STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN ......a. Meninjau tentang goal programming dan mendefinisikan...

STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN

PENDEKATAN OPTIMISASI ROBUST

SKRIPSI

DESI VINSENSIA

050803023

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.

STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN

PENDEKATAN OPTIMISASI ROBUST

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana

sains

DESI VINSENSIA

050803023

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

2009


PERSETUJUAN

Judul : STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING

DENGAN PENDEKATAN OPTIMISASI

ROBUST

Kategori : SKRIPSI

Nama : DESI VINSENSIA

Nomor Induk Mahasiswa : 050803023

Program Studi : SARJANA (SI) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Diluluskan di

Medan, Oktober 2009

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dra. Esther S.M Nababan Prof.Dr. Herman Mawengkang

NIP: 196103181987112001 NIP: 194611281974031001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc.

NIP: 194601091988031004

ii


PERNYATAAN

STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN PENDEKATAN

OPTIMISASI ROBUST

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Oktober 2009

Desi Vinsensia

NIM: 050803023

iii


ABSTRAK

Goal programming memiliki tujuan atau target yang diperingkatkan oleh pembuat keputusan

menurut skala prioritasnya. Dalam kasus yang mengandung ketidak pastian, optimisasi robust

memberikan solusi layak untuk semua parameter yang tidak pasti. Dalam hal ini, goal programming

yang mengandung ketidak pastian diaplikasikan dalam pendekatan optimisasi robust yang biasanya

hanya digunakan pada linear programming. Solusi robust memberikan nilai optimal worst deviasi

dari total deviasi dengan mengganti parameter yang bersifat bulat pada setiap kendalanya dan tidak

mengubah kendalanya.

iv iii


ABSTRACT

Goal prgramming have ranked goals by decision maker according that priority. In uncertainty case,

robust optimimization give a feasible solution for all uncertain parameters. In this case,

uncertainty goal programming presented robust optimization approach wich is this approach using

only the linear programming methods. The robust solution give the worst optimal value of the total

deviation by changing the integer parameters in every constraint and not changes that the

constraint.

v


PENGHARGAAN

Segala Puji dan Syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat

dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang merupakan

salah satu syarat untuk menempuh ujian sarjana di departemen Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada skripsi ini penulis

mengambil judul skripsi tentang ”Studi tentang Goal Programming dengan

Pendekatan Optimisasi Robust”.

Dalam kesempatan ini, penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak

yang telah membantu demi terselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu terima

kasih penulis ucapkan kepada:

1. Prof.Dr. Herman Mawengkang selaku dosen dan pembimbing I yang telah

memberikan banyak bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi ini.

2. Dra.Esther S.M Nababan, M.Sc selaku dosen dan pembimbing II atas

bantuan dan penjelasan yang diberikan demi selesainya skripsi ini.

3. Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si dan Bapak Drs. Djakaria Sebayang

selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan demi

perbaikan skripsi ini.

4. Bapak Dr. Saib Suwilo M.Sc selaku ketua jurusan departemen matematika

FMIPA USU.

5. Bapak Prof. Dr. Eddy Marlyanto M.Sc selaku Dekan FMIPA USU.

6. Semua Dosen Departemen Matematika FMIPA USU dan Pegawai FMIPA

USU.

7. Buat keluarga terkasih bapak dan mama tercinta Sarman Dani, S.Pd dan B.

Gurning serta abang dan adik terkasih, Fransiskus Surya Dani, dan Nopita

Agustina atas segala cinta, pengorbanan, motivasi sertya doa yang sangat

berarti dalam hidup penulis.

8. Buat sahabat-sahabat Evalina, Ade Nofe, Elisabet, dan wonderful gift yang

sangat banyak membantu, selalu menyemangati, dan mendukung selama

proses pengerjaan skripsi ini.

vi


9. Seluruh rekan-rekan Matematika stambuk 2005 seperjuangan, d’Da,

k’Mala, Happy, Udur, Elis dan lain-lain, serta seluruh teman-teman yang

tidak dapat disebutkan nama-namanya satu persatu yang selalu mendukung

penulis selama penyelesaian skripsi ini, Tuhan Yesus memberkati.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam menyelesaikan

skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengharapkan masukan dan kritikan yang

bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini.

Medan, Desember 2009

Penulis

vii


DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Abstrak iv

Abstract v

Penghargaan vi

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 3

1.3 Tujuan dan manfaat Penelitian 3

1.4 Metodologi Penelitian 3

1.5 Tinjauan Pustaka 4

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Goal programming 6

2.2 Optimisasi Robust 16

2.3 Formulasi Robust Mixed Integer Programming 19

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Solusi Robust dari Masalah Goal Programming dengan

Possible Varians Negatif pada sisi Sebelah Kiri Tujuan

(Goal) 22

3.2 Kriteria Single Linear Programming terhadap Solusi M-

Robust Goal Programming 23

3.3 Studi Kasus Masalah Perusahaan dengan 3 tipe Produksi 25

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan 33

4.2 Saran 33

viii


DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN 34

ix


DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1 Tabel awal Simpleks 11

2 Tabel iterasi 1 12




6 Tabel jumlah kendala probuksi 25

7 Tabel jumlah kendala dengan varians 26

x


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Goal programming merupakan perluasan dari linear programming untuk

mencapai tujuan atau target yang diinginkan. Formulasi awal goal programming

pada dasarnya mirip dengan formulasi dalam linear programming. Variabel

keputusan harus didefinisikan terlebih dahulu. Selanjutnya tujuan-tujuan manajerial

harus dispesifikasikan berikut tingkat kepentingannya. Kemudian mencari solusi

yang meminimumkan total penyimpangan tujuan-tujuan tersebut dari target-

targetnya, atau dengan kata lain goal programming merupakan alat analisis untuk

meminimumkan deviasi (penyimpangan) berbagai tujuan, sasaran, atau target yang

telah ditetapkan, sehingga memenuhi target (mendekati target) yang telah

ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.

Karakteristik yang membedakan goal programming dan linear programing

adalah: tujuan-tujuan itu diperingkatkan oleh pembuat keputusan sesuai dengan

peringkat ordinalnya melalui prosedur goal programming. Walaupun ada

kemungkinan bahwa tidak seluruh tujuan bisa dicapai, namun untuk solusi

persoalan goal programming adalah bagaimana mendekati target-target yang telah

menjadi tujuan itu sedekat mungkin, dan jika terjadi penyimpangan maka

penyimpangan-penyimpangan itu minimum .

Awal aplikasi goal programming dilakukan oleh Charnes dan Cooper

(1981). Charnes dan Cooper mengembangkan pendekatan program tujuan untuk

memperoleh solusi yang memuaskan, yang tidak bisa diperoleh dengan pendekatan

linear programming karena adanya konflik atau penyimpangan antar tujuan.

Secara matematis dapat dituliskan dengan situasi sebagai berikut:

x1, x2, ..., xn = variabel keputusan,


cjk = koefisien xj (j = 1, 2, 3, ..., n) pada fungsi obyektif dalam

setiap tujuan-k pada fungsi obyektif dalam setiap tujuan-k

(k = 1, ,2, ..., k),

bk = target untuk tujuan-k.

