat r buah observasi terkecil dalam sampel random yang berukuran n dengan
1 nr ≤≤ . Eksperimen menunjukkan penyensoran tipe II lebih sering digunakan,
misalnya dalam uji hidup dari total observasi sebanyak n, tetapi uji akan berhenti
pada waktu observasi sampel mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-r untuk
1 nr ≤≤ .
Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi
tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Beberapa
distribusi yang dapat digunakan untuk menggambarkan waktu hidup antara lain
Distribusi Eksponensial, Distribusi Weibull, Distribusi Gamma, Distribusi Rayleigh,
dan lain-lain (Lawless, 1982: 26). Di antara beberapa distribusi tersebut, dalam
skripsi ini dipilih fungsi tahan hidup berdistribusi Rayleigh, atau data waktu hidup
diasumsikan mengikuti distribusi Rayleigh.
Untuk mengetahui apakah distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang
diasumsikan telah menggambarkan keadaan yang sesungguhnya, diperlukan suatu
3
analisis terhadap data waktu hidup. Langkah untuk menganalisis terhadap fungsi
distribusi dari data waktu hidup adalah dengan mengestimasi harga parameter
distribusinya. Dari hasil-hasil yang diperoleh belum disimulasikan dengan bantuan
komputer khususnya dengan program Microsoft Visual Basic 6.0. Berdasarkan
tersebut maka mendorong untuk mengadakan penelitian tentang Estimasi Parameter
Untuk Data Waktu Hidup yang Berdistribusi Rayleigh Pada Data Tipe II Beserta
Simulasinya.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut.
1. Bagaimana estimasi parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi
Rayleigh pada data tersensor tipe II?
2. Bagaimana simulasi hasil yang diperoleh dengan program Microsoft Visual Basic
6.0?
C. Batasan Masalah
Untuk membatasi ruang lingkup pada penelitian ini diberikan batasan masalah
sebagai berikut.
1. Data yang digunakan adalah data waktu hidup yang tersensor tipe II, tidak
berkelompok (tunggal).
2. Data Waktu hidup yang tersensor tipe II diasumsikan berdistribusi Rayleigh.
4
D. Tujuan Dan Manfaat Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Dapat menentukan estimator parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi
Rayleigh pada data tersensor tipe II.
2. Dapat Mengetahui simulasi hasil yang didapat dengan menggunakan program
Microsoft Visual Basic 6.0.
Adapun manfaat yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Secara teoritis akan memberikan tambahan wawasan terhadap ilmu statistika
terutama tentang fungsi tahan hidup untuk data waktu hidup yang berdistribusi
Rayleigh.
2. Karena bersifat aplikatif maka dapat diterapkan pada ilmu lain di luar statistika
misalnya ilmu biologi, kedokteran dan teknik.
E. Sistematika Skripsi
Secara garis besar Skripsi ini dibagi menjadi tiga bagian yaitu bagian
Pendahuluan, bagian Isi dan bagian Akhir.
1. Bagian Pendahuluan Skripsi meliputi: Halaman Judul, Abstrak, Halaman
Pengesahan, Motto dan Persembahan, Kata Pengantar dan Daftar isi.
5
2. Bagian Isi skripsi terdiri dari lima bab, yaitu sebagai berikut.
BAB I Pendahuluan
Bab ini berisi tentang latar belakang, permasalahan, batasan masalah,
tujuan dan manfaat penelitian serta sistematika skripsi.
BAB II Landasan Teori
Bab ini berisi tentang teori-teori mendasar yang mendukung dalam
pelaksanaan penelitian.
BAB III Metode Penelitian
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu
dengan menggunakan metode literatur.
BAB IV Hasil Penelitian dan Pembahasan
Bab ini berisi tentang penyelesaian dari permasalahan yang
diungkapkan, yaitu estimasi parameter untuk data waktu hidup yang
berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II dan simulasi hasil
yang didapat dengan menggunakan program Microsoft Visual Basic
6.0.
BAB V Penutup
Bab ini berisi simpulan dan saran.
3. Bagian Akhir skripsi, berisi Daftar Pustaka dan Lampiran
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Konsep Dasar Probabilitas
1. Ruang Sampel dan Kejadian
Definisi 1
Himpunan semua hasil semua hasil (outcome) yang mungkin muncul pada
suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S.
( Bain, L.J, 1992: 2)
Tiap – tiap hasil yang mungkin dalam ruang sampel disebut unsur atau
anggota ruang sampel tersebut atau disebut juga dengan istilah titik sampel.
Contoh:
Pada percobaan melempar dua mata uang, diperoleh S = AA, AG, GA, GG,
dengan AA adalah kejadian muncul angka pada lemparan pertama, dan
muncul angka pada lemparan kedua; AG adalah kejadian muncul angka pada
lemparan pertama, dan muncul gambar pada lemparan kedua; GA adalah
kejadian muncul gambar pada lemparan pertama, dan muncul angka pada
lemparan kedua; GG adalah kejadian muncul gambar pada lemparan pertama,
dan muncul gambar pada lemparan kedua. Titik sampelnya adalah AA, AG,
GA, dan GG.
Definisi 2
Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
(Bain, L.J, 1992:4)
6
7
Contoh :
Suatu percobaan yang dilakukan denga melantunkan sebuah dadu, maka ruang
sampelnya: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Misalkan A menyatakan suatu kejadian
bahwa bilangan genap muncul, maka kejadian A = 2, 4, 6, sehingga A
merupakan himpunan bagian ruang sampel S, dinotasikan sebagai A ⊂ S.
Definisi 3
Ruang nol atau ruang kosong adalah himpunan bagian ruang sampel yang
tidak mengandung unsur. Himpunan ini dinyatakan dengan lambang ∅.
(Walpole, 1995:4)
2. Definisi Peluang Suatu Kejadian
Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian
atau peristiwa. Peluang dinyatakan dalam pecahan atau desimal antara 0 dan
1. bila peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak akan
terjadi. Sedangkan bila peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian
tersebut pasti terjadi. Dalam teori peluang suatu kejadian adalah satu atau
beberapa kemungkinan hasil dari suatu tindakan. (Richard.I.levin: 2000).
Tujuan teori peluang adalah menggambarkan dan menaksir rata –rata
sedemikian itu dalam bentuk peluang kejadian. Peluang kejadian A ditulis
P(A). Menurut Papoulis (1992: 6) peluang didefinisikan dengan menggunakan
tiga pendekatan yang berbeda. Ketiga definisi tersebut adalah sebagai berikut.
8
a. Definisi Aksiomatik.
Pendekatan aksiomatik peluang berdasar pada tiga postulat sebagai
berikut.
Peluang P(A) kejadian A adalah bilangan non negatif yang ditetapkan
pada kejadian ini yaitu
P(A) ≥ 0.
