EDISI KETUJUH

i.i!:1i*B-i:

.n6

a,*

4:J'{ ";, iit " *j.{:}p\_f&:;$

:'rpr. nt*

STATISTIKTEORI DAN APLIKASI

EDISI KETUJUH

JILID,?,,,',

t"t ' 4!,tt -:ii.l) t.a...2,)l -r.| 'r\:11:|,|R|', |.., | | '

J. SUPRAi{TO, M.A.

Ahli Peneliti Utana (APU) Bidang Eko oni dd Manijefletl padaBndin P sal Statistik

Curu Besar PASCA SARJANA, UPI-YAI

I'LNI_'

. 214

SfAflil|ft lEORl DAN APIIKASI Edisi KetujuhHak Cipta O 2009 pada Penetbit Etla g$a

Disusun oleh

Editor

: J. Supranto, M.A.: Devri Bamadi, S.E.

Wibi Hardani S.T., M.M.

Buku ini diset dan dilay-out oleh bagian produksi Perelbit Erlafl.gla dengan powerMacintosh G4, Palatino 10 pt.

Setting & layout : Tim PERTI Dept. SettintDesain cover : Yudi Nur Riyadi

: PT. Glora Aksara.Pratama

13 12 11 10 09 5 4 3,2

Dilalang ketus mery tip, meniiplak, atau memfotokopi sebagian atat sehouh isi b ku ini sertaempetjualbelikannya ktnpa nmdapat izin tertulis dan Pe etbit E/lo gt:a.

@ HAK CIPTA DILINDUNGI OLEH UNDANG.UNDANG

,\gar su.tu organisasi bisnis seprti prusahian ddpat bcrkcmbang, trmbuh, aiauletidaknla bertahan hmup (surl,l.e), organisasi iersebut harus mampu mcnglusilkanproduk (barant/iasa) )'ang mutuNa lebih baik, hart.l lebih murah, penlcrahan lebihcepat, dan pelayanan lebih baik daripada pesain$r'a. Semua ni dilakukan dalam upa).memberikan kepuasan kepada para pelanggan (nasabah bank, tamu hotel, pembeli dipasar swalavary turis asing & domestiK pelanggan TELKOIVI, PAl"{, PLN, pnumpangGiA, \lEltPATl, \4ANDAL,\, BOLLAQ, PEL\I, PIKA, pasien rumah sakjt, dan liinsbagain)'a). l'elanttan yang puas akan membeli berkali kali, mengajak orang l.rinmembeli, bercerita tentanil hal )'ang bagLrs mentenai produk atau perusahaan )an8menghasilkan pLoduk. l'enjual.rn akan meningkat, dan pada akhir$ a laba perusahaanjrila akan nlcningkat.

Berapa p.rscn pclanggan tidak puas? Bcrapa rata-rnta pembclian per pembeli atauberapa..ring pcmbeli membrli .ialanr latu mingBu / bu lan I tahun? Berapa iumlahproduksi, jurnlah penjualan, berapa perscn barang tidak laku, bcrapi lima \r'aktu ),angdipcrlukan unt!k mcnlcrahkan prodr.rk secara raia-iaia, bcrapa rata-rati tnlgkat kepuasanpelanggan dcngan nenggunakan Skala I-IKIRT: 5 u.tuk saDgat puas,.1puas,3 netral,2iidak puas dan 1 sangat tidak puas?

Data siaiistik tersebut akan diperlukan pimpinan. Hams ada orang vang nlanlpunrengumpulkar! mentolab men),ajikan.tan menSanalisis data. Re\.isi buku lang kccnamni dilengkapi c:terltan contoh data vant mutakhir atar bermanfaat bukan saia bagl paranrahasisrla tetapi iuga bagi siapa saja.vang akanbelajar st.ltisiik sebagai dasar pcmbuatankeplrtusao baik.talam peLusahaan maLrpun peme rtahan.

PTRUBAHAN SUSUI{AN BAB

Bila Anda simak isi Iilid 2 buku Stttti.tilt: T{ri dntl,lIlilnsi Edisi (rorirn ini, An.:ta akanmelihat adanya berbagai re\.isj dan perl,bahan dari edjsi scbchmnya. lcrubahan nxlemata-mat. dirr.ksudkan agar isj blrku semakin mcnlcnuhi stan.lar kualitas _v"angdlharapkan serta untuk menyesuaikan susunan materi pokok bahasan denganperkembani;an pengaiaran siatistik di periluruan tinggi. Bcbcrapa perubahan yangdimaksud adalah sebagai bedkut:

unl) l, 1:ri'1'i i,:l ir,r \il'i i1,:r rr,rri. pada edisi sebelrinrnya ditenrpatkarl di Bab 2.Perubahan ini terladi karena materi mentenai Probabilitas yang pada edisi scbelumni,l]Llitenrpatkan di Bab l Jilid 2, d+indahkan ke Iilid l e.tisi keenam. Ini merupakanpcnvcsuaian terhadap kurikutum maia kuliah statisiik ]'ang menghendaki Prob.bilit.sdiajarkan pada semesier satu.

Scmeniara itu, materi pada Variabel Acak dan Nilai Harapan mentaiami perubahanyang cL*Lrp sitnifikan. Susunan matcri pokok bahasnn, contoh-contoh soal, m.rupun soaldan latihair semuanyn tehh mcntnlanli pcrbnikan. Bcgitu pula pcn.""usunan kallmntdilakukan sedenikian rupa schnrgga lcbih snrgkat dan padat.

Bib 2, 1)i.r'rr r!.i ii r, rf scbclumn)a mcrupakan Bab 3. Pad. bab nri ditambahkan .lu.rnateri baru vaitu mengenai Distribusi Hipcrgromctrlk dan Dishibu\i Muliinonlinl. Keduapokok bahasan ini merupakan tuntutan pcrkcmbangan kurikulun kuliah statistik dibcrbatai perguruan thtgi. I'etnbahasin mcngcnai n1nteri Distribuii NormaL juga

vi lhrtrrri iorirrl rlorhn _rltir I

mengalani perbaikar! baik bahasa nraupun ..nroh-contuh soat. sudanetan DistribusiI/.ri l..urdrar r7:r hamp,r Ho.rk menga rmip"nbrhdn. BeqirJ outd p..,rb"i"a.r,, meng,.n.,rDistribusi t.

Hal baru lainnva pada Bab 2 adatah diberikannva aptikasi komputer dalammenghitung Distribusi probabitiras \rariabet Diskrit dan Variab;l Kontinu. rialam bab inijuga ditambahkan sebuah tampiran mengcnai nitai harapan dan pendugaan denganmetodc Maximum Liketihood.it.1ll i,r,, r .,ri.,rir trrrrt,,rii,,r sebetumnl,a merupakan Bab,1. Bab ini pun banvakn, rBJ .,rx peruLr,.hJn. terLran-d rruJ h,rSirr-b.rBr.ur ,r\vrt Telgend;.,ni p.'r".i..rn -drn;etpen.rikan sampel acal sederhana, penarikan acak dari popr asi terbaras dan tak terbatas,scrta disiribusi penarikan sarnpel. Kalimat-katimar pada pembahasan tersebut tebihdipersingkat dan diperjelas sehingga lebih memudahkan pemahaman.

Di akhirbab ini discriakan pula pembahasan mcngenaipenggunaan kompuier untukmelakukan pendugaan interval, baik unrLrk ta.us \rmpet he\-rr maupun I asrs sampelkecii. Pertanyaan dan Latihan juga dipcrbanyak dan diperbaharui.

Il.rh l, i , ,,i'. ,l'r i .r sebelumn)'a merupakan Bab 5. pada bab ini dapat dikat.kantidak ada perubahan yang berarti kecuati perbaikan dan pcnyempumaan kalimat,penambahan daftar istilah, rnrgkasan runrus, serta aptikasi kompuier untuk melakukanpentujian dua rata rata.

li.rl, i, '.' sebelumnya merupakan Bab r,. Dalam bab rx pun drpar dikatakant ak ada perubahan materi yang culup berartr ke.xati perbaitan jan p.,,i."n1o,-uunL'lim.,t ,erld c,,rroh,onr.h. penJn-hahr'1 d. d- i-tibl- penrirg. r nAk"..r;,rrn,.---r-.dan aplikasi kompuir mengcnai pencrrpan program MLtrosoft nrcet untul metakukananalisjs reSresi.

lj,rl ri.. . , sebelumnya merupakan Bab 7. Sama seperti bab sebetumnva,pcrubahan pada bab ini pun tidak rerlatu signifikan. Ada beberapa rumus yangdr\cmpurnaLin drn Jipc,b.rt,L perbaikan conioh-contoh soal dan p""u-t ut,o"

"outlJrihan Selain iiu. adr pLn.mbah.n s.tu materi baru, vaitu mengenii Anatisa Re8resiBerganda tlerdasarkan Output Komputer.

l]rb7, \l i i 1rrrr.,ii \.., rr rrr, I r, sebetumnya metupakan Bab 8. pada b.b ini dilakukanpenyempurnaan kalimat dan pnjelasan, penambahan beberapa contoh soal dan soaltatihan.

PTNIITUP BAB

Perubahan pentinS yang membedakan edisi ini dan edrsl-edisi sebeturnnra adalrh Dadabagian akllir bab. Beberapa fiturr baru drtamb-rh agar naha.iswa dipat Jensan'baikrre,r"hdmi, tidp r^pir \"np Jil-ahJ- di -epa,i. ni b.rb. Duns.,n deriti.n " iu; bet.jjl_vant diuraikan pada a1^.al bab dapat rerpenuhi.lir\RLl l\iil.rh fclting. BaSian ini memuar istitah yang terdapat di sepanjang bab.Tuludnnra JdJld} untLrl membr rru "naid.r+\.r menjtinsJl r.litah ,rJU ...n\p pe.rri,1Byang ielah dibahas.lJ.\lttl: ltingk.rr,rrr R!!nuc. Bagian ini be si rinSkasan atau pengulangan dari mmus

ielah dibahas di sepanjang bab. Tujuannva ad;tah untul mengingatkankembali rumus,rumus yanS tclah dibahas di sepanjang bab.lJ,\RLl \flil'.rsi I\r,nrl)Ut!r. Bagianini lncnjadi penting sebagai pedoman baSi mahasiswauniuk mengeksploitasi penggunaan komputer dalam itmu .itaiistika.

vii

i ' ,, r t .) ' r \ . r . ) r , ,:,,, ,, ih,, DibLlndingkan dentan edisi scbclunm]a, ectisi kccnam ini

menirediakan lebih banlak pertanyaan dan latihan. Dengan mengeriakan sclurlihpertani,aan dan lailhan, mahasiswa diharaPkan akan menSuasai sciiaP mated-Yang dibahasdalam setiap bab.

Ban) ak pihak ]'ang ierlibat dalam penserjian Statisiik e.lisi keenam ini. Ul1tt* itu,kami nlengucapkan ierima kasih Yang sebcsar'besarnv. kcpida mereka. TanPamengecilkan peian pihak plhak lain l-ant tjdak disebutkan di sini, kami secara khusu-singin mengucapkan tcdma kasih kcPada Bapak AIi Said, )ang telah membantu k.mlmalakukan revisi secar. menyeluruh terhadap edisi scbehmn)'a. Kami juga menilucaPkanterima kasih kepada staf editorial Perlcrbit Erlangga, fatlt sec.ua ierus-menerus memb'r imasukan bad penulis selama pengerjaan naskah dari cdisi keenam in].

Karya rans baik .lihasilkan melalui Pekerjaan ) art memPertimbantkan saran (lankdtik. Uniuk i!u, dcmi }renyempunraan L,ukLl ini di kcmudian hari, karni dentan senanghati mentharapkan saran dan kriiik i,ant membangun dari pemba(a s.kalian.

Jakarta, Maret 2001

Ahli Pe eliti LItL|nn (APU)Biddtlg Ekononi & t)Innaiet)tttt

Guru Besnr Pascn SariinaUPI YAI

KATA PENGANTAR EDISI I(EIUJUH

Di dalam edisi ke 7 ini sclain dilakukan koreksi ierhadap salah ketik dan kalimat )antkumng jelas, juga ditambah cara pengujian hiPotesls untuk selisih dua rata rata drrisampel pasanSan atau samPel tak bebas. Selain dari itu juta ada penanrbahan krjteria ujiFricaman untuk I sanrpeL belpasangan dan uji Kruskal uhllis untuk k samPel l'ang tid'kberpasangan (n,r?ryerde;t srrrplrs) dalam statistit nonParametdL dilengkaPi dengan contohsoal serta tambahan 1 Bab be{udul: Contoh I'enttunaan SI'SS (Bab 8)..

Bagaimanapun tidak ada gadint yang hdak retak, maka Pefl is tetaP mengharapkankitik vang membanSun da.i Para pembaca untuk lebih mcnyemPumakan isi buku nriKepacli plmpinan -eenerblr Erlatggn, tak lupa pcrlulis mengucapkan banyak tcrima kasihaias kcscdiaannva menerbitkan edisi yang ke-7 ini.

Iaka.ta, lanuari 2009

Ahli P.'lcl)ti Lltnnla IAPU)Bidang Lkrt.onLi da t4 uietirc

GltrtL Btsnr P,'s., Srrt LaIIPI.YAI.

DAFTAR ISI

I(ATA PTI'IGANIAR

IVARIABTI. A(AI( DAN NII.AI HARAPANV,ndbe A, il

Vadabel Acak Diskrit .Vari.'be A(r. I\on n.r....................

Distribusi Probabilitas Vadabel Acak Diskrit......Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Diskrit.....................-.....

Di.lribu.i l-ob.rl-r..rd. \dridbrl Ardl, 1untlnu............-....-... .Fllngsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak koniinu ........................

Funtsi Probabilitas Bersat a lloint Prcbnbilit-y).Variabel Diskrit............Perhitungan Funtsi l'robabilitas Mariinal...

Nilai Harapan dan Vadans dari Variabel Acak Diskrit...............................Nilai tlarapan dari Fungsi Probabilitas Bersama................................_.Aturan aturan dalam Menghiiung Nilai Harapan ...........-....................

