SOAL-SOAL MATEMATIKA SMA

Copyright ©Dea Tita Hastika 2015

Nama : Dea Tita Hastika

NPM : 20158300219

Soal-soal Matematika SMA

1. Bentuk sederhana dari 256

612

yx

yx adalah …

Penyelesaian

424

1012

612

256

612

yxyx

yx

yx

yx

2. Bentuk sederhana dari

28

2323 xx adalah …

Penyelesaian

7.4

2.223233.3

28

2323

72

1

7

49

2

1

72

49

72

7

72

29

3. Jika 5log 3 = 𝑎, dan 3log 4 = b, maka nyatakan 4log 15 dalam 𝑎 dan b.

Penyelesaian

4log

5log3log

4log

15log15log

3

33

3

34

ab

a

ba

a

b

a

a

b

a 111

111

4. Jika ,27log16 a maka 2log9 = …

Penyelesaian

maka 2log9 13 2log2

13log

4

3 2 a

2log

2

1 3

a4

3

2

1

a8

3

a32 3log4

3

43log2 a

a4

32log3


5. Tentukan nilai 𝑘 agar persamaan 𝑘𝑥2 − 4𝑥 − 2 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan!

Penyelesaian

Dua akar real yang berlainan 0D

042 acb

02442

k

0816 k

168 k

,2k 0k

6. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 21 x dan 32 x …

Penyelesaian

𝑥1 = −2 dan 𝑥2 = −3

Persamaan kuadratnya :

032322 xx

7. Akar − akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 7𝑥 − 𝑝 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2, jika 𝑥12 + 𝑥2

2 = 19,

maka nilai p adalah …

Penyelesaian

7

1

721

a

bxx

pp

a

cxx

121

192

2

2

1 xx 192 21

2

21 xxxx

19272 p

19249 p

302 p

15p

8. 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = (2𝑚 − 1)𝑥2 − 4𝑚𝑥 + 2𝑚 + 3 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑚 …

Penyelesaian

Definit positif a >0 dan D < 0

32412 2 mmxxmxf

Untuk a 0 Untuk D 0

012 m 042 acb

12 m 03212442

mmm

2

1m 03264416 22 mmmm

02121

2 xxxxxx

0652 xx


012161616 22 mmm

1216 m

16

12m

4

3m

Diperoleh 2

1m dan

4

3m

2

1

2

1

4

3

2

1

4

3

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah 4

3m

9. 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = (𝑚 − 1)𝑥2 − 2𝑚𝑥 + 𝑚 − 3 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑚 …

Penyelesaian

Definit negatif a < 0 dan D < 0

321 2 mmxxmxf

Untuk a 0 Untuk D 0

01m 042 acb

1m 031422

mmm

03444 22 mmm

0121644 22 mmm

01216 m

1216 m

4

3m


Diperoleh 1m dan 4

3m

1

4

3 1

Jadi, nilai 𝑚 yang memenuhi adalah 4

3m

10. 𝐷𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎ℎ𝑢𝑖 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦 = 1 − 4𝑥 𝑚𝑒𝑛𝑦𝑖𝑛𝑔𝑔𝑢𝑛𝑔 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 2.

𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖, 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 …

Penyelesaian

𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑦 = 1 − 4𝑥 𝑘𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 2

241 2 pxxx

01422 xpxx

0142 xpx

Garis menyinggung grafik fungsi kuadrat jika D = 0

042 acb

01144 2 xp

041682 pp

01282 pp

026 pp

06 p atau 02 p

6p atau 2p

11. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan

metode grafik!