Peluang P(B) kejadian B pasti sama dengan 1, yaitu
P(B) = 1.
Dan bila kejadian – kejadian A dan B saling asing maka
P(A+B) = P(A) + P(B)
b. Definisi Frekuensi Relatif
Pendekatan frekuensi relatif berdasar pada definisi beikut.
Peluang P(A) kejadian A adalah limit dari perbandingan n(A) dengan N,
dimana n mendekati tak hingga , sehingga dapat ditulis sebagai berikut.
P(A) = NAn
n
)(lim∞→
dimana n(A) adalah jumlah terjadinya suatu kejadian A dan N adalah
jumlah usaha.
c. Definisi Klasik
Menurut definisi klasik, Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N
macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari
hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah
NAnAP )()( =
9
Definisi 4
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah semua titik sampel yang termasuk A.
Jadi:
0≤P(A) ≤1, P(∅)=0, P(S)=1.
(Walpole, 1995:16)
Definisi 5
Misalkan A dan B menyatakan dua kejadian dalam koleksi kejadian dalam
ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari kejadian A bila diberikan
kejadian B dinotasikan dengan
P(AB) )(
)(BP
BAP ∩= dengan 0)( ≠BP
(Bain, L.J, 1992:18)
B. Variabel Random dan Distribusi Peluang
1. Variabel Random
Definisi 6
Variabel random X merupakan fungsi yang memetakan setiap hasil yang
mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian
sehingga X(e) = x.
(Bain, L.J, 1992:53)
Ada dua macam variabel random, yaitu variabel random diskrit dan
variabel random kontinu.
10
Definisi 7
Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel random X
merupakan himpunan terbilang (countable set), yaitu x1, x2,, ..., xn atau
x1, x2,, ..., maka X disebut variabel random diskrit.
(Bain, L.J, 1992:53)
Definisi 8
Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel random X
merupakan selang bilangan real, maka X disebut variabel random kontinu.
(Bain, L.J, 1992:64)
2. Distribusi peluang
a. Distribusi Peluang Diskrit
Definisi 9
Misalkan A ruang dari variabel random diskrit X dan A terbilang. Fungsi f
dari A ke dalam R yang memenuhi:
a. f(x) ≥ 0 untuk setiap x di A
b. 1)( =∑xdiA
xf
dinamakan fungsi densitas probabilitas (fdp) dari variabel random diskrit X.
Jika variabel random diskrit X dengan fdp f(x), maka peluang suatu kejadian
A diberikan oleh
P(A) = ∑xdiA
xf )(
(Djauhari, 1990:41)
11
Definisi 10
Fungsi distribusi kumulatif F(x) dari variabel random diskrit X didefinisikan
untuk sembarang bilangan real x oleh
)()( xXPxF ≤=
(Bain, L.J, 1992:53)
b. Distribusi Peluang Kontinu
Definisi 11
Misalkan A ruang variabel random kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam R
yang memenuhi:
a. f(x) ≥ 0, untuk semua x di A
b. ∫∞
∞−
=1)( dxxf
dinamakan fungsi densitas probabilitas (fdp) dari variabel random kontinu X.
Jika variabel random kontinu X memiliki fdp f(x), maka peluang suatu
kejadian atau peristiwa A, diberikan oleh
∫=xdiA
dxxfAP )()(
(Djauhari, 1990:43)
Definisi 12
Suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada selang nilai variabel random X
disebut fungsi densitas probabilitas (fdp kontinu), sehingga fungsi distribusi
kumulatifnya dapat dinyatakan sebagai
F(x) = ∫∞−
x
dttf )( .(Bain, L.J, 1992:64)
12
C. Konsep Dasar Distribusi waktu Hidup
Misalkan variabel random T menunjukkan waktu hidup dari organisme
dalam populasi. Waktu hidup T merupakan variabel random kontinu dan non
negatif dalam interval [0,∞ ). Lawless (1982) menyebutkan bahwa distribusi
waktu hidup dapat dinyatakan dengan tiga fungsi yaitu, fungsi densitas
probabilitas, fungsi tahan hidup (Survival), dan fungsi hazard.
1. Fungsi Densitas Probabilitas
Menurut Lawless (1982) fungsi densitas probabilitas adalah
probabilitas suatu individu mati atau gagal dalam interval waktu dari t sampai
t + t, dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi densitas
Probabilitas dinyatakan dengan
Δ
f(t) = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ΔΔ+<≤
→Δ tttTtP
t
))((lim0
(2.1)
Waktu hidup merupakan variabel random non negatif, sehingga waktu hidup
hanya diukur untuk nilai t yang positif, maka diperoleh
f(t) = 0 untuk t<0 dan d(t) = 1. ∫∞
0
)(tf
2. Fungsi Tahan Hidup (Survival)
Menurut Lawless (1982) fungsi tahan hidup (Survival) adalah
probabilitas suatu individu yang masih dapat bertahan hidup sampai dengan
waktu t (t > 0). Jika T merupakan variabel random dari waktu hidup suatu
individu dalam interval [0,∞ ), maka fungsi distribusi kumulatif F(t) untuk
13
distribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(t) dinyatakan sebagai
berikut
F(t) = P (T t) ≤
atau
F(t) = dx, untuk t > 0 (2.2) ∫t
xf0
)(
Oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup (Survival) yang didefinisikan
dengan
S(t) = P (T t) ≥
= 1 - P (T t) ≤
= 1 – F(t) (2.3)
Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-
komponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi Survival.
Jadi hubungan fungsi densitas probabilitas dengan fungsi tahan
hidup (Survival) adalah
f(t) = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ΔΔ+<≤
→Δ tttTtP
t
))((lim0
= F’(t) = - S’(t) (2.4)
Dalam hal ini fungsi tahan hidup S(t) merupakan fungsi monoton
turun yang mempunyai sifat
(i). S(0) =1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari
waktu nol adalah 1
(ii). S( ) = 0 , artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang
tak terhingga adalah 0.
∞
14
3. Fungsi Hazard
Menurut Lawless (1982) fungsi hazard adalah probabilitas suatu
individu mati dalam interval waktu dari t sampai t+Δ t, jika diketahui individu
tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t. fungsi hazard
secara matematika dinyatakan sebagai:
h(t) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
≥Δ+<≤→Δ t
tTttTtPt
))((lim
0 (2.5)
Misalkan f(t) adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari
persamaan (2.5) diperoleh:
h(t) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
≥Δ+<≤→Δ t
tTttTtPt
))((lim
0
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ≥
≥∩Δ+<≤→Δ ttTP
tTttTtPt ).(
)]())([(lim0
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ≥Δ+<≤
→Δ ttTPttTtP
t ).())((lim
0
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−Δ+Δ→Δ )(1
)()(1lim0 tF
tFttFtt
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−Δ+→Δ )(
1.)()(lim0 tSt
tFttFt
=)()('
tStF
h(t) = )()(
tStf (2.6)
15
Dari persamaan (2.4) dan (2.6) diperoleh h(t) sebagai berikut
h(t) )()('
tStS
−=
)()(ln).('
tdStSdtS−=
)()(ln.)(
tdStSd
dttdS
−=
h(t) )(ln tSdtd
−= (2.7)
Dari (2.7) diperoleh
∫t
dxxh0
)( = dxxSdxdt
o∫− )(ln
∫−⇔t
dxxh0
)( = dxxSdxdt
o∫ )(ln
∫−⇔t
dxxh0
)( = ln S(x) t0 .