Koyarians dan Aplikasin),a dalam Keuantan.r.,\ -ndn-......................Portfolio Expected Return dan Portfolio Risk..

l.rilJl- |en1rn8.. ............Ri.,gld-dn Rum,,.......Pcrtanld"n & I a1irr.,n. ......................

I

2

223

77

t0t0121,1

17181819

21

222221

2DTSTR|BUSI TE0RET|S..... 3tDistribusi Binomial ..... 32

Rata-ratadanVariansDistdbusiBinomia]........................ 38Distdbusi Poisson....... f0

Karaktedstik dan Proses Distribusi Poisson..........._............................... .10MenghitunB Probabilitas dengan Distribusi l,oisson............................ 44Itata-raia dan Varians, Distribusi Poisson........ ,15

Distribusi Hiper9eolnetrik.......................-.......... ,15Distribusi l,fultinomial q7Distribusi Norma1....... 49

Kurva Norlna1.............. ,19Distribusi Normal Baku (Siandar) .............. .... 52

Di.rihu.i l'ri l..ualrat r,t: tl-i .quare, ...........iCara Membaca Tabel Xz. .................................... ........67

Distdbusi f ................... ...........69Distribusi i .................... ..72Rhgkasan Rumus.....- ._ ..75Aplikasi Komputer.... ..................76Istilah Pentin9............. ...............78Pertan),aan & Latihan..................... ................78Lampiran Bab 2....................................... ............82

3b

8787

89

909l91

96

100

101

101107

il3121t24125

130

i301381.1,1

tl:119151

15,1

161-)

164169170171172174174

3PTNARIKAN SAMPII. DAN PTNDUGAAN

ArU lPrdfll dn camf.l .. ...Penarikan Sampel A.ak Sederhana..................Penarikan Sampel dari Populasi Terbatas.........Cara Mentgunakan Tabel Bilangan Acak.......l'enarikan Sampel dad Populasi Tak Terbaias .......................................

Ui\tribu\ l'\'n i L r r \Jn prl X\ilJ HJ .,p., , d.,ri \\. - ir5 rl.,r 5t.,no.r' D(a'J., Jrri I

Dalil Frl.r: Vernu-rl dJ, !.,1,."t Ldu11.t........................l.r..ir.,n il-, ndug.r-n urgEJ ... ..... ......

\ rf.r r- - if.r I l- ndugJ ......1,. .i-.,r, lL ndugJrr lrrcr\ J ...........................

Tendug.,Jn lnt, 1J. JIh.L Rrl,r- al. u .. ......Pendugaan Inierval unruk froporsi (l'crsentase) ..-...............................Pendugaan lnterval Tentang Perbedaan,i Selisih antara Dta

4PTNGUJIAN HIPOTtSIS

Dch ri-i Hip.re-i,.........JPri. I\e-r d\rn .,r,. - r,,o,\....... .. .. .. ..l'erumu.a r Hip.,le.j\

len$ j rr 'l:pcrc.i. enrr,rg llr.J-'. rdf. ,BuJiJn H'pur,*i. -,''u Rdl ,-r., rPengujian Hipoiesis Perbedaan Dua Ilnta-rata......................................Pengr.rjian Hipotesis Pe$edaarl Lebih Dua Rata rata..........................Vdri.rr- .,nt. r., R ,t. -r.,i , -J-i, l ..........

lengulr. n Hrp,'r"-i- ten.,18 Pr.por-iPenguiiaD Hipotesis tcrltang Pcrbedaan Dua Proporsi ........................Penguiian Hipoiesis tentang Pcrbc.l.an Lebih dari Dua Proporsi....

Pengujian Ketidakterganiunsan dan Ketepatan suatu Fungsi ...................Pengujian tentang Ketepatan/Kecocokan suatl, Iungsi

l'e.ltsu;i.n H,po.F.i- re'rl.ro \;'d r-..I'entujian Hipotesis untuk Dua Vadans ...........

..lildh l'erli rt..............R r8I a-dn l(un-J'......Apl.t a-. l.ompur,,

& L rLihan .......... -..

REGRESI StDtRHANA

5 Hubungan Lhcar arltara Dua Variabcl.-....................................-.................... t81Model liegresi Linear Sederhana......... .................... 181PenduBaan I'arameter A, B,

JriiIr L rL i,,r,lrr,i,jr rrl/ 2

\lenguji Hipotesis tcntang Koefisien Regresi dentan

Pendutaan dan I'cngujian Hipotesis tcntarg Koefisien Korclasi ..............fue :Fr \,,r, .-i .. . ..........................Hubungan antara Koefisien Rcgresi dan Koefisie.

Itamalan TungSal dan lntervnl dengan \{enggunakan

RtGRtSI BTRGANDA

197200201206Korelasi

Regresi Lnrcar

6 Hubungan Linear Lebih Dari Dua Variabcl

7Irenggunaan Metode Nonpar.mcirlk

Taksiran .talr Pendugaan tentang Kocfisicrl Regresi Parsin1...................... 241Pengujian Hipoiesis Koefjsien ltegicsi Parsja1............................. .. . 250

?38

252253251

256

260

26il271271273276280281

182

283283281281

286292

295

296296297297300

302303

Irendutaan Interval untuk Koefisien Rcgresi ParsiaI..............Kociisicn Determinasi Berganda dan Koefisien Korelasi Parsial...............

R,,"n-ren l..orcl .i 'rr.ir ... .. .. .. ..Hubungan antara Koefislcn Regresi Parsial dan Koefisien Korclasi

l'u^r.r1 .. .....................Annlisis Yarians dalam liegfusi Lnrear Berganda dan Peramalan dengan

Nlenggunakan ltei+esi Llncar BersandaPendugaan atau lt.malan dengan Ment$nakrn Regresi Lnrcar

Ber-. ,rdJ ... ... .... ...Vr-- dl. .irB e-i I inn\J .. ...

OloI.,r.j..i .. ..Sr-li.riL / D.rrhir \\-r.un.....................He.F ^J. J.,-t . r.,-ro r r... ir"- B. rt.rnod ...

Anaiisis Itegrcsi Berganda Berdasarkan Kcluaran (Output) Komputer . .Cara Mcmbaca Keluaran (Ouiput) Komputer......................... . .....Sel.ng Kepercavaan 95i, bagi 0u Bi, dan 8,. ..........-............ ... ... ...\ ,J n. \;fl"n.

..lilJh l! ' ,ER , Ul J-Jn Ru-nU.\p iL.,.i L. rnpurFrlc rJn\J.,n & I.rr 1...r .........L r.pi .,n

IIITTODT STATISTII( TIONPARAMTIRII(

uji randa (si9 i.,st) ......................................Prosed; Uji ran,la ,lc"gan Samper K;ciiProsedur Uji Tandi dengan Sampel Besar

I rl-- rEl ,.1 B. l.,r o. \\il.o\^n....... ...... ...ftoiedur Uji Peringkat tseLtanda lvilco\orl

l', rdIii.,- V.r'ln \\ \irn.I

(ON]OH PTNGGUNAAN SPSS ll48 Pendahuluan ....-....-...-.

Uji I Satu Variabel...-. . ................. .... .. . . .t'jr ' R.,L i n rJ BcrP, ,J 8,rnL jr ' R.,r , rrt.r .r(lJl B( pJ..rnE.,r.....Ar.tlt-t- Re5re. .t lr llipo'P-r. m"rrgr,unrl,r \P\r ...... .........ReSre.r BerEird,r..

33s3363383123'r63'rE350

TAMPIRAN 352

Lampiran I Distribusi Binomial...... ...-........ ....... 333Lampiran II Distribusi Rrisson........ ..-................. 358Lampiran lll Distribusi Normal........ .................... 363Lampiran lV Distribusi 1.................. .................... 361Lampiran V Nilai t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... ........ ....... 366Lampiran VI Nilai 8............................ .................... 367Lampiran VII AnBka Random ............ . .............. 369La piran VIII Statistik d Durbin hhtson......... ........-....-...-............................ 372Lampiran lx Nilai Kritis Prosedur Ujj Peringkat Bertanda Wiltoxon... 375Lampiran x Distribusi L.l dalam Pen$jian Mlan-Whitney ..................... 376Lampiran XI Nilai Kritis r dalam RL,rs-L5t uniuk Mlihai Keacakan.- 37ELampiran XII Conioh Menghftung MatriLs (ofaktor dan Mairiks Inv.rs 379Lampiran XIII Contoh Soal-soal Ujian ............................................................ 383

DATTAR PUSTA(A .......... .......-.............. 403INDTKS 404

BAB 1

T*^rrrA*K DAN Nr.Ar HARAPAN

Tuiuon Eelojor

Seteloh mempeloiori bob ini, Ando dihoropkon mompu:

. memohomi voriobel orok serto distribusi probobilitosnyo.

. menleloskon orli prohobililos bersomo.

. menieloskon niloi horopon don vorions dori voriobel ocok disktil.

. menieioskon 0[i kolorionr don oplikorinyo dolom keuongon.

a

: ::: l.uku jilid I sLrdah diielaskan ientang konsep percobaan (eksprlmen) dan hasil:: -: :rrt,,baan. Untuk mentgambarkarl hnsil hasil per.obaan sebagai nilai nilai numerik....r..r lebih scdcrhana, kita mcnggunakan apa vang (tisebLrt sebagai \.rdabcl a.ak. Iadi,

dapat djdcfifisik.n scbigai dcikripsi numerik dari hasil per.obaan.\ariabel acak bias.nva nrcnghubungkan nllai-nlLai ntLmedk dengan seiiap kcnlungkn!

I h.tsil percobaan. Karena nilai{ilai numc k tcrsebut d.1pat bersit:t ,, (hasil hltungan),lin bcrsif.lt , (hasil pengukuran)maka varlabel acak dapat dikelompokkan menjadi

(meruPakanb1]anganbulai,tidakL1isaPccah.tn)dan

lcl,,l Arr:k llii!lritYarirbel acak diskrit ha.). dapat mengambil nil.1i nilai ierienilr vang terpisah, yangumrnrm,v.l clihasilkan darl prnghihmtan suatu objek. Iika ada 100 karta\rar! makapenithitungan orang Iang tidak m.rsuk ke4a pada hari Senh dap.l nrengambil nilai nilaia, 1, 2, 3, ..., 100. Tabel dj bas ah memperlihatkan beberapa contoh \.ariabel .:tiskrit.

TABtt l.l (onloh (onloh Voriobel Diskril

Voriohel A

ioh t ktiobel Atola dtn tlki ll dp

DISTRIBUSI PROBABII.ITAS VARIABTT A(AI( DISI(RIT

Total

Distdbusi probabilitas va abel acak menggam;arkan baSarman.r \u:rtu Probabilitasdidistribusikan terhadap nilainilai dad variabel acak telsebut. Untuk vanabel diskrit X,dicrribu.i probabilrta- didefini,ilan den8an ... i,.1 n1..,r- ddn dinolasilan (ebJgaip(r) = P(xl= r) = probabilitas bahwa variabel X (hurur besar) mengambil nilai r (hurufkecil). l

Fungsi robabilitas p(r) menyatakan probabfitas untuk setiap nilai variabel acak x.Sebagai ga/nbaran atau ilustrasi dari variabel acak diskrit dan distribusi Probabilitasny4perhatikdi hasil pengamatan (dapat juga disebut Percobaan) dari Pnjualan mobil selama300 haii pada PT. Indah Caraka Motor Jakarta. Data yang dicatat adalah jumlah mobilyang te4ual dalam s!'hari. Hasil penganatan dimuat dalam tabel bedlut.

C-- El: _) :umloh ttobit Teriuol d0l0m sehori menurul Jumloh Hori Selomo 300 llori

0

1

2

3

4

5

54

117

72

42

72

3

lika X menyatakan jumlah mobil yanS terjual dalam sehari, maka P(0) menyatakan Proba-bititas 0 mobil teriual per hari, p(1) menyatalar Probabilitas 1 mobil tc'rjual per hari danseterusnya. Berdasarkan informasi yang diperoleh dari tabel di atas, bahwa 5r4 hari dari300 hari 0 mobil terjual, maka kita nyataknn nilai g/300 : 0,18 sebaSai Probabilitas bahwa0 mobil terjual dalam shari; 1171300 = 0,39 sebagai piobabilitas bahwa 1 mobil te4ualdalam sehan dan seterusnya. Secara ringkas nilai Probabilitas dimuat dalam tabel benkut.

@lqAtaaAq lumloh ilohil Teriuol dolom sehori

0

1

2

3

4

5

0,04

0,01

0,18

0,39

o,24

0,74

Dari tabel tersebut terlihat bahwa kemunSlcnan terbesar iumlah mobil ter,ual dalamsehari adalah 1 mobil dengan probabititas O39. Apabila kita ingin meryhitung probabilitasbahwa 3 atau lebih mobil terjual dalam sehari, maka kita hitunS p(3) + p\4) + P$) = 0,14+ 0,04 + 0,01 = o19.

1,00

trli,it h it ktk6l )itid 2

Dalam membuat suatu fungsi probabiliras untuk vafiabet acak diskrit, kondisi berikutharus dipenuhi.

11.1)

(1.2)

0,10

0,50

1234lunian mobil rerjuar daram sehad

Selain tabel dan giarik, distribusi probabilitas variabel acak diskit juta dapat diberikandalam bentuk rumus- Sebagai contoh, berikut diberikan variabet acak X dan distdbusiprobabilitasnya.

Strtrct \ang hntus ditt lthi u htk llitgsi ptobnbilihs nisktit:(i) p(r) > 0 atau 0 < p(;r) < 1(ii):p(r)=1

Distribusi probabilitas variabel acak -I vang ditunjuhkan pada Tabel 1.4 memenuhi keduakondisi di atas yakri p(:r) lebih besar atau sama dengan 0 untuk semua nilai jr dan iumlahprobabilitasn),a sama dengan 1.

Kita jugabisa menyajikan distribusi probabilitas dengan menggunakan srafik. DatamPcraga 1.1, nilai nilai dari vafiabel acak ditunjultin pada sumbu ho zonral dan nilaiprobabiliias yang berhubungan dcnsan nilai-nilai x tersebut ditunjukkan pada sumbu

i, PflAGI r.r l Groffk Fungsi Probobilihr

: 0,10

I 0.20

1

2

34

r /1021fi3/r0.1/ 10

Distribusi probabilitas di atas dapat dinyatakan dengan rumus (tungsi) sebagai be kut.

