STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON...
Transcript of STATISTIKA NONPARAMETRIK - industri2012.files.wordpress.com · 2 JENIS – JENIS STAT. NON...
1
STATISTIKA
NONPARAMETRIK
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri
Universitas Kristen Maranatha Bandung
STATISTIKA NONPARAMETRIK
adalah statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk
distribusi kecuali bahwa sebaran itu kontinu.dan karena itu merupakan
statistik yang bebas distribusi
Dalam statistik nonparametrik, kesimpulan dapat ditarik tanpa
memperhatikan bentuk distribusi populasi, sedangkan dalam statistika
parametrik yang telah dibahas sebelumnya , kesimpulan hanya
benar apabila asumsi-asumsi tertentu yang membatasi adalah
benar.
2
LT S
arv
ia/2
012
KAPAN METODE NONPARAMETRIK DIGUNAKAN?
1. Apabila ukuran sampel kecil sehingga distribusi statistik pengambilan
sampel tidak mendekati normal, dan apabila tidak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber
sampel.
2. Apabila digunakan data peringkat atau ordinal. (Data ordinal hanya memberikan informasi tentang apakah suatu item lebih tinggi, lebih rendah,
atau sama dengan item lainnya; data ini sama sekali menyatakan ukuran perbedaan).
3. Apabila data nominal digunakan. (Contoh : data nominal adalah seperti “laki-laki” atau “perempuan” diberikan kepada item dan tidak ada
implikasi di dalam sebutan tersebut bahwa item yang satu lebih tinggi atau lebih rendah daripada item lainnya)
3
LT S
arv
ia/2
012
SYARAT STATISTIKA NON PARAMETRIK DAPAT DIGUNAKAN APABILA :
Bentuk populasinya tidak diketahui / tidak
normal
Distribusinya kontinu
Ukuran sampel lebih kecil dari
30 4
LT S
arv
ia/2
012
STATISTIKA NON PARAMETRIK
Keuntungan dari penggunaan Statistika Non Parametrik : Perhitungannya lebih sederhana, mudah, dan cepat
Data dapat bersifat kuantitatif atau kualitatif ( atribut ) Bisa digunakan untuk bentuk distribusi populasi apa
saja asalkan kontinu
Ukuran sampel yang digunakan bisa kecil
Kelemahan dari penggunaan Statistika Non Parametrik : Efisiensi rendah, karena tidak menggunakan semua
informasi yang ada dari sampel
Tidak seteliti Uji Parametrik, jadi untuk mencapai b yg sama diperlukan sampel yg lebih besar.
Uji nonparametrik akan menggunakan ukuran sampel yang lebih banyak dibandingkan dengan uji parametrik agar mencapai kuasa yang sama. 5
LT S
arv
ia/2
012
KESIMPULAN
Bila uji parametrik dan uji nonparametrik keduanya berlaku pada himpunan data yang sama, GUNAKANLAH selalu teknik parametrik yang lebih efisien.
Akan tetapi, bila diketahui bahwa anggapan kenormalan sering tidak berlaku, dan ternyata bahwa kita sering menghadapi pengukuran yang tidak kuantitatif, maka disarankan menggunakan sejumlah cara nonparametrik yang dapat menangani berbagai keadaan percobaan yang lebih luas.
Perlu dikemukakan bahwa kendati di bawah anggapan teori kenormalan baku, keefisienan teknik nonparametrik amat dekat ke prosedur parametrik padanannya.
Sebaliknya, penyimpangan yang besar dari kenormalan akan membuat metoda nonparametrik jauh lebih efisien daripada prosedur parametrik.
6
LT S
arv
ia/2
012
2
JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK :
1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel
dan 2 sampel
2. Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon Sign Rank Test)
• uji 1 sampel dan 2 sampel berpasangan
3. Uji Jumlah Peringkat Wilcoxon ( Wilcoxon
Rank Sum Test ) uji 2 sampel independent
4. Uji Kruskall Wallis untuk uji lebih dari 2 buah populasi ( k > 2 )
5. Uji Runtunan uji keacakan data untuk data kuantitatif dan
data kualitatif
6. Uji Kolmogorov – Smirnov
7. Uji Koefisien Korelasi Peringkat Spearman,
dll. 7
LT S
arv
ia/2
012
Jumlah Sampel Memperhatikan
besarnya data ? Uji Statistik
Satu --- Sign Test
Dua, Tidak Sign Test
independent Ya Wilcoxon Rank Sum
Test
Dua, Tidak Sign Test
dependent Ya Wilcoxon Sign Rank
Test
8 LT Sarvia/2012
1. UJI TANDA ( SIGN TEST )
Merupakan uji non parametrik yang paling mudah dan cepat.
Digunakan untuk menguji rata-rata 1 populasi dan 2 populasi,
dgn memperhatikan ‘tanda’nya.
Prosedur ini didasarkan pada tanda negatif atau positif dari
perbedaan antara pasangan data ordinal. Pada hakikatnya
pengujian ini hanya memperhatikan arah perbedaan dan bukan besarnya perbedaan itu.
Jika Ho : m = mo benar, peluang nilai sampel menghasilkan
tanda + / - adalah ½ ; karena itu statistik uji berdistribusi Binomial dengan p = ½.
9
LT S
arv
ia/2
012
1.1 UJI TANDA 1 SAMPEL ( ONE SAMPLE SIGN TEST ) :
Struktur Hipotesis :
a. H0 : m = m0
H1 : m < m0
b. H0 : m = m0
H1 : m > m0
Tentukan nilai α wilayah kritis
Xa ( Binomial ; dengan p = ½ )
Penentuan Tanda :
1.1.1. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK UJI 1 ARAH :
Data sampel kuantitatif diubah menjadi
atribut / tanda : + dan -
Jika data ( Xi ) < m0 tanda ‘ – ‘
Jika data ( Xi ) > m0 tanda ‘ + ‘
Jika data ( Xi ) = m0 data tersebut
dibuang
Hitung jumlah tanda +,
dilambangkan sebagai nilai X
10
LT S
arv
ia/2
012
a. Jika : X > Xa Terima H0
X ≤ Xa Tolak H0
b. Jika: X < Xa Terima H0
X ≥ Xa Tolak H0
Xa
X X
Xa
X X
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
Bandingkan nilai X dengan Xa :
UJI TANDA 1 SAMPEL ( ONE SAMPLE SIGN TEST ) : (2)
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK UJI 1 ARAH :
11 LT Sarvia/2012
Struktur Hipotesis :
H0 : m = m0
H1 : m ≠ m0
Tentukan nilai α wilayah kritis
X1 a / 2 dan X2 a / 2 ( Binomial ; dengan p = ½ )
Penentuan Tanda :
1.1.2. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK UJI 2 ARAH :
Hitung jumlah tanda +,
dilambangkan sebagai nilai X
Data sampel kuantitatif diubah menjadi
atribut / tanda : + dan -
Jika data ( Xi ) < m0 tanda ‘ – ‘
Jika data ( Xi ) > m0 tanda ‘ + ‘
Jika data ( Xi ) = m0 data tersebut
dibuang
12
LT S
arv
ia/2
012
3
Jika : X1 a / 2 < X < X2 a / 2 Terima H0
X ≤ X1 a / 2 dan X ≥ X2 a / 2 Tolak H0
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
Bandingkan nilai X dengan Xa :
1.1.2. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK UJI 2 ARAH : (2)
X2 a / 2
X X
X1 a / 2
X
13 LT Sarvia/2012
1.1. UJI TANDA 1 SAMPEL ( ONE SAMPLE SIGN TEST ) :
Jika : n>10 , maka digunakan pendekatan
Normal, sehingga :
Ingat Binomial Normal (Diskrit Kontinu) :
( a – 0,5 ) X ( b + 0,5 )
Untuk : X ≤ m
Untuk : X ≥ m
q p n σ
p n μ
npq
np - ) 0,5 x ( Z
npq
np - ) 0,5 X ( Z
npq
np - ) 0,5 X ( Z
14
LT S
arv
ia/2
012
CONTOH SOAL (SIGN TEST) :
1. Data berikut menunjukkan lamanya waktu konsumen di salon
yang menunggu untuk dilayani sbb :
Ujilah pernyataan pemilik salon bahwa rata-rata konsumennya
dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, jika
besarnya selisih data tidak diperhatikan dengan taraf
keberartian 0,025.
