Bab 2B

Statistika DeskriptifStatistika Deskriptif:Parameter Populasi 1Bab 3ASTATISTIKA DESKRIPTIF:PARAMETER POPULASI 1

A. Parameter Rerata

1. Batasan dan Jenis

Skala data paling rendah adalah pada level interval (interval dan rasio)

Ada tiga jenis rerata mencakup

Rerata hitung (sering disebut rerata saja)Rerata ukurRerata harmonik2. Parameter Rerata Hitung

(a) Rumus rerata hitung

Dengan N sebagai banyaknya data, rerata untuk data X dan Y adalah

------------------------------------------------------------------------------Bab 3A------------------------------------------------------------------------------Contoh 1

Data X : 7 7 6 5 4 4 4 3 Y : 10 9 9 6 5 4 3 2 1 1

Cara lain menghitung rerata

X Y 7 10 7 9 6 9 X = 40 / 8 = 5 5 6 4 5 4 4 4 3 Y = 50 / 10 = 5 3 2 1 1 40 50

Cara ini lebih praktis daripada cara pertama sehingga digunakan secara umum

(b) Rumus dengan Frekuensi

Rumus rerata dengan melibatkan frekuensi

Rumus ini lebih praktis untuk data dengan berbagai frekuensi

------------------------------------------------------------------------------Bab 3A------------------------------------------------------------------------------Contoh 2

X Y X f fX 7 10 7 2 14 7 9 6 1 6 X = 40 / 8 = 5 6 9 5 1 5 5 6 4 3 12 4 5 3 1 3 4 4 8 40 4 3 3 2 1 Y f fY 1 10 1 10 9 2 18 6 1 6 Y = 50 / 10 = 5 5 1 5 4 1 4 3 1 3 2 1 2 1 2 2 10 50------------------------------------------------------------------------------Bab 3A------------------------------------------------------------------------------Contoh 3

Data X Frek f fX 4 3 12 5 5 25 6 10 60 7 15 105 8 11 88 9 6 54

jumlah 50 344

Rerata X = 6.88

Contoh 4

Data Y Frek f fY 0 0 0 1 1 1 2 0 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6

Rerata Y = Contoh 5

Kelompok Nilai kel X Frek f fX 31 40 35,5 2 71 41 50 45,5 3 91 51 60 55,5 5 61 70 65,5 14 71 80 75,5 25 81 90 85,5 18 91 100 95,5 13

Rerata X = (c) Perhitungan dengan Kalkulator Elektronik

Cara pakai kalkulator elektronik tercantum di dalam manual kalkulator itu

Sebagai contoh di sini digunakan Casio fx 350 TL

Contoh 6

X : 7 7 6 5 4 4 4 3

Mode 2 (ke statistika rerata) Shift AC = AC (membersihkan isi memori) 7 shift ; 2 DT (frekuensi 2) 6 DT 5 DT 4 shift ; 3 DT (frekuensi 3) 3 DT Shift X = (tampilkan rerata 5) Mode 1 (kembali ke kalkulator biasa)

Contoh 7

Dengan kalkulator elektronik, hitung kembali rerata pada

Contoh 2, 3, 4, dan 5

Contoh 8

Dengan Excel/kalkulator elektronik, hitung rerata dari

79 49 48 74 81 98 87 8080 84 90 70 91 93 82 7870 71 92 38 56 91 74 7368 72 85 53 65 93 83 8690 32 83 73 74 43 86 6892 93 76 71 90 72 67 7580 91 61 72 97 91 88 8170 74 99 95 80 59 71 7763 60 83 82 60 67 89 6376 63 88 70 66 80 79 75

=

(d) Rerata sebagai Titik Tumpu Keseimbangan

Rerata adalah titik tumpu keseimbangan sehingga jumlah di bawah rerata sama dengan jumlah di atas rerata

Data X : 7 7 6 5 4 4 4 3 Y : 10 9 9 6 5 4 3 2 1 1

Pada X dan Y, rerata 5 adalah titik tumpu keseimbangan

34675X12345678910Y3. Parameter Rerata Hitung pada Data Dikotomi

Khusus pada data dikotomi, rerata sama dengan proporsi

X =

sehingga pada umumnya, digunakan proporsi

Contoh 9

Data X 1 0 X = 7 / 10 = 0,7 1 1 0 1 X = 7 dari 10 = 0,7 0 1 1 X = X = 0,7 1 74. Parameter Rerata Ukur

