Solusi Persamaan Nirlanjar

7/18/2019 Solusi Persamaan Nirlanjar

http://slidepdf.com/reader/full/solusi-persamaan-nirlanjar-56d691c45a6b9 1/16

Solusi Persamaan Nirlanjar

Rumusan Masalah

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :

()

Yaitu nilai x = s sehingga nilai f(s) sama dengan Nol.

Metode Pencari Akar

Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakiukan secara lelaran (iteratif). Secara

umum metode yang digunakan dibagi menjadi dua yaitu :

Metode Tertutup atau Metode Pengurung (bracketing method)

Metode ini mencari akar dalam selang [a,b]. Selang [a,b] sudah dipastikan berisiminimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar.

Dengan lelarannya selalu konvergen menuju ke akar, karena itu metode tertutup seting

disebut metode konvergen.

Metode Terbuka

Metode terbuka tidak memerlukan selang [a,b] yang mengandung akar. Yang

diperlukan adalah batasan (guest) awal akar. Kemudian dengan prosedur lelaran kita

menggunakan untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran

yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya

(divergen). Karena itu metode terbuka tisak selalu menemukan akar.

Metode Tertutup

Dalam metode tertutup terdapat dua metode klasik yang digunakan yaitu metode bagi dua

dan metode regula falsi.

Metode bagi dua (biseksi)

Sebagai contoh, jika telah menentukan selang [a,b] sehingga f(a)(b) < 0. Pada setiap

kali lelaran, selang f(a)(b) < 0 dibagi dua di x=c, sehingga terdapat dua buah selang

yang berikuran sama, yaitu selang [a,c] dan [c,b]. selang yang diambil untuk lelaran

berikutnya adalah selang yang memuat akar, bergantung pada apakah f(a)(c) < 0 atau

f(a)(b) < 0.



Bagan diatas merupakan, bagan proses dari metode bagi dua dalam metode tertutup.

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampau

ikuran selang yang baru sudah sangat kecil. Kondisi berhenti leleran ketika salah satu

dari ketiga kriteria dibawah terpenuhi, berikut :

1. Lebar selang baru | | , yang dalam hal ini adalah nilai toleransi lebar

selang yang mengurung akar.

2. Nilai fungsi di hampiran () .

3. Galat relative hampiran akar :

, yang dalam hal ini adalah

galat relative yang diinginkan.

Algoritma yang digunakan dalam implementasi bahasa pemrograman.



Kasus yang mungkin terjadi pada saat menggunakan metode bagi dua adalah sebagai

berikut :

1. Jumlah akar lebih dari satu

Bila dalam selang [a,b] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil), lebih

dari satu akar yang dapat ditemukan. Cara mengatasinya adalah gunakan selang

[a,b] yang cukup kecil untuk memuat hanya satu buah akar.

2. Akar ganda

Metode bagi dua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan

karena tidak dapat perbedaan tanda diujung – ujung selang yan baru.

3. Singularitas

Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefinisi. Bila selang [a,b] megandung

titik singular, lelaran metode bagi dua tidak pernah berhenti. Penyebabnya,

metode bagi dua mengangap titik singular bukanlah akar, tetapi hanya akar semu.

Cara mengarasinya periksa nilai dari |() ()|. Jika nilai dari |() ()| konvergen ke nol, akar yang dicari pasti akar sejati, tetapi | () ()| divergen

akar yang dicari merupakan titik singular (akar semu)

Contoh Soal :

Temukan akar () , di dalam selang [5.8,5.9] dalam

Penyelesaian :

() ()

() ()

Iterasi 1 :

Selang baru [a,c] dan [c,b] = [5.8,5.85] dan [5.85,5.9]

() ()

() ()

() ()

Selang baru yang digunakan adalah [a,c] = [5.8, 5.85]

Iterasi 2

Selang [5.8,5.85]



() ()

() ()

()

()

() ()

() ()

Cek kondisi |5.825 – 5.85| < eror

0.025 < 0.004 iterasi dilanjutkan

Selang baru [c,b] = [5.825,5.85]

Iterasi 3

[5.825,5.85]

() ()

() ()

() ()

() ()

() ()



Selang baru [a,c] = [5.825,5.837]

Iterasi 4

[5.825,5.837]