15
12 10 16 9 12 18
14 12 14 13 11 13
11 9 15 11 13 14
LT S
arv
ia/2
012
JAWAB NO 1 Struktur Hipotesis :
H0 : m = 12
H1 : m ≤ 12
Taraf nyata : a = 0,025
Statistik Uji:Uji Tanda 1 Sampel ( Sign Test )
n = 15 p = ½
X = 9 ( hitung tanda + )
16
12 10 16 9 12 18
x - + - x +
14 12 14 13 11 13
+ x + + - +
11 9 15 11 13 14
- - + - + +
LT S
arv
ia/2
012
Wilayah Kritis :
X1 a B ( x ; n ; p ) < 0,025
B ( x ; 15 ; 0,5 ) < 0,025
B ( 3 ; 15 ; 0,5 ) < 0,025
0,0176 < 0,025
X1 = 3
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan :
pernyataan pemilik salon benar
bahwa rata-rata konsumennya
dapat terlayani setelah
menunggu lebih dari 12 menit,
pada taraf nyata 0,025.
17
3
X = 9
LT Sarvia/2012
CONTOH SOAL (SIGN TEST) :
2. Data berikut ini adalah berapa lama, dalam jam, sebuah alat
listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi
tenaga listrik kembali :
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa mesin ini
bekerja dengan median 1,8 jam sebelum baterainya perlu diisi
kembali, dgn tdk memperhatikan besarnya data.
18
1.5 2.2 0.9 1.3 2.0 1.6
1.8 1.5 2.0 1.2 1.7
LT S
arv
ia/2
012
4
Struktur Hipotesis :
H0 : m = 1,8
H1 : m ≠ 1,8
Taraf nyata : a = 0,05 a/2 = 0,025
Statistik Uji:Uji Tanda 1 Sampel ( Sign Test )
Tanda:1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7
- + - - + - - + - -
n = 10 p = ½
X = 3 ( tanda + )
19
LT S
arv
ia/2
012
Wilayah Kritis :
X1 a / 2 B ( x ; n ; p ) ≤ 0,025
B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
B ( 1 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
0,0107 ≤ 0,025
A = 1
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - B ( 8 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - 0,9893 ≤ 0,025
0,0107 ≤ 0,025
B = 9
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan :
bahwa median waktu bekerja alat
pencukur tidak berbeda secara signifikan
dari 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali, pada taraf nyata 0,05.
B = 9
X = 3
A = 1
20 LT Sarvia/2012
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - B ( 9 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 – 0.999 ≤ 0,025
0,001 ≤ 0,025
B = 10
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - B ( 7 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - 0,9453 ≤ 0,025
0,0547≤ 0,025(Salah)
B = 8
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - B ( 8 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - 0,9893 ≤ 0,025
0,0107 ≤ 0,025
B = 9
21 LT Sarvia/2012
1.2 UJI TANDA 2 SAMPEL ( TWO SAMPLE SIGN TEST ) : 1.2.1. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUK UJI 1 ARAH :
Digunakan untuk menguji 2 data sampel berpasangan atau 2 data
sampel independent yang dapat dipasang-pasangkan satu dengan
lainnya.
Struktur Hipotesis :
a. H0 : m1 m2 = 0 atau : m1 m2 atau : mD = 0
H1 : m1 m2 < 0 atau : m1 < m2 atau : mD < 0
b. H0: m1 m2 = 0 atau : m1 m2 atau : mD = 0
H1: m1 m2 > 0 atau : m1 > m2 atau : mD > 0
22
LT S
arv
ia/2
012
Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan -
Jika data sampel 1 < sampel 2 tanda ‘ – ‘
Jika data sampel 1 > sampel 2 tanda ‘ + ‘
Jika data sampel 1 = sampel 2 ke-2 data dibuang
Penentuan Tanda :
Tentukan nilai a wilayah kritis Xa ( Binomial ; dengan p = ½ )
Hitung jumlah tanda +, dilambangkan sebagai nilai X
1.2 UJI TANDA 2 SAMPEL ( TWO SAMPLE SIGN TEST ) : 1.2.1. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUK UJI 1 ARAH :
23
LT S
arv
ia/2
012
Bandingkan nilai X dengan Xa :
a. Jika : X > Xa Terima H0
X ≤ Xa Tolak H0
Xa
X X
b. Jika : X < Xa Terima H0
X ≥ Xa Tolak H0
Xa
X X
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis 24
LT S
arv
ia/2
012
5
Struktur Hipotesis : H0 : m1 m2 = 0 atau : m1 m2 atau : mD = 0
H1 : m1 m2 ≠ 0 atau : m1 m2 atau : mD ≠ 0
Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan -
Jika data sampel 1 < sampel 2 tanda ‘ – ‘
Jika data sampel 1 > sampel 2 tanda ‘ + ‘
Jika data sampel 1 = sampel 2 ke-2 data dibuang
Penentuan Tanda :
Tentukan nilai α wilayah kritis X1 a / 2 dan X2 a / 2 (Binomial ; dengan p = ½)
Hitung jumlah tanda +, dilambangkan sebagai nilai X
1.2 UJI TANDA 2 SAMPEL ( TWO SAMPLE SIGN TEST ) : 1.2.2. PROSEDUR PERHITUNGAN UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUK UJI 2 ARAH :
25
LT S
arv
ia/2
012
Bandingkan nilai X dengan Xa :
Jika : X1 a / 2 < X < X2 a / 2 Terima H0
X ≤ X1 a / 2 dan X ≥ X2 a / 2 Tolak H0
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
X2 a / 2
X X
X1 a / 2
X
26
LT S
arv
ia/2
012
CONTOH SOAL : 3. Dua tempat kursus dance akan dibandingkan hasilnya. Berikut
ini adalah data hasil pencatatan dari kedua tempat kursus yang
menyatakan bahwa lamanya latihan para dancer (dalam jam)
sebelum acara hari H dilaksanakan :
