STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON...

17
1 STATISTIKA NONPARAMETRIK Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Kristen Maranatha Bandung STATISTIKA NONPARAMETRIK adalah statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk distribusi kecuali bahwa sebaran itu kontinu.dan karena itu merupakan statistik yang bebas distribusi Dalam statistik nonparametrik , kesimpulan dapat ditarik tanpa memperhatikan bentuk distribusi populasi, sedangkan dalam statistika parametrik yang telah dibahas sebelumnya , kesimpulan hanya benar apabila asumsi-asumsi tertentu yang membatasi adalah benar. 2 LT Sarvia/2012 KAPAN METODE NONPARAMETRIK DIGUNAKAN? 1. Apabila ukuran sampel kecil sehingga distribusi statistik pengambilan sampel tidak mendekati normal, dan apabila tidak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber sampel. 2. Apabila digunakan data peringkat atau ordinal. (Data ordinal hanya memberikan informasi tentang apakah suatu item lebih tinggi, lebih rendah, atau sama dengan item lainnya; data ini sama sekali menyatakan ukuran perbedaan). 3. Apabila data nominal digunakan. (Contoh : data nominal adalah seperti “laki-laki” atau “perempuan” diberikan kepada item dan tidak ada implikasi di dalam sebutan tersebut bahwa item yang satu lebih tinggi atau lebih rendah daripada item lainnya) 3 LT Sarvia/2012 SYARAT STATISTIKA NON PARAMETRIK DAPAT DIGUNAKAN APABILA : Bentuk populasinya tidak diketahui / tidak normal Distribusinya kontinu Ukuran sampel lebih kecil dari 30 4 LT Sarvia/2012 STATISTIKA NON PARAMETRIK Keuntungan dari penggunaan Statistika Non Parametrik : Perhitungannya lebih sederhana, mudah, dan cepat Data dapat bersifat kuantitatif atau kualitatif ( atribut ) Bisa digunakan untuk bentuk distribusi populasi apa saja asalkan kontinu Ukuran sampel yang digunakan bisa kecil Kelemahan dari penggunaan Statistika Non Parametrik : Efisiensi rendah, karena tidak menggunakan semua informasi yang ada dari sampel Tidak seteliti Uji Parametrik, jadi untuk mencapai b yg sama diperlukan sampel yg lebih besar. Uji nonparametrik akan menggunakan ukuran sampel yang lebih banyak dibandingkan dengan uji parametrik agar mencapai kuasa yang sama. 5 LT Sarvia/2012 KESIMPULAN Bila uji parametrik dan uji nonparametrik keduanya berlaku pada himpunan data yang sama, GUNAKANLAH selalu teknik parametrik yang lebih efisien. Akan tetapi, bila diketahui bahwa anggapan kenormalan sering tidak berlaku, dan ternyata bahwa kita sering menghadapi pengukuran yang tidak kuantitatif, maka disarankan menggunakan sejumlah cara nonparametrik yang dapat menangani berbagai keadaan percobaan yang lebih luas. Perlu dikemukakan bahwa kendati di bawah anggapan teori kenormalan baku, keefisienan teknik nonparametrik amat dekat ke prosedur parametrik padanannya. Sebaliknya, penyimpangan yang besar dari kenormalan akan membuat metoda nonparametrik jauh lebih efisien daripada prosedur parametrik. 6 LT Sarvia/2012

Transcript of STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON...

Page 1: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

1

STATISTIKA

NONPARAMETRIK

Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha Bandung

STATISTIKA NONPARAMETRIK

adalah statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk

distribusi kecuali bahwa sebaran itu kontinu.dan karena itu merupakan

statistik yang bebas distribusi

Dalam statistik nonparametrik, kesimpulan dapat ditarik tanpa

memperhatikan bentuk distribusi populasi, sedangkan dalam statistika

parametrik yang telah dibahas sebelumnya , kesimpulan hanya

benar apabila asumsi-asumsi tertentu yang membatasi adalah

benar.

2

LT S

arv

ia/2

012

KAPAN METODE NONPARAMETRIK DIGUNAKAN?

1. Apabila ukuran sampel kecil sehingga distribusi statistik pengambilan

sampel tidak mendekati normal, dan apabila tidak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber

sampel.

2. Apabila digunakan data peringkat atau ordinal. (Data ordinal hanya memberikan informasi tentang apakah suatu item lebih tinggi, lebih rendah,

atau sama dengan item lainnya; data ini sama sekali menyatakan ukuran perbedaan).

3. Apabila data nominal digunakan. (Contoh : data nominal adalah seperti “laki-laki” atau “perempuan” diberikan kepada item dan tidak ada

implikasi di dalam sebutan tersebut bahwa item yang satu lebih tinggi atau lebih rendah daripada item lainnya)

3

LT S

arv

ia/2

012

SYARAT STATISTIKA NON PARAMETRIK DAPAT DIGUNAKAN APABILA :

Bentuk populasinya tidak diketahui / tidak

normal

Distribusinya kontinu

Ukuran sampel lebih kecil dari

30 4

LT S

arv

ia/2

012

STATISTIKA NON PARAMETRIK

Keuntungan dari penggunaan Statistika Non Parametrik : Perhitungannya lebih sederhana, mudah, dan cepat

Data dapat bersifat kuantitatif atau kualitatif ( atribut ) Bisa digunakan untuk bentuk distribusi populasi apa

saja asalkan kontinu

Ukuran sampel yang digunakan bisa kecil

Kelemahan dari penggunaan Statistika Non Parametrik : Efisiensi rendah, karena tidak menggunakan semua

informasi yang ada dari sampel

Tidak seteliti Uji Parametrik, jadi untuk mencapai b yg sama diperlukan sampel yg lebih besar.

Uji nonparametrik akan menggunakan ukuran sampel yang lebih banyak dibandingkan dengan uji parametrik agar mencapai kuasa yang sama. 5

LT S

arv

ia/2

012

KESIMPULAN

Bila uji parametrik dan uji nonparametrik keduanya berlaku pada himpunan data yang sama, GUNAKANLAH selalu teknik parametrik yang lebih efisien.

Akan tetapi, bila diketahui bahwa anggapan kenormalan sering tidak berlaku, dan ternyata bahwa kita sering menghadapi pengukuran yang tidak kuantitatif, maka disarankan menggunakan sejumlah cara nonparametrik yang dapat menangani berbagai keadaan percobaan yang lebih luas.

Perlu dikemukakan bahwa kendati di bawah anggapan teori kenormalan baku, keefisienan teknik nonparametrik amat dekat ke prosedur parametrik padanannya.

Sebaliknya, penyimpangan yang besar dari kenormalan akan membuat metoda nonparametrik jauh lebih efisien daripada prosedur parametrik.