42

22

yx

yx

Penyelesaian

22 yx 42 yx

4

3 1


𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) 0 2 (0,2)

4 0 (4,0)

O 1 2 3 4

Pada gambar diatas garis 22 yx dan 42 yx berpotongan pada 0x dan 2y . Jadi,

himpunan penyelesaiannya adalah 2,0

12. Tentukan nilai 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 yang memenuhi sistem persamaan :

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −4 … (1)

𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 11 … (2)

𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5 … (3)

Penyelesaian

Eliminasi variabel 𝑥 dari persamaan (1) dan persamaan (2)

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −4 1 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −4

𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 11 2 2𝑥 + 4𝑦 − 10𝑧 = 22

−5𝑦 + 13𝑧 = −26 … (4)


𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 11

𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5

−𝑦 − 3𝑧 = 6 … (5)

Eliminasi variabel 𝑦 dari persamaan (4) dan persamaan (3)

−5𝑦 + 13𝑧 = −26 1 −5𝑦 + 13𝑧 = −26

−𝑦 − 3𝑧 = 6 5 −5𝑦 − 15𝑧 = 30

28𝑧 = −56

𝑧 = −2

Substitusikan 𝑧 = −2 ke −𝑦 − 3𝑧 = 6 −𝑦 − 3(−2) = 6

𝑦 = 0

Substitusikan 𝑧 = −2 dan 𝑦 = 0 ke 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −4 2𝑥 − (0) + 3(−2) = −4

2𝑥 = 2

𝑥 = 1

𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) 0 2 (0,2)

1 0 (1,0)

x

y

2

22 yx

42 yx

1


13. Dengan uang sebesar Rp. 27.000,00, Rafa telah membeli 2 buku, 3 pulpen, dan 4 penggaris di

sebuah toko. Di toko yang sama, Rifal telah membeli 1 buku, 2 pulpen, dan 1 penggaris dengan

uang sebesar Rp. 13.000,00. Begitupun Rafi, dengan uang sebesar Rp. 13.000,00, dia telah

membeli 2 buku dan sebuah pulpen. Tentukanlah harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris!

Penyelesaian

Misalkan :

Harga sebuah buku = 𝑥 rupiah

Harga sebuah pulpen = 𝑦 rupiah

Harga sebuah penggaris = 𝑧 rupiah

Model matematikanya adalah :

000.27432 zyx (1)

000.132 zyx (2)

000.132 yx (3)

Eliminasi variabel 𝑧 dari persamaan (1) dan persamaan (2)

000.27432 zyx 1 000.27432 zyx

000.132 zyx 4 000.52484 zyx

000.2552 yx (4)


000.132 yx

000.2552 yx

000.124 y

000.3y

Substitusikan 000.3y ke 000.132 yx

000.1330002 x

000.102 x 000.5x

Substitusikan 000.5x dan 000.3y ke 000.132 zyx

000.13300025000 z

000.2z

Jadi, harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris berturut-turut adalah Rp. 5.000,00;

Rp.3.000,00; dan Rp.2.000,00.

14. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari 4

23

3

1

xx, untuk !Rx

Penyelesaian

4

23

3

1

xx

23314 xx

6944 xx

4694 xx

105 x

2x


15. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan dari 652 xx !

Penyelesaian

652 xx

0652 xx

016 xx

,61 x 12 x

Jadi, penyelesaiannya adalah 16 x

16. Sepotong kawat sepanjang 𝑥 cm akan dibentuk persegi panjang dengan ukuran panjang sama

dengan dua kali ukuran lebar. Jika persegi panjang yang terbentuk luasnya lebih dari

kelilingnya, tentukan panjang kawat yang memenuhi!

Penyelesaian

Misalkan panjang persegi panjang = 𝑝 dan lebarnya = 𝑙

Diketahui lp 2

Panjang kawat = keliling persegi panjang

𝑥 = lllp 63(2)2

𝑙 = 6

x

3

xp

kelilingluas

xxx

36

0182 x

018 xx

0x atau 18x

Karena ukuran panjang tidak bernilai negatif, maka panjang kawat yang memenuhi harus

lebih dari 18cm.

17. Kontraposisi dari implikasi : “Jika Ali lulus ujian, maka Ali membeli motor” adalah ….

Penyelesaian

Kontraposisi dari qp adalah pq ~~ .

Jadi, Jika Ali tidak membeli motor, maka Ali tidak lulus ujian.

18. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku sin A = 5

3. Jika BC = 6 cm, tentukanlah

panjang sisi AC dan AB !

Penyelesaian

sin A = AC

BC

5

3 =

AC

6, maka AC = 10 cm

22 BCACAB cm

cmcm 864610 22

6 1

81262

C

A B


19. Diketahui cos A = 5

4, 900 A . Nilai sin 3A – sin A = ….