Rerata ukur adalah perkalian data yang ditarik akarnya sebesar banyaknya data

Rumus rerata ukur

Contoh 10

Data : 3 4 5Rerata ukur

Data : 2 2 4 5 7 8 8 Rarata ukur

U =

5. Parameter Rerata Harmonik

Rumus

Contoh 11

Data: 3 5 6 6 7 12 12

Data: 2 2 4 5 7 8 8

H =

6. Kecondongan (skewness)

Kecondongan distribusi

Distribusi frekuensi atau distribusi proporsi dapat saja

SimetriCondong ke kiri atau positif Condong ke kanan atau negatif

Distribusi simetri

modus = median = rerata (hitung)

Distribusi condong positif (positively skewed)

modus < median < rerata

Distribusi condong negatif (negatively skewed)

modus > median > rerataMoMMMo7. Kurtosis (kepuncakan)

Kurtosis distribusi

Distribusi frekuensi atau distribusi proporsi dapat saja memiliki puncak

Mesokurtik (puncak biasa)Leptokurtik (puncak tinggi)Platikurtik (puncak rendah)

Mesokurtik

Leptokurtik (puncak tinggi)

Platikurtik (puncak rencah)

B. Parameter Variansi dan Simpangan Baku

1. Penyebaran Data

Penyebaran data ini diacu kepada rerata hitung yakni berapa lebar data itu menyebar di sekitar rerata hitung

Penyebaran data ini mencakup beberapa parameter

SimpanganJumlah Kuadrat SimpanganVariansiSimpangan Baku

Selain rerata hitung, parameter variansi dan simpangan baku merupakan parameter yang banyak digunakan di dalam statistika

2. Simpangan

(a) Nilai simpangan

Nilai simpangan = nilai data rerata hitung

x = X X y = Y Y

Nilai di atas rerata memperoleh simpangan positif

Nilai sama dengan rerata memperoleh simpangan nol

Nilai di bawah rerata memperoleh simpangan negatif(b) PenyebaranMakin menyebar data makin besar simpangannya

Simpangan kecil

Simpangan besar

x1x2reratay1y2rerataContoh 12

Data X Simpangan x Data Y Simpangan y 7 2 10 5 7 2 9 4 6 1 9 4 5 0 6 1 4 1 5 0 4 1 4 1 4 1 3 2 3 2 2 3 0 1 4 1 4 X = 5 0

Y = 5Jumlah Simpangan

Karena rerata adalah titik tumpu keseimbangan maka jumlah simpangan (negatif dan positf) adalah nol

x = 0 y = 0

Jumlah simpangan terhadap rerata hitung adalah nol

x = 0 y = 0

Simpangan kurang () = simpangan lebih (+)

34567Simpangan kurang Simpangan lebih +Contoh 13

Data X Frek f fX Simp x 4 3 12 2,88 5 5 25 6 10 7 15 8 11 9 6 X =

Contoh 14

Data Y Frek f fY Simp y 1 1 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6 Y =3. Jumlah Kuadrat Simpangan

(a) Hakikat

Sering disingkat sebagai jumlah kuadrat JK

Karena simpangan bernilai negatif dan positif dan jumlah mereka adalah nol, maka sebelum dijumlahkan simpangan dikuadratkan

Jumlah dari simpangan yang dikuadratkan ini merupakan jumlah kuadrat

Makin besar simpangan, makin besar jumlah kuadrat sehingga JK merupakan indikator dari penyebaran data

Makin lebar penyebaran data makin besar nilai jumlah kuadrat (JK)

(b) Rumus Jumlah Kuadrat Simpangan

JK = x2 = (X X)2 Melalui aljabar, JK dapat juga dinyatakan melalui

dengan NX sebagai banyaknya data

Contoh 15

Data X X2 7 49 7 49 6 36 JK = 216 (40)2 / 8 = 16 5 25 4 16 4 16 4 16 3 9 40 216

4. Parameter Variansi

(a) Data Umum

JK bergantung kepada banyaknya data NX sehingga JK dapat berbeda karena banyaknya data berbeda