Karena S(0) = 1, maka diperoleh
∫−t
dxxh0
)( = )(ln tS
⇔ S(t) = exp[ ]. ∫−t
dxxh0
)(
Dari uraian di atas diperoleh hubungan antara f(t), S(t) dan h(t) sebagai
berikut.
i) f(t) = - S’(t) (2.8)
16
ii) h(t) = )()(
tStf
iii) S(t) = exp[ ]. ∫−t
dxxh0
)(
Dengan demikian jika fungsi hazard h(t) dari suatu distribusi dalam
tahan hidup diketahui, maka f(t), F(t) dan S(t) dapat dicari. Sedangkan fungsi
hazard kumulatif didefinisikan dengan
H(t) = (2.9) ∫t
dxxh0
)(
melalui persamaan (2.8) fungsi hazard kumulatif yang dihubungkan dengan
fungsi tahan hidup diperoleh
S(t) = exp[-H(t)]
atau
H(t) = -lnS(t).
Dan dari persamaan (2.6) dan (2.8) diperoleh
f(t) = h(t) exp[ ]. (2.10) ∫−t
dxxh0
)(
D. Statistik Terurut
Definisi 13
Himpunan variabel random X1, X2, …, Xn disebut sampel random yang
berukuran n dari suatu populasi denga fungsi densitas f(x) maka fungsi densitas
probabilitas bersama dari variabel random independen akan diberikan sebagai
f(x1, x2, ....,xn) = f(x1) f(x2) ... f(xn)
(Bain, L.J, 1992:159)
17
Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu
urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari X1, X2, …, Xn
dan dinyatakan dengan X1.n, X2.n, …, Xn.n atau Y1, Y2, …, Yn dengan Xin = Yi ,
i = 1, 2, … , n.
Dan misalkan X1, X2, …, Xn adalah sampel random yang berukuran n dari fungsi
densitas probabilitas, f(x), dimana untuk f(x) kontinu dan f(x)>0; a<x<b, maka
fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k, Yk adalah
gk(yk) = [ ] [ ] )()(1)()!()!1(
! 1k
knk
kk yfyFyF
knkn −− −
−− jika a<yk<b.
(Bain, L.J, 1992:217)
E. Data Tersensor
Dalam penyensoran sering terjadi individu yang diamati tersensor.
Masalah penyensoran ini merupakan suatu hal yang membedakan antara uji hidup
dengan bidang ilmu statistik yang lain. Data tersensor adalah data yang diperoleh
sebelum hasil yang diinginkan dari pengamatan terjadi, sedangkan waktu
pengamatan telah berakhir atau oleh sebab lain. Data yang mengalami
penyensoran hanya memuat sebagian informasi mengenai variabel random yang
diperhatikan, namun berpengaruh terhadap pengertian-pengertian dan perhitungan
statistik.
Ada tiga macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji
hidup, yaitu sebagai berikut.
1. Sampel lengkap, bila uji dihentikan setelah semua unit gagal atau mati
2. Sensor tipe I, bila uji dihentikan setelah waktu tertentu.
18
3. Sensor tipe II, bila uji dihentikan setelah diperoleh sejumlah kegagalan
tertentu.
Lawless (1982) menyebutkan bahwa data tersensor tipe II merupakan data
kematian atau kegagalan yang tidak lengkap (incomplete mortality data)
yaitu data waktu kematian atau kegagalan dari r observasi terkecil dalam
sampel random yang berukuran n dengan 1 nr ≤≤ . Dalam eksperimen
menunjukkan penyensoran tipe II lebih sering digunakan sebagai contoh
dalam uji hidup dari total observasi sebanyak n, tetapi uji hidup akan
berhenti pada waktu observasi sampel mempunyai waktu kematian atau
kegagalan ke-r. Oleh karena itu uji hidup ini dapat menghemat waktu dan
biaya, karena uji hidup memakan waktu yang lama untuk penyensoran
terhadap kegagalan dari observasi. Data tersensor tipe II diperoleh dari
penyelidikan terhadap n observasi, sehingga penyensoran berhenti sampai
observasi sampel yang mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-r.
Oleh karena itu dalam penyensoran tipe II umumnya data terdiri dari r waktu
hidup terkecil t1 ≤t2 ≤... ≤tr dari sampel random berukuran n. Bila t1, t2, ..., tr
i.i.d dan berdistribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(t) dan
fungsi survivor S(t) maka fungsi densitas probabilitas (fdp) bersama dari t1,
t2, ..., tr adalah
rn
rr
rnr
r
iir
tStftfrn
n
tFtfrn
ntttg
−
−
=
−=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
= ∏
)()(...()!(
!
)](1[)()!(
!],...,,[
)()()1(
)(1
21
(Lawless, 1982:32)
... (2.11)
19
F. Fungsi Tahan Hidup Empirik
Menurut Elandt dan Johnson (1980), misalkan t1≤ t2≤ t3≤…≤ tr≤… t≤ n adalah
data tersensor tipe II dan ti merupakan r observasi terkecil didalam sampel yang
berukuran n. misalkan juga t1≤ t2≤ t3≤…≤ tr≤…≤ tn adalah n order waktu
kematian, sedangkan P(T t≤ i) = F(ti) merupakan fungsi distribusi kumulatif dan
P(T > ti) = 1 - F(ti) = S(ti) merupakan fungsi tahan hidup maka distribusi
kematian atau kegagalan kumulatif empirik didefinisikan dengan
F0(t) =
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
<≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
<
∏=
+
r
11ii
1
tuntuk t ,1
tt untuk t,111
tuntuk t ,0i
j jN
Fungsi tahan hidup empirik adalah
S0(t) =
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
<≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
<
∏=
+
r
11ii
1
tuntuk t ,1
tt untuk t,11
tuntuk t ,0i
j jN
dengan Nj = n – i + 1 adalah jumlah relatif dari individu pada waktu rank
observasi ke-i.
G. Distribusi Weibull
Menurut Lawless(1982), distribusi Weibull merupakan distribusi yang
menggambarkan kejadian ekstrim seperti waktu hidup dari makhluk hidup.