10'plr) = untuk nilai x = 1, 2, 3, atau 4.

dr! I /rriri,rr n rr rrr ]irri IIrr,riJir

Nfisal l(r) = ;ii, p(:) = i dan seterusnya. Umunmlra distribusi probabilitas di$atakandengan rumus atau fungsi tcrtentu. I'ada Bab 2 akan dibahas bcbcrapa distribusi proba-bilitas _vang penting, yang scmuanva memiliki rumus ata ftlngsi tertentu.

(,r/,1/,r,,: Fungsi .listribusi probabilitas tidak bolch rlegatif, dan 2 s),arat ),ang sudnhdisebutkan scbelumnva harus selalu tcrperluhi.

tungsi Probobilitos (umuloiif Voriobel A(ok Diskril

Fungsi probabilitas kurnulatif digunakan untuk menyatakan junnah dari seluruh nilaifungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama de gan suatu nilai yant ditetapkan.Irerhatikan Tabel 1.4, misalnva kiia ingin nrenghiiurlg bcrapa probabilitas bahwa mobilte4ual dalam sehari kurang dari atau sama dengan 3. Oleh karena itu, kita dapatmenjumlahlanprobabilitasdarinilainilair=0,r=1,jr=2,dan:r=3.fadi,P(r

6 ttotistil h i dtu l0ltk6i ltk 2

C @-:qq- -l.E!!lq

(ONTOH l.l Diketahui suatu variabel I yang daPat mengambil nilai darj 0, 1,2,3, 4(diskrit) dengan tungsi Probabilitas p(r) sebagai berikut.

4l /1\'/1\e'pt,t = xn ,r lz] lz.lCaritah distdbusi probabilitas, dan distribusi Probabilitas kumulatif untuk seluruh nilai

r, dan kemudian Sambarkan SraJiknya

PtNYTI.TSAIAil

1F{0)

f{r)=Fio)+P0) =;,11

E\b=F(r)+P(2) = -

l5r(3)=r(2) + P(3) = -

l6E(4): r(l) + l'(4) : -

l(umulo l

,,0, - qr 11f 1f 1'=lo(4 0)! \2, t2, lt'

+r ttt' ttt' q/(1)= r(4-ur lr.J lr.l = 16

,rr rrr'trt' oY"'- 2t\a - 2)t \.2 ) \2) 16

m rrinl aPt:l=.no-:rr l:l lzJ =ro

,rr rtt'ttto Ir'-, 4\4 4)t \z) \2) 76

Gamba graliknya diperlihatkan Pada halaman berikut'

ti t tttihl ttk k ht llr ttl

i l!! 94 !.! _r Grofik fungsi Prob0bilih5 don fungsiProbobil 05 (umulolil

1!

!216

_!-

1

1016

1216

!16

1

(a) Crafik rungsi ProbibiLrtis {b) Grafik lungsi Probabilitas Kumulitil

DISTRIBU5I PROBABII.IIAS VARIABII. A(AI( XONTINU

Disiribusi probabiliias variabel acak kontinu dnryatakan dengan tungsi l(r) dan seringdisebut sebagai fungsi kepadatan ,i,,i,ir,r ri,!,1, ! atau fungsi kepadatan probabilitasdan bukan furltsi probabilitas. Nilai_(r) bisa lebih besar dari 1.

FunSSi kepadatan probabilitas harus memenuhi s-varat scbagai berikut.

\hr4,, y.r,\ tlntb Dit\r hi,,/,ii i!r\., ktt,nt,tttrt l'tth,tl,ittt,t-:(i) l1)>0 1r.1)rr) I _/(y)d\ Lrnte8rdl ,eluruh tung-i lepadaldn probabilIds

lQ) = 1) (1.s)t'rrttltr: flx) dt : Pir < x < (x + dx)), yaitu probabilitas bahwa nilai x terletak

pada inierval r dan r + dr.

lungsi Probobilitos Kumulotil Voriqbel A(ok l(onlinu

Pada variabel acak diskrit, fungsi probabilitas kumulaiif djhitun8 dengan carapeniumlahan. Pada variabel a.ak kontinu, probabilitas kumulaiif .{icari dengan inietral.Rumusnya adalah sebagai berikut.

I't t$si l,fol'al,ilitd. kut',ttl tif Variibel Atnk Ko'tti'ut

l(Y) P(\ rl J_r(r) d'l rl.orNilai-nilai r dalam rumus ini harus krntinu atau dalam suatu interval.

t2

l-8 trtntil bui dar Aplilr lll !

(0t{T0H 1.2 Vadabl X mempunyai tungti kepadatan probabilitas ,(r) sebagai berikut:

J\x) = 2e\ , untuk ir > 0,(r)=O , untukr

Bob I Variqbd Ank dar Niloi lluap r

(c) P(2

t0

IUNGSI PROBABII.IIAS BTRSAMA UOINl PROBABITITY)

TAgtt 1.6 tlosil temporon Dodu Duo Koli

Pada subbab scb.lumnva, pcmbahasan kita mengenai variabel acak clan distribusiprobrt,ilitasnvr tulrh drbatr5r h.nir Lrntuk ruang sampel btrdimensi satu, Ll'lam rrriLalrr. a has,l-hasLl r ang Jrperoteh dari suatu Percobaan meruPakan nilni-nilai yang daPatdiambil olch suatu peubah (variabcll acak Dalam Praktekn)'a, ban)'ak kon.tisi ,vangnrcnghenclaki kita mencaiat sekaliEius nilai nilai beberaPa variabcl acak. Nlisalnvaperhitung.n kcuntungan yang djpcroleh oleh su:riu perusahaan mtlibatkan 'nalisisierhadap total penjuatan (x), total bla)'a (I, -vang dikeluarkan oleh Perusah'an ftu'per,gukuran ijngkat produktilitas per Pckera mclibatkan Yarjabel total barang vangdiprodriksi, total peke{a, tnrgkat kerusakan produk dan sbagain}-a'.

Bila x dan )'adalah dua variabel acak diskrit, dist busi Probabilitas bersamanyadapat din)atakan sebagai sebuah tuntsi Ir, !) bagi sembarang nilaj (r, v) i'ang dapatdiambil oieh variabel acak X clan )'. Sehinilga dalam kasus lariabel acak diskrit,

J(r' Y): P(x = t'Y = 'dimana nilaj /(r, j/) men-vaiakan pelLrang bahwa:l dan ! terjacli sccara bersanuan' Misaln)'a,bila rlalam sr.ratu p"""il-oo" mahasiswa baru, x men.vatakan nilni rata rata krrcndnhlans dlterlma. J. ) nrun\.ltakrn umur maksimum calon nahasis$'a, maka /(7, 17)

^."", ",ofo, pr,,brbilrtas l,ahr,: nilri rata-rata mahasisw.r !'ang mendafiar .tdalah 7 dan

dia bcrusia t7 tahurl.

Voridbel Di5krit

Dua buah dadLl dilemParkan se.ara bersama sama. Kemungkimn mata dadu i'ang muncul(hasili ,,', ).tari lemp.rran pertam: adalah x:1,2,3,'1,5,6, sedanSkan k$nuntkinanhasil .:tari lcmparan kedua .tdalah )'= 1, 2, 3, 1, 5, 6. Variabel X .1an Y terladi bcrsama-

\,lisalkan pada suatu lcmParan didaPat (2,l), ini ber.lrii masing-masing dadu mcnghasilkan mat.r 2 dan 4 dalam saiu kali lcmParan.

Sccara kescluruhan, kemuntkinan Pasantan (x, Y) Pada setiaP lemParan d'P'r dilihaidari tabel bcrikui.

lrrrrrii Lnri d0 ,furrtrr l/rd I

Tn8tt 1.7 DktibusiProbobilihs 8er!0m0, p (x, y)

L{, 1'... v i

111111:r;36:o3636:o111111:os6363636%r1Il1136363636363611111136 16 36 36 36 361r111136 36 36 36 36 361Il1t]363636363{,36

11

'll

41

6l

t615)2 t4

52

33

56

,oi Lnrnrd 4ol d,rr l!i, , i0r lt

Karena ada 36 hasil rri ,ii I maka tiap-tiap hasil rncmpurlvai probabilitas )aDg sama,vaitu t(.r, y) : P(X : I, )'= t) = 1/36, untuk semua nilai X dan Y.

Misalnya X.lan Y diskrit, di mana X:1r, ir,,..., riiv,lu!r,...,!t,,

Jadi, Iuntsi distribusi bersama X & Y ;'l r ,,lr Ir lrir,,1r,rriadalahr(r.,y)=1,(x

12

a-iltrlt,s -' Diirihuti Prohbilihs Be6omo: pfr, ,,J

Stttith Ie i don ktk6i lill ?

( rmrr r.r ) Ofr,itusi trobobiliios (umuldil Ih /

0'|

a0

1

2

3

123oEtt1lIq9999qlL29999

111999993000-

111q9999z2z9,rt,

F(2,2) =p(x

|ob t knobelAak dor tlki ll owr

pG,r)=P(x=r,Y-y)P@, Y) = P(t) p(xly)Y = 0,1,2,3, 4

t3

0

0

114

0

7116't lt6

0

1lt6

1/16

7 /160

't l16

't 116

1lt60

I176

P(1)

p(2J

P(3)

P14)

4l164176

4l164l16

C "f,!,,fb) Distrihusi Prohbilitos Be6om0: p lx, yl, p lxl, dot q ly)

1

2

3

4

qtv)

Apabila dua \.ariabel x, Y dan P(x : ,, Y = y) = p(r, y) merupakan suatu fungsi yangmemenuhi syarat berikutl

a) /(r, y) > 0, untuk seluruh nilai X darr Yb) :,tp(r, y) : 1 (penjumlahan untuk seluru}r nilai x dan y)

maka p(r, y) disebut fungsi probabilitas bersama x dan Y dan, agar singkat, IunBsryobrbilitu. bnsa kita sebut saja dn8an I p. 1,.

Fungsi p(.t) dan qfu) yang diperoleh langsung dan plr, y) dtsebut fa gsi naiinaL

pl,t\ = ,p(x, y\, dan q(y) = 2pG, y)!,

FunSsi marjinal p(r) dan {(y) dapat dilihat dalam tabel, pada baris dan kolom yanSpaling akhir (pada tepi tabel marjin = tepi/ping8ir, seperti yang ditunjukkan oleh Tabel1.11 berikut.

C* tllu tLD tfljlllCqfun$i Prob0bilih! Moriinol

1

2

3

4

7116

7 /760

| 116

11.71

p0,0)

pQ, nl

pl3, o)

p(4 0)

p(1, 1)

plz 1)

p(3, r)

p(4, r)

p11,2)

pl2,2)

p13,2)

P\4,2)

P(1, 3)

PQ,3)

p(3,3\

PU,3)

p(r, 4)

p(?- 4)

p(3, a)

Pe, 4)

,rg) 4116 3l16 3/16 3116 3/16 16116

ll lbtistk h l kt tpl*Bi trld ?

fl1,0) = p(1) p(0/1) = p(x = 1) ply = 0/x = 1l = 1 o =op(1,2) = p\1) pl2l1) = p\x = 1) p[y :zlx = 1]: +.+= +P(4, 0) = p(4) p(014\ - p(x = 4) ply = 0/x = 4l = 1.0 _0p(4,4) = p(4) pl4l4) = p(x = 4\ p[y :4lx = 4] = + += +pG) = ZrG, t)

v

p(2) = p(2, 0) + p(2, 1) + p(Z 2) + p(2, 3\ + p(2, a)=o++++++++

p(st : p\3,0) + pG, t\ + p(3,2) + pO, z) + pG, a)=++0+0+0+0

p(.a) = p@, 0) + p(a, 1) + p(4, 2l + p@,3) + p(a, a)-o+ + + + + + + +_! L16- 4

q\2) = pO, 2) + pl2, 2) + pO, 2) + p(a, 2)= fr + f +o+ fr

q\a) = p0, a) + p\2, q + pQ, 4) + p(4,4) .= + + + +0+ +

IIII.AI HARAPAT{ DAil VARIA S DARI VARIABII. AGI( DISKRIT

Rata-rata (jr) dari distribusi probabilitas adalah nitaihanpa Gxpected utre) dari variabel

Nilai harapan variabl acak diskrit adalah rata-mta tertirbang dradap seluruh\e_mynsLinan hasil di nana pe4imbangnya adatah nilai probabili-tas y rSdihubungkan dengan setiap hd\it (oricoap).

_ Yl_1i harary1 +pergleh denSan menyatakan setiap kemungkinan hasil : denganprobabilitasnya P(X) dan kemudian menjur al*an hasil perkalian iemebur Nitai harapandari variabel acak diskit X yarlS dinotasikan dengan E(X) dirumuskan sba8ai beikut.

9r1t t l0 tb-,1 l,1l fui ltl lNNt

Nilai llLtntn Yatiabcl Al,,li DisktitN

E(xJ = p, = )jxi p\x)

= \ PQ) + r, P(rr) + "' :r-P(r,,,)

r; = nilai ke-i dari variabel acal Xp(:r) = prcbabilitas te4adinya r,

0,375 4,37\

N.d = E(x - !)2 = >lr, - r)' p(,,)

rr = nilai ke-i dari variabel acak Xp(.ri) = probabilitas te.jadinya x,

t5

(ONToH I.5 x : bani,aknya pesanan barant dalam satuan yang masuk selama 1 min88u.P(x) : probabilitas teradinya x = r.

(r.)r)

0,125

Hitung rata-rata banyakn).a pesanan aia11 pesanan yang diharapkan.

PINYILTSAIAN

ir,: E(x) : :ri p(xi)' : (0) p(0) + (1) p(1) + (2) p(2) + (3) p(3)

: 0(0,125) + 1(0,37s) + 2(0,37s) + 3(0,12s):1.5

ladi, secara rata rata dapat diharapkan bah*-a pcsanan yang masuk selama I mingguadalah sebanyak 1,5 satuan.

tulain rata-rat4 ukuran statistik yanS lain adalah varians dan standar deviasi. Varians(d) dad variabel acak diskrit didefinisikan sebagai be kut.

