Solusi Pengayaan Matematika · Tentukan abc 2. A. 16 B. 9 C. 4 D. 1 E. 0 Solusi: [C] Titik-titik...
Transcript of Solusi Pengayaan Matematika · Tentukan abc 2. A. 16 B. 9 C. 4 D. 1 E. 0 Solusi: [C] Titik-titik...
1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3
Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30
21. Garis 60512 yx memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A
dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran L dibuat
sedemikian, sehingga menyinggung sumbu X, sumbu Y, dan garis tersebut.
Tentukanlah luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga.
A. 34 B. 30 C. 26 D. 30 4 E. 30 4
Solusi: [E]
Menurut Pythagoras:
Setengah keliling OAB adalah
Luas OAB adalah
Jari-jari lingkaran dalam adalah
Luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga
= luas segitiga – luas lingaran
22. Tentukan titik potong persamaan garis singgung pada lingkaran 2 2 12 8 7 0x y x y di titik (3,2) dengan sumbu X.
A. 1,0 B. 2,0
C. 3,0 D. 1,0
E. 1,0
Solusi: [A] 2 212 36 8 16 7 36 16x x y y
2 2
6 4 45x y
Pusat lingkaran 6, 4
2
1
1 1 1
2 4 2
3 6
mm
Persamaan garis singgungnya adalah 1
2 32
y x 2 1x y
13169125 22 AB
15)13125(2
1s
301252
1 OABL
215
30
s
Lr
2)2π(1252
1 π430
6, 4
3, 2 1m
2m
X
Y
B(0, 12)
A(5, 0) O
60512 yx
2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
0 2 0 1 1y x x
Koordinat titik potongnya adalah 1,0 .
23. Jarak terdekat antara lingkaran-lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0 dan
𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 10𝑦 + 41 = 0 adalah ....
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1
Solusi: [D]
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0 (𝑥 + 3)2 + 𝑦 − 1 2 = 25
𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 10𝑦 + 41 = 0 𝑥 − 5 2 + 𝑦 + 5 2 = 9
Jarak kedua pusat lingkaran adalah −3 − 5 2 + 1 + 5 2 = 10.
Kurangkan dua jari-jari diperoleh 10 − 8 = 2
24. Persamaan lingkaran yang menyingung garis y = 0, x = 0, dan 15y + 8x = 120
adalah ....
A. x2 – 4x + y
2 – 4y + 4 = 0 D. x
2 + y
2 – 2x– 4y + 16 = 0
B. x2 + y
2 = 9 E. x
2 + y
2 = 9
C. x2 + y
2 – 12x – 12y + 9 = 0
Solusi: [C]
Garis 20y + 21x = 420 memotong sumbu X dan sumbu Y di (21,0) dan (0,20).
Panjang sisi miringnya adalah 2 221 20 841 29 .
Setengah keliling segitiga adalah 1
20 21 29 352
s .
Luas segitiga adalah 1
21 20 2102
L .
Jari-jari lingkaran dalamnya adalah 210
635
Lr
s .
Sehingga pusat lingkaran adalah (6,6).
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 6)2 = 36, yang
disederhanakan menjadi 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 36 = 0
25. Persamaan lingkaran melalui titik-titik 2,2 , 4,2 , dan 2, 2
dinyatakan sebagai 2 2 0x y ax by c . Tentukan nilai dari
2abc .
20
21
29
X
Y
O
3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
A. 1.024 B. 512 C. 256 D. 128 E. 64
Solusi: [A]
2 22,2 2 2 2 2 0 2 2 8a b c a b c …. (1)
2 24,2 4 2 4 2 0 4 2 20a b c a b c …. (2)
222, 2 2 2 2 2 0 2 2 8a b c a b c …. (3)
Persamaan (2) – persamaan (1) menghasilkan 6 12a 2a
Persamaan (2) – persamaan (3) menghasilkan 2 4 12a b
2 2 2 4 12 2a b b
2, 2 2 2 2 2 8 8a b c c
Jadi, nilai dari 22 2
2 2 8 32 1.024abc
26. Diberikan dua buah lingkaran.
Lingkaran I:
x 1 2 y 2
2 9
Lingkaran II:
x 3 2 y 1
216
Persamaan tali busur dari persekutuan dua lingkaran adalah ax by c .
Tentukan 2
a b c .
