Solusi alin-on-mipa-pt-th.2015-tk-wilayah awk pdf

SOLUSI SOAL SELEKSI TINGKAT WILAYAH

OLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PERGURUAN TINGGI

(ON-MIPA PT)

TAHUN 2015

BIDANG ALJABAR LINEAR

By Agrend Wisnu Kusuma (BKB XPERT MTI Bogor)

BAGIAN PERTAMA

3. Misalkan zyxv ,, melambangkan sebarang elemen pada 3R .

Misalkan M adalah matriks yang kolom-kolomnya ik dan v , dengan mereduksi

matriks M menjadi bentuk eselon, yaitu

zyx

y

x

zx

y

x

z

y

x

MBBBB

000

210

311

~

210

210

311

~

101

210

3112313

sehingga haruslah 0 zyx .

Analog cara di atas misalkan 'M adalah matriks yang kolom-kolomnya il dan v ,

dengan meruduksi matriks 'M menjadi bentuk eselon, yaitu

zyx

y

x

zx

y

x

z

y

x

MBBBB

00

10

11

~

10

10

11

~

01

10

11

'2313

sehingga haruslah 0 zyx .

Dengan menggabungkan kedua sistem persamaan maka diperoleh sistem homogen

yang ruang solusinya adalah LK , yaitu

0

0

zyx

zyx. Untuk memperoleh solusi sistem homogen tersebut maka kita dapat

mereduksinya menjadi bentuk matrik eselon:

220

111~

111

111 12 BB

.

Sistem persamaan homogen menjadi

)(.......... 022

)......( 0

iizy

izyx.

Diperoleh rank matriks eselon 2r , dengan banyak variabel sistem persamaan ada

.3n Banyaknya variabel bebas ada 123 rn , yaitu misalkan y .

Dengan mensubstitusikan y ke dalam persamaan )(ii maka diperoleh

z . Selanjutnya dengan mensubstitusi y dan z ke dalam

persamaan )(i maka diperoleh 0x . Sehingga solusi sistem homogen

0

0

zyx

zyx adalah

1

1

0

z

y

x

dimana R .

Jadi RLKT

110

.



PERGURUAN TINGGI

(ON-MIPA PT)

TAHUN 2015


4. Dari definisi kita tahu bahwa kernel 0 22 XTRXT x .

Kita mempunyai

21122211

11221221

2221

1211

2221

1211

00

00

01

10

01

10

00

00

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

xx

XAAXXT

maka diperoleh sistem persamaan dengan empat variabel, yaitu

).....( 0

).....( 0

2211

2112

iixx

ixx.

Dengan mereduksi sitem persamaan tersebut menjadi bentuk matriks eselon kita

dapat memperoleh

0110

1001

22211211 xxxx

dimana rank matriks 2r .

Sehingga didapatkan bahwa banyaknya variabel bebas ruang solusi sistem persamaan

ada 224 rn , yaitu 21x dan 22x . Dengan mensubstitusikan

21x dan 22x ke dalam persamaan i dan ii maka diperoleh 12x

dan 11x atau

1

0

0

1

0

1

1

0

22

21

12

11

x

x

x

x

dimana R, .

Karena22

2221

1211 xRxx

xxX

ini berarti

10

01 ,

01

10X dimana R, .

Jadi dimensi Inti 2T .

5. Definisi:

Misalkan A adalah sebarang matriks bujursangkar. Skalar disebut sebagai nilai

eigen dari A jika terdapat vektor (kolom) bukan-nol v sedemikian rupa

sehingga

vAv

Sebarang vektor yang memenuhi hubungan ini disebut sebagai vektor eigen dari A

yang termasuk dalam nilai eigen .



PERGURUAN TINGGI

(ON-MIPA PT)

TAHUN 2015


Dari soal kita tahu bahwa

1

1u adalah vektor eigen matriks

12

1 aaA . Dari

definisi kita peroleh

.3

12

1

1

1

1

12

1

a

aa

uAu

Karena 3 maka 2a .

