Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan Pembahasannya

2013

Mudah Lulus UN 2014

Hyr

onim

us L

ado,

S.P

d *

Mud

ah L

ulus

UN

201

4*

Mod

ul m

atem

atik

a ta

pel 2

013/

2014

Hak cipta@Smpn Satu Atap Ilewutungemail:[email protected]

1 logika matematika

Standar KompetensiLulusan (SKL) : I

: Memahami pernyataan-pernyataan dalammatematika dan ingkarannya, menentukan nilaikebenaran pernyataan majemuk, sertamenggunakan prinsip logika matematika dalampemecahan masalah.

Ruang LingkupMateri (RLM)

: Logika matematika Ingkaran suatu pernyataan Penarikan kesimpulan(Tidak termasuk pernyataan berkuantor)

Operasi RLM : Nilai kebenaran dari suatu pernyataan Ingkaran suatu pernyataan Konvers Kontraposisi dan pernyataan yang senilai Penarikan kesimpulan

PEMETAAN SKL

2 logika matematika

A. Pernyataan kalimat terbuka serta ingkarannya. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja

atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.Contoh :1. 3 adalah bilangan ganjil (benar)2. Kupang adalah ibu kota negara Indonesia (salah)Pernyataan dinotasikan dengan huruf p, q, r, s, .... Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai

kebenarannya (benar atau salah), biasanya masih memuatpeubah/variabel. Jika peubah atau variabel diganti dengan suatufakta (nilai), maka menjadi suatu pernyataan.

Contoh :83 x

jika x diganti 5 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benarjika x diganti 2 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang salah Ingkaran adalah pernyataan baru yang dengan nilai kebenaran

berlawanan dengan nilai pernyataan semula, dinotasikan dengan “”Contoh :1. p : 6 > 2 (B) maka ingkaran dari p ditulis

~p : 6 2 (S)2. p : 4 + 1 5 (S) maka ingkaran dari p ditulis

~p : 4 + 1 = 5 (B) Ingkaran dari kata-kata:

“semua” adalah “ada”“ada” adalah “beberapa”“beberapa” adalah “semua”

MATERI

3 logika matematika

B. Operasi Logika Konjungsi

Konjungsi dari dua pernyataan p dan q ditulis “p q”Dua pernyataan p dan q (p q) bernilai benar jika komponen p dan qbernilai benar.

p q p qBBSS

BSBS

BSSS

DisjungsiDisjungsi dari dua pernyataan p atau q ditulis “p q”Disjungsi dari dua pernyataan p atau q bernilai benar jika salah satuunsur benar.

p q p qBBSS

BSBS

BBBS

ImplikasiImplikasi dari dua pernyataan jika p maka q dinotasikan dengan“p q”Implikasi p q bernilai salah hanya jika pernyataan pertama bernilaibenar dan pernyataan kedua bernilai salah.

p q p qBBSS

BSBS

BSBB

BiimplikasiBiimplikasi dua pernyataan p jika dan hanya jika q ditulis “p q”Biimplikasi p q bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai sama

4 logika matematika

p q p qBBSS

BSBS

BSSB

C. Pernyataan majemukDua pernyataan majemuk dikatakan ekivalen jika kedua pernyataanmajemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.1. p q ~p q

p q p qBBSS

BSBS

BSBB

p q ~p ~p qBBSS

BSBS

SSBB

BSBB

2. p ~q ~ (q ~p)

p q ~q p ~qBBSS

BSBS

SBSB

SBSS

p q ~p q ~p ~( q ~p)BBSS

BSBS

SSBB

BSBB

SBSS

5 logika matematika

3. ~( p q) p ~q ~ (q ~p)4. ~p ~q q p5. p ~q q ~p6. ~p q ~q pHukum De Morgan1. ~(p q) ~p ~q2. ~(p q) ~p ~q

D. Penarikan kesimpulan1. Modus ponens

Premis 1 : p q2 : p q

2. Modus tollensPremis 1 : p q

2 : ~q ~p

3. SilogismePremis 1 : p q

2 : q r p r

6 logika matematika

1. Penarikan kesimpulan dari premis-premis dibawah ini adalah .... UAN2003Premis 1 : qp

2 : ~q....

a. pb. ~pc. qd. )( qp e. ~qPenyelesaian :Premis 1 : qp qp~

2 : ~q ~(~p) = p

Jawaban : a2. Ingkaran dari pernyataan “semua makluk hidup perlu makan dan minum”

adalah .... UAN 2004a. Semua makluk hidup tidak perlu makan dan minumb. Ada makluk hidup yang tidak perlu makan atau minumc. Ada makluk hidup yang tidak perlu makan minumd. Semua makluk tidak hidup perlu makan dan minume. Semua makluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minumPenyelesaian :Ingkaran dari kata “semua” adalah “ada”Mis p : makluk hidup perlu makan

q : makluk hidup perlu minumMaka model matematika dari pernyataan di atas adalah

qp ingkarannya adalah qpqp ~~)(~ “ada makluk hidup tidak perlu makan atau minum”Jawaban : b

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

7 logika matematika

3. Diketahui premis-premis berikut :1. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai2. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian3. Budi tidak lulus ujianKesimpulan yang sah adalah .... UAN 2005a. Budi menjadi pandaib. Budi rajin belajarc. Budi lulus ujiand. Budi tidak pandaie. Budi tidak rajin belajarPenyelesaian :Misalkan : p : Budi rajin belajar

q : Budi menjadi pandair : Budi lulus ujian

Model matematikanya adalah :Premis 1 : p → q

2 : q → r3 : ~r

Dari premis pertama dan kedua dapat disimpulkan :Premis 1 : p → q

2 : q → r p → r3 : ~r ~p

“Budi tidak rajin belajar”Jawaban : e

4. Upik rajin belajar maka ia naik kelasUpik tidak naik kelas maka ia tidak dapat hadiahUpik rajin belajarKesimpulannya adalah .... UAN 2006a. Upik naik kelasb. Upik dapat hadiahc. Upik tidak dapat hadiahd. Upik naik kelas dan dapat hadiahe. Upik dapat hadiah atau naik kelasPenyelesaian :

8 logika matematika

Mis : p : Upik rajin belajarq : Upik naik kelasr : Upik dapat hadiah


2 : ~q → ~r3 : p

Dari premis 1 dan 3 dapat disimpulkan :Premis 1 : p → q

3 : pq

Premis 2 : ~q → ~r ≡ r → q: q~(~r) = r

“Upik dapat hadiah”Jawaban : b

5. Diketahui pernyataan :1. Jika guru matematika tidak datang, maka siswa senang2. Jika suasana kelas tidak ramai, maka beberapa siswa tidak senang3. Guru matematika tidak datangKesimpulan yang sah adalah .... UAN 2007. Ba. Semua siswa tidak senangb. Semua siswa senang dan suasana kelas tidak ramaic. Suasana kelas tidak ramaid. Suasana kelas ramaie. Beberapa siswa tidak senangPenyelesaian :Mis : p : guru matematika datang

q : siswa senangr : suasana kelas ramai

Maka model matematikanya adalah :Premis 1 : ~p → q

2 : ~r → ~q3 : ~p

Dari premis 1 dan 2 dapat disimpulkanPremis 1 : ~p → q

9 logika matematika

2 : ~r → ~q ≡ q → r ~p → r

3 : ~pr

“suasana kelas ramai”Jawaban : d

6. Diketahui pernyataan :1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung3. Ani tidak memakai payungKesimpulan yang sah adalah .... UAN 2007. Aa. Hari panasb. Hari tidak panasc. Ani memakai topid. Hari panas dan Ani memakai topie. Hari tidak panas dan Ani tidak memakai topiPenyelesaian :Mis : p : hari panas

q : Ani memakai topir : Ani memakai payung


2 : rq ~3 : ~r

Dari premis 1 dan 2 dapat disimpulkan :

Premis 1 : p → q2 : rqrq ~

p → r3 : ~r

~p“hari tidak panas”Jawaban : b

7. Diketahui premis-premis :1. Jika hari hujan, maka udara dingin2. Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat

10 logika matematika

3. Ibu tidak memakai baju hanngatKesimpulan yang sah adalah .... UAN 2008a. Udara tidak dinginb. Udara panasc. Hari tidak hujand. Hari berawane. Hari tidak hujan dan udara panasPenyelesaian :Mis : p : hari hujan

q : udara dinginr : ibu memakai baju hangat

Model matematikanya adalah ....Premis 1 : p → q

2 : q → r3 : ~r

Dari premis 1 dan 2 dapat disimpulkan :Premis 1 : p → q

2 : q → rp → r3 : ~r~p

“hari tidak hujan”Jawaban : c

8. Ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangangenap” .... UAN 2008a. Semua bilangan prima adalah bilangan genapb. Semua bilangan prima bukan bilangan genapc. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genapd. Beberapa bilangan genap bukan bilangan genape. Beberapa bilangan genap adalah bilangan primaPenyelesaian :Ingkaran dari kata “beberapa” adalah “semua”Jadi ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangangenap” adalah :“semua bilangan prima bukan bilangan genap”Jawaban : c


1. Negasi atau ingkaran dari pernyataan “semua peserta ujian nasionalmengerjakan soal seleksi dengan sungguh-sungguh” adalah ....a. Beberapa peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi tidak

dengan sungguh-sungguh.b. Beberapa peserta ujian nasional tidak mengerjakan soal seleksi

dengan sungguh-sungguhc. Ada peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi tidak dengan

sungguh-sungguhd. Ada peserta ujian nasional tidak mengerjakan soal seleksi tidak

dengan sungguh-sungguhe. Semua peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi tidak dengan

sungguh-sungguh2. Pernyataan yang senilai dengan pernyataan “jika 7 bilangan prima maka

12 bilangan komposit” adalah ....a. 7 bilangan prima atau 12 bilangan kompositb. 7 bilangan prima dan 12 bilangan kompositc. Jika 7 bukan bilangan prima maka 12 bukan bilangan kompositd. Jika 12 bilangan komposit maka 7 bukan bilangan primae. Jika 12 bukan bilangan komposit maka 7 bukan bilangan prima

3. Diberikan premis-premis :1. Jika Banu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka ayah

membelikannya bola basket2. Ayah tidak membelikan bola basket atau pergi ke pasar3. Ayah tidak pergi ke pasarKesimpulaan yang sah adalah ....a. Banu rajin belajar dan patuh kepada orang tuab. Banu tidak rajin belajar dan tidak patuh kepada orang tuac. Banu tidak rajin belajar atau tidak patuh kepada orang tuad. Banu tidak rajin belajar dan patuh kepada orang tuae. Banu rajin belajar atau tidak patuh kepada orang tua

LATIHAN MANDIRI


4. Diketahui premis-premis sebagaiberikut :1. Jika Ani rajin belajar, maka ia akan pandai2. Jika Ani pandai, maka ia lulus ujian3. Ia tidak lulus ujianKesimpulan yang sah adalah ....a. Jika Ani tidak rajin belajar maka ia tidak lulus ujianb. Jika Ani rajin belajar maka ia pandaic. Ani tidak pandai atau lulus ujiand. Ani tidak rajin atau lulus ujiane. Ani tidak rajin belajar

5. Diketahui premis-premis :1. Jika hujan turun, maka tanah basah2. Jika tanah basah, maka udara lembabKesimpulan yang sah (valid) adalah ....a. Jika hujan turun, maka tanah tidak basahb. Jika tanah basah, maka hujan turunc. Jika hujan turun maka udara lembabd. Hujan tidak turune. Udara lembab

6. Ingkaran dari pernyataan “Semua peserta ebtanas berdoa sebelummengerjakan soal” adalah ....a. Semua peserta ebtanas tidak berdoa sebelum mengerjakan soalb. Beberapa peserta ebtanas berdoa sebelum mengerjakan soalc. Beberapa peserta ebtanas tidak berdoa sebelum mengerjakan soald. Semua peserta ebtanas berdoa sesudah mengerjakan soale. Beberapa peserta ebtanas berdoa sesudah mengerjakan soal

7. Ingkaran dari pernyataan “Beberapa peserta ebtanas membawakalkulator” adalah ....a. Beberapa peserta ebtanas tidak membawa kalkulatorb. Bukan peserta ebtanas membawa kalkulatorc. Semua peserta ebtanas membawa kalkulatord. Semua peserta ebtanas tidak membawa kalkulatore. Tiada peserta ebtanas tidak membawa kalkulator


8. Pernyataan “Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelam” ekuivalendengan ....a. Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelamb. Jika laut pasang maka tiang dermaga tidak tenggelamc. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tenggelamd. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tidak tenggelame. Jika tiang dermaga tidak tenggelam maka laut tidak pasang

9. Pernyataan “Jika anda rajin belajar maka anda lulus Ebtanas” ekuivalendengan ....a. Jika anda lulus Ebtanas maka anda rajin belajarb. Jika anda tidak rajin belajar maka anda tidak lulus Ebtanasc. Jika anda tidak lulus Ebtanas maka anda tidak rajin belajard. Jika anda tidak rajin belajar maka anda lulus Ebtanase. Jika anda tidak lulus Ebtanas maka rajin belajar

10. Invers dari pernyataan (p ~q) p adalah ....a. ~p (p ~q)b. ~p (p q)c. ~p (p ~q)d. (~p q) ~pe. (p ~q) ~p

11. Pernyataan majemuk “Jika hari hujan maka sungai meluap” ekuivalendengan ....a. Hari hujan dan sungai meluapb. Hari tidak hujan dan sungai tidak meluapc. Jika sungai meluap maka hari hujand. Jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujane. Jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap

12. Diketahui p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.Implikasi dibawah yang bernilai salah adalah ....a. p ~qb. ~p qc. q pd. q ~pe. ~q ~p


13. Negasi dari pernyataan “Jika Tia belajar maka ia lulus” adalah ....a. Jika Tia lulus maka ia belajarb. Jika Tia tidak lulus maka ia tidak belajarc. Jika Tia tidak belajar maka ia tidak lulusd. Tia belajar dan ia tidak luluse. Tia tidak belajar tetapi ia lulus

14. Diketahui pernyataan“Jika harga bahan bakar naik, maka ongkos angkutan naik”“Jika harga kebutuhan pokok tidak naik, maka ongkos angkutan tidaknaik”Bila kedua pernyataan itu bernilai benar, maka kesimpulan yang dapatdiambil adalah ....a. Jika ongkos naik, maka harga bahan bakar naikb. Jika ongkos angkutan naik, maka harga kebutuhan pokok naikc. Jika ongkos angkutan tidak naik, maka harga bahan bakar tidak naikd. Jika harga bahan bakar naik, maka harga kebutuhan pokok naike. Jika harga bahan tidak naik, maka harga kebutuhan pokok tidak naik

15.

Pada tabel kebenaran di atas p dan q adalah pernyataan. B menyatakanBenar dan S menyatakan Salah. Nilai kebenaran yang tepat diisikan padakolom pernyataan ~q p yang ditulis dari kiri ke kanan adalah ....a. B S S Sb. B S B Bc. B B B Sd. B B S Be. B S S B


16. Diketahui premis – premis sebagai berikut1. Jika Rudi ke sekolah, maka Ia kehujanan2. Jika Rudi kehujanan, maka Ia basah3. Rudi tidak basahKesimpulan yang sah adalah ....a. Jika Rudi ke sekolah, maka Ia basahb. Jika Rudi ke sekolah, maka Ia kehujananc. Rudi tidak ke sekolahd. Rudi ke sekolahe. Rudi kehujanan

17. Pernyataan “Jika anda rajin belajar, maka anda lulus Ebtanas” ekuivalendengan ....a. Jika anda lulus Ebtanas, maka anda rajin belajarb. Jika anda tidak rajin belajar, maka anda tidak lulus Ebtanasc. Jika anda tidak lulus Ebtanas, maka anda tidak rajin belajard. Jika anda tidak rajin belajar, maka anda lulus Ebtanase. Jika andatidak lulus Ebtanas, maka anda rajin belajar

18. Kesimpulan dari tiga premis :1. p ~q2. ~r q3. ~radalah ....a. ~pb. ~qc. qd. p qe. r ~q

19. penarikan kesimpulan dari premis – premis di bawah ini adalah ....p qq....a. pb. ~pc. qd. (p q)e. ~q


20. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut adalah ....~p qq r....a. p rb. ~p rc. p ~rd. ~p re. p r

Pangkat, akar dan logaritma1

Standar KompetensiLulusan (SKL) II

: Memahami konsep yang berkaitan dengan aturan pangkat,akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, persamaan danpertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan persamaangaris singgungnya, suku banyak, sistem persamaan linier,program linier, matriks, vektor, transformasi geometri,barisan dan deret, serta menggunakannya dalam pemecahanmasalah


: Aljabar

Operasional RLM : Pangkat, akar dan logaritma Fungsi aljabar sederhana

o Grafik fungsi kuadrato Fungsi komposisi inverso Fungsi eksponen dan logaritma

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat Persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya Suku banyak Sistem persamaan linier Program linier Matriks Vektor Transformasi geometri Barisan dan deret

1. Pangkat, akar dan logaritmaA. Pangkat

# Jika Ra dan n bilangan bulat > 1 makaaaaaa n ....

# Jika Ra dan n bilangan bulat < 1 makan

n

aa

1

# Hubungan pangkat positif dan negatif

nn

aa

1

nn

aa

1

# Sifat-sifat pangkat1. qpqp aaa 2. qpqp aaa :3. pqqP aa )(

4. qpp aaab )(

5. 10 a

MATERI


1. Bentuk sederhana dari 253 ):( qp adalah ....

a.6

10

p

q

b.10

6

p

q

c.6

10

q

p

d.10

6

q

p

e. 610 pqPenyelesaian :

2523253 )(:)():( qpqp106 : qp

106

1:

1

qp

1

1 10

6

q

p

6

10

p

q

Jawaban : a

2. Bentuk3

2

yx senilai dengan ....

a. 3)(2 yx

b. )(2 11 yx

c. )(2 3yx d. )(2 3 yx

e. 13 )(2 yxPenyelesaian :

3

2

yx =

3

1.2

yx

= 13 )(2 yxJawaban : e

3. Diketahui 5p , 27q dan 4r , maka nilai dari2

22 )1

()1

(23

p

rq

p

adalah ....

a.25

144



b. 5

c.5

12

d. 2

e.25

32

Penyelesaian :

2

23

22 )

1()

1(

p

rq

p

=2

23

22

)5(

)4

1()27()

5

1(

=2

213

2321

5

)4()3()5(

=2

222

5

435

=25

16925

=25

50

= 2Jawaban : d

4. Bentuk sederhana dari 6

518 )(

x adalah ....

a. 30xb. 3xc. 3xd. 15xe. 30xPenyelesaian :

6

518 )(

x = 53 )( x

= 15xJawaban : d

5. Bentuk24

343

4

)2(

yx

yx

dapat disederhanakan menjadi ....

a.52

2

x

y

b.522

x

y

c.52

2

1

x

y


d.5

10

2x

y

e.5

14

2x

y

Penyelesaian :

24

343

4

2

yx

yx

=

24

3433

4

2

yx

yx

=24

1293

4

2

yx

yx

=2

12

4

9

2

3

..2

2

y

y

x

x

= 212)4(923 ..2 yx

= 10552 yx

= 1052 yx

=

105

.2

1y

x

=5

10

)2( x

y

=52

2

x

y

Jawaban : a

6. Jika 216x dan 64y , maka nilai dari ....3

4

3

2

yx

a.3

121

b.9

17

c.9

7

d.9

17

e.9

121

Penyelesaian :

3

4

3

2

yx

= 34

3

2

64216

= 34

332

3 46

= 42 4.6

= 42

4.6

1


=2

4

6

4

=36

256

=36

47

=9

17

Jawaban : d

1. Bentuk sederhana dari6

57

3

12

y

yxadalah ....

a.y

x7

4

1

b. 7

4

1x

y

c.y

x74

d.y

x

4

7

e. yx74

2. Bentuk10

126

12

9

abc

cabdapat disederhanakan menjadi ....

a. 25

3

4cb

b. 52

3

4cb

c. 25

4

3cb

d. 52

4

3cb

e.254

3

cb

3. Jika 16p dan 27q maka nilai 3

1

2

1

43

qp adalah ....a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4

LATIHAN MANDIRI


4. Jika 27y maka nilai dari 3

2

2

y adalah ....

a.9

1

b.9

1

c.9

2

d.9

2

e.9

21

5. Pangkat positip dari1

32

11

qpqp2

adalah ....

a. 2pq4

b.qp2

c.p2q4

d. 4qp2

e. 2q4


2

4

q4p

adalah ....

a.qp2 2

b.qp22

c.q2p2

d. 2q2p

e.qp412

7. Bentuk sederhana dari (5a4b-5)(2a-3b7) adalah ....a. 10ab2

b. 10a7b2

c. 10ab12

d. 10a7b12

e. 10ab


B. Akar1. Hubungan akar dan pangkat

aan

n

nn aa1

n

mn m aa

2. Penyederhanaan akar

nnn baab Dengan catatan n a atau n b salah satu berasal dari kuadrat seempurnah(berpangkat n). Misalnya pangkat 2 maka kuadrat sempurnah dari 2n adalah :

222222 6543211 4 9 16 25 36 .... dst

n

n

n

b

a

b

a

mn

n m aa

mnn m aa 3. Merasionalkan penyebut

Penyebut berbentuk akar dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan faktorlawan dari penyebut.

Bentukb

afaktor lawannya adalah b

Menjadib

b

b

a

Bentukba

c

faktor lawannya adalah ba

Menjadiba

ba

ba

c

Bentukba

c


Menjadiba

ba

ba

c

Bentukba

dc


Menjadiba

ba

ba

dc

MATERI


4. Operasi aljabar berbentuk akar Penjumlahan

ayxayax )( Pengurangan

ayxayax )( Perkalian

)(axy

aaxyayax

Pembagian

ay

x

ay

ax

1. Bentuk sederhana dari 1127252 adalah ....

a. 72

b. 73

c. 77

d. 79

e. 711Penyelesaian :

1127252 = 7.1677.36 = 7.1677.36 = 74776 = 7)416(

= 79Jawaban : d

2. Hasil dari ....75502782 a. 33

b. 233 c. 32

d. 63 e. 3224 Penyelesaian :

75502782 = 3.252.253.92.42 = 3.252.253.92.42 = 352533222



= 353325222 = 3)53(2)521(

= 3224 Jawaban : e

3. Bentuk sederhana dari 123232822 adalah .... UAN 2007.B

a. 3628 b. 3824 c. 3428 d. 3624 e. 32 Penyelesaian :

123232822 = 3.4322.162.422 = 3.4322.162.422 = 3232242222 = 3)22(2)422(

= 3428 Jawaban : c

4. Bentuk sederhana dari )504()231( adalah .... UAN 2007.A

a. 322 b. 522 c. 328 d. 328 e. 528 Penyelesaian :

)504()231( = 504231

= 2.254231 = 25233 = 2)53(3

= 283= 328

Jawaban : c

5. Bentuk )18232(32243 dapat disederhanakan menjadi .... UAN 2008

a. 6

b. 62

c. 64

d. 66

e. 69


Penyelesaian :

)18232(32243 = )2.922.16(326.43

= )292216(32643

= )23.224(3262.3

= )2624(3266

= 6126866 = 6)1286(

= 62Jawaban : b

6. Hasil dari 32712 adalah .... UAN 2008. Ba. 6

b. 34

c. 35

d. 36


32712 = 33.93.4 = 33.93.4 = 33332 = 3)132(

= 34Jawaban : b


4adalah ....

a. 55

1

b. 515

1

c. 515

2

d. 515

4

e. 1515

5

Penyelesaian :

53

4=

5

5

53

4

=5.3

54


=15

54

= 515

4

Jawaban : d


4

adalah ....

a. 53b. 53c. 53d. 526 e. 526 Penyelesaian :

53

4

=

53

53

53

4

=59

)53(4

=4

5412

= 53Jawaban : a


3553

adalah ....

a. 415 b. 415 c. 15

d. 215 e. 215 Penyelesaian :

3553

3553

=3553

3553

3553

3553

=)3553)(3553(

)3553)(3553(

=3.255.9

3.25151515155.9

=7545

75153045


=30

1530120

= 154 = 415

1. Diketahui 25 p dan 25 q . Nilai pq adalah ....a. 3b. 7c. 10d. 21e. 29

2. Bentuk sederhana dari )8108()3275( adalah ....

a. 328 b. 326 c. 324 d. 324 e. 326

3. Hasil dari 32712 adalah ....a. 6

b. 34

c. 35

d. 36

e. 312


6

adalah ....

a. )63(2

b. )63(2

c. )63(2

d. )63(2

e. )63(6


53

adalah ....

a. 415 b. 415 c. 215 d. 215 e. 15

LATIHAN MANDIRI


6. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari25

6

adalah ....

a. )25(6

b. )25(3

c. )25(2

d. )25(2

e. )25(3

7. Dengan merasionalkan penyebut dari52

52

, maka bentuk sederhananya adalah ....

a. 59

41

b. 549 c. 549 d. 549

e. 59

41


4

adalah ....

a. 53

b. 54

c. 53

d. 54

e. 53

9. Dengan merasionalkan penyebut pecahan25

25

bentuk sederhananya adalah ....

a.23

21023

b.23

21027

c.23

21027

d.27

21027


e.27

21027


a. 68

b. 69

c. 610

d. 611

e. 612


3

adalah ....

a. 538

b. 536

c. 52

d. 556

e. 536


a. 213

b. 218

c. 219

d. 243

e. 286


4

adalah ....

a. )62(2

b. )62(2

c. 64

d. )62(2

e. )62(2



6

adalah ....

a. 55

35

3

2

b. 105

35

3

2

c. 155

210

5

3

d. 155

210

5

3

e. 155

210

5

3


7

adalah .....

a. 23

b. 23

c. 2721

d. 221

e. 2721

16. Bentuk sederhana dari 33836332432

1 adalah ....

a. 32

57213

b. 32

57213

c. 32

57213

d. 32

312

e. 32

312

17. Hasil dari 3232 adalah ....a. – 1b. 0c. 1

d. 3


e. 32

18. Bentuk sederhana dari ....32125075

a. 2937 b. 237 c. 2933 d. 2933 e. 233

19. Bentuk sederhana dari ....23

7

a. 23

7

b. 25

7

c. 26

7

d. 29

7

e. 212

7


3

adalah ....

a. 363 b. 6263 c. 3236 d. 36 e. 3362

C. Logaritma1. Definisi

Untuk 0a dan 1a , maka :baxb xa log

Dimana 1log aa dan

01log a

2. Sifat – sifat logaritma cbcb aaa loglog).(log

cbc

b aaa loglog)(log

bnb ana loglog

MATERI


bn

mbnam

loglog

ccb aba loglog.log

a

bb

c

ca

log

loglog atau

ab log

1

1. Nilai dari ....04,0log5 a. -2b. -1c. 0d. 1e. 2Penyelesaian :Mis : x04,0log5 → 04,05 x

100

45 x

25

15 x

25

15 x

255 x

2x

204,0log5 Jawaban : a

2. Nilai dari ....27log3 a. -6b. -5c. 6d. 5e. 2Penyelesaian :

Mis : x27log3 → 27)3( x

32

1

3)3( x

32 33 x

32

x

6x



Jadi 627log3 Jawaban : c

3. Nilai dari ....3log.4log.5log 523 a. 1

b.2

3

c. 2d. 3e. 4Penyelesaian :

3log.4log.5log 523 = 4log.3log.5log 253

4log.3log 234log.1 2

Mis x4log2 → 42 x

222 x

2x

Jadi 3log.4log.5log 523 = 2Jawaban : c

4. Hasil dari ....48log3log.381log.2

1 222

a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4Penyelesaian :

48log3log.381log.2

1 222 = x

48log3log81log 2322

12 = x

48log27log81log 222 = x

48log27log9log 222 = x

48

27

9log2 = x

16log2 = x → 162 x

422 x

4x

Jadi 448log3log.381log.2

1 222

Jawaban : e5. Diketahui m2log3 dan n5log2 . Nilai dari 5log3 = ....

a. nm b. mn


c. nm

d.n

m

e.m

n

Penyelesaian :

5log3 =3log

5log2

2

=

2log

13

n

=

m

n1

= nmJawaban : b

6. Nilai a3log2 dan b5log3 , maka 15log6 = .... UAN 2007.Ba. ba b. ab

c.a

ba

1

)1(

d.b

ab

1

)1(

e.b

ba

1Penyelesaian :

15log6 =6log

15log3

3

=)32(log

)35(log3

3

=3log2log

3log5log33

33

=1

3log

11

2

b

=1

11

a

b

=

a

ab

11


=a

ba

1

)1(

Jawaban : c7. Diketahui a7log2 dan b3log2 , maka nilai dari 14log6 = .... UAN 2008.B

a.ba

a

b.ba

a

1

c.1

1

b

a

d.)1( ba

a

e.)1(

1

ba

a

Penyelesaian :

14log6 =6log

14log2

2

=)23(log

)27(log2

2

=2log3log

2log7log22

22

=1

1

b

a

Jawaban : c


1. Nilai x yang memenuhi persamaan xlog 4 =2

1 adalah ....

a.16

1

b.4

1

c.2

1

d. 2e. 4

2. Hasil dari 6log.22log.29log 666 = ....a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4

3. Hasil dari 6log 42 – 6log54

1- 6log 63 adalah ....

a. – 6b. – 2

c.2

1

d. 2e. 6

4. Apabila a3log2 dan b5log3 , maka nilai 75log6 adalah ....

a.1

)12(

a

ba

b.1

2

a

ba

c.1

12

a

b

d.1

a

ba

e.1

)(2

a

ba

5. Diketahui p4log5 dan q5log3 , maka 80log3 = ....

a. qp 2

b. qp 2

c.pq

p2

d. )12( pq

LATIHAN MANDIRI


e.p

pq

2

6. Jika p3log5 , maka 75log5 = ....a. 2pb. 2p

c.2

1

p

d.2

1

p

e.2p

p

7. Jika p2log3 dan q7log2 , maka 54log14 = ....

a.1

)3(

q

qp

b.1

)3(

q

qp

c.1

)3(

q

qp

d.)1(

3

qp

p

e.)1(

3

qp

p

8. Bentuk sederhana 24 - log 32 + 2 log91

+ 241

adalah ....

a. 34

1

b.2

1

c.4

3

d. 1

e.2

12

9. Diketahui log p = a dan log q = b. Nilai dari log(p3. q5) adalah ....a. 8abb. 15abc. 3abd. 3a + 5be. 5a + 3b

10. Jika 8log b = 2 dan 4log d = 1, hubungan antara nilai a dan b adalah ....

a. 3db


b. b = 3d

c. b =3

1d

d. b = 3

1

de. b = d3

11. Diketahui 2log 3 = x dan 2log 25 = y, maka 2log 345 = ....

a. )25(2

1yx

b. )5(2

1yx

c. 5x + 2yd. x2 + ye. x2 + 2y

12. Diketahui 2log 5 = p. Nilai 20log 125 = ....

a.P

p

2

3

b.p

p

3

3

c.p

p

1

3

d.p

p

1

e.p

p3

13. Nilai xlog 4 =2

1 adalah ....

a.16

1

b.4

1

c.2

1

d. 2e. 4

14. Nilai dari 2 . 3log 4 -2

1. 3log 25 + 3log 10 – 3log 32 adalah ....

a.3

1

b. 0c. 1d. 3e. 9


15. Diketahui 2log 2 = p. Nilai 2log 6 = ....

a.p

21

b.p

21

c.p

11

d.p

2

e.p

1

16. Diketahui 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka nilai dari 15log 6 adalah ....

a.ba

a

1

b.aba

a

1

c.bab

a

1

d.ab

a1

e.aba

1

17. Diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 7 = ....

a.ba

a

b.b

a

1

c.1

1

b

a

d.)1( ba

a

e.)1(

1

ba

a

18. Jika 5log 3 = p, maka 5log 75 = ....a. p + 2b. p – 2

c.2

1

p

d.2

1

p


e.2p

p

19. Diketahui 2log 3 = p dan 3log 5 = q, maka nilai dari 6log 45 adalah ....

a.1

)2(

p

qp

b.1

2

p

qp

c.1

2

p

q

d.1

2

p

qp

e.1

)2(

p

qp

20. Nilai dari 5log125

1+ 2log 16 - 3log 81 adalah ....

a. 10b. 11c. 12d. 13e. 14

21. Jika3

13log8 x , maka nilai x adalah ....

a. 30b. 31c. 32d. 34e. 35

D. Persamaan Eksponen1. Jika 0)(1)( xfa xf

2. Jika pxfaa pxf )()(

3. Jika )()()()( xgxfaa xgxf

1. Nilai x yang memenuhi persamaan xx 39 255 adalah ....a. -5

b.5

1

c.2

1

MATERI



d. 2e. 5Penyelesaian :

95 x = x32595 x = x32 )5(95 x = x265

9x = x26 x3 = 15

x = 5Jawaban : e

2. Nilai x yang memenuhi persamaan persamaan 123 42 xx adalah ....a. 1b. 2c. 3d. 4e. 5Penyelesaian :

x32 = 124 x

x32 = 122 )2( x

x32 = 242 x

x3 = 24 x2 = x

Jawaban : b

3. Nilai x yang memenuhi persamaan52

23

3

19

x

x adalah ....

a. 8

b.8

1

c.8

2

d.8

3

e.8

4

Penyelesaian :239 x =

523

1x

232 )3( x = 1523x

463 x = 523 x

46 x = 52 xx8 = 1

x =8

1

Jawaban : b


4. Nilai x yang memenuhi persamaan 3 523 84 xx adalah ....

a.4

9

b.2

5

c.4

11

d. 4

e.4

13

Penyelesaian :34 x = 3/1528 x

32 )2( x = 3

5232

x

622 x = 522 x

62 x = 52 x11 = x4

4

11= x

Jawaban : c

1. Nilai x yang memenuhi persamaan 315 273 xx adalah ....a. 2b. 3c. 4d. 5e. 6


1)32( x adalah ....

a.2

5

b.5

2

c.5

1

d.5

3

e.5

4

3. Nilai x yang memenuhi persamaan 17 246 x adalah ....a. -4

LATIHAN MANDIRI


b. -2c. 0d. 2e. 4


127 12 x merupakan anggota himpunan dari

....a. {x -1 < x < 0}b. {x 0 < x < 1}c. {x 1 < x < 2}d. {x 2 < x < 3}e. {x 3 < x < 4}

5. Nilai x yang memenuhi persamaan 2433 742

xx adalah ....a. – 6 dan 2b. – 4 dan 3c. – 3 dan 4d. – 2 dan 6e. 3 dan 4

6. Nilai x yang memenuhi persamaan 33

19 x adalah ....

a. – 4b. – 1

c.4

1

d.4

1

e. 4

7. Nilai x yang memenuhi persamaan 3813 2 x adalah ....

a.2

12

b.2

11

c.2

11

d.2

12

e.2

16

8. Nilai x yang memenuhi persamaan 212 93 xx adalah ....a. -1b. 0

c.2

1


d.2

9

e. 9


2

2

1 1412

xx

adalah ....

a.4

1

b.7

2

c.4

3

d.4

5

e.3

5

10. Penyelesaian persamaan 22 8132 xxx adalah dan , dengan > . Nilai -

= ....a. 0b. 3c. 4d. 5e. 7

11. Himpunan penyelesaian dari persamaan berikut)33(

42

3

19

xx adalah ....

a.

3

5

b. {-1}c. {0}d. {1}

e.

3

4


2

2

1 1412

xx

, x R adalah ....

a.4

1

b.7

2

c.4

3

d.4

5


e.3

5

13. Penyelesaian persamaan 32352 2732 xxx adalah dan . Nilai = ....

a. – 6b. – 3c. 1d. 3e. 6

E. Pertidaksamaan Eksponen1. 10 a Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf

2. 1a Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf

1. Himpunan penyelesaian4

42

2

27

19

xx adalah ....

a.

3

102 xx

b.

23

10xx

c.

2

3

10xatauxx

d.

3

102 xatauxx

e.