Distribusi Weibull paling banyak digunakan dalam model distribusi waktu hidup.
Misalkan variabel random kontinu T berdistribusi Weibull, dengan parameter θ
dan β, disingkat T ~ WEI (θ, β) maka fungsi densitas probabilitasnya adalah
20
f(t) [ ] 0,)(exp)( 1 >−= − ttt βββ θβθ , .0,0 >> βθ (2.12)
Adapun fungsi tahan hidup dan fungsi hazard dari distribusi Weibull adalah
S(t) = [ ]βθ )(exp t− , t>0 (2.13)
dan
h(t) = (2.14) 1)( −βθθβ t
dimana .0,0,0 >>> tβθ
sedangkan fungsi distribusi dari distribusi Weibull adalah
F(t) = 1 - exp ( )[ ]2tθ− (2.15)
Dimana .0,0 >> tθ
(Lawless, 1982: 15)
H. Distribusi Rayleigh
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), dalam beberapa kasus khusus
parameter bentuk, β, dari distribusi Weibull diberi harga β = 2, dikenal sebagai
distribusi Rayleigh. Sehingga diperoleh fungsi tahan hidup dari distribusi
Rayleigh sebagai berikut.
S(t) ( )[ ]2exp tθ−= dinama 0,0 >> tθ (2.16)
dan diperoleh fungsi hazard dari distribusi Rayleigh yaitu:
h(t) (2.17) t22θ=
dimana t >0, θ>0, dan t menunjukkan waktu hidup dari individu yang
diobservasi.
Dari fungsi tahan hidup, persamaan (2.16), dapat ditentukan fungsi
distribusi kegagalan dari data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh,
21
F(t) = 1 – S(t)
= 1 - exp ( )[ ]2tθ−
1 - F(t) = exp ( )[ ]2tθ−
dari persamaan (2.8) dan (2.16) diperoleh persamaan:
f(t) = ( )[ ]( )dt
tddt
tdS 2exp)( θ−−=− (2.18)
sehingga diperoleh fungsi densitas probabilitas dari distribusi Rayleigh, yaitu
sebagai berikut
f(t) = ( )[ ]22 exp2 tt θθ − untuk t>0, θ>0.
I. Metode Estimasi Parameter Distribusi dengan Metode Maksimum
Likelihood
Metode untuk mengestimasi harga parameter distribusi dari data dalam
fungsi tahan hidup (Survival) adalah dengan menggunakan metode maksimum
likelihood.
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), metode maksimum likelihood
menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian dengan harga
kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari parameter yang
tidak diketahui.
Dalam aplikasinya L(θ) menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama
dari sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan
L(θ) merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada
Ω maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah
22
0)( =θθ
Ldd (2.19)
Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari L(θ)
dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan (2.17) sukar diselesaikan
maka fungsi L(θ) dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan
memaksimumkan lnL(θ), sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya
adalah
0)(ln =θθ
Ldd (2.20)
Definisi 14
Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n variabel random X1, X2,…,Xn yang
diobservasi pada x1, x2, … ,xn dinotasikan dengan f(x1, x2, … ,xn). maka fungsi
liklelihood dari himpunan pengamatan x1, x2, … ,xn dinyatakan sebagai
L(θ) = f(x1;θ) f(x2;θ)… f(xn;θ) = ∏ (2.21) =
n
iixf
1
);( θ
dengan θ parameter yang tidak diketahui.
(Bain, L.J, 1992 : 293)
Penduga maksimum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan
persamaan 0)(ln =θθ
Ldd , misalkan ada k parameter yang tidak diketahui, maka
penduga parameter likelihood dari θi didapat dengan menyelesaikan
0),...,,(ln 21 =ki
Ldd θθθθ
, dengan i = 1, 2, 3, …, k.
(Bain, L.J, 1992 : 290)
23
J. Uji Kolmogorov – Smirnov
Pendekatan secara statistik mempunyai berbagai macam bentuk, bentuk
yang paling banyak digunakan dalam metode nonparametrik adalah uji hipotesis.
Uji hipotesis merupakan proses pendekatan dari sampel apakah menerima atau
menolak suatu pernyataan tentang populasi. Dalam analisis tahan hidup langkah
penting yang perlu dilakukan adalah dengan mengestimasi harga parameter
distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup. Namun dalam membuat keputusan
atau kesimpulan diperlukan uji signifikan untuk menguji kebaikan sesuai
(goodness of fit) dari parameter distribusi yang telah diasumsikan, yaitu distribusi
Rayleigh. Dalam hal ini digunakan uji kolmogorov-smirnov untuk data sampel
tunggal atau tidak dikelompokkan.
Uji kolmogorov smirnov merupakan suatu uji nonparametrik untuk
menguji sampai dimana distribusi kegagalan kumulatif yang diamati sesuai
dengan distribusi kegagalan kumulatif berdasarkan hipotesis. Untuk menguji
kebaikan sesuai dari parameter distribusi Rayleigh akan diambil uji hipotesis dua
sisi yaitu, H0 : F(t) = F0(t) dan H1 : F(t)≠ F0(t). untuk data tersensor tipe II yang
tidak dikelompokkan akan digunakan statistik kolmogorov - smirnov dari uji dua
sisi dan didefinisikan sebagai
Dn )()()( 00 tFtFmaksD
nr
rttn −==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
≤φ ,
dengan nr
=φ , F0(t) adalah distribusi kegagalan kumulatif observasi dan F0(t)
adalah distribusi kegagalan kumulatif berdasarkan hipotesis.
24
Diasumsikan r adalah pengukuran tunggal dari himpunan waktu kematian atau
kegagalan yang tersensor tipe II dari total sampel yang berukuran n. maka
diperoleh daerah kritiknya yaitu H0 ditolak jika α−> 1ynDn atau H0 diterima jika
α−≤ 1ynDn dengan y1-α adalah kuantil ke-(1- α) yang dperoleh dari tabel
kolmogorov – smirnov pada lampiran 3. Untuk susunan satu sisi statistik uji
kolmogorov-smirnov berbentuk
Dn [ )()( 00 tFtFmaks
nr
t−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+
], untuk alternatif F(t)>F0(t)
Dan
Dn [ )()( 00 tFtFmaks
nr
t−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
] ,= untuk alternatif F(t)<F0(t)
Jika T1<T2<…<Tr adalah r order kematian atau kegagalan terkecil dari sampel
random berukuran n distribusi Rayleigh, maka untuk menghitung dan
dari uji satu sisi digunakan rumus
+)(φnD
−)(φnD
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= ∏
=
+ )(111 01
i
i
j jtn tF
NmaksD
dan
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−= ∏
=
−i
j jitn N
tFmaksD1
0111)(
dengan Nj = n – i +1, i = 1, 2, …, r.
untuk menghitung Dn dari dua sisi diperoleh dari
Dn = maks ( Dn+,Dn
-).