Untuk mengatasinya, JK dibagi dengan banyaknya data, dan hasil bagi ini dikenal sebagai variansi

Variansi diberi notasi 2 (merupakan ukuran penyebaran data)

Contoh 16

Dari contoh 15, telah diperoleh

JK = 16NX = 8

Variansi 2X = 16 / 8 = 2

Contoh 17

Data Y Y2 10 100 9 81 9 81 6 36 2y = 10,4 5 25 4 16 3 9 2 4 1 1 1 1 50 354Cara hitung menggunakan frekuensi

Data Y Frek f Y2 fY fY2 10 1 100 10 100 9 2 81 18 162 6 1 36 6 36 5 1 25 5 25 4 1 16 4 16 3 1 9 3 9 2 1 4 2 4 1 2 1 2 2 50 354

2Y = 10,4(b) Data Dikotomi

Pada data dikotomi (0 dan 1), rumus variansi dapat disederhanakan menjadi

2X = (1 )

Dalam hal data dikotomi, terdapat nilai maksimum pada variansi

2X maks = 0,25 pada = 0,5

Contoh 18

X Y 1 1 2X = (0,4)(1 0,4) = 0,24 0 1 0 0 1 1 2Y = (0,8)(1 0,8) = 0,16 0 1

5. Parameter Simpangan Baku

(a) Hakikat Simpangan Baku

Simpangan baku adalah akar dua positif dari variansi

Simpangan baku merupakan simpangan yang dibakukan

Simpangan baku bersama-sama dengan variansi merupakan ukuran penyebaran data

Simpangan baku sering dijadikan satuan dari simpangan data

Simpangan baku diberi notasi

Simpangan, jumlah kuadrat, variansi, dan simpangan baku menunjukkan penyebaran data

Makin lebar penyebaran data, maka besar nilai mereka

Penyebaran : kecilNilai simpangan : kecilJumlah kuadrat : kecilVariansi : kecilSimpangan baku : kecil

Penyebaran : besarNilai simpangan : besarJumlah kuadrat : besarVariansi : besarSimpangan baku : besar

Contoh 19

Dari contoh 16

X = 2 = 1,41

Dari contoh 17

Y = 10,40 = 3,22

Dari contoh 18

X = 0,24 = 0,44Y = 0,16 = 0,40(b) Perhitungan dengan Kalkulator

Simpangan baku dapat langsung dihitung dengan bantuan kalkulator elektronik

Caranya dapat dibaca pada manual

Contoh pada kalkulator Casio fx 350 TL

Langkahnya sama dengan langkah pada perhitungan rerata dengan kalkulator Casio fx 350 TL

Untuk membaca simpangan baku tekan

xn = atau yn =

Tekan tombol x2 untuk menemukan variansiContoh 20

Data X Frek f X2 fX fX2 4 3 16 12 48 5 5 25 25 125 6 10 36 60 360 7 15 49 105 735 8 11 64 88 704 9 6 81 54 486 50 344 2458

Variansi 2X = 2458- (344)2 /50=91,28 Simpangan baku X = 9,55

Hitung kembali dengan menggunakan Exel atau kalkulator elektronikContoh 21

Data Y Frek f Y2 fY fY2 1 1 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6

Hitung 2Y = Y =

Hitung kembali dengan menggunakan kalkulator elektronikContoh 22

Kelompok Nil Kel X Frek f X2 fX fX2 31 40 35,5 2 41 50 3 51 60 5 61 70 14 71 80 25 81 90 18 91 100 13

Hitung 2X =

X =

Hitung kembali dengan menggunakan Excel/kalkulator elektronik

Contoh 23

Data X adalah sebagai berikut

79 49 48 74 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 91 74 7368 72 85 53 65 93 83 8690 32 83 73 74 43 86 6892 93 76 71 90 72 67 7580 91 61 72 97 91 88 8170 74 99 95 80 59 71 7763 60 83 82 60 67 89 6376 63 88 70 66 80 79 75