23

10xx

Penyelesaian :

429 x 42

27

1

x

422 )3( x 4

3

2

3

1

x

843 x 123 2

3 x

84 x 123 2 x

MATERI



2043 2 xx 0 ... x ... = -60206103 2 xxx 0 ... + ... = 4

206103 2 xxx 0

1032103 xxx 0

1032 xx 0

2x atau3

10x

Titik uji pada interval3

10x

4x → 020)4(4)4(3 2 02016)16(3

12 0 memenuhiTitik uji pada interval 23

10 x

0x → 020)0(4)0(3 2 02000

20 0 tidak memenuhiTitik uji pada interval 2

3x → 020)3(4)3(3 2 02012)9(3

19 0 memenuhiJadi interval yang memenuhi adalah 23

10 xataux

Sehingga himpunan penyelesannya adalah 2310 xatauxx

Jawaban : c

2. Himpunan penyelesaian dari253

5

1

5

12

xxx

adalah .... UAN 2008.B

a. 13 xatauxx

b. 31 xatauxx

c. 31 xatauxx

d. 31 xx

e. 13 xx

Penyelesaian :253

5

1

5

12

xxx

Karena a diantara 0 dan 1 maka )()( xgxf 532 xx 2 x

2532 xxx 0

• •3

10 2


322 xx 0 ... x ... = -3)2)(1( xx 0 ... + ... = -2

1x atau 2x

Titik uji pada interval 1x2x → 3)2(2)2( 2 > 0

344 > 05 > 0 memenuhi

Titik uji pada interval 31 x0x → 3)0(2)0( 2 > 0

300 > 03 > 0 tidak memenuhi

Titik uji pada interval 3x4x → 3)4(2)4( 2 > 0

3816 > 05 > 0 memenuhi

Jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah 1x atau 3xSehingga himpunan penyelesaiannya adalah 31 xatauxx

Jawaban : b

3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5423

2

2

273

1

xx

xx

adalah ....

a. 61 xatauxb. 16 xatauxc. 16 xd. 61 xe. 61 xPenyelesaian :

223

3

1xx

> 542

27 xx

2231)3( xx > 543 2

)3( xx

2233 xx > 15123 2

3 xx

223 xx > 15123 2 xx221012 xx > 0

652 xx > 0652 xx < 0 ... x ... = -6

)6)(1( xx < 0 ... + ... = -51x atau 6x

• •1 3

-1 6


Titik uji pada interval 1x2x → 6)2(5)2( 2 < 0

6104 < 08 < 0 tidak memenuhi

Titik uji pada interval 61 x0x → 6)0(5)0( 2 < 0

600 < 0-6 < 0 memenuhi

Titik uji pada interval 6x7x → 6)7(5)7( 2 < 0

63549 < 08 < 0 tidak memenuhi

Jadi nilai x yang memenuhi adalah 61 xJawaban : e

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 52 168 xx adalah ....a. 2xb. 5x

c.5

2x

d.5

2x

e.2

5x

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan3618

3

32 2

64

8

1

x

x

xadalah ....

a. x < - 14b. x < - 15c. x < - 16d. x < - 17e. x < - 18

3. penyelesaian pertidaksamaan32

141 x adalah ....

a. x <2

11

b. x <2

11

c. x >2

11

d. x >2

13

LATIHAN MANDIRI


e. x <2

13

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaanx

x

715

9

13 adalah ....

a. x > 5b. x > - 3

c. x >8

1

d. x > - 2

e. x >3

1

237 Notasi sigma, barisan & deret

11. Barisan dan Deret1. Notasi Sigma

n

mp

n

mi

pi

n

mi

n

mi

ikki , dengan k = konstanta

n

mi

n

ai

a

mi

iii1

n

mi

n

mi

n

mi

likiliki )(

2. Barisan dan Deret Aritmetikaa. Barisan aritmetika

nUUUU ,....,,, 321

bnabababaa )1(,....,3,2,, bnaUbaUbaUaU n )1(....,,2,, 321

Dengan : suku pertama = aBeda = bSuku ke n = nU

b. Deret aritmetika

nUUUU ....321

))1((....)2()( bnababaa

Dengan : Jumlah suku ke n adalah nn Uan

S 2

= bnan

)1(22

Suku ke n adalah 1 nnn SSU

MATERI


3. Barisan dan Deret Geometria. Barisan geometri

nUUUU ,....,,, 321

nararara ....,,,, 2

12321 ,,, n

n arUarUarUaU

Dengan : suku pertama : aU 1

Rasio :1

n

n

U

Ur

Suku ke n : 1 nn arU

b. Deret geometri

nUUUU ...321

12 ... nararara

Dengan: jumlah n suku pertama :1

)1(

r

raS

n

n , 1r

r

raS

n

n

1

)1(,

1rc. Deret tak hingga

Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika11 r , 0r

r

aS

1

Dengan : jumlah sampai tak hingga : SSuku pertama : aRasio : r

Jika jumlahnya tertentu misalkan sampai n maka rumusannyaadalah :

nn raS )1( dengan 11 r , 0r


1. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentukbarisan aritmetika. Jika usia anak ke tiga adalah 7 tahun dan usia anak kelima adalah 12 tahun, maka jumlah usia ke enam anak tersebut adalah ....UAN 2003a. 48,5 tahunb. 49 tahunc. 49,5 tahund. 50 tahune. 50,5 tahunPenyelesaian:

bnaU n )1( 73 U → ba 2 = 7

125 U → ba 4 = 12 --2b = -5

b = 5/2 72 ba

7)2/5(2 a75 a

2a

baS )16(22

66

nS = )]2/5(5)2(2[2

6

= ]2/254[3

= ]2

258[3

= )2/33(3= 99/2= 49,5

Jawaban: c



2. Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp.100.000,00 kepada 4 oranganaknya. Makin muda usia anak makin kecil uang yang diterima. Jikaselisih yang diterima oleh setiap 2 anak yang usianya berdekatan adalahRp.5.000,00 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka jumlahyang diterima oleh si bungsu adalah .... UAN 2003a. Rp.15.000,00b. Rp.17.500,00c. Rp.20.000,00d. Rp.22.500,00e. Rp.25.000,00Penyelesaian:

4n000.51 nn UUb

000.100000.5)14(22

44 aS

))5000(32(2 a = 100.000000.152 a = 50.000

a2 = 65.000a = 32.500baU )14(4

)5000(3500.324 U

000.15500.324 U

500.174 UJawaban: b

3. Nilai

21

2

....)65(n

n UAN 2004

a. 882b. 1030c. 1040d. 1957e. 2060Penyelesaian:


21

2

)65(n

nSn

4 + 9 + 14 + ... + 9946)2(52 aU

996)21(521 U

)994(2

2020 S

)103(1020 S= 1030

Jawaban: b4. Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi

sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan

hari ke dua adalah 2 cm dan pada hari ke empat adalah9

53 cm, maka

tinggi tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah .... UAN2004a. 1 cm

b.3

11 cm

c.2

11 cm

d.9

71 cm

e.4

12 cm

Penyelesaian:22 U 2ar

34 U 9

533 ar

9

32. 2 rar

9

322 2 r


9

162 r

3

4r

aU 1 2ar

23

4

a

2

3a

2

11a

Jawaban: c5. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing

potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan taliterpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang samadengan 384 cm, maka panjang keseluruhan tali tersebut adalah .... UAN2005a. 378 cmb. 390 cmc. 570 cmd. 762 cme. 1530 cmPenyelesaian :

61 aU

3847 U 3846 ar

3846 6 r646 r66 2r

2r 1r

12

)12(6 6

7

S


=1

)164(6

= 6(63)= 378

Jawaban: a6. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan

antar bulan, tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp.50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ke tiga Rp.60.000,00 dan seterusnya. Besartabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah .... UAN 2005a. Rp.1.315.000,00b. Rp.1.320.000,00c. Rp.2.040.000,00d. Rp.2.580.000,00e. Rp.2.640.000,00Penyelesaian:50.000, 55.000, 60.000, ... , 24U

500012 UUb

bnaU n )1( )5000(23000.5024 U

= 50.000 + 115.000= 165.000

nn Uan

S 2

24S = 000.165000.502

24

= 12 (215.000)= 2.580.000

Jawaban: d7. Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar Rp.1.000.000,00 pada

suatu bank dengan bunga majemuk 15% per tahun. Jumlah modaltersebut setelah akhir tahun ke lima adalah .... UAN 2005a. Rp.1.000.000(1,15)5


b. Rp.1.000.00015,0

)115,1( 4

c. Rp.1.000.00015,0

)115,1( 5

d. Rp.1.150.00015,0

)115,1( 5

e. Rp.1.150.00015,0

)115,1( 4

Penyelesaian:n = 5r = 15% = 0,15a = 1.000.000modal pada akhir tahun ke lima adalah 5

5 )1( raS 5

5 )15,01(000.000.1 S

= 5)15,1(000.000.1Jawaban: a

8. Seorang ibu mempunyai lima orang anak yang usianya membentukbarisan aritmetika. jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan usia sisulung 23 tahun maka jumlah usia ke lima orang anak tersebut adalah ....UAN 2006a. 95 tahunb. 105 tahunc. 110 tahund. 140 tahune. 145 tahunPenyelesaian:

231 aU

155 U

nn Uan

S 2


15232

55 S

= 382

5

= 95Jawaban: a

9. Pak Hasan menabung uang di bank sebesar Rp.10.000.000,00 denganbunga majemuk 10% per tahun. Besar uang pak Hasan pada akhir tahunke lima adalah .... UAN 2006a. Rp.10.310.000,00b. Rp.14.641.000,00c. Rp.15.000.000,00d. Rp.16.000.000,00e. Rp.16.105.100,00Penyelesaian:

000.000.10a1,0%10 r

55 )1,01(000.000.10 S

= 5)1,1(000.000.10= 10.000.000 (1,61051)= 16.105.100

Jawaban: e10. Suku ke tiga suatu barisan aritmetika adalah 154. jumlah suku ke lima dan

ke tujuh adalah 290. jumlah sepuluh suku pertama sama dengan .... UAN2007. Ba. 3.470b. 1.735c. 1.465d. 1.425e. 1.375

n (1,1)n

12345

1,11,211,3311,46411,61051


Penyelesaian:1543 U 1542 ba ................... 1)

29075 UU 290)6()4( baba

ba 102 = 290ba 5 = 145 .................... 2)

1542 ba1455 ba -

b3 = 9b = 3

154)3(2 a1546 a

160a

bnan

Sn )1(22

)3(9)160(22

1010 S

= )27320(5 = 5 (293)= 1.465

Jawaban: c11. Seutas tali di potong menjadi 8 bagian yang panjangnya masing-masing

membentuk deret geometri. Apabila tali terpendek adalah 3 cm dan yangterpanjang adalah 384 cm, maka panjang tali semula adalah .... UAN2007. Ba. 387 cmb. 465 cmc. 486 cmd. 765 cme. 768 cmPenyelesaian:

8n31 aU

38478 arU 3843 7 r


1287 r77 2r

2r ; 1r

1

)1(

r

raS

n

n

8S =12

)12(3 8

=1

)1256(3

= 3 (255)= 765

Jawaban: d12. Dari suatu barisan aritmetika, suku ke-3 adalah 36, jumlah suku ke-5 dan

ke-7 adalah 144. jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ....UAN 2007. Aa. 840b. 660c. 640d. 630e. 315Penyelesaian:

363 U 362 ba ................... 1)

14475 UU 144)6()4( baba

ba 102 = 144ba 5 = 72 .................... 2)

362 ba725 ba -

b3 = 36b = 12

36)12(2 a3624 a

12a


bnan

Sn )1(22

)12(9)12(22

1010 S

= )10824(5 = 5 (132)= 660

Jawaban: b13. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,00. Setiap tahun nilai

jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah 3tahun? UAN 2007.Aa. Rp.20.000.000,00b. Rp.25.312.500,00c. Rp.33.750.000,00d. Rp.35.000.000,00e. Rp.45.000.000,00Penyelesaian:

000.000.801 aU4/3r

23 arU

= 2)4/3(000.000.80= 80.000.000 (0,75)2

= 80.000.000 (0,5625)= 45.000.000

Jawaban: e14. Diketahui suku ke-6 dan suku ke-15 suatu deret aritmetika berturut-turut

adalah 4 dan 40. jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah .... UAN2008. Aa. 60b. 120c. 180d. 240e. 360


Penyelesaian:46 U 45 ba

4015 U 4014 ba -b9 = 36b = 4

4)4(5 a420 a

16a

bnan

Sn )1(22

)4(14)16(22

1515 S

= )5632(2

15

= )24(2

15

= 180Jawaban: c

15. Diketahui lima orang bersaudara dengan selisih umur yang sama. Anakyang termuda berusia 13 tahun dan yang tertua 33 tahun. Jumlah usiamereka seluruhnya adalah .... UAN 2008. Aa. 112 tahunb. 115 tahunc. 125 tahund. 130 tahune. 160 tahunPenyelesaian:

331 aU

135 U

nn Uan

S 2


13332

55 S

= 462

5

= 115Jawaban: b

16. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku ke empat 48.Jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah .... UAN 2008.Aa. 368b. 369c. 378d. 379e. 384Penyelesaian:

61 aU

4834 arU 486 3 r

3r = 83r = 32

r = 2; 1r

1

)1(

r

raS

n

n

12

)12(6 6

6

S

=12

)164(6

=1

)63(6

= 378Jawaban: c


1. Suku pertama dan rasio dari suatu barisan geomtri berturut – turutadalah 2 dan 3. Jika jumlah n suku pertama deret tersebut = 80 maka,banyaknya suku dari barisan tersebut adalah ....a. 2b. – 2c. 3d. – 3e. 4 jawaban : b

2. Suku pertama dari barisan geometri adalah 25 dan suku kesembilanadalah 6400. Suku kelima deret tersebut adalah ....a. 100b. 200c. 400d. 1600e. 2500 jawaban : c

3. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah deret suku pertama = 35 danjumlah 4 suku yang pertama = 24. Suku yang ke 15 sama dengan ....a. 11b. 25c. 31d. 33e. 59 jawaban : c

4. Dalam deret geometri diketahui suku ke-2 = 10 dan suku ke-5 = 1250.Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ....a. 2(5n – 1)b. 2(4n)

c.21

(5n – 1)

d.21

(4n)

e.41

(5n – 1) jawaban : c

LATIHAN MANDIRI


5. Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan rumus Un = 5n – 3.Jumlah 12 suku pertama barisan tersebut adalah ....a. 27b. 57c. 342d. 354e. 708 jawaban : d

6. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = n2 – n. Suku ke-10 deret tersebut adalah ....a. 8b. 11c. 18d. 72e. 90 jawaban : 8

7. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah

Sn =21

n(3n – 1 ). Beda deret aritmetika tersebut adalah ....

a. – 3b. – 2c. 2d. 3e. 4 jawaban : d

8. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + ... + 99. Dari deret bilanganitu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah....a. 950b. 1480c. 1930d. 1980e. 2430 jawaban : d

9. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn =61

n(n + 2).

Beda deret itu adalah ....a. 5/6b. 1/2


c. 1/3d. 1/4e. 1/6 jawaban : c

10. Diketahui suku pertama dan suku kedelapan deret aritmetika masing –masing 3 dan 24. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ....a. 460b. 510c. 570d. 600e. 630 jawaban : e

11. Jumlah deret geometri tak terhingga : 1 +31

+91

+271

+811

+ ... adalah

....a. 3/2b. 4/3c. 3/4d. – 2/3e. – 3/4 jawaban : a

12. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = 3n2 – 4n,suku ke-11 deret tersebut adalah ....a. 19b. 59c. 99d. 219e. 319 jawaban : b

13. Jumlah tak hingga deret geometri 8 + 4 + 2 + 1 + ... adalah ....a. 15b. 16c. 18d. 24e. 32 jawaban : b

14. Suku ke-3 suatu deret geometri mempunyai nilai 20. Jumlah nilai suku ke-5 dan ke-6 adalah -80. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah ....a. 45b. 50c. 55


d. 60e. 65 jawaban : c

15. Suatu deret aritmetika dengan jumlah 7 suku pertama adalah 133 danjumlah 6 suku yang pertama adalah 120. Suku ke-12 adalah ....a. 1b. 3c. 22d. 25e. 47 jawaban : b

16. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = 5n2 – 4n. Sukuke-2n deret tersebut sama dengan ....a. 10n – 9b. 20n – 18c. 20n – 9d. 10n + 9e. 20n + 18 jawaban : c

17. Jumlah tak hingga deret geometri 2log x + 4log x + 16log x + ... adalah ....

a.21

log x

b. 2.Log x

c.21 2log x

d. 2log xe. 2.2log x jawaban : e

18. Suku ke-10 dari barisan 3, 5, 7, 9, ... adalah ....a. 11b. 15c. 19d. 21e. 27 jawaban : d

19. Suku ke-n barisan aritmetika yang dinyatakan dengan rumus Un = 5n – 3.Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah ....a. 27b. 57c. 342


d. 354e. 708 jawaban : d

20. Suku ke-3 dari suatu barisan geometri adalah 18 dan suku ke-6 adalah488. Suku ke-5 dari barisan tersebut adalah ....a. 27b. 54c. 81d. 162e. 243 jawaban : d

21. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentukbarisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5adalah 12 tahun maka, jumlah usia 6 anak tersebut adalah ....a. 48,5 tahunb. 49,0 tahunc. 49,5 tahund. 50,0 tahune. 50,5 tahun jawaban : c

22.


75 fungsi

2. FungsiA. Grafik Fungsi kuadrat1. Bentuk umum : cbxaxyxf 2)( ; Rcba ,, dan 0a2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabol3. Menggambar grafik fungsi kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat : Menentukan nilai diskriminan Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

Menentukan sumbu simetria

bx

2

Menentukan titik puncak

a

D

a

b

4,

24. Tanda-tanda grafik fungsi kuadrat :

Tanda diskriminanD > 0 D = 0 D < 0

Tand

aa

a > 0

a < 0

Contoh melukis grafik fungsi kuadrat :

0x

y

0x

y

0x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

MATERI

76 fungsi

1. Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat 23)( 2 xxxfPenyelesaian :

2

3

1

)(

23)(2

2

c

b

a

cbxaxxf

xxxf

acbD 42 )2)(1(4)3( 2 D

89 1

Titik potong sumbu x, y = 0230 2 xx … x … = 2

)2)(1(0 xx … + … = - 310 x atau 20 x

x1 x2untuk 1x maka koordinat titiknya adalah (1, 0)untuk 2x maka koordinat titiknya adalah (2, 0) Titik potong sumbu y, x = 0

2)0(3)0( 2 y2y maka koordinat titiknya adalah (0, 2)

Sumbu simetri

a

bx

2

)1(2

)3(x

2

3x

Titik puncak

a

D

a

bp

4

_,

2

)1(4

1,

)1(2

)3(

77 fungsi

4

1,

2

3

grafiknya adalah :

2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat 742)( 2 xxxfPenyelesaian :

7

4

2

)(

742)(2

c

b

a

cbxaxxf

xxxf

acbD 42 )7)(2(4)4( 2 D

5616 40

karena D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu x Titik potong sumbu y, x = 0

7)0(4)0(2 2 y7y maka koordinat titiknya adalah (0, 7)

0

x

y

(2, 0)(1, 0)

(0, 2)

1 2

2

(3/2, -1/4)

x =3/2

78 fungsi

Sumbu simetri

a

bx

2

)2(2

4x

4

4x

1x Titik puncak

a

D

a

bp

4

_,

2

)2(4

)40(,

)2(2

4

8

40,

4

4

)5,1(grafiknya adalah :

5

x

- 1

7

79 fungsi

5. Nilai maksimum atau minimum adalaha

D

4

untuk

a

bx

2

, sehingga

puncaknya atau titik balik maksimum dan minimum berada pada

koordinat

a

D

a

bP

4,

26. Fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik balik maksimum dan

minimum atau puncaknya di titik ),( qp adalah qpxay 2)(7. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x didua titik yang

berbeda misalnya titik )0,( 1x dan )0,( 2x adalah ))(( 21 xxxxay 8. Nilai definitif positif atau negatif apabila

negatifdefinitifa

positifdefinitifadanD

0

00

80 fungsi

1. Agar 65)32(2)2()( 2 pxpxpxf bernilai positif untuksemua x . Maka batas-batas nilai p adalah .... UAN 2003a. 1pb. 32 pc. 3pd. 21 pe. 21 pataupPenyelesaian :

65

)32(2

)2(

)(

65)32(2)2()(2

2

pc

pb

pa

cbxaxxf

pxpxpxf

Syarat definitif positif adalah :i). 0a

02 p2p

ii). 0D042 acb

)65)(2(4)32(2 2 ppp < 0

)121065(4)32()2( 222 pppp < 0

)12165(4)9124(4 22 pppp < 0

486420364816 22 pppp < 0

12164 2 pp < 0

12164 2 pp > 0

342 pp > 0 ... x ... = 3)3)(1( pp > 0 ... + ... = - 4

1p atau 3p


81 fungsi

Titik uji pada interval 1p

0p → 3)1(4)1( 2 > 0341 > 0

3 > 0 memenuhiTitik uji pada interval 31 p

2p → 3)2(4)2( 2 > 0384 > 0

-1 > 0 tidak memenuhiTitik uji pada interval 3p

4p → 3)4(4)4( 2 > 031616 > 0

3 > 0 memenuhiJadi nilai p yang memenuhi adalah 31 pataupDari syarat i) dan ii) diperoleh :

Sehingga nilai p yang memenuhi hanya 3pJawaban : c

2. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum 3 untuk 1x dangrafiknya melalui titik (3, 1) memotong sumbu y di titik .... UAN 2003

a.

2

7,0

b. (0, 3)

c.

2

5,0

d. (0, 2)

1 3

21 3

82 fungsi

e.

2

3,0

Penyelesaian :)(xf mempunyai nilai maksimum 3 untuk 1x artinya puncaknya di

titik (1, 3) dan melalui titik (3, 1).3)1( 2 xay melalui (3, 1)

3)13(1 2 a

3)2(1 2 a341 a

a42

a2

1

Jadi persamaan grafiknya adalah :

312

1 2 xy

3122

1 2 xxy

32

1

2

1 2 xxy

2

5

2

1 2 xxy

Tititk potong sumbu y artinya 0x , maka diperoleh :

2

50)0(

2

1 2 y

2

500 y

2

5y

Jadi koordinat titik potongnya adalah

2

5,0

Jawaban : c

83 fungsi

3. Perhatikan gambar !

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah .... UAN 2007. B

a. 432

1 2 xxy

b. 462

1 2 xxy

c. 432 xxy

d. 462 xxy

e. 862 xxyPenyelesaian :Grafik memotong sumbu x dititik (2, 0) dan (4, 0) dan memotong sumbuy di titik (0, 4) jadi persamaannya adalah :

)4)(2( xxay melalui (0, 4))40)(20(4 a

)4)(2(4 aa84

a2

1

Karena2

1a maka persamaan grafiknya menjadi

422

1 xxy

20

4

4

84 fungsi

8242

1 2 xxxy

)86(2

1 2 xxy

432

1 2 xxy

Jawaban : a4. Perhatikan gambar !

Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat .... UAN 2007. Aa. 322 xxy

b. 322 xxy

c. 322 xxy

d. 322 xxy

e. 322 xxyPenyelesaian :Grafik mempunyai titik puncak di (1, 4) dan melalui (3, 0). Persamaannyaadalah

4)1( 2 xay melalui (3, 0)

4)13(0 2 a

4)2(0 2 aa44

a1

10

4

3

85 fungsi

Karena a1 maka persamaan grafiknya menjadi4)1(1 2 xy

4)12( 2 xxy

4122 xxy

322 xxyJawaban : e

5. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1, 0), B(3, 0) dan C(0,-6) adalah .... UAN 2008a. 682 2 xxy

b. 682 2 xxy

c. 682 2 xxy

d. 682 2 xxy

e. 642 xxyPenyelesaian :Ilustrasi :

Memotong sumbu x di titik (1, 0) dan (3, 0) maka persamaan grafiknyaadalah

)3)(1( xxay melalui titik (0, - 6))30)(10(6 a

)3)(1(6 aa36

a 2

10

-6

3

86 fungsi

Karena a 2 maka persamaan grafiknya menjadi)3)(1(2 xxy

)33(2 2 xxxy

)34(2 2 xxy

682 2 xxyJawaban : b


a.

3,

2

11

b.

2

14,

2

11

c.

2

13,

2

12

d. (2, 2)e. (2, 4)Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah qp, dan panjang persegi panjang yang sejajar sumbu y adalah y,sedangkan lebar yang sejajar dengan sumbu x adalah x, maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan

6

30

y

x

A(x,y)

87 fungsi

pqpyqx dan luas persegi panjang adalah xy seperti terlihat padagambar di bawah ini :

Sesuai dengan rumusan di atas maka persamaan grafiknya adalah1836 yx 62 yx atau xy 26 dan misalkan luas persegi

panjang xyxL )( . Jika xy 26 disubstitusi ke dalam persamaanxyxL )( akan diperoleh :

)(xL = )26( xx = 226 xx 2a , 6b , 0c

Luas suatu daerah maksimum jikaa

D

4

untuk

a

bx

2

=)2(2

6

=4

6

=2

3

substitutsi2

3x ke dalam persamaan y = x26 diperoleh :

=

2

326

= 6 – 3

6

30

y

x

A(x,y)

q

p

x

yy

x

88 fungsi

= 3

Jadi koordinat titik A adalah

3,

2

3atau

3,

2

11

Jawaban : a7. Suatu peluru ditembakan ke atas. Tinggi peluru pada t detik dirumuskan

oleh 2540)( ttth (dalam meter). Tinggi maksimum yang dapatditempuh oleh peluru tersebut adalah .... UAN 2004a. 75 meterb. 80 meterc. 85 meterd. 90 metere. 95 meter

Penyelesaian :2540)( ttth ; 5a , 40b , 0c

Maksimum jika :a

D

4

=

a

acb

4

)4( 2

=)5(4

))0)(5(4)40(( 2

=20

)1600(

= 80Jawaban : b

8. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar dibawah ini.

Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah .... UAN2005

p

l

l

89 fungsi

a. 16 mb. 18 mc. 20 md. 22 me. 24 mPenyelesaian :Panjang kawat sama dengan keliling persegi panjangKeliling persegi panjang = 120 m

lp 43 = 120l4 = p3120

l =4

3120 p

Mis, luas persegi panjang adalah L(p)lppL 2)(

)4

3120(2

pp

)3120(2

1pp

)( pL 2

2

360 pp ;

2

3a , ,60b 0c

Luas maksimum jikaa

D

4

untuk

a

bp

2

)2

3(2

60

p

3

60

p

20pJawaban : c

9. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam

x jam, dengan biaya perjam )120

8004(x

x ratusan ribu rupiah. Agar

90 fungsi

biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu .... UAN2005a. 40 jamb. 60 jamc. 100 jamd. 120 jame. 150 jamPenyelesaian :Biaya total = biaya perjam dikalikan dengan waktuMis : biaya total = B(x)

)(xB = xx

x )120

8004(

= 1208004 2 xx ; 120,800,4 cba

Biaya minimum untuk maksimumkan waktu jikaa

D

4

untuk

a

bx

2

)4(2

)800(x

8

800x

100xJawaban : c

91 fungsi

1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dengan puncak

8

110,

4

31 dan

melalui titik (1, - 9) adalah ....a. 422 xxy

b. 472 2 xxy

c. 742 2 xxy

d. 472 xxy

e. 1124 2 xxy

2. Nilai maksimum dari fungsi kxkxxf 21)5(2)( 2 adalah 5.Nilai k yang memenuhi adalah ....a. -1 atau 7b. 1 atau 7c. -7 atau 1d. -7 atau -1e. -1 atau 1

3. Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jikakoordinat titik M adalah ....a. (2, 5)

b.

2

5,2

c.

5

2,2

d.

2,

2

5

e.

2,

5

2 4

5

M(x,y)

LATIHAN MANDIRI

92 fungsi


Grafik fungsi di atas mempunyai persamaan ....a. 422 2 xxy

b. 422 2 xxy

c. 222 xxy

d. 222 xxy

e. 422 xxy

5. Sebuah peluru ditembakan vertikal ke atas dengan kecepatan 0vmeter/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi

2

4

5205)( ttth . Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru

tersebut adalah ....a. 75 meterb. 85 meterc. 145 meterd. 160 metere. 185 meter

20-1

-4

93 fungsi

B. Fungsi komposisi1. Fungsi komposisi atau komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi atau

lebih secara berurutan.

Komposisi fungsi f dilanjutkan g ditulis gfh Untuk CzByAx ,,

zxhzyfyxg )(,)(,)())(())(()( xgfxgfxh

2. Sifat-sifat komposisi fungsi ))(())(( xfgxgf ffIIf , I fungsi identitas )()( hgfhgf

3. Operasi komposisi fungsi )()())(( xgxfxgf )().())(.( xgxfxgf

)(

)()(

xg

xfx

g

f

x y z

A B C

f g

h

MATERI

94 fungsi

4. Menentukan komposisi fungsiDiketahui Ditanya

)(xf dan )(xg ))(( xgf

)(xf dan )(xg ))(( xfg )(xf dan ))(( xgf )(xg

)(xg dan ))(( xgf )(xf)(xf dan ))(( xfg )(xg

)(xg dan ))(( xfg )(xf

95 fungsi

1. Diketahui fungsi RRf : dengan 14)( xxf dan fungsi

RRg : dengan 2)( 2 xxg . Nilai dari )2)(( fg adalah ....a. – 51b. 51c. – 50d. 50e. 49Penyelesaian :

))(( xfg = ))(( xfg= )14( xg

= 2)14( 2 x

= 21816 2 xx= 3816 2 xx

)2)(( fg = 3)2(8)2(16 2 = 3)2(8)4(16 = 31664 = 51

Jawaban : b2. Diketahui 43)( xxf dan 6)( 2 xxg . Nilai yang memenuhi agar

49))(( xgf adalah .... UAN 2007. Ba. – 6 atau 6b. – 5 atau 5c. – 4 atau 4d. – 3 atau 3e. – 2 atau 2Penyelesaian :

43)( xxf dan 6)( 2 xxg49))(( xgf

))(( xgf = 49


96 fungsi

4)6(3 2 x = 49

4183 2 x = 49223 2 x = 49

23x = 272x = 9

x = 9x = 3

Jawaban : d3. Diketahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh 643)( 2 xxxf

dan 12)( xxg . Jika nilai 101))(( xgf , maka nilai x yangmemenuhi adalah .... UAN 2007. A

a. 23

23 dan

b. 23

23 dan

c. 211

3dan

d. 23

23 dan

e. 211

3 dan

Penyelesaian :643)( 2 xxxf

12)( xxg101))(( xgf

))(( xgf = 101

6)12(4)12(3 2 xx = 101

6)12(4)144(3 2 xxx = 101

64831212 2 xxx = 101132012 2 xx = 101

97 fungsi

882012 2 xx = 02253 2 xx = 0 ... + ... = - 66

221163 2 xxx = 0 ... + ... = - 5)2211()63( 2 xxx = 0

)2(11)2(3 xxx = 0)2)(113( xx = 0

3

11x atau 2x

Jawaban : a

4. Diketahui fungsix

xxf

1)(

dan 1)( 2 xxg maka nilai

....))(( xgf

a. 32

1

b.2

13

c.2

13

3

1

d.2

13

e.2

13

Penyelesaian : )(xgf = )()( xgxf

= 11 2

xx

x

=x

xxx 11 2

)2)(( gf =2

12212 2

98 fungsi

=2

1421

=2

321

= 32

1

Jawaban : b5. Jika 32)( xxf dan 18164))(( 2 xxxfg , maka ....)( xg

a. 652 xxb. 1582 xxc. 3342 xxd. 24112 xxe. 322 xxPenyelesaian :

32)( xxf

18164))(( 2 xxxfg ....................................... 1)

Mis cbxaxxg 2)(

cxbxaxfg )32()32())(( 2

= cxbxxa )32()9124( 2

= cbbxaaxax 329124 2

= )39()212(4 2 cbaxbaax ........ 2)Dari 1) dan 2) diperoleh

)39(18

)212(16

44

)39()212(4))((

18164))((2

2

cba

ba

a

cbaxbaaxxfg

xxxfg

144 aa)2)1(12(16 b → )212(16 b

b21216 b24

b 2

99 fungsi

cba 3918 → 18 = c )2(3)1(918 = 9 + 6 + c18 = 15 + c3 = c

Jadi 32)( 2 xxxgJawaban : e

6. Jika 28)( xxf dan 24))(( xxgf maka fungsi ....)( xg

a. x2

1

b. 13

2x

c. 12

1x

d.2

1

2

1x

e. 22

1 x

Penyelesaian :))(( xgf = 24 x

))(( xgf = 24 x ........................................... 1))(xf = 28 x

))(( xgf = 2))((8 xg ................................... 2)Dari 1) dan 2) diperoleh

2))((8 xg = 24 x))((8 xg = 44 x

)(xg =8

44 x

)(xg =2

1x

Jawaban : d

100 fungsi

7. Suatu pemetaan RRf : , RRg : dengan

542))(( 2 xxxfg dan 32)( xxg , maka ....)( xf UAN2004a. 122 xxb. 222 xxc. 22 2 xxd. 242 2 xxe. 142 2 xxPenyelesaian :

))(( xfg = 542 2 xx32)( xxg

?....)( xf

))(( xfg = 542 2 xx

))(( xfg = 542 2 xx .......................................... 1))(xg = 32 x

))(( xfg = 3)(2 xf ............................................... 2)Dari 1) dan 2) diperoleh

3)(2 xf = 542 2 xx

)(2 xf = 242 2 xx

)(xf =2

242 2 xx

)(xf = 122 xxJawaban : a

101 fungsi

1. Diketahui 52)( xxg dan 136))(( xxgf , maka ....)3( fa. 11b. – 11c. 12d. – 12e. 13

2. Diketahui fungsi 52)( xxg dan 23204))(( 2 xxxgf ,rumus fungsi )(xf adalah ....

a. 22 xb. 12 2 x

c. 22

1 2 x

d. 22

1 2 x

e. 12

1 2 x

3. Diketahui 36)( xxf dan 45)( xxg . Jika 81)( xgf makanilai x adalah ....a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4

LATIHAN MANDIRI

102 fungsi

4. Jika nilai ))(())(( xfgxgf , axxf 2)( dan 53)( xxg , makanilai a adalah ....

a.5

1

b.5

2

c.2

5

d.2

5

e. – 5

103 fungsi

C. Fungsi Invers

1. Fungsi f memiliki invers jika dan hanya jika fungsi f korespondensi satu-satu dan f adalah fungsi pada (fungsi 11f dan padaf )

Untuk CzByAx ,,

yxf )( → xyf )(1

zyf )( → yzf )(1

Invers yang berbentuk

dcx

baxxf

)( dcx

baxy

baxdcxy )(

baxdycxy bdyaxcxy bdyxacy )(

acy

bdyyfx

)(1

acx

bdxxf

)(1

2. Sifat-sifat fungsi inversIffff 11

111)( fggf

x y z

A B C

)(xf

)(1 yf )(1 zg

)(yg

MATERI

104 fungsi

1. Diketahui 63)( xxf maka ....)(1 xf

a. )6(3

1 x

b. )6(3

1 x

c. )6(3

1x

d. )6(3

1x

e. 3xPenyelesaian :

yxf )( = 63 x6y = x3

)6(3

1y = xyf )(1

)6(3

1x = )(1 xf

Jawaban : c2. Invers dari fungsi 24 )1(log)( xxf adalah ....)(1 xf

a. x41

b.x

2

1

21c. x41d. 12 x

e. 12 2

1

x


105 fungsi

Penyelesaian :24 )1(log xy → )1(log.2 4 xy

)1(log2

4 xy

14 2 xy

xyfy

)(14 12

)(14 12 xfx

)(12 1)

2(2

xfx

)(12 1 xfx

Jawaban : d3. Fungsi invers dari fungsi eksponen 13)( xxf adalah ....

a. )1(log3 xb. )1(log3 x

c. )1(log3 x

d. )1(log_ 3 xe. )1(log_ 3 xPenyelesaian :

13)( xxf

13 xyxy 31 atau )1(3 yx

yx 13 baxb xa log

xy )1(log3

xy )1(log_ 3

)()1(log_ 13 yfy )()1(log_ 13 xfx

Jawaban : d

106 fungsi

4. Diberikan fungsi f dan g dengan 12)( xxf dan1

))((

x

xxgf ,

1x maka invers dari fungsi g adalah ....)(1 xg UAN 2003

a. 1,1

x

x

x

b. 0,2

12

x

x

x

c. 0,1

x

x

x

d.2

1,

12

2

x

x

x

e. 0,2

12

x

x

x

Penyelesaian :12)( xxf

))(( xgf =1x

x

))(( xgf =1x

x......................................... 1)

))(( xgf = 1)(.2 xg ................................ 2)

1)(.2 xg =1x

x

)(.2 xg = 11

x

x

=1

)1(1

x

xx

=1

1

x

xx

=1

1

x

107 fungsi

)(xg =2

1

1

x

=2

1

1

1

x

=22

1

x

2,2,1,0 dcba

)(1 xg =x

x

2

12

=x

x

2

)12(

=x

x

2

12

Jawaban : e

5. Invers fungsi5

8,

85

23)(

xx

xxf adalah ....)(1 xf

a.35

28

x

x

b.35

28

x

x

c.x

x

53

28

d.x

x

53

28

e.x

x

53

28

Penyelesaian :

8

5

2

3

85

23)(

d

c

b

a

x

xxf

108 fungsi

)(1 xf =35

28

x

x

=)53(

)28(

x

x

=x

x

53

28

Jawaban : d

6. Invers dari fungsix

xxf

52

83)(

adalah ....)(1 xf

a.35

82

x

x

b.38

52

x

x

c.25

38

x

x

d.58

32

x

x

e.58

32

x

x

Penyelesaian :

)(xf =

2

5

8

3

52

83

d

c

b

a

x

x

)(1 xf =35

82

x

x

=)35(

)82(

x

x

=35

82

x

x

Jawaban : a

109 fungsi

1. Diketahui fungsi 25 )1(log)( xxf adalah ....)(1 xf

a. x51b. 15 x

c.x

2

1

51

d. 15 2

1

x

e. x51

2. Diketahui fungsi 0,1

log)( 5

xx

xxf , maka invers dari )(xf

adalah ....

a.15

1

x

b.15

1

x

c.15

1

x

d.1

15 x

e.15

5

x

3. Diketahui xxf 3)( , xxg 52)( , maka nilai )()( 1 xgf adalah ....

a.15

26 x

b.15

36 x

c.5

6 x

LATIHAN MANDIRI

110 fungsi

d.15

6 x

e.15

26 x

4. Fungsi RRf : didefinisikan sebagai3

4,

43

12)(

xx

xxf . Invers

dari fungsi f adalah ....)(1 xf

a.23

14

x

x

b.23

14

x

x

c.x

x

32

14

d.23

14

x

x

e.23

14

x

x

164 matriks

8. MatriksMatriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diaturdalam baris dan kolom.A. Matriks berordo 22

Misalkan : Matriks

dc

baA

Matriks

hg

feB

1. Transpose matriks :

Transpose matriks A adalah

db

caAt

Transpose matriks B adalah

hf

geB t

2. Determinan : Determinan matriks A adalah : bcadA det , dengan

0 bcad Determinan matriks B adalah : fgehB det , dengan

0 fgeh Jika determinan matriks sama dengan nol maka matriksnya

disebut matriks singular3. Adjoin matriks :

Adjoin matriks A adalah :

ac

bdAAdj

Adjoin matriks B adalah :

eg

fhBAdj

4. Invers matriks :

Invers matriks A adalah : AadjA

Adet

11

MATERI

165 matriks

ac

bd

bcadA

11

Invers matriks B adalah : BadjB

Bdet

11

eg

fh

fgehB

11

5. Operasi aljabar pada matriks :

Misalkan : Matriks

dc

baA

Matriks

hg

feB

Penjumlahan matriks :

BA =

hg

fe

dc

ba

=

hdgc

fbea

Pengurangan matriks :

BA =

hg

fe

dc

ba

=

hdgc

fbea

Perkalian matriks :

BA =

2222

hg

fe

dc

ba

166 matriks

=

22

dhdfdgce

bhafbgae

Ak. =

dc

bak

=

dkck

bkak

6. Identitas matriks :

Identitas matriks berordo 22 adalah :

10

01I

7. Persamaan matriks : AIAAI Jika BAX dan kedua ruas dikalikan dengan 1A maka akan

diperoleh BAX 1 111)( ABAB

Contoh :

1. Diketahui matriks

31

12A dan matriks

12

41B .

Tentukanlah :a. BA b. BA c. BA.d. 2APenyelesaian :

a. BA =

12

41

31

12

=

1321

4112

167 matriks

=

21

53

b. BA =

12

41

31

12

=

)1(321

4112

=

43

31

c. AB =

12

41

31

12

=

)1)(3()4)(1()2)(3()1)(1(

)1)(1()4)(2()2)(1()1)(2(

=

3461

1822

=

75

74

d. 2A = AA

=

31

12

31

12

=

)3)(3()1)(1()1)(3()2)(1(

)3)(1()1)(2()1)(1()2)(2(

=

9131

3214

=

84

53

168 matriks

2. Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linier

765

1034

yx

yxadalah ....

Penyelesaian :1034 yx

765 yxdapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu :

7

10

65

34

y

x

A X = B

Dimana

65

34A ,

y

xX , dan

7

10B

Sehingga X dapat dicari dengan persamaan BAX 1 dimana

AadjA

Adet

11

Adet = )5)(3()6)(4( = 1524 = 39

Aadj =

45

36

maka

45

36

39

11A

BAX 1

y

x=

7

10

45

36

39

1

=

)7)(4()10)(5(

)7)(3()10)(6(

39

1

=

2850

2160

39

1

169 matriks

=

78

39

39

1

y

x=

2

1

jadi 1x dan 2yB. Matriks berordo 33

Misalkan : Matriks

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Matriks

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

1. Transpose matriks :

Transpose matriks A adalah

332313

322212

312111

aaa

aaa

aaa

At

Transpose matriks B adalah

332313

322212

312111

bbb

bbb

bbb

B t

2. Determinan : Determinan matriks A adalah :

Adet =

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

+ + +___

170 matriks

= 33.21.1232.23.1131.22.1332.21.1331.23.1233.22.11 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Jika determinan matriks sama dengan nol maka matriksnya disebutmatriks singular

3. Matriks kofaktor :“Matriks kofaktor terbentuk jika terjadi penghapusan kolom danbaris”Jika ijM adalah minor ija dari matriks A maka kofaktor dari ija

dirumuskan dengan ijij

ij MA )1(

Dimana ijM = det ijA

i = menyatakan barisy = menyatakan kolom

matriks kofaktor dapat ditemukan dengan :

11A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

21A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=

3332

232211)1(aa

aa=

3331

232112)1(aa

aa

= )()1( 322333222 aaaa = )()1( 31233321

3 aaaa

12A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

22A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=

3332

131221)1(aa

aa=

3331

131122)1(aa

aa

= )()1( 321333123 aaaa = )()1( 31133311

4 aaaa

13A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

23A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

171 matriks

=

2322

131231)1(aa

aa=

2321

131132)1(aa

aa

= )()1( 221323124 aaaa = )()1( 21132311

5 aaaa coba cari kofaktor lainnya :sehingga matriks kofaktor akan diperoleh sebagai berikut :

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

A

4. Adjoin matriks :Adjoin matriks berordo 33 adalah transpose dari matriks kofaktordiperoleh:

Adjoin matriks kofaktor A adalah :

332331

322212

312111

AAA

AAA

AAA

AAdj

5. Invers matriks :

Invers matriks A adalah : AadjA

Adet

11

6. Operasi aljabar pada matriks :

Misalkan : Matriks

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Matriks

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

Penjumlahan matriks :

172 matriks

BA =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

+

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

=

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

Pengurangan matriks :

BA =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

-

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

=

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

Perkalian matriks :

BA =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

Ak. =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

k

=

333231

232221

131211

kakaka

kakaka

kakaka

173 matriks

7. Identitas matriks :

Identitas matriks berordo 33 adalah :

100

010

001

I

8. Persamaan matriks : AIAAI Jika BAX dan kedua ruas dikalikan dengan 1A maka akan

diperoleh BAX 1 111)( ABAB

Contoh :

1. Diketahui matriks

312

111

201

A dan

111

110

312

B ,

tentukan nilai :a. BA b. BA c. ABPenyelesaian :

a. BA =

312

111

201

+

111

110

312

=

131112

111101

321021

=

423

001

513

174 matriks

b. BA =

312

111

201

-

111

110

312

=

131112

)1(11101

32)1(021

=

201

221

111

c. AB =

312

111

201

111

110

312

=

316312304

113111102

203201202

=

827

513

514

2. Nilai x, y, z yang memenuhi sistem persamaan linier tiga variabelberikut :

0

32

632

zyx

zyx

zyx

adalah ....