/

kd = variabel penyimpangan yang merepresentasikan tingkat

pencapaian melebihi target dan pencapaian di bawah target.

Formula umum goal programming dapat dituliskan secara lengkap sebagai:

Zmin = )(1

K

k

kk dd

kendala:

n

j

kkkjjk bddxc1

)(

0, /

kj dx

Goal Programming saat ini dalam prakteknya sudah banyak dipakai dalam

menyelesaikan berbagai permasalahan linear programming. Namun beberapa kasus

model teknik optimisasi, goal programming ini menghadapai bebagai

permasalahan dimana hasil yang diperoleh berada pada situasi yang tidak pasti

(uncertainty). Kemudian dikembangkan beberapa pendekatan untuk model yang

tidak pasti yaitu melalui pendekatan stochastik dan pendekatan robust optimisasi.

Pada tulisan ini penulis menggunakan suatu pendekatan pada goal

programming yaitu dengan “Pendekatan Optimisasi Robust” yang selama ini

diaplikasikan pada tujuan tunggal pada linier programming. Optimisasi robust

merupakan suatu masalah model optimisasi dengan data yang mengandung ketidak

pastian (uncertainty) untuk memperoleh solusi yang baik untuk semua parameter

yang tidak pasti . Optimisasi robust merupakan metode pendekatan yang digunakan

dalam menyelesaikan program stokastik dimana beberapa parameternya adalah

variabel acak, kecuali kelayakan (feasibility) untuk semua realisasi yang mungkin

(scenario) diganti dengan fungsi penalty pada fungsi objektifnya.

2


Dengan pendekatan ini dimaksudkan untuk menemukan solusi layak solusi

yang tidak pasti, mengaplikasikan pendekatan yang disebut pendekatan robust pada

goal programming dan multicriteria pada umumnya.

1.2 Identifikasi Masalah

Goal programming merupakan suatu teknik optimisasi untuk menganalisis dan

membuat solusi persoalan yang memiliki banyak tujuan dengan mendekati target-

target yang menjadi tujuan sedekat mungkin dan meminimumkan penyimpangan-

penyimpangan yang ada. Masalah yang diangkat dalam tulisan ini adalah:

Bagaimana goal programming dapat diselesaikan dengan pendekatan optimisasi

robust, sehingga penyimpangan yang diperoleh menjadi layak dalam situasi yang

tidak pasti.

1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan solusi dari total penyimpangan

terburuk dari goal (tujuan) dalam situasi yang tidak pasti, jika salah satu parameter

dari tujuan yang ada diubah dan dengan kendala yang sama, sehingga

penyimpangan yang ada dapat diminimumkan. Manfaat dari penelitian ini adalah

melalui pendekatan robust solusi ini dapat memudahkan pengambilan keputusan

dari suatu permasalahan yang mengandung ketidak pastian.

1.4 Metodologi Penelitian

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkah-

langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut:

a. Meninjau tentang goal programming dan mendefinisikan situasi yang tidak

pasti tesebut dalam goal programming.

3


b. Menjelaskan tentang pendekatan robust dalam literatur.

c. Mengaplikasikan pendekatan robust pada goal programming dalam situasi

yang tidak pasti.

d. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil yang diperoleh dan memberi saran-

saran jika ada.

1.5 Tinjauan Pustaka

A. Ben-Tal, A. Goryashko, E. Guslitzer, A. Nemirovski dalam papernya yang

berjudul “Adjustable Robust Solutions of Uncertain Linier Program”

menyatakan bahwa optimisasi robust adalah suatu metode atau pendekatan yang

berhubungan permasalahan optimisasi yang tidak pasti (uncertain).

Bernard Taylor III (1996) dalam bukunya yang berjudul “Sains

Manajemen” menyatakan bahwa program tujuan merupakan variasi program linier

untuk masalah-masalah dimana terdapat lebih dari satu tujuan, yang secara khusus

berguna untuk organisasi yang tidak mempunyai satu tujuan yang dapat

didefinisikan secara jelas seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan

kerugian.

B. D. Nasendi, Affendi Anwar (1985) dalam bukunya “Program Linier

Dan Variannsnya”, menyatakan bahwa goal programing merupakan alat analisis

untuk meminimumkan deviasi (penyimpangan) berbagai tujuan, sasaran, atau target

yang telah ditetapkan, sehingga memenuhi target (mendekati target) yang telah

ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.

David G, Dannenbring, Marthin K.Starr (1981) dalam bukunya yang

berjudul “Management Science An Introduction”, mengatakan bahwa goal

programming adalah suatu metode untuk memaksimalkan sasaran dari beberapa

multitujuan atau target yang ada dengan mengurutkan tujuan berdasarkan

prioritasnya.

4


Dorota Kuchta (2004) dalam papernya “ Robust Goal Programming”,

menyatakan solusi robust optimal adalah suatu solusi yang mana akan optimal jika

terdapat perubahan pada parameter dari keputusannya.

Ricard I.Levin, dkk (1992) dalam bukunya yang berjudul “Quantitative

Approaches to Management” menyatakan bahwa goal programing adalah variasi

algoritma simpleks dimana pembuat keputusan mengijinkan untuk menentukan

multiobjective dan target dari tujuannya yang kemudian diurutkan berdasarkan

tingkat kepentinganya.

5


BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Goal Programming

Dalam memformulasikan dan solusi persoalan dalam program linier, proses

pemodelannya difokuskan pada tujuan tunggal seperti memaksimumkan

keuntungan atau meminimumkan biaya. Sehingga para pembuat keputusan

berusaha agar berbagai tujuan perusahaan menjadi satu tujuan tunggal. Padahal

dalam berbagai proses pembuatan keputusan dalam dunia nyata, pengintegrasian

berbagai tujuan menjadi sebuah tujuan tunggal saja sebenarnya tidak selalu tepat.

Misalnya suatu perusahaan tidak sekedar bertujuan memaksimumkan keuntungan

saja, tetapi secara bersamaan juga bertujuan untuk menjaga kestabilan penggunaan

tenaga kerja, meningkatkan pangsa pasar atau membatasi peningkatan harga jual.

Untuk menganalisis dan membuat solusi persoalan untuk melibatkan

berbagai tujuan digunakan teknik goal programming. Goal programming

merupakan suatu metode yang melibatkan berbagai tujuan yang bahkan saling

konflik ke dalam proses formulasinya, berikut prioritas tujuannya. Formulasi goal

programming pada dasarnya mirip dengan formulasi dalam linear programming.

Perbedaan antara goal programming dan linear programming adalah terletak pada

struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam linear programming fungsi

tujuaannya hanya mengandung satu tujuan, sementara dalam goal programming

semua tujuan digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan

mengekpresikan tujuan itu dalam bentuk suatu kendala (constraint), memasukkan

suatu variabel simpangan (variable deviation) dalam kendala untuk mencerminkan

seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam

fungsi tujuan.