Dapatkah disimpulkan pada taraf keberartian 0,05 bahwa klub B
lebih singkat latihannya daripada klub A? Apabila besarnya selisih
data tidak diperhatikan. 27
Data Ke Klub A Klub B Data Ke Klub A Klub B
1 7,4 6,9 9 4,2 4,1
2 4,9 4,9 10 4,7 4,9
3 6,1 6,0 11 6,6 6,2
4 5,2 4,9 12 7,0 6,9
5 5,7 5,3 13 6,7 6,8
6 6,9 6,5 14 4,5 4,4
7 6,8 7,1 15 5,7 5,7
8 4,9 4,8 16 6,0 5,8
LT S
arv
ia/2
012
JAWAB NO 3 Struktur Hipotesis :
H0 : mA mB = 0
H1 : mA mB > 0 (klub B lebih singkat latihannya daripada klub A)
Taraf nyata : a = 0,05 Za = 1,645
Statistik Uji:Uji Tanda 2 Sampel ( Sign Test )
Tanda:
n = 14 (setelah data dibuang)
p = ½
X = 11 ( tanda + )
28
Data Ke Klub A Klub B Selisih Data Ke Klub A Klub B Selisih
1 7,4 6,9 + 9 4,2 4,1 +
2 4,9 4,9 x 10 4,7 4,9 -
3 6,1 6,0 + 11 6,6 6,2 +
4 5,2 4,9 + 12 7,0 6,9 +
5 5,7 5,3 + 13 6,7 6,8 -
6 6,9 6,5 + 14 4,5 4,4 +
7 6,8 7,1 - 15 5,7 5,7 x
8 4,9 4,8 + 16 6,0 5,8 +
LT S
arv
ia/2
012
Dengan menggunakan hampiran Normal terhadap sebaran
Binomial :
1,87 0,5 * 0,5 * 14 q p n σ
7 0,5 * 14 p n μ
1,87 87,1
7 - 5,10
npq
np -x Z
1,645
1,87 •Keputusan : Tolak H0
•Kesimpulan : bahwa klub B lebih singkat latihannya daripada klub A pada taraf nyata 0,05.
Wilayah Kritis :
29
LT S
arv
ia/2
012
1. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010
adalah sama dgn 80
H0 : m = 80
H1 : m 80
2. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010
adalah tidak lebih dari 80
H0 : m = 80
H1 : m ≤ 80
3. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010
PALING BESAR ADALAH 80
H0 : m = 80
H1 : m ≤ 80
30
LT S
arv
ia/2
012
6
4. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010
adalah MINIMAL 80 H1
H0 : m = 80
H1 : m ≥ 80
5. disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah
PALING TIDAK LEBIH KECIL DARI 80 H1
H0 : m = 80
H1 : m < 80
31
LT S
arv
ia/2
012
2. UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON
( WILCOXON SIGN RANK TEST )
Digunakan untuk menguji nilai tengah populasi (1 sampel
atau 2 sampel), dgn memperhatikan besaran data maupun arah perbedaannya.
Merupakan perbaikan dari Uji Tanda, karena
memanfaatkan besaran data dan arah perbedaan.
Digunakan untuk menguji hipotesis rata-rata 1 populasi dan 2 populasi berpasangan.
Ekivalen dengan Uji T berpasangan dalam Statistik Uji
Parametrik.
32
LT S
arv
ia/2
012
Struktur Hipotesis :
a.H0 : m m0 b. H0 : m m0 c. H0: m m0
H1 : m < m0 H1 : m > m0 H1: m ≠ m0
2.1. WILCOXON SIGN RANK TEST 1 Sampel ( One Sample Signed
Rank Test ) :
Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel :
• Tentukan nilai α wilayah kritis dalam tabel Uji Peringkat Bertanda
Wilcoxon
• Hitung nilai di di = Xi – m0 ; jika : Xi = m0 data tersebut dibuang
• Nilai di dimutlakkan di
• Buat ranking di dari terkecil s/d terbesar, jika ada yg sama dibuat
rangking rata-rata
• Buat tanda : ‘ + ’ untuk di + dan ‘ – ‘ untuk di – 33
LT S
arv
ia/2
012
• Hitung :
Dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pd Struktur Hipotesis dan
Statistik uji :
Wilayah Kritis : W* Wa Tabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
Dimana : W* merupakan nilai Statistik Uji W yang digunakan ( W+, W- atau W )
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
2.1. WILCOXON SIGN RANK TEST 1 Sampel ( One Sample Signed
Rank Test ) :
Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel (2) :
H0 H1 Statistik Uji
m = m0
m < m0 W +
m > m0 W -
m ≠ m0 W = min ( W + ; W - )
34
W + jumlah rangking di +
W - jumlah rangking di –
W = min ( W + ; W - )
LT S
arv
ia/2
012
CONTOH SOAL (WILCOXON SIGN RANK TEST ) :
4. Data berikut menunjukkan lamanya waktu konsumen di salon
yang menunggu untuk dilayani sbb :
Ujilah pernyataan pemilik salon bahwa rata-rata konsumennya
dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, jika
besarnya selisih data diperhatikan dengan taraf
keberartian 0,025.
35
12 10 16 9 12 18
14 12 14 13 11 13
11 9 15 11 13 14
LT S
arv
ia/2
012
JAWAB NO 4 Struktur Hipotesis :
H0 : m = 12
H1 : m ≤ 12
Taraf nyata : a = 0,025
Statistik Uji: Uji peringkat bertanda wilcoxon ( wilcoxon sign rank test )
n = 15
36
xi 12 10 16 9 12 18 14 12 14 13 11 13 11 9 15 11 13 14
di -2 4 -3 6 2 2 1 -1 1 -1 -1 3 -1 1 2
ІdiІ 2 4 3 6 2 2 1 1 1 1 1 3 1 1 2
Rank 9,5 14 12,5 15 9,5 9,5 4 4 4 4 4 12,5 4 4 9,5
Tanda
- + - + + + + - + - - + - + +
47
28
7
7654321
x
5,94
38
4
111098
x
LT S
arv
ia/2
012
7
Karena H1 : m < 12 maka Statistik Uji : W yang dihitung W + = 14+15+9,5+9,5+4+4+12,5+4+9,5 = 82
37
Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
a = 0,025
n = 15
Wa = 25
Wa 25
82
Karena : W > Wa ( 82 > 25 )
• Keputusan : Terima H0 • Kesimpulan : pernyataan pemilik salon benar bahwa rata-
rata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12
menit, pada taraf nyata 0,025.