Penyelesaian :632 zyx ......................... 1)

32 zyx ......................... 2)0 zyx ......................... 3)

175 matriks

Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriksyaitu :

111

112

321

z

y

x

=

0

3

6

A X = BSehingga BAX 1

Adet =

11

12

21

111

112

321

= )1)(2)(2()1)(1)(1()1)(1)(3()1)(2)(3()1)(1)(2()1)(1)(1(

= 413621 = 9

matriks kofaktornya adalah :

11A =

111

112

321

23A =

111

112

321

=

11

11)1( 11 =

11

21)1( 32

= ))1)(1()1)(1(()1( 2 = ))1)(2()1)(1(()1( 5 = )11(1 = )21(1 = 2 = 3

12A =

111

112

321

31A =

111

112

321

=

11

12)1( 21 =

11

32)1( 13

= ))1)(1()1)(2(()1( 3 = ))1)(3()1)(2(()1( 4

176 matriks

= )12(1 = )32(1 = 1 = 5

13A =

111

112

321

32A =

111

112

321

=

11

12)1( 31 =

12

31)1( 23

= ))1)(1()1)(2(()1( 4 = ))2)(3()1)(1(()1( 5 = )12(1 = )61(1 = 3 = 7

21A =

111

112

321

33A =

111

112

321

=

11

32)1( 12 =

12

21)1( 33

= ))1)(3()1)(2(()1( 3 = ))2)(2()1)(1(()1( 6 = )32(1 = )41(1 = 1 = 3

22A =

111

112

321

=

11

31)1( 22

= ))1)(3()1)(1(()1( 4 = )31(1 = 4

matriks kofaktornya adalah :

177 matriks

375

341

312

A

adjoin matriks tAA dari matriks kofaktor

adj A = At =

333

741

512

AadjA

Adet

11

333

741

512

9

11A

BAX 1

z

y

x

=

333

741

512

9

1

0

3

6

=

0918

0126

0312

9

1

=

27

18

9

9

1

=

3

2

1

jadi nilai 1x , 2y , 3z

178 matriks

1. Jika

0

2

44

23

y

x, maka ....2 yx UAN 2003


0

2

44

23

y

x

A X BMaka : BAX 1

Dimana : AadjA

Adet

11

)4)(2()4)(3(det A= 12 – 8= 4

Aadj

34

24

1A =

34

24

4

1

sehingga X =

34

24

4

1

0

2

y

x=

08

08

4

1

=

8

8

4

1


179 matriks

=

2

2

jadi 2x dan 2ymaka nilai yx 2 = )2(22

= 42 = 6

Jawaban : a

2. Diketahui matriks S =

31

02dan M =

30

21, jika fungsi

22),( MSMSf , maka matriks ),( MSMSf adalah .... UAN2004

a.

404

204

b.

404

204

c.

304

204

d.

364

84

e.

364

84

Penyelesaian :

Diketahui : S =

31

02, M =

30

21

),( MSf = 22 MS ),( MSMSf = 22 )()( MSMS

MS =

30

21

31

02

180 matriks

=

3301

2012

=

01

23

2)( MS = ))(( MSMS

=

01

23

01

23

=

0203

0629

=

23

67

MS =

30

21

31

02

=

)3(301

2012

=

61

21

2)( MS = ))(( MSMS

=

61

21

61

21

=

36261

12221

=

387

243

),( MSMSf = 22 )()( MSMS

=

23

67-

387

243

181 matriks

=

38273

14637

=

404

204

Jawaban : a

3. Matriks X berordo 22 yang memenuhi

12

34

43

21X adalah

.... UAN 2005

a.

45

56

b.

54

65

c.

54

56

d.

13

24

e.

810

1012

Penyelesaian :

X

43

21=

12

34

A X = BX = BA 1

jadi BAadjA

X .det

1

=

12

34

13

24

64

1

182 matriks

=

19212

212416

2

1

=

810

1012

2

1

=

45

56

Jawaban : a

4. Diketahui matriks A =

02

yx, B =

20

12dan C =

21

46. Ct adalah

transpose dari C. Jika AB = Ct maka nilai .... yx UAN 2006a. – 2b. – 1c. 0d. 1e. 2Penyelesaian :

C =

21

46, maka Ct =

24

16

A B = Ct

02

yx

20

12=

24

16

0204

202 yxx=

24

16

24

22 yxx=

24

16

sehingga diperoleh :62 x 3x

12 yx 123 y22 y

2y

183 matriks

yx = 23= - 2

Jawaban : a


3

1

b

d, B =

b3

54, C =

131

53

aa

cc,

jika Ct = tranpose matriks C, maka nilai dcba yang memenuhipersamaan B – A = Ct adalah .... UAN 2007.Ba. – 8b. – 3c. 11/3d. 9e. 141/9Penyelesaian :

Jika C =

131

53

aa

cc, maka Ct =

135

13

ac

ac

B – A = Ct

b3

54-

3

1

b

d=

135

13

ac

ac

)3(3

)(514

bb

d=

135

13

ac

ac

33

53

bb

d=

135

13

ac

ac

sehingga diperoleh :c33 c1

cb 53 53 b2 b

2b133 ab 32 = 13 a

5 = 13 a6 = 3a2 = a

ad 15 d 5 = 1 – 2

184 matriks

d 5 = 1d = 4

jadi nilai dcba = 2 + 2 + 1 + 4= 9

Jawaban : d


41

12, B =

y

yx

3

2, C =

13

27, apabila B

– A = Ct, dan Ct transpose matriks C, maka nilai ....xy UAN 2007.Aa. 10b. 15c. 20d. 25e. 30Penyelesaian :

Jika C =

13

27, maka Ct =

12

37

B - A = Ct

y

yx

3

2-

41

12=

12

37

413

)1(22

y

yx=

12

37

42

32

y

yx=

12

37

sehingga diperoleh :14 y 5y

72 yx 725 x73 x

4xjadi nilai 5.4. yx

= 20Jawaban : c

185 matriks

7. Diketahui persamaan matriks :

b

a

0

14

13

22 =

31

2

4

23 d

c

maka nilai dari dcba = .... UAN 2008. Aa. 11b. 13c. 15d. 17e. 19Penyelesaian :

b

a

0

14

13

22 =

31

2

4

23 d

c

26

42a+

b0

14=

)3)(4())(()1)(4()2)((

)3)(2())(3()1)(2()2)(3(

dcc

d

b

a

206

1442=

1242

6326

cdc

d

b

a

26

342=

1242

638

cdc

d

sehingga diperoleh :842 a 42 a

2a633 d d33

d1426 c c210

c 5122 cdb 12)1)(5(2 b

1252 b172 b15b

dcba = 15152 = 11

Jawaban : a

186 matriks

8. Diketahui persamaan matriks :

c

a

1

4+

3

2

d

b=

43

31

01

10

nilai dcba = ....a. – 7b. – 5c. 1d. 3e. 7Penyelesaian :

c

a

1

4+

3

2

d

b=

43

31

01

10

31

42

cd

ba=

)0)(4()1)(3()1)(4()0)(3(

)0)(3()1)(1()1)(3()0)(1(

31

42

cd

ba=

34

13

sehingga diperoleh :32 a 5a

14 b 3b41 d 5d

33 c 6cjadi nilai dcba = 5635

= 3Jawaban : d


p

p

387

654

21

adalah matriks singular. Nilai p

adalah ....a. 1b. 3c. 9d. 12

187 matriks

e. 15Penyelesaian :Suatu matriks dikatakan singular jika determinannya sama dengan nol :det A = 0

87

54

21

387

654

21

p

p

= 0

0)3)(4)(2()8)(6)(1()7)(5)(()8)(4)(()7)(6)(2()3)(5)(1( pppppppp 244835328415 = 0

488424353215 pppp = 03612 p = 0

p12 = 36p = 3

Jawaban : b

10. Jika diketahui matriks A =

11

23dan B-1 =

12

41maka

11 )( BA = ....

a.

55

61

b.

55

61

c.

55

61

d.

53

101

e.

53

101

+ + +___

188 matriks

Penyelesaian :11 )( BA = 111 )( AB

= AB 1

=

12

41

11

23

=

1416

4243

=

55

61

Jawaban : c

189 matriks

1. Jika A =

42

38, B =

57

625, dan C =

61

411. Maka

CBA 23 adalah ....

a.

78

144

b.

511

1171

c.

515

1127

d.

1911

571

e.

511

527

2. Invers matriks A =

43

21adalah ....

a.

12

3

22

1

b.

2

1

2

33

12

LATIHAN MANDIRI

190 matriks

c.

2

1

2

3

12

1

d.

22

3

12

1

e.

2

1

2

312


0

2

y

x, B =

43

21dan C =

21

81, maka

nilai yx yang memenuhi AB = C adalah ....a. – 2b. – 1c. 0d. 1e. 2


15

4

a

aadengan 0a . Jika determinan

matriks A sama dengan 1, maka invers matriks A adalah ....

a.

75

118

b.

85

117

c.

85

117

d.

85

117

191 matriks

e.

75

118

5. Jika

p3

14

7

1

q

p=

203

151, maka nilai dari ....)( 2 qp

a. 1b. 4c. 16d. 25e. 36


25

14dan B =

23

10. Invers dari matriks AB

adalah ....

a.

36

21

9

1

b.

36

21

9

1

c.

36

21

9

1

d.

36

21

9

1

e.

36

21

9

1

7. Diketahui matriks P =

12

82x, jika matriks P merupakan matriks

singular, maka nilai x adalah ....a. 2b. 3c. 4d. 5e. 8

192 matriks

8. Diketahui hasil kali matriks

21

34

b

a

3

5=

138

3217, maka nilai

.... baa. 2b. 4c. 6d. 8e. 10


5

42

pdan B =

62

23. Jika det A = det B,

maka nilai p = ....a. – 3b. – 2c. 1d. 3e. 5


43

21, B =

1024

410. Jika x adalah matriks

berordo 22 dan AX = B, maka X = ....

a.

43

21

b.

13

24

c.

31

42

d.

13

24

e.

41

32

193 matriks

11. Hasil kali matriks A

60

35=

2735

3010, maka matriks A adalah ....

a.

74

11

b.

17

42

c.

17

24

d.

41

27

e.

14

27


53

21dan B =

2911

114jika matriks AX = B,

maka matriks X adalah ....

a.

42

31

b.

41

32

c.

12

43

d.

23

14

e.

34

41

194 matriks

13. Diketahui matriks P =

1093

57

42

c

b

a

dan Q =

1095

527

342

b

a . Jika matriks

P = Q, maka nilai c adalah ....a. 5b. 6c. 8d. 10e. 30


102

321dan B =

1

1

2

. Hasil dari A.B adalah

....a. 33

b.

3

3

c.

104

322

d.

13

02

42

11

11

e.

33

33

195 matriks


42

31dan B =

21

43. Nilai detrminan

dari 1)( AB adalah ....

a.20

5

b.20

1

c.20

1

d.20

5

e. 20

112 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat

3. Persamaan dan pertidaksamaan kuadratA. Persamaan kuadrat1. Bentuk umum 02 cbxax ; a, b, c R dan 0a2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat

Dengan beberapa cara : Memfaktorkan

Cara memfaktorkannya adalah cari dua bilangan jika dikalikanhasilnya ac dan jika dijumlahkan hasilnya b

02 cbxax ... x ... = ac... + ... = b

Melengkapi kuadrat sempurnahSyarat melengkapi kuadrat sempurnah adalah a = 1

cbxax 2 = 0

a

cx

a

bx 2 = 0

xa

bx 2 =

a

c

2

2

2

1

a

bx

a

bx =

a

c

a

b

2

2

1

22

2

a

bx

a

bx =

a

c

a

b

2

22

2

a

bx =

a

c

a

b

2

2

4

=2

2

4

4

a

acb

a

bx

2 =

2

2

4

4

a

acb

MATERI


x =2

2

4

4

2 a

acb

a

b

=a

acb

a

b

2

4

2

2

=a

acbb

2

42

Menggunakan rumus abc

a

acbbx

2

42

2,1

3. Jenis-jenis akar persamaan kuadratJenis akar persamaan kuadrat ditentukan oleh bentuk akarnya (D)dimana acbD 42 Persamaan kuadrat 02 cbxax memiliki : Akar real berlainan jika 0D Akar sama atau kembar jika 0D Akar tidak real jika 0D

4. Rumus jumlah dan hasil kali persamaan kuadratMisalkan akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax adalah 1x

dan 2x dimanaa

acbbx

2

42

1

dan

a

acbbx

2

42

2

maka berlaku :

21 xx =a

b

21 xx =a

c

5. Sifat-sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat Akar-akarnya berlawanan : b = 0 Akar-akarnya berkebalikan : a = c


Salah satu akarnya sama dengan 0 :a

bx 2

Kedua akarnya bertanda sama : 0a

c

Kedua akarnya berlainan tanda : 0a

c

6. Menyusun persamaan kuadrat yang diketaui akar-akarnya 1x dan 2xdengan : Jika 1x dan 2x diketahui, maka persamaannya kuadratnya adalah

perkalian faktor 0))(( 21 xxxx Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan

kuadrat 0.)( 21212 xxxxxx


1. Akar-akar persamaan kuadrat 01892 xx adalah ....a. – 3 dan 6b. 3 dan 6c. – 3 atau 6d. 3 atau 6e. – 6 dan 3Penyelesaian :

1892 xx = 0 ... x ... = 18)6)(3( xx = 0 ... + ... = - 9

03 x dan 06 x3x 6x

Jawaban : b2. Himpunan penyelesaian penyelesaian dari persamaan 04129 2 xx

adalah ....

a.

3

2

b.

3

2

c.

2

3

d.

2

3

e. 2Penyelesaian :

4129 2 xx = 0 ... x ... = 364669 2 xxx = 0 ... + ... = - 12

0)46()69( 2 xxx0)23(2)23(3 xxx

)23)(23( xx = 0



023 x dan 023 x

3

2x

3

2x

Hp =

3

2

Jawaban : b3. Jika 21 xdanx adalah akar-akar persamaan kuadrat : 0332 2 xx ,

maka nilai ..... 21 xx UAN 2008. BAHASA.Aa. 2

b.2

3

c.2

3


3

3

2

0

03322

2

c

b

a

cbxax

xx

21.xx =a

c

=2

3

Jawaban : c4. Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat 0652 2 xx ,

maka nilai ....21 xx

a.2

5

b.2

5


c.5

2

d.5

2

e. 5Penyelesaian :

6

5

2

0

06522

2

c

b

a

cbxax

xx

21 xx =a

b

=2

)5(

=2

5

Jawaban : a5. Persamaan kuadrat 0322 xx mempunyai akar-akar 21 xdanx .

Nilai dari ....22

21 xx UAN 2008. BAHASA. A

a. 10b. 2c. – 2d. – 4e. – 10Penyelesaian :

3

2

1

0

0322

2

c

b

a

cbxax

xx

21 xx =a

b

=1

2


= 2

21. xx =a

c

=1

3

= 32

22

1 xx = 21

)(

2221

21 22

221

xxxxxx

xx

= 212

21 2 xxxx = )3(2)2( 2 = 4 + 6= 10

Jawaban : a6. Akar-akar persamaan kuadrat 023 2 xx adalah 1x dan 2x . Nilai

....11

21

xx

a.9

1

b.6

1

c.3

1

d.2

1

e.3

2

Penyelesaian :

2

1

3

0

0232

2

c

b

a

cbxax

xx


21 xx =3

1

21.xx =3

2

21

11

xx =

21

12

xx

xx

=21

21

xx

xx

=

3

23

1

=3

2:

3

1

=2

3

3

1

=2

1

Jawaban : d7. Hasil jumlah akar-akar persamaan kuadrat 06)2(5 2 xpx

adalah 8. Nilai p = ....a. – 42b. – 40c. – 38d. 38e. 42Penyelesaian :

6

2

5

0

06)2(52

2

c

pb

a

cbxax

xpx


21 xx =a

b

8 =5

2p

40 = 2p42 = p

Jawaban : e8. Akar-akar persamaan kuadrat 032 kxx adalah 1x dan 2x . Jika

2722

21 xx , maka nilai k adalah ....

a. – 18b. – 16c. – 12d. 12e. 18Penyelesaian :

kc

b

a

cbxax

kxx

3

1

0

032

2

321 xx

kxx 21.

221 xx = 2221

21 2 xxxx

= 212

22

1 2 xxxx

= 21212

21 22 xxxxxx = 21

221 4)( xxxx

= k4)3( 2 = k49

21 xx = k49 2

22

1 xx = ))(( 2121 xxxx

- 27 = k493


3

27

= k49

9 = k49 9 = k49

2)9( = 9 – 4k81 = 9 – 4k72 = 4k

4

72= k

18 = kJawaban : a

9. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah .... UAN 2003a. 01072 xxb. 01072 xxc. 01032 xxd. 01032 xxe. 01032 xxPenyelesaian :

0))2()(5( xx0)2)(5( xx

010522 xxx01032 xx

Jawaban : e10. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 35 dan 35 adalah ....

a. 022202 xxb. 022202 xxc. 022102 xxd. 022102 xxe. 022102 xxPenyelesaian : 0)35()35( xx


0)35)(35()35()35(2 xxx

03332535352 xxxxx

0325552 xxx022102 xx

Jawaban : d11. Persamaan kuadrat 0532 xx mempunyai akar-akar p dan q.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3p dan 3q adalah .... UAN 2008.BAHASA. Aa. 045272 xxb. 045272 xxc. 04592 xxd. 04592 xxe. 04592 xxPenyelesaian :

5

3

1

0

0532

2

c

b

a

cbxax

xx

qp =1

)3(

= 3

qp . =1

5

= 5Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3p dan 3q adalah :

qp 33 = )(3 qp = 3(3)= 9

qp 3.3 = ).(9 qp= 9 (5)= 45

03.3332 qpxqpx


04592 xxJawaban : e

12. Diketahui dan akar-akar persamaan kuadrat 0164 2 xx .Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya )12()12( danadalah .... UAN 2007. Ba. 032 xxb. 0132 xxc. 0222 xxd. 0232 2 xxe. 022 2 xxPenyelesaian :

1

6

4

0

01642

2

c

b

a

cbxax

xx

=4

)6(

=4

6

=2

3

. =4

1

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya )12()12( danadalah :

)12()12( = 1212 = 222 = 2)(2

= 22

32

= 3 – 2= 1


)12)(12( = 1224 = 1)(24

= 12

32

4

14

= - 1 – 3 + 1= -3

0121212122 x

032 xxJawaban : a

13. Persamaan kuadrat 09)2(2 xpx mempunyai akar-akar yangberlainan. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ....a. 48 pb. 84 pc. 4p atau 10pd. 8p atau 4pe. 4p atau 8pPenyelesaian :

9

2

1

0

09)2(2

2

c

pb

a

cbxx

xpx

Akar-akar berlainan artinya 0Dacb 42 > 0

)9)(1(42 2 p > 0

36)44( 2 pp > 0

36442 pp >0

3242 pp > 0 ... x ... = - 32)8)(4( pp > 0 ... + ... = - 4

4p atau 8p

- 4 8


Titik uji pada interval 4p :

p = - 5 → 32)5(4)5( 2 > 0322025 > 013 > 0 memenuhi

Titik uji pada interval 84 p :

p = 0 → 32)0(4)0( 2 > 03200 > 0

- 32 > 0 tidak memenuhiTitik uji pada interval 8p :

p = 9 → 32)9(4)9( 2 > 0323681 > 013 > 0 memenuhi

jadi nilai p yang memenuhi adalah 4p atau 8pJawaban : e

14. Persamaan kuadrat 012)28()1( 2 xmxm mempunyai akaryang berlawanan, maka nilai m yang memenuhi adalah ....a. – 5b. 5c. – 4d. 4e. 3Penyelesaian :

12

28

1

0

012)28()1(2

2

c

mb

ma

cbxax

xmxm

Karena akar-akarnya berlawanan, syaratnya adalah 0bm28 = 0

- 2m = - 8m = 4

Jawaban : d


1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya3

1dan 2 adalah ....

a. 0273 2 xxb. 0273 2 xxc. 0273 2 xxd. 0723 2 xxe. 0723 2 xx

2. Diketaui hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 0)1(64 2 mxxadalah 5. Nilai m adalah ....a. 19b. 20c. 21d. 22e. 23

3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya )31( dan )31( adalah ....

a. 032 xx

b. 032 xx

c. 0222 xxd. 0322 xxe. 0222 xx

4. Persamaan kuadrat 0532 2 xx mempunyai akar-akar dan .Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 32 dan 32 adalah....a. 0892 2 xxb. 0892 xxc. 0892 xxd. 0892 2 xxe. 0892 xx

LATIHAN MANDIRI


5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 07103 2 xx adalah dan . Nilai dari ....22

a.9

715

b.3

212

c.9

79

d.3

26

e.9

46

6. Persamaan kuadrat 0)2()12()1( 2 axaxa mempunyai akaryang sama. Maka nilai a adalah ....

a.16

11

b.16

9

c.16

7

d.16

5

e.16

3

7. Akar-akar persamaan 0732 2 xx adalah 21 xdanx . Nilai dari

....88 22

21 xx

a. – 38b. – 20c. – 10d. 18e. 36


8. Persamaan kuadrat 0)3(2 2 ppxx akar-akarnya berkebalikan,maka nilai p adalah ....a. – 5b. 5c. – 3d. 3e. 1

9. Salah satu akar persamaan 0102 mxx adalah 3 lebih dari akaryang lain, maka nilai m adalah ....a. m = -1 atau m = 1b. m = -5 atau m = 5c. m = - 6 atau m = 6d. m = - 7 atau m = 7e. m = - 9 atau m = 9


B. Pertidaksamaan

1. IntervalContoh :

1.

2.

3.

2. Pertidaksamaan linier dan grafiknya Pertidaksamaan linier

Bentuk operasi pertidaksamaan linier secara umum : 0 bax , , , Contoh :1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 23 x < 0 adalah ....

Penyelesaian :23 x < 0

x3 < 2

x <3

2

○ ○0 3

0x30 x

3x

● ○0 3

0x30 x

3x

● ●0 3

0x30 x

3x

○

3

23

2x

3

2x

MATERI



2x

0x → 02)0(3 02 memenuhi


2x

1x → 02)1(3 01 tidak memenuhi

Jadi nilai x yang memenuhi adalah3

2x

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah :

3

2xx

2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2813 xx adalah....Penyelesaian :

13 x 28 xxx 83 12 x5 3

x5 3

x5

3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

5

3xx

Grafik pertidaksamaan linierGarafik pertidaksamaan linier berbentuk garis lurusLangkah-langkah menggambar grafik : Cari titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Gambar titik potong tersebut pada bidang kartesius Hubungkan titik-titik tersebut


Contoh :1. Gambarlah grafik 2 xy dan tentukan daerah

penyelesaiannyaPenyelesaian :Pembuat nol fungsi :

2 xyTitik potong sumbu x, maka y = 0, maka0 = x + 2

- 2 = xKoordinat titik potongnya adalah (- 2, 0)Titik potong sumbu y, maka x = 0y = 0 + 2y = 2Koordinat titik potongnya adalah (0, 2)

Titik uji pada interval 2x dan 2y(- 3, 1) → 1 - 3 + 2

1 - 1 memenuhiTitik uji pada interval 2x dan 2y(1, 1) → 1 1 + 2

1 3 tidak memenuhiJadi daerah penyelesaiannya adalah 2x dan

22 yatauy

0-2

x

y

2●

●


2. Gambarlah grafik 42 yx dan tentukan daerahpenyelesaiannyaPembuat nol fungsi :x – 2y = 4Titik potong sumbu x, maka y = 0x – 2(0) = 4x = 4Koordinat titik potongnya adalah (4, 0)Titik potong sumbu y, maka x = 00 – 2y = 4- 2y = 4

y =2

4

y = - 2Koordinat titik potongnya adalah (0, -2)

Titik uji pada interval 4x dan 2y(2, -3) → 2 – 2 (- 3) 4

2 + 6 48 4 memenuhi

Titik uji pada interval 4x dan 2y(1, 1) → 1– 2 (1) 4

0

-2

x

y

4

●

●


1 - 2 4- 1 4 tidak memenuhi

Jadi daerah penyelesaiannya adalah 4x atau 4x dan2y

3. Pertidaksamaan linier berbentuk pecahanSyaratnya penyebut tidak boleh sama dengan nolContoh :

1. Diketahui pertidaksamaan 52

x

x, maka himpunan

penyelesaiannya adalah ....Penyelesaian :Syarat i) : 2xSyarat ii) :

2x

x5

052

x

x

02

)2(5

x

xx

02

105

x

xx

02

104

x

x

0104 x104 x

104 x

4

10x

2

5x


Dari syarat i) dan ii) diperoleh :

Titik uji pada interval 2x

0x → 521

1

51 tidak memenuhi


52 x

1,2x → 521,2

1,2

51,0

1,2

521 memenuhi


5x

3x → 523

3

51

3

53 tidak memenuhi

Jadi interval yang memenuhi adalah2

52 x

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah

2

52 xxHp


2

x

xadalah ....

Penyelesaian :

412

2

x

x

2

2

5○ ●


Syarat i)2

1x

Syarat ii).

0412

2

x

x

012

)12(42

x

xx

012

482

x

xx

012

27

x

x

027 x27 x

27 x

7

2x

Dari syarat i) dan ii)


2x

0x → 41)0(2

20

41

2

42 memenuhi


1

7

2 x

4,0x → 41)4,0(2

24,0

7

2

2

1


4

10

210

16

42

10

10

16

48 tidak memenuhi


1x

1x → 41)1(2

21

41

1

41 memenuhi

Jadi nilai x yang memenuhi adalah7

2x atau

2

1x

4. Pertidaksamaan berbentuk akarDefinisi : a adalah bilangan non negatif sedemikian hingga

aa 2

dengan syarat ;

i). Jika 0a maka a terdefinisi

ii). Jika 0a maka a tidak terdefinisiContoh :1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 23 x adalah ....

Syarat i). 03 x3x

Syarat ii). 23 x

2223 x

43 x7x

Dari syarat i) dan ii) diperoleh



2x → 232 21

2i tidak memenuhiTitik uji pada interval 73 x

4x → 234 21

21 memenuhiTitik uji pada interval 7x

8x → 238 25

2....,2 tidak memenuhiJadi nilai x yang memenuhi adalah 73 x

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan xx 31 adalah ....Penyelesaian :

xx 31Syarat i). 01x

1xSyarat ii). 03 x

3 x3x

Syarat iii). 2231 xx

xx 3113 xx

42 x2x

3 7● ○


Dari syarat i), ii), dan iii) diperoleh :


0x → 0310 31

,.....1i tidak memenuhiTitik uji pada interval 21 x

5,1x → 5,1315,1

5,25,0 ,....1,....0 tidak memenuhi

Titik uji pada interval 32 x

5,2x → 5,2315,2

5,05,1 ,.....0,....1 memenuhi


4x → 4314 13

i,....1 tidak memenuhiJadi nilai x yang memenuhi adalah 32 x

5. Pertidaksamaan absolut atau harga mutlakDefinisi : Nilai mutlak untuk Rx

0,0

0,

0,

xjika

xjikax

xjikax

x

Secara umum, 2xx

Jika ax maka axa

Jika ax maka ax atau ax

1○ ●2 3

●


Contoh :1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x

Cara I :2x

22 2x042 x ... x ... = - 4

0)2)(2( xx ... + ... = 02x atau 2x

Titik uji pada interval 2x3x → 23

23 tidak memenuhiTitik uji pada interval 22 x

0x → 20 20 memenuhi


23 tidak memenuhiJadi nilai x yang memenuhi adalah 22 xCara II :

2x

22 xJadi nilai x yang memenuhi adalah 22 x

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32 x adalah ....Penyelesaian :Cara I :

- 2○

2○


32 x22 3)2( x

9442 xx0542 xx ... x ... = - 5

0)5)(1( xx ... + ... = - 41x atau 5x


34 34 tidak memenuhi

Titik uji pada interval 51 x0x → 320

32 32 memenuhi



Jadi nilai x yang memenuhi adalah 51 xCara II :

32 x

323 x232223 x

51 xJadi nilai x yang memenuhi adalah 51 x

- 1●

5●


6. Pertidaksamaan kuadratBentuk umum : 02 cbxax , bisa juga dalam bentuk , , Contoh :1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat 0542 xx

Penyelesaian :0542 xx ... x ... = - 5

0)1)(5( xx ... + ... = 45x atau 1x

Titik uji pada interval 5x6x → 05)6(4)6( 2

052436 07 memenuhi

Titik uji pada interval 15 x0x → 05)0(4)0( 2



0584 07 memenuhi

Jadi nilai x yang memenuhi adalah 5x atau 1x

5 1○ ○


2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat 0652 xxPenyelesaian :

0652 xx ... x ... = 60)2)(3( xx ... + ... = 5

3x atau 2x



Titik uji pada interval 23 x5,2x → 06)5,2(5)5,2( 2

065,1225,6 075,0 memenuhi

Titik uji pada interval 2x0x → 06)0(502


Jadi nilai x yang memenuhi adalah 23 x

- 3●

-2●


1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4)3(3 xxx adalah ....a. 11 xb. 43 xc. 11 x atau 43 xd. 11 x atau 43 xe. 11 x atau 43 x

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 212 x adalah ....

a.

2

1xx

b.

2

1xx

c.

2

5xx

d.

2

5xx

e.

2

5xx

3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 0432 xx adalah ....a. 4x atau 1xb. 1x atau 4xc. 4x atau 1xd. 14 xe. 41 x

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 0592 2 xx adalah ....

a.2

1x atau 5x

b. 5x atau2

1x

LATIHAN MANDIRI


c. 5x atau2

1x

d.2

15 x

e. 52

1 x


12

x

xadalah ....

a. 3xb. 2xc. 32 xd. 3x atau 2xe. 2x atau 3x

6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 032 2 xx adalah ....a. 15,1 xatauxx

b. 5,11 xatauxx

c. 5,11 xatauxx

d. 15,1 xx

e. 5,11 xx

7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 632 x adalah ....

a.2

9

2

3 x

b.2

3

2

9 x

c.2

9

2

3 x

d.2

3x atau

2

9x

e.2

3x atau

2

9x

146 Persamaan lingkaran & garis singgungnya

4. Persamaan lingkaran dan garis singgungnya1. Persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari radalah: 222 ryx

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah :222 )()( rbyax

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah :022 CByAxyx

Berpusat di

2,

2

BAdan jari-jarinya adalah

CBA

r

22

222. Jari-jari lingkaran

Lingkaran yang berpusat di (a, b) dan menyinggung garis

0 CByAx , jari-jarinya adalah22 BA

CBbAar

3. Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui salah satu titik),( 11 yx dan berjari-jari r adalah :

Berpusat di O (0,0) adalah :2

11 ryyxx Berpusat di (a, b) adalah :

211 ))(())(( ryyayaxax

Lingkaran 022 CByAxyx adalah :

022 1111 yyB

xxA

yyxx

MATERI


4. Persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien m dan berjari-jari radalah : Berpusat di O(0,0) adalah :

21 mrmxy Berpusat di (a, b) adalah :

21)( mraxmby Lingkaran 022 CByAxyx karena pusat dan jari-jarinya

dapat dicari maka persamaan garis singgungnya sama denganpersamaan garis singgung yang berpusat di (a, b) :

21)1( mrxmby 5. Gradien garis

Dua garis yang saling tegak lurus, hasil kali gradien-gradiennya samadengan – 1 : 121 mm

Dua garis yang sejajar, gradiennya sama : 21 mm 6. Koordinat titik (x, y) dimana absisnya adalah x dan ordinatnya adalah y


1. Persamaan garis singgung pada lingkaran 044222 yxyxyang tegak lurus garis 015125 yx adalah .... UAN 2004a. 041512 yx dan 037512 yxb. 041512 yx dan 037512 yxc. 041125 yx dan 037125 yxd. 041125 yx dan 037125 yxe. 041512 yx dan 037512 yxPenyelesaian :

4

4

2

0

044222

22

C

B

A

CByAxyx

yxyx

Pusatnya : =

2

4,

2

)2(

=

2

4,

2

2

= 2,1 Jari-jarinya :

r = )4()2()1( 22

= 441 = 9= 3

015125 yx15512 xy

)5(512 xy

512

5

xy



)5(12

5 xy

12

51 m

Karena maka 121 mm

12

1

mm

12

51

2

m

5

1212 m

5

122 m

Persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat di (1, -2) dan jari-

jari 3r dengan gradien5

12m adalah :

2

5

1213)1(

5

12)2(

xy

25

14413)1(

5

122 xy

25

144253)1(

5

122

xy

25

1693)1(

5

122 xy

25

1693)1(

5

122 xy

5

13.3

5

12122

xy


5

39

5

12122

xy

5

3912122

xy

391212)2(5 xy391212105 xy391012125 xy

392125 xy392125 xy dan 392125 xy

41125 xy 37125 xy041512 yx 037512 yx

Jawaban : a2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) serta menyinggung garis

0243 yx adalah .... UAN 2005

a. 024322 yxyx

b. 036422 yxyx

c. 088222 yxyx

d. 088222 yxyx

e. 068222 yxyxPenyelesaian :

2

4

3

0

0243

C

B

A

CByAx

yx

Persamaan lingkaran berpusat (1,4) dan menyinggung garis0243 yx maka jari-jarinya dapat diperoleh dengan cara :

r =22 )4()3(

)2()4)(4()1)(3(

=169

2163


=25

15

=5

15

= 3= 3

Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan berjari-jari r adalah :222 3)4()1( yx

916812 22 yyxx

09178222 yxyx

088222 yxyxJawaban : d

3. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 2522 yx yang tegaklurus garis 032 xy adalah .... UAN 2005

a. 52

5

2

1 xy

b. 52

5

2

1 xy

c. 552 xy

d. 552 xy

e. 552 xyPenyelesaian :

5

25

25

2

22

222

r

r

yx

ryx

032 xy32 xy

2

3

xy


)3(2

1 xy

2

11 m

Karena tegak lurus maka 121 mm

12

1

mm

2

11

2

m

1

212 m

22 mPersamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (0,0), berjari-jari 5dan bergradien – 2 adalah :

2)2(152 xy

4152 xy

552 xy

552 xy dan 552 xy

Karena salah satu, maka yang dipilih adalah 552 xyJawaban : d

4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran01216622 yxyx dititik yang berabsis 5 adalah .... UAN 2006

a. 01992 yxb. 01392 yxc. 01994 yxd. 01326 yxe. 01926 yxPenyelesaian :Berabsis 5 artinya x = 5


Substitusi 5x ke dalam persamaan 01216622 yxyxmaka :

01216)5(6)5( 22 yy

012163025 2 yy

0123025162 yy

017162 yy ... x ... = - 170)1)(17( yy ... + ... = 16

17y atau 1yUntuk 5x dan 17y maka koordinat titiknya adalah (5, - 17)

Persamaan garis singgung lingkaran 01216622 yxyx danmelalui )17,5( adalah :

012)17(2

16)5(

2

6175

yxyx

012)17(8)5(3175 yxyx012568153175 yxyx

08381735 yyxx08392 yx

Untuk 5x dan 1y maka koordinat titiknya adalah (5, 1)

Persamaan garis singgung lingkaran 01216622 yxyx dan

melalui )1,5( adalah : 012)1(2

16)5(

2

65

yxyx

012)1(8)5(35 yxyx012881535 yxyx012815835 yyxx

01992 yxKarena salah satu, maka yang dipilih adalah 01992 yxJawaban : a


5. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 02 yxserta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y negatif adalah .... UAN2006a. 0122 yxyx

b. 0122 yxyx

c. 012222 yxyx

d. 012222 yxyx

e. 012222 yxyxPenyelesaian :

Menyinggung x positif dan y negatif maka yx atau 0 yx...............1)

02 yx atau 2 yx ................ 2)Pusat dari lingkaran terletak pada titik potong garis 2 yx dan

0 yxdari 1) dan 2) diperoleh :

2 yx0 yx +

2x = 2

02 yx

y

x0

●

0 yx

1

- 1

2

- 2


2

2x

1xSubstitusi 1x kedalam salah satu persamaan akan diperoleh :

21 y12 y

1 y1y

Jadi pusatnya adalah (1, - 1) dan karena jarak dari titik pusat ke sumbu xmaupun y adalah 1 maka jari-jari lingkaran tersebut r = 1, Jadi persamaanlingkarannya adalah : 222 1))1(()1( yx

1)1()1( 22 yx

11212 22 yyxx

122222 yxyx

012222 yxyxJawaban : e

6. Persamaan garis singgung pada lingkaran 022222 yxyxyang sejajar dengan garis 2 xy adalah .... UAN 2007.B

a. 22 xy

b. 32 xy

c. 52 xy

d. 5 xy

e. 53 xyPenyelesaian :

2

2

2

0

022222

22

C

B

A

CByAxyx

yxyx

Pusatnya : p =

2

2,

2

)2(


=

2

2,

2

2

= )1,1(

Jari-jari : r )2()1()1( 22

211 4

2Sejajar garis 2 xy makam = -1Karena // maka 121 mmPersamaan garis singgung yang bergradien m = -1, berjari-jari r = 2 danberpusat pada (1, -1) adalah :

2)1(12)1(1)1( xy

112)1(1 xy

2211 xy

2211 xy

22 xyJawaban : a

7. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran13)1()2( 22 yx dititik yang berabsis -1 adalah .... UAN 2007. A

a. 0323 yxb. 0523 yxc. 0923 yxd. 0923 yxe. 0523 yxPenyelesaian :Persamaan lingkaran 13)1()2( 22 yx , maka pusatnya (2, -1) dan

132 rBerabsis – 1 artinya x = - 1, substitusi x = - 1 ke dalam persamaanlingkaran 13)1()2( 22 yx maka akan diperoleh :


13)1()21( 22 y

1312)3( 22 yy

013129 2 yy

0131922 yy

0322 yy ... x ... = -30)1)(3( yy ... + ... = 2

3y atau 1yKoordinat titiknya adalah (-1, -3) dan (-1,1) maka : Persamaan garis singgung yang berpusat di (2, -1), berjari-jari r dan

melalui (-1, -3) adalah :13))1(3))(1(()21)(2( yx

13)2)(1()3)(2( yx13)1(2)2(3 yx

132263 yx0132623 yx

0923 yx jika persamaannya dikali dengan -1 maka :0923 yx

Persamaan garis singgung yang berpusat di (2, -1), berjari-jari r danmelalui tititk (-1, 1) adalah :

13))1(1))(1(()21)(2( yx13)11)(1()3)(2( yx

13)1(2)2(3 yx0132263 yx0132623 yx

0523 yx jika persamaannya dikali dengan -1 maka0523 yx

Karena salah satu maka yang dipilih adalah 0923 yxJawaban : d


8. Persamaan garis singgung melalui titik (2, 3) pada lingkaran 1322 yxadalah .... UAN 2008a. 1332 yxb. 1332 yxc. 1332 yxd. 1323 yxe. 1323 yxPenyelesaian :Persamaan lingkaran 1322 yx berpusat di (0,0) dan berjari-jari

132 r , maka persamaan garis singgung yang berpusat di (0,0), berjari-jari r dan melelui titik (2, 3) adalah : 2

11 ryyxx 13)3()2( yx

1332 yxJawaban : c

9. Diketahui titik A(-7, 4) dan B(3, 2). Jika titik A dan B ujung-ujung diameterlingkaran, maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....a. 0136422 yxyx

b. 0136422 yxyx

c. 0696422 yxyx

d. 0696422 yxyx

e. 0136422 yxyxPenyelesaian :Ilustrasi :

-7 0

2x

y

4

3

-2

1

5

3

(3, 2)

(-7, 4)


Pusatnya : =

2

24,

2

37

=

2

6,

2

4

= (- 2, 3)Jari-jarinya adalah : r

r2 = 22 15 = 25 + 1= 26

sehingga persamaan lingkarannya adalah :26)3()2( 22 yx

0269644 22 yyxx

0136422 yxyxJawaban : e


1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 4) dengan pusat (- 4, 1) adalah....a. 0412822 yxyx

b. 0412822 yxyx

c. 0412822 yxyx

d. 0412822 yxyx

e. 0412822 yxyx2. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan menyinggung garis

082 yx adalah ....

a. 04222 yxyx

b. 04222 yxyx

c. 04222 yxyx

d. 04222 yxyx

e. 0222 yxyx

3. Persamaan garis singgung di titik (-3, 1) pada lingkaran 1022 yxadalah ....a. 103 xyb. 103 xyc. 103 xyd. 103 xy

e. 10 xy

LATIHAN MANDIRI


4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran0516422 yxyx yang tegak lurus garis 01234 yx

adalah ....a. 02243 yxb. 02843 yxc. 03443 yxd. 04643 yxe. 05843 yx

5. Persamaan garis singgung pada lingkaran 01361222 yxyxdan melalui titik A(-2, -1) adalah ....a. 052 yxb. 01 yxc. 042 yxd. 0423 yxe. 032 yx

135 Program linier

7. Program LinierA. Pertidaksamaan linierLangkah-langkah menggambar grafik pertiksamaan linier : Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x dan sumbu y Melukis koordinat titik-titik tersebut pada bidang kartesius Menghubungkan titik-titik tersebut Mencari daerah yang memenuhi dengan titik uji

Contoh-contoh soal:1. Daerah penyelesaian dari 2 yx adalah ....