Varians (d) dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadratselisih antara setiap kemungkinan hasil dan rata-ratanya di mana Penimbangnyaadalah piobabilitas dari masing-masinS hasil tersebut.

Vadans diperoleh dengan mengalikan sdiap kemllngkinan kuadrat selisih (Xi ,r)'] denganprobabiliiasnya p(.r,) dan kemudian menjumlahkan seluruh hasil perkalian tersebut.Sehjngga varians dinyatakan sebagai bcrikut-

Vatia s \htinbtrl ArLlk Disktit

(t.q)

I6

- tt)2 pl),)

Shtittk:h i lfi Allil\6i )ilil 2

E(X) = 1,5

Standar deviasi o diperoleh dengan menarik akar dari d.

(1.10)

(0t{T0H 1.7 Berdasarkan Contoh 1.5, hitunslah varians dan standar deviasinya.

PtNYEI.tSAIAtI

Dari Contoh 1.7 diperoleh E(X) : p = l,sd = E(x p)'

= E(X 1,5)'?= l(r, 1,5)'?p(r)= (2,25) (0,12s) + (0,2s) (O37s) + (O2s) (0,375) + (2,2.5) (0,12s)

= 0,75

d = \i0,75 = 0,866

Karena simpangan baku o: 0,865, ini berarti bahwa rata rata jarak nilai X trhadap t=E(iO adalah sebesar 0,865.

Jaral X terhadap E(x) dapat dilihat dalam PeraSa 1.8 berikut.

a ruxnrilr ) lor0l llosing'mosing l{il0i ,{lerhod0p f[,{l

I(riI

(0NT0H 1.8 Scorang penjual mobil yang menjadi "Agen Tunggal" merek tertcntu,berdasarkan pengalamannya dapat menjual mobil sebanyak X dengan probabilitas sebesarp(r) selama satu minggu. Data yang dia miliki adalah sebagai bedkut.

Berapa banyak mobil yang dia harapkan dapat teiual selama satu minggu? Hitung iugasimpargan bakunya.

Bdb I ktidbelA@k kr Nki koapon

PENYtI.ISAIAN

E(x): >.x PG)= (1)(0,08) + (2)(0,27) +... + (6X0,22)= 4,29

Kita membayangkan balwa apabila pnjualan dilakukan berkali-kali dari mingSu kemingSu dalam jumlah yang banyak sekali, maka secara rata-rata dapat dijual sebanyak429 mobil. Apabila penjualan dilakukan selama 500 minggu (N:500), maka selamawaktu tersebut diharapkan dapat terjual sebanyak N x E(X) : 500 x 429 : 2.145 mobil.

o: = fk-rG)l'zpG): 2(x 4,29)'1P(xJ=(1 - 429F(0,08) + (2 - 4,29\2(0,27) + . . . + (6 - 4,29Y(0,22)

o : 'i3'27

= 1,81

t7

Niloi Horopon dori tungsi Probobilitos Bersomo

lika tungsi probabilitas bersama dinotasikan denSan p(i!, y) untuk variabel acak X dan Y,maka nilai harapan dari vadabel acak /,(r, y) yang merupakan fungsi dari X dan Y adalahsebagai berikut.

EILG, r)l = , t h(x, y\ plr, yldi mana: ,(f, y) adalah smbamng tungsi dari X dan Y

lika I(:r, v) = xy, makaEIh(l, v)l = E(xY) = t, xy pO, y)

Jika hG, y\ : t + y, makaElhlt, v)l = E(x + Y) = t L Ot + y\ p$, y)

(0NT0H 1.9

Diketahui p(r, v) sebasai berikut.

p(, y) adalah pmbabititas te4adinya x dan Y secara be6ama-sama.

(1,11)

-trrLtfir{r trtrrltr Itr t.r.lrl il

2

3

4

0,4

0,4

0,2

0 0,1 0,1 0,2 00,1 0 0,1 0 0,201 01 0 0 0

slY) 1,0

t8 9dn : hdi h Artui Jilid 2

a)b)c)

E(x) + E(Y) =

c) E(XD

carilah nilai E(X + Y)!carilah nilai E(n + En, apakah hasilnya sama dengan ha-sil a)?carilah nnai E(XY)!

PE}IYH.ISAIA}I

a) E(x + Y)

b) E(x)

E(Y\

= Ez(x + y) p(x, !)= 2(0) + 3(O1) + 4(0,1) + s(O2) + 6(0) + 3(O1) + 4(0) + s(0,1) +

5(0) + 10,2) + 4(0,1) + 5(O1) + 6(0) + 7(0) + 8(0)= 4,4= 2.x p(i.)= 2(0,4\ + 3(0,4) + 4(0,2)= 2,8= ,v sUt= 0(O2) + 1(0,2) + 2(0,2) + 3(0,2) + 410,2')=2

2,8+24,8=E(X+Y\

LZ xy p(x, y)(0)(0) + (2)(o1) + (a)(o 1) + (6)(0,2) + (8x0) + (0x0,1) + (3x0) +(5X0,1) + (e)(0) + (12)(02) + (0x0,1) + (4xo1) + (8)(0) + (12)(0) +(16X0)

= 0,2 + OA + 1,2 + 0,6 +2,4 + 0,4= 5,2

Aluron-olurur dolom l{lenghitung l{iloi Horopon

1. E(ft) = t, t = bilanSan konstan2. Varians (,t) = 0 dan varians (X) = d3. E(kX) = k E(X)a. varians (rx) = Pd

r(ovaRrails DAt{ aPUtGSmYA DAttrfi IGUA]lGAll

i=L,2,...,ni=t,2,...,n

mtuk v.riabel aca( lonhnu lidak dibahas di buku ini lQr.na memrlukan PmBetahuanmatcnatika lmiutan. Ragi yanA ingirl mcmPelajari lebih ja!h, daPat membaca literatu. buku_buku statistik!n.tcmatik 1,,4*.r4,i.d iratErtrs).

Dalam subbab sbelunnya, kita telah memPelaiari nilai haraPan, varians, dan standardeviasi. Pada subbab ini, kita Pelajari konseP kovarians antaia dua variabel dankegunaannya dalam manajQmen Portfolio dan keuangan.

ldt, I lo,iJhr li,i /m liiroi r nrirr t9

Kovorions

Kovarians adalah suatu pengukuran yang menyatakan variasi bersama dari dua variabela..k Kovarians .nr,ra dua variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan o,y dandidefinisikan sebatai brikut.

o tlx Irx)ll), . fl))l prr,. r?)

= nilai variabel acak X ke'i= nilai variabel acak Y ke-i

= probabilitas te4adinya ri dan yi-1,2,...,N

(1.r2)

di mana:x,Y,

pG,, v,)i

(0NT0H l.l0 An88aplah bahwa Anda :kan memutuskan dua altematif /Pilihan investasipada tahun mendaianS. Kedua macam investasi tersebut ditanamkan pada 2 jenisperusahaan yang sudah t, t,r,l ir, katakanlah perusahaan A dan Perusahaan B. MisainyaAnda memperkilakan pentembalian investasi (untuk stiap investasi $1000) dan 3 kondisiperekonomian di mana setiap kondisi perekonomian dibedlan nilai probabilitasnya.

lo,2)

(0,5)

(o3)

Iika -x

E(-{)

E(v)

va(x)

$100

+l00

+250

Perekonomi t ang stat'il

Perekonomian maju/berkembang pesat

HitungnilaiharapandaripenSembalianinvestasi,rrr,l/i,irrrriruntukstiaPinvestasidan kovarians dari investasi tersebut.

PtNYfl.tSAtAt{

= investasi di perusahaan A, Y = investasi di perusahaan B

11x

d.'o:or

= (-100X0,2) + (100)(0,5) + (250X0,3) : $10s= ( 200)(0,2) + (s0)(0,5) + (350X0,3) = $90

= (0,2X 100 105)'z+ (0,5)(100 - 105)'z + (0,3)(2s0 105)'?:11_725

= 121,35

20 ,ttlt hri kr AllkLi Jilit 2

(0,2)( 200 90)r + o,5xs0 - 90), + (03x3s0 - eOF37.900

19.1,68

(0,2X 100 1051(-200 90) + (0,5X100 10s)(s0 - 90)+ (0,3)(2s0 - 10sx350 90)11.U90+100+11.31023 i00

var(Y) :

Kov(ry) = q, =6t, -

o,t =

ladi, perusahaan A mcmiliki harapan pengembalian investasi 1,'L I , , r ,i ' ' I r! r ,i r trang lebihtinggi dibandintkan dengan pcrusahaan B dan juga mempunyai standar deviasi yanSlebih rendah. Nilai ko1'arians sebesar 23.300 antara kedua jenis nlvcstasi menunjuhkanadanya hubungan positif yang kuai, di mana kedua jenis invcstasi saling berhubuntansaiu sama l.in dalam arahj,ang sama. Apabila investasijelis AmcnnrgkaL maka investasiB juga mcningkai.

Nilai Harapan, \,arians, dan Standar Deviasi dari Penjunnahan Dua Variabel Acak.

Niltti Itnntt'n dnti hltjuntlilln" 1)!n thtitl,tlNilai harapan dari penjunrlahalr dua variabl acak adalah sama dengan pen-jumlahan dari nilai harapan masing-masinS variabel acak.

E(x + Y) = E(x) + E(Y) (1.r3)

lj]ri]],ts dnri lieiith'tlihn D i yninlNlVa ans dari penjumlahan dua vadabel acak adalah sama denSanjunJal variansdari masing-masinS variabel ditambah 2 kali kovarians.

var(r+y)= 4-u=o,'z" o] * z

Bob I Voriohel Acok don Niloi Horopon

Expected return investasi dari penjumlahan investasi di kedua perusahaan tersebut adalah$195 dengan standar deviasi $315.

2t

di manaE(P) : portfolio expected ldl

,:;, ..i1.,,,,II . ;I #;plg$olr$t,lli]A.i.'pO 1+ ldari aset X,,' ,::,[1.r:i- ,,=.pr.o$*ir*i:nikii|pii#.f d,.de.}i aset y

E,X) : expected return asset X,i, ,. .E(Y)t,* expbctd.feiurn ry,,'y,,,.:1,. ,, ,, ,,,,.:

Portfolio Risk

o, [(o,s (14725) + (1 - 0,5 (37900) + 2(0,5)(1 * 0,sX23300)

Portfolio Expected Relurn don Portfolio Risk

Setelah kita definisikan kovarians, expected return, dan standar deviasi dari penjumlahandua variabel acak, kita dapat menerapkan konsep-konsep tersebut pada studi mengenaisekelompok aset yang merujuk pada apa yang disebut sebagai portfolio. Denganmenanamkan investasi yang disebarkan pada tidak hanya satu perusahaan, investormengombinasikan pengembalian dan meminimumkan risiko. Dalam studi portfolio, kitamenggunakan penimbang untuk setiap jenis investasi dengan proporsi aset pada investasitersebut. Hal ini memungkinkan kita untuk menghitung portfolio expected retunr danportfoliorlsk seperti didefinisikan berikut ini.

.: ,:'?'xtfg,ti : etea ri , *+gst*|,3-:a.$tn* ra.$ang+n.perlimlang hqgi aset,,'r Xalkari\41,deflgan4{p,i 'larair a i;a*etrXditaffbahdBaganpenimbangbagi

{1.16}

o, = f,iToi + (r - r)'oi + 2a(1. - a)i,y (1,,11)

(ONT0H l.l2 Dari Contoh 1.10, kita telah menghitung E(X), E(Y), d,, {,. Misalkan kitahendak membentuk sebuah portfolio dari dua investasi tersebut dengah menanamkaninvestasi yang sama dalam setiap aset tersebut. Hitunglah portfolio expected return danportfolio risk.

PTNYEI.ESAIAN

Dengan menggunakan persamaan (1.16) dan (1.17) di mana ot = 0,50, E(X) : 105, E(Y) :90, d,:74.725, dr: Zz.OOO dan o,o: 23.300, maka

E(P) : (0,5)(105) + (1 - 0,5Xe0) : $e7,50

6p : ^lz+aools

$157,50

]adi, portfolio mempunyai expected return sebesar $97,5 untuk setiap investasi sebesar$1000 (pengembalian sebesar 9,75%), tetapi memlllkt portfolio rlsk sebesar 9157,5. Dalamhal ini portfolio rlsk lebih tinggi daripada expected return.

22 Statistik: leori dsn Aplikosi lilid 2

ISTILAH PENTING

Vqriabel Acqk Deskripsi numerik dari hasil suatu percobaan.Variabel Acak Diskrlf Variabel acak yang mengambil nilai-nilai tertentu yang diperoleh

dari hasil penghitungan.

Variabel Acak Kontinu Yariabel acak yang mengambil nilai-nilai dalam suatu intervalyang biasanya diperoleh dari pengukuran.

Distribusi Probabilitss Suatu gambaran bagaimana nilai-nilai probabilitas didistribusikanterhadap nilai-nilai variabel acaknya.

Fungsi Probabilitas Suatu fungsi yang dinotasikan dengan p(x) yang memberikan nilaiprobabilitas bagi nilai tertentu dari variabel acak X.

Nilai Harapan Sebuah ukuran rata-rata dari variabel acak.Varians Sebuah ukuran dispersi dari variabel acak.

Standar Deoiasi Akar dari varians.

Kotsarians Variasi bersama dari dua variabel acak

RINGKASAN RUMUS

Syarat fungsi probabilitas diskrit:(i) 0 0(ii) \Zpk,U) = 1rv

Fungsi marjinal p(x) dan q(y) dari p(x, y) adalah:

pk) = Zpk, y)v

q(y) = Lpk, y)

1.

a

3.

4.

5.

6.

Bsh I Voriohel Aclk don Niloi Horopon

Nilai harapan variabel acak diskrit:

N

E(x) = u- = \x; p(x;)r= I

Varians variabel acak diskrit:

d = E(x - tt)z = I(r, - trt)z p(xi)i=1.