Dalam linear programming tujuannya bisa maksimasi atau minimasi,

sementara dalam goal programming tujuannya adalah meminumkan

penyimpangan-penyimpangan dari tujuan tertentu. sehingga hal ini berarti semua

masalah goal programming adalah masalah minimasi. Karena penyimpangan-


penyimpangan dari tujuan-tujuan itu diminimumkan, goal programming dapat

menangani tujuan yang saling konflik. Jika terdapat banyak tujuan, prioritas atau

urutan ordinalnya dapat ditentukan, dan proses penyelesaian goal programming

dapat berjalan sedemikian rupa sehingga tujuan dengan prioritas tertinggi dipenuhi

sedekat mungkin sebelum memikirkan tujuan-tujuan dengan prioritas yang lebih

rendah. Jika linear programming berusaha mengidentifikasi solusi optimum dari

suatu himpunan solusi yang layak, goal programming ingin meminumkan

penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan dengan mempertimbangkan

hirarki prioritas.

Secara matematis goal programming dapat dituliskan situasi sebagai berikut:

x1, x2, ..., xn = variabel keputusan

m = banyaknya tujuan yg dipertimbangkan

cjk = koefisien xj ( j= 1, 2, 3, ..., n) pada fungsi objektif dalam setiap

tujuan-k (k=1, 2, 3, ..., m),

bk = target untuk tujuan-k.

Solusi untuk persoalan goal programming adalah bagaimana mendekati

target-target yang telah menjadi tujuan itu sedekat mungkin, dan jika terjadi

penyimpangan maka penyimpangan-penyimpangan itu minimum.

n

j

jj bxc1

11

n

j

j bxc1

22

. .

. .

. .

n

j

kjjk bxc1

Karena tidak mungkin dapat mencapai seluruh target, maka perlu

didefinisikan sebuah fungsi objektif menyeluruh untuk goal programming yang

kompromistis dengan tujuan mencapai berbagai target. Dengan asumsi bahwa

penyimpangan itu bisa bernilai positif dan negatif, maka fungsi objektif

menyeluruh untuk persoalan goal programming dapat ditulis sebagai berikut:

7


m

k

n

j

kjjk bxcZ1 1

min

Dengan demikian, fungsi objektif goal programming diekspresikan sebagai

preferensi atau fungsi pencapaian (achievement function) terbatas kepada

penyimpangan target.

Dengan membuat variabel baru pada fungsi obyektif yang dapat

didefinisikan sebagai: n

j

kjjkk bxcd1

, untuk k = 1, 2, ..., m

Seghingga fungsi objektif goal programming menjadi:

m

k

kdZ1

min

Karena dk bisa bernilai positif atau negatif, maka variabel ini dapat diganti

dengan dua variabel non negatif baru, sehingga dk= dk+

- dk-, dimana dk

+ dan dk

- ≥0.

kkkkk ddddd

dk+ dan dk

- merupakan variabel penyimpangan (deviational variables) yang

merepresentasikan tingkat pencapaian melebihi target (over achievement) dan

pencapaian di bawah target (under achievement). Secara bersamaan, tidak mungkin

terjadi kelebihan target, maka berlaku hubungan: dk+ x dk

- = 0.

Formula umum goal progaramming dapat dituliskan sebagai berikut:

m

k

kk ddZ1

min

kendala:

n

j

kkkjjk bddxc1

0),( /

kj dx

Dalam formulasi goal progamming ini setiap target dimasukkan dalam

kendala-kendala dalam persamaan. Fungsi kendala semacam ini disebut sebagai

kendala tujuan (goal constraint), di mana di dalam persamaannya telah melibatkan

variabel deviasi, dk+ dan dk

- dimana dalam program linier kedua peubah tersebut

adalah slek dan surplus. Sehingga yang dinilai dan dianalisis dalam goal

programming bukanlah tingkat kegiatannya, tetapi deviasi dari tujuan, sasaran atau

target yang ditimbulkan oleh adanya nilai penyelesaian tersebut. Dalam mencapai

deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan atau target tidak dapat diperoleh secara

8


sekaligus atau simultan, maka salah satu dari peubah dari peubah deviasional atau

kedua-duanya akan menjadi nol.

Pada beberapa situasi, deviasi (penyimpangan) dari suatu target tertentu

menjadi lebih penting bagi pembuat keputusan dibanding penyimpangan target

lainnya. Demikian pula, pada sebuah target tertentu, bisa saja penyimpangannya

jauh lebih penting dari penyimpangan target lainnya dengan arah yang berlawanan.

Pada situasi seperti ini, maka bisa dimasukkan bobot yang berbeda (differential

weight), wk+ dan wk

- pada setiap penyimpangannya:

m

k

kkkk dwdwZ1

min

kendala:

n

j

kkkjjk bddxc1

)(

0, /_

kj dx

Contoh:

Sebuah perusahaan perabot rumah tangga yang bergerak dalam bidang

produksi mabel, memiliki dua produk yang paling disenangi, yaitu perabot tipe I

(dibuat dengan bahan kayu jati) dan perabot tipe II ( dibuat dengan kayu meranti).

Perabot tipe I Perabot tipe II

Waktu departemen I 4 jam 3 jam

Waktu departemen II 2 jam 1 jam

Dengan tersedia 240 jam kerja pada departemen I tiap minggunya dan 100

jam kerja pada departemen II. Keutungan bersih perabot tipe I adalah Rp

50.000/set, sedangkan perabot tipe II adalah Rp 70.000/set. Pemilik perusahaan

menginginkan untuk mendapatkan keuntungan sebesar Rp 700.000 dari seluruh

tipe dengan jumlah perabot tipe I ingin dijual 7 set, dan penjualan tipe II

ditargetkan harus terjual sebanyak 9 set.

Penyelesaian:

Andaikan :

x1 = Perabot tipe I

9


x2 = Perabot tipe II

Dari kasus di atas dapat dirumuskan dengan menambahkan tiga peubah

deviasional, di mana untuk setiap tujuan atau target harus memiliki pasangan

(deviasi plus dan deviasi minus).

dengan:

d1- = jumlah Rp di mana target keuntungan yang ditetapkan tidak tercapai atau di

bawah target.

d1+

= jumlah Rp dimana target keuntungan yang ditetapkan melebihi target yang

ditentukan.

d2- = jumlah penjualan perabot tipe II yang ditetapkan tidak mencapai target.

d2+

= jumlah penjualan perabot tipe II yang ditetapkan melebihi target.

d3- = jumlah penjualan perabot tipe I yang ditetapkan tidak mencapai target.

d3+ = jumlah penjualan perabot tipe I yang ditetapkan melebihi target.

Maka model persoalan di atas menjadi:

Minimumkan 321 dddZ

kendala:

000.700000.70000.50 _

1121 ddxx

x2 + d2+ - d2

- = 9

x1 + d3+

- d3- = 7

4x1 + 3x2 ≤ 240

2x1 + x2 ≤ 100

dan ( x1, x2, d1-, d1

+, d2

-, d2

+, d3

-, d3

+) ≥ 0

Pada masalah perusahaan tersebut pemilik perusahaan telah memiliki target

yang ingin dicapai yaitu keuntungan yaitu sebesar Rp 700.000, dengan penjualan

tipe mebel yang telah diterapkan. Untuk itu sang pemilik mengurutkan atau

memberi prioritas terhadap target yang ingin dicapainya.