6

LT S

arv

ia/2

012

Page 2: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

2

JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK :

1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel

dan 2 sampel

2. Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon Sign Rank Test)

• uji 1 sampel dan 2 sampel berpasangan

3. Uji Jumlah Peringkat Wilcoxon ( Wilcoxon

Rank Sum Test ) uji 2 sampel independent

4. Uji Kruskall Wallis untuk uji lebih dari 2 buah populasi ( k > 2 )

5. Uji Runtunan uji keacakan data untuk data kuantitatif dan

data kualitatif

6. Uji Kolmogorov – Smirnov

7. Uji Koefisien Korelasi Peringkat Spearman,

dll. 7

LT S

arv

ia/2

012

Jumlah Sampel Memperhatikan

besarnya data ? Uji Statistik

Satu --- Sign Test

Dua, Tidak Sign Test

independent Ya Wilcoxon Rank Sum

Test

Dua, Tidak Sign Test

dependent Ya Wilcoxon Sign Rank

Test

8 LT Sarvia/2012

1. UJI TANDA ( SIGN TEST )

Merupakan uji non parametrik yang paling mudah dan cepat.

Digunakan untuk menguji rata-rata 1 populasi dan 2 populasi,

dgn memperhatikan ‘tanda’nya.

Prosedur ini didasarkan pada tanda negatif atau positif dari

perbedaan antara pasangan data ordinal. Pada hakikatnya

pengujian ini hanya memperhatikan arah perbedaan dan bukan besarnya perbedaan itu.

Jika Ho : m = mo benar, peluang nilai sampel menghasilkan

tanda + / - adalah ½ ; karena itu statistik uji berdistribusi Binomial dengan p = ½.

9

LT S

arv

ia/2

012

1.1 UJI TANDA 1 SAMPEL ( ONE SAMPLE SIGN TEST ) :

Struktur Hipotesis :

a. H0 : m = m0

H1 : m < m0

b. H0 : m = m0

H1 : m > m0

Tentukan nilai α wilayah kritis

Xa ( Binomial ; dengan p = ½ )

Penentuan Tanda :

1.1.1. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK UJI 1 ARAH :

Data sampel kuantitatif diubah menjadi

atribut / tanda : + dan -

Jika data ( Xi ) < m0 tanda ‘ – ‘

Jika data ( Xi ) > m0 tanda ‘ + ‘

Jika data ( Xi ) = m0 data tersebut

dibuang

Hitung jumlah tanda +,

dilambangkan sebagai nilai X

10

LT S

arv

ia/2

012

a. Jika : X > Xa Terima H0

X ≤ Xa Tolak H0

b. Jika: X < Xa Terima H0

X ≥ Xa Tolak H0

Xa

X X

Xa

X X

Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

Bandingkan nilai X dengan Xa :

UJI TANDA 1 SAMPEL ( ONE SAMPLE SIGN TEST ) : (2)

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK UJI 1 ARAH :

11 LT Sarvia/2012

Struktur Hipotesis :

H0 : m = m0

H1 : m ≠ m0

Tentukan nilai α wilayah kritis

X1 a / 2 dan X2 a / 2 ( Binomial ; dengan p = ½ )

Penentuan Tanda :

1.1.2. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK UJI 2 ARAH :

Hitung jumlah tanda +,

dilambangkan sebagai nilai X

Data sampel kuantitatif diubah menjadi

atribut / tanda : + dan -

Jika data ( Xi ) < m0 tanda ‘ – ‘

Jika data ( Xi ) > m0 tanda ‘ + ‘

Jika data ( Xi ) = m0 data tersebut

dibuang

12

LT S

arv

ia/2

012

Page 3: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

3

Jika : X1 a / 2 < X < X2 a / 2 Terima H0

X ≤ X1 a / 2 dan X ≥ X2 a / 2 Tolak H0

Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

Bandingkan nilai X dengan Xa :

1.1.2. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK UJI 2 ARAH : (2)

X2 a / 2

X X

X1 a / 2

X

13 LT Sarvia/2012

1.1. UJI TANDA 1 SAMPEL ( ONE SAMPLE SIGN TEST ) :

Jika : n>10 , maka digunakan pendekatan

Normal, sehingga :

Ingat Binomial Normal (Diskrit Kontinu) :

( a – 0,5 ) X ( b + 0,5 )

Untuk : X ≤ m

Untuk : X ≥ m

q p n σ

p n μ

npq

np - ) 0,5 x ( Z

npq

np - ) 0,5 X ( Z

npq

np - ) 0,5 X ( Z

14

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL (SIGN TEST) :

1. Data berikut menunjukkan lamanya waktu konsumen di salon

yang menunggu untuk dilayani sbb :

Ujilah pernyataan pemilik salon bahwa rata-rata konsumennya

dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, jika

besarnya selisih data tidak diperhatikan dengan taraf

keberartian 0,025.

15

12 10 16 9 12 18

14 12 14 13 11 13

11 9 15 11 13 14

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB NO 1 Struktur Hipotesis :

H0 : m = 12

H1 : m ≤ 12

Taraf nyata : a = 0,025

Statistik Uji:Uji Tanda 1 Sampel ( Sign Test )

n = 15 p = ½

X = 9 ( hitung tanda + )

16

12 10 16 9 12 18

x - + - x +

14 12 14 13 11 13

+ x + + - +

11 9 15 11 13 14

- - + - + +

LT S

arv

ia/2

012

Wilayah Kritis :

X1 a B ( x ; n ; p ) < 0,025

B ( x ; 15 ; 0,5 ) < 0,025

B ( 3 ; 15 ; 0,5 ) < 0,025

0,0176 < 0,025

X1 = 3

Keputusan : Terima H0

Kesimpulan :

pernyataan pemilik salon benar

bahwa rata-rata konsumennya

dapat terlayani setelah

menunggu lebih dari 12 menit,

pada taraf nyata 0,025.

17

3

X = 9

LT Sarvia/2012

CONTOH SOAL (SIGN TEST) :

2. Data berikut ini adalah berapa lama, dalam jam, sebuah alat

listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi

tenaga listrik kembali :

Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa mesin ini

bekerja dengan median 1,8 jam sebelum baterainya perlu diisi

kembali, dgn tdk memperhatikan besarnya data.

18

1.5 2.2 0.9 1.3 2.0 1.6

1.8 1.5 2.0 1.2 1.7

LT S

arv

ia/2

012

Page 4: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

4

Struktur Hipotesis :

H0 : m = 1,8

H1 : m ≠ 1,8

Taraf nyata : a = 0,05 a/2 = 0,025

Statistik Uji:Uji Tanda 1 Sampel ( Sign Test )

Tanda:1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7

- + - - + - - + - -

n = 10 p = ½

X = 3 ( tanda + )

19

LT S

arv

ia/2

012

Wilayah Kritis :

X1 a / 2 B ( x ; n ; p ) ≤ 0,025

B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

B ( 1 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

0,0107 ≤ 0,025

A = 1

X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

1 - B ( 8 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

1 - 0,9893 ≤ 0,025

0,0107 ≤ 0,025

B = 9

Keputusan : Terima H0

Kesimpulan :

bahwa median waktu bekerja alat

pencukur tidak berbeda secara signifikan

dari 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali, pada taraf nyata 0,05.