() ()

() ()

() ()

() ()

() ()





Selang baru = [a,c] = [5.825,5.831]

Iterasi 5

[5.825,5.831]

() ()

() ()

() ()

() ()

() ()


0.003 < 0.004 kondisi terpenuhi iterasi berhenti

Jadi, nilai akar yang memenuhi adalah selang [5.825,5.831]

Metode regula falsiMetode regula fasi merupakan meotode yang memiliki kecepatan konvergensi melebihi

kecepatan konvergensi metode bagi dua. Logikanya bila () lebih dekat ke nol

daripada () tentu akar lebih dekat ke c = a dari pada ke x =b.

Rumus yang digunakan dalam Metode Regula Falsi adalah :

()()() ()

Adapun algoritma yang digunakan sebagai implemetasi metode regula falsi

dalam dunia pemogramna adalah :



Contoh soal adalah :

() dengan selang [-10,4] dan eror 0.05

Penyelesaian :

()

() () () ()

() () () ()

() ()

Iterasi 1

()()() () = ()()

() () = = 4-1.916 = 2.084

() () () ()

() ()

() ()

Selang baru [a,c] = [-10,2.804]



Iterasi 5

Selang baru [a,b] = [-10,1.53]

()()() () = ()

() () =

= 1.53-0.137 = 1.393

() () () ()

() ()

() ()

Selang baru [a,c] = [-10,1.393]

Cek eror | | < eror

0.098 > eror iterasi dilanjutkan

Iterasi 6

Selang baru [a,b] = [-10,1.53]

()()() () = ()

() () =

= 1.53-0.137 = 1.393

() () () ()

() ()

() ()

Selang baru [a,c] = [-10,1.393]

Cek eror | | < eror


Iterasi 7

Selang baru [a,b] = [-10,1.393]

()()

() () = ( )

() () =

= 1.393-0.098 = 1.295

() () () ()

() ()

() ()

Selang baru [a,c] = [-10,1.295]

Cek eror | | < eror




Iterasi 8

Selang baru [a,b] = [-10,1.295]

()()() () = ( )

( ) () =

= -0.074 = 1.221

() () () ()

() ()

() ()

Selang baru [a,c] = [-10, 1.221]

Cek eror | | < eror


Iterasi 9

Selang baru [a,b] = [-10, 1.221]

()()() () = ( )

( ) () =

= -0.057 = 1.164

() () () ()

() ()

() ()

Selang baru [a,c] = [-10, ]

Cek eror | | < eror

0.048 < eror iterasi berhenti

Jadi akar yang memenuhi adalah selang [-10,1.164]

Metode Terbuka

Dalam metode terbuka, terdapat beberapa metode yang digunakan yaitu , Metode Lelaran

Titik Tetap, Metode Newton-Raphson dan Metode Secant .

Metode Lelaran Titik Tetap

Persamaan yang digunakan dalam metode ini adalah () menjadi bentuk .

Lalu, bentuklah menjadi prosedur lelaran (), dimana kondisi lelaran

dinyatakan berhenti bila :

| |

Atau menggunakan galat relatif hampiran



Algoritma yang digunakan dalam metode lelaran titik tetap adalah

Contoh Soal,

()

Penyelesaian :

() ( )

() ()

( )

√ (i) (ii)

(i)

√ ()

√

√ = 3



Iterasi 2

√ () √

√ = 3.8

Iterasi 3

√

() √

√ = 4.4

Iterasi 4

√ ()

√

√ = 4.8

Iterasi 5

√ () √

√ = 5.07

Iterasi 6

√

() √

√ = 5.23

Iterasi 7

√ ()

√

√ = 5.32

Iterasi 8

√ () √

√ = 5.38

Iterasi 9

√

() √

√ = 5.41

Iterasi 10

√ ()

√

√ = 5.43

Iterasi 11

√ () √

√ = 5.43

Iterasi ke - xr xr+1 - xr

0

1

2

3

4

5

2

3

3.8

4.4

4.8

5.07

-

1 > 0.01

0.8 > 0.01

0.6 > 0.01

0.4 > 0.01

0.27 > 0.01



6

7

8

9

10

11

5.23

5.32

5.38

5.41

5.43

5.44

0.16 > 0.01

0.09 > 0.01

0.06 > 0.01

0.03 > 0.01

0.02 > 0.01

0.01

Metode Newton-Raphson

Metode newton raphson merupakan metode yang paling terkenal dan banyak dipakai

dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai dikarenakan memiliki

konvergensi paling cepat diantara metode yang lain.