Penyelesaian

cos A = 5

4; sin A =

5

3

AA sin3sin

2

3sin

2

3cos2

AAAA

125

42

125

212

5

3

25

72

5

31

25

1622

5

31

5

422

sin1cos22

sin2cos2

2

2

AA

AA

20. Nilai dari

85sin

80sin20cos …..

Penyelesaian

85sin

80sin20cos

5cos

80sin70sin

262

1

2

12

2

13

2

12

2

12

30sin45cos30cos45sin2

3045sin2

75sin2

5cos

5cos75sin2

21. Tentukan penyelesaian persamaan 0coscossin2 xxx untuk 3600 x .

Penyelesaian

A

4

53

B

C


0coscossin2 xxx 0cos x maka, 270,90x

01sin2cos xx 2

1sin x maka, 150,30x

0cos x atau 01sin2 x Jadi, penyelesaian persamaan 0coscossin2 xxx

0cos x atau 2

1sin x adalah 30, 90,150 atau 270.

22. Buktikan bahwa xx

x

x

x

x

x

sincos

cos21

sin

cos

cos

sin 2 .

Penyelesaian

x

x

x

x

sin

cos

cos

sin

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

sincos

cossin

cos

cos

sin

cos

sin

sin

cos

sin 22

xx

x

xx

xx

sincos

cos21

sincos

coscos1

2

22

23. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak :

a. Titik A ke titik C

b. Titik A ke titik G

Penyelesaian

a. Titik A ke titik C

cmcmcmBCABAC 267266 2222

b. Titik A ke titik G

cmCGACAG 22

22 626

cmcm 36108

24. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 4 cm. Tentukan jarak titik F ke garis AC !

Penyelesaian

Karena panjang rusuk 4 cm, maka :

cmFCAFAC 24

cmACFA 22242

1

2

1

cmFAAFFF2222 2224

cmcm 62832

Jadi, jarak titik F ke garis AC adalah 62 cm.

Terbukti

BA

C

GH

E F

D

GH

E F

BA

CD


25. Daftar jumlah siswa kelas XI A yang mengambil ekstrakurikuler adalah sebagai berikut.

Ekstrakurikuler Banyaknya Siswa Musik 9 Tari 5

Batik 6 Basket 8

Lain-lain 12 Buatlah diagram lingkaran yang sesuai dengan data tersebut!

Penyelesaian

Jumlah seluruh siswa = 9 + 5 + 6 + 8 + 12 = 40

Perbandingan dan persentase untuk masing-masing pelajaran adalah sebagai berikut :

Musik: %5,22%10040

9 ; Tari: %5,12%100

40

5 ; Batik: %15%100

40

6 ;

Basket: %20%10040

8 ; Lain-lain: %30%100

40

12 .

Jika diubah dalam ukuran derajat, diperoleh :

Musik: 8136040

9 ; Tari: 45360

40

5; Batik: 54360

40

6;

Basket: 7236040

8; Lain-lain: 108360

40

12.

26. Tentukan modus dari data dibawah ini!

Skor Banyak Siswa

40-49 1 50-59 4

60-69 8

70-79 14

80-89 10

90-99 3 Penyelesaian

Kelas modus 70-79, panjang kelas = c = 79,5 – 69,5 = 10

Tepi bawah = 𝑡𝑏 = 69,5

Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya, 𝑑1 = 14 – 8 = 6

Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya, 𝑑2 = 14 – 10= 4

Musik 22,5%

Tari 12,5%

Batik 15%

Basket 20%

Lain-lain 30% Diagram Ligkaran


5,751046

65,69

21

1

c

dd

dtbM o

27. Tentukan nilai kuartil bawah, kuartil atas dan desil ke-6 data berkelompok pada tabel

dibawah ini.

Skor Frekuensi (𝒇𝒊) Frekuensi Kumulatif (𝒇𝒌)

40-49 1 1

50-59 4 5

60-69 8 13

70-79 14 27

80-89 10 37 90-99 3 40

Penyelesaian

Panjang kelas = c = 10 dan banyak data n = 40, 10404

1

4

1n , 3040

4

3

4

3n , dan

D6 terletak pada nilai ke-

6,2410

1406

10

1

ni

Kelas 𝑄1 adalah 60 – 69, kelas 𝑄3 adalah 80 – 89, dan kelas 𝐷6 adalah 70 – 79 .