No Target Prioritas

1 Mengahasilkan total keuntungan paling sedikit 1

10


Rp 700.000,00

2 Penjualan x2 minimal 9 unit 2

3 Penjualan x1 minimal 7 unit 3

Maka formulasi goal programming kasus di atas dapat ditulis dengan:

1 1 2 2 3 3

1 2 1 1

2 2 2

1 3 3

1 2 1

1 2 2

/

( ) ( ) ( )min

:

50 70 700

9

7

4 3 240

2 100

( , , ) 0; 1, 2, 3i i i

Z P d P d P d

kendala

x x d d

x d d

x d d

x x s

x x s

x d s i

Dengan metode simplex, formulasi dapat diselesaikan sebagai berikut:

Tabel 1. Tabel Awal.

Cb

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 x2 d1

- d1

+ D2

- d2

+ d3

- d3

+ s1 S2

0 s1 4 3 0 0 0 0 0 0 1 0 240

0 s2 2 1 3 0 0 0 0 0 0 1 100

P1 d1-

50 70 1 -1 0 0 0 0 0 0 700

P2 d2-

0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9

P3 d3-

1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

P3

zj 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

Cj-zj -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

P2

zj 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9

Cj-zj 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0

P1 zj 50 70 1 -1 0 0 0 0 0 0 700

Cj-zj -50 -70 0 -1 0 0 0 0 0 0

11


Keterangan:

Sel zj pada kolom dengan cj=Pi diberi nilai =1. Contoh: Pada P3, baris zj untuk

kolom d3- ( dengan koefisien cj = P3) diberi nilai =1.

Pengerjaan dilakukan mulai dari Prioritas-1:

1. kolom kunci adalah kolom x2, ditentukan: Max {cj- zj}<0. Kolom ini

adalah negatif terbesar adalah (= -70) menjadi variabel masuk.

2. Baris kunci ditentukan dengan Min {θ= XB/aj}

Maka untuk baris:

a. s1 = 803

240

b. s2 1001

100

c. 1

700

10

70

d

d. 2

9

9

1

d

e. 3

7

~ ( )

0

d diabaikan

Tabel 2. iterasi 1

Cb

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 X2 d1

- d1

+ d2

- d2

+ d3

- d3

+ s1 s2

0 s1 4 0 0 0 -3 3 0 0 1 0 204

0 s2 2 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 91

P1 d1-

50 0 1 -1 -70 70 0 0 0 0 70

P2 x2 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9

P3 d3-

1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

P3 zj 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

12


cj-zj -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

P2

zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

cj-zj 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

P1 zj 50 0 1 -1 -70 70 0 0 0 0 70

cj-zj -50 0 0 -1 70 -70 0 0 0 0

Keterangan :

1. kolom kunci adalah kolom d2+, ditentukan: Max {cj-zj<0. Kolom ini

negatif terbesar adalah (-70) menjadi variabel masuk.

2. Baris kunci ditentukan dengan Min { θ = XB/aj }.

Maka untuk baris:

a. 683

2041s

b. 911

912s

c. 170

70_

1d (leaving variable)

d. 91

92x (diabaikan)

e. 3

7

( )

0

d diabaikan

Tabel 3. Iterasi 2

Cb

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 x2 d1

- d1

+ d2

- d2

+ d3

- d3

+ s1 s2

0 s1 13/7 0 -

3/70 3/70 0 0 0 0 1 0 201

0 s2 9/7 0 -

1/70 1/70 0 0 0 0 0 1 91

P1 d2+

5/7 0 1/70 -

1/70 -1 1 0 0 0 0 1

13


P2 x2 5/7 1 1/70 -/70 0 0 0 -1 0 0 10

P3 d3-

1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

P3

zj 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 7

Cj-zj -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P2

zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

P1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Keterangan:

Pada tabel 3 ini telah optimal untuk prioritas 1 dan prioritas 2. Karena keduanya

telah memenuhi syarat 0)( jj zc

1. kolom kunci adalah kolom x1, ditentukan : Max {cj-zj<0}. Kolom ini

negatif terbesar dengan (-1) sehingga x1 menjadi variabel masuk.

2. Baris kunci ditentukan dengan Min {θ=XB/aj}

Maka untuk baris:

a. s1 = ,..108

713

201

b. s2 = 70

79

90

c. d2+ =

5

7

75

1 leaving variable

d. x2 = 14

75

10

e. d3- = 7

1

7

14


Tabel 4. Iterasi- 3.

Cb

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 x2 d1

- d1

+ d2

- d2

+ d3

- d3

+ s1 s2

0 S1 0 0 -

2/25 2/25 13/5

-

13/5 0 0 1 0 992/5

0 S2 0 0 -

1/25 1/25 9/5 -9/5 0 0 0 1 441/5

P1 X1

1 0 1/50 -

1/50 -7/5 7/5 0 0 0 0 7/5

P2 X2 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9

P3 D3-

0 0 -

1/50 1/50 7/5 -7/5 1 -1 0 0 28/5

P3

zj 0 0 -

1/50 1/50 7/5 -7/5 1 1 0 0 28/5

Cj-zj 0 0 1/50 -

1/50 -7/5 7/5 0 0 0 0

P2

zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

P1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Keterangan:

1. kolom kunci adalah kolom d2-, ditentukan : Max {cj-zj<0}. Kolom ini

negatif terbesar dengan (-7/5) sehingga d2- menjadi variabel masuk.

2. Baris kunci ditentukan dengan Min {θ=XB/aj}

Maka untuk baris:

a. s1 = ,..765

13:

5

992

b. s2 = 495

9:

5

441

c. x1 = 15

7:

5

7 (diabaikan)

d. x2 = 91

9

15


c. d3- = 4

5

7:

5

28(leaving variable)

Tabel 5. Iterasi 4

Cb

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 x2 d1

- d1

+ d2

- d2

+ d3

- d3

+ s1 s2

0 S1 0 0 -

99/1400 99/1400 0 0 -13/1400 0 1 0 197

0 S2 0 0 -

47/1400 47/1400 0 0 -9/1400 0 0 1 81

P1 X1

1 0 7/200 -7/200 0 0 1/200 0 0 0 7

P2 X2 0 1 1/280 -1/280 0 0 -5/28 5/28 0 0 5

P3 D2-

0 0 -1/280 1/280 1 -1 5/28 -5/28 0 0 4

P3

zj 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P2

zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Pada iterasi 4 ini telah optimal untuk Prioritas-3, karena .0)( jj zc

Solusi optimal menunjukkan bahwa: x1* = 7 dan x2

* = 5.

a. s1 adalah slack variabel untuk departemen type I = 197 jam.

Dimana: kapasitas jam proses –total penggunaan jam = 240 – (4x7jam +

5x3jam) =197 jam

b. s2 adalah slack variabel untuk departemen II = 81 jam.

Dimana: kapasitas jam proses –total penggunaan jam = 100 – ( 2 x 7jam

+ 5 jam) = 81 jam.

c. d2- adalah pencapaian di bawah target ( underavhievement target) dengan

penjualan tipe II = 4.

Dimana: jumlah tipe II – jumlah target penjualan yang ditetapkan = (5 – 9)

= -4. ( underachievement target).