A. 16 B. 9 C. 4 D. 1 E. 0
Solusi: [C]
Titik-titik pada kedua lingkaran harus memenuhi suatu persamaan.
Pengurangan kedua persamaan memberikan:
x2 6x 9 y2 2y 1 x2 2x 1 y2 4y 4 16 9
8x 6y = 2
4x – 3y = 1
Persamaan tali busurnya adalah 4x – 3y = 1.
Karena a = 4, b = 3, dan c = 1, maka 2 2
4 3 1 4a b c
27. Carilah persamaan lingkaran yang pusatnya di 5,3 dan menyinggung garis
04512 yx adalah 2 2 0x y ax by c . Nilai dari ....a b c
A. 6 B. 9 C. 15 D. 25 E. 65
Solusi: [D]
Jarak titik 5,3 ke garis 04512 yx adalah jari-jari lingkaran(r):
5
13
65
169
65
512
455312
22
r
Persamaan lingkaran yang diminta adalah
r
(3,5)
04512 yx
4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
222rbyax
222553 yx
25251096 22 yyxx
0910622 yxyx
Karenanya 6, 10,dan 9a b c , sehingga 6 10 9 25a b c .
28. Persamaan lingkaran yang menyinggung garis 023 yx di titik (1, 1)
dan melalui titik (3, 5) adalah 2 2 0x y ay by c . Nilai dari abc
adalah
….
A. 32 B. 22 C. 34 D. 24 E. 14
Solusi: [A]
Lingkaran menyinggung garis 023 yx di titik (1,1) dan melalui titik
(3,5), sehingga
22221153 baba
2222 2121102569 bbaabbaa
03288 ba
04 ba
ab 4 …. (1)
Gradien garis 023 yx adalah 31 m .
Gradien garis yang melalui titik (a,b) dan (1,1) adalah
1
1
1
12
a
b
a
bm
121 mm
11
13
a
b
133 ab …. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:
13)4(3 aa
13312 aa
84 a
2a
2a ab 4 224
Pusat lingkaran adalah (2, 2).
Jari-jari lingkaran adalah 1010
10
13
22123
22
r
Persamaan lingkaran yang diminta adalah
r
(3,5)
023 yx (1,1)
r
(a,b)
5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
222rbyax
2221022 yx
104444 22 yyxx
024422 yyyx
Karenanya 4, 4,dan 2a b c , sehingga 4 4 2 32abc .
29. Tentukan jarak pusat dari kedua lingkaran kemudian hitung rasio luasnya
07433 221 yyxL dan 025101022
2 yxyxL .
A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 1 : 6 D. 1 : 8 E. 1 : 9
Solusi: [E]
07433 221 yyxL
03
7
3
4221 yyxL
22
21
3
2
3
7
6
4
xxL
9
25
9
4
3
7
9
25
3
22
21
xxL
Pusat lingkaran 1L adalah
3
2,0 dan jari-jarinya adalah
3
5
9
25r
0251010222 yxyxL
2525255522
2 yxL
255522
2 yxL
Pusat lingkaran 2L adalah 5,5 dan jari-jarinya adalah 525 r
Jarak pusat lingkaran 1L ke lingkaran 2L adalah
2
2
213
2505
LL
9
28925 514
3
1
9
514
Luas lingkaran 1L : Luas lingkaran 2L 22
5π:3
5π
9:125:
9
25
30. Persamaan garis singgung lingkaran 0126422 yxyx di titik (5,1)
adalah ....
A. 3 4 19 0x y C. 4 3 23 0x y E. 3 4 19 0x y
B. 3 4 8 0x y D. 3 4 9 0x y
Solusi 1: [A]
6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
Jelaslah bahwa titik (5,1) terletak pada lingkaran 0126422 yxyx ,
karena: 012165415 22 adalah pernyataan yang bernilai benar.
Persamaan garis singgungnya pada lingkaran 02222 cbyaxyx di titik
11 , yx adalah 01111 cyybxxayyxx
012135215 yxyx
012331025 yxyx
01943 yx ,
Solusi 2: [A]
Persamaan lingkaran dengan titik pusat (5,1) adalah
01522 yx
0122510 22 yyxx
02621022 yxyx
Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada lingkaran pertama adalah:
126422 yxyx 2621022 yxyx
03886 yx
01943 yx