BAB 1 IntegralSoal1. Hasil dari =

Jawaban Misalkan : u = , makadu = = duSehingga : = = = Soal2. Jika diketahui integral , maka p = Jawaban

Akar-akar yang memenuhi adalah p = 4 atau p =

Soal3. Jawaban=

= Soal4. Volume benda putar yang dabatasi oleh y = dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu x adalahJawabanV = = = = = ()= =

Soal5. Luas daerah yang dibatasi oleh y = dan y = 5x 4 adalahJawaban

Luas

BAB 2 SISTEM LINEARSoal1. Seorang pedagang beras mempunyai persediaan beras Rojolele , beras IR 64 , dan beras impor masing-masing sebanyak 1.000 kg , 2400 kg , dan 1600 kg . Jika pedagang menjual beras tersebut dalam dua jenis karung yaitu jenis A berisi campuran beras Rojolele , beras IR 64 , dan beras impor masing-masing sebanyak 10 kg , 20 kg , dan 10 kg . Sedangkan jenis B berisi campuran beras Rojolele , beras IR 64 , dan beras impor masing-masing sebanyak 10 kg , 20 kg , 20 kg . Jika keuntungan beras jenis A Rp. 28.000,- dan keuntungan beras jenis B Rp. 24.000,- , maka tentukan besar keuntungan maksimum penjualan beras tersebut?Jawaban

Syarat10x + 10y 100030x + 20y 240010x + 20y 1600X 0 , Y 0a. 10x + 10y = 1000 -> (0,100) ; (100,0)b. 30x + 20y = 2400 -> (0,120) ; (80,0)c. 10x + 20y = 1600 -> (0,160) ; (80,0) x + y 100 (100 , 100)3x + 2y 240(80 , 120)x + 2y 160(160 , 80)

f(x , y )28.000x + 24.000yKeuntungan

( 0, 80 )28.000(0) + 24.000(80)Rp. 1.920.000,-

(40 , 60)28.000(40) + 24.000(60)Rp. 2.560.000,- (Max)

(80 ,0 )28.000(80) + 24.000(0)Rp. 2.240.000.-

Jadi Keuntungan Maksimal dapat dicapai dengan menjual 40 x ( 40 karung beras jenis A ) dan 60 y ( 60 karung beras jenis B.Keuntungan yang dicapai sebesar Rp. 2.560.000

Soal2.

Jawaban

Soal3.

Jawaban

Soal4. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet 1 Rp. 4000,00 per biji dan tablet II Rp. 8.000,00 per biji, pengeluaran minuman untuk pembelian tablet per hari adalah.JawabanBanyaknya tablet Jenis I yang diperlukan tiap hari : x tabletBanyaknya tablet Jenis II yang diperlukan tiap hari : y tabletSatu Tablet Jenis I (x)Satu Tablet Jenis II (y)Keperluan tiap hari

Kandungan Vit. A Kandungan Vit. B 53101255

Harga4.0008.000

Dari tabel diatas didapatkan model matematika :5x + 10y 253x + y 5X 0Y 0Dengan meminimumkan :F (x,y) = 4.000x + 8.000y

Untuk 5x + 10y = 25Jika x = 0 maka y = 25/10 = 2 ; titik (x,y)=(0,2 )Jika y = 0 maka x = 5 ; titik (x,y)=(5,0)Untuk 3x + y = 5Jika x = 0 maka y = 5 ; titik (x,y)=(0,5)Jika y = 0 maka x = 5/3 ; titik (x,y)=(5/3,0)

Tititk perpotongan dua garis diselesaikan dengan tekhnik Eliminasi dan Substitusi

Eliminasi5x + 10y = 25x315x + 30y = 753x + y = 5x515x + 5y= 25 25y= 50y= 2Substitusi5x + 10y = 255x + 10.2 = 255x = 25 205x = 5x = 1Jadi titik potongnya adalah (x,y) = (1,2)

Daerah penyelesaian dari masalah di atas terlihat pada daerah yang diarsir :

Dengan menguji titik-titik sudut daerah penyelesaian diperoleh :

Titik (x,y)F (x,y) = 4.000x + 8.000yJumlah

(0,5)(1,2)(5,0)0 + 40.0004.000 + 16.00020.000 + 0Rp. 40.000,00Rp. 20.000,00Rp. 20.000,00