Sehingga pada Prioritas -2 mengalami pencapaian dibawah target penjualan

sebesar 4 unit untuk tipe II, tetapi pencapaian target keuntungan sebesar Rp

16


700.000,00 rupiah telah tercapai dan penjualan untuk tipe I (Prioritas-3) minimal 7

telah tercapai.

Dalam kasus tidak pasti pada goal programming, terdapat perbedaan yaitu

andaikan koefisien cij, i = 1, ..., k; j = 1, ..., n mungkin dapat berubah-ubah,

mempengaruhi hasil yang dicapai goal dalam daerah negatif. Koefisien variabel ke-

j dalam kendala ke- i akan diambil dari nilai asumsi ijc (i = 1, ..., k; j = 1, ..., n).

Tetapi juga mungkin akan terjadi pengambilan nilai dari interval ijij cc , , ( i = 1,

..., k; j = 1, ..., n). Dan andaikan ijij c ( i = 1, ..., k; j = 1, ..., n).

2.2 Optimisasi Robust

Data tidak pasti saat ini banyak dijumpai dalam masalah optimisasi. Misalnya

dalam optimisasi rangkaian supply, keaktualan permintaan untuk suatu produk,

keuntungan finansial, keaktualan keperluan material dan lain-lain adalah tidak tepat

diketahui dimana keputusan kritis diperlukan untuk diputuskan. Dalam teknik dan

science, data adalah suatu ukuran error, dimana juga merupakan sumber data yang

tidak pasti dalam model optimisasi.

Dalam optimisasi matematika, umumnya diasumsikan bahwa data adalah tepat

(pasti) diketahu. Kemudian dianalisis untuk meminimumkan (atau maksimumkan)

fungsi objektif dengan :

Minimumkan f0 (x, D0)

kendala fi ( x, Di ) ≥ 0 Ii

Dimana x adalah vektor dari variabel keputusan dan Di, }0{Ii adalah data

yang merupakan bagian masukan dari maslah optimisasi.

Ketika parameter dalam fungsi objektif adalah tidak pasti , tidak mungkin

keinginan untuk nilai optimal diperoleh. Bagaimanapun tingkat penyimpangan

yang merugikan sering kali menjadi alasan untuk diperhatikan. Banyak model ingin

mengoptimalkan imbal balik (tradeoff) untuk mendapatkan solusi yang lebih

dipercaya dalam mencapai tujuan yang diinginkan.

17


Jika parameter tidak pasti menjadi kendala, kemudian diimplementasikan

pada solusi, mungkin kendala menjadi ganguan dalam realisasi dari aktualisasi

data. Dalam banyak praktek masalah optimisasi, gangguan (pelanggaran) kendala

akan mempengaruhi ketidakmampuan solusi yang diperoleh.

Metode klasik yang termasuk parameter tidak pasti adalah analisis sensitivitas

dan stochastik. Dalam bentuk pendekatannya, penggunanya mengabaikan pengaruh

data yang tidakpasti dalam model mereka dan berikutnya analisis sensitifitas

memberikan solusinya. Bagaimanapun analisis sensitifitas hanya alat untuk

menganalisis kebaikan atau kebenaran dari solusi. Dalam pendekatan stochastik

untuk memperoleh solusi yang layak dengan menggunakan perubahan pada

kendala.

Optimisasi robust memmberikan pendekatan yang berbeda dalam menangani

data yang tidak pasti. Dalam matematika, robust optimisasi adalah suatu metode

pendekatan dalam optimisasi yang berhubungan dengan ketidakpastian. Dalam

model optimisasi memiliki dua komponen yang berbeda yaitu komponen struktural

dan komponen kontrol. Untuk mendefinisikan kedua komponen tersebut, akan

diperlihatkan dua variabel himpunan sebagai berikut:

1nx R , merupakan vektor variabel keputusan yang memiliki nilai optimal

dengan parameter yang tidak pasti yang disebut design variable.

Variabel design ini tidak dapat menjadi suatu realisasi data yang

spesifik

2ny R , merupakan vektor variabel keputusan kendali dimana

memperhatikan penyesuaian terhadap suatu parameter yang tidak

pasti. Nilai optimal variabel ini bergantung pada realisasi

parameter tidak pasti dan nilai optimal dari design variable.

Istilah design variable dan control variable diambil dari analisis fleksibilitas

produksi dan proses distribusi. Variabel design menentukan struktur proses dan

ukuran dari modul produksi. Variabel kendali digunakan untuk mengatur cara dan

mutu (level) dari produksi dalam merespon gangguan dalam proses, mengubah

permintaan hasil produksi, dan sebagainya.

18


Model optimisasi dapat dituliskan sebagai berikut:

Linear Programming

Minimumkan cT x + d

T y (1)

21 ,nn

yx RR

kendala:

Ax = b (2)

Bx + Cy = e, (3)

x, y ≥ 0. (4)

Persamaan 2 merupakan kendala dalam matematika programming dan

persamaan 3 merupakan kendala kontrol.

Untuk medefinisikan masalah optimisasi robust, andaikan terdapat himpunan

scenario Ω = { 1, 2, 3, ..., S}. Dengan tiap skenario s ϵ Ω yang kemudian

dihubungkan pada himpunan {ds, Bs, Cs, es} untuk koefisien variabel kendali dan

peluang skenario ps S

s

sp1

)1( . Solusi optimal dari persamaan (1)s/d(4) akan

menjadi robust yang optimal jika sisanya “close” pada optimal untuk beberapa

realisasi skenario s ϵ Ω yang kemudian disebut dengan istilah solusi robust. model

robust adalah solusi robust yang mungkin terjadi bila “hampir” layak untuk

beberapa skenario s.

Hal ini tidak mungkin bahwa untuk persamaan (1)s/d(4) akan layak dan

optimal untuk semua skenario s ϵ Ω. Jika sistem tersebut adalah dibangun model

substansial redundan , maka hal itu mungkin memperoleh solusi layak dan optimal.

Sebaliknya, suatu model diperlukan untuk memenuhi tindakan imbal-beli (tradeoff)

diantara solusi robust dan model robust.

Andaikan terdapat himpunan { y1, y2, ..., ys} variabel kendali untuk setiap

skenario s ϵ Ω. Andaikan terdapat himpunan { z1, z2, ... , zs} merupakan vektor

error dari kendala kontrol pada scenario. Maka dapat diformulasikan robust model

sebagai berikut:

Minimumkan σ(x1, y1,...,ys) + ωρ { z1, z2, ... , zs} (5)

19


kendala: Ax = b (6)

Bs x + Csys + zs = es, untuk semua s ϵ Ω (7)

x ≥ 0, ys ≥ 0, untuk semua s ϵ Ω (8)

Dengan mengalikan skenario, fungsi objektif ξ = cT x + d

T y menjadi variabel

acak dengan nilai ξs = cT x + d

Ts ys, dengan probabilitas ps. Oleh karena itu,

terdapat pilihan tunggal untuk jumlah nilai objektifnya.