B = 9

X = 3

A = 1

20 LT Sarvia/2012

X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

1 - B ( 9 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

1 – 0.999 ≤ 0,025

0,001 ≤ 0,025

B = 10

X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

1 - B ( 7 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

1 - 0,9453 ≤ 0,025

0,0547≤ 0,025(Salah)

B = 8

X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

1 - B ( 8 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025

1 - 0,9893 ≤ 0,025

0,0107 ≤ 0,025

B = 9

21 LT Sarvia/2012

1.2 UJI TANDA 2 SAMPEL ( TWO SAMPLE SIGN TEST ) : 1.2.1. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUK UJI 1 ARAH :

Digunakan untuk menguji 2 data sampel berpasangan atau 2 data

sampel independent yang dapat dipasang-pasangkan satu dengan

lainnya.

Struktur Hipotesis :

a. H0 : m1 m2 = 0 atau : m1 m2 atau : mD = 0

H1 : m1 m2 < 0 atau : m1 < m2 atau : mD < 0

b. H0: m1 m2 = 0 atau : m1 m2 atau : mD = 0

H1: m1 m2 > 0 atau : m1 > m2 atau : mD > 0

22

LT S

arv

ia/2

012

Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan -

Jika data sampel 1 < sampel 2 tanda ‘ – ‘

Jika data sampel 1 > sampel 2 tanda ‘ + ‘

Jika data sampel 1 = sampel 2 ke-2 data dibuang

Penentuan Tanda :

Tentukan nilai a wilayah kritis Xa ( Binomial ; dengan p = ½ )

Hitung jumlah tanda +, dilambangkan sebagai nilai X

1.2 UJI TANDA 2 SAMPEL ( TWO SAMPLE SIGN TEST ) : 1.2.1. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUK UJI 1 ARAH :

23

LT S

arv

ia/2

012

Bandingkan nilai X dengan Xa :

a. Jika : X > Xa Terima H0

X ≤ Xa Tolak H0

Xa

X X

b. Jika : X < Xa Terima H0

X ≥ Xa Tolak H0

Xa

X X

Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis 24

LT S

arv

ia/2

012

Page 5: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

5

Struktur Hipotesis : H0 : m1 m2 = 0 atau : m1 m2 atau : mD = 0

H1 : m1 m2 ≠ 0 atau : m1 m2 atau : mD ≠ 0

Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan -

Jika data sampel 1 < sampel 2 tanda ‘ – ‘

Jika data sampel 1 > sampel 2 tanda ‘ + ‘

Jika data sampel 1 = sampel 2 ke-2 data dibuang

Penentuan Tanda :

Tentukan nilai α wilayah kritis X1 a / 2 dan X2 a / 2 (Binomial ; dengan p = ½)

Hitung jumlah tanda +, dilambangkan sebagai nilai X

1.2 UJI TANDA 2 SAMPEL ( TWO SAMPLE SIGN TEST ) : 1.2.2. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUK UJI 2 ARAH :

25

LT S

arv

ia/2

012

Bandingkan nilai X dengan Xa :

Jika : X1 a / 2 < X < X2 a / 2 Terima H0

X ≤ X1 a / 2 dan X ≥ X2 a / 2 Tolak H0

Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

X2 a / 2

X X

X1 a / 2

X

26

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL : 3. Dua tempat kursus dance akan dibandingkan hasilnya. Berikut

ini adalah data hasil pencatatan dari kedua tempat kursus yang

menyatakan bahwa lamanya latihan para dancer (dalam jam)

sebelum acara hari H dilaksanakan :

Dapatkah disimpulkan pada taraf keberartian 0,05 bahwa klub B

lebih singkat latihannya daripada klub A? Apabila besarnya selisih

data tidak diperhatikan. 27

Data Ke Klub A Klub B Data Ke Klub A Klub B

1 7,4 6,9 9 4,2 4,1

2 4,9 4,9 10 4,7 4,9

3 6,1 6,0 11 6,6 6,2

4 5,2 4,9 12 7,0 6,9

5 5,7 5,3 13 6,7 6,8

6 6,9 6,5 14 4,5 4,4

7 6,8 7,1 15 5,7 5,7

8 4,9 4,8 16 6,0 5,8

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB NO 3 Struktur Hipotesis :

H0 : mA mB = 0

H1 : mA mB > 0 (klub B lebih singkat latihannya daripada klub A)

Taraf nyata : a = 0,05 Za = 1,645

Statistik Uji:Uji Tanda 2 Sampel ( Sign Test )

Tanda:

n = 14 (setelah data dibuang)

p = ½

X = 11 ( tanda + )

28

Data Ke Klub A Klub B Selisih Data Ke Klub A Klub B Selisih

1 7,4 6,9 + 9 4,2 4,1 +

2 4,9 4,9 x 10 4,7 4,9 -

3 6,1 6,0 + 11 6,6 6,2 +

4 5,2 4,9 + 12 7,0 6,9 +

5 5,7 5,3 + 13 6,7 6,8 -

6 6,9 6,5 + 14 4,5 4,4 +

7 6,8 7,1 - 15 5,7 5,7 x

8 4,9 4,8 + 16 6,0 5,8 +

LT S

arv

ia/2

012

Dengan menggunakan hampiran Normal terhadap sebaran

Binomial :

1,87 0,5 * 0,5 * 14 q p n σ

7 0,5 * 14 p n μ

1,87 87,1

7 - 5,10

npq

np -x Z

1,645

1,87 •Keputusan : Tolak H0

•Kesimpulan : bahwa klub B lebih singkat latihannya daripada klub A pada taraf nyata 0,05.

Wilayah Kritis :

29

LT S

arv

ia/2

012

1. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010

adalah sama dgn 80

H0 : m = 80

H1 : m 80

2. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010

adalah tidak lebih dari 80

H0 : m = 80

H1 : m ≤ 80

3. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010

PALING BESAR ADALAH 80

H0 : m = 80

H1 : m ≤ 80

30

LT S

arv

ia/2

012

Page 6: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

6

4. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010

adalah MINIMAL 80 H1

H0 : m = 80

H1 : m ≥ 80

5. disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah

PALING TIDAK LEBIH KECIL DARI 80 H1

H0 : m = 80

H1 : m < 80

31

LT S

arv

ia/2

012

2. UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON

( WILCOXON SIGN RANK TEST )

Digunakan untuk menguji nilai tengah populasi (1 sampel

atau 2 sampel), dgn memperhatikan besaran data maupun arah perbedaannya.

Merupakan perbaikan dari Uji Tanda, karena

memanfaatkan besaran data dan arah perbedaan.

Digunakan untuk menguji hipotesis rata-rata 1 populasi dan 2 populasi berpasangan.

Ekivalen dengan Uji T berpasangan dalam Statistik Uji

Parametrik.