25
K. Microsoft Visual Basic Versi 6.0
1. Pengertian Microsoft Visual Basic versi 6.0
Microsoft Visual Basic versi 6.0 merupakan bahasa pemrograman yang
berbasis Microsoft Windows, sebagai bahasa pemrogramaan yang mutakhir,
Microsoft Visual Basic versi 6.0 dirancang untuk dapat memanfaatkan
fisilitas yang tersedia dalam Microsoft Windows. Microsoft Visual Basic
versi 6.0 juga merupakan bahasa pemrograman Object Oriented Programing
(OOP), yaitu pemrograman yang berorientasi pada objek.
Visual Basic adalah salah satu development tool untuk membangun
aplikasi dalam lingkungan windows. Dalam pengembangan aplikasi, Visual
Basic menggunakan pendekatan visual untuk merancang user intervace
dalam bentuk form, sedangkan untuk kodenya menggunakan bahasa basic
yang cenderung mudah dipelajari. Visual Basic telah menjadi tool bagi para
pemula maupun para developer. Dalam lingkungan Window’s User-intervace
sangat memegang peranan penting, karena dalam pemakaian aplikasi yang
kita buat, pemakai senantiasa berinteraksi dengan User-interface tanpa
menyadari bahwa di belakangnya berjalan intruksi-instruksi program yang
mendukung tampilan dan proses yang dilakukan.
Pada pemrograman Visual, pengembangan aplikasi dimulai dengan
pembentukan user intervace, kemudian mengatur properti dari objek yang
digunakan dalam user interface, dan baru dilakukan penulisan kode program
untuk menangani kejadian-kejadian (event). Tahap pengembangan aplikasi
26
demikian dikenal dengan istilah pengembangan aplikasi dengan pendekatan
Bottom Up.
2. Struktur Aplikasi Visual Basic versi 6.0
Project Window Properties WindowMenu Bar Main Toolbar Form Desainer Code Window
Watches Windows Form Layout WindowToolbox Immediate Window
Gambar 2.1. Lingkungan Kerja Microsoft Visual Basic Versi 6.0
a. Form
Merupakan window atau jendela di mana akan dibuat User-
interface atau tampilan.
b. Control
Merupakaan tampilan berbasis grafis yang dimasukkan dalam form
untuk membuat interaksi dengan pemakai.
27
Adapun secara garis besar fungsi dari masing-masing kontrol
tersebut adalah sebagai berikut.
1) Pointer bukan merupakan suatu kontrol. icon ini digunakan ketika
anda ingin memilih kontrol yang sudah berada pada form.
2) PictureBox adalah kontrol yang digunakan untuk menampilkan
gambar (image) dengan format BMP, DIB(bitmap), CUR(cursor),
WMF(metafile), EMF(enhanced metafile), GIF, dan JPG.
3) Label adalah kontrol yang digunakan untuk menampilakan text yang
tidak dapat diperbaiki oleh pemakai
4) Textbox adalah kontrol yang mengandung string yang dapat diperbaiki
oleh pemakai, dapat berupa satu baris tunggal, atau banyak baris.
5) Frame adalah kontrol yang digunakan sebagai container bagi kontrol
lainnya.
6) CommandButton merupakan kontrol yang hampir sering ditemukan
pada setiap form, dan digunakan untuk membangkitkan event proses
tertentu ketika pemakai melakukan diklik disana.
28
7) CheckBox digunakan untuk pilihan yang isinya bernilai yes/no,
true/false.
FileListBox
PictureBox
Textbox
Command Button
OptionButton
Combobox
VScrollBar
DriveListBox
Line
Data
Pointer
Label
Frame
CheckBox
ListBox
HScrollBar
Timer
DirListBox
Shape
Image
OLE
Gambar 2.2. ToolBox di Microsoft Visual Basic Versi 6.0
8) OptionButton sering digunakan untuk pilihan yang hanya satu pilihan
dari beberapa option.
9) ListBox mengandun sejumlah item dan user dapat memilih lebih dari
lebih dari satu (bergantung pada properti multiselect).
10) ComboBox merupakan kombinasi dari textBox dan suatu ListBox di
mana pemasukan data dapat dilakukan dengan pengetikan maupun
pemilihan.
29
11) HScrollbar dan VscrollBar digunakan untuk membentuk scrollbar
berdiri sendiri.
12) Timer digunakan untuk proses background yang diaktifkan
berdasarkan interval waktu tertentu yang merupakan kontrol non-
visual.
13) DriveListBox, DirListBox, dan FileListBox sering digunakan untuk
membentuk dialog box yang berkaitan dengan file.
14) Shape dan Line digunakan untuk menampilakan bertuk seperti garis,
persegi, lingkaran dan sebagainya
15) Image berfungsi seperti ImageBox, tetapi tidak dapat digunakan
sebagai container bagi kontrol lainnya. Sesuatu yang perlu diketahui
bahwa kontrol Image menggunakan resource lebih kecil dibandingkan
dengan PictureBox.
16) Data digunakan untuk data binding.
17) OLE dapat digunakan sebagai tempat bagi program eksternal seperti
Microsoft Excel, Microsoft Word dan sebagainya.
c. Properties
Merupakan nilai atau karakteristik yang dimiliki oleh sebuah objek
visual basic.
d. Event Procedure
Merupakan kode yang berhubungan dengan objek. Kode ini akan
dieksekusi ketika ada respon dari pemakai berupa event tertentu.
30
e. General Procedure
Merupakan kode yang tidak berhubungan dengan objek. Kode ini
harus diminta oleh aplikasi.
f. Metods
Merupakan serangkaian perintah yang tersedia pada suatu objek
yang diminta untuk mengerjakan tugas khusus.
Gambar 2.3. Jendela Source Program di Microsoft Visual Basic Versi 6.0
g. Module
Merupakan kumpulan dari prosedur umum, deklarasi variabel dan
definisi konstanta yang digunakan oleh aplikasi.
3. Mengenal Data dan Variabel
Ketika seorang user (pengguna) menggunakan sebuah program
komputer, seringkali komputer memintanya untuk memberikan informasi.
Informasi ini kemudian disimpan atau diolah oleh komputer. Informasi inilah
yang disebut dengan data.
31
Visual Basic 6 mengenal beberapa type data, antara lain:
a. string adalah tipe data untuk teks (huruf, angka dan tanda baca).
b. integer adalah tipe data untuk angka bulat.
c. single adalah tipe data untuk angka pecahan.
d. currency adalah tipe data untuk angka mata uang.
e. date adalah tipe data untuk tanggal dan jam.
f. boolean adalah tipe data yang bernilai TRUE atau FALSE.
