Statistik Deskriptif
-
Upload
iqbal-dachi -
Category
Documents
-
view
77 -
download
3
description
Transcript of Statistik Deskriptif
STATISTIK DESKRIPTIF
UKURAN NILAI PUSAT Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas mengenai nilai
data sampel atau popul;asi secara umum, selain disajikan dalam tabel/diagram, masih diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil kumpulan:
PENGUKURAN GEJALA PUSAT (KECONDONGAN PUSAT ‘CENTRAL TENDENCY’)
RATA-RATA HITUNG RATA – RATA UKUR RATA-RATA HARMONIK MODUS
DAN PENGUKURAN LETAK MEDIAN KUARTIL DESIL PERSENTIL
RATA-RATA HITUNG Total semua nilai data pengamatan dibagi jumlah
pengamatan
x = (x1 + x2 + x3 + …………+xn)/n
contoh: ada 5 nilai ujian statistika: 70, 69, 45, 80, 56 rata-rata hitung = (70 + 69 + 45 + 80 + 56) /
5 = 64
RATA - RATA DIBOBOT Σ fixi
x = -------- Σ fi
Jika ada 5 mhs dapat nilai 70, enam nilai 69 dst
x = 1035/16 = 64,6
xi fi fixi
70 5 350
69 6 414
45 3 135
80 1 80
56
jumlah
1
16
56
1035
RATA – RATA UKUR
Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap, rata2 ukur lebih baik dipakai dari pada ratarata hitung. Untuk data bernilai x1, x2,…x3…xn, maka rata-rata ukur U didefinisikan sebagai:
n
U = V x1. x2. x3….xn
Contoh: rata2 ukur data x1 = 2, x2 = 4 dan x3 = 8 adalah: 3
U = V 2 x 4 x 8 = 4
RATA-RATA HARMONIK
Untuk data bernilai x1, x2,…x3…xn dalam sampel berukuran n, maka rata-rata harmonik ditentukan oleh:
nH = ------------
Σ (1/xi)Penggunaan: Si A bepergian pulang pergi . Waktu pergi ia
melakukan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakan kecepatan rata-rata pulang pergi?
Rata-rata hitung = ½ (10 + 20) km/jam = 15 km/jamIni salah, karena jika panjang jalan 100km, maka untuk pergi
diperlukan waktu 10 jam, dan kembal 5 jam. Pulang pergi menempuh 200 km dalam waktu 15 jam, Rata-rata kecepatan = 200/15 = 13 1/3 km/jam
Hasil ini tiada lain darpada rata-rata harmonikH = 2/ (1/10 + 1/20) = 40/3 = 13 1/3
CONTOH: EVALUASI PERMEABILITAS, POROSITAS, SATURASI FLUIDA INDIVIDU SUATU SUMUR
Menggunakan rata-rata hitung berbobot Mean Berbobot(Weighted Mean).
Dimana, tiap-tiap harga permeabilitas,porositas atau saturasi dianggap mewakili suatu interval dimana sampel diambil.
Batuan berpori mempunyai variasi permeabilitas jika batuan tersebut terdiri dari lapisan-lapisan, blok-blok, atau lapisan-lapisan konsentrasi
Sistem Aliran Linear melalui Kombinasi Lapisan Paralel
Dimana;k= permeabilitas batuan rata-ratakj=permeabilitas lapisan batuan ke jhj=ketebalan lapisan batuan ke j
Sitem aliran linear melalui kombinasi lapisan paralel diperlihatkan pada gambar berikut
Sistem Aliran Linear melalui Kombinasi Lapisan Paralel
Contoh 1: Berapakah permebilitas linear empat paralel yang lebar dan panjang sebagai berikut?
Sistem Aliran Linear melalui Kombinasi Lapisan Paralel
Contoh 2: Hitung porositas berbobot dan aritmatika untuk data dari suatu sumur?
Sistem Aliran melalui Kombinasi Lapisan Seri
Sistem aliran linear melalui kombinasi lapisan seri diperlihatkan pada gambar 3.2 permeabillitas rata-rata,
LIHAT DIKTAT STATISTIK BAB III
Kerjakan dirumah dan presentasi minggu depan
MEDIAN Nilai tengah dari suatu pengamatan apabila data disusun
dari nilai terendah ke nilai tertinggi Apabila jumlah data genap, median diambil rata-rata dua
nilai tengah. 43, 62, 66, 68, 69, 70, 71, 77, median (68+69)/2 =
68,5 Apabila jumlah data ganjil, median diambil yang
ditengah. Contoh: data berat pria: 65, 65, 66, 72, 77, maka median
= 66 Rumus umum: bila ada n data yang diurutkan dari paling
rendah ke lebih tinggi: Median = data ke (n + 1)/2
Jika ada 100 pengamatan, Median = rata-rata data ke 50 dan ke 51
MEDIAN
Kalau ada sekelompok nilai sebanyak n diurutkan mulai dari yang terkecil X1 sampai dengan yang terbesar Xn, maka nilai yang ada di tengah disebut Median (Med).
a) Median untuk n ganjil.
Kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n ganjil, maka selalu dapat ditulis
n = 2k + 1
atau
k = n – 1
2
MEDIAN
Misal : n = 7 7 = 2k + 1 2k = 7 – 1
k = 6/2 = 3
n = 9 9 = 2k + 1 2k = 9 – 1
k = 8/2 = 4
MEDIAN
MEDIANkelompok nilai :
X1, X2,…, Xk-1, Xk, Xk+1,…, Xn
terkecil terbesar
Median = Xk+1, atau nilai yang ke (k + 1)
Ada 7 karyawan dengan upah per bulan masing-masing Rp. 20.000, Rp. 80.000, Rp. 75.000, Rp. 60.000, Rp. 50.000, Rp. 85.000, Rp. 45.000. tentukan median upah karyawan tersebut.
CONTOH SOAL
1. Urutkan dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar :
X1 = 20.000, X2 = 45.000, X3 = 50.000, X4 = 60.000, X5 = 75.000, X6 = 80.000, X7 = 85.000
2. Tentukan nilai k dari 7 = 2k + 1 = 3
Jadi median = Med = Xk+1 = X4 = 60.000
Perhatikan bahwa X4 merupakan nilai yang berada ditengah-tengah setelah diurutkan mulai yang terkecil sampai yang terbesar
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7
Med
PENYELESAIAN
Ada 8 karyawan dengan upah per bulan masing-masing Rp. 20.000, Rp. 80.000, Rp. 75.000, Rp. 60.000, Rp. 50.000, Rp. 85.000, Rp. 45.000. dan Rp. 90.000,-. Tentukan median upah karyawan tersebut.
CONTOH SOAL
Bila X1 = 20, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 75, X6 = 80,
X7 = 85, X8 = 90
8 = 2k k = 4
Med = ½ (X4 + X5) = ½ (60 + 75) = 67,5Jadi median upah karyawan = Rp. 67.500
PENYELESAIAN
Untuk data yang berkelompok, nilai Median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya adalah sebagai berikut :
n/2 - (fi)0
Med = Lo + c fm
MEDIAN DATA BERKELOMPOK
Dimana : Lo = nilai batas bawah dari kelas interval yang mengandung atau memuat nilai median n = banyaknya data / jumlah frekuensi
(fi)0 = jumlah frekuensi dari semua kelas di bawah kelas yang mengandung median (kelas yang mengandung median tak
termasuk) fm = frekuensi dari kelas yang mengandung median c = besarnya kelas interval
KETERANGAN
CONTOH SOAL
Dengan menggunakan rumus interpolasi, hitunglah nilai median dari data berikut :
Kelas f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99
468
12974
Jumlah 50
Setengah dari observasi = 50/2 = 25 ,
f1 + f2 + f3 = 4 + 6 + 8 = 18, dan untuk mencapai 25 masih kurang 7, sehingga perlu ditambah dengan frekuensi kelas keempat. Jadi median terletak pada kelas ke-4, yaitu kelas 60 – 69 setelah dikoreksi menjadi 59,5 – 69,5 sehingga :
c = 69,5 – 59,5 = 10.
PENYELESAIAN
Jadi :
Lo = 59,5 , n/2 = 25 , (fi)0 = 18 , fm = 12 n/2 - (fi)0
Med = Lo + c fm
= 59,5 + 10 ( 25 – 18) 12 = 65,33
PENYELESAIAN
1) Modus data tidak berkelompok• Modus dari suatu kelompok nilai adalah nilai
kelompok tersebut yang mempunyai frekuensi tertinggi, atau nilai yang paling banyak terjadi di dalam suatu kelompok nilai. Selanjutnya disingkat Mod.
• Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai Mod atau mungkin mempunyai dua Mod atau lebih. Distribusi disebut Unimodal, kalau mempunyai satu Mod, Bimodal kalau mempunyai dua Mod, dan Multimodal kalau mempunyai lebih dari dua Mod.