Dengan kalkulator elektronik, hitung

X =

X =

2X = Contoh 24

Data Y adalah sebagai berikut

39 42 30 11 35 25 18 26 37 1529 22 33 32 21 43 11 11 32 2944 26 30 49 13 38 26 30 45 2131 28 14 35 10 41 15 39 33 3446 21 38 26 26 37 37 14 26 2432 15 22 28 33 47 19 22 31 2037 40 20 39 30 18 29 35 41 2126 25 29 33 23 30 43 28 32 3234 28 38 32 31

Dengan kalkulator elektronik, hitung

Y =

Y =

2Y =Contoh 25

Data X adalah sebagai berikut

161 152 157 151 158 163 159 167 152 155 143 145 148 160 153 156 146 154 157 164 153 156 161 149 161 144 152 147 151 156 158 148 154 153 146 165 160 162 149 153 166 147 149 150 155 148 151 159 155 161 146 151 159 162 160 154 149 165 148 160 163 149 160 152 150 161 156 150 155 152 156 157 164 149 158 145 153 156 161 156 154 147 159 154 165 155 148 151 150 162 152 162 156 158 155 157 163 159 152 168

Dengan kalkulator elektronik, hitung

X =

X =

2X =Contoh 26

Data Y 2Y Y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C. Nilai Baku dan Transformasi Baku

1. Nilai Baku Linier

(a) Hakikat nilai baku

Nilai baku adalah nilai simpangan yang dinyatakan dalam satuan simpangan baku

Nilai baku ini dikenal sebagai nilai baku linier karena ada nilai baku lain yang nonlinier

Nilai baku linier diberi notasi z

Rumus nilai baku (linier)

(b) Sifat Nilai baku

Tanda nilai baku adalah relatif terhadap nilai rerata

Nilai baku adalah negatif jika data terletak di bawah rerata

Nilai baku adalah nol jika data terletak tepat pada rerata

Nilai baku adalah positif jika data terletak di atas rerata

Nilai dari nilai baku adalah relatif terhadap nilai simpangan baku

Nilai baku menjadi kecil jika simpangan baku adalah besar (sebaran data adalah besar)

Nilai baku menjadi besar jika simpangan baku adalah kecil (sebaran data adalah kecil)Contoh 27

Rerata sama X = Y = 5Simpangan sama x = y = 2Simpangan baku beda X = 1 Y = 55757X = 1zX = (7 5)/2 = 2Y = 5zY = (7 5)/5 = 0,4XYContoh 28

Data X Frek f Nilai baku zX 7 2 6 1 X = 5 1 4 3 X = 3 1

Contoh 29

Data Y Frek f Nilai baku zY 10 1 9 2 6 1 Y = 5 1 4 1 Y = 3 1 2 1 1 2 Contoh 30

Data X Frek f Nilai baku zX 4 3 5 5 X = 6 10 6 15 X = 8 11 9 6

Contoh 31

Data Y Frek f Nilai baku zY 1 1 3 5 Y = 4 9 5 15 Y = 6 23 7 15 8 17 9 9 10 62. Transformasi Baku Linier

(a) Hakikat

Tranformasi baku linier terjadi di antara nilai pada dua sistem (misalnya, X dan Y)

Tranformasi baku ini dikatakan linier karena masih ada transformasi baku lainnya yang nonlinier

Tranformasi baku linier ini dikatakan linier karena apabila nilai diletakkan di sumbu X dan nilai transformasi diletakkan di sumbu Y, maka mereka membentuk garis lurusXY(b) Rumus Transformasi Baku Linier

Nilai baku setelah tranformasi disamakan dengan nilai baku sebelum transformasi (maka itu dinamakan transformasi baku)

Dengan demikian maka

Contoh 32

Data X X X Data Y Y Y 10 20 5 ____ 50 10 4 12 1 ____ 20 2 17 25 4 ____ 8 2 30 50 5 45 ___ 6 60 40 8 20 ___ 4 25 15 3 65 ___ 6 ___ 50 5 70 88 9 ___ 5 1 26 20 2 ___ 75 10 10 8 1 40 30 5 60 50 ___ 70 62 8 40 35 ___ 25 40 3 40 70 ___ 50 ___ 2 60 50 4 35 ___ 4 27 30 6 65 ___ 10 40 25 5 20 10 ___ 80 60 10 55 40 ___ 90 70 4 15 25 ___ 65 80 3 Bahan U1: Distribusi frekuensi, Modus, median, rerata, varians dan simpangan baku.