Penyelesaian :Pembuat nol fungsi 2 yx Titik potong sumbu x , maka 0y

20 x2x

Titik potong sumbu y , maka 0x20 y

2yMaka grafiknya adalah :

2

2

x

y

MATERI

136 Program linier

Untuk menentukan daerah penyelesaiannya digunakan titik uji :Titik uji (0, 0) → 200

20 memenuhiTitik uji (3, 4) → 243

27 tidak memenuhiJadi yang merupakan daerah penyelesaiannya adalah daerah di bawahgaris 2 yx seperti daerah yang diarsir pada gambar di atas

2. Daerah penyelesaian dari 2 yx adalah ....Penyelesaian :Pembuat nol fungsi 2 yx Titik potong sumbu x , maka 0y

20 x2x




20 tidak memenuhiTitik uji (3, 4) → 243

27 memenuhi

2

2

x

y

137 Program linier

Jadi yang merupakan daerah penyelesaiannya adalah daerah di atas garis2 yx seperti daerah yang diarsir pada gambar di atas

B. Program linier Program linier adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum

suatu bentuk linear(bentuk atau fungsi objektif atau fungsi tujuan)pada daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaanlinier.

Nilai optimal tersebut dapat ditentukan dengan cara:1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan linear.2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut.3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut

tersebut.

Catatan : dari kedua gambar di atas maka dapat disimpulkan bahwadaerah yang memenuhi untuk pertidaksamaan yang berbentuk daerahyang arahnya ke kanan dan ke atas sedangkan untuk bentuk daerahyang memenuuhi arahnya ke kiri dan ke bawah

138 Program linier

1. Daerah penyelesaian dari 2 yx , dengan syarat 0,0 yx adalah....Penyelesaian :Pembuat nol fungsi 2 yx Titik potong sumbu x , maka 0y

20 x2x




20 memenuhiTitik uji (3, 4) → 243

27 tidak memenuhiKarena syarat 0,0 yx , maka daerah penyelesaiannya adalahdaerah dibawah garis 2 yx dan dibatasi hanya pada kuadran I,seperti daerah yang diarsir pada gambar di atas

2

2

x

y


139 Program linier

2. Bentuk pertidaksamaan linier dari daerah yang arsir pada grafik di bawahini adalah ....

Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah qp, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx ,sedangkan pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yang diarsir(daerah penyelesaiannya) titik uji yang memenuhi.

Sesuai dengan rumusan pqpyqx maka pertidaksamaan grafik diatas adalah 3284 yx , sedangkan tanda karena daerah yangdiarsir berada di bagian kiri grafik, serta batasan 0x dan 0y karenadaerah penyelesaiannya hanya berada pada kuadran I.

4

8x

y

4

8x

y

q

p

140 Program linier

3. Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan linier ....

a. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0yb. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0yc. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0yd. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0ye. 82 yx , 1223 yx , 0x , 0yPenyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah srqp ,,, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx atau rsrysx , pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yangdiarsir (daerah penyelesaiannya).

4

4

6

8x

y

4

4

6

8x

y

p

q

r

s

141 Program linier

Sesuai dengan rumusannya maka pertidaksamaan garis pq adalah2446 yx atau disederhanakan menjadi 1223 yx , sedangkan

tanda karena daerah yang diarsir berada di bagian kiri grafik.Pertidaksamaan garis rs adalah 3284 yx atau disederhanakanmenjadi 82 yx , sedangkan tanda karena daerah yang diarsirberada di bagian kiri grafik. Dan dengan syarat 0,0 yx , sehinggabentuk sistem pertidaksamaan linier dari grafik di atas adalah :

82 yx1223 yx

0,0 yxJawaban : b

4. Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan linier ....

a. 70107 yx , 1648 yx , 0x , 0yb. 70107 yx , 82 yx , 0x , 0yc. 70107 yx , 82 yx , 0x , 0yd. 70107 yx , 82 yx , 0x , 0ye. 70107 yx , 1648 yx , 0x , 0yPenyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah srqp ,,, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx

4

7

8

10

x

y

142 Program linier

atau rsrysx , pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yangdiarsir (daerah penyelesaiannya). Serta batasan 0x dan 0y karenadaerah penyelesaian dari program linier hanya berada pada kuadran I.

Sesuai dengan rumusannya maka pertidaksamaan garis pq adalah3248 yx atau disederhanakan menjadi 82 yx , sedangkan

tanda karena daerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik,Pertidaksamaan garis rs adalah 70107 yx , sedangkan tanda karena daerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik, dan dengansyarat 0,0 yx , sehingga bentuk sistem pertidaksamaan linier darigrafik di atas adalah :

82 yx70107 yx0,0 yx

Jawaban : b5. Nilai minimum fungsi objektif yx 105 pada himpunan penyelesaian

sistem pertidaksamaan linier yang grafik himpunan penyelesaiannyadisajikan pada daerah terarsir gambar di bawah ini adalah ....a. 160b. 200c. 240d. 320e. 400

p

q

r

s

4

7

8

10

x

y

143 Program linier

Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah utsrqp ,,,,, seperti terlihat pada gambar di bawah ini makauntuk membentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan

pqpyqx , rsrysx , dan tutyux . pertidaksamaannyaditentukan dari daerah yang diarsir (daerah penyelesaiannya).

x

y

32

24

16

16 36 48

x

y

32

24

16

16 36 48

p

q

r

s

t

u

●

●

●

●

b

a (6, 20)

(24, 8)

(0, 32)

(48, 0)

144 Program linier

Sesuai dengan rumusannya maka pertidaksamaan garis pq adalah5121632 yx atau disederhanakan menjadi 322 yx ,

sedangkan tanda karena daerah yang diarsir berada di bagian kanangrafik, Pertidaksamaan garis rs adalah 8643624 yx atau bisadisederhanakan menjadi 7232 yx sedangkan tanda karenadaerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik, Pertidaksamaan garistu adalah 7684816 yx atau bisa disederhanakan menjadi

483 yx sedangkan tanda karena daerah yang diarsir berada dibagian kanan grafik, dan dengan syarat 0,0 yx , sehingga bentuksistem pertidaksamaan linier dari grafik di atas adalah :

322 yx7232 yx

483 yx0,0 yx

Titik yang perlu diuji adalah titik q, a, b, t, untuk titik q (0, 32), titik t (48,0), untuk titik a adalah perpotongan garis 322 yx dengan garis

7232 yx , maka titik a dapat diperoleh dengan eliminasi x diperolehdan substitusi y ke dalam salah satu persamaan diperoleh

7232

322

yx

yx

402 y20y

Substitusi 20y ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh32202 x

122 x6x , sehingga titik a (6, 20)

untuk titik b adalah perpotongan garis 7232 yx dengan garis483 yx , maka titik b dapat diperoleh dengan eliminasi y diperoleh

dan substitusi x ke dalam salah satu persamaan diperoleh

483

7232

yx

yx

145 Program linier

24xSubstitusi 24x ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh

48324 y243 y

8y , sehingga titik b (24, 8)Titik uji q (0, 32) )32(10)0(5 = 320

t (48,0) )0(10)48(5 = 240a (6, 20) )20(10)6(5 = 230b (24, 8) )8(10)24(5 = 200

Jadi nilai minimumnya adalah 200Jawaban : b

6. Nilai maksimum dari bentuk objektif k = 3x+ 4y, yang memenuhi sistempertidaksamaan : 112 yx

102 yx0x , 0y

Dengan Ryx , adalah .... UAN 2003a. 36b. 32c. 30d. 27e. 24Penyelesaian :Pembuat nol fungsiGrafik persamaan 112 yx Titik potong sumbu x, y = 0

1102 x

2

11x koordinat titiknya adalah

0,

2

11

Titik potong sumbu y, x = 011)0(2 y

110 y11y koordinat titiknya adalah (0, 11)

146 Program linier

Grafik persamaan 102 yx Titik potong sumbu x, y = 0

100 x10x koordinat titiknya adalah (10, 0)

Titik potong sumbu y, x = 01020 y

102 y5y koordinat titiknya adalah (0, 5)

Titik a dapat ditentukan dengan mencari titik potong antara grafik112 yx dan 102 yx caranya eliminasi x diperoleh :

2042

112

2

1

102

112

yx

yx

yx

yx

93 y3y

substitusi 3y ke dalam salah satu persamaan di atas akan diproleh :1132 x

82 x4x jadi koordinat a (4, 3)

Fungsi objektif k = 3x+ 4yTitik uji (0,5) )5(4)0(3 k

200 20

11/2

5

11

10x

y

a (4,3)

(0,5)

(11/2, 0)

147 Program linier

Titik uji (4, 3) )3(4)4(3 k1212

24Titik uji (11/2, 0) )0(4)2/11(3 k

2/33

2

116

Jadi nilai optimumnya adalah 24Jawaban : e

7. Dengan persediaan kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter,seorang penjahit akan membuat 2 model pakayan jadi. Model Imemerlukan 1 meter kain polos dan 1, 5 meter kain bergaris. Model IImemerlukan 2 meter kain polos dan 0,5 kain bergaris. Bila pakayantersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp.15.000,00 danmodel II memperoleh untung Rp.10.000,00. Laba maksimum y diperolehadalah sebanyak .... UAN 2004a. Rp.100.000,00b. Rp.140.000,00c. Rp.160.000,00d. Rp.200.000,00e. Rp.300.000,00Penyelesaian :Untuk mempermudah membuat model matematikanya maka digunakantabel sebagai berikut :

Kain Polos (m) Bergaris (m)Model I (x) 1 1, 5Model II (y) 2 0, 5Persediaan 20 10

Model matematikanya adalah :202 yx

105,05,1 yx0,0 yx

Dengan fungsi tujuan : Maksimumkan laba yxz 000.10000.15 Pembuat nol fungsi :

148 Program linier

Untuk persamaan 202 yx Titik potong sumbu x, y = 0

20)0(2 x200 x

20x jadi koordinat titiknya (20, 0) Titik potong sumbu y, x = 0

2020 y202 y

10y jadi koordinat titiknya (0, 10)Untuk persamaan 105,05,1 yx Titik potong sumbu x, y = 0

10)0(5,05,1 x1005,1 x

105,1 x

1010

15x

10015 x

15

100x

3

20x jadi koordinat titiknya

0,

3

20

Titik potong sumbu y, x = 0105,0)0(5,1 y

105,00 y105,0 y

1010

5y

1005 y20y jadi koordinat titiknya (0, 20)

149 Program linier

Grafiknya adalah :

Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 202 yx dan105,05,1 yx

202 yx

105,05,1 yx 1010

5

10

15 yx 10

2

1

2

3 yx persamaannya

dikali 2203 yx

Dari dua persamaan jika di eliminasi y akan diperoleh :

4026

202

2

1

203

202

yx

yx

yx

yx

205 x4x

Substitusi 4x pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh :2024 y

162 y8y Jadi koordinat titiknya adalah (4, 8)

Sehingga titik ujinya adalah (0,10), (20/3, 0), (4, 8)Titik – titik uji :Untuk (0, 10) )10(000.10)0(000.15 z

000.1000 000.100

20/3

10

20

20x

y

a (4,8)

(0,10)

(20/3, 0)

150 Program linier

Untuk (4, 8) )8(000.10)4(000.15 z000.80000.60

000.140Untuk (20/3, 0) )0(000.10)3/20(000.15 z

)20(5000000.10

Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.140.000,00Jawaban : b

8. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untukrumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B 75 m2. Jumlah rumah yangdibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalahRp.6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp.4.000.000,00/unit.Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumahtersebut adalah .... UAN 2005a. Rp.550.000.000,00b. Rp.600.000.000,00c. Rp.700.000.000,00d. Rp.800.000.000,00e. Rp.900.000.000,00Penyelesaian :

Rumah Luas tanah (m2) UnitTipe I (x) 100 1Tipe II (y) 75 1Persediaan 10.000 125

Sehingga model matematikanya adalah :000.1075100 yx 40034 yx

125 yx0,0 yx

Dengan fungsi tujuan memaksimumkan labayxz 000.000.4000.000.6

Pembuat nol fingsi :Untuk persamaan 40034 yx Titik potong sumbu x, y = 0

400)0(34 x

151 Program linier

40004 x4004 x

100x Jadi koordinat titiknya adalah (100, 0) Titik potong sumbu y, x = 0

4003)0(4 y40030 y

4003 y

3

400y Jadi koordinat titiknya adalah

3

400,0


1250 x125x Jadi koordinat titiknya adalah (125, 0)


125y Jadi koordinat titiknya adalah (0, 125)Grafiknya adalah :

Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 125 yx dan40034 yx

125

125

400/3

x

y

a(25, 100)

(100, 0)100

(0, 125)

152 Program linier

Dari dua persamaan jika di eliminasi x akan diperoleh :

40034

50044

1

4

40034

125

yx

yx

yx

yx

100ySubstitusi 100y pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh :


Sehingga titik ujinya adalah (0,125), (25, 100), (100, 0)Titik – titik uji :Untuk (0,125) )125(000.000.4)0(000.000.6 z

000.000.5000 000.000.500

Untuk (25,100) )100(000.000.4)25(000.000.6 z000.000.400000.000.150

000.000.550Untuk (100, 0) )0(000.000.4)100(000.000.6 z

0000.000.600 000.000.600

Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.600.000.000,00Jawaban : b

9. Seorang pedagangan minuman memiliki modal Rp.200.000,00. Iaberencana membeli 2 jenis minuman. Minuman A dibeli dengan hargaRp.6000,00 perbotol dan dijual dengan untung Rp.500,00 perbotol,minuman B dibeli dengan harga Rp.8000,00 perbotol dan dijual denganuntung Rp.1.000,00 perbotol. Bila tempatnya hanya bisa menampung 30botol, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah .... UAN2007.Ba. Rp.30.000,00b. Rp.25.000,00c. Rp.20.000,00d. Rp.16.000,00e. Rp.15.000,00

153 Program linier

Penyelesaian :Minuman Harga Tempat

Jenis A (x) 6.000 1Jenis B (y) 8.000 1Persediaan 200.000 30

Model matematikanya adalah :000.200000.8000.6 yx 10043 yx

30 yx0,0 yx

Dengan fungsi tujuan maksimumkan laba : yxz 1000500 Pembuat nol fungsi :Untuk persamaan 10043 yx Titik potong sumbu x, y = 0

100)0(43 x10003 x

1003 x

3

100x jadi koordinat titiknya 0,

3

100


10040 y1004 y

25y jadi koordinat titiknya (0, 25)Untuk persamaan 30 yx Titik potong sumbu x, y = 0

300 x30x jadi koordinat titiknya (30, 0)


30y jadi koordinat titiknya (0, 30)

154 Program linier

Grafiknya adalah :



9033

10043

4

1

30

10043

yx

yx

yx

yx

10ySubstitusi 10y pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh


Sehingga titik ujinya adalah (0,25), (20, 10), (30, 0)Titik – titik uji :Untuk (0, 25) )25(000.1)0(500 z

000.250 000.25

Untuk (20, 10) )10(000.1)20(500 z000.10000.10

000.20Untuk (30, 0) )0(000.1)30(500 z

0000.15 000.15

30

(0,25)

(20, 10)

30 100/3

(30, 0)

25

a

155 Program linier


10. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kilogram gula dan 9 kilogram tepung.Untuk membuat sebuah kue jenis A, dibutuhkan 20 gram gula dan 60gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B, dibutuhkan20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan hargaRp.4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp.3.000,00/buah, makapendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue terebutadalah .... UAN 2008. Aa. Rp.600.000,00b. Rp.650.000,00c. Rp.700.000,00d. Rp.750.000,00e. Rp.800.000,00

Penyelesaian :Karena 1 kg = 1.000 gr maka :

Kue Gula TepungJenis A (x) 20 60Jenis B (y) 20 40Persediaan 4.000 9.000

Model matematikanya adalah :000.42020 yx 200 yx000.94060 yx 45023 yx

0,0 yxDengan fungsi tujuan maksimumkan laba : yxz 30004000 Pembuat nol fungsi :Untuk persamaan 200 yx Titik potong sumbu x, y = 0



200y jadi koordinat titiknya (0, 200)

156 Program linier


450)0(23 x45003 x



45020 y4502 y

225y Jadi koordinat titiknya (0, 225)Grafiknya adalah :


Dari dua persamaan jika di eliminasi y akan diperoleh :

45023

40022

1

2

45023

200

yx

yx

yx

yx

50 x50x

Substitusi 50x pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh

225

(0, 200)

(50, 150)

150 200

200

(150, 0)

a

157 Program linier

20050 y150y Jadi koordinat titiknya adalah (50, 150)

Sehingga titik ujinya adalah (0,200), (50, 150), (150, 0)Titik – titik uji :Untuk (0,200) )200(3000)0(4000 z

000.6000 000.600

Untuk (50, 150) )150(3000)50(4000 z000.450000.200

000.650Untuk (150, 0) )0(3000)150(4000 z

0000.600 000.600


11. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 danmobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan.Biaya parkir mobil kecil Rp.1000,00/jam dan mobil besar Rp.2000,00/jam.Jika dalam 1 jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dandatang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah .... UAN 2007a. Rp.176.000,00b. Rp.200.000,00c. Rp.260.000,00d. Rp.300.000,00e. Rp.340.000,00Penyelesaian :

Jenis Luas rata-rata Daya tampungMobil kecil (x) 4 1Mobil besar (y) 20 1Persediaan 1760 200

Model matematikanya adalah :1760204 yx 4405 yx

200 yx0,0 yx

158 Program linier

Dengan fungsi tujuan maksimumkan laba : yxz 20001000 Pembuat nol fungsi :Untuk persamaan 4405 yx Titik potong sumbu x, y = 0

440)0(5 x4400 x

440x jadi koordinat titiknya (440, 0) Titik potong sumbu y, x = 0

44050 y4405 y

88y jadi koordinat titiknya (0, 88)Untuk persamaan 200 yx Titik potong sumbu x, y = 0



200y Jadi koordinat titiknya (0, 200)Grafiknya adalah :

88(0, 88)

(140, 60)

200 400

200

(200, 0)

a

159 Program linier



200

4405

yx

yx

2404 y60y

Substitusi 60y pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh :20060 x

140x Jadi koordinat titiknya adalah (140, 60)Sehingga titik ujinya adalah (0, 88), (140, 60), (200, 0)Titik – titik uji :Untuk (0, 88) )88(2000)0(1000 z

000.1760 000.176

Untuk (140, 60) )60(2000)140(1000 z000.120000.140

000.260Untuk (200, 0) )0(2000)200(1000 z

0000.200 000.200

Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.260.000,00Jawaban : c

160 Program linier

1.

Daerah yang diarsir pada gambar di atas menunjukkan penyelesaian darisistem pertidaksamaan linier :a. 0,0;1243;22 yxyxyxb. 0,0;1243;22 yxyxyxc. 0,0;1243;22 yxyxyxd. 0,0;1243;22 yxyxyxe. 0,0;1243;22 yxyxyx

2.Dari gambar di samping, daerah yangdiarsir menunjukkan penyelesaiandari suatu sistem petidaksamaan.Nilai maksimum dan minimum darifungsi objektif yxz 3 adalah ....a. 18 dan 0b. 18 dan 1c. 18 dan 3d. 18 dan 7e. 7 dan 3

2

1

4

3

y

x

0

1 6

3

y

x

0

LATIHAN MANDIRI

161 Program linier

3. Nilai minimum fungsi objektif yxyxf 23),( dari daerah yang diarsiradalah ....

a. 12b. 13c. 16d. 17e. 27

4. Nilai maksimum dari fungsi objektif yxz 500.4000.5 pada daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan linier

0,0;183;10 yxyxyx adalah ....a. 30.000b. 45.000c. 47.000d. 50.000e. 55.000

5. Nilai minimum 5128 yxz yang memenuhi sistem pertidaksamaanlinier berikut, dengan syarat 0,0;20;420 yxxyxyadalah ....a. 25b. 45c. 65d. 85e. 105

6 9

8

y

x

0

6

162 Program linier

6. Sebuah perusahaan pengembang ingin membangun perumahan di atastanah seluas 80 hektar. Jumlah rumah yang akan dibangun terdiri atasdua tipe rumah, yaitu tipe melati dan mawar dengan masing-masing luastanah 200m2 dan 100m2. Banyak rumah yang akan dibangun tidak lebihdari 5.000 buah. Jika banyak rumah tipe melati x dan tipe mawar y buah,maka x dan y harus memenuhi syarat-syarat :a. 0,0;000.800100200;000.5 yxyxyxb. 0,0;000.800100200;000.5 yxyxyxc. 0,0;000.800200100;000.5 yxyxyxd. 0,0;000.800200100;000.5 yxyxyxe. 0,0;000.800100200;000.5 yxyxyx

7. Seorang pedagang sepeda hendak membeli 2 jenis sepeda dengan hargamasing-masing Rp.30.000,00 untuk jenis I perbuahnya dan Rp.40.000,00untuk jenis II perbuahnya. Modal yang tersedia sebesar Rp.840.000,00dan daya tampung tokonya tak lebih dari 25 buah sepeda. Apabila iamengharapkan keuntungan sebesar Rp.12.500,00 dan Rp.13.000,00untuk tiap jenis perbuahnya maka keuntungan maksimal akan tercapaiapabila ia membeli sepeda jenis I dan jenis II berturut-turut sebanyak ....a. 9 dan 16b. 15 dan 10c. 10 dan 10d. 16 dan 9e. 13 dan 12

8. Sebuah pesawat udara mempunyai 50 buah tempat duduk. Setiappenumpang kelas utama bagasinya maksimum 40 kg dan setiappenumpang kelas ekonomi bagasinya maksimum 20 kg. Pesawat ituhanya dapat membawa bagasi yang beratnya 1.200 kg. Jika tiket untuksetiap penumpang kelas utama Rp.400.000,00 dan untuk kelas ekonomiRp.300.000,00. pendapatan maksimum untuk satu kali penerbanganadalah ....a. Rp.20.000.000,00b. Rp.16.000.000,00c. Rp.15.000.000,00d. Rp.14.000.000,00e. Rp.12.000.000,00

163 Program linier

9. Harga tiket bus jakarta – bogor untuk kelas ekonomi Rp.25.000,00 dankelas eksklusif Rp.65.000,00. Jika dari 200 tiket yang terjual diperolehuang Rp.9.600,00, maka banyaknya penumpang kelas ekonomi daneksklusif masing-masing adalah ....a. 75 orang dan 125 orangb. 80 orang dan 120 orangc. 85 orang dan 115 orangd. 110 orang dan 90 orange. 115 orang dan 85 orang

10. Seorang pedagang membeli jeruk seharga Rp.1.200,00/buah dijualdengan laba Rp.300,00/buah. Sedangkan apel seharga Rp.1000,00/buahdijual dengan laba Rp.200,00/buah. Pedagang tersebut mampunyaimodal Rp.340.000,00 dan kiosnya dapat menampung 300 buah, makakeuntungan maksimum pedagang tersebut adalah ....a. Rp.75.000,00b. Rp.78.000,00c. Rp.80.000,00d. Rp.83.000,00e. Rp.85.000,00

106 Suku banyak

5. Suku banyak1. Bentuk umum suku banyak :

012

21

1 ... axaxaxaxa nn

nn

nn

Dengan : a = konstantan = bilangan cacah

suku banyak sering dinyatakan dengan )(xf atau )(xpContoh :1. Diketahui suku banyak 76325)( 23456 xxxxxxxf ,

maka nilai 1, nn aa , ... , 01 , aa adalah ....Penyelesaian :Karena 6x maka dimulai dari 6a sampai 0a :

56 a , 25 a , 34 a , 13 a , 12 a , 61 a , 70 a

2. Diketahui suku banyak 53)( 235 xxxxf , maka nilai

1, nn aa , ... , 01 , aa adalah ....Penyelesaian :Karena 5x maka dimulai dari 5a sampai 0a :

15 a , 04 a , 33 a , 12 a , 01 a , 50 a2. Menentukan hasil bagi dan sisa dari suku banyak dapat dilakukan dengan

pembagian berekor atau bisa juga dengan metode Hörner.Jika suku banyak )(xf dibagi dengan )( ax maka a merupakanpembagi untuk metode Hörner, dan jika )(xf dibagi oleh pembagiberderajat nmaka sisanya berdejat n – 1

MATERI

107 Suku banyak

3. Teorema sisaJika suku banyak )(xf dibagi dengan )( ax maka sisanya adalah

)(af , sehingga suku banyak bisa ditulis dalam bentukSxHaxxf )(.)()( .

Dengan : )( ax = Pembagi)(xH = Hasil bagi

S = Sisa pembagian, dimana qpxafS )(4. Teorema faktor

Suku banyak )(xf mempunyai faktor )( ax jika dan hanya jika0)( af

108 Suku banyak

1. Hasil bagi dan sisa dari suku banyak 424)( 23 xxxxf jikadibagi 1x adalah ....Penyelesaian :Cara I :

Jadi hasil baginya adalah 352 xx dan sisanya adalah 7Cara II :

Jadi hasil pembagiannya adalah 352 xx bersisa 7Buktikan bahwa 7)1( f

1x

352 xx

424 23 xxx23 xx

425 2 xxxx 55 2

_

_

_

43 x33 x

7

yang dibagi

sisa

hasil bagi

pembagi

11 4 -2 4

1 5 3

751 3

x3x2 x1 x0

x2 x1 x0


109 Suku banyak

2. Suku banyak 653)( 234 xxxxxf jika dibagi oleh 22 xx ,sisanya adalah .... UAN 2004a. 816 xb. 816 xc. 168 xd. 168 xe. 248 xPenyelesaian :

Jadi sisa pembagian suku banyak adalah 168 xAtau bisa juga dengan teorema sisa :Misalkan 653)( 234 xxxxxf jika dibagi oleh 22 xxsisanya adalah qpx maka :

22 xx = )2)(1( xxUntuk )1( x → qpf )1(

qp 61)1(5)1(3)1( 234

qp 71531qp 8 ..................................... 1)

Untuk )2( x → qpf 2)2(

qp 262)2(5)2(3)2( 234

qp 24202416qp 232 ..................................... 2)

Dari 1) dan 2) eliminasi q

22 xx

522 xx

653 234 xxxx234 2xxx

632 23 xxxxxx 422 23

_

_

_635 2 xx1055 2 xx168 x

110 Suku banyak

qp

qp

232

8

p324

p

3

24

p 8Substitusi p = - 8 ke dalam salah satu persamaan di atas :

q )8(8q 88q 88

q16Karena dimisalkan qpx , dan p = - 8 , q = - 16 maka sisanya adalah

168 xJawaban : d

3. Suatu suku banyak bila dibagi )2( x bersisa 11, dan bila dibagi oleh

)1( x bersisa – 4. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh 22 xxbersisa .... UAN 2003a. 5xb. 5xc. 215 xd. 15 xe. 15 xPenyelesaian :

)(xf dibagi )2( x bersisa 11 → 11)2( f)(xf dibagi )1( x bersisa – 4 → 4)1( f

Misalkan : )(xf dibagi 22 xx bersisa qpx )2)(1(22 xxxx

Untuk )1( x → qpf )1(qp 4 .......................................... 1)

Untuk )2( x → qpf 2)2(qp 211 ........................................... 2)

111 Suku banyak

Dari 1) dan 2) eliminasi q

qp

qp

211

4

p315

p

3

15

p5Substitusi p = 5 ke dalam salah satu persamaan di atas :

q 54q 54

q1Karena dimisalkan qpx , dan p = 5 , q = 1 maka sisanya adalah 15 xJawaban : d

4. Suatu suku banyak )(xf dibagi dengan )4( x sisanya 14, dan dibagi

dengan )36( x sisanya2

13 . Jika suku banyak tersebut dibagi dengan

)12276( 2 xx maka sisanya adalah .... UAN 2007. Ba. 23 xb. 263 xc. 65 xd. 65 xe. 345 xPenyelesaian :

)(xf dibagi )4( x sisanya 14 → 14)4( f

)(xf dibagi )36( x sisanya2

13 →

2

13

6

3

f

2

7

2

1

f

)(xf dibagi )12276( 2 xx sisa qpx 12276 2 xx ... x ... = 72

123246 2 xxx ... + ... = 27

112 Suku banyak

)123()246( 2 xxx)4(3)4(6 xxx

)4)(36( xx

Untuk )36( x → qpf

6

3

6

3

qpf

2

1

2

1

qp 2

1

2

7persamaan dikalikan dengan 2

qp 27 ....................................... 1)Untuk )4( x → qpf 4)4(

qp 414 ....................................... 2)Dari 1) dan 2) eliminasi q

qp

qp

qp

qp

2828

27

2

1

414

27

p735

p

7

35

p 5Substitusi p 5 ke dalam salah satu persamaan di atas

q2)5(7 q257 q257

q212

q

2

12

q 6Karena dimisalkan qpx , dan p = - 5 , q = - 6 maka sisanya adalah

65 xJawaban : d

113 Suku banyak

5. Jika )(xf dibagi dengan )2( x sisanya 24, sedangkan jika )(xf dibagidengan )32( x sisanya 20. Jika )(xf dibagi dengan )32)(2( xxsisanya adalah .... UAN 2007. Aa. 88 xb. 88 xc. 88 xd. 88 xe. 68 xPenyelesaian :

)(xf dibagi )2( x sisanya 24 → 24)2( f

)(xf dibagi )32( x sisanya 20 → 202

3

f

)(xf dibagi )32)(2( xx sisanya qpx Untuk )2( x → qpf 2)2(

qp 224 ......................................... 1)

Untuk )32( x → qpf

2

3

2

3

qp 2

320 persamaan dikalikan dengan 2

qp 2340 ........................................ 2)Dari 1) dan 2) eliminasi q

qp

qp

qp

qp

2340

2448

1

2

2340

224

p8Substitusi p8 ke dalam salah satu persamaan di atas

q )8(224q 1624q1624

q8Karena dimisalkan qpx , dan p = 8 , q = 8 maka sisanya adalah 88 xJawaban : a

114 Suku banyak

6. Jika suku banyak bxxaxxxf 532)( 234 dibagi oleh 12 xbersisa 56 x , maka nilai ..... baa. 4b. – 4c. 6d. – 6e. 5

Penyelesaian :)1(:)( 2 xxf bersisa 56 x

)1)(1(12 xxxUntuk )1( x → 5)1(6)1( f

56)1(5)1(3)1()1(2 234 ba15)1(3)1()1(2 ba

1532 ba16 ba

5 ba .................................. 1)Untuk )1( x → 5)1(6)1( f

56)1(5)1(3)1()1(2 234 ba115)1(3)1()1(2 ba

11532 ba114 ba

7 ba .................................. 2)Dari 1) dan 2) eliminasi bmaka

7

5

ba

ba

a2 21a

Substitusi 1a kedalam salah satu persamaan di atas akan diperoleh7 ba → 71 b

6b

115 Suku banyak

Maka nilai 6.1. ba= 6

Jawaban : c7. Salah satu faktor suku banyak 83011)( 23 xxxxp adalah

....UAN 2008. Ba. 1xb. 1xc. 2xd. 4xe. 8xPenyelesaian :Faktor suatu suku banyak ditentukan dari nilai 0a dimana jika )( ax merupakan faktor dari suku banyak )(xp , maka 0)( apFaktor dari 8 : 4,2,8,1

1x → )1(p = 0

8)1(30)1(11)1( 23 = 0830111 = 0

012 1x → )1(p = 0

8)1(30)1(11)1( 23 = 0830111 = 0

050 2x → )2(p = 0

8)2(30)2(11)2( 23 = 0860448 = 0

016 4x → )4(p = 0

8)4(30)4(11)4( 23 = 0812017664 = 0

00 8x → )8(p = 0

8)8(30)8(11)8( 23 = 0

116 Suku banyak

8240704512 = 0040

Jadi yang merupakan faktor adalah )4( xJawaban : d

8. Salah satu faktor suku banyak nxxxxp 1015)( 24 adalah)2( x . Faktor lainnya adalah .... UAN 2008. A

a. 4xb. 4xc. 6xd. 6xe. 8xPenyelesaian :Jika )2( x merupakan faktor dari )(xp , maka 0)2( p

0)2(10)2(15)2( 24 n0206016 n

024 n24n

Sehingga 241015)( 24 xxxxp maka faktornya ditentukan oleh2424 = 6,4,8,3,12,2,24,1

4x → )4(p = 0

24)4(10)4(15)4( 24 = 02440240256 = 0

00 4x → )4(p = 0

24)4(10)4(15)4( 24 = 02440240256 = 0

080 6x → )6(p = 0

24)6(10)6(15)6( 24 = 024605401296 = 0

0840

117 Suku banyak

6x → )6(p = 0

24)6(10)6(15)6( 24 = 024605401296 = 0

0720 8x → )8(p = 0

24)8(10)8(15)8( 24 = 024809604096 = 0

03080 Jadi )4( x merupakan faktor dari )(xpJawaban : a

9. Suku banyak abxxaxxp 2)1()( 23 habis dibagi )2( x ,dibagi )2( x sisanya – 4. Jika )(xp dibagi )1( x maka hasil bagi dansisanya berturut-turut adalah ....a. 8232 danxx b. 8232 danxx c. 8232 danxx d. 8232 danxx

e. 8232 danxxPenyelesaian :

)(xp habis dibagi )2( x artinya : )2( x merupakan faktor dari )(xpSehingga 0)2( p

02)2()2)(1()2( 23 aba022)1(48 aba

022448 aba0422 ba

422 ba2 ba ......................................... 1)

)2(:)( xxp bersisa – 4 maka 4)2( p

42)2()2)(1()2( 23 aba422)1(48 aba

118 Suku banyak

422448 aba41222 ba

1622 ba8 ba ...................................... 2)

Dari 1) dan 2) eliminasi a

8

2

ba

ba

b2 = 10b = - 5

Substitusi 5b kedalam salah satu persamaan di atas, maka akandiperoleh

8 ba85 a

3 a3a

Karena 3a dan 5b maka)3(2)5()13()( 23 xxxxp

652)( 23 xxxxpSehingga )(xp dibagi )1( x

Jadi hasil pembagiannya adalah 232 xx dan sisanya adalah – 8Jawaban : a

1x

232 xx

652 23 xxx23 xx

653 2 xxxx 33 2

_

_

_

62 x22 x

8

119 Suku banyak

1. Suku banyak )(xf jika dibagi )1( x sisanya 1, dan jika dibagi )23( x

sisanya – 2. Jika suku banyak )(xf dibagi 253 2 xx , maka sisanyaadalah ....a. 89 xb. 89 xc. 109 xd. 109 xe. 109 x

2. Sisa pembagian polinom )(xf oleh )12( x adalah – 1, dan bila dibagi

oleh )4( x bersisa 8. Sisa pembagian )(xf oleh )472( 2 xxadalah ....a. x3b. x2c. 23 xd. 32 xe. 32 x

3. Diketahui )1( x adalah faktor dari 35)1()( 23 xxpxxf .Nilai dari p adalah ....a. – 10b. – 3c. 4d. 8e. 10

4. Diketahui )1( x adalah faktor dari suku banyak

222)( 234 xpxxxxf , salah satu faktor lainnya adalah ....a. 2xb. 2xc. 1xd. 3xe. 3x

LATIHAN MANDIRI

120 Suku banyak

5. Suku banyak 2)( 23 bxaxxxf habis dibagi )1( x . Jika dibagioleh )2( x bersisa – 36, maka nilai .... baa. 5b. 6c. 7d. 8e. 9

6. Suatu suku banyak )(xf dibagi )2( x sisanya 3, dan jika dibagi

)4( 2 x sisanya )2( px . Nilai p yang tepat adalah ....a. – 3b. – 2c. – 1d. 1e. 2

116 Sistem persamaan linier

6. System Persamaan Linier (SPL)A. Penyelesaian SPL

1. Substitusi2. Eliminasi3. Determinan4. Matriks

B. Bentuk Umum SPL1. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

222

111

cybxa

cybxa

Dengan cba ,, merupakan konstantaContoh :1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier

823

2

yx

yxadalah

Penyelesaian :Cara Substitusi :

2 yx ..................... 1)823 yx ..................... 2)

Dari persamaan 2 yx → xy 2Substitusi y ke dalam pesamaan ke dua, diperoleh :

8)2(23 xx8243 xx

84 x4x

Substitusi nilai x kedalam persamaan xy 2 , diperoleh :42 y

2y

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 4,2

MATERI


Cara Eliminasi :2 yx ..................... 1)

823 yx ..................... 2)Dari 1) dan 2) eliminasi x, diperoleh :

823

633

1

3

823

2

yx

yx

yx

yx

y = 2Dari 1) dan 2) eliminasi y, diperoleh :

823

422

1

2

823

2

yx

yx

yx

yx

x = 4x = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 4,2Cara III : Gabungan antara Eliminasi dan substitusi

2 yx ..................... 1)823 yx ..................... 2)

Dari 1) dan 2) eliminasi y, diperoleh :

823

422

1

2

823

2

yx

yx

yx

yx

x = 4x = 4

Substitusi x = 4 ke dalam salah satu persamaan di atas,diperoleh :

2 yx24 y

2y

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 4,2

Catatan: ketiga cara yang dipergunakan ternyata yang lebih mudah adalahmenggabungkan metode eliminasi dan substitusi (cara III).


2. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Dengan dcba ,,, merupakan konstantaContoh :

1. Himpunan penyelesaian SPLTV

92

16323

2525

zyx

zyx

zyx

adalah

....Penyelesaian :

2525 zyx ................ 1)16323 zyx ................ 2)

92 zyx ............... 3)Dari 1) dan 2), eliminasi z , diperoleh

32646

756315

2

3

16323

2525

zyx

zyx

zyx

zyx

x21 y = 107 ........ 4)Karena 1) dan 2) eliminasi z maka 2) dan 3) juga harus yangdieliminasi adalah z. Dari 2) dan 3) eliminasi z, diperoleh :

27336

16323

3

1

92

16323

zyx

zyx

zyx

zyx

x9 y = 43 ........ 5)Dari 4) dan 5), eliminasi y, diperoleh :

439

10721

yx

yx

x30 = 1505x

+

+

+


Substitusi 5x ke dalam persamaan 4) atau 5). Dipilihpersamaan 5) diperoleh :

439 yx43)5(9 y

4345 y2 y

2ySubstitusi 5x dan 2y kedalam persamaan 1), 2) atau3). Dipilih persamaan 1) diperoleh :

2525 zyx2522)5(5 z

252225 z25223 z

22 z1z

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 1,2,53. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat (SPLK)

kuadratberbentukpersamaancxbxay

linierberbentukpersamaanbxay

222

22

111

Dengan cba ,, merupakan konstanta

0

0

22222

22

2

111

fyexdxycybxa

cybxa

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian SPLK

23

12 xxy

xyadalah ....

Penyelesaian :1 xy persamaan berbentuk linier

232 xxy persamaan berbentuk kuadrat


Substitusi persamaan berbentuk linier ke dalam persamaanberbentuk kuadrat, diperoleh :

231 2 xxx1230 2 xxx

340 2 xx atau0342 xx ... x ... = 3

0)3)(1( xx ... + ... = - 41x atau 3x

Substitusi 1x atau 3x ke dalam persamaan linier,diperoleh :Untuk 1x → 11y

0y → )0,1(Untuk 3x → 13y

2y → )2,3(

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 2,3,0,1

2. Himpunan penyelesaian SPLK

025

0122 yx

yxadalah ....