MODUS
2) Modus data berkelompok
apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekuensi, maka dalam mencari modusnya dipergunakan rumus berikut ini :
(f1)0
Mod = Lo + c (f1)0 + (f2)0
MODUS
Dimana :
Lo = nilai batas bawah kelas yang memuat modus
fm0 = frekuensi kelas yang memuat modus
(f1)0 = fm0 – f(m0-1) (selisih frekuensi kelas yang memuat
modus dengan frekuensi kelas bawahnya)
(f1)0 = fm0 – f(m0+1) (selisih frekuensi kelas yang memuat
modus dengan frekuensi kelas atasnya)
c = besarnya jarak antara nilai batas atas dan nilai batas
bawah dari kelas yang memuat modus
KETERANGAN
CONTOH SOAL
Cari modus dari tabel frekuensi berikut :
Kelas f
30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99
468
12974
Jumlah 50
Diket : Fm0 = 12 c = 69,5 – 59,5 = 10 Lo = 59,5 f(m0-1) = 8 f(m0+1) = 9 (f1)0 = 12 – 8 = 4 (f2)0 = 12 – 9 = 3
PENYELESAIAN
Jawab :
(f1)0
Mod = Lo + c (f1)0 + (f2)0
= 59,5 + 10 4 4 + 3 = 65,214
PENYELESAIAN
MODUS = Mo Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi
atau paling banyak terdapat Sering dipakai rata-rata untuk data kualitatif: pada
umumnya kecelakaan lalu lintas disebabkan kecerobohan pengemudi,
Modus untuk data kuantitatif ditentukan dengan jalan menentukan frekluensi terbanyak diantara data yang itu.
Contoh: terdapat sampel dengan nilai: 12, 34, 14, 28, 34, 34, 38, 14. Maka frekuensi terbanyak pada angka 34 dengan f = 4, maka Mo = 34
Kelemahan modus: nilai yang keluar tidak sering, atau terdapat 2 modus atau lebih, atau mencerminkan data ekstrim
KUARTIL Jika sekumpulan data dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak, sesuadah
disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil Ada tiga buah kuartil: k1, k2, k3 Menentukan nilai kuartil:
Susun data menurut urutan nilainya Tentukan letak kuartil Tentukan nilai kuartilLetak kuartil ditentukan dengan rumus:
Letak kuartil K1 = data ke i (n + 1) dengan i = 1, 2, 3
4Contoh: Sampel dengan data 75, 82, 66, 74, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70, setelah disusun :
52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94.Letak K1 = data ke (12 + 1)/4 = data ke 3 ¼ , yaitu antara data ke -3 dan data ke- 4
seperempat jauh dari data ke -3Nilai K1 = data ke-3 + ¼ (data ke-4 – data ke-3) = 57 + ¼ (60 – 57) = 57¾ Dengan cara yang sama dapat ditentukan nilai K2 dan K3
Letak K3 = data ke 3(12+1)/4 = 39/4= 9 3/4Nilai K3 = data ke 9 + ¾ (data ke-10 – data ke-9) = 82 +¾ (86 – 82) = 85Letak K2 = Data ke 2(12+1)/4=6 2/4 = 6 ½Nilai K2 = 66 + ½ (70 -66) = 68
DESIL Jika sekumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama
banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka didapat sembilan pembagi , bilangan pembaginya disebut desil
Ada sembilan buah desil: k1, k2, k3, K4….K9 Menentukan nilai desil:
Susun data menurut urutan nilainya Tentukan letak desil Tentukan nilai desil
Letak desil ditentukan dengan rumus: Letak desil D1 = data ke i (n + 1) dengan i = 1, 2, 3 …., 9
10Contoh seperti diatas, didapatLetak desil D7 = data ke 7 (12 + 1) = data ke 9,1 10Nilai D7 = data ke 9 + 0,1 (data ke -10 – data ke-9) = 82 + 0,1 (86 – 82) = 82,4
PERSENTIL Jika sekumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang
sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka didapat 99 pembagi , bilangan pembaginya disebut persentil
Ada 99 buah persentil: k1, k2, k3 …………………k99 Menentukan nilai persentil:
Susun data menurut urutan nilainya Tentukan letak persentil Tentukan nilai persentil
Letak desil ditentukan dengan rumus: Letak desil P1 = data ke i (n + 1)
100 dengan i = 1, 2, 3 …., 99
UKURAN PENYEBARAN Adalah suatu harga yang menggambarkan besarnya penyebaran nilai
sekumpulan data tersebut terhadap harga tengahnya. Ukuran Penyebaran sebagai pelengkap ukuran pemusatan, sehimgga
gambaran sekumpulan data menjadi lebih jelas dan tepat.
Rentangan (Range)
adalah perbedaan antara nilai maksimum dan minimum dalam suatu kumpulan data.
Rentang (range) = nilai maksimum – nilai minimum
Standar Deviasi (Simpangan baku)
adalah suatu harga yang menggambarkan seberapa jauh besarnya penyebaran data dari mean pada suatu kumpulan data.