Data yang disimpan di dalam memory komputer membutuhkan sebuah
wadah. Wadah inilah yang disebut dengan variabel. Setiap variabel untuk
menyimpan data dengan type tertentu membutuhkan alokasi jumlah memory
(byte) yang berbeda.
Aturan di dalam penamaan variabel adalah sebagai berikut.
a. Harus diawali dengan huruf.
b. Tidak boleh menggunakan spasi. Spasi bisa diganti dengan karakter
underscore ( _ ).
c. Tidak boleh menggunakan karakter-karakter khusus (seperti : +, -, *, /, <,
>, dan lain-lain).
d. Tidak boleh menggunakan kata-kata kunci yang sudah dikenal oleh Visual
Basic 6 (seperti : dim, as, string, integer, dan lain-lain).
Sebuah variabel hanya dapat menyimpan satu nilai data sesuai dengan
tipe datanya. Untuk tipe data tertentu nilai_data harus diapit tanda pembatas.
Tipe data string dibatasi tanda petik ganda. Tipe data date dibatasi tanda
32
pagar. Tipe data lainnya tidak perlu tanda pembatas. Sebuah variabel
mempunyai ruang-lingkup (scope) dan waktu-hidup (lifetime).
Ada 2 macam variabel dalam sebuah program, yaitu:
a. variabel global adalah variabel yang dapat dikenali oleh seluruh bagian
program. Nilai data yang tersimpan didalamnya akan hidup terus selama
program berjalan.
b. variabel lokal adalah variabel yang hanya dikenali oleh satu bagian
program saja. Nilai data yang tersimpan didalamnya hanya hidup selama
bagian program tersebut dijalankan.
Variabel yang nilai datanya bersifat tetap dan tidak bisa diubah disebut
konstanta.
BAB III
METODE PENELITIAN
Peranan metode penelitian dalam suatu penelitian sangat penting.
Sehingga dengan metode penelitian dapat mencapai tujuan penelitian yang telah
ditetapkan dan agar penelitian yang telah dilakukan berjalan dengan lancar.
Melalui metode penelitian, masalah yang dihadapi dapat diatasi dan dipecahkan
dari perolehan data yang telah dikumpulkan.
Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini meliputi beberapa hal yaitu
sebagai berikut.
A. Pemilihan Masalah
Dalam perkuliahan yang diperoleh penulis, banyak masalah yang perlu dikaji
lebih lanjut. Dari beberapa masalah tersebut dihadapkan pada persoalan
untuk memilih masalah yang kemudian dijadikan bahan dasar untuk
melakukan penelitian lebih lanjut.
B. Merumuskan Masalah
Perumusan masalah diperlukan untuk membatasi permasalahan sehingga
diperoleh bahan kajian yang jelas. Sehingga akan lebih mudah untuk
menentukan langkah dalam memecahkan masalah tersebut.
C. Studi Pustaka
Setelah diperoleh masalah untuk diteliti, peneliti mengadakan studi pustaka.
Studi pustaka adalah penelaahan sumber pustaka yang relevan, digunakan
untuk mengumpulkan data informasi yang diperlukan dalam penelitian. Studi
33
34
pustaka diawali dengan mengumpulkan sumber pustaka yang berupa buku
atau literatur, jurnal, skripsi dan sebagainya. Setelah pustaka terkumpul
dilanjutkan dengan pemahaman isi sumber pustaka tersebut yang pada
akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk menganalisis
permasalahan.
D. Memecahkan Masalah
Setelah permasalahan dirumuskan dan sumber pustaka terkumpul, langkah
selanjutnya adalah pemecahan masalah melalui pengkajian secara teoritis
yang selanjutnya disususn secara rinci dalam bentuk pembahasan.
Dalam pembahasan masalah dilakukan beberapa langkah pokok yaitu sebagai
berikut.
1. Mengidentifikasi dan mengumpulkan materi-materi prasyarat yang
nantinya digunakan untuk perhitungan dalam menentukan estimasi
parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh, yaitu
antara lain materi-materi dalam mata kuliah Statistika Matematika I dan II,
Deferensial dan Integral dalam Kalkulus I dan II, serta mata kuliah
Program Komputer I dan II.
2. Mencari estimator parameter dengan metode maximun likelihood untuk
distribusi Rayleigh.
3. Membuat simulasi hasil yang didapat dengan program Microsoft Visual
Basic 6.0.
35
E. Menarik kesimpulan
Langkah terakhir dalam kegiatan penelitian ini adalah menarik kesimpulan
dari keseluruhan permasalahan yang telah dirumuskan dengan berdasarkan
pada landasan teori dan hasil pemecahan masalah.
BAB IV
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A. Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang Berdistribusi Rayleigh Pada
Data Tersensor Tipe II dengan Metode Maksimum Likelihood
Seringkali data hasil eksperimen tidak diketahui bentuk hubungan fungsional
antara variabel-variabel yang mempengaruhi nilai data sampel, sehingga sulit dalam
melakukan suatu analisis statistik terhadap populasi yang diamati. Hubungan
fungsional ini digambarkan dengan suatu persamaan matematika yang berupa fungsi
pendekatan, yaitu fungsi distribusi.
Untuk itu terlebih dahulu dipilih bentuk distribusi dari data dalam fungsi tahan
hidup yang diduga, yaitu yang berbentuk parametrik dan data waktu hidup
diasumsikan berdistribusi Rayleigh. Kemudian dicari bentuk fungsi parameter yang
diwakili data hasil eksperimen tersebut, agar dapat menduga nilai data pada harga
selanjutnya. Dalam skripsi ini digunakan metode maksimum likelihood untuk
mencari estimasi parameter dari distribusi Rayleigh.
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), metode maksimum likelihood
menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian dengan harga
kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari parameter yang
tidak diketahui.
36
37
Dalam aplikasinya L(θ) menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama
dari sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan
L(θ) merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada Ω
maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah
0)( =θθ
Ldd
Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari L(θ)
dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan tersebut sukar untuk
diselesaikan maka fungsi L(θ) dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan
lnL(θ) maksimum, sehingga persamaan logaritma natural maksimum likelihoodnya
adalah
0)(ln =θθ
Ldd
Penduga maksimum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan
persamaan 0)(ln =θθ
Ldd , misalkan ada k parameter yang tidak diketahui, maka
penduga parameter likelihood dari θi didapat dengan menyelesaikan
0),...,,(ln 21 =ki
Ldd θθθθ
, dengan i = 1, 2, 3, …, k.
Misalkan t1 ≤t2 ≤... ≤tr adalah data tersensor tipe II dan merupakan r observasi
terkecil dalam sampel random berukuran n dengan r≤ n dari distribusi Rayleigh untuk
data yang tidak dikelompokkan (data tunggal), sehingga diperoleh fungsi densitas
38
probabilitas bersama dari statistik terurut r yang pertama dari sampel random
berukuran n dari f(ti) yang kontinu adalah
g(t1…..tr) = [ ] ∏=
−−−
r
ii
rnt tftF
rnn
1
)()(1)!(
! (4.1)
Fungsi likelihood dari distribusi Rayleigh untuk data tersensor tipe II memiliki
bentuk sebagai berikut.