Jadi nilai eigen untuk u adalah 3 .

6.

7. Teorema:

Misalkan A adalah matriks simetris real. Maka terdapat matriks ortogonal P

sedemikian rupa sehingga APPD 1 adalah matriks diagonal.

Dari teorema di atas kita tahu bahwa matriks A dapat didiagonalisasi ortogonal

jika A matriks simetris real atau haruslah memenuhi TAA .

Sehingga agar matriks AB dapat didiagonalisasi ortogonal jika AB matriks

simetris real atau haruslah memenuhi TABAB )( .

11

121

11

12

1

11

11

10

11

0

110

01

1

11

1

a

ba

bccc

bbc

c

aac

a

bc

c

b

a

ABAB

ABAB

TT

T

persamaan di atas dipenuhi jika 0 ba dan 1c .

Jadi haruslah 1,0,0,, cba .

8. Definisi:

Misalkan S adalah subhimpunan dari ruang hasilkali-dalam V . Komplemen

ortogonal dari S , dilambangkan dengan S , terdiri dari vektor-vektor dalam V

yang ortogonal terhadap setiap vektor Su ; yaitu,

SusetiapuntukvuVvS 0,:



PERGURUAN TINGGI

(ON-MIPA PT)

TAHUN 2015


Misalkan cbxaxxp 2 .

K dibangun oleh x,1 , maka berdasarkan definisi untuk mencari K haruslah

01, p dan 0, xp .

Kita dapat memperoleh bahwa

0632

023

023

0

0 1.

01,

1

0

23

1

0

2

1

0

cba

cba

cxxb

xa

dxcbxax

dxxp

p

dan

.0643

0234

0234

0

0 .

0,

1

0

234

1

0

23

1

0

cba

cba

xc

xb

xa

dxcxbxax

dxxxp

xp

Sehingga kita mempunyai sistem homogen, yaitu

)2.........( 0643

)1(.......... 0632

cba

cba

Sekarang kita akan mencari nilai ,,ba dan c dengan mengubahnya ke dalam

matriks eselon melalui operasi baris elementer.

610

6322

32

10

632

643

632212

32 bbb

maka diperoleh sistem persamaan dengan tiga variabel baru, yaitu



PERGURUAN TINGGI

(ON-MIPA PT)

TAHUN 2015


).....( 06

).....( 0632

iicb

icba.

Diperoleh rank matriks eselon 2r , dengan banyak variabel sistem persamaan ada

.3n Banyaknya variabel bebas ada 123 rn , yaitu misalkan c .

Dengan mensubstitusikan c ke dalam persamaan )(ii maka diperoleh

6b . Selanjutnya dengan mensubstitusi c dan 6b ke dalam

persamaan )(i maka diperoleh 6a . Sehingga solusi sistem homogen

)2.........( 0643

)1(.......... 0632

cba

cba adalah

1

6

6

c

b

a

dimana R .

Diperoleh )166( 2 xxxp , R .

Jadi , 166 2 xxK dimana R .



PERGURUAN TINGGI

(ON-MIPA PT)

TAHUN 2015


BAGIAN KEDUA

2. Diketahui bahwa WVU ,, ruang-ruang vektor atas lapangan F , mV dim , dan

nU dim .

WVT : linear dan satu-satu , maka 0dim TKer .

UWS : linear dan pada, maka nUS dimImdim .

Karena V berdimensi berhingga dan WVT : linear, maka

TTKerV Imdimdimdim .

Kita mempunyai 0kerdim T maka mTV Imdimdim .

Dari soal diketahui bahwa SIntiTPeta ini artinya,

mSKerT dimImdim .

Kita tahu pula bahwa UWS : linear, maka

SSKerW Imdimdimdim

Sehingga untuk mSKer dim dan nS Imdim kita dapat memperoleh

bahwa nmW dim .

3.

Solusi alin-on-mipa-pt-th.2015-tk-wilayah awk pdf

Education

Transcript of Solusi alin-on-mipa-pt-th.2015-tk-wilayah awk pdf