32

LT S

arv

ia/2

012

Struktur Hipotesis :

a.H0 : m m0 b. H0 : m m0 c. H0: m m0

H1 : m < m0 H1 : m > m0 H1: m ≠ m0

2.1. WILCOXON SIGN RANK TEST 1 Sampel ( One Sample Signed

Rank Test ) :

Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel :

• Tentukan nilai α wilayah kritis dalam tabel Uji Peringkat Bertanda

Wilcoxon

• Hitung nilai di di = Xi – m0 ; jika : Xi = m0 data tersebut dibuang

• Nilai di dimutlakkan di

• Buat ranking di dari terkecil s/d terbesar, jika ada yg sama dibuat

rangking rata-rata

• Buat tanda : ‘ + ’ untuk di + dan ‘ – ‘ untuk di – 33

LT S

arv

ia/2

012

• Hitung :

Dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pd Struktur Hipotesis dan

Statistik uji :

Wilayah Kritis : W* Wa Tabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon

Dimana : W* merupakan nilai Statistik Uji W yang digunakan ( W+, W- atau W )

Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

2.1. WILCOXON SIGN RANK TEST 1 Sampel ( One Sample Signed

Rank Test ) :

Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel (2) :

H0 H1 Statistik Uji

m = m0

m < m0 W +

m > m0 W -

m ≠ m0 W = min ( W + ; W - )

34

W + jumlah rangking di +

W - jumlah rangking di –

W = min ( W + ; W - )

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL (WILCOXON SIGN RANK TEST ) :

4. Data berikut menunjukkan lamanya waktu konsumen di salon

yang menunggu untuk dilayani sbb :

Ujilah pernyataan pemilik salon bahwa rata-rata konsumennya

dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, jika

besarnya selisih data diperhatikan dengan taraf

keberartian 0,025.

35

12 10 16 9 12 18

14 12 14 13 11 13

11 9 15 11 13 14

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB NO 4 Struktur Hipotesis :

H0 : m = 12

H1 : m ≤ 12

Taraf nyata : a = 0,025

Statistik Uji: Uji peringkat bertanda wilcoxon ( wilcoxon sign rank test )

n = 15

36

xi 12 10 16 9 12 18 14 12 14 13 11 13 11 9 15 11 13 14

di -2 4 -3 6 2 2 1 -1 1 -1 -1 3 -1 1 2

ІdiІ 2 4 3 6 2 2 1 1 1 1 1 3 1 1 2

Rank 9,5 14 12,5 15 9,5 9,5 4 4 4 4 4 12,5 4 4 9,5

Tanda

- + - + + + + - + - - + - + +

47

28

7

7654321

x

5,94

38

4

111098

x

LT S

arv

ia/2

012

Page 7: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

7

Karena H1 : m < 12 maka Statistik Uji : W yang dihitung W + = 14+15+9,5+9,5+4+4+12,5+4+9,5 = 82

37

Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon

a = 0,025

n = 15

Wa = 25

Wa 25

82

Karena : W > Wa ( 82 > 25 )

• Keputusan : Terima H0 • Kesimpulan : pernyataan pemilik salon benar bahwa rata-

rata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12

menit, pada taraf nyata 0,025.

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL (WILCOXON SIGN RANK TEST ) :

5. Data berikut ini adalah berapa lama, dalam jam, sebuah alat

listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi

tenaga listrik kembali :

Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa mesin ini

bekerja dengan median 1,8 jam sebelum baterainya perlu diisi

kembali, dengan memperhatikan besarnya data.

38

1.5 2.2 0.9 1.3 2.0 1.6

1.8 1.5 2.0 1.2 1.7

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB NO 5 :

Struktur Hipotesis :

H0 : m = 1,8

H1 : m ≠ 1,8

Taraf nyata :a = 0,05 a/2 = 0,025 ( 2 arah )

Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel

39

LT S

arv

ia/2

012

Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel :

Xi : 1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7

di : - 0,3 + 0,4 - 0,9 - 0,5 + 0,2 - 0,2 0 - 0,3 + 0,2 - 0,6 - 0,1

di

mutlak : 0,3 0,4 0,9 0,5 0,2 0,2 0 0,3 0,2 0,6 0,1

Rank : 5,5 7 10 8 3 3 5,5 3 9 1

Tanda : - + - - + - - + - -

Karena H1 : m ≠ 1,8 maka Statistik Uji : W yang dihitung W + = 7 + 3 + 3 = 13

W - = 5,5 + 10 + 8 + 3 + 5,5 + 9 + 1 = 42

W = min ( W + ; W - ) = ( 13 ; 42 ) = 13

40

LT S

arv

ia/2

012

Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda

Wilcoxon

a = 0,05 ( 2 arah )

n = 10

Wa = 8

Wa 8

13

Karena : W > Wa ( 13 > 8 )

•Keputusan : Terima H0 •Kesimpulan : bahwa alat pencukur ini secara rata-rata

dapat dikerjakan 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali,

pada taraf nyata 0,05.

41

LT S

arv

ia/2

012

Catatan :

Jika n > 15 , maka digunakan pendekatan

distribusi Normal :

4

) 1 n (n μW*

W*

W*

σ

μ - *W Z

24

) 1 2n ( ) 1 n (n σW*

42

LT S

arv

ia/2

012

Page 8: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

8

2.2. WILCOXON SIGN RANK TEST 2 Sampel ( Two Sample Signed

Rank Test ) :

Digunakan untuk

menguji rata-rata 2 data

sampel berpasangan

( n1 = n2 ).

43

LT S

arv

ia/2

012

Struktur Hipotesis :

a. H0 : m1 m2 = d0

H1 : m1 m2 < d0

b. H0 : m1 m2 = d0

H1 : m1 m2 > d0

c. H0 : m1 m2 = d0

H1 : m1 m2 ≠ d0

Tentukan nilai a wilayah kritis dalam tabel Uji

Peringkat Bertanda Wilcoxon

Hitung nilai di di = X1 – X2 ; jika : X1 = X2

data tersebut dibuang ( di = 0 )

Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel :

2.2. WILCOXON SIGN RANK TEST 2 Sampel ( Two Sample Signed

Rank Test ) :

44

LT S

arv

ia/2

012

Selisihkan nilai di dengan d0 , dimana : d0 = m1 – m2

Nilai di – d0 dimutlakkan di – d0

Buat ranking di – d0 dari terkecil s/d terbesar, jika

ada yg sama dibuat rangking rata-rata

Buat tanda : ‘ + ’ untuk di – d0 + ; ‘ – ‘ untuk di –

d0 –

45

LT S

arv

ia/2

012

Hitung :

W + jumlah rangking di – d0 +

W - jumlah rangking di – d0 –

W = min ( W + ; W - )

Dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pd tabel Struktur Hipotesis

dan Statistik uji :

H0 H1 Statistik Uji

m1 - m2 = d0

m1 - m2 < d0 W +

m1 - m2 > d0 W -

m1 - m2 ≠ d0 W = min ( W + ; W - )

• Wilayah Kritis : W* WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon Dimana : W* merupakan nilai Statistik Uji W yang digunakan ( W+, W- atau W )

• Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

46

LT S

arv

ia/2

012

Contoh Soal (Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel) :

6. Texas Fried Chicken telah mengembangkan sebuah resep baru untuk adonan tepung ayamnya dan dept pemasaran hanya ingin melihat apakah resep baru

tersebut lebih enak daripada resep sebelumnya. Sepuluh konsumen dipilih secara acak guna menguji rasa. Setiap konsumen mencicipi dulu sepotong daging ayam yang disajikan dengan resep lama dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai

10 (1=buruk, 10=sangat baik). Kemudian konsumen tersebut mencicipi sepotong daging ayam yang digoreng dengan resep baru dan memberikan nilai rasa mulai

dari 1 sampai 10. Manajemen perusahaan tersebut ingin mengambil keputusan mengenai adonan resep baru yang tidak hanya didasarkan pada berapa banyak

orang menganggap bahwa resep baru tersebut memperbaiki rasa tetapi juga pada

besarnya perbaikan rasa dari resep baru. Ujilah hipotesis bahwa jumlah

konsumen yang menilai resep baru sama dengan dari resep lama. Berikut ini adalah data survei : (taraf nyata 0,05)

47

Konsumen Resep Lama Resep Baru

Felix 3 9

David 5 5

Devi 3 6

Shella 1 3

Rika 5 10

Ridani 8 4

Kristian 2 2

Susi 8 5

Novi 4 6

Anton 6 7

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB :

Struktur Hipotesis :

H0 : mlama mbaru = 0

H1 : mlama mbaru ≠ 0

Taraf nyata :a = 0,05 ( 2 arah )

Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel

48

Konsumen Resep

Lama

Resep

Baru

di di-d0 Іdi-doІ Rank Tanda W+ W-

Felix 3 9 -6 -6 6 8 - 8

David 5 5

Devi 3 6 -3 -3 3 4,5 - 4,5

Shella 1 3 -2 -2 2 2,5 - 2,5

Rika 5 10 -5 -5 5 7 - 7

Ridani 8 4 4 4 4 6 + 6

Kristian 2 2

Susi 8 5 3 3 3 4,5 + 4,5

Novi 4 6 -2 -2 2 2,5 - 2,5

Anton 6 7 -1 -1 1 1 - 1 36 10,5 25,5

LT S

arv

ia/2

012

Page 9: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

9

49

Karena H1 : mlama mbaru ≠ 0, maka Statistik Uji : W = min ( W + ; W - )

W = min ( W + ; W - ) = min (25,5 ; 10,5) = 10,5

Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon

a = 0,05 ( 2 arah )

n = 8

Wa = 4

Karena : W > Wa ( 10,5 > 4) •Keputusan : Terima H0

•Kesimpulan : adonan resep baru sama baiknya dengan adonan resep

yang lama pada taraf nyata 0,05

Wa 4

10,5

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL :

7. Ada yang mengatakan bahwa mahasiswa senior dapat

meningkatkan skor TOEFL sekurang-kurangnya 50 angka bila

ia sebelumnya diberikan contoh-contoh soalnya lebih dulu.

Untuk menguji pendapat itu, 20 mahasiswa senior dibagi

menjadi 10 pasang sedemikian shg setiap pasang mempunyai

nilai mutu rata-rata yg hampir sama selama 3 tahun pertama

kuliah. Soal-soal contoh dan jawabnya diberikan secara acak

kepada salah seorang dari setiap pasang seminggu sebelum

ujian. Ternyata skor TOEFL mereka adalah sbb :

Pasangan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dengan Contoh Soal 531 621 663 579 451 660 591 719 543 575

Tanpa Contoh Soal 509 540 688 502 424 683 568 748 530 524

Ujilah hipotesis nol pada taraf nyata 0,05 bahwa pemberian contoh soal

dapat meningkatkan skor sebesar 50 angka.

50

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB : Struktur Hipotesis :

H0 : m1 m2 = 50

H1 : m1 m2 < 50

Taraf nyata :a = 0,05( 1 arah )

Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel

51

di d0 di – d0 Rank Tanda W+

22

50

-28 5 -

81 31 6 + 6

-25 -75 9 -

77 27 3,5 + 3,5

27 -23 2 -

-23 -73 8 -

23 -27 3,5 -

-29 -79 10 -

13 -37 7 -

51 1 1 + 1

10,5

Karena H1 : m1 m2 < 50 maka Statistik Uji : W + yang dihitung W + = 10,5

LT S

arv

ia/2

012

Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon

a = 0,05 ( 1 arah )

n = 10

Wa = 11

Karena : W ≤ Wa ( 10,5 ≤ 11) • Keputusan : Tolak H0

• Kesimpulan :bahwa pemberian contoh soal sebelum ujian tidak dapat meningkatkan skor sebesar 50 angka, pada taraf nyata 0,05.

Wa 11

10,5

52

LT S

arv

ia/2

012

3. UJI JUMLAH PERINGKAT WILCOXON

(WILCOXON RANK SUM TEST )

Disebut juga sebagai Mann – Whitney U Test

Digunakan untuk menguji nilai tengah 2 populasi, dgn

memperhatikan besaran data maupun arah perbedaannya.

Digunakan untuk menguji hipotesis rata-rata 2 POPULASI

INDEPENDENT.

Jumlah sampel 1 ≤ sampel 2

Ekivalen dengan Uji T 2 Populasi ( s12 = s2

2 ) dalam Statistik

Uji Parametrik.

53

LT S

arv

ia/2

012

Prosedur perhitungan Wilcoxon

Rank Sum Test :

Penentuan nomor urutan sampel, dimana : n 1

n 2

Struktur Hipotesis :

a. H0 : m1 = m2

H1 : m1 < m2

b. H0 : m1 = m2

H1 : m1 > m2

c. H0 : m1 = m2

H1 : m1 ≠ m2

54

LT S

arv

ia/2

012

Page 10: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

10

Tentukan nilai a wilayah kritis dalam tabel Uji

Jumlah Peringkat Wilcoxon

Gabungkan kedua data sampel dan diurutkan dari terkecil sampai

terbesar

Beri ranking untuk tiap data dari terkecil s/d terbesar, jika terdapat

2 atau lebih data yang sama maka diberikan ranking rata-rata

Hitung W1 dan W2, dimana :

W1 = jumlah ranking data sampel 1

W2 = jumlah ranking data sampel 2

55

LT S

arv

ia/2

012

Cari nilai U – nya dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pada tabel

Struktur Hipotesis dan Statistik uji :

H0 H1 Statistik Uji

m1 = m2

m1 < m2 U1

m1 > m2 U2

m1 ≠ m2 U = min ( U1 ; U2 )

Dimana :

2

) 1 n ( n W U 11

11

2

) 1 n ( n W U 22

22

56

LT S

arv

ia/2

012

Wilayah Kritis : U* Ua

Tabel Uji Jumlah Peringkat

Bertanda Wilcoxon

Dimana : U* merupakan

nilai Statistik Uji U

yang digunakan ( U1 ;

U2 ; atau U )

Keputusan dan

Kesimpulan Hipotesis

Catatan :

Jika : n1 10 dan n2 >

20 , maka digunakan

pendekatan Normal, sehingga :

2

n . n μ 21

*U

12

) 1 n n ( . n . n σ 2121

*U

*U

*U

σ

μ - *U Z

57

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL (WILCOXON RANK SUM TEST )

8. IPK untuk Angkatan 2008 untuk kedua kelas ditunjukkan

sebagai berikut :

Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa rata-rata IPK

kedua kelas itu tidak sama.

