Statistika - istiarto.staff.ugm.ac.id Soal UTS Statistika MPSP... · Statistika Ujian Tengah...

9
Statistika Ujian Tengah Semester Soal-jawab UTS Statistika MPSP 2008. Langkah kerja dalam menjawab soal dipaparkan secara rinci. Sebagian besar hitungan dilakukan dengan bantuan program aplikasi spreadsheet. 2008 Istiarto Magister Pengelolaan Sarana Prasarana UGM 23-Jun-08

Transcript of Statistika - istiarto.staff.ugm.ac.id Soal UTS Statistika MPSP... · Statistika Ujian Tengah...

Statistika Ujian Tengah Semester Soal-jawab UTS Statistika MPSP 2008. Langkah kerja dalam menjawab soal dipaparkan secara rinci. Sebagian besar hitungan dilakukan dengan bantuan program aplikasi spreadsheet.

2008

Istiarto Magister Pengelolaan Sarana Prasarana UGM

23-Jun-08

Soal Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 2

Isti

art

o

Soal Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 Senin, 23 Juni 2008, Open Book, 100 menit Dr. Ir. Istiarto, M.Eng.

Catatan Soal ujian ini untuk dikerjakan sendiri tanpa kerjasama dengan orang lain.

Tidak ada pengawasan oleh petugas jaga selama ujian berlangsung.

Setiap butir soal berbobot nilai sama.

Jika dikerjakan dengan spreadsheet, file dikumpulkan (copykan kedalam flash-disk yang telah disediakan). Pada lembar kertas jawaban, tuliskan resume hasil dan/atau keterangan penunjuk (nama file, nama sheet, letak grafik, dsb).

Soal Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan Giripura. Dari ke-40 RT, diperoleh data sebagai berikut:

11 6 9 14 5 11 2 18

7 15 12 11 10 6 4 11

14 13 16 20 8 16 13 12

9 12 14 11 15 11 6 9

13 9 8 10 11 16 7 15 1. Hitung jumlah keluarga miskin rata-rata di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura.

2. Hitung simpangan baku jumlah keluarga miskin di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura.

3. Buat tabel frekuensi dengan rentang klas 3 (klas pertama 0.5 3.5).

4. Buat histogram data tersebut (batang dan garis) berdasarkan tabel frekuensi yang telah

Saudara buat. Sumbu horizontal (absis) adalah rentang klas dan sumbu vertikal (ordinat)

adalah frekuensi relatif.

5. Lengkapi tabel Saudara dengan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal (frekuensi

relatif teoretik).

6. Plotkan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal tersebut pada histogram yang telah

Saudara buat.

7. Dengan asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di setiap RT di wilayah Kecamatan Giripura

berdistribusi normal, perkirakanlah:

a) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8,

b) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13,

c) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14,

d) rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah

Kecamatan Giripura.

8. Dengan tetap mempertahankan asumsi distribusi normal, lakukan uji hipotesis yang

menyatakan bahwa jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan

Giripura adalah 10 keluarga. Gunakan tingkat keyakinan 95%.

-o0o-

Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 3

Isti

art

o

Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 Dr. Ir. Istiarto, M.Eng.

Soal Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan Giripura. Dari ke-40 RT, diperoleh data sebagai berikut:

11 6 9 14 5 11 2 18

7 15 12 11 10 6 4 11

14 13 16 20 8 16 13 12

9 12 14 11 15 11 6 9

13 9 8 10 11 16 7 15 Hitunglah berbagai parameter statistik data tersebut.

Penyelesaian

Berbagai parameter statistik yang ditanyakan pada soal di atas dapat dihitung dengan bantuan program aplikasi spreadsheet MSExcel.

Nilai rata-rata dan simpangan baku

Jumlah keluarga miskin rata-rata dan simpangan baku jumlah keluarga miskin dengan mudah dapat dihitung dengan memakai fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, yaitu =AVERAGE(…) dan =STDEV(…). Apabila data jumlah keluarga miskin di 40 RT tersebut dituliskan pada cell A1:H5, maka:

A B C D E F G H

1 11 6 9 14 5 11 2 18

2 7 15 12 11 10 6 4 11

3 14 13 16 20 8 16 13 12

4 9 12 14 11 15 11 6 9

5 13 9 8 10 11 16 7 15

− jumlah keluarga miskin minimum dalam satu RT =MIN($A$1:$H$5) = 2 − jumlah keluarga miskin maximum dalam satu RT =MAX($A$1:$H$5) = 20 − jumlah keluarga miskin rata-rata =AVERAGE($A$1:$H$5) = 11 − simpangan baku jumlah keluarga miskin =STDEV($A$1:$H$5) = 4