LT S
arv
ia/2
012
CONTOH SOAL (WILCOXON SIGN RANK TEST ) :
5. Data berikut ini adalah berapa lama, dalam jam, sebuah alat
listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi
tenaga listrik kembali :
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa mesin ini
bekerja dengan median 1,8 jam sebelum baterainya perlu diisi
kembali, dengan memperhatikan besarnya data.
38
1.5 2.2 0.9 1.3 2.0 1.6
1.8 1.5 2.0 1.2 1.7
LT S
arv
ia/2
012
JAWAB NO 5 :
Struktur Hipotesis :
H0 : m = 1,8
H1 : m ≠ 1,8
Taraf nyata :a = 0,05 a/2 = 0,025 ( 2 arah )
Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel
39
LT S
arv
ia/2
012
Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel :
Xi : 1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7
di : - 0,3 + 0,4 - 0,9 - 0,5 + 0,2 - 0,2 0 - 0,3 + 0,2 - 0,6 - 0,1
di
mutlak : 0,3 0,4 0,9 0,5 0,2 0,2 0 0,3 0,2 0,6 0,1
Rank : 5,5 7 10 8 3 3 5,5 3 9 1
Tanda : - + - - + - - + - -
Karena H1 : m ≠ 1,8 maka Statistik Uji : W yang dihitung W + = 7 + 3 + 3 = 13
W - = 5,5 + 10 + 8 + 3 + 5,5 + 9 + 1 = 42
W = min ( W + ; W - ) = ( 13 ; 42 ) = 13
40
LT S
arv
ia/2
012
Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda
Wilcoxon
a = 0,05 ( 2 arah )
n = 10
Wa = 8
Wa 8
13
Karena : W > Wa ( 13 > 8 )
•Keputusan : Terima H0 •Kesimpulan : bahwa alat pencukur ini secara rata-rata
dapat dikerjakan 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali,
pada taraf nyata 0,05.
41
LT S
arv
ia/2
012
Catatan :
Jika n > 15 , maka digunakan pendekatan
distribusi Normal :
4
) 1 n (n μW*
W*
W*
σ
μ - *W Z
24
) 1 2n ( ) 1 n (n σW*
42
LT S
arv
ia/2
012
8
2.2. WILCOXON SIGN RANK TEST 2 Sampel ( Two Sample Signed
Rank Test ) :
Digunakan untuk
menguji rata-rata 2 data
sampel berpasangan
( n1 = n2 ).
43
LT S
arv
ia/2
012
Struktur Hipotesis :
a. H0 : m1 m2 = d0
H1 : m1 m2 < d0
b. H0 : m1 m2 = d0
H1 : m1 m2 > d0
c. H0 : m1 m2 = d0
H1 : m1 m2 ≠ d0
Tentukan nilai a wilayah kritis dalam tabel Uji
Peringkat Bertanda Wilcoxon
Hitung nilai di di = X1 – X2 ; jika : X1 = X2
data tersebut dibuang ( di = 0 )
Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel :
2.2. WILCOXON SIGN RANK TEST 2 Sampel ( Two Sample Signed
Rank Test ) :
44
LT S
arv
ia/2
012
Selisihkan nilai di dengan d0 , dimana : d0 = m1 – m2
Nilai di – d0 dimutlakkan di – d0
Buat ranking di – d0 dari terkecil s/d terbesar, jika
ada yg sama dibuat rangking rata-rata
Buat tanda : ‘ + ’ untuk di – d0 + ; ‘ – ‘ untuk di –
d0 –
45
LT S
arv
ia/2
012
Hitung :
W + jumlah rangking di – d0 +
W - jumlah rangking di – d0 –
W = min ( W + ; W - )
Dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pd tabel Struktur Hipotesis
dan Statistik uji :
H0 H1 Statistik Uji
m1 - m2 = d0
m1 - m2 < d0 W +
m1 - m2 > d0 W -
m1 - m2 ≠ d0 W = min ( W + ; W - )
• Wilayah Kritis : W* WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon Dimana : W* merupakan nilai Statistik Uji W yang digunakan ( W+, W- atau W )
• Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
46
LT S
arv
ia/2
012
Contoh Soal (Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel) :
6. Texas Fried Chicken telah mengembangkan sebuah resep baru untuk adonan tepung ayamnya dan dept pemasaran hanya ingin melihat apakah resep baru
tersebut lebih enak daripada resep sebelumnya. Sepuluh konsumen dipilih secara acak guna menguji rasa. Setiap konsumen mencicipi dulu sepotong daging ayam yang disajikan dengan resep lama dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai
10 (1=buruk, 10=sangat baik). Kemudian konsumen tersebut mencicipi sepotong daging ayam yang digoreng dengan resep baru dan memberikan nilai rasa mulai
dari 1 sampai 10. Manajemen perusahaan tersebut ingin mengambil keputusan mengenai adonan resep baru yang tidak hanya didasarkan pada berapa banyak
orang menganggap bahwa resep baru tersebut memperbaiki rasa tetapi juga pada
besarnya perbaikan rasa dari resep baru. Ujilah hipotesis bahwa jumlah
konsumen yang menilai resep baru sama dengan dari resep lama. Berikut ini adalah data survei : (taraf nyata 0,05)
47
Konsumen Resep Lama Resep Baru
Felix 3 9
David 5 5
Devi 3 6
Shella 1 3
Rika 5 10
Ridani 8 4
Kristian 2 2
Susi 8 5
Novi 4 6
Anton 6 7
LT S
arv
ia/2
012
JAWAB :
Struktur Hipotesis :
H0 : mlama mbaru = 0
H1 : mlama mbaru ≠ 0
Taraf nyata :a = 0,05 ( 2 arah )
Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel
48
Konsumen Resep
Lama
Resep
Baru
di di-d0 Іdi-doІ Rank Tanda W+ W-
Felix 3 9 -6 -6 6 8 - 8
David 5 5
Devi 3 6 -3 -3 3 4,5 - 4,5
Shella 1 3 -2 -2 2 2,5 - 2,5
Rika 5 10 -5 -5 5 7 - 7
Ridani 8 4 4 4 4 6 + 6
Kristian 2 2
Susi 8 5 3 3 3 4,5 + 4,5
Novi 4 6 -2 -2 2 2,5 - 2,5
Anton 6 7 -1 -1 1 1 - 1 36 10,5 25,5
LT S
arv
ia/2
012
9
49
Karena H1 : mlama mbaru ≠ 0, maka Statistik Uji : W = min ( W + ; W - )
W = min ( W + ; W - ) = min (25,5 ; 10,5) = 10,5
Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
a = 0,05 ( 2 arah )
n = 8
Wa = 4
Karena : W > Wa ( 10,5 > 4) •Keputusan : Terima H0
•Kesimpulan : adonan resep baru sama baiknya dengan adonan resep
yang lama pada taraf nyata 0,05
Wa 4
10,5
LT S
arv
ia/2
012
CONTOH SOAL :
7. Ada yang mengatakan bahwa mahasiswa senior dapat
meningkatkan skor TOEFL sekurang-kurangnya 50 angka bila
ia sebelumnya diberikan contoh-contoh soalnya lebih dulu.
