Suharyadi Purwanto_statistika_12 BAB 12 Teori Pendugaan Statistik

Bab 12 Teori Pendugaan Statistik

Konsep Dasar Persamaan SimultanMemilih Ukuran Sampel

Bagian I Statistik Induktif

Metode dan Distribusi Sampling

Teori Pendugaan Statistik

Pengujian Hipotesa Sampel Besar

Pengujian Hipotesa Sampel Kecil

Analisis Regresi dan Korelasi Linier

Analisis Regresi dan Korelasi Berganda

Pengertian Teori dan KegunaanPendugaan

Pendugaan Interval

Kesalahan Standar dari Rata-rata HitungSampel

Menyusun Interval Keyakinan

Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi

Interval Keyakinan Selisih Rata-rata danProporsi

OUTLINE

Pendugaan Titik Parameter

f( 1)

f( 2)

f( 3)

s2 = 1 (Xi - ) 2

n - 1

s2 = 1 {(X1 - ) 2 + (X2 - x)2 + … + (Xn - ) 2}

n - 1X X

X

X

X

X

XX

Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter

PENDUGA TUNGGAL SEBAGAI FUNGSI UNSUR POPULASI

atau S = f( X1, X2, …, X n)

di mana:

= 1 Xi

n

= 1 (X1 + X2 + … + X n)

n

X

X

X

SIFAT-SIFAT PENDUGA

4

Penduga Tidak Bias

• Unbiased

estimator

Penduga Efisien

• Efficient estimator

Penduga Konsisten

• Consistent estimator


penduga tidak bias

5

Penduga Tidak Bias

• Jika di dalam sampel

random yang

berasal dari

populasi, rata-rata

atau nilai harapan

(expexted value, )

dari statistik sampel

sama dengan

parameter populasi

() atau dapat

dilambangkan

dengan E( ) =

X

X

E( ) =X

E( ) X


Penduga efisien

6

Penduga yang efisien adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai

varians terkecil (sx2) dari penduga-penduga lainnya.

Penduga Efisien

sx12 < sx2

2

sx12

sx22


Penduga Konsisten

7

Penduga yang konsisten adalah nilai dugaan ( ) yang semakin mendekati

nilai yang sebenarnya dengan semakin bertambahnya jumlah sampel

(n).

Penduga Konsisten

X

n tak terhingga

n sangat besar

n besar

n kecil


Pendugaan interval

Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval

Pendugaan interval menyatakan jarak di dalam

mana suatu parameter populasi mungkin berada.

Rumus interval pendugaan

9

(s – Zsx < P < s + Zsx ) = C

S : statistik yang merupakan penduga parameter populasi (P)

P : parameter populasi yang tidak diketahui

Sx : standar deviasi distribusi sampel statistik

Z : suatu nilai yang ditentukan oleh probabilitas yang berhubungan

dengan pendugaan interval, Nilai Z diperoleh dari tabel luas

di bawah kurva normal

C : Probabilitas atau tingkat keyakinan yang dalam praktek sudah

ditentukan dahulu

s – Zsx : nilai batas bawah keyakinan

s + Zsx : nilai batas atas keyakinan


Menentukan jumlah sampel tiap stratum

Pada gambar terlihat untuk interval keyakinan 95% terhubungkan dengan

nilai Z antara –1,96 sampai 1,96. Ini dapat diartikan juga bahwa 95% dari

rata-rata hitung sampel akan terletak di dalam 1,96 kali standar

deviasinya. Sedangkan untuk keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya

juga akan terletak di dalam 2,58 kali standar deviasinya. Interval

keyakinan juga dapat dituliskan untuk C= 0,95 adalah 1,96x dan

untuk C=0,99 adalah 2,58sx.

Z =2,58Z =-2,58 0=

0.50

Z=1,96Z=-1,96

0,50

X

XXX

XXXXXX

XXX XXX

XXXX

X

95%

99%



11

Luas kurva adalah 1 dan simetris yaitu sisi kanan dan kiri luasnya sama yaitu 0,5.

Nilai C= 0,95 apabila dibagi menjadi dua bagian simetris maka menjadi 0,4750 yang

diperoleh dari 0,95/2. Apabila digunakan tabel luas di bawah kurva normal untuk

probabilitas 0,4750 maka akan diperoleh nilai Z sebesar 1,96. Begitu juga untuk

C= 0,99, maka probabilitasnya adalah 0,99/2 = 0,4950, nilai probabilitas ini

terhubung dengan nilai Z= 2,58.