Penyelesaian :01 yx bentuk linier

02522 yx bentuk kuadrat implisitDari bentuk linier 01 yx → xy 1Substitusi xy 1 ke dalam persamaan kuadrat implisit,diperoleh :

025)1( 22 xx

02521 22 xxx0251222 xxx

02422 2 xx0122 xx ... x ... = - 12

0)4)(3( xx ... + ... = - 13x atau 4x


Substitusi nilai 3x atau 4x ke dalam persamaanlinier :Untuk 3x → )3(1 y

31y4y → )4,3(

Untuk 4x → 41y3y → )3,4(

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah )3,4(),4,3( 4. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)

222

22

112

11

cxbxay

cxbxay

Contoh :

Himpunan penyelesaian dari SPLKK

3

122

2

xxy

xyadalah ....

Penyelesaian :12 2

1 xy

322 xxy

Jika 21 yy maka, diperoleh :

312 22 xxx0312 22 xxx

022 xx ... x ... = - 20)1)(2( xx ... + ... = 1

2x atau 1xSubstitusikan nilai 2x atau 1x ke dalam salah satupersamaan kuadrat maka, akan diperoleh :Untuk 2x → 1)2(2 2 y

1)4(2 y18 y

9y → )9,2(


Untuk 1x→

1)1(2 2 y1)1(2 y

12 y3y → )3,1(

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah )3,1(),9,2(

1. Diketahui SPLDV

044

223

yx

yx. Nilai dari ....2 yx UAN 2003


044

446

1

2

044

223

yx

yx

yx

yx

x2 = 42x

Substitusi 2x ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh :22)2(3 y

226 y42 y

2ySehingga nilai yx 2 = )2(22

= 42 = 6

Jawaban : a

+



2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel :

211

0132

4111

yz

zyx

zyx

adalah .... UAN 2004

a. {2, 1, - 1}b. {- 2, 1, 1}

c.

1,1,

2

1

d.

1,1,

2

1

e.

1,1,

2

1

Penyelesaian :

4111

zyx........................ 1)

0132

zyx........................ 2)

211

yz........................ 3)

Misalkan :

ux

1

vy

1


wz

1

Maka sistem persamaannya dapat dirubah kedalam bentuk :

4111

zyx........................ 1)

011

.31

.2 zyx

........................ 2)

211

yz........................ 3)

Sehingga menjadi :4 wvu ........................ 1)

032 wvu ........................ 2)2 vw ........................ 3)

Karena pada persamaan 3) tidak ada variabel u maka pada persamaan 1)dan 2) perlu dieliminasi variabel u, maka dari 1) dan 2) diperoleh :

032

8222

1

2

032

4

wvu

wvu

wvu

wvu

wv 35 = 8 atauvw 53 = 8 ........... 4)

Dari 3) dan 4), eliminasi w diperoleh :

853

633

1

3

853

2

vw

vw

vw

vw

22 v1v

Substitusi v = 1 ke dalam salah satu persamaan di atas akan diperoleh :21 w

1wSubstitusi v = 1 dan 1w kedalam salah satu persamaan 1), 2) atau 3).Jika disubstitusi pada persamaan 1) maka akan diperoleh :

4)1(1 u42 u


2u

Karena dimisalkanx

u1 ,

yv

1 ,

zw

1 maka :

xu

1

yv

1

zw

1

x

12

y

11

z

11

12 x 1y 1 z

2

1x 1z

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

1,1,

2

1

Jawaban : c

3. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan

0

32

632

zyx

zyx

zyx

adalah

....UAN 2006a. – 3b. – 2c. – 1d. 1e. 2Penyelesaian :

632 zyx ......................... 1)32 zyx ......................... 2)0 zyx ......................... 3)

Karena yang ditanya nilai x maka x tidak perlu dieliminasi agar langkahpenyelesaiannya lebih singkat. Dari 1) dan 2), eliminasi z diperoleh :

9336

632

3

1

32

632

zyx

zyx

zyx

zyx


x7 + y5 = 3 .......... 4)Karena pada persamaan 1) dan 2) telah dieliminasi z maka padapersamaan 2) dan 3) juga dieliminasi z, akan diperoleh :

0

32

zyx

zyx

x + y2 = 3 .................... 5)Dari 4) dan 5), eliminasi y diperoleh :

15105

61014

5

2

32

357

yx

yx

yx

yx

x9 = - 91x

Jawaban : C4. Andi membeli 3 buku tulis, 1 balpoint dan 2 pensil dengan harga Rp.

17.000,-. Sedangkan Eko membeli 1 buku tulis , 2 balpoint dan 1 pensildengan harga Rp. 13.000,-. Budi membeli 2 buku tulis, 1 balpoint dan 1pensil dengan harga Rp. 12.000,-. Merk barang tersebut ketiganyamembeli di toko yang sama pula. Jika saya ingin membeli 1 buku tulis dan1 balpoint, maka saya harus membayar sebesar .... UAN 2007. Aa. Rp. 4000,-b. Rp. 5000,-c. Rp. 6000,-d. Rp. 7000,-e. Rp. 8000,-Penyelesaian :Misalkan : x = buku tulis

y = balpointz = pensil

Maka model matematika dari persoalan di atas adalah :000.1723 zyx ................................ 1)

000.132 zyx ................................ 2)000.122 zyx ................................ 3)

Yang ditanya adalah .... yx


Karena yang ditanya nilai x dan y maka x dan y tidak perlu dieliminasi,sehingga dari 1) dan 2), perlu eliminasi z diperoleh :

000.26242

000.1723

2

1

000.132

000.1723

zyx

zyx

zyx

zyx

x – y3 = 000.9 ........ 4)Dari 2) dan 3), eliminasi z diperoleh :

000.122

000.132

zyx

zyx

x + y = 1. 000 ............... 5)Dari 4) dan 5), eliminasi x diperoleh :

000.1

000.93

yx

yx

y2 = 000.8000.4y

Substitusi 000.4y ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh :000.1000.4 x

000.3 x000.3x

Jadi nilai yx = 000.4000.3 = 7.000

Sehingga harga 1 buku tulis dan 1 balpoint adalah Rp. 7.000Jawaban : d

5. Ani, Nia dan Ina pergi bersama-sama ke toko buah. Ani membeli 2 kgapel, 2 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 67.000,-. Nia membeli3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp.61.000,-. Inamembeli 1 kg apel, 3 kg anggur dan 2 kg jeruk harganya Rp.80.000,-.Harga 1 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk seluruhnya adalah .... UAN2007. Aa. Rp.37.000,- d. Rp.55.000,-b. Rp.44.000,- e. Rp.58.000,-c. Rp.51.000,-Penyelesian:


Misalkan : x =1 kg apely =1 kg anggurz =1 kg jeruk

Maka model matematikanya adalah:000.6722 zyx ..................................... 1)

000.613 zyx ..................................... 2)000.8023 zyx ..................................... 3)

Ditanya .... zyxDari 1) dan 2), eliminasi z diperoleh :

000.613

000.6722

zyx

zyx

000.6 yx .......................... 4)Dari 2) dan 3), eliminasi z diperoleh :

000.8023

000.122226

1

2

000.8023

000.613

zyx

zyx

zyx

zyx

5x – y = 42.000 ...... 5)Dari 4) dan 5), eliminasi y diperoleh :

000.425

000.6

yx

yx

x4 = 48.000x = 12.000

Substitusi x = 12.000 ke dalam persamaan 4) atau 5), diperoleh :000.6000.12 y

000.18ySubstitusi x = 12.000 dan 000.18y ke dalam persamaan 1), 2) atau 3)diperoleh :

000.8023 zyx000.802)000.18(3000.12 z

000.802000.54000.12 z000.802000.66 z

000.142 z000.7z


Jadi nilai zyx = 000.7000.18000.12 = 000.37

Sehingga harga 1 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk adalah Rp. 37.000,-Jawaban : a

6. Pada tokoh buku “Murah”, Adi membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensildengan harga Rp.26.000,-. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensildengan harga Rp.21.500,-. Citra membeli 3 buku, dan 1 pensil denganharga Rp.12.500,-. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka iaharus membayar .... UAN 2008.Ba. Rp.5.000,- d. Rp.11.000,-b. Rp.6.500,- e. Rp.13.000,-c. Rp.10.000,-Penyelesaian:Misalkan : x = buku

y = pulpenz = pensil

Model matematikanya adalah :000.26324 zyx ................................ 1)

500.2133 zyx ................................ 2)zx 3 = 12.500 ................................ 3)

Ditanya : ....22 zyKarena pada persamaan 3) variabel y tidak ada maka dari 1) dan 2) perludieliminasi y. Dari 1) dan 2), eliminasi y diperoleh :

000.43266

000.789612

2

3

500.2133

000.26324

zyx

zyx

zyx

zyx

x6 + z7 = 35.000 ..... 4)Dari 3) dan 4), eliminasi x diperoleh :

000.3576

000.2526

1

2

000.3576

500.123

zx

zx

zx

zx

000.105 z000.2z

Substitusi 000.2z ke dalam persamaan 3) atau 4), diperoleh :500.12000.23 x


300.123 x500.3x

Substitusi 500.3x dan 000.2z ke dalam persamaan 1), atau 2),diperoleh :

500.2133 zyx500.21000.23)500.3(3 y

500.21000.23500.10 y500.21500.123 y

000.93 y000.3y

Jadi nilai zy 22 = )000.2(2)000.3(2 = 000.4000.6 = 10.000

Sehingga yang harus dibayar Dina adalah Rp.10.000,-Jawaban : c

7. Di sebuah swalayan Rina dan Rini membeli apel dan mangga. Rinamembeli 2 kg apel dan 1 kg mangga dengan harga Rp.4.000,00. Rinimembeli 3 kg apel dan 4 kg mangga dengan harga Rp.8.500,00. Harga 1kg apel adalah .... UAN 2008.A. Bahasaa. Rp.750,00b. Rp.875,00c. Rp.1.000,00d. Rp.1.500,00e. Rp.1.750,00Penyelesian:Misalkan : x =1 kg apel

y =1 kg manggaMaka model matematikanya adalah :

000.42 yx500.843 yx

Ditanya nilai x = ....Karena yang ditanya nilai x maka x tidak boleh dieliminasi. Dari 1) dan 2),eliminasi y diperoleh :


500.843

000.1648

1

4

500.843

000.42

yx

yx

yx

yx

500.75 x500.1x

Jadi nilai x = 1.500Sehingga harga 1 kg apel adalah Rp.1.500,00

8. Nilai z dari sistem persamaan

1353

23822

42

zy

zyx

zyx

adalah .... UAN

2008.A. da. – 2b. 2c. 3d. 7e. 14Penyelesaian :

42 zyx .......................... 1)23822 zyx .......................... 2)

1353 zy .......................... 3)Karena persamaan 3) tidak ada variabel x maka dari 1) dan 2) perlueliminasi x. Dari 1) dan 2), eliminasi x diperoleh :

23822

42

zyx

zyx

199 zy ................. 4)Dari 3) dan 4), eliminasi y diperoleh :

57273

1353

3

1

199

1353

zy

yy

zy

yy

4422 z2z

Jawaban : b


1. Diketahui sistem persamaan linier

2433

122

12

zyx

zyx

zyx

maka nilai zyx ::

adalah ....a. 2:1:1b. 3:2:1c. 1:2:3d. 9:1:3e. 6:1:6

LATIHAN MANDIRI



012

1

222

yx

zyx

zyx

Nilai y yang memenuhi adalah ....a. – 1b. 1c. – 3d. 5e. – 5

3. Jika ),,( 000 zyx adalah penyelesaian sistem persamaan linier

1

12

3

yx

zy

zx

maka ....000 zyx

a. 3b. 4c. 6d. 8e. 11


92

3

15352

zy

zy

zyx

maka himpunan

penyelesaiannya adalah ....a. 16,4,1

b. 16,1,4

c. 4,16,1

d. 1,16,4

e. 1,4,16


5. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier

4342

213

821

zyx

zx

yx

adalah

zyx ,, . Nilai dari .... zyx

a.12

11

b.12

11

c.12

12

d.12

12

e.12

1

6. Talita membeli 3 buku tulis dan 2 pensil dengan harga Rp.9.500,00. Satriamembeli sebuah buku dan sebuah pensil dengan harga Rp.3.500,00 ditoko yang sama, Cahaya membeli sebuah buku dan 2 pensil, maka Cahayaharus membayar ....a. Rp.3.500,00b. Rp.4.500,00c. Rp.5.000,00d. Rp.6.000,00e. Rp.7.000,00


7. Harga 3 buah buku dan 2 pensil adalah Rp.9.500,00. Di toko yang samaharga 2 buku dan 5 pensil adalah Rp.10.000,00. Selisih harga sebuah bukudan harga sebuah pensil adalah ....a. Rp.500,00b. Rp.1.000,00c. Rp.1.500,00d. Rp.2.500,00e. Rp.3.500,00

8. A membeli 3 kg mangga, 1 kg jeruk dan 2 kg jambu seharga Rp.62.000,00.B membeli 1 kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 kg jambu seharga Rp.48.000,00.C membeli 2 kg mangga, 1 kg jeruk dan 1 kg jambu seharga Rp.42.000,00.Jika A, B dan C membeli di toko buah yang sama, maka harga 1 kg jerukadalah ....a. Rp.8.000,00b. Rp.10.000,00c. Rp.12.000,00d. Rp.14.000,00e. Rp.16.000,00

219 Transformasi geometri

10. Transformasi Geometri1. jenis-jenis tranformasi

MATERI


221 Transformasi geometri 222 Transformasi geometri

2. Komposisi transformasia. Translasi (pergeseran)

Komposisi dua translasi T1 dilanjutkan T2 dapat diganti dengantranslasi tunggal. Misal :

1T =

b

adan 2T =

d

cmaka :

)","(")','('),( 21 yxpyxpyxp TT

)","("),( 21 yxpyxp TT

b. Refleksi (pencerminan) Refleksi dua sumbu yang sejajar terhadap sumbu x

Misalnya :

1M : transformasi refleksi terhadap garis y = h dan

2M : transformasi refleksi terhadap garis y = k, maka :

)","(")'',('),( yxpyxpyxp kyhy atau

)","("),( 21 yxpyxp MM

Refleksi dua sumbu yang sejajar terhadap sumbu yMisalnya :

1M : transformasi refleksi terhadap garis x = h dan

2M : transformasi refleksi terhadap garis x = k, maka :

)","(")'',('),( yxpyxpyxp kxhx atau

)","("),( 21 yxpyxp MM

Refleksi dua sumbu yang saling tegak lurusMisalnya :

1M : transformasi refleksi terhadap sumbu x dan

2M : transformasi refleksi terhadap sumbu y, maka :

)","(")'',('),( yxpyxpyxp yx atau

)","("),( 21 yxpyxp MM


Catatan : dua refleksi secara berururtan terhadap sumbu x dansumbu y ekivalen dengan rotasi setengah putaran yang berpusatdi O(0,0)

Refleksi dua sumbu yang saling berpotongan ekivalen dengansebuah rotasi tunggal, dimana :1. Berpusat pada titik potong dua sumbu2. Bersudut dua kali sudut antara dua sumbu3. Arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua

c. Rotasi (perputaran)Misalnya :

1 : Rotasi pertama, dan

2 : Rotasi kedua, maka :

)","(")','('),( 21 yxpyxpyxp

)","("),( 21 yxpyxp

d. Komposisi transformasi dengan matriksMisalnya :

1M =

dc

ba, dan 2M =

hg

fe, maka :

21 MM =

hg

fe

dc

ba

dan 12 MM =

dc

ba

hg

fe

Sehingga 21 MM 12 MM

3. Luas bangun suatu hasil transformasi :

Misalnya suatu bangun ditransformasikan dengan matriks

dc

ba

hasilnya 'A dengan luas : AluasbcadA '4. Peta suatu kurva oleh suatu transformasi :


Misalnya persamaan garis 0 cbyax ditrasformasikan oleh matriks

A =

sr

qpdan (x’, y’) adalah peta dari (x, y), maka :

y

xA

y

x 1

'

'

1. Bayangan titik A(x, y) karena refleksi terhadap garis x = - 2, dilanjutkanrefleksi terhadap garis y = 3 dan kemudian dilanjutkan rotasi pusat O

bersudut 2

1radian adalah (- 4, 6). Bayangan tersebut adalah .... UAN

2003a. (2, - 10)b. (2, 10)c. (10, 2)d. (-10, 2)e. (10, -2)Penyelesaian :Titik A(x, y) dirotasikan terhadap garis x = - 2 dilanjutkan refleksi terhadapgaris y = 3 dan kemudian dirotasikan lagi dengan pusat (O, 2/1 ) adalah(-4, 6) maka :

)6,4('")2,("),('),( 232/, AykxAyxAyxA xyO atau )4,6()6,4('),4(")6,4('" 2/,32 xyAyxAyxAA Oyx akan

diperoleh :- 4 = - 6 + y 6 = - 4 - x2 = y 10 = - x

- 10 = xJadi A(- 10, 2)Jawaban : d



2. 1T adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 090 . 2T adalahtransformasi pencerminan terhadap garis y = - x. Bila koordinat peta titikA oleh transformasi 21 TT adalah A’(8, 2-6), maka koordinat titik Aadalah .... UAN 2004a. (-6, -8)b. (-6, 8)c. (6, 8)d. (8, 6)e. (10, 8)Penyelesaian :

21 TT merupakan transformasi 2T dilanjutkan 1T

1T =

01

10adalah matriks yang bersesuaian dengan rotasi dengan

sudut 090

2T =

01

10adalah matriks yang bersesuaian dengan pencerminan

xy )6,8('),( 21 AyxA TT

01

10

01

10

6

8

y

x

=

)0)(0()1)(1()1)(0()0)(1(

)0)(1()1)(0()1)(1()0)(0(

y

x

=

10

01

y

x

=

))(1())(0(

))(0())(1(

yx

yx

=

y

x

Jadi 8 = x


- 6 = - y → 6 = ymaka koordinat titiknya adalah (8, 6)Jawaban : d

3. Persamaan peta kurva 232 xxy karena pencerminan terhadapsumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah ....UAN 2004a. 01893 2 xxy

b. 01893 2 xxy

c. 01893 2 xxy

d. 01893 2 xxy

e. 01892 xxyPenyelesaian :

1M =

10

01

adalah matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu x

2M =

30

03

adalah matriks yang bersesuaian dengan dilatasi pada pusat O dan faktorskala 3

)','('),( 21 yxpyxp MM

'

'

y

x=

30

03

10

01

y

x

=

30

03

y

x

=

y

x

3

3

Diperoleh : 'x = x3 → '3

1x = x


'y = y3 → '3

1y = y

Jadi bayangan kurva 232 xxy karena pencerminan terhadapsumbu x dan dilatasi (O, 3) adalah :

'3

1y = 2'

3

13'

3

12

xx

'3

1y = 2''

9

1 2 xx (×9)

'3y = 18'9'2 xx

0 = 18'9''3 2 xxy atau 18'9''3 2 xxy = 0

Jadi bayangannya adalah : 1893 2 xxy = 0Jawaban : a

4. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut 2/ ,dilanjutkan dilatasi (0, 2) adalah 22 yyx . Persamaan kurvasemula adalah .... UAN 2005

a. 42

1 2 xxy

b. 42

1 2 xxy

c. 42

1 2 xxy

d. 12 2 xxy

e. 12 2 xxyPenyelesaian :Misalkan persamaan kurva adalah :

2)2,0(]2/,0[ 2 yyxBA maka

AByyx ]2/,0[)2/1,0(22


1M =

2/10

02/1

adalah matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan faktor skala 1/2

2M =

01

10

adalah matriks yang bersesuaian dengan rotasi berpusat di O danbersudut 2/

)','('),( 21 yxpyxp MM

'

'

y

x=

01

10

2/10

02/1

y

x

=

02/1

2/10

y

x

=

x

y

2/1

2/1

yx 2/1' → '2xy xy 2/1' → '2yx

Persamaan semulanya adalah:2)'2('22'2 xxy

2'4'22'2 xxy 2'2'1' xxy

1''2' 2 xxy atau 12 2 xxyJawaban: e

5. Persamaan bayangan kurva 01223 yx oleh transformasi yang

bersesuaian dengan matriks

01

10, dilanjutkan pencerminan

terhadap sumbu x adalah .... UAN 2006a. 01232 yxb. 01232 yx


c. 01232 yxd. 01232 yxe. 01232 yxPenyelesaian :

),( yx M )','( yx x )","( yx

),( yx xM )","( yx

01

10adalah matriks transformasi dan,

10

01adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x

'

'

y

x=

10

01

01

10

y

x

=

01

10

y

x

=

x

y

yx 'xy '

Maka persamaan bayangannya adalah:012'2'3 xy atau012'3'2 yx01232 yx

Jawaban: d6. Persamaan bayangan kurva 12 2 xy jika dicerminkan terhadap garis

xy , dilanjutkan dengan rotasi pusat (0,0) sejauh 900 berlawanan arahjarum jam adalah .... UAN 2007. Ba. 12 2 xy

b. 221 xy


c. 12 2 xy

d. 12 2 xy

e. 2yPenyelesaian:

),( yx xy )','( yx ]90,[ 0o )","( yx

),( yx 21 MM )','( yx

'

'

y

x=

00

00

90cos90sin

90sin90cos

01

10

y

x

=

01

10

01

10

y

x

=

10

01

y

x

=

y

x

xx ' → 'xx yy ' → 'yy

1)'(2' 2 xy

1'2' 2 xy

12 2 xyJawaban: a

7. Bayangan kurva 32 xy jika dicerminkan terhadap sumbu xdilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah .... UAN2007. Aa. 62/1 2 xy

b. 62/1 2 xy

c. 32/1 2 xy

d. 22/16 xy


e. 22/13 xy Penyelesaian:

),( yx x )','( yx )2,0( )","( yx

),( yx 21 MM )","( yx

'

'

y

x=

20

02

10

01

y

x

=

20

02

y

x

=

y

x

2

2

xx 2' → '2/1 xx yy 2' → '2/1 yy

3)'2/1('2/1 2 xy

3'4/1'2/1 2 xy

6'2/1' 2 xy

6'2/1' 2 xy

62/1 2 xyJawaban: d

8. Persamaan bayangan garis 35 xy karena rotasi dengan pusat O(0,0)

bersudut 090 adalah .... UAN 2008. Aa. 035 yxb. 035 yxc. 035 yxd. 035 yxe. 035 yxPenyelesaian:

),( yx ]90,0[ 0

)','( yx


'

'

y

x=

)90cos()90sin(

)90sin()90cos(

y

x

=

)90cos()90sin(

)90sin()90cos(

y

x

=

01

10

y

x

=

x

y

yx ' → 'xy xy ' → 'yx

Jadi persamaan bayangannya adalah:3)'(5' yx

3'5' yx03'5' yx035 yx

Jawaban: d9. Persamaan bayangan garis 0234 xy oleh transformasi yang

bersesuaian dengan matriks

11

10dilanjutkan matriks

11

11

adalah .... UAN 2008.Aa. 0478 yxb. 0278 yxc. 022 yxd. 022 yxe. 0225 yxPenyelesaian:

)','('),( 21 yxpyxp MM


'

'

y

x=

11

11

11

10

y

x

=

21

01

y

x

=

yx

x

2

xx ' → 'xx yxy 2' → '2 yxy

'2/12/1 yxy Jadi persamaan bayangannya adalah :

02)'(3)'2/12/1(4 xyx02'3'22 xyx

02'2' yx022 yx

Jawaban: c10. Persamaan bayangan garis 0423 yx karena rotasi dengan pusat

O(0,0) sebesar 2/ adalah .... UAN 2008. Ba. 0432 yxb. 0432 yxc. 0432 yxd. 0423 yxe. 0423 yxPenyelesaian:

)','(),( ]2/,0[ yxyx

'

'

y

x=

)2/cos()2/sin(

)2/sin()2/cos(

y

x

=

)2/cos()2/sin(

)2/sin()2/cos(

y

x


=

01

10

y

x

=

x

y

yx ' → 'xy xy ' → 'yx

Jadi persamaan bayangannya adalah :04)'(2)'(3 xy

04'2'3 xy → 0423 xy0432 yx

Jawaban: b11. Lingkaran 16)2()1( 22 yx ditransformasikan oleh matriks

01

10dilanjutkan oleh matriks

10

01. Persamaan lingkaran

tersebut adalah .... UAN 2008. Ba. 0112422 yxyx

b. 0112422 yxyx

c. 0114222 yxyx

d. 0112222 yxyx

e. 0112422 yxyxPenyelesaian:

)','('),( 21 yxpyxp MM

'

'

y

x=

10

01

01

10

y

x

=

01

10

y

x


=

x

y

yx ' → 'xy xy ' → 'yx

Jadi persamaan bayangannya adalah :16)2'()1'( 22 xy

164'4'1'2' 22 xxyy

165'2'4'' 22 yxyx

011'2'4'' 22 yxyx → 0112422 yxyxJawaban: e

LATIHAN MANDIRI


195 vektor

9. Vektor1. Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang dan arah

Misalnya : Jika suatu titik A = ),,( 321 aaa dalam ruang (juga pada

bidang) dan O titik pangkal, maka aOA adalah bektor

posisi dari titik A dan dapat ditulis : aOA =

3

2

1

a

a

a

atau

aOA = ),,( 321 aaa atau aOA = kajaia 321 ,dengan panjangnya adalah

23

22

21 )0()0()0( aaaOA

23

22

21 aaa

2. Vektor dapat dijumlahkan dengan aturan jajar genjang atau aturansegitiga :

OBABOA AB = OAOB

=

0

0

0

0

0

0

3

2

1

3

2

1

a

a

a

b

b

b

=

3

2

1

3

2

1

a

a

a

b

b

b

),,( 321 aaaA

),,( 321 bbbB O

MATERI

196 vektor

=

33

22

11

ab

ab

ab

dengan panjang,

AB 233

222

211 )()()( ababab

OBOA =

0

0

0

3

2

1

a

a

a

+

0

0

0

3

2

1

b

b

b

=

3

2

1

a

a

a

+

3

2

1

b

b

b

=

33

22

11

ba

ba

ba

dan misalkanm adalah sebuah konstanta maka am =

3

2

1

am

am

am

2

ba = cos222

baba

cos2 ba =222

baba

cos =ba

baba

2

222

a

b

c

a + b

197 vektor

jika )( ba c, maka )( ba . c = 0

3. Jika aOA = kajaia 321 dan bOB = kbjbib 321 , dan P

terletak diantara AB dengan perbandingan :

AP : PB =m : n atau

n

m

PB

AP

PBmAPn maka

OP = P =nm

OBmOAn

P =nm

BmAn

4. Jika a =

3

2

1

a

a

a

dan b =

3

2

1

b

b

b

maka a . b = 332211 bababa atau

a . b = ),(cos baba dimana : a = 33

22

21 aaa

b = 33

22

21 bbb

),,( 321 aaaA

),,( 321 bbbB

Pn

m

O

198 vektor

sehingga : ),(cos ba =ba

ba

.

.

Jika ),(cos ba = 1 maka a dan b berimpit searah

Jika ),(cos ba = -1 maka a dan b berimpit berlawanan

Jika ),(cos ba = 0 maka a dan b saling tegak lurus, serta a . b = 0

5. Misalkan vektor c merupakan proyeksi ortogonal vektor a pada vektorb

Proyeksi vektor/proyeksi ortogonal : c = bb

ba.

.2

Proyeksi skalar/panjang proyeksi : c =b

ba .

),,( 321 aaaA

),,( 321 bbbB

O ba,

b

O

a

O

a

O

c

Ob

O

199 vektor

1. Proyeksi vektor a = kji 32 pada vektor b = kji 245 adalah.... UAN 2003

a.

2

4

5

2

1

b.

1

4

2

4

1

c.

2

4

5

5

1

d.

3

2

4

2

1

e.

3

2

4

3

1

Penyelesaian :ilustrasi :

a (1, 2, -3)

c

b (5, -4, 2)


200 vektor

misalkan proyeksi a pada b adalah c maka :

c = bb

ba.

.2

= )2,4,5(2)4(5

)2,4,5)(3,2,1(2

222

= )2,4,5(41625

6852

= )2,4,5(45

9

= )2,4,5(5

1

atau

= )2,4,5(5

1

Jawaban : c

2. Jika vektor a =

3

2

1

, b =

1

4

5

, c =

1

1

4

, maka nilai dari a + 2 b - 3 c

= .... UAN 2004

a.

8

12

6

b.

2

12

1

c.

2

13

1

201 vektor

d.

8

13

7

e.

8

11

6

Penyelesaian :

a + 2 b - 3 c =

3

2

1

+ 2

1

4

5

- 3

1

1

4

=

3

2

1

+

2

8

10

-

3

3

12

=

323

382

12101

=

2

13

1

Jawaban : c

3. Diketahui vektor u =

1

1

3

, dan vektor v =

2

2

p , jika proyeksi skalar

vektor u pada vektor v sama dengan setegah vektor v , maka nilai padalah .... UAN 2004a. – 4 atau – 2b. – 4 atau 2

202 vektor

c. 4 atau – 2d. 8 atau – 1e. – 8 atau 1Penyelesaian :

Proyeksi skalar vektor u pada v =2

1v

v2

1=

v

vu .

222 222

1 p =

222 22

2

2

1

1

3

p

p

442

1 2 p =44

262

p

p

2

8 2p=

28

8

p

p

22 88 pp = )8(2 p

228 p = p216 28 p = p216 16822 pp = 0

u (3, -1, 1)

v2

1

v (2, p, 2)

203 vektor

822 pp = 0 ... x ... = - 8)2)(4( pp = 0 ... + ... = 2

4p atau 2pJawaban : b

4. Diketahui A (1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C(7, 5, -3). Jika A, B dan C segaris(kolinier), maka perbandingan AB : BC = .... UAN 2005a. 1 : 2b. 2 : 1c. 2 : 5d. 5 : 7e. 7 : 5Penyelesaian :

B =nm

mCnA

Bnm )( = mCnA

1

3

3

)( nm =

3

5

7

3

2

1

mn

nm

nm

nm

33

33

=

m

m

m

n

n

n

3

5

7

3

2

nm

nm

nm

33

33

=

mn

mn

mn

33

52

7

BA C

3

2

1

1

3

3

3

5

7

m n

204 vektor

pilih salah satu persamaan akan diperoleh nilaim : nnm = mn 33 mm 3 = nn 3m4 = n2

n

m=

4

2

n

m=

2

1

nm : = 2:1Jawaban : a

5. Diketahui titik A(1, -3, 0), B(3, 4, 4) dan C(2, -1, 2). Panjang proyeksivektor AB pada vektor AC adalah .... UAN 2006a. 4b. 5c. 6d. 7e. 8Penyelesaian :

Misalkan panjang proyeksi vektor AB pada vektor AC adalah BCmaka :

BC =AC

ACAB .

AB = )04),3(4,13( = (2, 7, 4)

AC = )02),3(1,12( = (1, 2, 2)

B(3, 4, 4)

C(2, -1, 2)A(1, -3, 0)

205 vektor

BC =AC

ACAB .

=222 221

)2,2,1)(4,7,2(

=441

8142

=9

24

=3

24

= 8Jawaban : e

6. Diketahui a = 6, b = 4 dan ba = 72 . Besar sudut antara vektor a

dan b adalah .... UAN 2006a. 030b. 060c. 090d. 0120e. 0150Penyelesaian :

cos =ba

baba

..2

222

a

b a + b

206 vektor

=4.6.2

)72(46 222

=48

)7.4(1636

=48

2852

=48

24

=2

1

cos = cos 060 = 060 = 0180

060 + = 0180 = 0120

Jawaban : D7. Diketahui segitiga dengan titik A(2, 1, 5), B(-2, 3, 2) dan C(1, 0, 3), besar

sudut BAC = .... UAN 2007.Aa. 030b. 045c. 060d. 090e. 0120Penyelesaian :

AC = (1 – 2, 0 – 1, 3 – 5)

A(2, 1, 5) B(-2, 3, 2)

C(1, 0, 3)

207 vektor

= (- 1, - 1, - 2)

AC = 222 )2()1()1(

= 411 = 6

AB = (- 1 – 2, 3 – 1, 2 – 5)= (- 3, 2, - 3)

AB = 222 )3(2)3(

= 949 = 24

cos =24.6

)2)(2()2)(1()4)(1(

=144

424

=12

6

=2

1

cos = cos 060 = 060

Jawaban : c8. Diketahui segitiga ABC, dengan A(-1, 3, 5), B(-4, 7, 4) dan C(1, -1, 1). Jika

vektor u mewakili AB dan v mewakili AC , maka proyeksi vektor u

pada v adalah .... UAN 2007

a. kji2

1

2

3

b. kji2

12

2

3

c. kji 12126

d. kji 22

208 vektor

e. kji 22 Penyelesaian :

AB = u = (- 4 - (-1), 7 – 3, 4 – 5 )= (- 3, 4, -1)

AC = v = (1 – ( - 3), -1 – 3, 1 – 5)= (4, - 4, - 4)

Jika proyeksi vektor u pada v adalah w maka :

w = vv

vu.

.2

= )4,4,2()4()4(2

)4)(1()4)(4()2)(3(2

222

= )4,4,2(16164

41662

= )4,4,2(36

182

= )4,4,2(36

18

= )4,4,2(2

1

= (-1, 2, 2)= kji 22

Jawaban : d

B(-4, 7, 4)

C(1, -1, 1)A(-1, 3, 5)v

uw

209 vektor

9. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2) dan R(-1, 0, 2). Besarsudut PRQ = .... UAN 2007. Aa. 0120b. 090c. 060d. 045e. 030Penyelesaian :

RP = (0 – (-1), 1 – 0, 4 – 2)= (1, 1, 2)

RP = 222 211

= 411 = 6

RQ = (2 – (-1), - 3 – 0, 2 – 2)= (3, -3, 0)

RQ = 222 0)3(3

= 099 = 18

= 2.9

= 2.9

= 23

Q(2, -3, 2)

P(0, 1, 4)R(-1, 0, 2) θ

210 vektor

cos θ =6.23

)2,1,1)(0,3,3(

=123

033

=32.3

00

=36

0

= 0cos θ = cos 090

θ = 090Jawaban : b

10. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2).Proyeksi ortogonal AB pada AC adalah .... UAN 2007. Aa. kj

b. ki c. ki

d. kji2

1

e. ji 2

1

Penyelesaian :

Misalkan proyeksi ortogonal AB pada AC adalah BD maka :

B(2, 2, 0)

C(0, 2, 2)A(0, 0, 0)

D

211 vektor

BD = ACAC

ACAB.

.2

AB = (2 – 0, 2 – 0, 0 – 0)= (2, 2, 0)

AC = (0 – 0, 2 – 0, 2 – 0)= (0, 2, 2)

AC = 222 220

= 440 = 8

= 2.4

= 2.4

= 22

BD = )2,2,0(.)22(

0402

= )2,2,0(2.4

4

= )2,2,0(8

4

= )2,2,0(2

1

= (0, 1, 1)= kj

Jawaban : a11. Diketahui vektor a = kjit 32 , b = kjit 52 dan c =

kjtit 3 . Jika vektor ( ba ) tegak lurus c maka nilai ....2 t UAN2008.Aa. – 2 atau 4/3

212 vektor

b. 2 atau 4/3c. 2 atau - 4/3d. 3 atau 2e. – 3 atau 2Penyelesaian :

a = (2t, -1, 3)b = (-t, 2, -5)c = (3t, t, 1)

a + b = (2t – t, -1 + 2, 3 – 5)= (t, 1, - 2)

Karena ba c , maka :( ba ) . c = 0(3t, t, 1)(t, 1, -2)= 0

23 2 tt = 0 ... × ... = - 62233 2 ttt = 0 ... + ... = 1

)22()33( 2 ttt = 0)1(2)1(3 ttt = 0

)1)(23( tt = 0

3

2t atau 1t

untuk 1t t2 = 2(-1)= - 2

untuk3

2t t2 = 2(2/3)

= 4/3Jawaban : a

a

b

c

a + b

213 vektor

12. Diketahui a = (x, 2, 4) dan b = (3, 4, 0) panjang proyeksi vektor a padab adalah 2/5. Nilai 2x = .... UAN 2008.Aa. – 1b. – 2c. – 4d. – 6e. – 8Penyelesaian :

Panjang proyeksi vektor a pada b adalah 2/5 maka :

c =b

ba .

5

2=

222 043

)0,4,3)(4,2,(

x

5

2=

0169

083

x

5

2=

25

83 x

5

2=

5

83 x

2(5) = 5(3x + 8)10 = 15x + 40

- 30 = 15x- 2 = x

Nilai 2x = 2(-2)= - 4

b (0, 2, 2)

a (x, 2, 4) c

214 vektor

Jawaban : c13. Jika vektor a = kjix 84 tegak lurus b = kjxix 322 maka nilaix yang memenuhi adalah .... UAN 2008.Ba. – 2 atau 6b. – 3 atau 4c. – 4 atau 3d. – 6 atau 2e. 2 atau 6Penyelesaian :

a = (x, -4, 8)b = (2x, 2x, -3)Karena a b maka :

a . b = 0(x, -4, 8)(2x, 2x, -3) = 0

2x2 – 8x – 12 = 0x2 – 4x – 6 = 0 ... × ... = - 6(x + 2)(x - 6) = 0 ... + ... = - 4x = - 2 atau x = 6

Jawaban : a

14. Diketahui vektor a =

4

3

2

dan b =

3

0

x

. Jika panjang proyeksi vektor

a pada b adalah 4/5, maka salah satu nilai x adalah .... UAN 2008. Ba. 6b. 4c. 2

a(x, -4, 8)

b(2x, 2x, -3)

215 vektor

d. – 4e. – 6Penyelesaian :

Panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5 maka :

c =b

ba .

5

4=

222 30

)3,0,)(4,3,2(

x

x

5

4=

9

12022

x

x

5

4=

9

1222

x

x

4( 92 x ) = 5(-2x + 12)

94 2 x = - 10x + 60

22 94 x = 26010 x

)9(16 2 x = 100x2 – 1200x + 360016x2 + 144 = 100x2 – 1200x + 3600

0 = 84x2 – 1200x + 3456 atau7x2 - 100x + 288 = 0 ... × ... = 20167x2 - 28x - 72 x + 288 = 0(7x2 - 28x) – (72 x - 288) = 07x(x – 4) – 72( x - 4)= 0(7x - 72)(x – 4) = 0

727 x = 0 atau 4x = 0

b (x, 0, 3)

a (- 2, 3, 4) c

216 vektor

7

72x 4x

Jawaban : b

15. Diketahui vektor a dan b dengan a = 3, b = 5 dan ba = 19 .

Besar sudut antara vektor a dan b adalah ....a. 1350

b. 1200

c. 900

d. 750

e. 600

Penyelesaian :

ba = 19 )( ba = 19

ba = 19

a + b = 19

cos θ =ba

baba

..2

222

= 5.3.2

1953 22

=5.6

19259

=30

15

=2

1

cos θ = cos 600

θ = 600

Jawaban : e

217 vektor

LATIHAN MANDIRI

218 vektor

253 Ruang dimensi tiga

Standar KompetensiLulusan (SKL) III

: Memahami sifat-sifat dan aturan geometridalam menentukan kedudukan titik, garisdan bidang, jarak dan sudut.