Perlu dicatat bahwa jumlah keluarga miskin rata-rata dan simpangan baku jumlah keluarga miskin adalah bilangan bulat positif, sedangkan fungsi =AVERAGE(…) dan =STDEV(…) dapat menghasilkan nilai pecahan. Hal ini dapat disiasati dengan memformat cell yang berisi hasil hitungan kedua fungsi tersebut sedemikian hingga berupa bilangan tanpa desimal. Cara lain yang lebih tepat adalah dengan memakai fungsi =ROUND(…,0) yang akan membulatkan angka (tanpa angka desimal):

− jumlah keluarga miskin rata-rata =ROUND(AVERAGE($A$1:$H$5),0) = 11 − simpangan baku jumlah keluarga miskin =ROUND(STDEV($A$1:$H$5),0) = 4

Hitungan nilai rata-rata dan simpangan baku dapat pula dilakukan dalam bentuk tabulasi seperti ditampilkan berikut ini.

Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 4

Isti

art

o

Jumlah keluarga miskin (X) Frek (f) f × X f × X2

0.5 − 3.5 2 1 2 4

3.5 − 6.5 5 5 25 125

6.5 − 9.5 8 8 64 512

9.5 − 12.5 11 12 132 1452

12.5 − 15.5 14 9 126 1764

15.5 − 18.5 17 4 68 1156

18.5 − 21.5 20 1 20 400

Jumlah (Σ) 40 437 5413

Jumlah keluarga miskin rata-rata, 𝑋 , dan simpangan baku jumlah keluarga miskin, sX, dihitung dengan cara sebagai berikut:

𝑋 = 𝑓𝑋

𝑋=

437

40= 11

𝑠𝑋 = 𝑓𝑋2 − 𝑓 𝑋 2

𝑓 − 1=

5413 − 40 × 112

40 − 1= 4

Tabel frekuensi

Tabel frekuensi dibuat dengan bantuan MSExcel. Di bawah ini dicuplikkan beberapa langkah pembuatan tabel frekuensi.

N O P Q R S T U V

11 Jumlah keluarga miskin (X) Frek (f)

Frek Rel

(f/f)

Frek Rel Teoretik Dist Normal

12 (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

13 0.5−3.5 0.5 − 3.5 2 1 0.025 0.023805 0.026064

14 3.5−6.5 3.5 − 6.5 5 5 0.125 0.097138 0.099898

15 6.5−9.5 6.5 − 9.5 8 8 0.2 0.225853 0.223536

16 9.5−12.5 9.5 − 12.5 11 12 0.3 0.299207 0.29234

17 12.5−15.5 12.5 − 15.5 14 9 0.225 0.225853 0.223536

18 15.5−18.5 15.5 − 18.5 17 4 0.1 0.097138 0.099898

19 18.5−21.5 18.5 − 21.5 20 1 0.025 0.023805 0.026064

20 Σ = 40 1

21

22 Lebar klas = 3

23 Jumlah keluarga miskin rata-rata = 11

24 Simpangan baku = 4

Kolom ke-0 (kolom N) bukan merupakan bagian dari tabel frekuensi; kolom ini akan dipakai sebagai absis (sumbu horizontal) histogram. Kolom ini berisi text yang diperoleh dengan mengubah nilai (karakter) angka pada kolom ke-1 dan ke-3 menjadi karakter text, misal N13=TEXT(O13,”0.0”)&P13&TEXT(Q13,”0.0”). Copy-kan cell ini ke cell N14 s.d. N19.

Kolom ke-1 merupakan batas bawah rentang klas jumlah keluarga miskin dan kolom ke-3 adalah batas atas jumlah keluarga miskin. Nilai batas bawah suatu klas adalah nilai batas atas klas sebelumnya. Jadi, nilai batas bawah klas pertama diisikan langsung, O13=0.5, sedangkan nilai batas bawah klas-klas selanjutnya adalah sama dengan batas atas klas sebelumnya, jadi O14=Q13 dan copy-kan cell ini ke cell O15 s.d. O19.

Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 5

Isti

art

o

Nilai pada kolom ke-3 diperoleh dengan menambahkan 3 pada nilai pada kolom ke-2, misal Q13=O13+3. Copykan cell ini ke cell Q14 s.d. Q19.

Kolom ke-4 merupakan nilai klas, yang dianggap sama dengan nilai tengah (median) rentang klas, misal R13=(O13+Q13)/2. Copy-kan cell ini ke cell R14 s.d. R19.