L(θ) = ( )[ ] ( )[ ]∏=
−−−−
r
iiir ttrnt
rnn
1
222 exp2)(exp)!(
! θθθ
= ( )[ ] ( ) ( ) ∏∑==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
−
r
ii
r
ii
rr ttrnt
rnn
11
222 exp2)(exp)!(
! θθθ
L(θ) = ( ) ( ) ( ) ∏∑== ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−
−
r
iir
r
ii
r ttrntrn
n1
2
1
22 )(exp2)!(
! θθθ (4.2)
Kemudian ditarik logaritma natural (ln) dari fungsi likelihood (4.2), sehingga
diperoleh fungsi log-likelihood dari distribusi Rayleigh sebagai berikut.
lnL(θ) = ( ) ( ) ( ) ∑∑==
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−++
−
r
iir
r
ii ttrntr
rnn
1
2
1
22 ln)(2ln)!(
!ln θθθ
= ( ) ( ) ( ) ∑∑==
+−−−+−
r
iir
r
ii ttrntr
rnn
1
2
1
22 ln)(2ln)!(
!ln θθθ (4.3)
dengan menurunkan ln L(θ) terhadap parameter θ, diperoleh
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−= ∑
=
2
1
2 )(22)(lnr
r
ii trntr
dLd θ
θθθ (4.4)
39
Estimator maksimum likelihood didapat dengan menyelesaikan persamaan ∧
θ
0)(ln=
θθ
dLd , sehingga diperoleh
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+− ∑
=
2
1
2 )(22r
r
ii trntr θ
θ= 0
0)( 2
1
22 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+− ∑
=r
r
ii trntr θ , dengan θ >0 (4.5)
Estimator maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk
data tersensor tipe II diperoleh dengan penyelesaian sistem persamaan:
∧
θ
0)( 2
1
22 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+− ∑
=r
r
ii trntr θ
dan diperoleh
21
2
1
2 )( ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
∑=
∧
r
r
ii trnt
rθ (4.6)
Contoh 4.1 (Lawless, 1982: 145)
Mann dan Fertig (1973) memberikan waktu kegagalan dari 13 komponen pesawat
terbang yang akan ditentukan uji hidupnya dan proses dihentikan pada waktu
kegagalan ke-10. waktu kegagalan ti (dalam jam ) dari 10 komponen pesawat terbang
tersebut adalah 0.22; 0.50; 0.88; 1.00; 1.32; 1.33; 1.54; 1.76; 2.50; dan 3.00. oleh
40
karena itu dari data tersebut dilakukan estimasi parameter distribusi dari data dalam
fungsi tahan hidup yang diasumsikan berdistribusi Rayleigh.
Penyelesaian :
t1 = 0,22 t2 = 0,50 t3 = 0,88 t4 = 1,00 t5 = 1,32 t6 = 1,33
t7 = 1,54 t8 = 1,76 t9 = 2,50 t10 = 3,00
n = 13
r = 10
tr = t10 = 3,00
21
2
1
2 )( ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
∑=
∧
r
r
ii trnt
rθ
21
222222 (3,00) . 10) - (13(3.00)...(1.00)(0.88)(0.50)(0.22)10
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++
=
21
30,5310
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
433,0= .
Jadi nilai estimasi parameter untuk θ dari distribusi Rayleigh adalah = 0,433. θ
41
B. Simulasi Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup Yang Berdistribusi
Rayleigh Pada Data Tersensor Tipe II dengan Menggunakan Program
Microsoft Visual Basic 6.0
Simulasi untuk menghitung Estimator Parameter untuk data waktu hidup yang
berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II ini dibuat dengan menggunakan
program Microsoft Visual Basic versi 6.0. Program Microsoft Visual Basic 6.0
mempunyai banyak kelebihan, di antaranya adalah tampilan visual yang dihasilkan
oleh program ini cukup menarik karena dilengkapi dengan objek-objek desain yang
cukup banyak. Selain itu bahasa yang digunakan dalam pemrograman ini juga tidak
begitu rumit yaitu menggunakan bahasa pemrograman tingkat tinggi seperti bahasa
pemrograman Pascal dan C++.
Simulasi dari program Microsoft Visual Basic 6.0. ini digunakan untuk
memudahkan dalam perhitungan mencari Estimator Parameter untuk data waktu
hidup yang berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II. Berikut penjelasan
mengenai simulasi Estimator Parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi
Rayleigh pada data tersensor tipe II dengan menggunakan program Microsoft Visual
Basic 6.0.
1. Form Awal
Pada form ini terdapat tombol-tombol untuk untuk memanggil form-form
yang lain, yaitu tombol open dan tombol Exit.
42
Jika menekan tombol open, akan muncul Form Input Data yang digunakan
untuk memasukkan data-data yang berkaitan dengan sampel pengujian. Jika
menekan tombol Exit, maka akan keluar dari program ini.
Gambar 4.1. Form Menu Utama
2. Form Input Data
Form Input Data digunakan sebagai form pengisian data-data dari sampel
pengujian. Jika akan menghitung estimator parameter dari data waktu hidup yang
berdistribusi Rayleigh pada data tersensor tipe II maka harus mengisi terlebih
dahulu data-data yang diperlukan seperti banyaknya sampel, Banyaknya sampel
terobservasi, dan nilai-nilai sampel pengujian. Banyaknya sampel diisikan pada
kotak Jumlah Sampel, Banyaknya sampel terobservasi diisikan pada kotak Sampel
43
Terobservasi (r), dan nilai-nilai sampel pengujian diisikan pada kotak Data Ke-i,.
Form Input Data ini dapat diakses melalui Form Awal yaitu dengan menekan
tombol Open.
Misalnya seperti pada contoh 4.1. akan dicari estimator Parameternya
dengan menggunakan simulasi. Caranya, pertama-tama pilih tombol Open
melalui Form awal kemudian akan muncul Form Input Data untuk mengisi
banyaknya data, banyaknya data terobservasi (r), dan data-data sampel
pengujian. Adapun langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut.
Gambar 4.2 Form Input Data
a Masukkan banyaknya sampel pada textbox jumlah sampel. Isi dengan
angka 13 yaitu jumlah sampel yang diketahui.
44
b Masukkan banyaknya sampel yang terobservasi (r) yaitu 10
c Masukkan data pada textbox ti sebanyak 10 data yang akan ditampilkan
pada tabel data yang terletak di sebelah kanan.
d Setelah semua data terisi, pilih tombol Hitung yang terdapat pada Form
Input Data.
e Nilai MLE akan ditampilkan.