Dengan menggunakan nilai rata-rata :

σ (.) = s

ssp , (9)

dimana fungsi tersebut biasanya digunakan dalam formulasi stokastik linear

programming. Dalam analisis pada kasus buruk (worst) model maximin di

definisikan :

ss

max(.) , (10)

2. 3 Formulasi Robust Mixed Integer Programming (MIP)

Andaikan c, l, u merupakan n-vektor, andaikan A merupakan matriks m x n dan b

adalah m-vektor.

Minimumkan c’x

kendala Ax ≤ b

l ≤ x ≤ u

xi ϵ Z, i = 1, ..., k (1)

Model data yang tidak pasti U:

a. tidak pasti (uncertain) untuk Matriks A : Andikan N = { 1, 2, ...,

n}. Tiap entry aij, j ϵ N adalah model independent, simetris dan

dibatasi variabel random ( tetapi dengan distribusi yang tidak

diketahui) ~

, Njaij yang diambil dalam nilai ]ˆ,ˆ[ ijijijij aaaa .

b. tidak pasti (untuk cost vektor c). Tiap entri cj, j ϵ N nilai

diambil dalm [cj, cj + dj], dimana dj mewakili deviasi dari

nominal cost koefisien cj.

20


Untuk setiap i, terdapat bilangan τi, i = 0, 1, ..., m yang diambil nilai dalam

interval [0, ]iJ , dimana Ji = {j, }0ˆija . τ0 diasumsikan bulat, ketika τi, i =

1,2,...,m tidak harus selalu integer. Tugas parameter τi dalam kendala adalah

menyesuaikan metode sifat robust terhadap solusi yang konservatif. Terdapat ke-

i kendala dari persoalan nominal .ii bxa Andaikan Ji adalah himpunan koefisien

aij, j ϵ Ji independent mengambil nilai sesuai pada distribusi simetrik dengan rata-

rata sama dengan nilai nominal aij dalam interval ]ˆ,ˆ[ ijijijij aaaa . Berbicara

dengan intuisi, tidak mungkin bahwa semua aij, j ϵ Ji, akan diubah. Tujuan hal ini

adalah semua kasus mulai dari koefisien i diganti, dan satu koefisien ait diganti

dengan .ˆ)( itii a .

Dengan kata lain bahwa menetapkan wilayah terlarang dalam perhitungan dan

hanya koefisien himpunan bagian yang digantikan dalam urutan yang

menimbulkan solusi yang berlawanan. Kemudian akan dijamin bahwa jika

dilakukan sifat alami maka solusi robust akan layak.

Lemma

Minimumkan 0

maxjj S j

c x d x

kendala: max ( )ˆ ˆi ii

j ij j ij j i i ia x a x a x b

j S tit i

uxl

ix , .,...,1 ki (2)

Bukti :

Akan ditunjukkan bagaimana kendala (2) menjadi kendala linear.

Diberikan vektor x*, didefinisikan :

βi(x*) =

*max ( )ˆ ˆ

i i ij S ij j i i it t

a x a x (3)

Sama dengan :

βi(x*) = maksimumkan

iJj

ijjij zxa

iii

21


kendala iJj

iijz (4)

10 ijz iJji,

Persamaan ini equivalen }\,,}{{ iiiiiiiii SJtSJStS dengan

fungsi cost i

ii

Sj

titiijij xaxa *ˆ)(ˆ .

Maka dual dari persoalan (4) adalah:

Minimumkan iJj

iiij zp

kendala

0

0

ˆ

i

ij

jijiji

z

p

xapz

i

Jj

Jj

i

i

(5)

Dari aturan dualitas, karena persamaan (4) feasible dan terbatas untuk semua

i [0, ]iJ , maka dual persamaan (6) juga layak dan terbatas i [0, ]iJ .

Sehingga diperoleh bahwa βi(x*) adalah sama dengan nilai fungsi objektif pada

persamaan (5).

22


BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Solusi robust dari masalah goal programming dengan posible varians

negatif pada sisi sebelah kiri tujuan.

Ada 3 ide yang berhubungan dengan konsep solusi robust optimal yaitu:

a. Solusi robust optimal adalah suatu solusi yang mana akan optimal untuk

kemungkinan nilai terburuk (worst) dari koefisien yang diasumsikan

dalam intarval variansnya (penyimpangan). Terburuk maksudnya adalah

minimal untuk maksimum fungsi objektif dan untuk kendala lebih besar

atau sama dan maksimal dalam kasus lainnya.

b. Dengan mengaplikasikan definisi di atas , diperoleh kasus “pessimistic”,

dimana akan direduksi dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan

dengan koefisien himpunan pada kemungkinan nilai terburuk. Suatu solusi

robust dapat sangat mudah diperoleh, tetapi kualitas ( nilai fungsi objektif)

mungkin sangat buruk. Dalam banyak kasus terdapat pendekatan yang

terlalu pesimistik, dengan segala asumsi yang bisa saja salah, dan bahwa

semua koefisien mungkin berubah-ubah pada arah negatif secara simultan.

c. Pada pendekatan dengan sifat alami (nature), diasumsikan bahwa hanya

beberapa koefisien yang akan benar-benar diganti (misalnya hanya harga

beberapa produk akan turun, tidak semua produk). Tentu tidak dapat

diketahui koefisien yang mana diganti dan dalam pendekatan hal itu tidak

perlu memilih koefisien yang diduga akan di ganti. Hanya hal yang

dibutuhkan adalah perkiraan untuk fungsi objektif dan tiap kendala itu

masing-masing, apakah opini memaksimalkan koefisien dapat diganti

dengan nilai yang relatif normal.


Dengan mengaplikasikan pendekatan ini pada

persamaann

j

jjij kidxc1

),...,1(,ˆ dengan ijijij ccc , , ( i = 1, ..., k; j = 1, ..., n),

ijc akan menjadi nilai normal. Solusi M-robust dimana M = (mi)ki=1 dan mi ( i=

1, ..., k) adalah bilangan bulat dipilih oleh si pembuat keputusan yang tidak

melebihi n, yang mana menerangkan berapa banyak koefisien dalam kendala ke-i

dapat diganti. Apabila mi = n (i =1,...,k) diasumsikan tidak ada yang akan salah

maka diperoleh solusi normal optimal.

3.2 Kriteria single linear programming terhadap solusi M-robust goal

programming

Sesuai model formulasi MIP , maka solusi M- robust dapat ditulis:

1ˆmax ( 1, ..., )

( )

j

n

ijj j Sj ij j ic x x d i k

A x B

(*)

Dengan formulasikan kembali dengan cara yang sama ke dalam model goal

programming, maka diperoleh:

0,,0

)(

),...,1(,max

)(

1},...,1{

1

min

ii

n

j Sj

iiijij

mS

nSjij

k

j

iiii

ddx

BxA

kibddxxc

dwdwZ

jii

i (**)

Nilai optimal dari fungsi objektif yang diperoleh dalam cara ini akan menjadi

nilai opimal terburuk dari total deviasi dimana dalam tiap goal i (i=1,...,k),

koefisien im mengijinkan untuk mengambil paling sedikit nilai baik ( maksimal).

24


Dengan mengubah nilai im , akan dilihat bagaimana pengaruh nilai optimal total

deviasi.