58

Kelas A Kelas B

2,1 4

3,3 0,6

3,5 3,1

1,1 2,5

0,9 4

3,7 3,2

2,5 1,6

3,3 2,2

1,9

2,4

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB NO 8

1. Struktur Hipotesis :

H0 : mA = mB

H1 : mA ≠ mB

2. Taraf nyata a = 0,05 ( 2 arah )

3. Statistik Uji : Wilcoxon Rank Sum Test

59

Kelas A Rank A Kelas B Rank B

2,1 6 4 17,5

3,3 13,5 0,6 1

3,5 15 3,1 11

1,1 3 2,5 9,5

0,9 2 4 17,5

3,7 16 3,2 12

2,5 9,5 1,6 4

3,3 13,5 2,2 7

1,9 5

2,4 8 WA 78,5 WB 92,5

LT S

arv

ia/2

012

Karena : H1 : mA ≠ mB maka Statistik Uji yang digunakan : U = min ( UA ; UB )

5,422

)18(85,78

2

) 1 n ( n W U AA

AA

5,372

)110(105,92

2

) 1 n ( n W U BB

B

B

U = min ( UA ; UB ) = min ( 42,5 ; 37,5 ) = 37,5

60

4. Wilayah Kritis : U Ua Tabel Uji Jumlah Peringkat Wilcoxon

Ua = 17 a = 0,05( 2 arah )

n1 = 8 n2 = 10

Ua 17

37,5 5. Keputusan : Terima H0

6. Kesimpulan :bahwa rata-rata IPK

untuk kelas A dan Kelas B adalah

sama, pada taraf nyata 0,05.

LT S

arv

ia/2

012

Page 11: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

11

SOAL

1. Seorang pemeriksa makanan memeriksa 16 botol merek

x tertentu untuk menentukan persen bahan tambahan. Tercatat data berikut (dalam %):

Dengan menggunakan hampiran normal terhadap

distribusi normal, lakukan uji bahwa pada taraf

keberartian 0,05 rata-rata persen bahan tambahan dalam botol merek x adalah 2,5 %, jika besarnya selisih data

tidak diperhatikan.

61

2,4 2,3 3,1 2,2 1,7 1,1 4,2 1,9

2,3 1,2 1,0 2,4 1,7 3,6 1,6 2,3

LT S

arv

ia/2

012

SOAL

2. Soal teori no 6, Texas Fried Chicken, Jika pada tahap

pengembangan produk baru ini, pihak pemasaran tersebut tidak tertarik pada tingkat rasa atau

kenikmatan. Informasi apa yang akan kita peroleh dari

data penelitian pasar tersebut?

62

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL :

3. Texas Fried Chicken telah mengembangkan sebuah resep baru untuk adonan tepung ayamnya dan dept pemasaran hanya ingin melihat apakah resep baru

tersebut lebih enak daripada resep sebelumnya. Sepuluh konsumen dipilih secara acak guna menguji rasa. Setiap konsumen mencicipi dulu sepotong daging ayam yang disajikan dengan resep lama dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai

10 (1=buruk, 10=sangat baik). Kemudian konsumen tersebut mencicipi sepotong daging ayam yang digoreng dengan resep baru dan memberikan nilai rasa mulai

dari 1 sampai 10. Manajemen perusahaan tersebut ingin mengambil keputusan mengenai adonan resep baru yang tidak hanya didasarkan pada berapa banyak

orang menganggap bahwa resep baru tersebut memperbaiki rasa tetapi juga pada

besarnya perbaikan rasa dari resep baru. Ujilah hipotesis bahwa jumlah

konsumen yang menilai resep baru lebih baik dari resep lama. Berikut ini adalah data survei : (taraf nyata 0,05)

63

Konsumen Resep Lama Resep Baru

Felix 3 9

David 5 5

Devi 3 6

Shella 1 3

Rika 5 10

Ridani 8 4

Kristian 2 2

Susi 8 5

Novi 4 6

Anton 6 7

LT S

arv

ia/2

012

64

Thank You

LT S

arv

ia/2

012

SOAL-SOAL RESPONSI 4. Dikemukan bahwa diet baru akan menurunkan berat badan orang 4,5 kg pada rata-

ratanya dalam 2 minggu. Berat 10 wanita yang menggunakan diet tersebut dicatat

sebelum dan setelah 2 minggu dan menghasilkan data sbb:

Ujilah hipotesis bahwa diet ini menurunkan berat badan rata-rata sebanyak 4,5 kg apabila besarnya data tidak diperhatikan jika α =0,05.

65

Wanita Berat sebelum Berat Setelah

1 58,5 60,0

2 60,3 54,9

3 61,2 58,1

4 69 62,1

5 64 58,5

6 62,6 59,9

7 56,7 54,4

8 63,6 60,2

9 68,2 62,3

10 59,4 58,7

LT S

arv

ia/2

012

SOAL-SOAL RESPONSI 5. Idem soal 3 jika besarnya data diperhatikan.

6. Direktur pemasaran National Shampoo Company ingin mengetahui apakah dengan

memekatkan warna shampo hijaunya, para pelanggan akan merasa lebih efektif. Pada saat ini, direktur tersebut hanya ingin menentukan cocok tidaknya ide itu dikembangkan lebih

jauh dan ingin mengetahui tingkat perbaikan dalam persepsi terhadap keefektifan produk. Data telah dikumpulkan dari 7 orang; semuanya telah memberikan penilaian terhadap shampo berwarna hijau muda dan shampo yang sekarang diberi warna hijau tua. Skala 1

sampai 10 digunakan dimana angka 1 berarti “sangat tidak efektif dan 10 berarti “paling efektif”. Data tesebut dipelihatkan dibawah ini :

Ujilah Hipotesis dengan taraf nyata 0,05. 66

Konsumen Penilaian atas keefektifan

shampo Hijau

Muda

Penilaian atas keefektifan

shampo Hijau Tua

Winda 4 2

Dessy 6 6

Evelyn 7 4

Ivan 5 6

Benny 9 8

Erliana 1 3

Ridani 3 8

LT S

arv

ia/2

012

Page 12: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

12

6. Berikut ini disajikan data mengenai hasil pengujian kekuatan

kabel yang terbuat dari 2 logam yang berbeda :

Ujilah apakah terdapat perbedaan rata-rata ke-2 jenis logam tsb.

pada taraf nyata 5 %.

Logam I 18,3 16,4 22,7 17,8 18,9 25,3 16,1 24,2

Logam II 12,6 14,1 20,5 10,7 15,9 19,6 12,9 15,2 11,8 14,7

67

LT S

arv

ia/2

012 STATISTIKA

NONPARAMETRIK (2)

Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha Bandung

4. UJI KRUSKALL WALLIS

Disebut juga sebagai Uji H Kruskall Wallis

Merupakan perkembangan dari Wilcoxon Rank

Sum Test, dimana dalam uji ini jumlah sampel yang diuji lebih dari 2.

Untuk menguji apakah k sampel independen (

dimana : k > 2 ) memiliki rata-rata yang sama.

Ekivalen dengan Uji F ( Analisis Ragam ).