Standar deviasi variabel acak diskrit:

" = ^[7 = ./itr, - tt)2 p(xi)

Nilai harapan dari fungsi probabilitas bersama:

Elh(x, y)) = LL h(x, y) p(x, y)f@y) : 22xy p(x, y) untuk h(x, y) : xy

Kovarians dari variabel acak X dan Y (: o,r):No*,: ZlXi - E(x)llYi - E(Y)l p(x,, y)' i=1

Nilai harapan dari penjumlahan dua variabel acak:

E(X+Y)=E(x)+E(Y)

Varians dari penjumlahan dua variabel acak:

Var (x + y) : ozrny : o2, + ol + 26r,d : varians dari Xd,t : varians dari Yo,, : kovarians dari X dan Y

Standar deviasi dari penjumlahan dua variabel acak:

o,*v 'P; = @;q. '?"-15. Portfolio Expected Return:

E(P): aE(X) +(1 -w)E(Y)

16. Portfolio Risk:

oo =

23

9.

1.0.

11.

12.

't4.

24 Stotistik: Teori don Aplikosi lilid 2

PERTANYAAN & LATIHAN

1. Distribusi variabel acak x ditabelkan sebagai berikut.

X.::': .,: ',: ! ':ir , ,p,tx)

zt} A,2025 0,1530 0,2535 0,40

Total 1,00

a. Buktikan apakah distribusi probabilitas di atas memenuhi syarat yang telah ditetapkan?b. Berapa probabilitas bahwa x = 30?c. Berapa probabilitas bahwa x kurang dari atau sama dengan 25?d. Berapa probabilitas bahwa x lebih besar dari 30?Data berikut dikumpulkan dengan menghitung jumlah ruang operasi yang digunakan dalam sebuahrumah sakit di Jakafta selama 20 hari. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut: sebanyak 3 haridari 20 hari hahya terdapat 1 ruang operasi yang digunakan, 5 dari 20 hari 2 ruang operasi digunakan,8 dari 20 hari 3 ruang digunakan dan 4 dari 20 hari terdapat 4 ruang operasi yang digunakan.a. Gunakan pendekatan frekuensi relatif untuk membentuk distribusi probabilitas dari jumlah ruang

operasi yang digunakan.b. Gambarlah grafik distribusi probabilitas tersebut.c. Tunjukkan bahwa distribusi probabilitas yang Anda buat memenuhi kondisi yang telah ditetapkan.lnformasi dari 3731 pelanggan sebuah surat kabar mengenai jumlah anggota rumah tangga dapatdilihat pada tabel berikut:

2.

1 4742 16643 6274 5225 444

5.

Misalkan Xx adalah variabel acak yang menyatakan jumlah anggota rumah tangga.a. Gunakan data tersebut untuk membentuk distribusi probabilitas x.b. Gambarlah grafik dari distribusi probabilitas yang Anda buat.c. Tunjukkan bahwa distribusi probabilitas yang Anda buat memenuhi persyaratan.

Berdasarkan Soal No. 3, tentukan:a. Probabilitas bahwa x sama dengan 3.b. Probabilitas bahwa x lebih besar dari 3.c. Probabilitas bahwa x kurang dari atau sama dengan 2.Diketahui fungsi probabilitas sebagai berikut:

p (x) = ft, untuk x= 1, 2,3, atau 4a. Berapa probabilitas bahwa x = 2?b. Berapa probabilitas bahwa x> 2?c. Gambarlah grafik distribusi probabilitasnya!

Bob I Voriohel Auk don Niloi lloropan

Berdasarkan Soal No.1:

a. Hitung E(,Y) (nilai harapan dari .r).b. Hitung d.c. Hitung o.Berdasarkan Soal No. 3:

a. Hitung t(,r).b. Hitung d.c. Hitung o.Berdasarkan laporan Badan Pusat Statistik, rata-rata jumlah kepemilikan TV di kota Jakarta adalah1,5. Asumsikan bahwa distribusi probabilitas jumlah TV per rumah tangga seperti ditunjukkan padatabel berikut.

',',X. :$ {;4:.,.

0

1

2

3

4

5

0,40

0,2'l

0,21

0,08

0,06

0,04

a. Hitung nilai harapan dari jumlah kepemilikan TV pqr rumah tangga dan bandingkan hasilperhitungan Anda dengan laporan Badan Pusat Statistr'k tersebut di atas.

b. Hitung varians dan standar deviasi jumlah TV per rumah tangga.

Permintaan produk PT. lndah Perkasa bervariasi dari bulan ke bulan. Distribusi probabilitas padatabel di bawah ini yang berdasarkan pada dala 2 tahun lalu memperlihatkan permintaan bulananterhadap produk tersebut.

300 0,20400 0,30500 0,35600 0,15

b.

Jika perusahaan mendasarkan pesanan bulanan pada nilai harapan dari permintaan bulanan,berapa seharusnya perusahaan tersebut memproduksi barang/produk tersebut?

Asumsikan bahwa setiap unit permintaan mendatangkan pemasukan sebesar Rp. 70.000,- dansetiap unit memerlukan biaya produksi Rp 50.000,-. Berapa banyak keuntungan atau kerugiandalam sebulan jika pesanan yang dibuat didasarkan pada jawaban a), sedangkan permintaansebenarnya adalah 300 unit?

10. Sebuah perusahaan komputer merencanakan untuk mengembangkan usahanya dengan memproduksikomputer baru. Manajer perusahaan tersebut harus memutuskan apakah proyek pengembangandilakukan dalam "skala menengah" atau "skala besar". Karena adanya ketidakpastian dalam permintaanproduk baru, perencanaan dibuat berdasarkan 3 kategori permintaan yaitu rendah, sedang, dan tinggidengan perkiraan probabilitas masing-masing 0,20, 0,50 dan 0,30. Anggaplah X menyatakankeuntungan tahunan (dalam jutaan rupiah), manajer membuat perkiraan keuntungan sebagai berikut.

25

7.

d.

26 Stotistik: leori don Aplikosi lilid 2

S.,fiqla,ffigpgah.1

X ',b,irt 'vRendah

Sedang

linggi

50'150

200

0,20

0,50

0,30

0

100

300

0,20

0,50

0,30

a. Hitung nilai harapan keuntungan dari masing-masing pilihan proyek di atas. Keputusan manayang lebih disukai jika tujuannya adalah untuk memaksimumkan keuntungan?

b. Hitung varians dan standar deviasi dari keuntungan berdasarkan kedua alternatif tersebut. Pilihanmana yang lebih disukai jika tujuannya adalah meminimumkan risiko ketidakpastian?

Perusahaan penyewaan mobil di kota A mengadakan pengamatan mengenai permintaan harian daripenyewaan mobil. Distribusi probabilitas permintaan harian tersebut dapat dilihat pada tabel berikut.

x,.,. *,(r)::0't

2

34

0,15

0,30

0,40

0,10

0.05

a. Hitung nilai harapan permintaan harian jumlah mobil yang disewa.b. Hitung varians dan standar deviasinya.Berdasarkan Soal No. 11,a. Jika biaya sewa sebuah mobil sehari adalah Rp. 200.000,-, berapa nilai harapan dari sewa mobil

hariannya?b. Jika biaya sewa sebuah mobil adalah Rp. 75.000,- berapa nilai harapan sewa mobil hariannya?

Misalkan dari sebuah program pelatihan penyelamatan yang dilakukan oleh sebuah lembagapemerintah, diperoleh data mengenai jumlah kecelakaan menurut jumlah minggu selama 20 mingguprogram pelatihan sebagai berikut.

a. Buatlah tabel distribusi probabilitas berdasarkan data di atas.b. Hitung nilai harapan dan varians berdasarkan distribusi probabilitas yang Anda buat.c. Gunakan hasil b) untuk mengevaluasi keefektifan program pelatihan penyelamatan.

Diketahui fungsi distribusi probabilitas bersama X dan Y sebagai berikut.

vx 1 2 3 4

1

2

3

0,10 0,10 0,05 0,050,05 0,10 0,05 0,100,05 0,05 o,2o 0,10

11.

12.

13.

14.

Bob I rloiobel Acsk don Niloi Horopon

a. Cari P(X

28 Stttistik: Teori dsn Aplikosi lilid 2

a. Hitung nilai harapan dari masing-masing distribusi.b. Hitung standar deviasi bagi masing-masing distribusi.c. Bandingkan dan cari perbedaannya dari hasil distribusi A dan B. Diskusikan apa yang Anda

dapatkan.

21. Diketahui distribusi probabilitas bagi variabel Xdan Ysebagai berikut.

:;P:,,1*j,5$:. X Y.0,40 100 2000,60 200 100

Hitung: a. E (4 e. oxyb. E(n f. E(X+ Y7C. OX S. OX* yd. oY

22. Misalkan ada jenis investasi Xdan Yyang memiliki karakteristik sebagai berikut.E(X = $50, E(4 = $100, d,= 9000, dy= 15OOO, dan o*r= 7500

Jika penimbang (r) yang digunakan untuk aset portfolio X adalah sebesar 0,4 hitunglah:a. portfo/n expected return.b. portfo/n n'sk.

23. Seorang yang berusaha di bidang perdagangan dalam skala kecil pada sebuah stadion lokal harusmenentukan apakah akan menjual es krim atau minuman dingin pada pertandingan yang akandatang. Dia memperkirakan keuntungan berikut yang dibuat berdasarkan pengalaman masa laludalam kondisi cuaca dingin dan panas.

0,4.

0,6

cuaca dingin

cuaca panas

Rp50.000,00

Rp60.000,00

Rp30.000,00

FIp90.000,o0

Hitung:

a. Expecled return penjualan minuman dingin. c. Standar deviasi penjualan minuman dingin.b. Expected return penjualan es krim. d. Standar deviasi penjualan es krim.

24. Berdasarkan soal No. 23, hitunglah:a. Kovarians dari penjualan minuman dingin dan es krim!b, Menurut Anda, pedagang tersebut seharusnya menjual minuman dingin atau es krim? Jelaskan!c. Bagaimana Anda menggambarkan hubungan antara penjualan minuman dingin dan penjualan

es krim?

25. Anda sedang mencoba untuk membangun sebuah strategi bagi investasi di dua perusahaan "gapub/ic". Pengembalian tahunan yang diantisipasi bagi investasi adalah $1000 dalam setiap perusahaandengan probabilitas sebagai berikut.

0,1

0,3

0,3

0.3

-$1000

80

150

$50't00

-20100

Boh I Vsriobel Ank don Niloi Horopon

Hitunglah:

a. Expected return bagi perusahaan X.b. Expected return bagi perusahaan Yc. Standar deviasi bagi perusahaan X.d. Standar deviasi bagi perusahaan Ye. Kovarians dari kedua jenis investasi tersebut (X dan YJ.

26. Berdasarkan Soal No. 25:a. Bagaimana Anda memutuskan, apakah akan menginvestasikan pada perusahaan X alau Y?

Jelaskan!b. Anggaplah ingin menciptakan portfolio yang mencakup perusahaan Xdan L Hitunglah "portfo/io

expected return" dan "portfolio risk" untuk setiap proporsi investasi yang diinvestasikan diperusahaan Xsebagai berikut.(i) 0,10 (iii) 0,50 (v) 0,e0(ii) 0,30 (iv) 0,70

27. Hitunglah seperti Soal No. 25 tetapi untuk tabel berikut.

29

: i :.r!:r.!: :,::: -:.r; i i.: ii

*i,:i:1.:ff=;;rri;1

0,1

0,3

o,4

o,2

-$502A

100

150

-$10050

130

200

28. Berdasarkan Soal 27'.a. Apakah Anda memutuskan untuk menginvestasikan di X alau di Y?b. Misalkan Anda ingin menciptakan portfolio yang mencakup Xdan X Hitung "portfolio expected

return" dan "portfolio risk" unluk setiap proporsi investasi di Xsebagai berikut.(i) 0,10 (iii) 0,40 (v) 0,80(ii) 0,30 (iv) 0,60

29. Jika Expected Moneta4t Value (EMV) didefinisikan sebagai keuntungan untuk setiap kombinasi (xr)dari kejadian r dan tindakan /, dikalikan probabilitas terjadinya kejadian i, (P,) yang dijumlahkanterhadap seluruh kejadian, maka EMV dirumuskan sebagai berikut.

n

EMV.= L*,, P,,= I

Di mana: EMVj = Expected monetary ualue lindakan iii. = Keuntungan/kerugian yang teriadi bila tindakan Tdipilih dan kejadian i terjadiP, = Probabilitas teriadinya kejadian i

Berdasarkan data berikut, hitunglah EMV untuk setiap alternatif tindakan dari dua portofolio dalam 4kondisi perekonomian.

::r:: :r :: i i i:. a i

I r: : :::r ; ::: :. i::;i : :.:

.. b;'ri t

Resesi

Perekonomian stabil

Pertumbuhan yang moderatTumbuh pesat

0,10

0,40

0,30

o,2a

30

70

100

150

-5030

250

400

30 Stotistik: leori don Aplikosi lilid 2

Catatan: Xrmerupakan nilai dalam sel dari setiap tindakan. Untuk tindakan A, 4t = 30, X^ = 70 danseterusnya. Untuk tindakan B, 4z= -50, Xzz = 30, Xsz = 25O dan seterusnya.

30. Berdasarkan Soal No 29, jika koefisien variasi (KV) didefinisikan sebagai:

KV= o x 100%EMV

Hitunglah koefisien variasi untuk tindakan A, (KVA) dan koefisien variasi untuk tindakan B, (KV")l

grsTRrBusr TE,RETT'

Iuiuon Beloior

Seteloh mempeloiari boh ini, Ando dihuropkon mumpu:

. menieloskon orti beberopo ienis distribusi leorelis seperti distribusi binomiol, distribusi poisson, distribusihipergeometrik, distribusi mulfinomiol, distribusi normol, disribusi koi-kuodrol, distribusi I don distrihusi t.

. memohomi oplikosi berbogui ienis distribusi lersebd dolom menyelesoikon berbogoi permosoluhon.