Setelah menemukan nilai Z dan standar deviasinya, maka dapat dibuat interval

keyakinan dengan mudah misalnya untuk C= 0,95 adalah P( – 1,96sx < m < +

1,96sx) = 0,95 sedang untuk C= 0,99 adalah P( – 2,58sx < m < + 2,58sx) = 0,99.

0.50

Z=1,96Z=-1,96

0,50

0,47500,95/2 = 0,47500,95/2 =

0,50/2 = 0,025 0,50/2 = 0,025



1212

Pada gambar di atas terlihat bahwa interval 1 dengan nilai rata-rata interval 95

dengan rata-rata 95 mengandung nilai parameternya yaitu dan hanya 96

sampai 100 atau 5% interval saja yang tidak dari statistik mengandung .

Jadi interval keyakinan C= 95 dapat diartikan bahwa sebanyak 95% interval

mengandung nilai parameter aslinya yaitu dan hanya 5% interval saja yang tidak

mengandung parameternya.

x = –1,96sxx = –1,96sx

x1 = interval 1 mengandung µ

x2 = interval 1 mengandung µ x95 = interval 95 mengandung µ

x95 = interval 95—100 tidak mengandung µ


Kesalahan standar

Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi

distribusi sampel dari rata-rata

Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Kesalahan Standar dari Rata-rata HitungSampel

Rumus kesalahan standar

14

n

=sx

Untuk populasi yang tidak

terbatas n/N < 0,05:

1-

-=

N

nN

n

Untuk populasi yang

terbatas n/N > 0,05:

sx

: Standar deviasi populasi

sx : Standar error/kesalahan

standar dari rata-rata

hitung sampel

n : Jumlah atau ukuran

sampel

N : Jumlah atau ukuran

populasi

Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Kesalahan Standar dari Rata-rata HitungSampel

Rumus interval keyakinan rata-rata hitung

Untuk populasiyang terbatas, faktorkoreksi menjadi (N–n)/N-1. Nilai merupakanrata-rata darisampel, sedangkan nilai Z untukbeberapa

nilai C

X Z /2s/n

Interval keyakinan rata-rata hitung

TingkatKeyakinan

C/2 Nilai Terdekat Nilai Z

0,99 0,495 0,4951 2,58

0,98 0,490 0,4901 2,53

0,95 0,475 0,4750 1,96

0,90 0,450 0,4505 1,65

0,85 0,425 0,4251 1,44

0,80 0,400 0,3997 1,28

Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Menyusun Interval Keyakinan


16

Berdasarkan pada nilai Z dan diasumsikan bahwa n>30 maka dapat disusun interval beberapa keyakinansebagai berikut:

• 2,58 s/n99%

• 2,33 s/n98%

• 1,96 s/n95%

• 1,65 s/n99%

• 1,44 s/n98%



17

Interval keyakinan tersebut dapat juga digambarkan sebagai berikut:

1 -

/2 /2

-Z /2 Z /2

Batas bawahBatas atas

Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan akan terdapat pada interval

1 - dengan batas bawah -Z /2 dan batas atas Z /2.


Mulai Identifikasi

masalah

Menentukan

sampel (n) dan

nilai rata-rata

Populasi Tidak Terbatas

Z/2 s/n

Menentukan Keyakinan(C

atau = (1 – C) dan Nilai Z

Populasi Terbatas

Z/2 s/(N - n)/N-1

X

X

X

SKEMA PROSES INTERVAL KEYAKINAN

Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi

Probabilitas ( – Z/2 x < < ( Z/2 s/(N – n)/N – 1n sx ) = C

atau

Probabilitas ( Z/2 sx ) = C

: Rata-rata dari sampel

Z/2 : Nilai Z dari tingkat kepercayaan

: Rata-rata populasi yang diduga

x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata

hitung sampel

C : Tingkat keyakinan

: (1 – C)

XX

X

X

DISTRIBUSI & STANDAR DEVIASI POPULASI

Distribusi Sampling: NormalStandar Deviasi Populasi: Diketahui


Distribusi & standar deviasi populasi

20

Standar error untuk populasi

tidak terbatas

Distribusi t dengan n=25

Distribusi normal standar


n

SSx =

1-

-=

N

nN

n

SS

x

Standar error untuk populasi yang

terbatas dan n/N > 0,05:

Distribusi Sampling: NormalStandar Deviasi Populasi: Tidak Diketahui



( – t/2 sx< < ( + t/2 sx )

: Rata-rata dari sampel

t/2 : Nilai t dari tingkat kepercayaan

: Rata-rata populasi yang diduga

sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata

hitung sampel

C : Tingkat keyakinan

: 1 – C

X

X

Distribusi & standar deviasiDistribusi Sampling: Mendekati Normal Standar Deviasi Populasi: Tidak Diketahui

X


Distribusi & standar deviasi

22

Untuk populasi yang tidak terbatas

Untuk populasi yang terbatas

Rumus pendugaan proporsi populasi

Probabilitas (p - Z/2.Sp<P< p + Z/2.Sp)

p : Proporsi sampel

Z/2: Nilai Z dari tingkat keyakinan

P :Proporsi populasi yang diduga

Sp : Standar error/kesalahan dari proporsi

C :Tingkat keyakinan

:1 – C

11

1

-

-

-

-=

N

nN

n

ppSp

)(

1

)1(

-

-=

n

ppSp


Interval keyakinan untuk selisih rata-rata

Probabilitas(( - ) - Z/2. x1-x2) < ( - ) < ( - ) + Z/2. x1-x2)

Di mana standar error dari nilai selisih rata-rata adalah:

Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan

standar deviasi sampel yaitu:

Di mana:

x1-x2 : Standar deviasi selisih rata-rata populasi

sx1-x2 : Standar error selisih rata-rata

sx1, sx1: Standar deviasi sampel dari dua populasi

n1, n2: Jumlah sampel setiap populasi

2

22

2

1

1

21 nn

xx

xx

=

=-

2

22

2

1

1

21 n

s

n

ss

xx

xx ==-

X2X1 X2X1 X2X1

Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata Selisih dan Proporsi

Interval keyakinan untuk selisih proporsi

Probabilitas

Probabilitas ((p1-p2) - Z/2. sp1-p2) <(P1-P2) < (p1-p2) + Z/2. sp1-p2)

Di mana standar error dari nilai selisih proporsi adalah:

p1, p2 : Proporsi sampel dari dua populasi

Sp1, sp1: Standar error selisih proporsi dari dua populasi

n1, n2 : Jumlah sampel setiap populasi

1

)1(

1

)1(

2

2211

1

21 -

-

-

-=

=-n

pp

n

pps pp

Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata Selisih dan Proporsi

25

FAKTOR UKURAN SAMPEL

Tingkat keyakinan yang dipilih

Kesalahan maksimum yang diperbolehkan

Variasi dari populasi

Faktor yang memengaruhi jumlah sampel:

Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel

26

Rumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut:

Rumus tersebut diturunkan dari interval keyakinan sebagaimana

diuraikan sebagai berikut:

P (–Za/2 < Z < Za/2 ) = C = 1 – a

(–Za/2 < ( – m)/(s/Ön) < Za/2)

(–Za/2 (s/Ön) < ( – m) < Za/2(s/Ön))

(x – m) < Za/2(s/Ön); ingat bahwa error e = – m

e < Za/2(s/Ön);

e2 = (Za/2)2(s2/n);

n = [(Za/2.s)/e]2

RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA POPULASI

n = [(Za/2.s)/e]2


27

Untuk mendapatkan rumus jumlah sampel dalam pendugaan proporsi populasi dapat diturunkan sebagai berikut:

P (–Z/2 < Z < Z/2 ) = C = 1 –

(–Z/2 < (p1 – p2)/(/n) <Z/2)

(–Z/2([(p(1 – p)]/n – 1) < (p1 – p2) < Z/2([p(1– p)]/n–1)

(p1 – p2) < Z/2([(p(1 – p)]/n – 1); ingat bahwa error e = p1 – p2

e < Z/2([(p(1 – p)]/n – 1); dikuadratkan kedua sisi menjadi

e2 = (Z/2)2[(p(1 – p)]/n – 1; dipindahkan n – 1 ke sisi kiri

n –1 = (Z/2.)2 p(1 – p) sehingga n menjadi

e2

n = (Z/2.)2 p(1 – p) + 1

e2

RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA POPULASI


28

T

E

R I

M

A K

A

S I

H

Suharyadi Purwanto_statistika_12 BAB 12 Teori Pendugaan Statistik

Documents

Transcript of Suharyadi Purwanto_statistika_12 BAB 12 Teori Pendugaan Statistik