1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 7

Pebruari Pekan Ke-4, 2006

Nomor Soal: 61-70

61. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva (grafik) yang mempunyai persamaan

11 yx .

Solusi:

11 yx

110

01

yx

y

x 2 xy

110

01

yx

y

x 2 xy

110

01

yx

y

x xy

110

01

yx

y

x xy

Jadi, luasnya 1

2 2 1 22

62. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva (grafik) yang mempunyai persamaan

2 yxyx .

Solusi:

2 yxyx

20

0

yxyx

yx

yx 1x

20

0

yxyx

yx

yx 1y

20

0

yxyx

yx

yx 1y

20

0

yxyx

yx

yx 1x

Jadi, luasnya 2 2 4

X

Y

O

x = 1

y = 1

x = 1

y = 1 1

1

1

1

Grafik 2 yxyx

Grafik 11 yx

X

Y

O

y = x + 2 y = x

y = x y = x 2

2 1

1

1

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

63. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva (grafik) yang mempunyai persamaan

1),( yxyx .

Solusi:

1),( yxyx

10

0

yx

y

x 1 xy

10

0

yx

y

x 1 xy

10

0

yx

y

x 1 xy

10

0

yx

y

x 1 xy

Jadi, luasnya 1

2 2 1 22

64. Tentukan nilai 0M , sehingga Mx

x

2

2

untuk semua x, sehingga

2

1

2

1x .

Solusi:

2

1

2

1x

2

1

2

1

2

1 x 10 x . Sehingga:

10 x

322 x dan 122 x

32 x dan 122 xx

31

3

2

2

2

2

x

x

x

x

Jadi, nilai M adalah 3.

65. Buatlah sketsa grafik persamaan xyyx ),( .

Solusi:

xyyx ),(

xy

Jika 0x , maka xy

Jika 0x , maka xy

Daerah yang diarsir adalah xy

X

Y

O

xy

1 1

Grafik xy

1 (1, 1) (1, 1)

Grafik 1 yx

X

Y

O

y = x + 1 y = x + 1

y = x 1 y = x 1

1

1

1

3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

66. Tentukan luas daerah tertutup grafik dari 302

xx y .

Solusi:

Di sini 302

xx

Untuk 0y dan 02

x sehingga 30 0x , maka

30 302 2

x xx y y

Untuk 0y dan 02

x sehingga 30 0x , maka 3

330 30

2 2

xx y y x

Untuk 0y dan 02

x sehingga 30 0x , maka

30 302 2

x xx y y

Untuk 0y dan 02

x sehingga 30 0x , maka

330 30

2 2

xx y y x

Menentukan titik potong garis 3

302

y x dan 302

xy .

330 30

2 2

xx

2 60x

30x

60

30

30

20 O X

Y

302

xy

330

2y x

330

2y x

302

xy

x x

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

30x 3

30 30 152

y

Koordinat titik potongnya adalah 30,15 .

Menentukan titik potong garis 3

302

y x dan 302

xy .

330 30

2 2

xx

2 60x

30x

30x 30

30 152

y

Koordinat titik potongnya adalah 30, 15 .

Luas daerah tertutup grafik tersebut adalah

20 30 60 30 201

0 15 0 15 02

1

20 15 30 0 60 15 30 0 30 0 60 15 30 0 20 152

1

300 0 900 0 0 900 0 3002

1

600 3002

67. Carilah himpunan penyelesaian dari 2

111 xx .

Solusi:

2

111 xx

2

112 x

2

11

2

1 2 x

2

3

2

1 2 x

2

12 x

022

12

2

1

xx

22

1x atau 2

2

1x …. (1)

x x

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

2

32 x

062

16

2

1

xx

62

16

2

1 x …. (2)

Dari (1) (2) kita memperoleh:

Jadi, himpunan penyelesaiannya

22

16

2

1atau2

2

16

2

1xxx

68. Tentukan banyak nilai x yang memenuhi persamaan 3645 x .

Solusi:

Kita mengetahui bahwa

0bila,

0bila,2

xx

xxxx .

3645 x

223645 x

036453645 xx

0945345 xx

345 x atau 945 x

22345 x atau 22

945 x

0345345 xx atau 0945945 xx

01575 xx atau 055135 xx

5

7x atau

5

1x atau

5

13x atau 1x

Jadi, banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 4 buah.

69. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan 1 yx

dan 1y .

Solusi:

Kita mengetahui bahwa

0bila,

0bila,2

xx

xxxx .

22

1 6

2

1 6

2

1 2

2

1

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Beberapa kemungkinan:

1. Untuk 0x dan 0y :

1

1

y

yx (2, 1)

2. Untuk 0x dan 0y :

1

1

y

yx (2, 1)

3. Untuk 0x dan 0y :

1

1

y

yx (2, 1)

4. Untuk 0x dan 0y :

1

1

y

yx (2, 1)

Luas daerah 6122

1224 satuan luas.

70. Jika N menyatakan banyak bilangan real x adalah solusi dari persamaan

1 2 3x x x , maka nilai dari 1003N adalah ....

Solusi:

Misalnya 2x a , sehingga

1 1a a a

Kuadratkan kedua ruas 2 2 22 1 2 1 2 1a a a a a a a

2 4 2 1a a a a

Kuadratkan kedua ruas

2 22 24 4 1a a a a

2 22 24 4 1 0a a a a

2 22 4 4 1 0a a a

2 2 28 16 4 8 4 0a a a a a

2 23 12 0a a

2 2 4 0a a

0a atau 2a

X

Y

(2, 1)

(2, 1)

(2 , 1)

(2 , 1)

x + y = 1

x y = 1

x + y = 1

x y = 1

7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Setelah disubstitusikan ke persamaan semula, yang memenuhi adalah 0a

atau 2a .

Jika 0a , maka 2 0 2 2x a .

Jika 2a , maka 2 2 2 4x a .

Banyak solusinya ada 2 buah, sehingga 2N

Jadi, 1003 1003 2 2006N .

Solusi 2:

Misalnya 1a x , 2b x , dan 3c x , sehingga persamaan menjadi

a b c .

Kasus 1:

0, 0, 0a b c

1, 2, 3x x x , kita mendapatkan 3x

Sehingga

1 2 3x x x 4x (diterima, 3x )

Kasus 2:

0, 0, 0a b c

1, 2, 3x x x , kita mendapatkan 2 3x

Sehingga

1 2 3x x x

2x (ditolak, kotradiksi 2x )

Kasus 3:

0, 0, 0a b c

1, 2, 3x x x , ini tidak mungkin

Kasus 4:

0, 0, 0a b c

1, 2, 3x x x , kita mendapatkan 1 2x

Sehingga

1 2 3x x x

2x (diterima, 2x )

Kasus 5:

0, 0, 0a b c

1, 2, 3x x x , ini tidak mungkin.

Kasus 6:

0, 0, 0a b c

8 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

1, 2, 3x x x , ini tidak mungkin.

Kasus 7:

0, 0, 0a b c

1, 2, 3x x x , ini tidak mungkin.

Kasus 8:

0, 0, 0a b c

1, 2, 3x x x , kita mendapatkan 1x

Ini akan menghasilkan seperrti kasus 1.

Dari uraian di atas, kita hanya menemukan 1 solusi, dan itu adalah 4x .

Tetapi, dengan simetri 2x , karena persamaan menjadi

2 1 2 2 2 3 adalah benar.

Karena itu, banyak solusinya ada 2 buah, sehingga 2N

Jadi, 1003 1003 2 2006N .