1. Apa itu matriks, hukum penjumlahan matriks, hukum perkalian matriks dan sifat determinan

Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks !

Penjumlahan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Matriks hasil penjumlahannya juga akan memiliki ordo yang sama dengan matriks yang dijumlahkan. Komponen-komponen matriks hasil penjumlahan diperoleh dengan cara menjumlahkan komponen-komponen setiap matriks yang seletak. Coba perhatikan penjumlahan 2 matriks dengan ordo 2 x 2 berikut :

Pada penjumlahan matriks di atas, masing-masing matriks yang dijumlahkan sama- sama berordo 2 x 2 dan hasil penjumlahannya juga berordo 2 x 2 sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan. Komponen baris1-kolom1 diperoleh dengan cara menjumlahkan baris1-kolom1 pada matriks pertama (yaitu a) dan komponen baris1- kolom1 pada matriks kedua (yaitu e), dan seterusnya.

Contoh:

Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks A oleh matriks B, ditulis A – B adalah penjumlahan matriks A dengan lawan dari matriks B, yaitu (-B). Konsep pengurangan matriks ini sama dengan penjumlahan matriks. Syarat ada penjumlahan matriks berlaku juga untuk pengurangan matriks. Perhatikan contoh pengurangan matriks berikut ini.

Contoh soalnya di bawah ini :

Sifat-Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Untuk setiap matriks A, B, dan C yang berordo sama berlaku:

A + B = B + A (sifat komutatif)

A + (B + C) = (A + B) + C (sifat asosiatif)

A + O = O + A = A (sifat matriks nol/identitas)

A + B = O ↔ B = -A

A – B = A + (-B)

Pembuktiannya akan saya jalankan pada excel :

Di Penjumlahan Matriks terdapat beberapa sifat yaitu:

Komutatif dimana mA + mB = mB + mABisa dilihat screenshoot dibawah ini :

Dapat terlihat hasil mA + mB sama dengan Hasil mB + mA.Rumus excel untuk mA + mB adalah {=A2:C4+E2:G4}Rumus excel untuk mB + mA adalah {=E2:G4+A2:C4}

Assosiatif dimana (mA + mB) + mC = mA + (mB + mC)Bisa dilihat screenshoot dibawah ini :

Bisa dilihat juga bahwa hasil (mA + mB) + mC sama dengan hasil mA + (mB + mC)Rumus excel untuk (mA + mB) + mC adalah {=(A2:C4+E2:G4)+I2:K4}Rumus excel untuk mA + (mB + mC) adalah {=A2:C4+(E2:G4+I2:K4)}

Distributif dimana K(mA + mB) = k.mA + k.mBBisa dilihat screenshotnya dibawah ini :

Dimana hasil K(mA + mB) sama dengan hasil k.mA + k.mBRumus excel untuk K(mA + mB) adalah {=I2*(A2:C4+E2:G4)}Rumus Excel untuk k.mA + k.mB adalah {=(I2*A2:C4)+(I2*E2:G4)}

Hukum perkalian pada matriks

Beberapa sifat perkalian di matriks : Distributif dimana mA(mB + mC) = mA.mB + mA.mC

Pada screenshot diatas sudah menjelaskan bahwa benar hukum perkalian yang bersifat distributif dimana hasil mA(mB+mC) sama dengan mA.mB + mA.mCRumus untuk mA(mB + mC) adalah {=MMULT(A2:C4;(E2:G4+I2:K4))}Rumus untuk mA.mB + mA.mC adalah {=MMULT(A2:C4;E2:G4)+MMULT(A2:C4;I2:K4)}

Assosiatif dimana mA(mB.mC) = (mA.mB)mC

Pada sifat assosiatif juga memiliki hasil yang sama meski bentuk perkaliannya berbeda.Rumus untuk excel mA(mB.mC) adalah {=MMULT(A2:C4;(MMULT(E2:G4;I2:K4)))}Rumus untuk excel (mA.mB)mC adalah {=MMULT(MMULT(A2:C4;E2:G4);I2:K4)}

Tidak Komutatif dimana AB ≠ BA

Dan benar bahwa sifat komutatif tidak dimiliki oleh perkalian matriks ini karena memiliki hasil yang berbeda.Rumus excel untuk mA.mB adalah {=MMULT(A2:C4;E2:G4)}Rumus excel untuk mB.mA adalah {=MMULT(E2:G4;A2:C4)}

Determinan matriks

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar. Dibawah cara menghitung determinan ordo 3 x 3

Cara menghitungnya

Misal :

Jika kita sudah menghitung seperti cara yang diatas maka kita akan mendapat hasil 18. Darimana dapat hasil itu yaitu det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1) = 2+12+0+6-0-2 = 18

Untuk pembuktian bahwa determinan mempunyai sifat determinan yaitu Det(mA) = det(mAT) dimana mAT adalah matriks transpose. Maka saya akan mencoba membuktikannya yaitu

1 4 = -24 2 3 = -18 0 1 = 5

6 0 6 0 5 6

0 4 = -20 1 3 = -15 1 2 = 4

5 0 5 0 5 6

A=(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

)det (A )=a 11 a22a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32−a31a22a13−a32 a23 a11−a33 a21 a12

A=(−2 2 −3−1 1 32 0 −1 )

M=[1 2 30 1 45 6 0 ]

2 3 = -5 1 3 = -4 1 2 = 1

1 4 0 4 0 1

Determinannya adalah det(M) = 1(0-2.4)-2(0-2.0)+3(0-5) = 1 kemudian akan ditranspose menjadi

Temukan dulu matriks kofaktornya dengan menghitung minor-minor matriksnya . Lihat screenshotnya dibawah ini :

Bisa dilihat hasil sebelum transpose dan sesudah transpose mempunyai hasil yang sama yaitu

MT=[1 0 52 1 63 4 0 ]

[−24 18 520 −15 −4−5 4 1 ][+ − +

− + −+ − + ][−24 −18 5

−20 −15 4−5 −4 1 ]