statmat2
-
Upload
deden-istiawan -
Category
Documents
-
view
221 -
download
0
Transcript of statmat2
-
8/10/2019 statmat2
1/15
ESTIMASI TITIK
Estimasi titik atau penaksir titik adalah suatunilai yang akandigunakan untuk
menaksir (atau menduga) nilai populasi (biasa disebut parameter) yang pada umumnya tidak kitaketahui nilai sebenarnya.
Ada 4 metode untuk mendapatkan nilai estimasi berdasarkan sampel (statistic) :
1. Metode Moment
2. Metode Likelihood Max (Kemungkinan maksimal)
3. Metode Kuadrat Terkecil
4. Metode Chi-Square Minimum
Namun yang disarankan dalam kurikulum / silabus, kita hanya akan mempelajari metode
moument dan metode likelihood max. Hal ini dikarenakan kedua metode tersebut yang palingbanyak digunakan.
1. Metode Moment
Misal X adalah variable random/peubah acak X kontinu (atau diskrit) dengan fungsi
kepadatan peluang (FKP) berbentuk ; f ( X ; dengan k parameter yang tidakdiketahui nilainya.
Misalkanlagi merupakan sebuah sampel acak berukuran n. Untuk itu kitadefinisikan k momen sekitar pusat sampel pertama sebagai berikut :
=
; t = 1,2,..,kKemudian kita tentukan lagi k buah momen sekitarpusat populasipertama dengan
rumus :
= E , t = 1,2,..,kCatatan : E = ) ; X diskrit
E = ) ; X kontinu
Jadi, merupakan fungsi dari k parameter yang tidak kita ketahui.Penyamaan moment sampel dan moment populasi akan menghasilkan k persamaan dalam
k parameter yang nilainya tidak diketahui.
Jadi, = ; t = 1,2,.k
-
8/10/2019 statmat2
2/15
Solusidaripernyataan :
= Di notasikan dengan sebagai penaksir moment untuk . Untuk lebih
memahami penaksir titik dengan metode moment, simak / ikuti dengan baik contoh-contohdibawah ini :
a. Misalkan peubah acak X berdistribusi dengan tidak diketahui. Tentukanpenaksir titik untuk dengan menggunakan metode moment !
Pembahasan :
Fkp dari X adalah :
Diskrit _ p (x:) =
; x = 0,1 , 0
; x yang lain
sebagai parameter
= ; t = 1,2,..k
Moment sampel= = =Moment populasi =
=
= 0 =
Jadi, = =
b. Misalkan peubah acak X berdistribusi B ( m, ) dengan m diketahui dan tidakdiketahui. Tentukan penaksir titik untuk denganmenggunakan metode moment !
Pembahasan :Fkp dari X adalah :
f(x;m;) = ; x = 0,1,2,..m0 ; yang lain
Moment sampel :
-
8/10/2019 statmat2
3/15
Moment Populasi = E (x) = = m
Dengan menyamakan di dapat X = m . , jadi = 2. Metode Kemungkinan Maksimum
Metode yang terbaik untuk menentukan penaksir titik sebuah parameter adalah metode
kemungkinan maksimum.
Missal x adalah peubah acak kontinu dengan fkp : f ( x; ) , dengan tidakdiketahui.Misalkan lagi fungsi
sebuah sampel acak berukuran n. maka fungsi
kemungkinan (likelihood function) dari sampel acak berukuran n tersebut adalah :
L ( ) = f ( )= f( ; ) f(; ; )
- Dalam hal ini fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui
- Penaksir kemungkinan maksimum adalahnilai yang memaksimumkanfungsikemungkinan L (;).Evaluasi Estimator
Di bawah ini diberikan sifat-sifat penaksir parameter.
1. Tidak Bias (unbiased)
Dikatakan penaksir tak bias bagi jika E ()= Catatan :
1. Jika E () dikatakan penaksir bias bagi 2. Penaksir yang bias dapat dibuat tak bias dengan mengubah pengali atau
penambah konstanta.
Ingat!!!!!!
,
-
8/10/2019 statmat2
4/15
Misal x adalah peubah acak dengan rata-rata danvarian(apapun distribusinya).Jika , merupakan sebuah sampel acak berukuran n. maka apakah rata-ratasampel x dan variansampel= merupakan penaksir tak bias untuk + ..?jawab :kita akan membuktikan E(x) =
Bukti : E(x) = E =
)
=E
= , E = 1,2,.n
=
= (n.)= (TERBUKTI)
VARIANS MINIMUM
Rumus batas bawah Cramer Rao untuk varians adalah :var () * +
Atau var () * +
Kita akan menyelidiki apakah rata-rata sampel x dari distribusi normal yang tidak
diketahui variansnya mencapai batas bawah Cramer Rao. Telah kita ketahui bahwa
= x dan var x = . Kita hanya akan membuktikan apakah var x = mencapaibatas bawah Cramer Rao.
Ingat !!!!!
