1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 15

April Pekan Ke-3, 2006

Nomor Soal: 141-150

141. Rasio luas bagian luar dengan luas bagian dalam yang diarsir dari bintang

segi delapan titik adalah ....

A. 1: 1 2

B. 1: 2

C. 1: 1 2

D. 2: 1 2

E. 1: 2 2

Solusi: [A]

Misalnya panjang sisi segitiga siku-siku sama kaki pada bagian luar adalah a

satuan, sehingga

Panjang sisi miringnya = 2a

Panjang sisi persegi aaa 2 22 a

Luas segitiga bagian luar = 242

18 aaa

Luas persegi 222 a 2462 a

Luas daerah bagian dalam yang diarsir

= luas persegi – 4 luas segitiga aaaa 2

14246 22 214 2 a

Jadi, rasio luas bagian luar dengan luas bagian dalam yang diarsir dari

bintang segi delapan titik 214:4 22 aa 21:1 .

142. Jika jarak titik-titik pusat lingkaran ke titik persekutuan empat lingkaran

berikut ini berbanding sebagai 1 : 2 : 4 : 8. Rasio daerah kecil yang diarsir

dengan daerah besar yang diarsir adalah ....

A. 1 : 6

B. 1 : 8

C. 1 : 12

D. 1 : 16

E. 1 : 32

Solusi: [D]

a

a

a

2a

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

8:4:2:1::: 4321 rrrr

kr 1 , kr 22 , kr 43 , dan kr 84

Luas daerah kecil yang diarsir 21

22 ππ rr 22

π2π kk 2π3 k

Luas daerah kecil yang diarsir 23

24 ππ rr 22

4π8π kk 2π48 k

Jadi, rasio daerah kecil yang diarsir dengan daerah besar yang diarsir

16:1π48:π3 22 kk

143. Pada gambar gabungan, sebuah lingkaran kecil menyinggung sebuah

lingkaran besar dari dalam dan tepat melalui pusat F dari lingkaran besar. Jika

luas lingkaran kecil adalah 314 cm2, maka luas lingkaran yang besar adalah

....

A. 256 cm2

B. 512 cm2

C. 1.024 cm2

D. 1.256 cm2

E. 1.512 cm2

Solusi: [D]

Misalnya jari-jari lingkaran yang besar adalah a, maka jari-jati lingkaran yang

kecil adalah a2

1, sehingga

Luas lingkaran kecil adalah 2π rLkecil

2

2

1π314

a

2π4

1314 a

256.14314π 2 a

Luas lingkaran besar adalah 256.1π 2 aLbesar cm2.

144. Diketahui ABC, dengan AB = 15 cm, BC = 13 cm, dan AC = 14 cm. Pada AB

terletak titik P , sehingga panjang AP = 5 cm. Dari titik P ditarik garis tegak

lurus pada sisi AC dan BC berturut-turut di titik Q dan R. Rasio PQ dan PR

adalah ....

A. 1 : 8 B. 3 : 8 C. 13 : 18 C. 13 : 28 D. 3 : 2 E. 13 : 38

Solusi: [C]

c

c

tBP

tAP

BPC

APC

2

12

1

F

3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

c

c

t

t

PRBC

PQAC

102

1

52

1

2

12

1

2

1

13

14

PR

PQ

28

13

PR

PQ

rasio dari PQ dan PR adalah 13 : 28.

145. Dalam trapesium ABCD, AB // CD. Diagonal BD dan sisi AB sama panjang,

jika BCD = 110o dan CBD = 30

o, besar ADB adalah ….

A. 85o

B. 80o

C. 75o

D. 70o

E. 60o

Solusi: [D]

BDC = 180o – (110

o + 30

o) = 40

o

Karena AB // CD, maka ABD = BDC = 40o (sehadap)

Karena AB = BD, maka ABD sama kaki, sehingga BAD = ADB

ooo 70)40180(2

1ADB

146. Pada gambar di samping menunjukkan tampak muka dari tiga buah pipa

PAM yang diikat oleh lembaran baja. Jari-jari pipa itu masing-masing 7 cm.

Sela-sela yang kosong ditutup semen. Luas permukaan semen itu adalah ....

(Ambillah 7

22π )

A. 35

49 33

cm

2

B. 49 3 cm2

C. 35

3cm

2

D. 35

9 33

cm

2

E. 35

49 33

cm

2

Solusi: [A]

Luas daerah I 2

o

o

π360

12032

2

12

2

1rrr 22 π

3

13 rr

A

C

B P

Q R

14 cm 13 cm

5 cm 10 cm

30o

110o

A B

C D

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Luas daerah II 2

o

o

π360

1802 rrr 22 π

2

12 rr

Luas daerah yang disemen adalah luas daerah bagian yang tidak diarsir

= luas daerah I + 3 luas daerah II

22 π3

13 rr +

22 π

2

123 rr

22 π3

13 rr + 22 π

2

36 rr

222 6π6

113 rrr

222 7677

22

6

1137

2943

847349

3

35349 cm

2

147. Persegi panjang mempunyai ukuran panjang 9 cm dan lebar 3 cm

dikonstruksi seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini. Berapakah luas

jajargenjang?

A. 25 cm2

B. 20 cm2

C. 18 cm2

D. 16 cm2

E. 15 cm2

Solusi: [E]

Menurut Teorema Pythagoras:

222 39 xx

91881 22 xxx

9018 x

518

90x

Jadi, luas jajargenjang (daerah yang diarsir) adalah 1535 .

148. ABCD adalah persegi panjang dengan AB = 400 mm. Luas ABCD sama

dengan luas setengah lingkaran dengan jari-jari AB. Panjang EG adalah ....

A. 628 mm

B. 268 mm

C. 172 mm

D. 92 mm

E. 72 mm

x9

3

x

x

II

I

A

B C

D E G

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Solusi: [C]

ABABCD jariberjarilingkaranluas

2

1

2π2

1ABADAB

ABAD π2

1 40014,3

2

1 628 mm

400 ABDCDEAE mm

228400628 AGADDG mm

228 DGAE mm

17222826282 AEADEG mm.

149. Dalam ABC , AB = 6, BC = 8, dan CA = 10. Jika D terletak pada BC,

sehingga AD membagi dua A sama besar, carilah panjang BD.

A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 E. 3

Solusi: [E]

Tarik garis BE // AD, maka AE = AB.

DCBCACEC ::

DCDCBDACACEA :)(:)(

11 DC

BD

AC

EA

DC

BD

AC

AB

BDBC

BD

10

6

BDBDBC 1066

BCBD 616

BCBD16

6 38

16

6

150. Rasio luas daerah dari lingkaran yang diarsir dengan sektor OAB adalah ….

A. 4: 3 2 2

B. 1:3

C. 1: 2 2

D. 4: 3 2 2

E. 3: 2 2

Solusi: [A]

Misalnya jari-jari lingkaran daerah yang diarsir adalah rPSPRPQ ,

sehingga 2rOP , sehingga jari-jari sektor OAB 212 rrr

O A

B

A

B C D

E

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Jadi, rasio luas daerah dari lingkaran yang

diarsir dengan sektor OAB

2

2 1π : π 1 2

4r r

2 21π : π 1 2 2 2

4r r

4: 3 2 2

O A

B

Q

R

P

S

r

r

r