69

LT S

arv

ia/2

012

Prosedur perhitungan Uji Kruskall Wallis :

1. Struktur Hipotesis :

H0: m1 = m2 = m3 = ...... = mk

H1: m1 , m2 , m3 , ...... , mk tidak semuanya sama

2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel

Chi – Square : 2 ( a,v )

3. Berikan ranking pada data dari masing-masing

populasi secara keseluruhan. Jika terdapat 2

atau lebih data yang sama maka diberikan

ranking rata-rata

4. Jumlahkan ranking dari masing-masing

populasi ri 70

LT S

arv

ia/2

012

5. Hitung Statistik Uji-nya : hitung nilai h

Dimana :

6. Wilayah Kritis : h > 2 ( a,v ) dengan

derajat kebebasan, v = k – 1

Dimana : k : jumlah populasi yang diamati

7. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

) 1 n ( 3 - n

r

) 1 n (n

12 h

k

1 i i

2i

2 ( a,v )

71

Prosedur perhitungan Uji Kruskall Wallis :

LT S

arv

ia/2

012

Contoh Soal :

9. Suatu Perusahaan ingin membeli

satu dari lima mesin yang berbeda: A,

B,C, D, atau E. Dalam suatu

perancangan percobaan untuk

menentukan apakah terdapat

perbedaan penampilan antara mesin-

mesin tersebut, lima operator yang

berpengalaman dipekerjakan pada

setiap mesin dalam jumlah waktu

yang sama. Tabel disamping ini

menunjukkan jumlah unit yang

diproduksi setiap mesin. Ujilah

hipotesis bahwa tidak terdapat

perbedaan antara mesin-mesin

tersebut pada taraf nyata a = 0,05

72

MESIN

A B C D E

68 72 60 48 64

72 53 82 61 65

77 63 64 57 70

42 53 75 64 68

53 48 72 50 53

LT S

arv

ia/2

012

Page 13: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

13

Jawab no 9 :

1. Struktur Hipotesis :

H0 : mA = mB = mC = mD = mE

H1 : mA , mB , mC, mD, mE tidak semuanya sama

2. Taraf nyata : a = 0,05

3. Statistik Uji : Uji Kruskall Wallis

73

LT S

arv

ia/2

012

Dimana :

terdapat 5 buah sampel mesin maka k = 5

Karena setiap sampel tdd 5 buah data, maka n A= n B= n C =n D=n E= 5

n = n A + n B + n C + n D + n E

n = 5 + 5 + 5 + 5 + 5= 25

74

MESIN

A Rank A

B Rank B

C Rank C

D Rank D

E Rank E

68 17,5 72 21 60 10 48 2,5 64 14

72 21 53 6,5 82 25 61 11 65 16

77 24 63 12 64 14 57 9 70 19

42 1 53 6,5 75 23 64 14 68 17,5

53 6,5 48 2,5 72 21 50 4 53 6,5

rA= 70 rB=

48,5 rC= 93 rD=

40,5 rE= 73

LT S

arv

ia/2

012

d. Wilayah Kritis : h > 2 ( a,v )Tabel Chi – Square : 2 ( a,v )

a = 0,05

v = k – 1 = 5 – 1 = 4

6,44 ) 1 25 ( * 3 - 5

73

5

40,5

5

93,5

5

48,5

5

07

) 1 25 ( 25

12 h

) 1 n ( 3 - n

r

) 1 n (n

12 h

22222

k

1 i i

2

i

2 ( a,v ) = 9,49

9,49

e. Keputusan : Terima H0

f. Kesimpulan :

kita bisa menerima bahwa tidak

terdapat perbedaan antara mesin-

mesing tersebut pada taraf nyata

0,05

75

6,44

LT S

arv

ia/2

012

5. UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST )

Untuk menguji apakah data pengamatan

memiliki sifat random ( acak )

atau melihat apakah 2 populasi

memiliki distribusi yang

sama.

Uji runtunan dapat digunakan

untuk data kualitatif dan kuantitatif.

76

LT S

arv

ia/2

012

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :

1. Struktur Hipotesis :

H0: data pengamatan bersifat random / acak

H1: data pengamatan tidak bersifat random / acak

2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji

Runtunan ( diuji 2 arah )

3. Data yang akan diolah data sudah dikonversikan

dalam bentuk ‘run’ :

untuk 1 populasi : hitung banyaknya ‘run’ ( r )

lalu bandingkan dengan ‘run’ dari tabel Uji

Runtunan ( Runs Test ).

untuk 2 populasi : masing-masing dicari ‘run’ nya.

Hitung nilai : n 1 dan n 2 dimana : n 1 n 2

77

LT S

arv

ia/2

012

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :

4. Tentukan wilayah kritisnya gunakan Tabel Uji

Runtunan, dengan a diuji 2 arah

Wilayah Kritis : r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2

5. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

78

r a 2

r r

r a 1

r

LT S

arv

ia/2

012

Page 14: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

14

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :

1. Struktur Hipotesis :

H0: data pengamatan bersifat random / acak

H1: data pengamatan tidak bersifat random / acak

2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji Runtunan ( diuji 2 arah )

3. Data yang akan diolah data sudah dikonversikan dalam bentuk ‘run’ (data kuantitatif ) :

Cari nilai median dari data nilai rata-rata tersebut bila data hanya 1 populasi

Untuk data 2 populasi, masing-masing dicari nilai median nya.

Konversikan data dalam bentuk ‘run’ , dengan cara bandingkan data pengamatan dengan nilai median nya :

Jika :

data > median diberi tanda ‘ + ‘

data < median diberi tanda ‘ – ‘

data = median data dibuang

LT S

arv

ia/2

012

PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :

4. Tentukan wilayah kritisnya gunakan Tabel Uji

Runtunan, dengan a diuji 2 arah

Wilayah Kritis : r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2

5. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

80

r a 2

r r

r a 1

r

LT S

arv

ia/2

012

Catatan :

Jika : n1 dan n2 > 10 , maka digunakan pendekatan

Normal, sehingga :

1

n n

n n 2 μ

21

21r

)1 n (n )n (n

) n- n - n2n ( n2n σ

212

21

212121r

r

r

σ

μ -r Z

81

LT S

arv

ia/2

012

CONTOH SOAL :

10. Sebuah mesin diatur untuk membagi penipis

cat akrilik ke dalam kaleng. Apakah banyaknya

penipis cat yang dibagi oleh mesin ini berubah

secara acak bila kelima belas kaleng ternyata berisi

Gunakan a = 0,1

3,6 3,9 4,1 3,6 3,8 3,7 3,4 4,0 3,8 4,1 3,9 4,0 3,8 4,2 4,1 ( ltr )

Jawab :

1. Struktur Hipotesis :

H0 : data pengamatan bersifat random / acak

H1 : data pengamatan tidak bersifat random / acak

2. Taraf nyata : a = 0,1 ( uji 2 arah ) 82

LT S

arv

ia/2

012

3. Statistik Uji : Uji Runtunan ( Runs Test ) Median = 3,9

1 2 3 4 5 6 7 8

n 1 = 6 ( tanda ‘+‘ )

n 2 = 7 ( tanda ‘– ‘ )

Jumlah runtunan = r = 8

Tabel Uji Runtunan ( n 1 ; n 2 ) = (6,7)

83

X i : 3,6 3,9 4,1 3,6 3,8 3,7 3,4 4,0 3,8 4,1 3,9 4,0 3,8 4,2 4,1

Tanda : – + – – – – + – + + – + +

digabung

data > median diberi tanda ‘ + ‘

data < median diberi tanda ‘ – ‘ data = median data dibuang J

ika

LT S

arv

ia/2

012

4. Wilayah Kritis: r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2

r a 1

P ( r ≤ r a 1 ) ≤ 0,05

P ( r ≤ 4 ) ≤ 0,05

0,043 ≤ 0,05

r a 1 = 4

r a 2

1 - P ( r ≥ r a 2 ) ≤ 0,05

1 - P ( r ≤ 10 ) ≤ 0,05

1 - 0,9660 ≤ 0,05

0,0340 ≤ 0,05

r a 2 = 10 + 1 = 11

r a 2 = 11

r = 8

r a 1 = 4

Keputusan : Terima H0

Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang

dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf

nyata 0,1.