Untuk menguji pendapat itu, 20 mahasiswa senior dibagi
menjadi 10 pasang sedemikian shg setiap pasang mempunyai
nilai mutu rata-rata yg hampir sama selama 3 tahun pertama
kuliah. Soal-soal contoh dan jawabnya diberikan secara acak
kepada salah seorang dari setiap pasang seminggu sebelum
ujian. Ternyata skor TOEFL mereka adalah sbb :
Pasangan
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dengan Contoh Soal 531 621 663 579 451 660 591 719 543 575
Tanpa Contoh Soal 509 540 688 502 424 683 568 748 530 524
Ujilah hipotesis nol pada taraf nyata 0,05 bahwa pemberian contoh soal
dapat meningkatkan skor sebesar 50 angka.
50
LT S
arv
ia/2
012
JAWAB : Struktur Hipotesis :
H0 : m1 m2 = 50
H1 : m1 m2 < 50
Taraf nyata :a = 0,05( 1 arah )
Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel
51
di d0 di – d0 Rank Tanda W+
22
50
-28 5 -
81 31 6 + 6
-25 -75 9 -
77 27 3,5 + 3,5
27 -23 2 -
-23 -73 8 -
23 -27 3,5 -
-29 -79 10 -
13 -37 7 -
51 1 1 + 1
10,5
Karena H1 : m1 m2 < 50 maka Statistik Uji : W + yang dihitung W + = 10,5
LT S
arv
ia/2
012
Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
a = 0,05 ( 1 arah )
n = 10
Wa = 11
Karena : W ≤ Wa ( 10,5 ≤ 11) • Keputusan : Tolak H0
• Kesimpulan :bahwa pemberian contoh soal sebelum ujian tidak dapat meningkatkan skor sebesar 50 angka, pada taraf nyata 0,05.
Wa 11
10,5
52
LT S
arv
ia/2
012
3. UJI JUMLAH PERINGKAT WILCOXON
(WILCOXON RANK SUM TEST )
Disebut juga sebagai Mann – Whitney U Test
Digunakan untuk menguji nilai tengah 2 populasi, dgn
memperhatikan besaran data maupun arah perbedaannya.
Digunakan untuk menguji hipotesis rata-rata 2 POPULASI
INDEPENDENT.
Jumlah sampel 1 ≤ sampel 2
Ekivalen dengan Uji T 2 Populasi ( s12 = s2
2 ) dalam Statistik
Uji Parametrik.
53
LT S
arv
ia/2
012
Prosedur perhitungan Wilcoxon
Rank Sum Test :
Penentuan nomor urutan sampel, dimana : n 1
n 2
Struktur Hipotesis :
a. H0 : m1 = m2
H1 : m1 < m2
b. H0 : m1 = m2
H1 : m1 > m2
c. H0 : m1 = m2
H1 : m1 ≠ m2
54
LT S
arv
ia/2
012
10
Tentukan nilai a wilayah kritis dalam tabel Uji
Jumlah Peringkat Wilcoxon
Gabungkan kedua data sampel dan diurutkan dari terkecil sampai
terbesar
Beri ranking untuk tiap data dari terkecil s/d terbesar, jika terdapat
2 atau lebih data yang sama maka diberikan ranking rata-rata
Hitung W1 dan W2, dimana :
W1 = jumlah ranking data sampel 1
W2 = jumlah ranking data sampel 2
55
LT S
arv
ia/2
012
Cari nilai U – nya dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pada tabel
Struktur Hipotesis dan Statistik uji :
H0 H1 Statistik Uji
m1 = m2
m1 < m2 U1
m1 > m2 U2
m1 ≠ m2 U = min ( U1 ; U2 )
Dimana :
2
) 1 n ( n W U 11
11
2
) 1 n ( n W U 22
22
56
LT S
arv
ia/2
012
Wilayah Kritis : U* Ua
Tabel Uji Jumlah Peringkat
Bertanda Wilcoxon
Dimana : U* merupakan
nilai Statistik Uji U
yang digunakan ( U1 ;
U2 ; atau U )
Keputusan dan
Kesimpulan Hipotesis
Catatan :
Jika : n1 10 dan n2 >
20 , maka digunakan
pendekatan Normal, sehingga :
2
n . n μ 21
*U
12
) 1 n n ( . n . n σ 2121
*U
*U
*U
σ
μ - *U Z
57
LT S
arv
ia/2
012
CONTOH SOAL (WILCOXON RANK SUM TEST )
8. IPK untuk Angkatan 2008 untuk kedua kelas ditunjukkan
sebagai berikut :
Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa rata-rata IPK
kedua kelas itu tidak sama.
58
Kelas A Kelas B
2,1 4
3,3 0,6
3,5 3,1
1,1 2,5
0,9 4
3,7 3,2
2,5 1,6
3,3 2,2
1,9
2,4
LT S
arv
ia/2
012
JAWAB NO 8
1. Struktur Hipotesis :
H0 : mA = mB
H1 : mA ≠ mB
2. Taraf nyata a = 0,05 ( 2 arah )
3. Statistik Uji : Wilcoxon Rank Sum Test
59
Kelas A Rank A Kelas B Rank B
2,1 6 4 17,5
3,3 13,5 0,6 1
3,5 15 3,1 11
1,1 3 2,5 9,5
0,9 2 4 17,5
3,7 16 3,2 12
2,5 9,5 1,6 4
3,3 13,5 2,2 7
1,9 5
2,4 8 WA 78,5 WB 92,5
LT S
arv
ia/2
012
Karena : H1 : mA ≠ mB maka Statistik Uji yang digunakan : U = min ( UA ; UB )
5,422
)18(85,78
2
) 1 n ( n W U AA
AA
5,372
)110(105,92
2
) 1 n ( n W U BB
B
B
U = min ( UA ; UB ) = min ( 42,5 ; 37,5 ) = 37,5
60
4. Wilayah Kritis : U Ua Tabel Uji Jumlah Peringkat Wilcoxon
Ua = 17 a = 0,05( 2 arah )
n1 = 8 n2 = 10
Ua 17
37,5 5. Keputusan : Terima H0
6. Kesimpulan :bahwa rata-rata IPK
untuk kelas A dan Kelas B adalah
sama, pada taraf nyata 0,05.