Prosedure lelaran Newton-Raphson :

()()

Dan akan konvergen jika

()()() dengan ()

Algoritma yang digunakan dalam implemetasi metode Newton-Raphson adalah sebagai

berikut :



Contoh Soal :

() 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0

Penyelesaian :

() 4x3 – 15x2 + 17x – 6

() 12x2 – 30x + 17

Iterasi 1 :

titik awal = 3

f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18

f’(3) = 12(3)2 – 30(3) + 17 = 35

= 3 –

= 2.48571

Iterasi 2 :

f(2.48571) = 4(2.48571)3 – 15(2.48571)2 + 17(2.48571) – 6 = 5.01019

f’(2.48571) = 12(2.48571)2 – 30(2.48571) + 17 = 16.57388

= 2.48571 – = 2.18342

Iterasi 3 :

f(2.18342) = 4(2.18342)3 – 15(2.18342)2 + 17(2.18342) – 6 = 1.24457

f’(2.18342) = 12(2.18342)2 – 30(2.18342) + 17 = 8.70527

= 2.18342 – = 2.04045

Iterasi 4 :

f(2.04045) = 4(2.04045)3 – 15(2.04045)2 + 17(2.04045) – 6 = 0.21726

f’(2.04045) = 12(2.04045)2 – 30(2.04045) + 17 = 5.74778

= 2.04045 – = 2.00265

Iterasi 5 :

f(3) = 4(2.00265)3 – 15(2.00265)2 + 17(2.00265) – 6 = 0.01334

f’(2.00265) = 12(2.00265)2 – 30(2.00265) + 17 = 5.04787

= 2.00265 – = 2.00001

Iterasi 6 :

f(2.00001) = 4(2.00001)3 – 15(2.00001)2 + 17(2.00001) – 6 = 0.00006

f’(2.00001) = 12(2.00001)2 – 30(2.00001) + 17 = 5.00023

= 2.00001 –

= 2.00000



Iterasi 7 :

f(2) = 4(2)3 – 15(2)2 + 17(2) – 6 = 0

Karena pada iterasi ke 7 yaitu f(x6) = 0 maka akar dari persamaan adalah x =2

Metode Secant

Metode ini merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson, dimana jika metode

Newton-Raphson dalam prosedure lelarannya memerlukan perhitungan turunan fungsi,

() Namun, tidak semua fungsi mudah dicari turunanya, terutama fungsi yang

memiliki bentuk rumit. Dalam metode Secant turunan fungsi ini dihilangkan dan diganti

dengan bentuk lain yang ekivalen.

Prosedure lelaran metode secant :

()( )() ()

Iterasi berhenti jika :

a. | |

b. |

|

Algoritma yang digunakan dalam implementasi program adalah



Contoh Soal :

()

= 2

Penyelesain :

() ()

() () ()

Iterasi 1

(()()()() )

(() ) = -2 - = -2 – 2.25 = -4.25

Iterasi 2

() () () ()

() () () ()

(()()

()())

(()() ) = - 4.25 -

= -4.25 – (-6.54) = 2.29

Cek eror | | = 2.29 – 4.25 = 1.96 >

Iterasi 3

() ( ) ( ) ( )

() () () ()

(()()()() )

((())() ) = -

= – (3.34) = -1.05

Cek eror | | = | 1.05 – 2.29| = 1.24 >



Iterasi 4

() () () ()

() () ()

() (()()()() )

( ( )() ) = -

= -1= -2.05

Cek eror | | = | -1.05 | = 1 >

Iterasi 5

() () () () () ( ) ( ) ( ) (()()

()() )

( (() )() ) = -

= – (-0.644) = -1.40

Cek eror | | = | -1.12 | = 0.28 <

Iterasi berhenti karena eror sudah lebih kecil dari yang ditentukan jadi akar adalah -1.40

Solusi Persamaan Nirlanjar

Documents

Transcript of Solusi Persamaan Nirlanjar