32 Stltistik: Ieoti don Aplikosi lilid 2

Distribusi teoretis merupakan alat bagi kita untuk menentukan apa yang dapat kitaharapkan, apabila asumsi-asumsi yang kita buat benar. Distribusi frekuensi dapatdigunakan sebagai dasar pembanding dari suatu hasil observasi/eksperimen dan seringjuga digunakan sebagai pengganti distribusi sebenarnya. Hal ini penting sekali karenadistribusi sebenarnya yang harus diperoleh melalui eksperimen biasanya selain sangatmahal juga sering kali sulit dilakukan. Distribusi teoretis memungkinkan para pembuatkeputusan untuk memperoleh dasar logika yang kuat di dalam membuat keputusary dansangat berguna sebagai dasar pembuatan ramalan (forecasting lpredictiorz) berdasarkaninformasi yang terbatas atau pertimbangan-pertimbangan teoretis, dan berguna pula untukmenghitung probabilitas terjadinya suatu kejadian.

Pengertian mengenai beberapa distribusi yang utama akan meningkatkan kemampuanseseorang untuk membaca atau mengartikan hasil karya ilmiah hampir di semua bidangilmu pengetahuan. Setiap kejadian yang dapat dinyatakan sebagai perubahan nilai suatuvariabel biasanya mengikuti suatu distribusi teoretis tertentu dary apabila sudah diketahuijenis distribusinya, kita dengan mudah dapat mengetahui besarnya nilai probabilitasterladinya kejadian tersebut. Misalnya: berapa probabilitas bahwa seorang calon gubernurDKI ]akarta akan terpilih untuk menggantikan gubernur yar.g lama, berapa besarnyaprobabilitas bahwa barang yang Anda beli merupakan barang rusak, berapa probabilitas-nya bahwa produksi padi akan mencapai hasil antara 15,5 sampai 17,5 juta ton tahundepary berapa probabilitasnya bahwa hasil penjualan tahun depan akan mencapai hasilantara Rp]25 juta sampai Rp135 juta, dan lain sebagainya.

Beberapa distribusi teoretis yang akan dibahas dalam bab ini, antara lain DistribusiBinomial, Distribusi Poissory Distribusi Hipergeometrik, Distribusi Multinomial, DistribusiNormal, Distribusi Kai-Kuadrat (Chi-Square), Distribusi F, dan Distribusi t.

Seorang ahli tanaman menggunakan Distribusi Binomial untuk meramalkan hasilpenyilangan (crossing) berbagai varietas tanaman yang berbeda. Seorang ahli pengendalianmutu (quality control specialist) menggunakanDistribusi Poisson untuk memutuskary apakahsuatu proses produksi sudah berjalan secara baik sehingga tidak menimbulkan kerusakanbarang yang berarti, atau dihentikan agar jumlah barang yang rusak tidak terlalu banyak.Seorang ahli antropologi menggunakan Distribusi Normal untuk membandingkankarakteristik dari dua populasi.

Seorang ahli riset pemasaran menggunakanDistribusi Kai-Kuodrat untuk menentukanapakah ada perbedaan yang berarti dari reaksi pihak konsumen terhadap perubahanproduk. Seorang ahli agronomi menggunakan Distribusi F untuk menentukan apakahperbedaan teknik pemupukan akan menyebabkan perbedaan yang berarti di dalam hasiltanaman pertanian. Seorang ahli perekonomian menggunakan Distribusl f untukmenentukan apakah kenaikan harga minyak menyebabkan kenaikan harga makanan,dan lain sebagainya.

D!STRIBUSI BINOMIAI

Seorang petugas pengendalian mutu ingin menghitung probabilitas untuk mendapatkan4 bola lampu yang rusak dari suatu sampel acak sebanyak 20 bola lampu, apabila diketahuibahwa 107o dari bola lampu tersebut rusak. Nilai probabilitas ini dapat diperoleh daritabel Binomial yang dibuat berdasarkan distribusi Binomial.

Seorang ahli farmasi ingin menguji efektivitas dari suatu jenis obat dalam mencegahjenis penyakit tertentu. sehingga dilakukan pengobatan terhadap 100 pasien. Hasileksperimen ini dapat dianalisis dengan menggunakan distribusi Binomial.

Pada umumnya suatu eksperimen (percobaan) dapat dikatakan eksperimen Bino-mial apabila memenuhi 4 syarat sebagai berikut.

'1,, Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed nttmber of trial).

Bob 2 Dishibusifeorctis

2. Setiap eksperimen mempunyai 2 hasil yang dikategorikan menjadi "sukses" dan"gagal". Dalam aplikasinya, harus dijelaskan kategori apa yang disebut suksestersebut.

- lulus (sukses) , tidak lulus (gagal)- senang (sukses) , tidak senang (gagal)- setuju (sukses) , tidak setuju (gagal)- puas (sukses) , tidak puas (gagal)- barang bagus (sukses) , barang rusak (gagal)

3. Probabilitas sukses nilainya sama pada setiap eksperimen (percobaan).4. Eksperimen tersebut harus bebas (independent) satu sama lain, artinya hasil

eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen lainnya.

Perhatikan suatu eksperimen Binomial (Bernoulli), yang terdiri dari pengambilansatu bola secara acak (random) dari kotak yang berisi 30 bola merah (: 30 M) dan 70 bolaputih (: 70 P). Y adalah variabel acak dengan nilai sebagai berikut.

\, f t, j;tu bola merah yang terambilI:t[0, jika bola putih yang terambil

P(M) : p = probabilitas untuk mendapat bola merah (sukses) = 9,3Pe) = 7 - p = q : probabilitas untuk mendapatkan bola putih (gagal) : 0,7E(Y):1(p)+0(1 -p)

: 1(0,3) + 0(0,7): 0,3

Sekarang, suatu eksperimen Binomial akan dilakukan dengan n:Akali. Pengambilanbola dilakukan dengan pengembalian bola yang terambll (zuith replacement). Hal ini untukmenjaga agar eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen lainnva.

Eksperimen ini akan menghasilkan 2a : 16 hasil sebagai berikut.

33

1. MMMM2. MMMP3. MMPM4. MMPP5. MPMM6. MPMP7. MPPM8. MPPP

9, PMMMLO, PMMPL1.. PMPML2. PMPPL3. PPMML4, PPMP15. PPPM16. PPPP

Masing-masing hasil eksperimen terdiri dari 4 kejadian yang bebas satu sama lairy sehinggaprobabilitas terjadinya setiap hasil eksperimen merupakan hasil kali probabilitas masing-masing kejadian, misalnya P(MMPM) : ppqp: (0,3)(0,3)(0,7)(0,3): 0,0189.

Aturan perkalian untuk kejadian-kejadian bebas dan aturan penjumlahan untukkejadian-kejadian yang saling meniadakan, yan1 sudah dibahas dalam Buku |ilid I, dapatditerapkan di sini dan perhitungannya adalah

P(3M dan 7P): P(MMMP) + P(MMPM) + P(MPMM) + P(PMMM) :0,0756

Tanpa memperhatikan urutan dari masing-masing kejadian, setiap suku dalampenjumlahan tersebut mempunyai probabilitas sebesar pppq : p3q. Dengan cara yangsederhana ini, kita dapat menghitung probabilitas untuk mendapatkan sejumlah bolamerah tertentu sebagai hasil eksperimen.

Stotistik: leori dm Aplikosi lilid 2

Selain dari cara yang diterapkan di atas, Anda dapat menghitungnya secara lebihmudah dan cepat, yaiiu dengarl rtl.ggurlukan distribusi Binomiaiepabila X: banyaknyabotra merah dalam suatu hasil eksperimen Binomial, maka

x=iy,=fr,i-"1

='-i * y, + yu + ynMisalnya:

untuk MMMP,makaX = Yl + Yr+ Yr+ Y4:1 + 1 + 1 + 0 = 3untuk MPMP, maka X : Yr + Y, + Y, + Y4 = 1 + 0 + 1 + 0 = 2

Dapat ditunjukkan bahwa apabila eksperimen (percobaan) dilakukan sebanyak 4 kali,maka

X :0, 7,2, 3, 4Sedangkan, untuk n kal|

X:0, L,2, , nApabila semua nilai probabilitas X sebagai hasil suatu eksperimen kita hitung, akan kitaperoleh distribusi probabilitas X dan disebut distribusi probabilitas Binomial.

p(x = 0) : p(pppp) : p(p)p(p)p(p)p(p) : (0,7)4 :0,2407p(x : 4) : P(MMMM) : p(M)p(M)p(M)p(M): (0,3)4 : 0,0081P(X : z) = p3q + p2qp + pqpz + qp3 : 4puq : 4(OB)3(0,7) : 0,0756

Terakhir kita dapat membuat tabel dan grafik distribusi probabilitas binomial tersebutsebagai berikut.

:,X::i.i:rr.::lr:r]:::::.*

0

1

a

J

4

0,240r

0,41t6

0,2646

0,0756

0,0081

p(x)

o5

0,4

0,3

0,2

0,1

Dari contoh soal di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam distribusi probabilitasbinomial, dengan r percobaan, berlaku rumus berikut,

Boh 2 Dislribusi Teoretis

Aturan umum permutasi dapat digunakan untuk memperoleh banyaknvakemungkinan urutan yang berbeda, di mana masing-masing urutan terdapat / sukses,misalnya x = 3 (:3 sukses): MMMP, MMPM, MPMM, PMMM.

Apabila suatu himpunan yang terdiri dari n elemen dibagi dua, yaitu x sukses dan(n - x) gagal, maka banyaknya permutasi dari n elemen yang diambil x setiap kali dapatdihitung berdasarkan rumus berikut.

l?;iet

{2.3}

'oC;,:,* *l{*,;;;1

Masing-masing probabilitas pada distribusi Binomial dihitung sebagai berikut.

disepit,koffi der,l,ryfl p.g1i*1. ruffinkeniinasidarinel,emen yang diarnbil x setiap kali).

nlp,{x\= iii'_ijifn"-.r = 0, 1, 2, . . ., n; ni,! = n(n - 7)th - 2) . . . 1,

in$at:$ 41,11,; ir'461 p0'+,l1*rf i;,r, orirt

Dengan perkataan lairy probabilitas untuk memperoleh x sukses dalam eksperimen Bino-mial yang dilakukan sebanyak r kali sama dengan banyaknya kombinasi dari n elemenyang diambil x setiap kali, dikalikan dengan probabilitas untuk memperoleh "sukses"dipangkatkafl x, p', dan kemudian dikalikan dengan probabilitas "gagal" dipangkatkan(n - x), q"*'.

(n-x)\--VJ

Sukses

p,(x) sebetulnya merupakan salah satu suku dari ekspansi Binomial (p + q)'n:O,(p*q)o: 1n:l,(p*q)': p+qn:2,(p+q)2: p2+2pq+q2n :3, (p + q)3 : p' + 3p'q + 3pq2 + q3n :4, (p * q)n : p, * 4puq * 6prq, * 4pq, * q^

Pada umumnya (p + q)" mempunyai (n + 1) suku, yaitu

' ,P4" 7, 4n

Koefisien dari p3q (MMMP, MMPM, MPMM, PMMM: 4) dapat diperoleh dengan cara

,C. : 4l3!(4 - 3)!(4x3)(2x1)- (3)(r)(1x1)

:4

Gagal

36 Stotktik Teori dan Aplikui Jilid 2

Koefisien darip2q2 (MMPP, MPMP, PMMP, MPPM, PPMM, PMPM = 6) dapat diperolehdengan cara

4l4v2: 2t(4_z)l

(4x3x2x1)=

6(2)(1)(2)(1)

Termasuk koefisien untuk setiap suku

(p + q)': p" + npn-t q * n(n:1) ,n-2r2 *... * --"1- prq'-'+ rryq'-t + q"'r t 2! I t xlfu-x)l'p,(x) dari Rumus 2.3 merupakan fungsi probabilitas, karena

a) p,(x) 2 0, untuk semua r, sebab ,, '! ,, > 0 dan p'q' ' 2 O.xl(n - x)lb) LP,@) : 1, untuk semua x.

Ingat bahwapr(x) merupakan salah salu suku dari (p + q)" karena q: (1 - p) makaZP,G):@+q)

:[p+(t-p)]:(P*7-P)":7,:1

iilffiq (OilTOH 2.1 Seorang penjual mengatakan bahwa di antara seluruh barang dagangannyai.rK.[ yr"g dibungkus rapi, ada yang rusak sebanyak 20%.Seorang pelanggary membeli barang'* tersebut sebanyak 8 buah dan dipilihnya secara acak. ]ika X : banyaknya barang tidak

rusak (bagus) maka:

a) Hitung semua probabilitas untuk memperoleh X.b) Buat probabilitas kumulatif.c) Berapa probabilitasnya bahwa dari 8 buah barang yang dibeli, ada 5 yang rusak.d) P(x < 5), P(2 < X < 5), P(X < 8), P(X > 4).

,f PENYIIISAIAN{J toril perhitungan untuk menjawab a) danb) langsung dimasukkan dalam Tabel2.|pada

]ralaman berikut.

Untuk menjawab pertanyaan a), lihat p,(x). Demikian juga untuk b), lihat F(r).

: i) = P(X : 3) =.,=t' =,, (0,8)3(0,2)5' 3!(8 - 3)r8.7.6.5.4.3.2,1,. (0,8)3(0,2)53.2.7.5.4.3.2.7.

= 56(0,8)3(0,2f= 0,009175 = 0,0092 (probabilitas untuk memperoleh 3 buah

barang bagus).