Hasil perhitungan dapat dilihat pada tampilan berikut.
Dengan menggunakan simulasi besarnya Estimator maksimum likelihood
dari parameter distribusi Rayleigh, adalah 0.433 dan hasilnya sama seperti
cara perhitungan secara manual.
∧
θ
Gambar 4.3 Tampilan Output 1
45
Contoh 4.2
Berikut diberikan 30 sampel dari suatu observasi mengenai waktu uji hidup yang
distribusi Rayleigh dan proses dihentikan pada 24 0bservasi yang pertama, yaitu
sebagai berikut.
0.40 0.77 1.62 1.88
0.55 1.05 1.66 1.89
0.59 1.32 1.72 1.93
0.63 1.35 1.77 3.02
0.65 1.36 1.85 3.05
0.75 1.57 1.86 4.15
Hitunglah estimator parameter untuk data waktu hidup tersebut?
Penyelesaian:
Untuk menghitung estimator parameter dengan menggunakan simulasi caranya
adalah:
a. Masukkan banyaknya sampel pada textbox jumlah sampel. Isi dengan angka 30
yaitu jumlah sampel yang diketahui.
b. Masukkan banyaknya sampel yang terobservasi (r) yaitu 24
c. Masukkan data pada textbox ti sebanyak 24 data yang akan ditampilkan pada
tabel data yang terletak di sebelah kanan.
d. Setelah semua data terisi, pilih tombol Hitung yang terdapat pada Form Input
Data.
e. Nilai MLE akan ditampilkan.
46
Hasil perhitungan dapat dilihat pada tampilan berikut.
Dengan menggunakan simulasi besarnya Estimator maksimum likelihood dari
parameter distribusi Rayleigh, adalah 0.365 ∧
θ
Contoh 4.3
Berikut diberikan 40 sampel dari suatu observasi mengenai waktu uji hidup yang
distribusi Rayleigh dan proses dihentikan pada 28 0bservasi yang pertama, yaitu
sebagai berikut.
Gambar 4.4 Tampilan Output 2
47
0.046 1.234 2.456 3.456
0.056 1.330 2.562 3.658
0.102 1.356 2.789 3.789
0.453 1.689 2.893 3.862
0.465 1.989 2.987 3.889
0.568 2.005 3.230 4.120
0.896 2.025 3.334 4.256
Hitunglah estimator parameter untuk data waktu hidup tersebut?
Penyelesaian:
Untuk menghitung estimator parameter dengan menggunakan simulasi caranya
adalah:
a. Masukkan banyaknya sampel pada textbox jumlah sampel. Isi dengan angka 40
yaitu jumlah sampel yang diketahui.
b. Masukkan banyaknya sampel yang terobservasi (r) yaitu 28
c. Masukkan data pada textbox ti sebanyak 28 data yang akan ditampilkan pada
tabel data yang terletak di sebelah kanan.
d. Setelah semua data terisi, pilih tombol Hitung yang terdapat pada Form Input
Data.
e. Nilai MLE akan ditampilkan.
48
Hasil perhitungan dapat dilihat pada tampilan berikut.
Dengan menggunakan simulasi besarnya Estimator maksimum likelihood dari
parameter distribusi Rayleigh, adalah 0.280. ∧
θ
Contoh 4.4
Bugaighis (1995) memberikan data dalam suatu observasi 5 komponen elektronik
pada tegangan 1000 volt yang akan ditentukan uji hidupnya dan proses dihentikan
pada waktu kegagalan ke-4. waktu kegagalan ti (dalam jam ) dari 4 komponen
elektronik tersebut adalah 450; 550; 600; 650. oleh karena itu dari data tersebut
Gambar 4.5 Tampilan Output 3
49
dilakukan estimasi parameter distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang
berdistribusi Rayleigh.
Penyelesaian :
Untuk menghitung estimator parameter dengan menggunakan simulasi caranya
adalah sebagai berikut.
a. Masukkan banyaknya sampel pada textbox jumlah sampel. Isi dengan angka 5
yaitu jumlah sampel yang diketahui.
b. Masukkan banyaknya sampel yang terobservasi (r) yaitu 4
c. Masukkan data pada textbox ti sebanyak 4 data yang akan ditampilkan pada tabel
data yang terletak di sebelah kanan.
d. Setelah semua data terisi, pilih tombol Hitung yang terdapat pada Form Input
Data.
e. Nilai MLE akan ditampilkan.
Hasil perhitungan dapat dilihat pada tampilan berikut.
50
Dengan menggunakan simulasi besarnya Estimator maksimum likelihood dari
parameter distribusi Rayleigh, adalah 0.00153. ∧
θ
Gambar 4.6 Tampilan Output 4
BAB V
PENUTUP
A. Simpulan
Berdasarkan hasil penelitian maka dapat ditarik simpulan sebagai berikut.
1. Estimator maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk
data tersensor tipe II adalah
∧
θ
21
2
1
2 )( ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
∑=
∧
r
r
ii trnt
rθ .
2. Estimator maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk
data tersensor tipe II dengan menggunakan program Microsoft Visual Basic
6.0 dapat dilihat pada halaman 41 - 50. Program Microsoft Visual Basic 6.0
dapat menampilkan bentuk metode pencarian Estimator maksimum likelihood
dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor tipe II dengan
hasil yang efisien dan dapat disajikan dalam tampilan yang lebih menarik
karena Microsoft Visual Basic 6.0 memiliki berbagai macam objek visual
yang variatif dan mudah digunakan.
∧
θ
∧
θ
B. Saran
Skripsi ini hanya membahas mengenai bentuk Estimator maksimum
likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor tipe II serta
simulasinya dengan menggunakan program Microsoft Visual Basic 6.0. Oleh
∧
θ
51
52
karena itu disarankan adanya penelitian lebih lanjut mengenai Estimator
maksimum likelihood dari parameter distribusi Rayleigh, , untuk data tersensor
Tipe I serta simulasinya dan juga untuk distribusi-distribusi yang lain pada data
berkelompok.
∧
θ
DAFTAR PUSTAKA
Bain, L.J., dan Engelhardt, M. (1992). Introduction to Probability and Mathematical
Statistics, Duxbury of Wathfor, Inc., California.
Djauhari, M. A. 1990. Statistik Matematik. Bandung: Institut Teknologi Bandung.
Elandt, R. C. and Johnson, N. L. 1980. Survival Models and Data Analysis, New
York: John Wiley and Sons, Inc.
Lawless, J.K. (1982). Statistics Model and Methods for Lifetime Data, John Willey
and Sons, Inc. New York.
Papoulis, A. 1992. Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik.
Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
Walpole, R. E dan Myers, R. H. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur
dan Ilmuwan. Terjemahan. Bandung: Institut Teknologi Bandung.
53