Jadi, 75,65108

5105,594

1

1

cf

fn

tQk

b

55,821010

27305,794

3

3

cf

fn

tQk

b

36,771014

134010

6

5,69106

cf

fni

tDk

b

28. Berapa cara 5 orang dalam suatu pesta makan dapat diatur tempat duduknya mengelilingi

sebuah meja bundar?

Penyelesaian

Banyaknya susunan duduk 5 orang yang mengelilingi sebuah meja bundar = 24!4!15

29. Seorang petani akan membeli 3 ekor ayam, 2 ekor kambing, dan 1 ekor sapi dari seorang

pedagang yang memiliki 6 ekor ayam, 4 ekor kambing, dan 3 ekor sapi. Dengan berapa cara

petani tersebut dapat memilih ternak-ternak yang diinginkannya?

Penyelesaian

Banyaknya cara memilih ayam

20!3!3

!6

!3!36

!63,6

C cara,

Banyaknya cara memilih kambing

6!2!2

!4

!2!24

!42,4

C cara,


Banyaknya cara memilih sapi

3!1!2

!3

!1!13

!31,3

C cara,

Jadi, petani tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20 6 3 = 360 cara.

30. Dalam sebuah kotak terdapat 9 bola, terdiri dari 5 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil 3

bola sekaligus secara acak, berapakah peluang terambilnya 3 bola merah?

Penyelesaian

𝑛(𝑆) = banyaknya kemungkinan yang terjadi pada pengambilan 3 bola dari 9 bola yang ada.

= 𝐶(9,3) = 84

𝑛(𝐸) = banyaknya kemungkinan yang terjadi pada pengambilan 3 bola merah dari 5 bola

merah yang ada.

10!312

!345

!3!35

!53,5

C cara

Jadi, 42

5

84

10

Sn

EnEP

31. Pada pelemparan dua dadu, tentukan peluang muncul mata dadu berjumlah lebih dari 4.

Penyelesaian

𝑛(𝑆) = 36

𝐸 = kejadian terambilnya mata dadu berjumlah kurang atau sama dengan 4.

= {(1,1), (1,2) (1,3) (2,1), (2,2), (3,1), }

6

1

36

6EP

6

5

6

11 cEP

Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah lebih dari 4 adalah 6

5.

32. Buktikan bahwa aa cos90sin .

Penyelesaian

aa cos90sin aa sin90coscos90sin

a

aa

cos

sin0cos1

33. Sederhanakanlah 40sin80sin .

Penyelesaian

40sin80sin 2

4080sin

2

4080cos2

20sin

20sin2

12

20sin60cos2

Terbukti


34. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 0618633 22 yxyx .

Penyelesaian

Sederhanakan persamaan tersebut, menjadi

026222 yxyx

Dengan A = – 2, B = 6, dan C = 2.

Pusat: 3,162

1,2

2

1

PP

Jari-jari: 228264

12

4

1 22r

35. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 202322 yx di titik 4,1 .

Penyelesaian

Persamaan garis singgung pada lingkaran 202322 yx di titik 4,1 adalah :

202233 11 yyxx

20224331 yx

202234 yx

2042124 yx

01224 yx

062 yx

36. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 922 yx yang melalui titik (0,9).

Penyelesaian

Lingkaran 922 yx berpusat di 0,0O dan berjari-jari r = 3. Persamaan garis yang

melalui titik 9,0 dan bergradien 𝑚 adalah :

11 xxmyy

09 xmy

9 mxy

09 ymx

r = jarak titik pusat 0,0O ke garis 09 ymx

1

9003

2

m

m

8119 2 m

912 m

82 m

22m

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 922 yx yang melalui titik 9,0 adalah

922 xy dan 922 xy .