: Ruang Dimensi Tiga

Operasional RLM : Jarak Sudut

(jarak dan sudut yang sederhana)

PEMETAAN SKL


1. Bagian-bagian bangun ruang

a. Sisi : ABEF, CDGH, ABCD, EFGH, ADHE, BCFGb. Rusuk : AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, ADALAH, BC, FG, EHc. Titik sudut : A, B, C, D, E, F, G, Hd. Diagonal ruang : AG, BH, CE, DFe. Diagonal bidang : AH, DE, BG, CF, AC, BD, EG, FH, AF, BE, CH, DG

2. Bentuk-bentuk bangun ruanga. Kubus

Panjang diagonal bidang : 2s

Panjang diagonal ruang : 3sLuas permukaan : 6 Luas alasVolume : 3s

MATERI


b. BalokLuas permukaan = )()()(2 tltplp Volume = tlp

c. Limas adalah bangun ruang dengan bentuk alas segi – n dansejumlah sisi tegak berupa segi tiga.Luas permukaan = Luas alas + tegaksisiluas

Volume =3

1Luas alas

d. Kerucut adalah bangun limas yang alasnya berbentuk lingkaranLuas permukaan = Luas alas + luas selimutLuas selimut = rsVolume = Luas alas tinggi

= tr 2

3

1


e. Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang (alasdan atap) yang sama, dan saling sejajar.Luas permukaan = 2 luas alas + luas bidang tegakVolume = luas alas tinggi

f. TabungLuas permukaan = 2 × Luas alas + Luas selimutLuas selimut = keliling lingkaran × tinggi

= rt2Volume = luas alas × tinggi

= tr 2


g. BolaLuas permukaan = 24 r

Volume = 3

3

4r

3. Kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruanga. Jarak Jarak antara dua titik

Jarak antara titik dan garis

Jarak antara titik dan bidang


Jarak antara dua garis yang sejajar

Jarak antara dua garis yang bersilangan

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar

Jarak antara dua bidang yang sejajar


b. Proyeksi Proyeksi titik pada garis

B adalahproyeksi titik Apada garis g

Proyeksi titik pada bidang'AB adalah proyeksi

dari AB pada bidangPQRS

c. SudutSudut antara garis dan bidang

Titik B’ adalah proyeksititik B pada bidangPQRS dan 'AB adalahproyeksi dari AB padabidang PQRS, maka (g, bidang PQRS) = (BA,AB’)

4. Segi tiga sebarang dan lingkarana. Aturan sinus

∆ ADC, sin A =AC

CD↔ CD = b sin A .......................... 1)


∆ BCD, sin B =BC

CD↔ CD = a sin B .......................... 2)

Dari 1) dan 2)

a sin B = b sin A (BA sinsin

1 )

BA

Ab

BA

Ba

sinsin

sin

sinsin

sin

B

b

A

a

sinsin .......................... 3)

∆ ABE, sin A =AB

BE↔ BE = c sin A .......................... 4)

∆ BCE, sin C =BC

BE↔ BE = a sin C .......................... 5)

Dari 4) dan 5)

c sin A = a sin C (CA sinsin

1 )

CA

Ca

CA

Ac

sinsin

sin

sinsin

sin

A

a

C

c

sinsin .......................... 6)

Dari 3) dan 6)

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

b. Aturan cosinus

Misalnya AD = x maka BD = c – x

A B

C

D c

b a

c-xx


∆ ACD, AD2 = AC2 – AD2

= b2 – x2 ............. 1)∆ BCD, AD2 = BC2 – BD2

= a2 – (c – x)2

= )2( 222 xcxca = 222 2 xcxca ............. 2)

Dari 1) dan 2)b2 – x2 = 222 2 xcxca

b2 = cxca 222 ataua2 = cxcb 222 .......... 3)

∆ ADC, cos A =AC

AD

b

xA cos

xAb cos .......... 4)Dari 3) dan 4)

a2 = b2 + c2 – 2c(b cos A)= b2 + c2 – 2bc cos A

Dengan cara yang sama akan diperoleh :

c. Lingkaran Keliling lingkaran = r2

Luas lingkaran = 2r

Panjang busur AB = r

2360

Luas juring AOB = 2

360r

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C


1. Diketahui segi tiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm, dan BCA=1200. Keliling segi tiga ABC = .... ?a. 14 cmb. 15 cmc. 16 cmd. 17 cme. 18 cmPenyelesaian:

Cabbac cos2222 0222 120cos5..257 xx

xx 52549 2 xx 524 2

02452 xx(x – 8)(x – 3) = 0

8x atau 3xKarena jarak selalu positif, maka dipilih 3xKeliling = 5 + 7 + 3

= 15Jawaban: b

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tegakEH, maka jarak titik P ke garis CF adalah .... UAN 2003a. 20

b. 18

c. 14

d. 12

A B

C

b=5

c=7

a=x1200



e. 8Penyelesaian:

Jawaban: b


3. Pada kubus ABCD. EFGH, α adalah sudut antara bidang ACF danABCD. Nilai sin α = .... UAN 2003

a. 34

1

b. 63

1

c. 24

1

d. 33

1

e. 32

1

Penyelesaian:

Pandang segi tiga BFP


4. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A =600. Panjang sisi BC = .... UAN 2004a. cm192

b. cm193

c. cm194

d. cm292

e. cm293Penyelesaian :


a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A= 100 + 36 – 2(10)(6) cos 600

= 136 – 120 cos 60= 136 – 120 (1/2)= 136 – 60= 76

a = 76

= 194= 194 = 192

Jawaban : a5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. k adalah

titik tengah rusuk ADALAH. Jarak titik k ke garis HC adalah .... UAN2004a. 64

b. 36

c. 24

d. 46

e. 56Penyelesaian :


Pandang segi tiga kCHHC = 212

Hk = kC = 22 CDkD

= 22 126 = 180

= 56

Ht = CT = CH2

1

= 2122

1

= 26

kt = 22 CtkC

= 22 )26()56(

= 72180 = 36

Jawaban : b6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi

DE pada bidang BDHF adalah .... UAN 2004a. 22

b. 62

c. 24

d. 64

e. 28Penyelesaian :


Pandang segitiga DEPEG = DE = 28 EP = )(

2

1EG

= )28(2

1

= 24

DP = 22 EPED

= 22 )24()28(

= )2.16()2.64(

= 32128 = 96

= 64Jawaban : d

7. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya samapanjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah …. UAN 2004a. 150

b. 300

c. 450

d. 600

e. 750

Penyelesaian :


Pandang segitiga ATC, dan misalkanrusuknya adalah x

AC = BD = 2xCos A =

ct

atc

2

222

=2..2

)2( 222

xx

xxx

=2

2

22

2

x

x

=2

1

= 22

1

Cos A = cos 450

A = 450

Jawaban : c8. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal

tersebut melanjutkan perjalanan dengan arah 300 sejauh 60 mil.Jarak terhadap posisi saat kapal berangkat adalah …. UAN 2005a. 3710 mil

b. 730 mil

c. )225(30 mil

d. )325(30 mil

e. )325(30 milPenyelesaian :


∟ B = 900 + 300

= 1200

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B= 602 + 302 – 2.60.30 cos 120= 3600 + 900 – 3600 (-1/2)= 4500 + 1800= 6300

b = 6300

= 7.900

= 730Jawaban : b

9. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terhadapbola luar dinyatakan dengan B1 dan bola dalam dinyatakan denganB2. Perbedaan volum bola B1 dan volum bola B2 adalah … UAN 2005a. 1:33

b. 1:32

c. 1:3

d. 1:33

e. 1:23Penyelesaian :


TR = a√3TQ = a√2

DO = ½ a√3OM = ½ a

323

4

313

4

2

1

r

r

VB

VB

=3

21

34

32

13

4

)(

)3(

a

a

=

3

3

)1(

3

=1

33

Jawaban : a10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan T

pada AD dengan panjang AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah …. UAN2005a. ½ cm

b. 33

1cm

c. 32

1cm

d. 1 cm

e. 33

2cm

Penyelesaian :


Pandang segitiga ABTa2 = b2 + t2 – 2bt cos A

= 12 + (√3)2 – 2.1. √3 cos 900

= 1 + 3 - 2√3(0)= 4

a = 2

oA =BT

ATAB.

= 32

1

Jawaban : c11. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P dan Q

masing-masing terletak pada pertengahan CG dan HG. Sudut antaraBD dan bidang BPQE adalah α. Nilai tan α = …. UAN 2005

a. 28

3

b. 24

3

c. 2

d. 22

3

e. 1Penyelesaian :


Pandang segitiga BDQ

Jawaban : e12. Suatu lahan berbentuk segitiga dibatasi oleh tonggak A, B dan C. Jika

jarak tonggak A dan C = 12 m, jarak tonggak B dan C = 16 m danbesar sudut ACB = 600, maka jarak tonggak A dan B adalah …. UAN2006a. 134 cm

b. 154 cm

c. 194 cm

d. 314 cm

e. 374 cmPenyelesaian :

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C= 162 + 122 – 2.16.12. cos 600

= 256 + 144 – 192


= 208c = 4√13Jawaban : a

13. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika α adalah sudutantara bidang AFH dan bidang CFH, maka cos α = …. UAN 2006

a. 23

2

b. 23

1

c.3

1

d. 23

1

e.3

1

Penyelesaian :

Pandang segitiga AOCAC = AH = AF = FH = CH = CF =4√2OF = ½ FH = ½ (4√2) = 2√2

AO = OC = 22 OFAF =

22 )22()24(

= 24= 2√6

Cos O =ab

oba

2

222

=

)62)(62(2

)24()62()62( 222

=24.2

322424


=48

16

=3

1

Jawaban : c14. Diketahui kubus ABCD.EFGH

Jarak bidang AFH dan BDG adalah …. UAN 2007. Ba. 4√2 cmb. 4√3 cmc. 6√2 cmd. 6√3 cme. 8√3 cmPenyelesaian :

Jarak antara bidang AHF dan BDG adalah : CE3

1

CE = 12√3 ↔ t = 3123

1

= 34Jawaban : b

15. Pada suatu kubus ABCD.EFGH, besar sudut antara garis AH danbidang BDHF adalah …. UAN 2007.Ba. 150

b. 300

c. 450

d. 600

e. 900


Penyelesaian :

Pandang segitiga ACH & APH:AC = AH = CH = x2AP = DP = ½ AC

= ½ x2

sin H =AH

AP

=2

221

x

x

= ½sin H = sin 300

H = 300

Jawaban : b16. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 40

mil dengan arah 300 dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkanke pelabuhan C sejauh 60 mil dengan arah 1500 dari B. Jarakterdekat dari pelabuhan A dan C adalah .... UAN 2007.Ba. 220 milb. 320 mil

c. 520 mil

d. 720 mil

e. 1120 mil


Penyelesaian:

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B= 602 + 402 – 2.60.40 cos 60= 3600 + 1600 – 4800 (1/2)= 5200 – 2400= 2800

b = 2800

= 7.400

= 720Jawaban: d

17. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jarak adalahsudut antara CG dengan bidang BDG, maka tan = .... UAN 2008.Aa. 22/1

b. 32/1

c. 2

d. 3

e. 62/1Penyelesaian:


Pandang segitiga CGPAC = a2PC = ½ AC

= ½ a2tan =

a

a 22/1

= ½2Jawaban: a

18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm. Jarak titikA ke garis FH adalah .... UAN 2008.Aa. 23 cm

b. 62

3cm

c. 32

3cm

d. 22

3cm

e. 3/2 cmPenyelesaian:

Pandang segitiga AFHHF = AF = AH = 32FP = HP = ½ HF

= 3/2 2

cos F =23

223

=2

1

cos F = cos 600

F = 60

sin F =AF

AP

AP = 32 sin 600

= 32( ½ 3)= 3/2 6

Jawaban: b


19. Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 600 danABM = 750. Maka AM = .... UAN 2008.Aa. 150 (1 + 3 ) cmb. 150 (2 + 3 ) cmc. 150 (3 + 3 ) cmd. 150 (2 + 6 ) cme. 150 (3 + 6 ) cmPenyelesaian:

MAB + ABM + AMB = 1800

600 + 750 + AMB = 1800

2350 + AMB = 1800

AMB = 450

sin 750 = sin (450 + 300)= sin450cos 300 + cos

450sin300

=

21

21

21

21 .23.2

= 26 41

41

= )26(41

A

a

M

m

B

b

sinsinsin

M

m

B

b

sinsin

00 45sin

300

75sin

b

2

300

)26( 21

41

b

b.221 =

300. )26(41

b =2

)26(75

21

=

2

)26(150

=

2

2

2

)26(150

=

2

)412(150

= )232(75 = 75.2(3 + 1)= 150 (3 + 1)


Jawaban: a20. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD jika panjang AB = 10

cm, dan TA = 53 cm, maka nilai tangen sudut antara garis TAdengan bidang ABCD adalah .... UAN 2008.Ba. 1/3b. ½c. 1/3 3d. 1/2 2e. 1/2 6Penyelesaian:

AC = 10 2OA = ½ AC

= ½ (10 2)= 5 2

TO = 22 AOTA

= 22 )25()35(

= 5075 = 25= 5

tan A =AO

TO

=25

5

=2

1

= 22

1

Jawaban: d21. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik

H dan garis AC adalah .... UAN 2008.Ba. 83 cmb. 82 cmc. 46 cm


d. 43 cme. 42 cmPenyelesaian:

Pandang segitiga ACHAH = CH = AC = 82AO = OC = ½ AH

= ½ (82)= 42

OH = 22 AOAH

= 22 )24()28(

= 32128 = 96=46

Jawaban: c


1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudutantara diagonal AG dan bidang alas ABCD adalah , maka sin adalah ....

a. 32

1

b. 22

1

c. 33

1

d. ½

e. 23

1

2. Pada limas beraturan T.ABCD diketahui AB = 12 cm, TD = 10 cm danP adalah titik tengah AB. Nilai cos TPD = ....

a. 510

1

b. 510

2

c. 510

3

d. 510

7

e. 510

9

3. Diketahui PQR dengan sudut P = 150, R = 300 dan PQ = 4 cm.Panjang sisi PR = .... cma. 43b. 42c. 23d. 22e. 2

LATIHAN MANDIRI


4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudutantara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah , maka sin adalah ....

a. 32

1

b. 22

1

c. 33

1

d. ½

e. 23

1

5. Diketahui ABC dengan A = 450, B = 300 dan BC = 5 cm.Panjang sisi AB = .... cma. )13(25

b. )13(2

5

c. )13(2

5

d. )13(2

e. )13(2

284 trigonometri

Standar KompetensiLulusan (SKL) IV

: Memahami konsep perbandingan, fungsi,persamaan dan identitas trigonometri,melakukan manipulasi aljabar untuk menyusunbukti serta menggunakannya dalam pemecahanmasalah.


: Trigonometri

Operasional RLM : Aturan sinus dan kosinus Rumus jumlah dan selisih dua sudut Rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan

tangen Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri

PEMETAAN SKL

285 trigonometri

A. Hubungan sinus, kosinus dan tangen, secan, cosecan dan cotangen

1. sin =r

y y = r sin

2. cos =r

x x = r sin

3. tan =x

y tan =

cos

sin

r

r tan =

cos

sin

4. sec =x

r sec =

cosr

r sec =

cos

1

5. cosec =y

r cosec =

sinr

r cosec =

sin

1

6. cotan =y

x cotan =

sin

cos

r

r cotan =

sin

cos

7. Phytagoras : 222 ryx 22 )sin()cos( rr = r2

r2 cos2 + r2 sin2 = r2

r2 (cos2 + sin2 ) = r2

cos2 + sin2 =2

2

r

r

sin2 + cos2 = 1

ry

x

demi SINsami COSdesa TANGEN

MATERI

286 trigonometri

8. Sec2 =2cos

1

9. Cosec2 =2sin

1

10. sin2 + cos2 = 1

2cos

1

22

2

2

2

cos

1

cos

cos

cos

sin

2

2

cos

11

cos

sin

22 sec1tan B. Menghitung panjang sisi dan luas segitiga sebarang

1. Aturan sinus :C

c

B

b

A

a

sinsinsin

2. Aturan cosinus :a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C

3. Luas segitiga :½ ab sin C

b

A B

C

a

c

287 trigonometri

L = ½ bc sin A½ ac sin B

C. Rumus-rumus trigonometri1. Jumlah dan selisih dua sudut cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

tan (A + B) =A

BA2tan1

tantan

tan (A – B) =A

BA2tan1

tantan

2. sudut ½ A

sin ½ A = 2

cos1 A

= A212cos1

cos ½ A = 2

cos1 A

= A212cos1

tan ½ A =A

A

cos1

cos1

=A

A

cos1

sin

=A

A

sin

cos1

288 trigonometri

3. Sudut rangkap sin 2A = 2 sin A cos A cos 2A = cos2 A – sin2 A

= 2 cos2 A – 1= 1 – 2 sin2 A

4. Perkalian sinus dan kosinus 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

5. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus cos A + cos B = 2 cos 2

1 (A + B) cos 21 (A – B)

cos A – cos B = – 2 sin 21 (A + B) sin 2

1 (A – B)

sin A + sin B = 2 sin 21 (A + B) cos 2

1 (A – B)

sin A – sin B = 2 cos 21 (A + B) sin 2

1 (A – B)D. Grafik fungsi trigonometri

1. )(cos)( bkxaxf 2. )(sin)( bkxaxf

Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri digunakan langkah –langkah sebagai berikut: Gambar grafik xy cos atau xy sin Kalikan semua ordinatnya dengan k Menentukan periode grafik: Untuk sinus dan cosinus : 2 atau 3600

Untuk tangen : atau 1800

Nilai maksimum, jika cos (x - ) = 1

289 trigonometri

k cos (x - )fmaks = k(1) atau k (-1)fmin = k (1) atau k (-1)

Amplitudo (panjang gelombang) = ½ (fmaks – fmin)E. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri

1. Persamaan trigonometria. Persamaan dasar trigonometrib. Persamaan yang dapat difaktorkanc. Persamaan yang berbentuk cxbxa sincos

Dapat dirubah menjadi : k cos (x - ) = c

Dengan k = 22 ba

tan =a

b dapat dicari

2. Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan : Cara menggambar grafik Menggunakan garis bilangan

290 trigonometri

F. Tabel Trigonometri

291 trigonometri

1. Diketahui A adalah sudut lancip dan cos ½ A =x

x

2

1. Nilai sin A adalah

.... UAN 2003

a.x

x 12

b.12 x

x

c. 12 x

d. 12 x

e.x

x 12

Penyelesaian :

sin ½ A =2

cos1 A

= A212cos1

Dengan :

cos ½ A =x

x

2

1

cos2 ½ A =x

x

2

1

jadi :

sin ½ A =x

x

2

11

sin 2A = 2 sin A cos Asin A = 2 sin ½ A cos ½ A

= 2

x

x

x

x

2

1

2

1

= 2

x

x

x

x

2

1

2

1

= 2

2

2

4

1

x

x

= 2

x

x

2

12


292 trigonometri

=x

xx

2

)1(2

=x

xx

2

12

=x

x

2

1

=x

x 12

Jawaban : a2. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos3sin 00 xx ,

3600 x adalah .... UAN 2003a. {15, 285}b. {75, 165}c. {105, 195}d. {165, 225}e. {195, 285}Penyelesaian :

00 cos3sin xx = 200 sincos3 xx = 2

a cos x + b sin x = c

k = 22 1)3( = 2

tan =3

1

)(

)(

)cos(

)sin(

x

ykuadran ii

= 33

1

= 1500

2 cos (x – 1500) = 2

cos (x – 1500) = 22

1

a = 3b = 1

c = 2

293 trigonometri

cos (x – 1500) = cos 450 atau cos (x – 1500) = cos 3150

(x – 1500) = 450 + k.3600

x = 1500 450 + k.3600

= 1500 + 450 + k.3600

= 1950 + k.3600 atau= 1500 – 450 + k.3600

= 1050 + k.3600

untuk k = 0x = 1950 atau x = 1050

untuk k = 1x = 5550 atau x = 4650

(x – 1500) = 3150 + k.3600

x = 1500 3150 + k.3600

= 1500 + 3150 + k.3600

= 4650 + k.3600 atau= 1500 – 3150 + k.3600

= - 1650 + k.3600

untuk k = 0x = 4650 atau x = -1650

untuk k = 1x = 8250 atau x = 1950

Karena 0 < x < 360 maka, x yang memenuhi adalah :x = 105 dan x = 195jadi HP = { 105, 195}Jawaban : c

3. Nilai sin 450 cos 150 + cos 450 sin 150 = .... UAN 2004a. ½b. ½ 2c. ½ 3d. 1/3 2e. 3Penyelesaian :sin A cos B + cos A sin B = sin (A + B)sin 450 cos 150 + cos 450 sin 150 = sin (450 + 150)

= sin 600

= ½ 3Jawaban : c

4. Persamaan fungsi grafik di bawah ini adalah .... UAN 2004

294 trigonometri

a. )(cos2 61 xy

b. )(cos2 61 xy

c. )(cos2 31 xy

d. )(cos2 32 xy

e. )(cos2 31 xy

Penyelesaian :

Garfiknya berbentuk y = a cos (kx + b)Dimana : a = 2 dan periodenya ⅓ maka, persamaan grafiknya adalah y =2 cos (x + ⅓)Jawaban : c

5. Penyelesaian pertidaksamaan sin (x – 450) > ½ 3 untuk 3600 xadalah .... UAN 2004a. 75 < x < 105b. 75 < x < 165c. 105 < x < 165d. 0 < x < 75 atau 165 < x < 360e. 0 < x < 105 atau 165 < x < 360Penyelesaian :sin (x – 45) > ½ 3sin (x – 45) > sin 60 atau sin (x – 45) > sin 120

295 trigonometri

Karena 3600 x maka x yang memenuhi adalah :

Titik uji :Untuk interval x < 105x = 90 sin (90 – 45) > ½ 3

sin 45 > ½ 3½ 2 > ½ 3 tidak memenuhi

Untuk interval 105 < x < 165x = 135 sin (135 – 45) > ½ 3

sin 90 > ½ 31 > ½ 3 memenuhi

Untuk interval x > 165x = 180 sin (180 – 45) > ½ 3

sin 135 > ½ 3½ 2 > ½ 3 tidak memenuhi

Jadi daerah yang memenuhi adalah 105 < x < 165atausin (x – 45) > ½ 3sin (x – 45) > sin 60 atau sin (x – 45) > sin 120

165105

296 trigonometri

60 < x – 45 < 120105 < x < 165Jawaban : c

6. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2sin6 00 xx untuk3600 x adalah .... UAN 2004

a. {15,105}b. {75,345}c. {15,195}d. {105,345}e. {75,195}Penyelesaian :

00 cos2sin6 xx = 200 sin6cos2 xx = 2

a cos x + b sin x = c

k = 22 )6()2(

= 62 = 22

tan =2

6

)(

)(

)cos(

)sin(

x

ykuadran i

=2

12

a = 2

b = 6c = 2

297 trigonometri

=2

32

= 3 = 600

22 cos (x – 600) = 2

cos (x – 600) =22

2

cos (x – 600) = 22

1

cos (x – 600) = cos 450 atau cos (x – 600) = cos 3150

Karena 0 < x < 360 maka, x yang memenuhi adalah :x = 15 dan x = 105jadi HP = { 15, 105 }Jawaban : a

7. Nilai x yang memenuhi persamaan031cos.sin2cos32 2 xxx , untuk 00 3600 x adalah ....

UAN 2005a. 150, 300, 900, 2700

b. 150, 300, 2700, 3200

c. 300, 900, 2100, 2700

d. 300, 900, 3200, 3600

e. 300, 900, 2700, 3600

298 trigonometri

Penyelesaian :31cos.sin2cos32 2 xxx = 0

1cos.sin23cos32 2 xxx = 0

12sin)1cos2(3 2 xx = 0

12sin2cos3 xx = 0

xx 2sin2cos3 = -1a cos x + b sin x = c

k = 22 )1()3(

= 13= 2

tan =3

1

)(

)(

)cos(

)sin(

x

ykuadran iv

= 33

1

= 3000

2 cos (2x – 3000) = -1

cos (2x – 3000) =2

1

cos (2x – 3000) = cos 1200 atau cos (2x – 3000) = cos 2400

a = 3b = -1c = -1x = 2x

299 trigonometri

Karena 00 3600 x maka, x yang memenuhi adalah :x = 300, x = 900, x = 2100, dan x = 2700

jadi HP = {300, 900, 2100,2700}Jawaban : c

8. Nilai dari cos 4650 – cos 1650 adalah .... UAN 2006

a. 22

1

b. 32

1

c. 3

d. 62

1

e. 6

300 trigonometri

Penyelesaian :cos A – cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)cos 4650 - cos 1650 = -2 sin ½ (4650+1650) sin ½ (4650 – 1650)

= -2 sin ½ (6300) sin ½ (3000)= -2 sin 3150 sin 1500

= -2

2

12

2

1

= 22

1

Jawaban : a

9. Nilai dari00

00

15cos75cos

15sin105sin

adalah .... UAN 2007.B

a. 3b. -1c. ½d. ½ 3

e. 3

Penyelesaian :sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)cos A – cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)

00

00

15cos75cos

15sin105sin

=)1575(sin)1575(sin2

)15105(sin)15105(cos200

2100

21

002100

21

=)60(sin)90(sin2

)90(sin)120(cos20

210

21

0210

21

=00

00

30sin45sin2

45sin60cos2

301 trigonometri

=2

1

21

= -1

Jawaban : b10. Nilai dari cos 400 + cos 800 + cos 1600 = .... UAN 2007.A

a. 22

1

b. – ½c. 0d. ½

e. 22

1

Penyelesaian :cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)cos 400 + cos 800 + cos 1600 = 2 cos ½ (400 + 800) cos ½ (400 – 800) + cos1600

= 2 cos ½ (1200) cos ½ ( – 400) + cos 1600

= 2 cos 600 cos (– 200) + cos 1600

= 2 cos 600 cos 200 + cos 1600

= 2 (½ ) cos 200 + cos 1600

= cos 200 + cos 1600

= 2 cos ½ (200 + 1600) cos ½ (200 – 1600)= 2 cos ½ (1800) cos ½ ( – 1400)= 2 cos 900 cos (– 700)= 2 . (0) . cos 700

= 0Jawaban : c

11. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x0 + 7 sin x0 – 4 = 0,3600 x adalah .... UAN 2008.A

a. {240,300}b. {210,330}c. {120,240}d. {60,120}

302 trigonometri

e. {30,150}Penyelesaian :cos 2x0 + 7 sin x0 – 4 = 01 – 2 sin2 x0 + 7 sin x0 – 4 = 0- 2 sin2 x0 + 7 sin x0 – 3 = 02 sin2 x0 – 7 sin x0 + 3 = 0

mis: sin x0 = p maka,

2p2 – 7p + 3 = 0 ... x ... = 62p2 – p – 6p + 3 = 0 ... + ... = - 7(2p2 – p) + (– 6p + 3) = 0p(2p – 1) – 3(2p – 1) = 0(p – 3)(2p – 1) = 0p = 3 dan p = ½sin x0 = 3 dan sin x0 = ½tdk memenuhi sin x0 = sin 300 atau

sin x0 = sin 1500

x0 = 300 k.3600

x = 30 + k.360 ataux = 300 - k.3600

untuk k = 0x = 30 atau x = 30untuk k = 1x = 390 atau x = -330

x0 = 1500 k.3600

x = 150 + k.360 ataux = 150 - k.360untuk k = 0x = 150 atau x = 150untuk k = 1x = 510 atau x = - 210

Karena 3600 x , maka nilai x yang memenuhi adalah 30, 150Jadi Hp = {30, 150}Jawaban : e

12. Nilai dari cos 1950 + cos 1050 adalah .... UAN 2008.A

a. 62

1

b. 32

1

303 trigonometri

c. 22

1

d. 0

e. 62

1

Penyelesaian :cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)cos 1950 + cos 1500 = 2 cos ½ (1950 + 1500) cos ½ (1950 – 1500)

= 2 cos ½ (3000) cos ½ ( 900)= 2 cos 1500 cos 450

= 2

2

2

13

2

1

= 62

1

Jawaban : e13. Nilai cos 750 adalah .... UAN 2008.A

a. 264

1

b. 264

1

c. 262

1

d. 262

1

e. 233

1

Penyelesaian :cos 750 = cos (450 + 300)

= cos 450 cos 300 – sin 450 sin 300

=

2

12

2

13

2

12

2

1

304 trigonometri

= 24

16

4

1

= 264

1

Jawaban : b14. Himpunan penyelesaian dari cos 2x0 + 7 sin x0 + 3 = 0, 3600 x

adalah .... UAN 2008.Ba. {0,90}b. {90,270}c. {30,130}d. {210,330}e. {180,360}Penyelesaian :cos 2x0 + 7 sin x0 + 3 = 01 – 2 sin2 x0 + 7 sin x0 + 3 = 0- 2 sin2 x0 + 7 sin x0 + 4 = 02 sin2 x0 – 7 sin x0 - 4 = 0

mis: sin x0 = p maka,2p2 – 7p - 4 = 0 ... x ... = - 82p2 + p – 8p - 4 = 0 ... + ... = - 7(2p2 + p) + (– 8p - 4) = 0p(2p + 1) – 4(2p + 1) = 0(p – 4)(2p + 1) = 0p = 4 dan p = -½sin x0 = 4 dan sin x0 = -½tdk memenuhi, sin x0 = sin 2100 atau sin x0 = sin 3300

305 trigonometri

Karena 3600 x , maka nilai x yang memenuhi adalah 210, 330Jadi Hp = {210, 330}Jawaban : d

15. Nilai dari sin 1050 + sin 150 adalah .... UAN 2008.B

a. 62

1

b. 32

1

c. 22

1

d.2

1

e. 63

1

Penyelesaian :sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)sin 1050 + sin 150 = 2 sin ½ (1050 + 150) cos ½ (1050 - 150)

= 2 sin ½ (1200) cos ½ (900)= 2 sin 600 cos 450

= 2

2

2

13

2

1

= 62

1

Jawaban : a16. Jika tan = 1 dan tan = 1/3 dengan dan sudut lancip, maka sin ( -) = .... UAN 2008.B

a. 53

2

b. 55

1

306 trigonometri

c.2

1

d.5

2

e.5

1

Penyelesaian :

tan = 1 tan =3

1

sin = 22

1sin = 10

10

1

cos = 22

1cos = 10

10

3

sin ( - ) = sin cos - cos sin

=

10

10

12

2

110

10

32

2

1

= 2020

120

20

3

= 2020

13

= 52.20

2

= 55

1

Jawaban : b

307 trigonometri

LATIHAN MANDIRI

308 trigonometri

327 diferensial

2. Diferensial (Turunan)

x

y

=aha

afhafh

)(

)()(lim

0

)(' af =aha

afhafh

)(

)()(lim

0

y' = f’(x) =dx

dy=

dx

df=

h

xfhxfh

)()(lim

0

A. Turunan fungsi aljabar1. f(x) = k f’(x) = 02. f(x) = x f’(x) = 13. f(x) = xn f’(x) = nxn-1

4. f(x) = axn f’(x) = anxn-1

B. Operasi aljabar fungsi turunan1. y = u v y' = u’ v’2. y = u . v y' = u’v + v’u

3. y =v

uy' =

2

''

v

uvvu

y

x

∆y = f (a + h) – f (a)

f (a + h)

f(t)

a + ha

f (a)∆x = (a + h) – a

MATERI

328 diferensial

C. Turunan fungsi trigonometri1. y = sin x y' = cos x2. y = cos x y' = - sin x3. y = tan x y' = sec2 x4. y = sec x y' = sec x tan x5. y = cosec x y' = - cosec x cot x6. y = cot x y' = cosec2 x

D. Aturan rantai1. )()'( xgfo = f’(g(x)).g’(x)

dx

dy=

dx

du

du

dy '' 1unuy n

2. )()'( xhgf oo = f’(g(h(x))).g’(h(x)).h’(x)

dx

dy=

dx

dv

dv

du

du

dy

Suatu fungsi mempunyai nilai maksimum atau minimum jika, turunanpertama adalah nol

E. Persamaan garis singgung menggunakan konsep turunanPersamaan garis singgung pada kurva y = f(x) melalui titik (a, f(a)) adalah y– f(a) = f (a)(x – a)

sin x

cos x

- sin x

- cos x

329 diferensial

1. Suatu garis menyinggung kurva 523 23 xxxy di titik T (1, -3).Persamaan garis singgung tersebut adalah .... UAN 2003a. y = 5x – 7b. y = 5x – 10c. y = 7x – 3d. y = 7x – 5e. y = 7x – 10Penyelesaian :

523)( 23 xxxxf

263)(' 2 xxxf7)1(' f

Karena m = f’(1) maka, m = 7Jadi persamaan garis singgungnya adalah :y – (- 3) = 7 (x – 1)y + 3 = 7x – 7y = 7x – 10Jawaban : e

m = f’(x)

(x, y)

y = f(x)


330 diferensial

2. Diketahui g(x) =)(

32

xf

x , f’ adalah turunan pertama dai f dan g’ adalah

turunan pertama dari g. Jika f(1) = f’(1) = 1 maka, g’(x) = .... UAN 2003a. -3b. -1c. 1d. 3e. 4Penyelesaian :

g (x) =)(

32

xf

x g’ (x) =

2)(

)(')32()(2

xf

xfxxf

f (x) = f’(x) = 1 g’ (1) = 2)1(

)1(')3)1(2()1(2

f

ff

=2)1(

)1)(1()1(2

= 3Jawaban : d

3. suatu peluru ditembakan ke atas. Tinggi peluru pada t detik dirumuskanoleh h(t) = 40t – 5t2 (dalam meter). Tinggi maksimum yang dapatditempuh oleh peluru tersebut adalah .... UAN 2004a. 75 meterb. 80 meterc. 85 meterd. 90 metere. 95 meterPenyelesaian :h(t) = 40t – 5t2 h’(t) = 0

40 – 10t = 040 = 10t4 = t

h(4)= 40 (4) – 5 (4)2

= 160 – 80= 80 meter

Jawaban : b

331 diferensial

4. Turunan pertama dari fungsi5

5)(

x

xxf adalah .... UAN 2004

a.2)5(

10

x

b.2)5(

5

x

c.2)5(

10

x

d.2)5(

5

x

e.2)5(

10

xPenyelesaian :

f (x)=5

5

x

x f’(x) =

2)5(

)5(1)5(1

x

xx

=2)5(

55

x

xx

=2)5(

10

xJawaban : c

5. Turunan pertama dari y = cos2 (2x - ) adalah .... UAN 2004a. -2 sin (4x - 2)b. - sin (4x - 2)c. -2 sin (2x - ) cos (2x - )d. 4 sin (2x - )e. 4 sin (2x - ) cos (2x - )Penyelesaian :y = cos2 (2x - )

= { cos (2x - )}2

Misalnya :u = cos v y = u2

332 diferensial

v = 2x -

du

dy= u2 )2cos(2 x

du

dy

dv

du= - sin v )2sin( x

dv

du

dx

dv= 2

dx

dy=

dx

dv

dv

du

du

dy

= )2()2sin()2cos(2 xx= - 2 {2 cos (2x - ) sin (2x - )}= - 2 {2 sin (2x - ) cos (2x - )}= - 2 {sin 2(2x - )}= - 2 sin (4x - 2)

Jawaban : a6. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar di

bawah ini.

Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah .... UAN2005

a. 16 mb. 18 mc. 20 md. 22 me. 24 mPenyelesaian :Panjang kawat sama dengan keliling persegi panjangKeliling persegi panjang = 120 m

lp 43 = 120l4 = p3120

p

l

l

333 diferensial

l =4

3120 p

Mis, luas persegi panjang adalah L(p)lppL 2)(

)4

3120(2

pp

)3120(2

1pp

)( pL 2

2

360 pp

Maksimum artinya turunan pertamanya harus = 0L ‘(p) = 0

60 – 3p = 060 = 3p20 = p

Jawaban : c7. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam

x jam, dengan biaya perjam )120

8004(x

x ratusan ribu rupiah. Agar

biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu .... UAN2005a. 40 jamb. 60 jamc. 100 jamd. 120 jame. 150 jamPenyelesaian :Biaya total = biaya perjam dikalikan dengan waktuMis : biaya total = B(x)

)(xB = xx

x )120

8004(

= 1208004 2 xxBiaya minimum untuk maksimumkan waktu jika turunan pertamanya = 0

B’(x) = 0

334 diferensial

8x – 800 = 08x = 800

x = 100Jawaban : c

8. Suatu peluru ditembakan vertikal ke atas dengan kecepatan V0 m/t.Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi h(t) = 5 + 20t – 5/4t2. Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah .... UAN2006a. 75 mb. 85 mc. 145 md. 160 me. 185 mPenyelesaian :

Misalkan volumenya V(x) = p l t= (40 – 2x)(25 – 2x)(x)= (1000 - 80x - 50x + 4x2)(x)= 1000x – 130x2 + 4x3

Maksimum berarti : V’(x) = 01000 – 260x + 12X2 = 03x2 - 65x + 250 = 0 ... ... = 7503x2 - 15x – 50x + 250 = 0 ... + ... = - 65(3x2 – 15x) - (50x – 250) = 03x(x – 5) - 50(x – 5) = 0(3x – 50)(x – 5) =0x = 50/3 dan x = 5

Jawaban : b

335 diferensial

9. Turunan dari f(x) = 3 22 )53(cos xx adalah f’(x) = .... UAN 2005a. 2/3 cos -1/3 (3x2 +5x) sin (3x2 + 5x)b. 2/3 (6x + 5) cos -1/3 (3x2 +5x)c. - 2/3 cos -1/3 (3x2 +5x) sin (3x2 + 5x)

d. - 2/3 (6x + 5) tan (3x2 +5x) 3 22 )53(cos xx

e. 2/3 (6x + 5) tan (3x2 +5x) 3 22 )53(cos xx Penyelesaian :

f (x)= 3 22 )53(cos xx

= 31

)53(cos 22 xx

= 31

22 )53cos( xx

= 32

)53cos( 2 xx Misalkan, u = cos (3x2 + 5x) f(x) = u2/3

u = cos v v = 3x2 + 5x

du

dy= 3

1

3

2 u 3

1

)53cos(3

2 2 xxdu

dy

dv

du= - sin v )53sin( 2 xx

dv

du

dx

dv= 6x + 5

dx

dy=

dx

dv

dv

du

du

dy

= )56))(53sin(()53cos(3

2 22 31

xxxxx

=31

)53cos(

))53sin()(56(3

2

2

2

xx

xxx

=31

)53cos(

))53(sin()56(

3

22

2

xx

xxx

336 diferensial

Jawaban : d10. Turunan pertama dari y = (x - 3)(4x - 1)1/2 adalah y’ = .... UAN 2006

a.14

2

x

b.14

52

x

x

c.14

76

x

x

d.142

3

x

x

e.142

52

x

x

Penyelesaian :y = (x – 3)(4x – 1)1/2

misalkan, u = x – 3 u’ = 1v = (4x – 1)1/2

misalkan, w = 4x – 1

v = w1/2 v’ = '.2

121

ww

= )4()14(2

121x

= 2 (4x – 1)-1/2

y’ = u’v + v’u= 1(4x – 1)1/2 + 2 (4x – 1)-1/2 (x – 3)

=14

)3(214

x

xx

=14

6214

x

xx

=14

6214

x

xx

337 diferensial

=14

76

x

x

Jawaban : c11. Salah satu persamaan garis singgung kurva y = x2 + x – 11 di titik yang

berordinat 1 adalah .... UAN 2006a. y = 7x – 2b. y = 7x – 4c. y = 7x – 12d. y = 7x – 20e. y = 7x – 22Penyelesaian :Ordinat 1 artinya y = 1y = x2 + x – 111 = x2 + x – 110 = x2 + x – 12 ... ... = - 120 = (x + 4)(x – 3) ... + ... = 1x = - 4 dan x = 3 (- 4, 1) dan (3, 1)gradien dari y = x2 + x – 11 adalah :

m = y’ = 2x + 1untuk (- 4, 1) m = 2(- 4) + 1 y – 1 = -7(x – (-4))

= -8 + 1 y – 1 = -7x + 28= - 7 y = -7x + 29

Untuk (3,1) m = 2(3) + 1 y – 1 = 7(x – 3)= 6 + 1 y – 1 = 7x - 21= 7 y = 7x - 20

Jawaban : d12. turunan dari y = cos3 (3 -2x) adalah y’ = .... UAN 2007.B

a. 3 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x)b. - 3 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x)c. 6 cos (3 -2x) sin2 (3 -2x)d. - 6 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x)e. 6 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x)Penyelesaian :y = cos3 (3 -2x) y = {cos(3 -2x)}3

misalkan, u = cos v, v = 3 -2x

338 diferensial

y = u3 23udu

dy )23(cos3 2 x

du

dy

u = cos v vdv

dusin )23sin( x

dv

du

v = 3 -2x 2dx

dv

dx

dy=

dx

dv

dv

du

du

dy

= 3 cos2 (3 -2x)(- sin (3 -2x))(-2)= 3 cos2 (3 -2x) 2 sin (3 -2x)= 6 sin (3 – 2x) cos2 (3 – 2x)

Jawaban : e13. Perhatikan gambar !