Frekuensi (f) pada kolom ke-5 diperoleh dengan memakai fungsi =FREQUENCY(…,…) dengan langkah sebagai berikut:

− pilih cell S13:S19, − tulis =FREQUENCY(, − pilih cell yang berisi data jumlah keluarga miskin, A1:H5, − tulis tanda baca koma, − pilih cell yang berisi batas atas rentang klas kecuali batas atas klas terakhir, Q13:Q18, − tulis tanda baca kurung tutup, − tekan tombol CONTROL+SHIFT+ENTER bersama-sama.

Jumlahkan frekuensi seluruh klas jumlah keluarga miskin, S20=SUM(S13:S19).

Frekuensi relatif pada kolom ke-6 diperoleh dengan mudah dengan membagi nilai pada frekuensi dengan nilai jumlah frekuensi seluruh klas, misal T13=S13/$S$20. Copy-kan cell ini ke cell T14 s.d. T19. Jumlah frekuensi relatif seluruh klas haruslah sama dengan satu, T20=SUM(T13:T19).

Frekuensi relatif teoretik menurut distribusi normal dihitung dengan dua cara. Cara pertama adalah dengan persamaan pdf distribusi normal sebagai berikut:

𝑓𝑋 𝑥 = ∆𝑥 ∙ 𝑝𝑋 𝑥

Dalam persamaan di atas, fX(x) adalah frekuensi relatif, Δx adalah rentang (lebar) klas, dan pX(x) adalah ordinat kurva normal. Rentang klas adalah 3 dan ordinat kurva normal (pdf) dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,FALSE). Frekuensi relatif klas pertama, dengan demikian adalah U13=$S$22*NORMDIST(R13,$S$23,$S$24,FALSE). Copy-kan cell ini ke cell U14 s.d. U19.

Cara kedua untuk menghitung frekuensi relatif adalah dengan mengingat hubungan antara pdf dan cdf sebagai berikut:

𝑓𝑋 𝑥 = ∆𝑥 ∙ 𝑝𝑋 𝑥

= ∆𝑥 𝑑𝑃𝑋 𝑥

𝑑𝑥

≈ ∆𝑥 𝑃𝑋 𝑥𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑡 𝑎𝑠 − 𝑃𝑋 𝑥𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎 ℎ

∆𝑥

≈ 𝑃𝑋 𝑥𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑠 − 𝑃𝑋 𝑥𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎 ℎ

Dalam persamaan di atas, PX(xbatas atas) = prob(X < xbatas atas) dan PX(xbatas bawah) = prob(X < xbatas bawah). Cdf distribusi normal ini dapat dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,TRUE). Frekuensi relatif klas pertama, dengan demikian adalah

V13=NORMDIST(Q13,$S$23,$S$24,TRUE) NORMDIST(O13,$S$23,$S$24,TRUE). Copy-kan cell ini ke cell V14 s.d. V19.

Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 6

Isti

art

o

Histogram

Histogram dibuat dengan bantuan fasilitas chart yang telah disediakan dalam MSExcel. Ada beberapa cara untuk membuat histogram dengan MSExcel. Di bawah ini dicuplilkkan salah satu di antaranya.

− pilih tiga kolom, kolom ke-6, 7, dan 8, − pilih Insert | Chart | Column, − edit ketiga seri bar chart dengan memilih kolom ke-0 sebagai absis, − ubah seri ke-3 dari column chart menjadi line chart tanpa simbol dan haluskan kurva

dengan memilih jenis smoothed line, − ubah seri ke-2 dari column chart menjadi line chart dengan simbol, − edit chart dengan menambahkan judul pada kedua sumbu, legenda, dan hal-hal lain

agar chart mudah dibaca.

Nilai probabiliti

Nilai berbagai probabiliti dapat dengan mudah dihitung dengan bantuan fungsi =NORMDIST(…,…,…,TRUE) yang telah disediakan dalam MSExcel.

Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8: prob(X < 8) = PX(8) =NORMDIST(8, $S$23,$S$24,TRUE) = 0.2266

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.5−3.5 3.5−6.5 6.5−9.5 9.5−12.5 12.5−15.5 15.5−18.5 18.5−21.5

Fre

kue

nsi

Rel

atif

Jumlah Keluarga Miskin

Distribusi Normal (teoretik)

Data

Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 7

Isti

art

o

Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13: prob(9 < X < 13) = prob(X < 13) − prob(X < 9) = PX(13) − PX(9) = NORMDIST(13, $S$23,$S$24,TRUE) − NORMDIST(9, $S$23,$S$24,TRUE) = 0.3829

Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14: prob(X > 14) = 1 – prob(X < 14) = 1 – PX(14) = 1 – NORMDIST(14, $S$23,$S$24,TRUE) = 0.2266

Rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah

Kecamatan Giripura

Rentang keyakinan (confidence interval) jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura didefinisikan sebagai rentang jumlah keluarga miskin dengan batas

bawah L dan batas atas U sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan (1 – ), atau dengan

probabilitas (1 – ), nilai temperatur air rata-rata, X, berada di dalam rentang tersebut:

prob(L < X < U) = 1

Mengingat asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang didefinisikan sebagai 𝑉 = 𝑋 − μ𝑋 𝑠𝑋 berdistribusi t. Dengan demikian, rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata-rata dapat dicari dari:

prob 𝑣1 <𝑋 − μ𝑋𝑠𝑋

< 𝑣2 = 1 − α

Jika nilai v1 dan v2 ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v1) = prob(t > v2), dan dengan

demikian prob(t < v1) = prob(t > v2) = /2 (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata-rata dapat diperoleh dari:

Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 8

Isti

art

o

prob 𝑡∝ 2 ,𝑛−1 <𝑋 − μ𝑋𝑠𝑋

< 𝑡1−∝ 2 ,𝑛−1 = 1 − α

prob 𝑋 + 𝑡∝ 2 ,𝑛−1 ∙ 𝑠𝑋 <𝑋 − μ𝑋𝑠𝑋

< 𝑋 + 𝑡1−∝ 2 ,𝑛−1 ∙ 𝑠𝑋 = 1 − α

Dalam persamaan di atas, n adalah jumlah data (n = f), t/2 dan t/2 masing-masing adalah

nilai t sedemikian hingga prob(T < t/2) = /2 dan prob(T < t/2) = − untuk n−

degrees of freedom, serta 𝑠𝑋 = 𝑠𝑋 𝑛 . Nilai batas bawah dan batas atas jumlah keluarga miskin rata-rata dengan demikian adalah:

𝑙 = 𝑋 + 𝑡∝ 2 ,𝑛−1 ∙ 𝑠𝑋 dan 𝑢 = 𝑋 + 𝑡1−∝ 2 ,𝑛−1 ∙ 𝑠𝑋

Karena nilai degrees of freedom = 39 dan tingkat keyakinan − = 0.90 ( = 0.05 dan

− = 0.95), maka dengan memakai fungsi =TINV(…,…), diperoleh nilai-nilai sebagai berikut:

prob(T < t0.95,39) = 0.95 t0.95,39 =TINV(2*(1−0.95),39) = 1.6849

prob(T < t0.05,39) = 0.05 t0.05,39 = −t0.95,39 = −1.6849

Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah:

𝑙 = 11 − 1.6849 4 40 = 10 dan 𝑢 = 11 + 1.6849 4 40 = 12

sehingga rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah 10 < 𝑋 < 12.

Catatan: dalam memakai fungsi =TINV(…,…) untuk mencari nilai t perlu diperhatikan bahwa

fungsi =TINV(p,) memberikan nilai t sedemikian hingga p = prob(T > t) untuk degrees of freedom dengan asumsi two-tailed distribution. Apabila hendak mencari nilai t dengan asumsi

one-tailed distribution, dipakai =TINV(2p,). Dalam soal ini, nilai yang dicari adalah nilai t

sedemikian hingga q = prob(T < t) = 1 – prob(T > t) = 1 – p untuk degrees of freedom dan one-

tailed distribution. Oleh karena itu, nilai t dihitung dengan cara =TINV(2*(1−q),). Catatan ini akan lebih mudah difahami dengan mencermati sketsa di bawah ini.

=TINV(p,)=TINV(p,)

two-tailed distribution

=TINV(2p,)=TINV(2p,)

one-tailed distribution

Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 9

Isti

art

o

Uji hipotesis jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan

Giripura

Data jumlah keluarga miskin diperoleh dari sampel. Dengan demikian, nilai simpangan baku

adalah nilai sampel (sX), sehingga nilai simpangan baku populasi (X) tidak diketahui. Oleh karena itu, dalam uji hipotesis jumlah keluarga miskin rata-rata ini, bentuk hipotesis dan statistik ujinya adalah sebagai berikut:

Hipotesis:

H0: X = 10

H1: X ≠ 10

Statistik uji:

𝑇 = 𝑛

𝑠𝑋 𝑋 − 10 berdistribusi t

𝑇 = 40

4 11 − 10 = 1.5811

Dengan tingkat keyakinan 1 − = 0.95, maka batas kritis nilai t adalah:

𝑡1−α 2 ,𝑛−1 = 𝑡0.975,39 = TDIST 2 ∗ 1 − 0.975 , 39 = 2.0227

Karena T < 𝑡1−α 2 ,𝑛−1 maka H0 tidak ditolak. Jadi, hipotesis bahwa jumlah keluarga miskin rata-

rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah 10 dapat diterima.

-o0o-