LT S
arv
ia/2
012
11
SOAL
1. Seorang pemeriksa makanan memeriksa 16 botol merek
x tertentu untuk menentukan persen bahan tambahan. Tercatat data berikut (dalam %):
Dengan menggunakan hampiran normal terhadap
distribusi normal, lakukan uji bahwa pada taraf
keberartian 0,05 rata-rata persen bahan tambahan dalam botol merek x adalah 2,5 %, jika besarnya selisih data
tidak diperhatikan.
61
2,4 2,3 3,1 2,2 1,7 1,1 4,2 1,9
2,3 1,2 1,0 2,4 1,7 3,6 1,6 2,3
LT S
arv
ia/2
012
SOAL
2. Soal teori no 6, Texas Fried Chicken, Jika pada tahap
pengembangan produk baru ini, pihak pemasaran tersebut tidak tertarik pada tingkat rasa atau
kenikmatan. Informasi apa yang akan kita peroleh dari
data penelitian pasar tersebut?
62
LT S
arv
ia/2
012
CONTOH SOAL :
3. Texas Fried Chicken telah mengembangkan sebuah resep baru untuk adonan tepung ayamnya dan dept pemasaran hanya ingin melihat apakah resep baru
tersebut lebih enak daripada resep sebelumnya. Sepuluh konsumen dipilih secara acak guna menguji rasa. Setiap konsumen mencicipi dulu sepotong daging ayam yang disajikan dengan resep lama dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai
10 (1=buruk, 10=sangat baik). Kemudian konsumen tersebut mencicipi sepotong daging ayam yang digoreng dengan resep baru dan memberikan nilai rasa mulai
dari 1 sampai 10. Manajemen perusahaan tersebut ingin mengambil keputusan mengenai adonan resep baru yang tidak hanya didasarkan pada berapa banyak
orang menganggap bahwa resep baru tersebut memperbaiki rasa tetapi juga pada
besarnya perbaikan rasa dari resep baru. Ujilah hipotesis bahwa jumlah
konsumen yang menilai resep baru lebih baik dari resep lama. Berikut ini adalah data survei : (taraf nyata 0,05)
63
Konsumen Resep Lama Resep Baru
Felix 3 9
David 5 5
Devi 3 6
Shella 1 3
Rika 5 10
Ridani 8 4
Kristian 2 2
Susi 8 5
Novi 4 6
Anton 6 7
LT S
arv
ia/2
012
64
Thank You
LT S
arv
ia/2
012
SOAL-SOAL RESPONSI 4. Dikemukan bahwa diet baru akan menurunkan berat badan orang 4,5 kg pada rata-
ratanya dalam 2 minggu. Berat 10 wanita yang menggunakan diet tersebut dicatat
sebelum dan setelah 2 minggu dan menghasilkan data sbb:
Ujilah hipotesis bahwa diet ini menurunkan berat badan rata-rata sebanyak 4,5 kg apabila besarnya data tidak diperhatikan jika α =0,05.
65
Wanita Berat sebelum Berat Setelah
1 58,5 60,0
2 60,3 54,9
3 61,2 58,1
4 69 62,1
5 64 58,5
6 62,6 59,9
7 56,7 54,4
8 63,6 60,2
9 68,2 62,3
10 59,4 58,7
LT S
arv
ia/2
012
SOAL-SOAL RESPONSI 5. Idem soal 3 jika besarnya data diperhatikan.
6. Direktur pemasaran National Shampoo Company ingin mengetahui apakah dengan
memekatkan warna shampo hijaunya, para pelanggan akan merasa lebih efektif. Pada saat ini, direktur tersebut hanya ingin menentukan cocok tidaknya ide itu dikembangkan lebih
jauh dan ingin mengetahui tingkat perbaikan dalam persepsi terhadap keefektifan produk. Data telah dikumpulkan dari 7 orang; semuanya telah memberikan penilaian terhadap shampo berwarna hijau muda dan shampo yang sekarang diberi warna hijau tua. Skala 1
sampai 10 digunakan dimana angka 1 berarti “sangat tidak efektif dan 10 berarti “paling efektif”. Data tesebut dipelihatkan dibawah ini :
Ujilah Hipotesis dengan taraf nyata 0,05. 66
Konsumen Penilaian atas keefektifan
shampo Hijau
Muda
Penilaian atas keefektifan
shampo Hijau Tua
Winda 4 2
Dessy 6 6
Evelyn 7 4
Ivan 5 6
Benny 9 8
Erliana 1 3
Ridani 3 8
LT S
arv
ia/2
012
12
6. Berikut ini disajikan data mengenai hasil pengujian kekuatan
kabel yang terbuat dari 2 logam yang berbeda :
Ujilah apakah terdapat perbedaan rata-rata ke-2 jenis logam tsb.
pada taraf nyata 5 %.
Logam I 18,3 16,4 22,7 17,8 18,9 25,3 16,1 24,2
Logam II 12,6 14,1 20,5 10,7 15,9 19,6 12,9 15,2 11,8 14,7
67
LT S
arv
ia/2
012 STATISTIKA
NONPARAMETRIK (2)
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri
Universitas Kristen Maranatha Bandung
4. UJI KRUSKALL WALLIS
Disebut juga sebagai Uji H Kruskall Wallis
Merupakan perkembangan dari Wilcoxon Rank
Sum Test, dimana dalam uji ini jumlah sampel yang diuji lebih dari 2.
Untuk menguji apakah k sampel independen (
dimana : k > 2 ) memiliki rata-rata yang sama.
Ekivalen dengan Uji F ( Analisis Ragam ).