84

Tabel Uji Runtunan ( n 1 ; n 2 ) = (6,7)

LT S

arv

ia/2

012

Page 15: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

15

CONTOH SOAL :

11. Pada pelemparan keping uang sebanyak 30

kali, didapatkan barisan angka (H) dan gambar

(T) dalam urutan sbb :

a. Tentukan jumlah runtun

b. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah barisan

ini terbentuk secara acak.

85

H T T H T H H H T H H T T H T

H T H H T H T T H T H H T H T

LT S

arv

ia/2

012

JAWAB NO 11 : 1. Struktur Hipotesis :

H0 : data pengamatan bersifat random / acak

H1 : data pengamatan tidak bersifat random / acak

2. Taraf nyata : a = 0,05 ( uji 2 arah )

3. Statistik Uji : Uji Runtunan ( Runs Test )

n 1 = 16 ( Jumlah H)

n 2 = 14 ( Jumlah T)

a. r = jumlah runtunan = 22

86

H T T H T H H H T H H T T H T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

H T H H T H T T H T H H T H T

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

LT S

arv

ia/2

012

Karena n1 dan n2 > 10 , maka digunakan

pendekatan Normal, sehingga :

87

93,1511416

14162 μ

1 n n

n n 2 μ

r

21

21r

679,2

114161416

]1416)14162[(14162 σ

)1 n (n )n (n

) n- n - n2n ( n2n σ

2r

21

2

21

212121r

27,22,679

15,93 - 22 Z

σ

μ -r Z

Jadi

r

r

LT S

arv

ia/2

012

4. Wilayah Kritis:

a = 0,05 ( uji 2 arah 0,025 )

5. Keputusan : Tolak H0

Kesimpulan : bahwa pelemparan tersebut tidak dilakukan

secara acak pada taraf nyata 0,05.

88

0,025 0,025

1,96

96,1z

-1,96

2,27

LT S

arv

ia/2

012

12. Idem soal 10, gunakan α=0,05

89

LT S

arv

ia/2

012

Jawab no 12

4. Wilayah Kritis: r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2

r a 1

P ( r ≤ r a 1 ) ≤ 0,025

P ( r ≤ 3 ) ≤ 0,025

0,008 ≤0,025

r a 1 = 3

r a 2

1 - P ( r ≥ r a 2 ) ≤ 0,025

1 - P ( r ≤ 11 ) ≤ 0,025

1 - 0,992 ≤ 0,025

0,008 ≤ 0,025

r a 2 = 11 + 1 = 12

r a 2 = 12

r = 8

r a 1 = 3

Keputusan : Terima H0

Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang

dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf

nyata 0,05.

90

Tabel Uji Runtunan ( n 1 ; n 2 ) = (6,7)

LT S

arv

ia/2

012

Page 16: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

16

CARA LAIN MENCARI BATAS WILAYAH KRITIS

4. Wilayah Kritis: baca Tabel r distribution for the run test of randomness for a =0,05 Leland Blank hal 636 (Lampiran B-8)

n 1 = 6 ( tanda ‘+‘ )

n 2 = 7 ( tanda ‘– ‘ )

91

r a 1 = 3

r a 2 = 12

r a 2 = 12

r = 8

r a 1 = 3

Only a =0,05

Keputusan : Terima H0

Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang

dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf

nyata 0,05.

LT S

arv

ia/2

012

92

Tabel r distribution for the run test of randomness for α=0,05 Leland Blank hal

636 (Lampiran B-8)

LT S

arv

ia/2

012

SOAL RESPONSI

9. Instruktur Reza dan Shella, keduanya mengajar pada tingkat I

di Universitas NST. Dalam suatu ujian akhir, mahasiswa

mereka memperoleh nilai sebagaimana yang terdapat pada

tabel dibawah ini. Ujilah pada taraf nyata 0,05 suatu hipotesis

bahwa tidak terdapat perbedaan antara penilaian kedua

instruktur tersebut.

93

Reza 88 75 92 71 63 84 55 64 82 96

Shella 72 65 84 53 76 80 51 60 57 85 94 87 73 61

LT S

arv

ia/2

012

SOAL RESPONSI

10. 15 orang mengikuti program penurunan berat badan dalam 3

macam Diet (Diet Daging, Diet Karbohidrat, n Diet Garam).

Data yang diperoleh secara acak dibawah ini adalah penurunan

berat badan (dalam kg) sbb :

Ujilah hipotesis bahwa tidak ada perbedaan diantara 3 macam diet tersebut pada α =0,05 94

Diet Daging Diet

Karbohidrat

Diet Garam

6,2 14,4 12,5

8,4 15,7 12,1

7,8 13,2 12,7

9,5 18,6 16,9

10 10,3 11,8

LT S

arv

ia/2

012

SOAL RESPONSI

11. Suatu proses pelapisan perak digunakan untuk melapisi

sejenis baki. Bila proses itu terkendali, maka tebal lapisan perak pada baki akan berubah secara acak

mengikuti distribusi normal dengan rataan 0,02 mm dan

simpangan baku 0,005 mm. Misalkan ke-12 baki yang kemudian diperiksa menunjukkan tebal perak sbb :

Ujilah hipotesis untuk menentukan apakah perubahan

ketebalan dari satu baki ke baki lainny adalah acak

dengan menggunakan taraf nyata 0,05)

95

0,019 0,021 0,02 0,019 0,02 0,018 0,023 0,021 0,024 0,022 0,023 0,022

LT S

arv

ia/2

012

SOAL RESPONSI

13. Dapatkah kita berkesimpulan bahwa mahasiswa dengan

instruktur Reza memiliki nilai yang lebih baik dari mahasiswa intruktur Shella?

96

LT S

arv

ia/2

012

Page 17: STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK: 1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel besarnya data ? 2.

17

SOAL RESPONSI

14. Suatu perusahaan ingin melakukan pengujian terhadap

empat jenis ban yang berbeda A,B,C,dan D. Ketahanan ban tersebut ditentukan dengan melihat jejak yg

ditinggalkannya. Tabel dibawah ini memperlihatkan

hasil pengujian setiap jenis ban thd 6 buah kendaraan yg ditentukan secara acak. Apakah terdapat beda nyata

antara ke-4 jenis ban tersebut pada a = 0,05 !

97

A 33 38 36 40 31 35

B 32 40 42 38 30 34

C 31 37 35 33 34 30

D 27 33 32 29 31 28

LT S

arv

ia/2

012

98

Thank You

LT S

arv

ia/2

012

BAHAN UTS STATISTIKA INDUSTRI

99

LT S

arv

ia/2

012