Jadi ada 2 titik yang menyebabkan nilai minimum pada F yaitu A(5,0) dan B(1,2) yang menghasilkan nilai minimum Rp. 20.000,00

Soal5. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak.Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp.6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapatmemuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kgdan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah..JawabanMisal : x = mangga ; y = pisangModel matematikanya:x 0 ; y 08000x + 6000y 1200.000 --> dibagi 2000 4x + 3y 600 .(1)x + y 180 .(2)Laba penjualan mangga = 9200 8000 = 1200Laba penjualan pisang = 7000 6000 = 1000Laba maksimum = 1200x + 1000y Grafik:

Titik potong:Dari pers (1) dan (2)eliminasi x4x + 3y = 600 x1 4x + 3y = 600x + y = 180 x4 4x + 4y = 720 -- y = - 120y = 120x + y = 180x = 180 120 = 60titik potong = (60,120)

Titik pojok 1200x + 1000y(0, 0) 0(150, 0) 180.000(60, 120) 192.000(0, 180) 180.000Laba maksimum adalah 192.000

BAB 3 MATRIKSSoal 1. Diketahui persamaan matriks Nilai x y = . . .Jawaban

10 2x = 1x = -5 -2x -2y = 0-5 -9 -2y = 0y = maka, x y = Soal2. Nilai a + b + c yang memenuhi persamaan matriks adalah . . .Jawaban

5a = 10a = 27c = 7a = 7(2)7c = 14c = 27c = 14b7(2) = 14bb = 1Jadi = a + b +c = 2 +1 +2 = 5Soal3. Diketahui Jika A + B C maka nilai x + 2xy + y = . . .Jawaban Maka,

x + 6 = 8x = 22 y = -x2 y = -(2)y = 4Jadi, x + 2xy + y = 2 + 2(2)(4) + 4 = 22Soal4. Diketahui persamaan matriks: Nilai a + b +c + d = . . Jawaban

d 1 = 4d = 5a +2 = -3a = -54 + b = 1b = -3c 3 = 3c = 6Jadi, a + b + c + d = -5 + (-3) + 6 + 5 = 3Soal5. Diketahui matriks P invers matriks P dan JawabanP = dan Q = Maka,.

. Det )(-37)Det 1BAB 4 BARIS DAN DERET

Soal1. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah ....JawabanUn = a + ( n 1 )b U10 = a + 9b = 41 U5 = a + 4b = 21 _ 5b = 20 b = 4

a + 4b = 21 a + 4.4 =21 a + 16 = 21 a =5

U50 = a + ( 50 1 )4 = 5 + 49.4 = 5 + 196 = 201

Soal2. Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah .JawabanUn = Sn Sn 1U20 = S20 S19 = (202 + 5.20) (192 + 5.19) = 500 456 = 44

Soal3. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah JawabanUn = a + (n 1)b

U3 = a + 2b = 36 (i)

U5 + U7 = 144

(a + 4b) + (a + 6b) = 144

2a + 10b = 144 (kalikan )

a + 5b = 72 (ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh :

a + 5b = 72

(36 2b) + 5b = 72

3b = 36 => b = 12

Kemudian substitusi nilai b kesalah satu persamaan (missal persamaan (i)), sehingga diperoleh :

a = 36 2b = 36 2(12) = 12

Setelah nilai a dan b kita dapatkan, kemudian kitamencari nilai dari S10 :

Sn= (2a + ( n 1 )b)

S10 = (2(12) + ( 10 1 )12)

= 5 (24 + (9)12)

= 5 (24 + 108)

= 5 (132) = 660

Soal4. Suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 2 suku pertamanya adalah 240, jumlah 7 suku pertamanya adalahJawabanS20 = 20/2 (2.a + (20 1).2)240= 10(2a + 38)240= 20a +380dibagi 1024= 2a +382a= 24-382a= -14a= -7Sehingga :S7 = 7/2(2a + (7 1)b) =7/2(2(-7) + (7 1)2) =7/2(-14 + 12 ) = -7 Soal5. Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100Jawaban Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, danUn= 99.

Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut.

Un= a + (n 1)b99 = 3 + (n 1)33n = 99n = 33

Jumlah dari deret tersebut adalah :

Sn=n(a +Un)S33= 33(3 + 99)= 1.683