69
LT S
arv
ia/2
012
Prosedur perhitungan Uji Kruskall Wallis :
1. Struktur Hipotesis :
H0: m1 = m2 = m3 = ...... = mk
H1: m1 , m2 , m3 , ...... , mk tidak semuanya sama
2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel
Chi – Square : 2 ( a,v )
3. Berikan ranking pada data dari masing-masing
populasi secara keseluruhan. Jika terdapat 2
atau lebih data yang sama maka diberikan
ranking rata-rata
4. Jumlahkan ranking dari masing-masing
populasi ri 70
LT S
arv
ia/2
012
5. Hitung Statistik Uji-nya : hitung nilai h
Dimana :
6. Wilayah Kritis : h > 2 ( a,v ) dengan
derajat kebebasan, v = k – 1
Dimana : k : jumlah populasi yang diamati
7. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
) 1 n ( 3 - n
r
) 1 n (n
12 h
k
1 i i
2i
2 ( a,v )
71
Prosedur perhitungan Uji Kruskall Wallis :
LT S
arv
ia/2
012
Contoh Soal :
9. Suatu Perusahaan ingin membeli
satu dari lima mesin yang berbeda: A,
B,C, D, atau E. Dalam suatu
perancangan percobaan untuk
menentukan apakah terdapat
perbedaan penampilan antara mesin-
mesin tersebut, lima operator yang
berpengalaman dipekerjakan pada
setiap mesin dalam jumlah waktu
yang sama. Tabel disamping ini
menunjukkan jumlah unit yang
diproduksi setiap mesin. Ujilah
hipotesis bahwa tidak terdapat
perbedaan antara mesin-mesin
tersebut pada taraf nyata a = 0,05
72
MESIN
A B C D E
68 72 60 48 64
72 53 82 61 65
77 63 64 57 70
42 53 75 64 68
53 48 72 50 53
LT S
arv
ia/2
012
13
Jawab no 9 :
1. Struktur Hipotesis :
H0 : mA = mB = mC = mD = mE
H1 : mA , mB , mC, mD, mE tidak semuanya sama
2. Taraf nyata : a = 0,05
3. Statistik Uji : Uji Kruskall Wallis
73
LT S
arv
ia/2
012
Dimana :
terdapat 5 buah sampel mesin maka k = 5
Karena setiap sampel tdd 5 buah data, maka n A= n B= n C =n D=n E= 5
n = n A + n B + n C + n D + n E
n = 5 + 5 + 5 + 5 + 5= 25
74
MESIN
A Rank A
B Rank B
C Rank C
D Rank D
E Rank E
68 17,5 72 21 60 10 48 2,5 64 14
72 21 53 6,5 82 25 61 11 65 16
77 24 63 12 64 14 57 9 70 19
42 1 53 6,5 75 23 64 14 68 17,5
53 6,5 48 2,5 72 21 50 4 53 6,5
rA= 70 rB=
48,5 rC= 93 rD=
40,5 rE= 73
LT S
arv
ia/2
012
d. Wilayah Kritis : h > 2 ( a,v )Tabel Chi – Square : 2 ( a,v )
a = 0,05
v = k – 1 = 5 – 1 = 4
6,44 ) 1 25 ( * 3 - 5
73
5
40,5
5
93,5
5
48,5
5
07
) 1 25 ( 25
12 h
) 1 n ( 3 - n
r
) 1 n (n
12 h
22222
k
1 i i
2
i
2 ( a,v ) = 9,49
9,49
e. Keputusan : Terima H0
f. Kesimpulan :
kita bisa menerima bahwa tidak
terdapat perbedaan antara mesin-
mesing tersebut pada taraf nyata
0,05
75
6,44
LT S
arv
ia/2
012
5. UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST )
Untuk menguji apakah data pengamatan
memiliki sifat random ( acak )
atau melihat apakah 2 populasi
memiliki distribusi yang
sama.
Uji runtunan dapat digunakan
untuk data kualitatif dan kuantitatif.
76
LT S
arv
ia/2
012
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :
1. Struktur Hipotesis :
H0: data pengamatan bersifat random / acak
H1: data pengamatan tidak bersifat random / acak
2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji
Runtunan ( diuji 2 arah )
3. Data yang akan diolah data sudah dikonversikan
dalam bentuk ‘run’ :
untuk 1 populasi : hitung banyaknya ‘run’ ( r )
lalu bandingkan dengan ‘run’ dari tabel Uji
Runtunan ( Runs Test ).
untuk 2 populasi : masing-masing dicari ‘run’ nya.
Hitung nilai : n 1 dan n 2 dimana : n 1 n 2
77
LT S
arv
ia/2
012
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :
4. Tentukan wilayah kritisnya gunakan Tabel Uji
Runtunan, dengan a diuji 2 arah
Wilayah Kritis : r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2
5. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
78
r a 2
r r
r a 1
r
LT S
arv
ia/2
012
14
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :
1. Struktur Hipotesis :
H0: data pengamatan bersifat random / acak
H1: data pengamatan tidak bersifat random / acak
2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji Runtunan ( diuji 2 arah )
3. Data yang akan diolah data sudah dikonversikan dalam bentuk ‘run’ (data kuantitatif ) :
Cari nilai median dari data nilai rata-rata tersebut bila data hanya 1 populasi
Untuk data 2 populasi, masing-masing dicari nilai median nya.
Konversikan data dalam bentuk ‘run’ , dengan cara bandingkan data pengamatan dengan nilai median nya :
Jika :
data > median diberi tanda ‘ + ‘
data < median diberi tanda ‘ – ‘
data = median data dibuang
LT S
arv
ia/2
012
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :
4. Tentukan wilayah kritisnya gunakan Tabel Uji
Runtunan, dengan a diuji 2 arah
Wilayah Kritis : r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2
5. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
80
r a 2
r r
r a 1
r
LT S
arv
ia/2
012
Catatan :
Jika : n1 dan n2 > 10 , maka digunakan pendekatan
Normal, sehingga :
1
n n
n n 2 μ
21
21r
)1 n (n )n (n
) n- n - n2n ( n2n σ
212
21
212121r
r
r
σ
μ -r Z
81
LT S
arv
ia/2
012
CONTOH SOAL :
10. Sebuah mesin diatur untuk membagi penipis
cat akrilik ke dalam kaleng. Apakah banyaknya
penipis cat yang dibagi oleh mesin ini berubah
secara acak bila kelima belas kaleng ternyata berisi
Gunakan a = 0,1
3,6 3,9 4,1 3,6 3,8 3,7 3,4 4,0 3,8 4,1 3,9 4,0 3,8 4,2 4,1 ( ltr )
Jawab :
1. Struktur Hipotesis :
H0 : data pengamatan bersifat random / acak
H1 : data pengamatan tidak bersifat random / acak
2. Taraf nyata : a = 0,1 ( uji 2 arah ) 82
LT S
arv
ia/2
012
3. Statistik Uji : Uji Runtunan ( Runs Test ) Median = 3,9
1 2 3 4 5 6 7 8
n 1 = 6 ( tanda ‘+‘ )
n 2 = 7 ( tanda ‘– ‘ )
Jumlah runtunan = r = 8
Tabel Uji Runtunan ( n 1 ; n 2 ) = (6,7)
83
X i : 3,6 3,9 4,1 3,6 3,8 3,7 3,4 4,0 3,8 4,1 3,9 4,0 3,8 4,2 4,1
Tanda : – + – – – – + – + + – + +
digabung
data > median diberi tanda ‘ + ‘
data < median diberi tanda ‘ – ‘ data = median data dibuang J
ika
LT S
arv
ia/2
012
4. Wilayah Kritis: r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2
r a 1
P ( r ≤ r a 1 ) ≤ 0,05
P ( r ≤ 4 ) ≤ 0,05
0,043 ≤ 0,05
r a 1 = 4
r a 2
1 - P ( r ≥ r a 2 ) ≤ 0,05
1 - P ( r ≤ 10 ) ≤ 0,05
1 - 0,9660 ≤ 0,05
0,0340 ≤ 0,05
r a 2 = 10 + 1 = 11
r a 2 = 11
r = 8
r a 1 = 4
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang
dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf
nyata 0,1.