Bob 2 Dishihusi leorctk 37

Distribusi Probobilitos Binomiol don Kumulofifnyo (p = 0,8, n = 8l

0

1

2

J

4

5

6

7

8

8

7

6

5

4

J

2

1

0

1(0,8)0 (0,2)8: o,oooo

8(o,s)1 (0,2)7: o,ooo1

28(0,8)2 (o,z)6 = 6,991156(0,8)'(0,2F : 0,009270(0,8)4 (0,2)4 = o,o4s9

56(0,8)5 $,2)3 - 0,L46828(0,8)6 $,2Y = 0,2s36

8(0,8)7 (0,2)1 = 0,33551(0,8)8 (0,2)o = 0,1678

0,0000

0,0001

0,0012

0,0104

0,0563

0,2031

0,4967

0,8322

1,0000

p,(6):P(x : 6) : At% (0,8)6(0,2)2

- B'7 '61' (o R)6(o ?)2: 28(0,8)6(0,2)2: 0,2936 (probabilitas untuk memperoleh 6 buah barang bagus).

c) 5 rusak, berarti X: 3P(X : 3) : p,(3) : 0,009175 = 0,0092,lihat jawaban a).

d) P(2 < X < 5) : p,.(2) + p,(3) + p,(4): 0,0011 + 0,0092 + 0,0459: 0,4562

I5;:ftJ:,jTil,":i,o"oan 2 buah barang bagus atau lebih tetapi

P(X < 8) = 1,000 (probabilitas untuk mendapatkan paling banyak 8 barang bagus.).

P(X < s) : r(5) : p,(0) + p,(1) + p,(2) + p,(3) + p,(4) + p,(5)-- 0,203l,lihat jawaban b)

(probabilitas untuk mendapatkan paling banyak 5 barang bagus).

1-p,(X0,50,maka persoalannya harus dibalik, yaitu menjadi x gagal dan (n - r) sukses' Dengandemikian, peranan p bukan lagi menjadi probabilitas sukses melainkan probabilitas gagal.Untuk n yang cukup besar dapat digunakan tabel normal.

P(X>4) :

Stotbtik: leori don Aplikwi Jilid 2

i t,qpt (0NT0H 2.2 Suatu mata uang logam Rp50 dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali.

t- X : banyaknya gambar burung (B) yang terlihatp(probabilitas untuk mendapatkan B) : 712B:sukses,E:gagalHitung p,(0), p,(1), p,(2), p,(3).

s:;;"H PE]{YE|ESAIANirf,S;,ffid# n = 3, x:0,7,2,3, p :112, q:112

7l (t lz)ott lzlt : 1 laP.(0)= ,,s,p "(7): ,..

3l .,, (1 I 2)(1 l2)2 : 3 I I, '/" 1!(3 - 1)! "

p,(z): -. -" - (rlz)2012) :318, t' 2t(3 - 2)1 "p.(3): lL t, l2p(112)o :1lB

3!0!

Roto-rolo don Vorions Distribusi Binomiol

Kita mengetahui bahwa untuk mencari rata-rata (pr), kita menggunakan rumus

p: E(X) = 2xp,(x)

: n! .-x -n-x=Lx rr.rn-r11P4 ,

dimanax=7,2,3, .,ft.

Perhatikan bahwa X : ZYi : Yt + Yz + . . . * Y,,

di mana Y,: Il tll" ,,t"ot,",:"' sehingga p (sukses) : p(1) : p

' [0, jlka"gagal", sehinggap (gagal) :p(0):1-p = qE(Y) : 1(p) + 0(1 -p):p + 0: p, untuk semua iE(X) E(IY,) : IE(Y,) : E(v1) + E(Y) + . . . + E(Y,)

: .p

+ p +*. . . + p

r kali-np

]adi, rata-rata dari distribusi binomial adalah np

Sedangkan untuk menentukan varians dari distribusi binomial, kita menggunakan rumus

var(X).il[ -T;-.,

Var (Y) :il{ _rvff

Boh 2 Dklrihusi leoretk

- L (y - p)2 p(y): (1 - p)z(p) + (o - p)' (1 - p): (1 - p)2p + pztt - p):p(1 -p)(1-p+p):p(l -p):pq

Var (X) : Var(IY;): I Var(Y;): V(Y) + V(Y2) + . . . + V(Y,):lq+pq+"...+pq:npq

ru kali

]adi, varians dari distribusi binomial adaTah npq.

Dengan demikiary dapat disimpulkan bahwa untuk variabel Xyang mengikuti distribusibinomial berlaku rumus berikut.

Catatan: o dibaca Sigma kecil, d : Sigma kuadrat, I : Sigma besar

.:{ea}{2.5a}

(2.Sb)

(0NT0H 2.3 Satu mata uang logam Rp50 dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali, di manaprobabilitas munculnya gambar burung (P(B)) sama dengan probabilitas munculnyagambar bukan burung P(E) : i. Iit, X : banyaknya gambar burung (B) yang muncul,carilah nilai rata-rata (E(X)) dan simpangan bakunya (o) dengan menggunakan cara:

a) Perhitungan secara langsung.b) Dengan menggunakan rumus E(X) : np, o : nTpq.

PENYETESAIAN

a) d E{X-E(x)}2E(X) > xp,(x)E(x) (0X+) + (1)(*) + (2Xfr) + (sXfl) + (+Xfr)

(0X0,062s) + (1)(0,2500) + (2)(0,3570) + (3)(0,2500) + (4)(0,0625)1,964 = 2

Di dalam 4 kali lemparan, diharapkan secara rata-rata memperoleh 28.

Var(X): d:t(.x-z)2L (x- 2)2p,(x)

@ -Dz(fr) + (r -z)',(h) + Q-2)'(*) + (3 - 2)',(+) + (4 - D'z(+)4(0,0625) + (1)(0,2500) + (0)(0,3570) + (1)(0,2500) + (4)(0,0625)1

o: "[:t

40 Stltistik: Teoil don Aplikosi lilid 2

E(x) np4(1 l2) : 2

d npq4(1 l2)(1 I 2)

1-+ o: Ji = t

DISTRIBUSI POISSON

b)

Kita dapat menghitung distribusi probabilitas binomial untuk percobaan denganprobabilitas sukses (p) kurang dari 0,05. Namun perhitungan tersebut akan sangat tidakefektif dan akurat (khususnya untuk nilai n yang sangat besar, misalnya 100 atau lebih).Semakin kecil probabilitas sukses, distribusi probabilitasnya akan semakin melenceng.Oleh sebab itu, dikembangkan satu bentuk distribusi binomial yang mampumengalkulasikan distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses (p) sangat kecil danjumlah eksperimen (r) sangat besal, yang disebut distribusi poisson.

Karena distribusi poisson biasanya melibatkan jumlah n yang besar, dengan p kecil,distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadiandalam suatu selang woktu dan daerah tertentu. Sebagai contolr, banyaknya dering telepondalam satu jam di suatu kantor, banyaknya kesalahan ketik dalam satu halaman laporanbanyaknya bakteri dalam air yang bersih, banyaknya presiden meninggal karenakecelakaan lalu lintas. Distribusi poisson digunakan untuk menghitung probabilitas suatukejadian yang jarang terjadi.

Rumus untuk menyelesaikan distribusi Poisson adalah sebagai berikut.

'tr::i:.ii:,

,&S}ii

l(orokteristik don Proses Distribusi Poisson

Untuk lebih jelasnya, marilah kita lihat pada contoh distribusi kendaraan yang melaluijalan bebas hambatan ]agorawi pada jam-jam sibuk seperti:'1.. Rata-rata hitung kendaraan yang lewat pada jam-jam sibuk dapat diketahui dari

data lalu lintas terdahulu.

2. Apabila jam-;'am sibuk kita bagi dalam detilg maka akan diperoleh:a. Kemungkinan secara tepat sebuah kendaraan akan lewat setiap satu detik, dan

begitu seterusnya pada selang satu detik.b. Kemungkinan dua atau lebih kendaraan akan lewat setiap satu detik (jumlah ini

kecil sekali) sehingga kita anggap sebagai nilai nol.c. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tertentu tidak ada hubungan-

nya dengan banyaknya kendaraan yang lewat pada setiap detik saat jam-jamsibuk.

d. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tidak tergantung terhadapbanyaknya kendaraan yang lewat pada detik yang lain.

Bob 2 Dhtilhusi Teoretk

Oleh karena itu, secara umum kondisi di atas dapat terjadi pula pada setiap proses.Apabila kondisi di atas ditemui dalam suatu kasus,maka kita dapat menggunakan rumusdistribusi Poisson.

Misalnya seorang yang akan menjual mobil mewahnya memasang iklan pada suatusurat kabar vang dapat menjangkau 100.000 pembaca. Dengan anggapan nilai probabilitasbahwa seorang yang membaca iklan tersebut berminat membeli mobilnya sebesar p = 1l50.000. ]ika dari 100.000 pembaca ada dua orang yang berminat membeli mobil tersebut(p : 0,00002) dan X: banyaknya pembaca yang berminat pada mobil tersebut, berapakahP(X : 0), P(X = 7), P(X :2), P(X:3), P(X: 4), . . .?

Persoalan ini sebetulnya dapat dipecahkan dengan menggunakan fungsi Binomial,karena persoalannya hanya mencari probabilitas r "sukses" dari n: 100.000 eksperimendi mana probabilitas sukses = p :1150.000. Akan tetapi, karena r terlalu besar dan pterlalu kecil, fungsi Poisson dapat digunakan sebagai suatu pendekatan yang lebihsederhana.

Apabila 1: rata-tatadistribusi : E(X) : tW : H## = 2, (secara rata-rata dapat diharap-kan dua orang pembaca yang menanyakan keadaan mobil), maka setelah dilakukanperhitungan, kita akan memperoleh tabel berikut.

4t

0

1

2

3

4

5

6

I9

p(0) = 0,13s3p(L) = 0,2707p{?) = 0'2707p(3) = O1s0ap$) : 0,0e02p(5) = 0,0361

p(6) = 0,01,20

p(7) : o,oo34p(8) : O000eP0) = A,a002

Perhittrngan ini dapat juga dilihat pada Tabel Poisson (Lampiran 1I), di mana x : 0, 1, 2, .. . , 9. Misalnya, kita ingin melihat distribusi probabilitas bahwa 5 orang pembaca berminatpada mobil tersebut (p(5)) dengan l- atau rata-rata distribusi : 2, perhatikan potonganTabel Poisson berikut.

42 Stltistik: Teoil don Aplikosi lilid 2

x 1,0 z0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,00

1

2

J

4

5

6

7

8

9

0,3679 0,13530,367e 047070,1839 0.27070,0613 q180400153 0,$90r.0,0031 0,s36x0,000s q0 200,0001 0,0*a*0,0000 0;80090,0000 s"0002

0,0498 0,01830,1494 0,07330,2240 0,74650,2240 0,79540,1680 0,79540,n008 0;15530,0504 0,1.0420,021.6 0,05950,0081 0,02980,0027 0,0132

0,0067 0,0025 0,00090,0337 0,0149 0,00640,0842 0,0446 0,02230,1404 0,0892 0,05210,1755 0,1339 0,09720,L7s5 0,1606 0,12770,1.462 0,1606 0,t4900,1044 0,1377 0,14900,0653 0,1033 0,13040,0363 0,0688 0,1014

Perhatikan kolom 2, dengan L : 2,0, telusuri ke bawah sampai ke baris x : 5. Kita akanmenemukan angka 0,03609 atau dibulatkan menjadi 0,0361. Artinya, probabilitas 5 orangberminat dari 100.000 pembaca adalah 0,0361, probabilitas 6 orang berminat adalah 0,0120,dan seterusnya.

Distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari x "sukses"dalam n eksperimery yang terjadi dalam satuan luas tertentu, satuan isi tertentu, intervalwaktu tertentu, atau satuan panjang tertentu, misalnya sebagai berikut:a) banyaknya bakteri dalam satu tetes ai{,b) banyaknya rumah terbakar dari 10.000 rumah yang diasuransikan selama bulan

Januari,c) banyaknya kecelakaan mobil yang terjadi di depan Istana Merdeka selama minggu

pertama bulan Agustus,banyaknya penggunaan telepon per menit,banyaknya kesalahan ketik per halaman laporan tahunan, danbanyaknya pesanan yang masuk per minggu.

CONTOH 2.4 Seorang pemilik pabrik rokok akan melakukan promosi penjualan rokokmerek A dengan iklan khusus. Di antara 1.000 batang rokok terdapat 5 batang yangcliberi tulisan "Berhadiah" dan dicampur secara acak dengan rokok lainnya. Setiap pembelirokok merek A yang memperoleh batang rokok dengan tulisan "Berhadiah" akanmendapatkan hadiah yang menarik.

Apabila X menyatakan banyaknya batang rokok yang terdapat tulisan "Berhadiah"lari satu bungkus rokok merek A yang setiap bungkusnya berisi 20 batang, berapakah-,.Y : 0) P(X : 1), P(X : 2), P(X : 3), P(X : 4)?

d)

e)

f)

1rl PtNYIIESAIAN

5 .,-rn-.-LW-(batang

banyaknya batang rokok per bungkus sebagai sampel acak

rokok "Berhadiah") : p(sukses) : p : # : 0,005

1

= rtp :20(0,005) - 0,1

Boh 2 Distrihusi leoretis

Dari Tabel Poisson (Lanryiran 11) kita peroleh:

43

x 0 I 2 J 4

pJxj S;90ttB , 0i090$ ,. 1. S,q045 0;0W2 , $/0000

Probabilitas untuk mendapatkan 4 batang "Berhadiah" : 0,0000 (tidak mungkin),sedangkan mendapatkan 1 batang "Berhadiah" = 0,0905 (>9'/o)

CONIOH 2.5 Seorang Kepala Bagian Kredit dari suatu bank beranggapan bahwa 4% daripara nasabahnya merasa tidak puas dengan pelayanan bank tersebur. Kemudian 50 orangnasabah dipilih secara acak.

X : banyaknya nasabah yang tidak puas.

Hitungp,(x),untukx:O,l,2,...,gdanhitungdistribusikumulatifF(x):P(X

44

: ,-1; L4 ^"1x=0 ,t:

e-L eL :1)1

(lngat suatu deret: 1 + x + ;. ; -: d, secara limit)

Distribusi Poisson sering dijumpai dalam buku-buku riset operasi, terutama untukmembahas Teori Antrian(QueuingTheory), sehingga makin menarik minat para pengelola.

Distribusi Poisson erat hubungannya dengan pengelolaan, sePerti kebutuhan perawatandan pelayanan terhadap suatu barang pada suatu periode. Atau untuk menghitungdistribusi kedatangan armada truk ke suatu gudang setiap selang sepuluh menit, dansebagainya. Distribusi ini disebut distribusi Poisson karena pertama kali ditemukan dandikeirbangkan oleh seorang Prancis, bernama Sim6on-Denis Poisson (1781 - 1840).