Lemma : andaikan 1 2

( , , ..., ) max ( 1, ..., ).jj Si n ij j

x x x x i k Untuk

tiap vektor (x1, x2,..., xn) dan i= 1,2,...,k, βi ( x1, x2, ..., xn), adalah nilai

fungsi objektif pada masalah linear programming

Minimumkan n

j

iiij zmp1

0),,...,1(,0

),...,1(11

iij

jij

znjp

njxpz (***)

Formulasi linear programming di atas, kemudian diapilkasikan pada solusi M-

robust:

),...,1(;0,,0

)(

),...,1(;0),,...,1(;0

),...,1();,...,1(;

),...,1(;

)(

1 1

1

min

kiddx

BxA

kiznjp

kinjxpz

kibiddzmpxc

dwdwZ

ii

iij

jijiji

n

j

n

j

iiiiijjij

k

j

iiii

(****)

Bukti: Jika n

jjx 1)( , k

iii dd 1),( adalah solusi feasible persamaan (**), tentu saja

juga (sesuai bersama dengan nilai pij (j= 1, ..., n), zi) solusi layak persamaan

(****). Telah ditunjukkan bahwa nilai fungsi objektif (****) tidak melebihi

nilai fungsi objektif (**).

Dengan kata lain untuk menentukan n

jjx 1)( , dari relasi

1 1max , 1, ..., , 0, 0,

i

n nnij

j ijj S j jj ij j j ij i i ij ijc x x c x p m z i k p z

bahwa untuk tiap solusi layak n

jjx 1)( , k

iii dd 10,0, ),( persamaan (**) dan

untuk tiap solusi layak n

jjx 1)( , k

iii dd 11,1, ),( , n

jjij zp 1),( terdapat

25


),...,1();( 1,0, nidd ii . Dari penjelasan diatas bahwa nilai fungsi optimal

(**) tidak melebihi nilai fungsi optimal (****).

3.3 Studi Kasus Masalah Perusahaan dengan 3 tipe Produksi

Sebuah perusahaan memproduksi 3 tipe produk dimana perusahaan tersebut

memiliki target yang ingin dicapai yakni, jumlah total penggunaan bahan-bahan

material adalah 120, jumlah total penggunaan para pekerja adalah 200, jumlah total

waktu penggunaan mesin adalah 300, sedangkan total penggantian harga penjualan

produk yang bernilai negatif adalah -1500, dimana:

1. jc1 ( j= 1,...,3) menunjukkan jumlah material paling banyak yang

dibutuhkan untuk memproduksi produk ke-j.

2. jc2 ( j= 1,...,3) menunjukkan jumlah pekerja paling banyak yang

dibutuhkan untuk memproduksi produk ke-j.

3. jc3 ( j= 1,...,3) menunjukkan paling banyak jumlah waktu mesin untuk

memproduksi produk ke-j.

4. jc4 ( j= 1,...,3) menunjukkan paling banyak harga penjualan produk ke-j

dikalikan dengan -1.

Tabel 5. Jumlah kendala produksi

Produk 1 Produk 2 Produk 3

11c 4 6 3

22c 7 5 6

33c 3 5 7

44c -32 -28 -40

Maka model goal programmingnya adalah:

Minimumkan 44332211 dddddddd

26

26


kendala:

1500402832

300753

200657

120364

44321

33321

22321

11321

ddxxx

ddxxx

ddxxx

ddxxx

)4,3,2,1(;0,;0,, 321 iddxxx ii

Dengan menggunakan software LINDO diperoleh (lihat lampiran 1):

Solusi optimal dari masalah tersebut adalah : x1= 0; x2 = 1,9; x3 = 36,1; d2+

=26, 5; d3- = 37,3.; d1

- = d1

+ = d2

- = d3

+ = d4

- = d4

+ = 0.

Kemudian asumsikan bahwa kemungkinan (possible) varians dari

koefisien jc1 adalah kurang lebih sama dengan 10 % dari nilai normal. Maka:

Tabel 6. Kendala produksi dengan nilai varians.

Produk 1 Produk 2 Produk 3

11c

4.4 6.6 3.3

11

0,4 0,6 0,3

22c

7.7 5.5 6.6

22

0,7 0,5 0,6

33c

3.3 5.5 7.7

33

0,3 0,5 0,7

44c

-28.8 -25.2 -36

44

3,2 2,8 4

Dalam kasus penggunaan material, mungkin saja terjadi penyimpangan

kualitas bahan material yang digunakan sehingga mempengaruhi kualitas produk

27


yang akan dihasilkan. Dalam kasus para pekerja, nilai yang normal dapat berubah

karena kurangnya pengalaman atau motivasi serta waktu yang diperlukan mesin

dalam memproduksi 1 produk mungkin berpengaruh pada tingkat kelayakan

(gagal) mesin. Harga per unit mungkin dapat turun ( maksudnya kenaikan dari

pergantian nilai dikalikan -1) karena situasi pasar yang tidak pasti.

Karena adanya penyimpangan-penyimpangan maka masalah goal

programming tersebut akan didekati dengan solusi optimal robust, dengan ij ( i

=1, ...,k; j = 1, ...,n) di sisi sebelah kiri goal (left-hand sides).

Dengan mengaplikasikan masalah (****) pada model goal programming,

maka bentuknya menjadi:


kendala :

1500402832

300753

200657

120364

4444434241321

3333333231321

2222232221321

1111131211321

ddzmpppxxx

ddzmpppxxx

ddzmpppxxx

ddzmpppxxx

1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz

1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz

1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz

1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz

xi, zi, di-/+

,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)

Dimana m1,m2, m3, m4 adalah parameter , bilangan integer. Dan pada kasus

ini diambil bilangan bulatnya lebih kecil atau sama dengan 3 (0,1,2,3), yang

kemudian akan diseleksi oleh pemimpin perusahaan untuk menentukan tingkat

pesimistik tiap target. Untuk goal ke-i, mi menunjukkan berapa banyak koefisien

goal dari sisi sebelah kiri (left hand side) yang dapat dijangkau dari nilai yang

diijinkan.

28


a) Untuk Parameter mi ( 0, 0, 0, 0).

Maka formulasinya:


kendala:

15000402832

3000753

2000657

1200364

444434241321

333333231321

222232221321

111131211321

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz

1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz

1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz

1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz

xi, zi, di-/+

,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)

Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (0, 0, 0, 0) .

Dengan aplikasi program LINDO diperoleh:

Hasil optimal deviasinya adalah:

x1= 0; x2 = 0; x3=37,5; p11=0; p12 = 0; p13=7,5; z1=3,34; p21=0; p22=0; p23=0; z2=

21,69; p31= 37,5; p32=0; p33=0; z3=23,29; p41=0; p42=0; p43=0; z4=144,60

d2+

=25 ; d1- = d1

+ = d2

- = d3

+ =d3

- = d4

- = d4

+ = 0.

Hasil optimal total worst deviasinya dengan parameter (0, 0, 0, 0) adalah 25.

b). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 0, 0, 0, 3)


kendala:

15003402832

3000753

2000657

1200364

444434241321

333333231321

222232221321

111131211321

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz

29


1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz

1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz

1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz

xi, zi, di-/+

,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)


Dengan aplikasi program LINDO diperoleh (lihat lampiran):


x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 0; z1 = 10,84; p21 = 0; p22 = 0; p23

= 0; z2= 21,69; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 11,25; z3 = 12,04; p41 = 0; p42 = 5,37; p43 =

144,60; z4 = 0

d1+ =3,74; d2

+ = 47,49 ; d1

- = d2

- = d3

+ =d3

- = d4

- = d4

+ = 0.