84
Tabel Uji Runtunan ( n 1 ; n 2 ) = (6,7)
LT S
arv
ia/2
012
15
CONTOH SOAL :
11. Pada pelemparan keping uang sebanyak 30
kali, didapatkan barisan angka (H) dan gambar
(T) dalam urutan sbb :
a. Tentukan jumlah runtun
b. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah barisan
ini terbentuk secara acak.
85
H T T H T H H H T H H T T H T
H T H H T H T T H T H H T H T
LT S
arv
ia/2
012
JAWAB NO 11 : 1. Struktur Hipotesis :
H0 : data pengamatan bersifat random / acak
H1 : data pengamatan tidak bersifat random / acak
2. Taraf nyata : a = 0,05 ( uji 2 arah )
3. Statistik Uji : Uji Runtunan ( Runs Test )
n 1 = 16 ( Jumlah H)
n 2 = 14 ( Jumlah T)
a. r = jumlah runtunan = 22
86
H T T H T H H H T H H T T H T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
H T H H T H T T H T H H T H T
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
LT S
arv
ia/2
012
Karena n1 dan n2 > 10 , maka digunakan
pendekatan Normal, sehingga :
87
93,1511416
14162 μ
1 n n
n n 2 μ
r
21
21r
679,2
114161416
]1416)14162[(14162 σ
)1 n (n )n (n
) n- n - n2n ( n2n σ
2r
21
2
21
212121r
27,22,679
15,93 - 22 Z
σ
μ -r Z
Jadi
r
r
LT S
arv
ia/2
012
4. Wilayah Kritis:
a = 0,05 ( uji 2 arah 0,025 )
5. Keputusan : Tolak H0
Kesimpulan : bahwa pelemparan tersebut tidak dilakukan
secara acak pada taraf nyata 0,05.
88
0,025 0,025
1,96
96,1z
-1,96
2,27
LT S
arv
ia/2
012
12. Idem soal 10, gunakan α=0,05
89
LT S
arv
ia/2
012
Jawab no 12
4. Wilayah Kritis: r ≤ r a 1 dan r ≥ r a 2
r a 1
P ( r ≤ r a 1 ) ≤ 0,025
P ( r ≤ 3 ) ≤ 0,025
0,008 ≤0,025
r a 1 = 3
r a 2
1 - P ( r ≥ r a 2 ) ≤ 0,025
1 - P ( r ≤ 11 ) ≤ 0,025
1 - 0,992 ≤ 0,025
0,008 ≤ 0,025
r a 2 = 11 + 1 = 12
r a 2 = 12
r = 8
r a 1 = 3
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang
dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf
nyata 0,05.
90
Tabel Uji Runtunan ( n 1 ; n 2 ) = (6,7)
LT S
arv
ia/2
012
16
CARA LAIN MENCARI BATAS WILAYAH KRITIS
4. Wilayah Kritis: baca Tabel r distribution for the run test of randomness for a =0,05 Leland Blank hal 636 (Lampiran B-8)
n 1 = 6 ( tanda ‘+‘ )
n 2 = 7 ( tanda ‘– ‘ )
91
r a 1 = 3
r a 2 = 12
r a 2 = 12
r = 8
r a 1 = 3
Only a =0,05
Keputusan : Terima H0
Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang
dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf
nyata 0,05.
LT S
arv
ia/2
012
92
Tabel r distribution for the run test of randomness for α=0,05 Leland Blank hal
636 (Lampiran B-8)
LT S
arv
ia/2
012
SOAL RESPONSI
9. Instruktur Reza dan Shella, keduanya mengajar pada tingkat I
di Universitas NST. Dalam suatu ujian akhir, mahasiswa
mereka memperoleh nilai sebagaimana yang terdapat pada
tabel dibawah ini. Ujilah pada taraf nyata 0,05 suatu hipotesis
bahwa tidak terdapat perbedaan antara penilaian kedua
instruktur tersebut.
93
Reza 88 75 92 71 63 84 55 64 82 96
Shella 72 65 84 53 76 80 51 60 57 85 94 87 73 61
LT S
arv
ia/2
012
SOAL RESPONSI
10. 15 orang mengikuti program penurunan berat badan dalam 3
macam Diet (Diet Daging, Diet Karbohidrat, n Diet Garam).
Data yang diperoleh secara acak dibawah ini adalah penurunan
berat badan (dalam kg) sbb :
Ujilah hipotesis bahwa tidak ada perbedaan diantara 3 macam diet tersebut pada α =0,05 94
Diet Daging Diet
Karbohidrat
Diet Garam
6,2 14,4 12,5
8,4 15,7 12,1
7,8 13,2 12,7
9,5 18,6 16,9
10 10,3 11,8
LT S
arv
ia/2
012
SOAL RESPONSI
11. Suatu proses pelapisan perak digunakan untuk melapisi
sejenis baki. Bila proses itu terkendali, maka tebal lapisan perak pada baki akan berubah secara acak
mengikuti distribusi normal dengan rataan 0,02 mm dan
simpangan baku 0,005 mm. Misalkan ke-12 baki yang kemudian diperiksa menunjukkan tebal perak sbb :
Ujilah hipotesis untuk menentukan apakah perubahan
ketebalan dari satu baki ke baki lainny adalah acak
dengan menggunakan taraf nyata 0,05)
95
0,019 0,021 0,02 0,019 0,02 0,018 0,023 0,021 0,024 0,022 0,023 0,022
LT S
arv
ia/2
012
SOAL RESPONSI
13. Dapatkah kita berkesimpulan bahwa mahasiswa dengan
instruktur Reza memiliki nilai yang lebih baik dari mahasiswa intruktur Shella?
96
LT S
arv
ia/2
012
17
SOAL RESPONSI
14. Suatu perusahaan ingin melakukan pengujian terhadap
empat jenis ban yang berbeda A,B,C,dan D. Ketahanan ban tersebut ditentukan dengan melihat jejak yg
ditinggalkannya. Tabel dibawah ini memperlihatkan
hasil pengujian setiap jenis ban thd 6 buah kendaraan yg ditentukan secara acak. Apakah terdapat beda nyata
antara ke-4 jenis ban tersebut pada a = 0,05 !
97
A 33 38 36 40 31 35
B 32 40 42 38 30 34
C 31 37 35 33 34 30
D 27 33 32 29 31 28
LT S
arv
ia/2
012
98
Thank You
LT S
arv
ia/2
012
BAHAN UTS STATISTIKA INDUSTRI
99
LT S
arv
ia/2
012