Varians (Variansi)alat ukur variabilitas sekumpulan data yang dihitung dengan mencari rata-rata selisih kuadrat antara data observasi dan mean
RENTANGAN (RANGE)
Rentangan (Range) = Nilai maks – nilai min
Contoh:
Berapa rentangan dari himpunan data : 10, 12, 13, 14, 18, 20, 21, 23, 24
Rentangan (Range) = 24 – 10 = 14
STANDAR DEVIASI (SIMPANGAN BAKU)SAMPEL
DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN STANDAR DEVIASI
Bila X1, X2, Xn sampel acak berukuran n, maka stndar deviasi sampel didefinisikan sebagai:
n
Σ (xi – x)2 s = i=1 n - 1
s = standar deviasi sampel
Xi = data ke i
X = mean sampel
n = ukuran sampel
VARIANS (VARIANSI) SAMPEL
DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN VARIANS (VARIANS) = s2
Bila X1, X2, Xn sampel acak berukuran n, maka VARIANSI sampel didefinisikan sebagai:
n
s2 = Σ (xi – x)2 i=1 n - 1
s2 = variansi
Xi = data ke i
X = mean sampel
n = ukuran sampel
MENGHITUNG STANDAR DEVIASI (SIMPANGAN BAKU)
DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN Menghitung Standar Deviasi
Hitung mean sampel, x Buat Tabel untuk menghitung deviasi dari mean, (xi – x)
Hitung jumlah deviasi standar Σ (xi – x)2 Pakai persamaan :
n
Σ (xi – x)2 s = i=1 n - 1
STANDAR DEVIASI (SIMPANGAN BAKU)
DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN
Data Deviasi dari mean xi – x
Deviasi Kuadrat (xi – x)2
x1 x1– x (x1 – x)2
x2 x2 – x (x2 – x)2
…. …. …..
xn xn – x (xn – x)2
Σ Σ xi – x Σ (xi – x)2
STANDAR DEVIASI (SIMPANGAN BAKU) DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN
Hitunglah standar deviasi dan variansi sampel bila pengamatannya: 3, 4, 5, 6, 6, 7
Mean = (3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7)/6 = 5,1667
Standar Deviasi = 10.8334 = 1,472 6 – 1
Variansi = (1,472)2 = 2,167
Data Deviasi dari mean xi – x
Deviasi Kuadrat (xi – x)2
3 - 2.1667 4.6946
4 - 1.1667 1.3612
56
- 0.16670.8333
0.02780.6944
67
0.83331.8333
0.69443.3610
Σ 10.8334
STANDAR DEVIASI (SIMPANGAN BAKU)DAN VARIANS POPULASI
DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN STANDAR DEVIASI POPULASI
n
σ = Σ (xi – µ)2 i=1 N
VARIANSI POPULASI
n
σ2 = Σ (xi – µ)2 i=1 N
σ = simpangan baku populasiµ = mean populasiN = ukuran populasi xi = data ke i dari variabel acak X
STANDAR DEVIASI (SIMPANGAN BAKU)SAMPEL
DATA SUDAH DIKELOMPOKKAN STANDAR DEVIASI
Bila X1, X2, Xn sampel acak berukuran n, maka stndar deviasi sampel didefinisikan sebagai:
n
Σ (xi – x)2 . fi
s = i=1 n - 1s = standar deviasi sampel
Xi = data ke i
X = mean sampel
n = ukuran sampel
fi = frekuensi kelas ke i
VARIANS (VARIANSI) SAMPEL
DATA SUDAH DIKELOMPOKKAN VARIANS (VARIANS) = s2
Bila X1, X2, Xn sampel acak berukuran n, maka VARIANSI sampel didefinisikan sebagai:
n
s2 = Σ (xi – x)2 . fi i=1 n - 1
s2 = variansi
Xi = data ke i
X = mean sampel
n = ukuran sampel
fi = frekuensi kelas ke i
STANDAR DEVIASI (SIMPANGAN BAKU)DAN VARIANS POPULASI
DATA SUDAH DIKELOMPOKKAN STANDAR DEVIASI POPULASI
n
σ = Σ (xi – µ)2 .fi
i=1 N
VARIANSI POPULASI
n
σ2 = Σ (xi – µ)2 fi
i=1 Nσ = simpangan baku populasiµ = mean populasiN = ukuran populasi xi = data ke i dari variabel acak X
fi = frekuensi kelas ke i
STANDAR DEVIASI (SIMPANGAN BAKU) DATA BERKELOMPOK
Tinggi badan (cm) x f (x – xi) f(x – xi)
140 - 144 142 2 15,7 31,4
145 - 149 147 4 10,7 42,8
150 - 154 152 10 5,7 57
155 - 159 157 14 0,7 9,8
160 - 164 162 12 4,3 51,6
165 - 169 167 5 9,3 46,5
170 - 174 172 3 14,3 42,9
Jumlah 50 - 282
Tabel Tinggi Badan Mahasiswa kelas Statistik
Standar Deviasi = 282/50 = 5,64
Varians = (5,64)2