Total worst deviasi dengan parameter m1, m2, m3, m4 (0, 0, 0, 3) adalah 51,23.

c). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 1, 1, 1, 1)


kendala:

15001402832

3001753

2001657

1201364

444434241321

333333231321

222232221321

111131211321

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz

1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz

1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz

1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz

xi, zi, di-/+

,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)


Dengan aplikasi program LINDO diperoleh ( lihat lampiran):

30



x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,11; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 0; z1 = 10,84; p21 = 0; p22 = 0; p23

= 0; z2 = 21,69; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 22,34; z3 = 0,96; p41 = 0; p4 2= 0; p43 =

139,22; z4 = 5,37;

d1+ =14,18; d2

+ = 68,37 ; d3

+ = 11,10; d1

- = d2

- = d3

- = d4

- = d4

+ = 0.


d). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 1, 1, 1, 3)


kendala:

15003402832

3001753

2001657

1201364

444434241321

333333231321

222232221321

111131211321

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz

1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz

1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz

1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz

xi, zi, di-/+

,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)



Hasil optimal deviasinya adalah (lihat lampiran):

x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 0; z1 = 10,84; p21 = 0; p22 = 0;

p23 = 0; z2 = 21,69; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 22,34; z3 = 0,96; p41 = 0; p42 = 5,37;

p43 = 144,60; z4 = 0;

d1+ =14,58; d2

+ = 69,18 ; d3

+ = 12,04; d1

- = d2

- = d3

- = d4

- = d4

+ = 0


31


e). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 2,2,2,2)


kendala:

15002402832

3002753

2002657

1202364

444434241321

333333231321

222232221321

111131211321

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz

1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz

1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz

1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz

xi, zi, di-/+

,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)


Dengan aplikasi program LINDO diperoleh (lihat lampiran):


x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 9,69; z1 = 1,15; p21 = 0; p22 = 0;

p23 = 20,73; z2 = 0,96; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 22,34; z3 = 0,96; p41 = 0; p42 = 5,37;

p43 = 144,60; z4 = 0;

d1+ =15,73; d2

+ = 70,14 ; ; d1

- = d2

- = d3

+ =d3

- = d4

- = d4

+ = 0


f). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 3,3,3,3)


kendala:

15003402832

3003753

2003657

1203364

444434241321

333333231321

222232221321

111131211321

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

ddzpppxxx

32


1111 4.0 xpz ; 2121 6.0 xpz ; 3131 3.0 xpz

1212 7.0 xpz ; 2212 5.0 xpz ; 3232 6.0 xpz

1313 3.0 xpz ; 2323 5.0 xpz ; 3333 7.0 xpz

1414 2.3 xpz ; 2424 8.2 xpz ; 3434 4xpz

xi, zi, di-/+

,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)




x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 1,15; p13 = 10,84; z1 = 0; p21 = 0; p22 =

0,96; p23 = 21,69; z2 = 0; p31 = 0; p32 = 0,96; p33 = 23,29; z3 = 0; p41 = 0; p42 =

5,37; p43 = 144,60; z4 = 0;

d1+ =15,73; d2

+ = 70,14 ; ; d1

- = d2

- = d3

+ =d3

- = d4

- = d4

+ = 0


33


BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian bab-bab sebelumnya, maka dapat dibuat beberapa kesimpulan yaitu:

a. Pendekatan robust optimisasi pada goal programming ini memberikan

suatu solusi pada pembuat keputusan dalam menentukan nilai optimal

yang paling buruk (worst value) dari total deviasi pada target (goal),

dengan memberikan parameter yang bersifat integer.

b. Dengan mengganti koefisien parameter pada setiap kendala dalam

kerangka kerja goal programming dan tidak mengubah kendalanya

diperoleh nilai total worst deviasi yang berbeda.

c. Untuk beberapa nilai parameter m1, m2, m3, m4 dikombinasikan dengan

nilai yang lebih dari 1 misalnya (2, 2, 2, 2) dan (3, 3, 3, 3) diperoleh total

worst deviasi yang sama.

4.2 Saran

1. Disarankan untuk adanya penelitian lebih lanjut tentang Optimisasi robust

pada goal programming.

2. Disarankan untuk adanya kajian lebih lanjut dalam penetapan nilai

parameter integer, dan bagaimana pengaruhnya jika penetapan parameter

integer lebih dari 4 terhadap total worst deviasinya.

3. Disarankan adanya kajian lebih lanjut bagaimana pengaruhnya jika

parameternya tidak integer.


1. Tampilan Software LINDO untuk Solusi Goal Programming (hal.27)

35


2. Penghitungan Software LINDO untuk Parameter (0, 0, 0, 0)

36


3. Penghitungan dengan Software LINDO untuk Parameter (0, 0, 0, 3)

37



38



39


6. Penghitungan dengan Software LINDO untuk Parameter (2, 2, 2,2)

40



41


DAFTAR PUSTAKA

Bertsimas, D. and Sim, M, 2002. “Robust Discrete Optimization and Network

Flows. Math. Program. Ser. B 98, 49-71.

G, David, Danenbring, Starr, Marthin. K, 1981. “Management Science An

Introduction”. Mc Graw Hill Book Company: USA.

Kuchta, D, 2004. “ Robust Goal Programming”, Institute of Industrial

Engineering, Vol. 33, No. 3, University of Technology Smoluchowsklego

25, 50-371, Poland.

Levin, Richard. I, Rubin, David. S, Stinson, Joel. P, S. Everette, Jr. Gardner, 1992.

“Quantitative Approach to Management eight Edition. McGraw-Hill Inc:

Singapore.

Mulvey, Jhon. and Vanderbei, Robert, 1994. “Robust Optimization of Large Scale

Systems. Princeton University, New Jersey.

Nasendi, B.D, Anwar, affendi, 1985. “Program Linier dan Variansnya”. PT.

Gramedia: Jakarta.

Taylor, Bernard. III, 1996. “Sains Manajemen”. Salemba Empat: Jakarta.

Tutorial, http: // www.springerlink.com/index/680Q669B92VYOFNY8.pdf,

“Adjustable Robust Solutions of uncertain Linear Program”, tanggal 17

Juli 2009.

Tutorial, http: //en.wikipedia.org/wiki/Goal Programming “Goal Programming”,

tanggal 2 Juni 2009.

Tutorial, http: //en.wikipedia.org/wiki/Robust optimization, “Robust

Optimization”, tanggal 5 Mei 2009.

Tutorial, [email protected], “Goal Programming”, tanggal 12 Juni 2009.


http://www.springerlink.com/index/680Q669B92VYOFNY8.pdf

mailto:[email protected]

STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN ......a. Meninjau tentang goal programming dan mendefinisikan...

Documents

Transcript of STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN ......a. Meninjau tentang goal programming dan mendefinisikan...