Menghitung Probobilitos dengon Distribusi Poisson

Berdasarkan contoh di atas, ternyata distribusi Poisson sangat erat kaitannya denganvariabel acak/sembarang (random aariable). Apabila X (huruf besar) dianggap mewakilisuatu aariabel sembarang dan merupakan bilangan bulat, maka kejadian x (huruf kecil)dalam distribusi Poisson dapat dihitung sebagai berikut.

P(x: x):P,(x): + x :0, 1,2,),: rata-rata hitung suatu kejadian dengan selang waktu tertentu,e : bilangan konstan Napier :2,71828

P(X : x) = p,(x): Probabilitas terjadinya suatu kejadian (peristiwa)xl = x faktorial = x(x - 1)(x - 2) . . . 1,.

Misalnya kita menjual trafo. Beberapa waktu yang lalu kita mengeluarkan 5 unit trafodari gudang untuk dijual ke pedagang besar (grosir). Apabila pimpinan menanyakanbagaimana distribusi trafo tersebut, berdasarkan rumus Poisson maka kita hitung sebagaiberikut.

I e-Ap,(x) :

" , di mana ,1, = lambda -- rata-tata penjualan trafo per minggu.

Probabilitas untuk menjual 0 (nol) trafo:

r (o) : 50 e-5 _ (1X0,00674)0! 1p,(o) :0,00674

Probabilitas untuk menjual 1 trafo:

51 e'5 (5X0,00674)P,(l): Mp,1) :0,03370 (Ingat 0! : 1! = 1)

Probabilitas untuk meniual 2 trafo:

52 e-5 (25)(0,00674)._ /a\' ,-','..i""' ' 2l (2)(1)

P,(?) =,0,08425 ', -,.t .{ nl. t. rl" \ ' '' :

Ststktik: leori don Aplikosi lilid 2 Bsb

Rotc

45l2 Esh 2 Distilhusi leoretis

Probabilitas untuk menjual 3 trafo:

(725)(0,00674)(3)(2X1)

p,(3) : 0,74042 (Lihat Tabel Poisson)

Untuk mengetahui berapa probabilitas penjualan untuk x :0,1,2, atau 3, perhitungannyaadalahP(0)+P(1)+P(2)+P(3)=0,00674+0,03370+0,08425+0,14042:0,26571'.P(x:0 atau 1 atau 2 atau 3) : 0,26571, = P(X < 3) : probabilitas hasil penjualan paling banyak3 unit trafo.

Misalnya, persediaan kita tinggal tersisa 3 unit trafo dair ingin mengetahuikemungkinan permintaan yang lebih dari persediaan (sfock), maka

P(3 ke atas) : 7 - p(Zke bawah) atau P(X > 3) : 1 - P(X < 3)Jika P,(3 ke bawah) : P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,26511, maka

P,(3 ke atas) : 1 - 0,26511 : 0,73489.

]adi, probabilitas bagi permintaan di atas 3 unit trafo : 73,489%. Angka ini cukup besa4sehingga sudah selayaknya apabila persediaan ditambah lagi agar tidak mengecewakanpelanggan.

5' e-"p,(3): 3t =

rkla.

an:Iganan

anrili:il)

Distribusi Poisson unluk Perminloon (Pembelion) Irofo

0,00674

0,03374

0,08425

0,14042

a,v5520,17552

0,L4672

0,10448

0,06530

0,a3628

0,01814

0,00824

0

1.

2

3

i

5

6.7

8

9

10

11

12 ke atas

afo(an

gai

Kebutuhan 11 ke bawah

Kebutuhan 12 ke atas

Rolo-rolo don Vorions, Distribusi Poisson

Dapat dibuktikan bahwa untuk distribusi Poisson,

.PE(X) = Z^ *p,(!) = L^

.rd .r4

,rr, :I"*-*,I,,[;. !.,t,,''

:,r*:,:,i,6*i:,**, :,'iProflasl Jilt Tlrmur

46 Stotktik: leori don Aplikosi lilid 2

tE.el,fliEx. )l*!{},."r::::r:

di,mdaai

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Distribusi hipergeometrik sangat erat kaitannya dengan distribusi binomial. Perbedaanantara distribusi hipergeometrik dengan binomial adalah bahwa pada distribusihipergeometrik, percobaan tidak bersifat independen (bebas). Artinya, antara percobaanyang satu dengan yang lainnya saling berkait. Selain itu probabilitas "SUKSES" berubah(tidak sama) dari percobaan yang satu ke percobaan lainnya.

Notasi-notasi yang biasanya digunakan dalam distribusi hipergeometrik adalahsebagai berikut:

r i menyatakan jumlah unit/elemen dalam populasi berukuran N yangdikategorikan atau diberi label "SUKSES"

l/ - r : menyatakan jumlah unit/elemen dalam populasi yang diberi label "GACAL".n i ukuran sampel yang diambil dari populasi secara acak tanpa pengembalian

(without replacement)

x'. jumlah unit/elemen berlabel "SUKSES" di antara r unit/elemen

Untuk mencari probabilitas x sukses dalam ukuran sampel n, kita harus memperoleh xsukses dari r sukses dalam populasi, dan r - x gagal dari N - r gaga7. ]adi, fungsiprobabilitas hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut.

':tK

,:F"rIg

i'a6:

= jurnlah kejadian sukses= prolaliiitas te{adinya r- rata-rata distribusi= konstanta Naperian (L77828): varians

'C, N-, C*_,p{*)==E=,0

Bob 2 Distilbusi Teoretis 47

Dari Rumus

,C,

tt Cr_,

,C,

di mana:

di atas, perhatikan bahwarl

.l(, -- "\(N - r)!(r-r)!(N -r-n+x)!

N!r!(N - r)!'C, menyatakan jumlah cara

dalam populasi.n- -'C, -, menyatakan jumlah cara

gagal dalam populasi.NC, menyatakan jumlah cara

populasi berukuran N.

x sukses dapat dipilih dari total r sukses

n - x gagal dapat dipilih dari total -1,/ - r

sampel berukuran n dapat dipilih dari

2.9

:*'fi PENYETESAIAN

.S&J rciau dapat menggunakan distribusi hipergeometrik dalam kasus ini, dengan n:2,l'J =5, r = 3 dan r : 2, x : jumlah wanita terpilih.

r - N-rnr(.r) = ,U C,

(i) oQ): '"", = (+l&) = * :0,3\'./ t'\Lr - ,C, (rj;) - t0]adi, probabilitas 2 orang wanita terpilih adalah 0,3.

(ij) p(l): '9, 'c, - (,ir,)( 'ii:) = rl =' rc, =tffifl=#=*:o'6Jadi, probabilitas terpilih 1 orang wanita dan 1 laki-laki : 0,6.

CONIOH 2.6 Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang, di mana 3 adalah wanita dan 2laki-laki. Misalkan 2 orang dari 5 anggota komite tersebut dipilih untuk mewakili delegasidalam sebuah konvensi/pertemuary(i) Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan secara acak didapat 2 orang wanita?(ii) Berapa probabilitas dari 2 orang yang terpilih adalah 1 laki-laki dan 1 wanita?

DISTRIBUSI MULTII{OIWAI

Apabila pada distribusi binomial hasil sebuah percobaan hanya dikategorikan 2 macamyaitu "Sukses" dan "Gagal", maka dalam distribusi multinomial, sebuah percobaan akanmenghasilkan beberapa kejadian (lebih dari 2) yang saling meniadakan/saling lepas(mutually exclusiue). Misalnya ada sebanyak k kejadian dalam sebuah percobaary katakanlahkejadian-kejadian 81,82, Br, . . ., B*. ]ika percobaan diulang sebanyak n kali dan peluangterjadinya setiap kejadian B konstan/tetap dari setiap percobaan dengan P(Bi): P, untuki:1,2,3,...k, dan X1, X2,X3, .,Xrmenyatakan jumlahterjadinya kejadian BiQ -1, 2, . . . , k) dalam n percobaary maka fungsi distribusi multinomial ditulis sebagaiberikut:

48 Stltittik: feoil don Aplikosi lilid 2

rl I I I ..ct mana:: t|,.,:, :,:',: l,:r:rl

'aa'i: ''rr r'a\i vt}\1,/ *2t t

: :i :i,i. ! I ti:r.:. r:;;:::: .:'::. '': ::::::": "

."

;1,r1#*,*wlFeffi,,tffi :dari F$ilfi'&f ,Bg,r,', : ;:f!n menyatakan jumiah percobaanpt, ?2, . . ., ?r, adalah probabilitas terjadinya kejadian 81, 82,. . ., B*

:,tata*an

i..a}'*,+,{n.r x }- (L,

-', 2}'r1rq, " 1..' ;,,,

4l=4.3.2.1 =24

*Ii#* C0i{T0H 2.7 Proses pembuatan pensil dalam sebuah pabrik melibatkan banyak buruh

; *#rJ dan proses tersebut terjadi berulang-ulang. Pada suatu pemeriksaan terakhir yangdilakukan telah memperlihatkan bahwa 85ft produksinya adalah "balk", 70/o ternTrata"tidak baik tetapi masih bisa diperbaiki" dan 5/, produksinva "rusak dan harus dibuang".]ika sebuah sampel acak dengan 20 unit dipilih, berapa peluang jumlah unit "baik"sebanyak 18, unit "tidak baik tetapi bisa diperbaiki" sebanyak 2 dan unit "rusak" tidakada?

;':::ri,g PENYEIISAIAi{ Proses tersebut merupakan proses dari distribusi multinomial karena suatulM-# percobaan menghasilkan lebih dari 2 kejadian (dalam hal ini 3 kejadian).

Kita misalkan,

Xr : banyaknya unit yang "ba7k".Xz : banyaknya unit yang "tidak baik tetapi bisa diperbaiki"Xs = banyaknya unit yang "rusak dan harus dibuang"

Dari soal di atas diketahuixt:78, Xz:2 dan X. = 0 (syarat xl + xz + x3 : n:20) dan p, : 0,85, pz:0,7 danpr: 0,05 maka:

p(78,2,0) : [--4]lto,asl',

(0,1)2 (0,05)0

= 190(0,85)18 (o,ot):0,102

jadi, peluangnya sebesar A,102.

Catatsn:0l : 1

iob 2 Dktibusi leoretis

DISTRIBUSI NORI'JIAI

Di antara sekian banyak distribusi, barangkali distribtrsi nornutl merupakan distribusi y'angsecara luas banyak digunakan dalam berbagai penerapan. Distribusi normal merupakandistribusi kontinu yang mensyaratkan variabel yang diukur harus kontinu, misalnya tinggibadary berat badan, skor IQ, jumlah curah hujary isi botol Coca-cola, hasil ujian, dansebagainya.

Kurvo Normol

Suatu variabel acak kontinu X, yang memiliki distribusi berbentuk ionceng seperti yangdiperlihatkan dalam Peraga 2.2, disebut variabel acak normal. Persamaan matematikabagi distribusi probabilitas acak normal tergantung pada dua parameter, yaitu 1t dan oatau nilai tengah dan simpangan bakunya. Fungsi kepadatan probabilitas normal dapatdituliskan sebagai berikut.

f{x} ,,AG#)',untuk*

50 Stutistik: Ieori don Aplikosi )ilid 2

t\: h

ffi Dro K*uo No,*ol drngon /r, * lr., d, q * o.

ol

iob 2 Dislilhusi leoretis 5l

P(1t - 1,o 1X I ptP(1t-2oSX3trtP(tt-3oSX31t

+ 1o) : t 68% (68,26%)+ 2o) : X 95% (95,46%)+ 3o) : x 99% (99,74%)

Lihat Peraga 2.5.

Kurvo Normol dengon Skolo Bioso (,Y) don Skolo Boru (4

-l.zo l, )o p p io t, |,2o

68,26/o*i i

95,467a+i99,74%

Sebagai ilustrasi, diberikan data hasil pengukuran tinggi para atlet yang disajikan dalambentuk tabel dan grafik sebagai berikut.

Kumulotif dori linggi 100 0rong Ailel

154-155

1.56-r57

1s8-1s9

L6W167

162-1.63-t_64-t65

166-1,67

3

L2

Z2

JZ

18

9

4

0,03

0,12

0,22

0,32

0,18

0,09

0,04

0,03

0,15

0,37

o,69

0,87

0,96

1,00

|umlah 100 1,00

Kurva fungsi normal teoretis sangat sempurna bentuknya dan sering disebut "idealcLLrzte.". Akan tetapi, di dalam prakteknya, hanya mendekati saja. Perhatikan bentuk kurvaempiris dari tinggi mahasiswa berikut, di mana bentuknya mendekati/menyerupai kurvanormal.

52 Stotktik leori don Aplikosi Jilid 2

o,4Frekuensi Relatif

Keterangan= kurva normal: kurva mendekati normal

156 158

Untuk membuat histogram harus dibuat batas kelas yang sesungguhnya, mulai dari

kelas pertama 153,5 - 155,5 sampai dengan kelas terakhir 765,5 - 767,5. Setiap histogramdibuai berdasarkan batas kelas yang baru tersebut. Suatu kurva yang diperoleh dengan

menghubungkan titik tengah dari puncak setiap histogram,disebut polygort fiequency.perhitikan p"rugu di atas, kurva polygon mendekati bentuk kurva normal.

pertu diketahui di sini bahwa rata-rata dan varians distribusi normal adalah sebagaiberikut.

0,3

0,2

0,1

1661.64

_L ,4+t' dx = uE({) = Il*r;rrnvar(x)= E{x - ttf = I:.W ,4#)'4, = oz

12.121

i,1, " ,,. 1(r.13)

t2,x4)

{?.15}

Fungsi distribusi atau distribusi kumuiatif dari fungsi normal adalah sebagai berikut'

F(x) = P(X s xF #J: e l(#)'dr

X : N(#, o) : fungsi normal dengarr rata'rata p,o = ^,lo' = simPangan baku

Disftibusi Normol Boku (Stondorl

Setiap kurva norma