-
8/10/2019 statmat2
5/15
X (,) ; F(x;,) =
= ; -< X < Ln f(x;,= - -
= 0 -
2 ( ) (-1)=
( )
() =
Berdasarkan Rumus Cramer Rao :
Var () = * +
= * +
= = = =
Ternyata Var () mencapai batas bawah Cramer Rao
EfisiensiRelatif (ER)
Jika keduanya penaksir tidak bias untuk maka Efisiensi Relatif didefinisikan : ER =
Keterangan :
Jika ER < 1 dikatakan lebih efisiensi dari Jika ER > 1 dikatakan lebih efisiensi dari StatistikCukup
Definisi :
Statistic T=T ( dikatakan statistic cukup untuk parameter , jika fungsidensitas / kepadatan peluang bersyarat :
-
8/10/2019 statmat2
6/15
P Tidak bergantung / tidak memuat
Contoh :
Misal ( merupakan n buah sampel yang berasal dari distribusiBernouli yang saling bebas, dengan P = dan = 1- ; i=1,2,.n.Apakah T(x) = merupakan statistik cukup untuk ?Jawab :
B ( 1, p( , Xi = 0,1p( )= p(Xi)
= = p( = Xi (1,) = (t) = + (1-) (E)
= Initidak lain adalah MGF dari B = ( n . )Jadi,
P ( ) =
Atau P ( ) = Kesimpulan :
P
* +
P ( )
; ternyata tidak memuat
Jadi T = merupakan STATISTIK CUKUP
-
8/10/2019 statmat2
7/15
Keluarga Eksponensial
Definisi :
Suatu fungsi densitas dengan satu parameter, termasuk keluarga Eksponensial. Jika
fungsi densitas tersebut dapat diuraikan (dapat diubah) dalam bentuk :
F(X;) = C () h(x)Contoh :
Misal peubah acak x berdistribusi Binomial dengan parameter n dan ;apakahF(X;) termasuk keluarga Eksponensial ?
Jawab :
X (n;F(X;) = ; x=0,1,2,..n.
=
=
=
= C() , T(x) , Q() , h(x)
Kesimpulan :
f(X;) adalah keluarga Eksponensial
Catatan :
Jika sebuah sampel acak dari distribusi f(x,) maka fungsi distribusigabunganya adalah :
F( = f(Xi;)=
[
]
= Conroh :
Misal diambil dari distribusi B ( ;). Apakahf( ,keluargaEksponensial ?
-
8/10/2019 statmat2
8/15
Jawab :
X (n;P(x) = P(Xi;) =
=
[
]
=
= =
Kesimpulan :
F(Xi;) adalahKeluarga Eksponensial
Hubungan antara Keluarga Eksponensial dan Statistik cukup. Jikaf(Xi;) KeluargaEksponensial. Maka :
F(Xi;) = Dalam hal ini, unsur T(x) adalah Statistik Cukup. Sesuai contoh diatas maka T(x) =
adalah Statistik Cukup.
-
8/10/2019 statmat2
9/15
-
8/10/2019 statmat2
10/15
b. Langkah awal kita adalah mencari Var x
Var (x) = E = E
E
=
= = 0 +
= 0 +
= 0 + = 0 + =2
Jadi Var (x) = 2 =
Var x = Var =
=
=
=
Kesimpulan , Var (x) = ; TERBUKTI
c. Var (x) =
x < k )
x < k )
Misalkan ,
x < )
x < ) Jadi, x adalah penaksir yang konsisten untuk
-
8/10/2019 statmat2
11/15
SOAL 2
Misal sebuah sampel acak berukuran n yang berasal dari distribusi N( )a. Buktikan bahwa Y =
adalah penaksir yang tak bias untuk
b. Apakah Y penaksir konsisten ?
c. Apakah Var (x) = minimum ?
d. Apakah Var (x) memenuhi batas bawah Cramer-Rao ?
Jawab :
a. X E (x) = Var (x) =
Y =
E (Y) = E * +=
=
= Jadi, Y adalah penaksir untuk yang tak bias , TERBUKTI
b. Var (x) = Var (Y) = Var
=
=
=
Jadi Y - < k )
Y - < k )
Misal : k Jadi, Y - < )
atau
P Jadi Penaksir Y untuk , TIDAK KONSISTEN
-
8/10/2019 statmat2
12/15
c. Var (x) = akan minimum jika Var (x) = minimum kita akan melakukan
Var (x) = apakah minimum.Misal : Var (x) =
d.Var (x) = N
Jadi, Var x akan minimum bila , karena itu Var x di definisikan :Var (x) =
Jadi, var (x) minimum
Kesimpulannya : Var x = minimum
d. Apakah Var x = mencapai batas bawah CramerRao ?
Jawab :
X f(
ln f( x;
= - (x-
= -
Var memenuhi semua batas bawah CramerRao adalah :
, * +-
= * +
Var x = mencapai batas bawah CramerRao , TERBUKTI
-
8/10/2019 statmat2
13/15
SOAL 3 :
Misalkan sampel acak berukuran n yang berasal dari distribusiPoisson dengan rata-rata a.
Buktikan bahwa x penaksir tak bias bagi b. Buktikan bahwa x penaksir konsisten
c. Tentukan penaksir tak bias bervariansi minimum
Jawab :
a. Langkah awal yang harus dilakukan adalah mencari E(x)
X p (x, E(x) =
= = = = =
Jadi, E(x) = E(x) = E
= =
=
Jadi, E(x) = Kesimpulan : X adalah penaksir tak bias untuk , TERBUKTI
b. Langkah awal kita adalah mencari Var (x)
Var (x) = E * E= E
=
** = =
-
8/10/2019 statmat2
14/15
Var (x) = Var x =
=
=
X - k )
X - k )
=
X - )
atau
X - ) = 1Kesimpulan : X penaksir KONSISTEN
c. Tentukan penaksir titik tak bias bervariasi minimum bagi E(x) = E(x) = Var (x) = Var (x) = X F(x) =
Berdasarkan Varian Minimum CramerRao :
Var (x) minimum = * +
f(x) =
Ln f(x;
Jadi , E * + * +
-
8/10/2019 statmat2
15/15
= -
= -
Jadi, Var Minimum =
, *
+-
= * +=
=
Jadi, TERBUKTI Var (x) =mencapai batas bawah Cramer - Rao