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapau maksimum jikakoordinat titik R adalah .... UAN 2007.Ba. (1, 2/5)b. (1, 5/2)c. (5/2, 1)d. (1/2, 15)e. (1/2, 15/4)Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah qp, dan panjang persegi panjang yang sejajar sumbu y adalah y,sedangkan lebar yang sejajar dengan sumbu x adalah x, maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan

339 diferensial


Sesuai dengan rumusan di atas maka persamaan grafiknya adalah 5x + 2y

= 10 2y = 10 – 5x atau y =2

510 xdan misalkan luas persegi panjang

xyxL )( . Jika y =2

510 xdisubstitusi ke dalam persamaan

xyxL )( akan diperoleh :

)(xL = x2

510 x

=2

510 2xx

= 2

2

55 xx

Maksimum jika L’(x) = 05 – 5x = 0

5 = 5x1 = x

y =2

510 x

=2

510

= 5/2Jawaban : b

340 diferensial

14. Jika f(x) = sin2 (2x + /6), maka nilai dari f’(0) = .... UAN 2007. Aa. 32b. 2c. 3

d. 32

1

e. 22

1

Penyelesaian :f(x) = sin2 (2x + /6) f(x) = {sin(2x + /6)}2

misalkan u = sin v v = 2x + /6

f’(x) = u2 du

dy= 2u

du

dy= 2 sin (2x + /6)

u = sin v dv

du= cos v

dv

du= cos (2x + /6)

v = 2x + /6 dx

dv= 2

dx

dy=

du

dy

dv

du

dx

dv

= 2 sin (2x + /6). cos (2x + /6). 2= 2 {2 sin (2x + /6). cos (2x + /6)}= 2 {sin 2 (2x + /6)}

f’(x) = 2 sin (4x + /3)f’(0) = 2 sin (4(0) + /3)

= 2 sin /3= 2 sin 600

= 2

3

2

1

= 3Jawaban : c

341 diferensial


Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapau maksimum jikakoordinat titik M adalah .... UAN 2007.Aa. (2, 5)b. (2, 5/2)c. (2, 2/5)d. (5/2, 2)e. (2/5, 2)Penyelesaian :Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan yadalah qp, dan panjang persegi panjang yang sejajar sumbu y adalah y,sedangkan lebar yang sejajar dengan sumbu x adalah x, maka untukmembentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan


342 diferensial

Sesuai dengan rumusan di atas maka persamaan grafiknya adalah 5x + 4y

= 20 4y = 20 – 5x atau y = x4

55 dan misalkan luas persegi panjang

xyxL )( . Jika y = x4

55 disubstitusi ke dalam persamaan xyxL )(

akan diperoleh :

)(xL = x

x

4

55

= 2

4

55 xx

Maksimum jika L’(x) = 0

x2

55 = 0

5 = x2

5

10 = 5xx = 2

y = x4

55

= )2(4

55

=2

55

=2

510

=2

5

Jadi maksimum jika M(2, 5/2)Jawaban : b

343 diferensial

16. Diketahui f(x) =12

32

x

x. Jika f’(x) menyatakan turunan pertama f(x),

maka f(0) + 2 f’(0) = .... UAN 2008. A

a. - 10b. – 9c. – 7d. – 5e. – 3Penyelesaian :

f(x) =12

32

x

x f(0) =

1)0(2

3)0( 2

=1

3

= 3misalkan, u = x2 + 3 u’=2x

v = 2x + 1 v’ = 2

f’(x) =2

''

v

uvvu

=2

2

)12(

)3(2)12(2

x

xxx

=2

22

)12(

6224

x

xxx

=2

2

)12(

622

x

xx

f’(0)=2

2

)1)0(2(

6)0(2)0(2

=2)10(

600

= - 6f(0) + 2 f’(0) = 3 + 2 (- 6)

344 diferensial

= 3 – 12= - 9

Jawaban : b17. Suatu proyek direncanakan selesai dalam waktu x hari dan akan menelan

biaya (3x +x

1200- 60) ribu rupiah. Waktu yang dibutuhkan untuk proyek

tersebut agar biayanya minimum adalah .... UAN 2008.Aa. 10 harib. 20 haric. 30 harid. 60 harie. 80 hariPenyelesaian :

Biaya perhari = (3x +x

1200- 60) ribu rupiah

Waktu = x hariBiaya total B(x) = waktu . biaya perhari

= x (3x +x

1200- 60)

= 3x2 + 1200 – 60x atau= 3x2 – 60x + 1200

Meminimumkan biaya, artinya memaksimumkan waktu :Maksimum jika B’(x) = 0

6x – 60 = 06x = 60

x = 10Jawaban : a

18. Turunan pertama dari y =4

1sin 4x adalah y’ = .... UAN 2008.A

a. – cos 4x

b.16

1 cos 4x

c.2

1 cos 4x

345 diferensial

d. cos 4x

e.16

1cos 4x

Penyelesaian :

y =4

1sin 4x

misalkan,

y =4

1u

du

dy=

4

1

u = sin v dv

du= cos v

dv

du= cos 4x

v = 4x dx

dv= 4

dx

dy=

du

dy

dv

du

dx

dv

=4

1(cos 4x)(4)

=4

1(4) (cos 4x)

= cos 4xJawaban : d

19. Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), makanilai f’(3) = .... UAN 2008.Ba. 85b. 101c. 112d. 115e. 125Penyelesaian :

f(x) = 3x3 + 4x + 8f’(x) = 9x2 + 4f’(3) = 9(3)2 + 4

= 9 (9) + 4

346 diferensial

= 81 + 4= 85

Jawaban : a20. Turunan pertama y = cos (2x + 1) adalah y’ = .... UAN 2008.B

a. – sin (2x + 1)b. – 2 sin (2x + 1)

c.2

1sin (2x + 1)

d. Sin (2x + 1)e. 2 sin (2x + 1)Penyelesaian :y = cos (2x + 1)misalkan u = cos v v = 2x + 1

y = udu

dy= 1

u = cos vdv

du= - sin v

dv

du= - sin (2x + 1)

v = 2x + 1dx

dv= 2

dx

dy=

du

dy

dv

du

dx

dv

= 1{- sin (2x + 1)}{2}= 2{- sin (2x + 1)}= - 2 sin (2x + 1)

Jawaban : b

347 diferensial

1. Pak bambang akan memagari kandang ayam berbentuk persegi panjangyang terletak di samping tembol rumahnya seperti pada gambar di bawahini. Pagar kawat yang tersedia 100 m dan pada sisi tembok tidak diberipagar. Ukuran luas kandang yang maksimum adalah ....a. 725 m2

b. 659 m2

c. 625 m2

d. 500 m2

e. 450 m2

2. Sehelai karton akan dibentuk kotak ABCD.EFGH tanpa tutup, dengan alasABCD persegi. Jika semua jumalh luasnya sama dengan 432 cm2, makavolume kotak terbesar adalah ....a. 432 cm3

b. 649 cm3

c. 720 cm3

d. 864 cm3

e. 972 cm3

3. Jika f(x) = 3 2 )23(sin x maka turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) =....

a.3 )23sin(

)23cos(

x

x

b.3 )23sin(2

)23cos(

x

x

c.3 )23sin(3

)23cos(

x

x

d.3 )23sin(

)23cos(2

x

x

e.3 )23sin(3

)23cos(2

x

x

LATIHAN MANDIRI

348 diferensial

4. Turunan pertama dari f(x) =1

12

x

xadalah f’(x), maka nilai f’(2) adalah ....

a. 4b. 2c. 1d. – 1e. – 2

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 – 9x2 + 5x – 2 di titik yangberabsis 1 adalah ....a. x + 7y + 3 = 0b. x + 7y - 3 = 0c. 7x - y + 3 = 0d. 7x + y - 3 = 0e. 7x + 7y + 3 = 0

6. Diketahui fungsi f(x) = (x + sin 3x) dan g(x) = x2. Jika u(x) = g(f(x)), makaturunan pertama dari u(x) adalah u’(x) = ....a. 2 (x + sin 3x + 3x sin 3x + 3 sin2 3x)b. 2x + 2 sin 3x + 6x cos 3x + 3 sin 6xc. 2x + 6 sin 3x + cos 3xd. 2(x + sin 3x + 3 sin 3x + sin2 3x)e. 2x + 6 sin 3x + 3x cos 3x + sin 3x cos 3x

7. Garis singgung pada parabola y = x2 – 4 yang tegak lurus pada garis y = x +3 dan memotong sumbu y di titik ....a. (0, -13/4)b. (0, -15/4)c. (0, -17/4)d. (0, -19/4)e. (0, -21/4)

354 integral

4. Integral tak tentu & integral tertentu dari fungsi aljabar & fungsitirgonometriA. Integral tak tentu f(x) dx = F(x) + c dx = x + c a dx = a dx = ax + c

axn dx = cxn

a n

1

1 {f(x) g(x)} dx = f(x) dx g(x) dx

B. Integral tertentu

)()()()( aFbFxFdxxf ba

b

a

a

b

b

adxxfdxxf )()(

a

adxxf 0)(

c

b

b

a

c

adxxfdxxfdxxf )()()( , dengan a < b < c

b

a

b

adxxfkdxxkf )()(

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

MATERI

355 integral

C. Integral fungsi trigonometri sin x dx = - cos x + c cos x dx = sin x + c sec2 x dx = tan x + c sec x tan x dx = sec x + c cosec x cotan x dx = - cosec x + c

sin (ax + b) dx =a

1 cos (ax + b) + c

cos (ax + b) dx =a

1sin (ax + b) + c

D. Integral substitusi f(x) dx = u du = F(x) + cJika u = g(x), maka f(g(x)).g’(x) dx = F(g(x)) + c

E. Integral parsial u dv = uv - v du

F. Integral tanzalinJika fungsi u turunannya mencapai nol dan integral dari dv ada maka,dapat diselesaikan dengan cara tanzalin.

356 integral

1. Hasil dari 20

2 )sin(cos

dxxx = .... UAN 2003

a. 1/3b. ½c. 1/3 d. ½ e. Penyelesaian :

20cos

x sin2 x dx

Misalkan :u = sin x du = cos x dx

20

2sin

x cos x dx = 20

2

u du

=2

0

3

3

1

u

=2

0

3sin3

1

x

= 203)(sin3

1

x

= 33 )0sin()2/sin(3

1

= 33 )0()1(3

1

=3

1


357 integral

Jawaban : a

2. 2

1sin

xx dx = .... UAN 2003

a. Sin x2 + cb. Cos x + cc. Sin 1/x + cd. Cos 1/x + c

e. Cos x2 + cPenyelesaian :

2

1sin

xx dx

Misalkan :

u = sinx

1 u = sin x-1

du =2

1

x dx du = - x-2 dx

- du = x-2 dx sin x-1 x-2 dx = u( – du)

= - u du= - sin x-1d(x-1)= - (- cos x-1) + c= cos x-1 + c

= cosx

1+ c

Jawaban : d3. x2 cos x dx = .... UAN 2003

a. x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + cb. x2 sin x - 2x cos x – 2 sin x + cc. x2 sin x - 2x cos x + 2 sin x + c

358 integral

d. x2 cos x + 2x cos x – 2 cos x + ce. x2 cos x - 2x cos x – 2 cos x + cPenyelesaian : x2 cos x dxmisalnya :u = x2 du = 2xdv = cos x dx v = dv

= cos x dx= sin x

x2 cos x dx = u dv= uv - v du= x2 (sin x) - sin x 2x dx= x2 (sin x) - 2x sin x dx

misalkan :u = 2x du = 2dv = sin x dx v = dv

= sin x dx= - cos x

2x sin x dx = 2x(- cos x) - - cos x 2 dx= - 2x cos x - (- 2 cos x dx)= - 2x cos x + 2 cos x dx= - 2x cos x + 2 cos x dx= -2x cos x + 2 ( sin x) + c= - 2x cos x +2 sin x + c= x2 sin x – (- 2x cos x +2 sin x) + c= x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + c

Atau dengan cara tanzalin :

X2 cos x dx2x20

Sin x- cos x- sin x

Tanda+-+

359 integral

= x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + cJawaban : a

4. Nilai dari 603cos7sin4

dxxx = .... UAN 2004

a. -3/20b. -13/10c. -5/7d. 13/10e. 17/20Penyelesaian :

603cos7sin4

dxxx

= 2 603cos7sin2

dxxx 2 sin A cos B = sin (A + B) sin (A - B)

= 2 60)4sin10(sin

dxxx

= 2 { 6010sin

dxx + 604sin

dxx }

= 26

0

4cos4

110cos

10

1

xx

= - 26

0

4cos4

110cos

10

1

xx

= - 2

)0(4cos

4

1)0(10cos

10

1

64cos

4

1

610cos

10

1

= - 2

0cos

4

10cos

10

1

3

2cos

4

1

3

5cos

10

1

= - 2

0cos

4

10cos

10

1120cos

4

1300cos

10

1

360 integral

= - 2

)1(

4

1)1(

10

1

2

1

4

1

2

1

10

1

= - 2

4

1

10

1

8

1

20

1

= - 2

40

104

40

52

= - 2

40

14

40

3

= - 2

40

17

=20

17

Jawaban : e5. Hasil dari 16 (x + 3) cos (2x - ) dx = .... UAN 2004

a. 8 (2x + 6) sin (2x - ) + 4 cos (2x - ) + cb. 8 (2x + 6) sin (2x - ) - 4 cos (2x - ) + cc. 8 (x + 3) sin (2x - ) + 4 cos (2x - ) + cd. 8 (x + 3) sin (2x - ) - 4 cos (2x - ) + ce. 8 (x + 3) cos (2x - ) + 4 sin (2x - ) + cPenyelesaian : 16 (x + 3) cos (2x - ) dx = 16 (x + 3) cos (2x - ) dx

(x + 3) cos (2x - ) dx10

½ Sin (2x- )¼ cos (2x- )

Tanda+-

= 16 (x + 3) cos (2x - ) dx= 16 [(x + 3) ½ sin (2x - ) + ¼ cos (2x - )] + c= 16 [ ½ (x + 3) sin (2x - ) + ¼ cos (2x - )] + c= 8 (x + 3)sin (2x - ) + 4 cos (2x - )] + c

361 integral

Jawaban : c6. Hasil dari cos5 x dx = .... UAN 2005

a. -1/6 cos6 x sin x + cb. 1/6 cos6 x sin x + cc. - sin x + 2/3 sin3 x + 1/5 sin5 x + cd. sin x - 2/3 sin3 x + 1/5 sin5 x + ce. sin x + 2/3 sin3 x + 1/5 sin5 x + cPenyelesaian : cos5 x dx = cos4 x cos x dx

= ( cos2 x)2 cos x dx= (1 – sin2 x)2 cos x dxmisalkan :u = sin x du = cos x dx= (1 – sin2 x)2 d(sin x)= (1 – 2 sin2 x + sin4 x) d(sin x)= sin x - ⅔ sin3 x + ⅕ sin5 x + c

Jawaban : d

7. Hasil dari dxxx 1

0

2 133 = .... UAN 2005

a. 7/2b. 8/3c. 7/3d. 4/3e. 2/3Penyelesaian :

dxxx 1

0

2 133 = dxxx 1

02

12 133

= dxxx 3131

02

12

misalkan :u = 3x2 + 1 du = 6x dx

3x dx = ½ du

362 integral

= duu2

11

0

2

1

= duu1

0

2

1

2

1

= ½ [ ⅔u3/2 ] 10

= ⅓ [u3/2] 10

= ⅓ [u1/2+2/2 ] 10

= ⅓ [u1/2u ] 10

= ⅓ [ u . u ] 10

= ⅓ [ 13 2 x . (3x2 + 1) ]10

= ⅓ [{ 1)1(3 2 . (3(1)2 + 1)} - { 1)0(3 2 . (3(0)2 + 1)} ]

= ⅓ [{ 4 . (4)} - { 1 . (1)} ]= ⅓ [{2(4)} - {1 (1)} ]=⅓ [8 - 1]=⅓(7)= 7/3Jawaban : c

8. Nilai 20sin2cos

dxxx = .... UAN 2006

a. – 2/3b. – 1/3c. 0d. 1/3e. 2/3Penyelesaian :

20sin2cos

dxxx 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Cos A sin B = ½ [sin (A + B) – sin (A – B)]= ½ [sin (2x + x) – sin (2x – x)]

363 integral

= ½ [sin 3x – sin x]

= 2

0sin3sin

2

1

dxxx

= 2

0sin3sin

2

1

dxxx

=2

1 2

0

cos3cos3

1

xx

=2

1

)0cos()0(3cos

3

1

2cos

23cos

3

1

=2

1

0cos0cos

3

1

2cos

2

3cos

3

1

=2

1

1)1(

3

10)0(

3

1

= ½ [(0) – (- ⅓ + 3/3)]= ½ [0 – (⅔)]= ½ (-⅔)= - ⅓Jawaban : b

9. Diketahui 50)4)(23(1

t

dppp . Nilai 3t = .... UAN 2007. B


t

dppp1

)4)(23( = 50

t

dpppp1

2 )28312( = 50

364 integral

t

dppp1

2 )8103( = 50

tppp 123 85 = 50

{t3 + 5t2 – 8t} – {13 + 5(1)2 – 8(1)} = 50(t3 + 5t2 – 8t) – (1 + 5 – 8) = 50

t3 + 5t2 – 8t – (- 2) = 50t3 + 5t2 – 8t + 2 = 50t3 + 5t2 – 8t - 48 = 0

faktor dari 48 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48karena f(3) = 0 maka, faktornya adalah t = 3jadi nilai 3t = 3.3

= 9Jawaban : b

10. Diketahui 3 2 )123(a

dxxx = 25. Nilai dari ½ a = .... UAN 2007 A

a. – 4b. – 2c. – 1d. 1e. 2Penyelesaian :

3 2 )123(a

dxxx = 25

323axxx = 25

{33 + 32 + 3} – {a3 + a2 + a} = 25{27 + 9 + 3} – a3 - a2 - a = 2539 – a3 - a2 - a = 2514 – a3 - a2 - a = 0a3 + a2 + a – 14 = 0

faktor dari 14 adalah : 1, 2, 7, 14karena f(2) = 0 maka, faktornya adalah a = 2jadi nilai½ a = ½ (2)

= 1

365 integral

Jawaban : d

11. Hasil dari 0

1

532 )2( dxxx = .... UAN 2008 A

a. 85/3b. 75/3c. 63/18d. 58/18e. 31/18Penyelesaian :

0

1

532 )2( dxxx

misalkan :

0

1

253 )2( dxxx

u = x3 + 2 du = 3x2 dxx2 dx = ⅓ du

0

1

5u ⅓ du = ⅓ 0

1

5u du

= ⅓ [⅙u6] 01

= 1/18 [u6] 01

= 1/18 [(x3 + 2)6] 01

= 1/18 [{(03 + 2)6} – {((-1)3 + 2)6}]= 1/18 [(0 + 2)6 – (-1 + 2)6]= 1/18 [26 – 16]= 1/18 [64 – 1]= 1/18 [63]= 63/18

Jawaban : c12. Hasil dari cos2 x sin x dx adalah .... UAN 2008 A

a. ⅓ cos3 x + cb. - ⅓ cos3 x + cc. - ⅓ sin3 x + cd. ⅓ sin3 x + c

366 integral

e. 3 sin3 x + cPenyelesaian : cos2 x sin x dxmisalnya :u = cos x du = - sin x dx

sin x dx = - du cos2 x sin x dx = u2 – du

= - u2 du= - [⅓u3] + c= - [⅓cos3 x] + c= - ⅓ cos3 x + c

Jawaban : b13. Hasil dari sin2 x cos x dx = .... UAN 2008 A

a. ⅓ cos3 x + cb. - ⅓ cos3 x + cc. - ⅓ sin3 x + cd. ⅓ sin3 x + ce. 3 sin3 x + cPenyelesaian : sin2 x cos x dxmisalnya :u = sin x du = cos x dx sin2 x cos x dx = u2 du

= [⅓u3] + c= [⅓ sin3 x] + c= ⅓ sin3 x + c

Jawaban : d

14. Hasil dari 4

1

23 dxx = .... UAN 2008 B

a. 56 ½b. 58 ½c. 60 ½d. 62 ½e. 64 ½

367 integral

Penyelesaian :

4

1

23 dxx =

4

1

2 96)( dxxx

= 4

196 dxxx

=

4

1

2

1

96 dxxx

=4

1

2

32 94

2

1

xxx

=

)1(9)1(4)1(2

1)4(9)4(4)4(

2

1 2

3

2

32

=

)1(9)1(4)1(2

1)4(9)2(4)16(

2

1 2

322

32

=

)1(9)1(4)1(

2

1)4(9)2(4)16(

2

1 33

=

94

2

136328

= (76) -

2

27

=2

27152

=2

125

= 62 ½Jawaban : d

15. Sebuah kurva y = f(x) melalui titik A(2, 0). Jika persamaan gradien di titik A

adalahdx

dy= 2x - 4 maka, persamaan kurva tersebut adalah ....

368 integral

a. f(x) = x2 - 4x – 4b. f(x) = x2 - 4x + 4c. f(x) = x2 + 4x – 4d. f(x) = x2 + 4x + 4e. f(x) = - x2 - 4x + 4Penyelesaian :

dx

dy= 2x - 4

dy = (2x – 4) dx dy = (2x – 4) dxy = x2 – 4x + ckurva melalui titik A(2, 0) artinya0 = (2)2 – 4(2) + c0 = 4 – 8 + c0 = - 4 + c4 = cMaka y = x2 – 4x + 4Jawaban : b

16. Apabila gradien kurva f yang melalui titik (1, 1) diketahui f’(x) = 6x2 + 4,maka rumus fungsi f tersebut adalah ....a. f(x) = -2x3 + 4x + 5b. f(x) = -2x3 + 4x – 5c. f(x) = 2x3 + 4x + 5d. f(x) = 2x3 + 4x – 5e. f(x) = 2x3 - 4x – 5Penyelesaian :f’(x) = 6x2 + 4

dx

dy= 6x2 + 4

dy = (6x2 + 4) dx dy = (6x2 + 4) dxy = 2x3 + 4x + ckurva melalui titik A(1, 1) artinya

369 integral

1 = 2(1)3 + 4(1) + c1 = 2 + 4 + c1 = 6 + c- 5 = cMaka y = 2x3 + 4x - 5Jawaban : d

17. Diketahui kecepatan suatu benda ialah v(t) = 6t2 – 8t dan posisi bendapada jarak – 5 untuk t = 0, maka rumus fungsi dari s(t) = ....a. s(t) = 2t3 + 4t2 + 5b. s(t) = 2t3 + 4t2 – 5c. s(t) = 2t3 - 4t2 – 5d. s(t) = 2t3 - 4t2 + 5e. s(t) = 2t3 - 4t2 – 5Penyelesaian :v(t) = 6t2 – 8t

v = s/t v(t) =dt

ds

dt

ds= 6t2 – 8t

ds = (6t2 – 8t) dt ds = (6t2 - 8t) dts = 2t3 - 4t2 + cposisi benda pada jarak – 5 untuk t = 0 artinya- 5 = 2(0)3 - 4(0)2 + c- 5 = 0 - 0 + c- 5 = 0 + c- 5 = cMaka s = 2t3 – 4t2 - 5Jawaban : c

370 integral

1.

dx

xx

x

4

22

= ....

a. (x2 + 4x)3/2 + cb. x2 + 4x + cc. (x2 + 4x)2/3 + cd. (x2 + 4x)1/2 + ce. (x2 + 4x)-1/2 + c

2. Nilai dari 403cos5cos

xdxx adalah ....

a. ¼b. ½c. 2/3d. 1e. 3/2

3. Diketahui t

dppp1

2 3)563( . Nilai 3t = ....

a. 2b. 6c. 9d. 12e. 15

4. 4

0....)cos3sin7(

dxxx

a. 227 b. 247 c. 247 d. 227 e. 223

LATIHAN MANDIRI

371 integral

5. Hasil dari 3 sin (5x + 2) dx = ....a. – 3/5 cos (5x + 2) + cb. 5/3 cos (5x + 2) + cc. 3/5 cos (5x + 2) + cd. – 5/2 cos (5x + 2) + ce. 2/5 cos (5x + 2) + c

6. Hasil dari x2 sin x dx = ....a. x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + cb. x2 cos x + 2x sin x - 2 cos x + cc. - x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + cd. - x2 cos x + 2x sin x - 2 cos x + ce. - x2 cos x - 2x sin x - 2 cos x + c

7. Persamaan polinom yang melalui (6, 4) menyinggung garis f”(x) = 2 (x - 1)dan titik tersebut sejajar dengan garis x + y – 3 = 0 adalah ....f(x) = 1/3x3 – x2 – 25x + 118

8. Gradien garis singgung disembarang titik pada suatu kurva ditentukanoleh rumus y’ = 3x2 – 6x + 2. Jika kurva tersebut melalui titik (1, - 5), makapersamaan kurvanya adalah ....y = x3 – 3x2 + 2x - 5

309 Limit fungsi

Standar KompetensiLulusan (SKL) V

: Memahami kosep limit, turunan dan integraldari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri,serta menerapkannya dalam pemecahanmasalah.


: Kalkulus

Operasional RLM : Limit fungsi aljabar dan fungsitrigonometri

Turunan fungsi Nilai ekstrim dan aplikasinya Integral tak tentu dan integral tertentu

dari fungsi aljabar dan fungsitrigonometri

Luas daerah dan volum benda putar,fungsi aljabar yang sederhana

PEMETAAN SKL

310 Limit fungsi

1. LimitA. Limit fungsi aljabar

1. Hasil yang harus dihindari dalam penyelesaian limit adalah :

0

0,

, , , 0 , 00 , 0 , a (hasilnya tidak tentu)

2. Untuk menghindarinya digunakan : Metode pemfaktoran

Mis,)(

)(lim

xg

xfax

=)(

)(

ag

af

=0

0, maka dapat difaktorkan menjadi

)(

)(lim

xg

xfax

=)().(

)().(lim

xqax

apaxax

=)(

)(lim

xq

apax

, dengan p(a)0 dan q(a)0

Mengalikan dengan faktor lawan

Mis,)(

)(lim

xg

cxfax

=)(

)(

ag

caf

=0

0, dikalikan faktor lawannya

)(

)(lim

xg

cxfax

=cxf

cxf

xg

cxfax

)(

)(

)(

)(lim

Mis,cxg

xfax )(

)(lim =

cag

af

)(

)(

=0

0, dikalikan faktor lawannya

MATERI

311 Limit fungsi

cxg

xfax )(

)(lim =

cxg

cxg

cxg

xfax

)(

)(

)(

)(lim

3. Limit fungsi aljabar ( x ) Membagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut

Misalkan,

)(

)(lim

xg

xfx

=)()(

)()(

xgdaritertinggipangkatdengandibagixg

xfdaritertinggipangkatdengandibagixf

Mengalikan dengan faktor lawanMisalkan,

)()(lim xgxfx

=

)()(

)()()()(lim

xgxf

xgxfxgxf

x

catatan 0lim nx x

a

B. Teorema limit )(lim xf

ax= k

)()(lim xgxfax

= )(lim xfax

)(lim xgax

)()(lim xgxfax

= )(lim xfax

)(lim xgax

)(

)(lim

xg

xfax

=)(lim

)(lim

xg

xf

ax

ax

)(.lim xfcax

= c . )(lim xfax

nax

xf )(lim

= nax

xf )(lim

n

axxf )(lim

= n

axxf )(lim

,

dengan 0)(lim

xfax

, untuk n bilangan genap

312 Limit fungsi

C. Limit fungsi trigonometri

x

xx

sinlim

0=

x

xx sinlim

0= 1

x

xx

tanlim

0=

x

xx tanlim

0= 1

x

xx tan

sinlim

0=

x

xx sin

tanlim

0= 1

Dari ketentuan di atas diperoleh :

bx

axx

sinlim

0=

bx

axx sinlim

0=

b

a

bx

axx

tanlim

0=

bx

axx tanlim

0=

b

a

bx

axx tan

sinlim

0=

bx

axx sin

tanlim

0=

b

a

313 Limit fungsi

1. Nilai dari )52()12)(52(lim

xxxx

= .... UAN 2003

a. 2b. 3c. 7d. 9e. 14Penyelesaian : )52()12)(52(lim

xxxx

= 22 )52(51024lim

xxxxx

= 25204584lim 22

xxxxx

=25204584

2520458425204584lim

22

2222

xxxx

xxxxxxxx

x

=

25204584

2520458425204584lim

22

2222

xxxx

xxxxxxxxx

=

25204584

25204584lim

22

22

xxxx

xxxxx

=25204584

3012lim

22

xxxx

xx

=

222

2

222

2 25204584

3012lim

xxx

xx

xxx

xx

xxx

x


314 Limit fungsi

=22

25204584

3012lim

xxxx

xx

=004004

012

=44

12

=22

12

=4

12

= 3Jawaban : b

2.)tan()(2

lim

xx

xx

= .... UAN 2003

a. ½b. ¼c. 2/4d. ⅓e. ⅖Penyelesaian :

)tan()(2lim

xx

xx

=

x

x

x

xx

x

xtan2

lim

=11.2

1lim

x

315 Limit fungsi

=3

1

Jawaban : d

3.

82

3

4

2lim

222 xxxx= .... UAN 2004

a.12

7

b.4

1

c.12

1

d.24

1

e. 0Penyelesaian :

82

3

4

2lim

222 xxxx

=

)4)(2(

3

)2)(2(

2lim

2 xxxxx

=

)4)(2)(2)(2(

)2)(2(3)4)(2(2lim

2 xxxx

xxxxx

=

)4)(2)(2)(2(

)2(3)4(2)2(lim

2 xxxx

xxxx

=

)4)(2)(2(

6382lim

2 xxx

xxx

=

)4)(2)(2(

2lim

2 xxx

xx

316 Limit fungsi

=

)4)(2)(2(

)2(lim

2 xxx

xx

=

)4)(2(

1lim

2 xxx

=)42)(22(

1

=)6)(4(

1

=24

1

Jawaban : d

4. Nilai

103

)2sin()6(lim

22 xx

xxx

= .... UAN 2004

a. 43

b. 74

c. 52


103

)2sin()6(lim

22 xx

xxx

=

)5)(2(

)2sin()6(lim

2 xx

xxx

=

)2(

)2sin(

5

)6(lim

2 x

x

x

xx

317 Limit fungsi

=

5

6lim

2 x

xx

=52

62

=7

4

Jawaban : b

5. Nilai darixx

xx 2121

4lim

0 = .... UAN 2005

a. -2b. 0c. 1d. 2e. 4Penyelesaian :

xx

xx 2121

4lim

0

=xx

xx

xx

xx 2121

2121

2121

4lim

0

=

)21()21(

21214lim

0 xx

xxxx

=

x

xxxx 4

21214lim

0

= xxx

2121lim0

= - xxx

2121lim0

= -1 0101

= -1 11 = -1 (1 + 1)

318 Limit fungsi

= -1 (2)= -2Jawaban : a

6. Nilai dari30 2

2cos3sin3sinlim

x

xxxx

= .... UAN 2005

a. ½b. ⅔c. 3/2d. 2e. 3Penyelesaian :

30 2

2cos3sin3sinlim

x

xxxx

=30 2

)2cos1(3sinlim

x

xxx

=

3

2

0 2

)sin21(13sinlim

x

xxx

=3

2

0 2

)sin2(3sinlim

x

xxx

=3

2

0

)(sin3sinlim

x

xxx

=x

x

x

x

x

xx

sin.

sin.

3sinlim

0

=x

xx

3sinlim

0

= 3.3

1.

3sinlim

0 x

xx

= 3.3

3sinlim

0 x

xx

= 3lim0x

319 Limit fungsi

= 3Jawaban : e

7. Nilai6

4223lim

6

x

xxx

= .... UAN 2006

a. -1/4b. -1/8c. 0d. 1/8e. ¼

Penyelesaian :

6

4223lim

6

x

xxx

=4223

4223

6

4223lim

6

xx

xx

x

xxx

= 4223)6(

)42()23(lim

6

xxx

xxx

= 4223)6(

6lim

6

xxx

xx

= 4223

1lim

6 xxx

= 4)6(22)6(3

1

=1616

1

=44

1

=8

1

320 Limit fungsi

Jawaban : d

8. Nilai8

4lim

3

2

2

x

xx

= .... UAN 2007.B

a. 1/3b. ½c. 1d. 3/2e. 2Penyelesaian :

8

4lim

3

2

2

x

xx

=)42)(2(

)2)(2(lim

22

xxx

xxx

=)42(

)2(lim

22

xx

xx

=)4)2(22(

)22(2

=444

4

=12

4

=3

1

Jawaban : a

9. Nilaix

xxx 2cos21

tanlim

0 = .... UAN 2007.B

a. -1b. - ½c. 0d. ½

321 Limit fungsi

e. 2Penyelesaian :

x

xxx 2cos21

tanlim

0

=)sin21(1

tanlim

20 x

xxx

=x

xxx 20 sin2

tanlim

=)sin(sin2

tanlim

0 xx

xxx

=x

x

x

xx sin

tan

sinlim

2

10

=2

1

Jawaban : d

10.154

6lim

2

3

x

xxx

= .... UAN 2007.A

a. -8b. -6c. 6d. 8e. ∞Penyelesaian :

154

6lim

2

3

x

xxx

=154

154

154

6lim

2

3

x

x

x

xxx

=

)15(16

154)2)(3(lim

3

x

xxxx

322 Limit fungsi

=

155

154)2)(3(lim

3

x

xxxx

=

)3(5

154)2)(3(lim

3

x

xxxx

=

5

154)2(lim

3

xxx

= 154)2(lim5

13

xxx

= 1154)23(5

1

= 164)5(5

1

= 8)5(5

1

= - 8Jawaban : a

11. Nilai)tan(

2cos1lim

210 xx

xx

= .... UAN 2007. A

a. -4b. -2c. 1d. 2e. 4Penyelesaian :

)tan(

2cos1lim

210 xx

xx

=)tan(

)sin21(1lim

21

2

0 xx

xx

323 Limit fungsi

=)tan(

sin2lim

21

2

0 xx

xx

=)tan(

sinsin2lim

210 xx

xxx

=)tan(

sinsinlim2

210 x

x

x

xx

= )2(2

1

)tan(

sinlim2

210 x

xx

= )2(tan

sinlim2

0 x

xx

=x

xx tan

sinlim4

0

= 4Jawaban : e

12. Nilai dari3

98lim

2

9

x

xxx

= .... UAN 2008.A


3

98lim

2

9

x

xxx

=3

3

3

98lim

2

9

x

x

x

xxx

= 9

398lim

2

9

x

xxxx

324 Limit fungsi

=

9

3)1)(9(lim

9

x

xxxx

= 3)1(lim9

xxx

= 39)19( = 33)10( = (10)(6)= 60Jawaban : d

13. Nilai dari2

4lim

3

2

x

xxx

= .... UAN 2008.B


2

4lim

3

2

x

xxx

=2

)2)(2(lim

2

2

x

xxxx

= )2(lim 2

2xx

x

= )2(222 = 4 + 4= 8Jawaban : c

325 Limit fungsi

1. Nilai darix

xxx 2

11lim

0

= ....

a. ½b. 1c. 0d. -1e. – ½

2. Nilai dari ....sin

sin3sinlim

0

xx

xxx

a. -4b. -2c. 0d. 2e. 4

3. Nilai dari ....88

lim0

x

xxx

a. 24

1

b. 24

1

c. 22

1

d. 22

1

e. 2

LATIHAN MANDIRI

326 Limit fungsi

4. Nilai dari ....tan3

cos5coslim

0

xx

xxx

a. 4b. 3c. 2d. 0e. - 4

5. Nilai ....2cos4cos

2cos1lim

0

xx

xx

a. 4b. 3c. 0d. -1/3e. -1/4

6. Nilai ....82

73lim

2

2

4

xx

xx

a. -2/9b. -1/8c. -2/3d. 1e. 2

349 Nilai ekstrim & aplikasinya

3. Nilai ekstrim dan aplikasinyaA. Fungsi naik dan fungsi turun

Syarat yang berkaitan dengan fungsi naik dan turunJika f adalah fungsi yang kontinu dan diferensiable pada interval (a, b)maka : Fungsi naik, jika f’(x) > 0 Fungsi turun, jika f’(x) < 0

B. Nilai stasionerNilai stasioner adalah titik yang konstan, artinya mempunyai nilai fungsiyang tidak naik maupun turun dengan syarat : f’(x) = 0

C. Kecekungan fungsiKecekungan suatu fungsi ditentukan oleh : f”(x) > 0 cekung ke atas f”(x) < 0 cekung ke bawah

MATERI


1. Nilai maksimum dari f(x) = 2x3 + 5x2 – 4x dalam interval - 3 x - 1adalah ....a. 28b. 27c. 19d. 12e. 7Penyelesaian :f(x) = 2x3 + 5x2 – 4xstasioner : f’(x) = 06x2 + 10x – 4 = 03x2 + 5x – 2 = 0 ... x ... = - 63x2 + 6x – x – 2 = 0 ... + ... = 5(3x2 + 6x) – (x + 2) = 03x (x + 2) – (x + 2) = 0(3x – 1)(x + 2) = 0

3

1x dan x = - 2

Nilai maksimum :f(- 2) = 2(-2)3 + 5(-2)2 – 4(-2)

= 2(- 8) + 5(4) + 8= - 16 + 20 + 8= 12

Jawaban : D

Tidak dalam interval



2. Interval fungsi turun dari f(x) = x3 – 3x2 – 9x – 7 adalah ....a. x < - 1 atau x > 3b. x < 1 atau x > 3c. – 1 < x < 3d. 1 < x < 3e. – 3 < x < - 1Penyelesaian :f(x) = x3 – 3x2 – 9x – 7syarat fungsi turun : f’(x) < 03x2 – 6x – 9 < 0x2 – 2x – 3 < 0 ... x ... = - 3(x + 1)(x - 3)< 0 ... + ... = - 2x = - 1 dan x = 3

x < - 1 x = - 2 (-2)2 – 2(-2) - 3 < 04 + 4 – 3 < 05 < 0 tidak memenuhi

- 1 < x < 3 x = 0 02 – 2(0) - 3 < 00 + 0 – 3 < 0- 3 < 0 memenuhi

x > 3 x = 4 42 – 2(4) - 3 < 016 – 8 – 3 < 05 < 0 tidak memenuhi

Jadi interval yang memenuhi adalah – 1 < x < 3Jawaban : C

3. Grafik fungsi f(x) = x3 + ax2 + bx + c hanya turun pada interval – 1 < x < 5.Nilai a + b = ....a. – 21b. – 9c. 9d. 21e. 24

- 1 3x > 3x < - 1 - 1 < x < 3


Penyelesaian :f(x) = x3 + ax2 + bx + cf’(x) = 3x2 + 2ax + b interval – 1 < x < 5f’(- 1) = 3(-1)2 + 2a(-1) + b

= 3 – 2a + b- 3 = - 2a + b .................... 1)

f’(5) = 3(5)2 + 2a(5) + b= 75 + 10a + b

- 75 = 10a + b .................... 2)Dari 1) dan 2) diperoleh:- 3 = - 2a + b- 75= 10a + b -72 = - 12a

- 6 = a- 3 = 12 + b- 15= b

a + b = - 6 + (- 15)= - 6 – 15= - 21

Jawaban : A


LATIHAN MANDIRI


372 Luas daerah & volume benda putar

5. Luas Daerah & Volum Benda PutarA. Luas Daerah


B. Volum benda putar1. Volume kurva yang diputar mengelilingi sumbu x

2. Volume kurva yang diputar mengelilingi sumbu y

3. Volume dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu x


V = b

adxyy 2

22

1

= dxxfxfb

a 22

21 )()(

4. Volume dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu y

V = d

cdyxx 2

22

1

= dyyfyfd

c 22

21 )()(


1. Jika f(x) = (x – 2)2 – 4 dan g(x) = - f(x), maka luas daerah yang dibatasi olehkurva f dan g adalah .... UAN 2003

a.3

210 satuan luas

b.3

121 satuan luas

c.3

222 satuan luas

d.3

242 satuan luas

e.3

145 satuan luas

Penyelesaian :f(x) = (x – 2)2 – 4

= x2 – 4x + 4 – 4= x2 – 4x .................. 1)

g(x) = - f(x)= - (x2 – 4x)= - x2 + 4x .................. 2)

Ilustrasi :g(x) - f(x) = (- x2 + 4x) – (x2 – 4x)f(x) = -x2 + 4x – x2 + 4x

= - 2x2 + 8xTitik potong sumbu x, y = 00 = - 2x2 + 8x0 = - 2x (x – 4)0 = - 2x dan 0 = x – 40 = x 4 = x (0, 0) dan (4, 0)Titik potong sumbu y, x = 0y = - 2(0)2 + 8(0)



= 0 (0, 0)

dxxfxg 4

0)()( atau f(x) = x2 + 4x a = 1, b = 4, c = 0

= dxxxxx 4

0

22 )4()4(


2. Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, 0 ≤ x ≤ dan sumbu x. Jika daerahD diputar 3600 terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang terjadiadalah .... UAN 2003a. 2 satuan luasb. ½ satuan luasc. ½ 2 satuan volumd. satuan volume. ½ satuan volumPenyelesaian :Ilustrasi :y = sin x

V =

0

2)( dxxf

=

0

2sin dxx cos 2x = 1 – 2 sin2 x

=

0

2sin dxx 2 sin2 x = 1 – cos 2x

=

0 2

2cos1dx

xsin2 x =

2

2cos1 x

=

0

2cos12

1dxx

=

0

2cos12

1dxx


=

0

2sin2

1

2

xx

=

)0(2sin

2

102sin

2

1

2

=

)0(

2

10)0(

2

1

2

= 02

= 2

=2

2

Jawaban : C3. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x – 3, garis

5x – 3y – 5 = 0, dan sumbu x adalah .... UAN 2004

a.6

16 satuan luas

b.6

15 satuan luas

c.3

24 satuan luas

d.3

23 satuan luas

e.6

52 satuan luas

Penyelesaian :Ilustrasi :y = x2 – 2x – 3 5x – 3y – 5 = 0 5x – 3y = 5titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu x, y = 0


x2 – 2x – 3 = 0 ... x ... = - 3 5x = 5(x + 1)(x – 3) = 0 ... + ... = - 2 x = 1 (1, 0)x = - 1 dan x = 3 (-1,0) dan (3, 0) titik potong sumbu y, x = 0 titikpotong sumbu y, x = 0y = (0)2 – 2(0) – 3 -3y = 5

= - 3(0, -3) y = - 5/3(0, -5/3)titik potong kedua grafik diperoleh dengan cara :5x – 3y – 5 = 0 5x – 5 = 3y

3

5

3

5x = y

y1 = y2

x2 – 2x – 3 =3

5

3

5x

3(x2 – 2x – 3) = 5x – 53x2 – 6x – 9 = 5x – 53x2 – 11x – 4 = 0 ... x ... = - 12

3x2 – 12x + x – 4 = 0 ... + ... = - 11(3x2 – 12x) + (x – 4) = 03x(x – 4) + (x – 4) = 0(3x + 1)(x – 4) = 0x = - 1/3 dan x = 4

untuk x = -1/3 y =3

5

3

1

3

5

untuk x = 4 y =

3

54

3

5

=3

5

9

5

=

3

520

=9

155 =

3

15

=9

20 (-1/3, -20/9) = 5 (4, 5)


Luas II = L - Luas I

= ½ (3)(5) - 4

3

2 )32( dxxx

= ½ (15) -4

3

23 33

1

xxx

= 15/2 -

)3(3)3()3(

3

1)4(3)4()4(

3

1 2323

= 15/2 -

99

3

271216

3

64

= 15/2 -

93

8464

= 15/2 -

3

2720

=3

7

2

15

=6

1445

=6

31


=6

15

Jawaban : b

4. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah .... UAN 2005

a.2

14 satuan luas

b.6

15 satuan luas

c.6

55 satuan luas

d.6

113 satuan luas

e.6

130 satuan luas

Penyelesaian :Grafik parabol Grafik liniermemotong sumbu x di (-1, 0) dan (1, 0) memotong sumbu x di (5, 0)y = a (x + 1)(x - 1) melalui (0, -1) memotong sumbu y di (0, 5)- 1 = a (1)(-1) 5x + 5y = 25- 1 = - a x + y = 51 = a y = 5 – xy = 1 (x + 1)(x - 1)y = 1(x2 – x + x – 1)y = x2 – 1perpotongan kedua grafik adalah :y1 = y2

x2 – 1 = 5 – xx2 + x – 6 = 0 ... x ... = -6(x + 3)(x – 2) = 0 ... + ... = 1x = - 3 dan x = 2untuk x = - 3 maka y = 8 (-3, 8)untuk x = 2 maka y = 3 (2, 3)


Luas total = Luas I + Luas II

= 2

1

2 )3)(3(2

1)1( dxx

=2

9

3

12

1

3

xx

=2

91)1(

3

12)2(

3

1 33

=2

91

3

12

3

8

=2

9

3

2

3

2

=2

9

3

=3

278

=6

35

=6

55

Jawaban : c


5. Perhatikan gambar berikut iniLuas yang diarsir pada gambar adalah .... UAN2006a. 1/3 satuan luasb. 1/2 satuan luasc. 5/6 satuan luasd. 7/6 satuan luase. 4/3 satuan luas

Penyelesaian :Perpotongan kedua grafik adalah :y1 = y2

x2 – 4x + 4 = xx2 – 5x + 4 = 0 ... x ... = 4(x-1)(x-4) = 0 ... + ... = -5x = 1 dan x = 4untuk x = 1 maka y = 1untuk x = 4 maka y = 4grafik y = x2 – 4x + 4 memotong sumbu x di :memotong sumbu x, maka y = 0x2 – 4x + 4 = 0 ... x ... = 4(x -2)(x -2)= 0 ... + ... = -4x = 2

Luas total = Luas I + Luas II


= 2

1

2 )44()1)(1(2

1dxxx

=2

1

23 423

1

2

1

xxx

=

)1(4)1(2)1(

3

1)2(4)2(2)2(

3

1

2

1 2323

=

42

3

188

3

8

2

1

=3

7

3

8

2

1

=3

1

2

1

=6

23

=6

5

Jawaban : c6. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x2

diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah .... UAN 2007.Ba. 3/5 satuanb. 4/15 satuanc. 1/15 satuand. 2/15 satuane. 1/5 satuanPenyelesaian :Titik potong kedua grafik adalah :y1 = y2

x = x2

- x2 + x = 0x2 – x = 0


x(x – 1) = 0x = 0 dan x = 1

V = b

adxyy )( 2

221

= 1

0

222 ))(( dxxx

= 1

0

42 )( dxxx

= 1

0

53

5

1

3

1

xx

=

5353 )0(

5

1)0(

3

1)1(

5

1)1(

3

1

=

5

1

3

1

=

15

35

=15

2

Jawaban : d7. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabol y = x2 + 1 dan garis y = - x

+ 3 adalah .... UAN 2007. Ba. 11 ½ satuan luasb. 6 satuan luasc. 5 ½ satuan luasd. 5 satuan luase. 4 ½ satuan luasPenyelesaian :Grafik parabol grafik linierTidak berpotongan dengan sumbu x Titik potong sumbu x, y = 0

- x + 3 = 03 = x

Titik potong sumbu y, x = 0 Titik potong sumbu y, x = 0y = (0)2 + 1 y = - 0 + 3


y = 1 y = 3titik potong kedua grafik adalah :y1 = y2

x2 + 1 = - x + 3x2 + x – 2 = 0 ... x ... = - 2(x + 2)(x - 1) = 0 ... + ... = 1x = - 2 dan x = 1untuk x = - 2 maka y = - 2untuk x = 1 maka y = 1

Jawaban : e


8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah ....UAN 2007.Aa. 54 satuan luasb. 32 satuan luas

c.6

520 satuan luas

d. 18 satuan luas

e.3

210 satuan luas

Penyelesaian :Grafik kuadrat Grafik liniery = x2 x + y = 6titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu x, y = 00 = x2 x + 0 = 60 = x x = 6Titik potong sumbu y, x = 0 Titik potong sumbu y, x = 0y = (0)2 0 + y = 6y = 0 y = 6

Titik potong kedua grafik adalah :y = x2 dan x + y = 6 y = - x + 6y1 = y2

- x + 6 = x2

- x2 – x + 6 = 0x2 + x – 6 = 0 ... x ... = -6


(x + 3)(x - 2) = 0 ... + ... = 1x = - 3 dan x = 2

Luas= dxyyb

a)( 21

= b

dxxx3

2 )()6(

= 2

3

2 )6( dxxx

=2

3

23 62

1

3

1

xxx

=

)3(6)3(

2

1)3(

3

1)2(6)2(

2

1)2(

3

1 2323

=

18

2

9912

2

4

3

8

=

2

9910

3

8

=

6

2754

6

6016

=

6

81

6

44

=6

125

=6

520

atauy1 = y2

- x + 6 = x2

- x2 – x + 6 = 0; a = -1, b = -1, c = 6D = (-1)2 – 4 (-1)(6)

= 1 + 24


= 25

Luas =26a

DD

=)1(6

)5(25

=6

520

Jawaban : c9. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = - x2 + 4 dan y = -

2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu y adalah .... UAN 2007.Aa. 8 satuan volumeb. 13/2 satuan volumec. 4 satuan volumed. 8/3 satuan volumee. 5/48 satuan volume

Penyelesaian :y = - x2 + 4 y = -2x + 4titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu x, y = 00 = - x2 + 4 0 = -2x + 4x2 = 4 2x = 4x = 2 (-2,0) dan (2,0) x = 2 (2,0)titik potong sumbu y, x = 0 titik potong sumbu y, x = 0y = (0)2 + 4 y = -2(0) + 4y = 4 (0,4) y = 4 (0,4)

perpotongan kedua grafik adalah :y1 = y2

-2x + 4 = -x2 + 4x2 – 2x = 0x(x – 2) = 0x = 0 dan x = 2untuk x = 0 maka, y = 4 (0,4)


untuk x = 2 maka, y = 0 (2,0)

y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4x2 = 4 – y 2x = 4 – y

x = y4 x =2

4 y

x = y2

12

Diputar mengelilingi sumbu y maka,

V = dyyfyfb

a 22

21 ))(())((

=

4

0

22

2

1

2

12)4( dyyy

= dyyyy

4

0

22

4

124)4(

=

4

0

2

4

1244 dyyyy

=

4

0

2

4

1dyyy


= 4

0

32

12

1

2

1

yy

=

3232 )0(

12

1)0(

2

1)4(

12

1)4(

2

1

=

3

168

=

3

1624

=

3

8

=3

8

Jawaban : d10. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 – 6x + 5, sumbu x, x = 2 dan

x = 4 adalah .... UAN 2008.A

a.3

26 satuan luas

b.3

17 satuan luas

c.3

111 satuan luas

d.3

226 satuan luas

e.3

244 satuan luas

Penyelesaian :y = x2 – 6x + 5titik potong sumbu x, y = 0x2 – 6x + 5 = 0 ... x ... = 5


(x – 1)(x – 5) = 0 ... + ... = -6x = 1 dan x = 5titik potong sumbu y, x = 0y = (0)2 – 6(0) + 5y = 5

Luas = 4

2

2 )56( dxxx

=4

2

23 533

1

xxx

=

)2(5)2(3)2(

3

1)4(5)4(3)4(

3

1 2323

=

1012

3

82048

3

64

=

3

68

3

8364

=

3

2

3

20

=

3

20

=3

22


=3

17

Jawaban : b

11. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 1, x = 3 dan sumbu x diputarmengelilingi sumbu x sejauh 3600, maka volume benda putar yang terjadiadalah .... UAN 2008.A

a.3

24 satuan volume

b.3

16 satuan volume

c.3

28 satuan volume

d.3

210 satuan volume

e.3

112 satuan volume

Penyelesaian :y = 4 – xtitik potong sumbu x, y = 00 = 4 – xx = 4titik potong sumbu y, x = 0y = 4 – 0y = 4


V = 3

1

2)4( dxx

= 3

1

2 )816( dxxx

= 3

1

32

3

1416

xxx

=

3232 )1(

3

1)1(4)1(16)3(

3

1)3(4)3(16

=

3

141693648

=

3

3721

=

3

3763

=

3

26


=3

26

=3

28

Jawaban : c12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 4x, sumbu x, garis x = 1 dan

x = 3 adalah .... UAN 2008.B

a.3

23 satuan luas

b.3

15 satuan luas

c.3

17 satuan luas

d.3

19 satuan luas

e.3

210 satuan luas

Penyelesaian :y = -x2 + 4xtitik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu y, x = 00 = -x2 + 4x y = -(0)2 + 4(0)0 = -x(x - 4) y = - 0 + 00 = -x dan 0 = x – 4 y = 00 = x dan 4 = xtitik potong sumbu y, x = 0y = -(0)2 + 4(0)y = - 0 + 0y = 0


L = dxxx 3

1

2 )4(

=3

1

23 23

1

xx

=

2323 )1(2)1(

3

1)3(2)3(

3

1

=

2

3

1189

=

3

59

=3

527

=3

22

=3

17

Jawaban : c13. Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, dan garis x = 3, diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadiadalah .... UAN 2008.Ba. 36 satuan volume


b. 54 satuan volumec. 63 satuan volumed. 72 satuan volumee. 81 satuan volumePenyelesaian :y = x + 3titik potong sumbu x, y = 00 = x + 3- 3 = xTitik potong sumbu y, x = 0y = 0 + 3y = 0titik potong kurva y = x + 3 dan garis x = 3 adalahy = 3 + 3y = 6 (3, 6)

V = 3

3

2)3( dxx

= 3

3

2 )96( dxxx


= 3

3

23 933

1

xxx

=

)3(9)3(3)3(

3

1)3(9)3(3)3(

3

1 2323

=

27

2

27927

2

279

=

2

2736

2

2736

=

2

2772

2

2772

=

2

45

2

99

=

2

144

= 72 Jawaban : d


1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 3x – 2 adalah ....

a.6

1satuan luas

b.2

1satuan luas

c.6

52 satuan luas

d. 3 satuan luas

e.6

54 satuan luas

2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 2xdan y = x2 diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu y adalah ....

a.3

11 satuan volume

b.3

22 satuan volume

c.15

44 satuan volume

d.3

113 satuan volume

e.5

117 satuan volume

LATIHAN MANDIRI


3. Luas daerah yang diarsir sama dengan ....

4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva x2 +y2 = 9 dan garis x + y = 3 diputar 3600 mengelilingi sumbu x adalah ....a. 9 satuan volumeb. 12 satuan volumec. 18 satuan volumed. 21 satuan volumee. 27 satuan volume

5. Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = -3x dan parabol y = -3x2 – 6xadalah ....a. 3/2b. 1c. ½d. ¼e. 1/5

6. Daerah yang dibatasi oleh y = x2, y = 1, y = 3 dan sumbu y, diputarmengelilingi sumbu y. Volume benda putar yang terjadi adalah ... satuanvolumea. 5,5 b. 4,5 c. 4 d. 3,5 e. 2,5

401 peluang

Standar KompetensiLulusan (SKL) V

: Mampu mengolah, menyajikan, menafsirkandata dan menggunakan kaidah pencacahan,permutasi, kombinasi dan peluang kejadianserta mempu menerapkan dalampemecahan masalah.


: Peluang dan Statistik

Operasional RLM : Peluang Permutasi Kombinasi Peluang kejadian

(tidak termasuk kejadian bersyarat)Statistik Penyajian data dalam bentuk tabel,

diagram grafik (termasuk ogive) Ukuran pemusatan, ukuran letak dan

ukuran penyebaran yang sederhana

PEMETAAN SKL

402 peluang

1. PeluangA. Kaidah pencacahan

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadianberikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadiantersebut dapat terjadi dalam (p q) cara.Faktorialn ! = n n – 1 n – 2 n – 3 ... 3 2 1dengan 0 ! = 1

1 ! = 1B. Permutasi Banyak permutasi (susunan terurut) r unsur dari n unsur adalah

)!(

!

rn

nPrn , n r

Permutasi beberapa unsur yang samaBanyak susunan dari n unsur dengan p unsur yang sama, q unsur yangsama dan seterusnya adalah

!!

!, qp

nP qpn

Permutasi siklis untuk menghitung susunan berbeda yang tempatkansecara melingkar

)!1( nPsiklisn

C. KombinasiBanyak kombinasi (susunan) r unsur dari n unsur adalah

!)!(

!

rrn

nCrn , n r

D. Peluang suatu kejadianPeluang suatu kejadian (misalnya kejadian A) adalah

MATERI

403 peluang

)(

)()(

Sn

AnAP , dengan P(A) = peluang kejadian A

n(A) = banyak anggota himpunan An(B) = banyak anggota himpunan B

E. Kisaran nilai peluang (0 ≤ P(A) ≤1)F. Frekuensi harapan Frekuensi harapan suatu kejadian (misalnya kejadian A) adalah

Fh(A) = P(A) nDengan Fh(A) = frekuensi harapan kejadian A

P(A) = peluang kejadian An = banyaknya percobaan

Peluang komplemen kejadian (misalnya kejadian A) adalahP(Ac) = 1 – P(A)Dengan P(Ac) = peluang komplemen kejadian A

P(A) = peluang kejadian AG. Peluang kejadian majemuk Peluang gabungan dua kejadian

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)Dengan P(AB) = peluang gabungan A atau B

P(A) = peluangan kejadian AP(B) = peluangan kejadian BP(AB) = peluang kejadian A setelah B terjadi

Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepasP(AB) = P(A) + P(B)Dengan P(AB) = peluang gabungan A atau B

P(A) = peluangan kejadian AP(B) = peluangan kejadian B

Peluang kejadian yang saling bebas (stokastik)P(AB) = P(A) P(B)Dengan P(A) = peluangan kejadian A

P(B) = peluangan kejadian BP(AB) = peluang kejadian A setelah B terjadi

Peluang kejadian bersyarat (peluang kejadian A setelah B terjadi)

404 peluang

P(AB) =)(

)(

BP

BAP

Dengan P(AB) = peluang kejadian A setelah B terjadiP(AB) = peluang irisan kejadian A dan BP(B) = peluang kejadian B

Peluang pengambilan tanpa pengembalianP(AB) = P(A) P(BA)Dengan P(BA) = peluang kejadian B setelah A terjadi

P(AB) = peluang irisan kejadian A dan BP(B) = peluang kejadian B

405 peluang

1. Dua buah dadu dilempar undi bersama – sama. Peluang munculnya matadadu 9 atau 10 adalah .... UAN 2003

a.36

5

b.36

7

c.36

8

d.36

9

e.36

11

Penyelesaian :

Misalnya, A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 9B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 10

A = {(6,3),(5,4),(4,5),(3,6)} n(A) = 4B = {(6,4),(5,5),(4,6)} n(A) = 3S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)


406 peluang

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) n(S) = 36

P(A) =)(

)(

Sn

An

=36

4

P(B) =)(

)(

Sn

Bn

=36

3

P(AB) = P(A) + P(B)

=36

3

36

4

=36

7

Jawaban : b2. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola merah

dan 6 bola kuning. Dari masing – masing kotak diambil sebuah bolasecara acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama adalah ....UAN 2003a. 1/8b. 5/16c. 7/16d. 9/16e. 7/8Penyelesaian :5 M3 K 1

2 M6 K 1

407 peluang

I IIMisalnya : A = kejadian terambilnya bola merah pada kotak I dan kotak II

B = kejadian terambilnya bola kuning pada kotak I dan kotakIIKejadian A : Kejadian B :Kotak I n(S) = 8 Kotak I n(S) = 8

n(A)= 5 n(A)= 3

P(A)=8

5P(A)=

8

3

Kotak II n(S)= 8 Kotak II n(S)= 8n(B)= 2 n(B)= 6

P(B)=8

2P(B)=

8

6

P(AB) = P(A) P(B) P(AB) = P(A) P(B)

=8

2

8

5 =

8

6

8

3

=32

5=

32

9

Peluang keduanya merah atau kuning adalah :P(AB) = P(Im, IIm) + P(Ik,IIk)

=32

9

32

5

=32

14

=16

7

Jawaban : c3. Dua dadu dilambungkan bersama – sama. Peluang muncul mata dadu

pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah .... UAN 2004a. 5/36b. 4/36

408 peluang

c. 3/36d. 2/36e. 1/36Penyelesaian :Misalnya A = kejadian muncul mata dadu 3 pada dadu I

B = kejadian muncul mata dadu 5 pada dadu IIDadu I n(S) = 6

n(A)= 1

P(A)=6

1

Dadu II n(S)=6n(B)=1

P(B)=6

1

P(AB) = P(A) P(B)

=6

1

6

1

=36

1

Jawaban : e4. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola kuning. Dari

dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak. peluang terambil 2 bolamerah dan 1 bola biru adalah .... UAN 2005a. 1/10b. 5/36c. 1/6d. 2/11e. 4/11Penyelesaian :

5 M4 B3 K

3

409 peluang

Misalnya A = kejadian terambilnya 2 bola merah pada pengambilanpertama

B = kejadian terambilnya 1 bola biru pada pengambilan keduan(S) = 12

P(AB) =312

1425

C

CC

5C2 =!2)!25(

!5

4C1 =

!1)!14(

!4

12C3 =

!3)!312(

!12

=!2!3

!5=

!1!3

!4=

!3!9

!12

=12

45

= 4 =123

101112

= 10 = 220

P(AB) =312

1425

C

CC

=220

410

=22

4

=11

2

Jawaban : d5. Dari butir telur yang dijual terdapat 2 butir yang busuk. Ibu membeli 2

butir telur tampa memilih. Peluang ibu mendapat 2 butir telur yang baikadalah .... UAN 2006a. 9/45b. 11/45c. 14/45d. 18/45e. 28/45

410 peluang

Penyelesaian :Misalnya A = kejadian terambil 2 butir telur yang baik

P(A) =210

28

C

C

8C2 =!2)!28(

!8

10C2 =

!2)!210(

!10

=!2!6

!8=

!2!8

!10

=12

78

=12

910

= 28 = 45

P(A) =210

28

C

C

=45

28

Jawaban : e6. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar undi bersama – sama

sebanyak satu kali. Peluang munculnya bilangan prima pada dadu dangambar pada uang logam adalah .... UAN 2007.Ba. 1/12b. ¼c. 1/3d. ½e. 2/3Penyelesaian :Misalnya A = kejadian muncul bilangan prima pada dadu

B = kejadian muncul sisi gambar pada uang logamDadu : n(S) = 6

A = {1,2,3,5} n(A)= 4

P(A) =6

4

411 peluang

uang logam : n(S)=2n(B)=1

P(B) =2

1

P(AB) = P(A) P(B)

=2

1

6

4

=3

1

Jawaban : c7. Dalam kantong I terdapat 5 klereng merah dan 3 klereng putih, dalam

kantong II terdapat 4 klereng merah dan 6 klereng hitam. Dari setiapkantong diambil 1 klereng secara acak. peluang terambilnya klereng putihdari kantong I dan klereng hitam dai kantong II adalah .... UAN 2007.Aa. 39/40b. 9/13c. ½d. 9/20e. 9/40Penyelesaian :

I IIMisalnya A = kejadian terambilnya klereng putih dari kantong I

B = kejadian terambilnya klereng hitam dari kantong IKantong I n(S) = 8

n(A)= 3

P(A)=8

3

Kantong II n(S) = 10n(B)=6

5 M3 P 1

4 M6 H 1

412 peluang

P(B)=10

6

P(AB) = P(A) P(B)

=10

6

8

3

=40

9

Jawaban : e8. Pada pelemparan undi sebuah dadu, A adalah kejadian muncul angka

lebih dari 4 dan B adalah kejadian muncul angka kurang dari 2. Peluangkejadian A atau B adalah .... UAN 2008.Aa. 1/6b. 1/3c. ½d. 3/5e. ¾Penyelesaian :S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6A = kejadian muncul angka lebih dari 4A = {5,6} n(A) = 2

P(A) =6

2

B = kejadian muncul angka kurang dari 2B = {1} n(B) = 1

P(B) =6

1

P(AB) = P(A) + P(B)

=6

1

6

2

=6

3

413 peluang

=2

1

Jawaban : c

9. Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali.Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah .... UAN2008.Ba. ½b. ¼c. 1/6d. 1/8e. 1/12Penyelesaian :n(S) = 36Misalnya A = kejadaian muncul jumlah mata dadu 9

A = {(6,3),(5,4),(4,5),(3,6)} n(A) = 4

P(A) =36

4

B = kejadian muncul jumlah mata dadu 11B = {(6,5),(5,6)} n(B) = 2

P(B) =36

2

P(AB) = P(A) + P(B)

=36

2

36

4

=36

6

=6

1

Jawaban : c

414 peluang

10. Dari angka 1,2,3,4,5,6 akan dibentuk bilangan yang terdiri dai 3 angkadengan tidak ada angka berulang. Banyaknya bilangan tersebut adalah ....UAN 2008.Aa. 18b. 20c. 90d. 120e. 216Penyelesaian :

x x atau 6P3 =)!36(

!6

6 x 5 x 4 = 120 =!3

!6

= 456 = 120

Jawaban : d11. Pengurus OSIS yang terdiri dari ketua, sekertaris dan bendahara akan

dipilih dari 8 orang calon. Banyaknya cara untuk memilih pengurus OSIStersebut adalah .... UAN 2008.A bahasaa. 336b. 260c. 240d. 220e. 210Penyelesaian :

8P3 =)!38(

!8

=!5

!8

= 8 x 7 x 5= 336

Jawaban : a

.... .... ....

415 peluang

12. Tiga keping uang dilempar undi bersama – sama satu kali. Peluangmunculnya paling sedikit 1 sisi gambar adalah .... UAN 2008.A bahasaa. 1/8b. ¼c. ½d. ¾e. 7/8Penyelesaian :S = GGG,GGA,GAA,GAG,AAA,AAG,AGG,AGAA = GGG,GGA,GAA,GAG,AAG,AGG,AGAn(S) = 8n(A) = 7

P(A) =8

7

Jawaban : e13. Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola putih, kotak B berisi 5 bola merah

dan 3 bola putih. Dari masing – masing kotak diambil sebuah bola, makapeluang yang terambil bola putih dari kotak A dan bola merah dari kotakB adalah .... UAN 2008.A bahasaa. 31/40b. 2/5c. 3/8d. 3/20e. 5/40Penyelesaian :

A BMisalnya A = kejadian terambilnya bola putih dari kotak A

B = kejadian terambilnya bola merah dari kotak BKantong I n(S) = 5 Kantong II n(S) = 8

n(A)= 3 n(B)=5

2 M3 P 1

5 M3 P 1

416 peluang

P(A)=5

3P(B)=

8

5

P(AB) = P(A) P(B)

=8

5

5

3

=8

3

Jawaban : c14. Seorang peserta ujian harus mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada.

Banyak cara peserta memilih soal ujian yang harus dikerjakan adalah ....UAN 2008.A bahasaa. 210b. 220c. 230d. 5.040e. 5.400

Penyelesaian :

10C6 =!6)!610(

!10

=!6!4

!10

=1234

78910

= 210Jawaban : a

15. Banyaknya susunan huruf – huruf pada kata “ANDALAN” adalah .... TryOut 2008 NTTa. 210b. 420c. 840d. 2520

417 peluang


7P3+2 =!2!3

!7

=12

4567

= 420Jawaban : b

16. Di dalam sebuah kotak ada 9 tiket yang diberi nomor 1 sampai dengan 9.Apabila 2 tiket diambil secara acak tanpa pengembalian maka, peluangterambilnya 1 ganjil dan 1 genap adalah .... UAN Try Out 2008 NTTa. 6/18b. 5/18c. 4/18d. 3/18e. 2/18

Penyelesaian :

MisalnyaA = kejadian terambilnya 1 genap pada pengambilan pertamaB = kejadian terambilnya 1 ganjil pada pengambilan kedua

n(S) = 9n(A)= 5

P(A)=9

5

n(B)= 4n(S)= 8

5 Ganjil4 Genap

11

418 peluang

P(BA) =)(

)(

Sn

Bn

=8

4

=2

1

P(AB) = P(A) P(BA)

=2

1

9

5

=18

5

Jawaban : b

419 peluang

1. Banyaknya susunan huruf – huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata“STATISTIK” adalah ....a. 604.800b. 100.800c. 84.600d. 76.800e. 75.800

2. Dari 8 tangkai bunga yang berbeda – beda warnanya akan dibentukrangkaian bunga yang terdiri dari 3 warna berbeda. Banyak caramenyusun rangkaian bunga berbeda tersebut adalah ....a. 24b. 56c. 72d. 112e. 336

3. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang logam dilempar undi satu kalisecara bersama – sama. peluang untuk memperoleh sisi gambar padamata uang logam dan bilangan ganjil pada dadu adalah ....a. 1/12b. 1/6c. 1/4d. 1/3e. 1/2

LATIHAN MANDIRI

420 peluang

4. Sebuah kotak berisi 3 bola merah dan 5 bola putih. Dari kotak itu diambil1 bola berturut – turut dua kali tanpa pengembalian bola pertama kedalam kotak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah ....a. 15/64b. 9/64c. 20/56d. 15/56e. 6/56

5. Dari 12 orang siswa terdiri dari 7 pria dan 5 wanita akan dibentuk sebuahteam yang beranggotakan 3 orang. Peluang terbentuknya sebuah teamyang terdiri dari sekurang – kurangnya 1 siswa wanita adalah ....a. 7/44b. 21/44c. 9/44d. 30/44e. 37/44

6. Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Jikasoal nomor 3,5 dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya dimintamengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia, maka banyak cara seorangpeserta memilih soal yang dikerjakan adalah ....a. 14b. 21c. 45d. 66e. 2520

420 Statistik

2. StatistikA. Data Tunggal

1. Rata – rata / meanRata – rata suatu data diperoleh dengan :

n

xx i

2. MedianMedian adalah nilai tengah data

Untuk n ganjil :2

1

nMe ,

Untuk n genap :2

nMe

3. Modus adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang frekuensinyalebih besar

4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data menjadi empat bagian yangsama besar

Qi = ni

45. Jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil

R = xmax – xmin

6. Jangkauan antar kuartilH = Q3 – Q1

7. Simpangan kuartilQd = ½ H

= ½ (Q3 – Q1)8. Simpangan rata – rata

SR =n

xx

9. Ragam (variansi)

MATERI

421 Statistik

S =

n

xx2

10. Simpangan baku

S = 2sB. Data Berkelompok

1. Rata – rata / meanRata – rata suatu data diperoleh dengan :

i

ii

f

fxx

2. Median adalah nilai tengah data, dimana letak kelas medianditentukan oleh ½n

cf

fnTbMe

km

skm

2

1

dimana :Tb = Bb – 0,5Ta = Ba + 0,5C = Ta – Tb

skmf = frekuensi kumulatif sebelum kelas medianfkm = frekuensi kelas median

3. Modus adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang frekuensinyalebih besar

cdd

dTbMo

21

1

dimana :Tb = Bb – 0,5Ta = Ba + 0,5C = Ta – Tbd1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

422 Statistik

d2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data menjadi empat bagian yang

sama besar

cf

fni

TbQkk

skk

i

4

dimana :Tb = Bb – 0,5Ta = Ba + 0,5C = Ta – Tb

skkf = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartilfkk = frekuensi kelas kuartil

5. Jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecilR = xmax – xmin

6. Jangkauan antar kuartilH = Q3 – Q1

7. Simpangan kuartilQd = ½ H

= ½ (Q3 – Q1)8. Simpangan rata – rata

SR =n

xxf i

9. Ragam (variansi)

S = n

xxf i

2

10. Simpangan baku

S = 2sCatatan :penyejian data dapat berupa diagram lingkaran, diagram garis, diagrambatang, ogive dan tabel distribusi frekuensi.

423 Statistik

1.

Diagram di atas menyajikan data berat badan (dalam Kg)dari 40 siswa,modusnya adalah .... UAN 2003a. 46,1b. 46,5c. 46,9d. 47,5e. 48,0Penyelesaian :Data dapat disajikan dalam tabel sebagai berikut,

Kelas modus 45 – 49Tb = 45 – 0,5

= 44,5Ta = 49 + 0,5


424 Statistik

= 49,5C = 49, 5 – 44,5

= 5d1 = 12 – 6

= 6d2 = 12 – 8

= 4

Mo = cdd

dTb

21

1

= 546

65,44

= 510

65,44

= 35,44 = 47,5

Jawaban : d2. Simpangan kuartil dari data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8 adalah .... UAN 2003

a. 2 ½b. 3c. 3 ½d. 4e. 4 ½Penyelesaian :Urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar seperti berikut :2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 14

Q2 =2

86 Q1 =

2

43Q3 =

2

129

= 7 =2

7=

2

21

Q1 Q2 Q3

425 Statistik

Simpangan kuartil :½ H= ½ (Q3 – Q1)

= ½

2

7

2

21

=

2

14

2

1

=2

7

= 3 ½Jawaban : c

3. Modus dari data pada gambar di bawah ini adalah .... UAN 2004

a. 25,5b. 25,8c. 26d. 26,5e. 26,6

426 Statistik

Penyelesaian :Data dapat disajikan dalam tabel

Ta = 25 – 0,5= 24,5

Tb = 29 + 0,5= 29,5

C = 29,5 – 24,5= 5

d1 = 16 – 14= 2

d2 = 16 – 8= 8

Mo = cdd

dTb

21

1

= 582

25,24

= 510

25,24

= 15,24 = 25,5

Jawaban : a

427 Statistik

4.

Nilai rataan dari data pada diagram di atas adalah .... UAN 2005a. 23b. 25c. 26d. 28e. 30Penyelesaian :Data di atas dapat disajikan dalam diagram tabel sebagai berikut

Rata – rata :

x =

i

ii

f

fx

428 Statistik

=50

1250

= 25Jawaban : b

5. Perhatikan gambar berikut !

Nilai ulangan matematika dari suatu kelas dengan histogram seperti padagambar. Median nilai tersebut adalah .... UAN 2006a. 64,5b. 65c. 65,5d. 66e. 66,5Penyelesaian :

Kelas median diperoleh dari½ n = ½ (40)

= 20Ta = 69 + 0,5

429 Statistik

= 69,5Tb = 65 – 0,5

= 64,5C = 69,5 – 64,5

= 5fskm = 18fkm = 10

Me = cf

fnTb

km

skm

2

1

= 510

18205,64

= 510

25,64

= 64,5 + 1= 65,5

Jawaban : c6. Perhatikan tabel berikut !

Berat (kg) Frekuensi0 – 9 5

10 – 19 1520 – 29 3030 – 39 4040 – 49 3050 – 59 1560 – 69 5

Nilai median data pada tabel tersebut adalah .... UAN 2007.Ba. 31,72 kgb. 33,50 kgc. 34,50 kgd. 35,40 kg

430 Statistik

e. 54,50 kgPenyelesaian :

Berat (kg) fi fk

0 – 9 5 510 – 19 15 2020 – 29 30 5030 – 39 40 9040 – 49 30 12050 – 59 15 13560 – 69 5 140

Kelas median diperoleh dari½ n = ½ (140)

= 70Ta = 39 + 0,5

= 39,5Tb = 30 – 0,5

= 29,5C = 39,5 – 29,5

= 10fskm = 50fkm = 40

Me = cf

fnTb

km

skm

2

1

= 1040

50705,29

= 1040

205,29

= 29,5 + 5= 34,5

Jawaban : c

Kelas median

431 Statistik

7. Perhatikan tabel berikut !Berat (kg) Frekuensi

31 – 36 437 – 42 643 – 48 949 – 54 1455 – 60 1061 – 66 567 – 72 2

Modus data pada tabel tersebut adalah .... UAN 2007.Aa. 49,06 kgb. 50,20 kgc. 50,70 kgd. 51,33 kge. 51, 83 kgPenyelesaian :

Berat (kg) fi fk

31 – 36 4 437 – 42 6 1043 – 48 9 1949 – 54 14 3355 – 60 10 4361 – 66 5 4867 – 72 2 50

Ta = 54 – 0,5= 53,5

Tb = 49 + 0,5= 49,5

C = 49,5 – 53,5= 6

d1 = 14 – 9= 5

d2 = 14 – 10= 4

Kelas modus

432 Statistik

Mo = cdd

dTb

21

1

= 645

55,49

= 69

55,49

= 49,5 + 3, 33= 51,83

Jawaban : e8. Perhatikan data berikut !

Berat badan Frekuensi50 – 54 555 – 59 660 – 64 765 – 69 1070 – 74 875 – 79 4

Kurtil atas dari data pada tabel tersebut adalah .... UAN 2008.Aa. 69,50b. 70,00c. 70,50d. 70,75e. 71,00Penyelesaian :

Berat badan fi fk

50 – 54 5 555 – 59 6 1160 – 64 7 1865 – 69 10 2870 – 74 8 3675 – 79 4 40

Kelas Q3

433 Statistik

Kelas Q3 diperoleh dari¾n = ¾ (40)

= 30Ta = 74 + 0,5

= 74,5Tb = 70 – 0,5

= 69,5C = 74,5 – 69,5

= 5fskQ3 = 28fkQ3 = 8

Me = cf

fni

Tbi

i

kQ

skQ

4

= 58

28305,69

= 58

25,69

= 69,5 + 1,25= 70,75

Jawaban : d9. Diagram lingkaran berikut menyatakan banyak banyak siswa yang

menyenangi mata pelajaran di sebuah kelas yang terdiri dari 40 orangsiswa. Banyak siswa yang menyenangi mata pelajaran bahasa Inggris danbahasa asing adalah .... UAN 2008.A Bahasaa. 4 siswab. 10 siswac. 12 siswad. 14 siswae. 16 siswa

434 Statistik

Penyelesaian :

Siswa yang menyukai B. Indonesia adalah 40% dari 40 orang artinya

1640100

40 orang

AOD = 036040

16

= 1440

AODCODBOCAOB = 3600

AOB + BOC + 900 + 1440 = 3600

AOB + BOC = 1260

Misalkan x adalah banyaknya siswa yang menyenangi mata pelajaran B.Inggris dan B. Asing maka,

00 12636040

x

09x = 1260

x0 = 140

x = 14Jawaban : d

435 Statistik

10. Rata – rata dari x, 62, 74, 83, 2x, 85, 60 adalah 73. Nilai x adalah .... UAN2008. A Bahasaa. 45b. 47c. 49d. 90e. 98Penyelesaian :

x =n

xi

73 =7

60852837462 xx

511 = 3643 x147 = 3x49 = xJawaban : c

11. Rata – rata upah 10 orang pekerja Rp 70.000,00 perhari. Jika upah ketuakelompok pekerja itu juga dihitung maka rata – ratanya menjadi Rp71.000,00. Upah ketua kelompok pekerja itu perhari adalah .... UAN 2008.A Bahasaa. Rp 78.000,00b. Rp 79.000,00c. Rp 80.000,00d. Rp 80.500,00e. Rp 81.000,00Penyelesaian :

1x =10

10

1i

ix

70.000 =10

10

1i

ix

436 Statistik

700.000 =

10

1iix

2x =11

10

1

i

i xx

71.000=11

000.700 x

781.000= x000.70081.000= x

Jawaban : e

437 Statistik

1.

Diagram lingkaran di atas menunjukkan banyaknya pelajar suatu sekolahyang memilih jurusan IPA, IPS dan BAHASA dari 400 siswa. Banyaknyapelajar yang memilih jurusan IPA adalah ....a. 10 orangb. 40 orangc. 120 orangd. 240 orange. 360 orang

2.

Rataan hitung dari data pada histogram di atas adalah 10. Nilai n yangmemenuhi adalah ....

Bahasa1080

IPAIPS2160

LATIHAN MANDIRI

438 Statistik

a. 4b. 5c. 6d. 7e. 8

3. Nilai ujian bahasa Indonesia siswa suatu kelas tercatat sebagai berikut,Nilai Frekuensi

81 – 85 886 – 90 1291 – 95 18

96 – 100 14Modus dari data pada tabel di atas adalah ....a. 92,50b. 92,75c. 93,50d. 93,75e. 94,50

4. Median dari data pada tabel di bawah ini adalah ....Nilai Frekuensi

19 – 27 428 – 36 637 – 45 846 – 54 1055 – 63 664 – 72 373 – 81 3

a. 46,3b. 46,8c. 47,1d. 47,3e. 47,8

439 Statistik

5. Simpangan baku dari data 7, 5, 9, 8, 6 adalah ....a. 2b. 2c. 5

d. 10e. 10

6. Perhatikan tabel berikut !

Nilai Frekuensi1 – 10 4

11 – 20 821 – 30 1231 – 40 1641 – 50 1051 – 60 761 – 70 3

Nilai kuartil atas (Q3) dari data pada tabel tersebut adalah ....a. 68,5b. 50,5c. 47,5d. 45,5e. 33,5

Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan Pembahasannya

Internet

Transcript of Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan Pembahasannya