37. Jika 2 adalah akar persamaan 01247 23 xxx , tentukan akar-akar yang lain!

Penyelesaian

Misal 01247 23 xxxxf

𝑥 = 2 1 7 4 12

2 10 12

1 5 6 0

Hasil bagi 𝑓(𝑥) oleh 𝑥 – 2 adalah 652 xx , maka

.162652 2 xxxxxxxf

Jadi, akar-akar 𝑓(𝑥) = 0 adalah ,2x ,6x dan .1x

38. Sukubanyak 5428 23 axxxxf habis dibagi 14 x . Nilai 𝑎 dan hasil baginya

adalah ….

Penyelesaian

𝑥 =1

4 8 42 𝑎 -5 0

4

11

45

a

2 11 4

11

4

a

4

9

4

1120

4

115

4

a

8 44 𝑎+11 0 9a

𝑥 =1

4 8 42 9 -5

2 11 5

8 44 20 0

Hasil baginya adalah, 20448 2 xx / 5112 2 xx

39. Diketahui 35 xxg dan 710 xxgf . Tentukan 𝑓(𝑥).

Penyelesaian

710 xxgf

71035 xxf

135235 xxf

12 xxf


40. Diketahui 32

11 xxf . Tentukan 𝑓(𝑥).

Penyelesaian

32

11 xxf

32

11 yyf

32

1 yx

32 yx

32 xy

Jadi, 32 xxf

41. Diketahui 32 xxgf dan 11 xxg . Tentukan 𝑓(𝑥).

Penyelesaian

xggfxf 1

xggf 1

1 xgf

312 x

12

322

x

x

42. .......21

1lim

1

x

x

x

Penyelesaian

21

1lim

1

x

x

x

21

21

21

1lim

1

x

x

x

x

x

2211

21lim1

211lim

21

211lim

2121

211lim

11

1

1

xx

xx

x

xx

xx

xx

xx

x

x


43. Tentukan nilai 254lim 22

xxxxx

Penyelesaian

2

5

11

05

211

541

35

lim

254

35lim

254

254lim

254

254254lim

22

22

22

22

22

2222

xxxx

x

xxxx

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxxxx

x

x

x

x

44. Tentukan nilai x

x

x cos

2sinlim

2

…..

Penyelesaian

21.22

sin2sin2limcos

cossin2lim

cos

2sinlim

222

xx

xx

x

x

xxx

45. Carilah turunan fungsi 2312 xxxxf !

Penyelesaian

2312 xxxxf

Misalnya: 12 xxxu , maka 12 xxu

23 xxv , maka 3 xv

xvxuxvxuxf

1109

333276

312312

2

22

2

xx

xxxx

xxxx


46. Carilah turunan fungsi dari xxxxf sincos !

Penyelesaian

Misalnya: xxu cos , maka xxu sin

xxxv sin , maka xxv cos1

xvxuxvxuxf

xxxx

xxxxx

xxxxx

sincos2cos

coscossinsin

cos1cossinsin

22

47. Diketahui fungsi 1293 23 xxxxf , tentukanlah nilai stasioner fungsi dan titik-titik

stasionernya!

Penyelesaian

1293 23 xxxxf , maka 963 2 xxxf

Syarat fungsi xf mepunyai nilai stasioner adalah 0 xf , sehingga :

0963 2 xx

0323 2 xx

0313 xx

11 x atau 32 x

Untuk 11 x nilai stasionernya adalah 171219131123

f

Untuk 32 x nilai stasionernya adalah 151239333323

f

Jadi, nilai stasionernya 171 f dan 153 f

Titik-titik stasionernya adalah 17,1 dan 15,3

48. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi 322 xxxf pada interval

42 x .

Penyelesaian

322 xxxf , maka turunannya adalah 22 xxf

𝑓(𝑥) mencapai stasioner jika 0 xf . Sehingga 022 x atau 1x

Pada interval 42 x (tidak terdapat nilai stasioner karena nilai stasioner terletak di

1x )

Nilai minimum : 332222

xf

Nilai maksimum : 534242

xf


49. xx 5cos3sin 𝑑𝑥 = ....

Penyelesaian

xx 5cos3sin 𝑑𝑥 xx 5cos3sin22

1 dx

cxx

cxx

xx

xxxx

8cos2cos416

1

2

2cos

8

8cos

2

1

2sin8sin2

1

53sin53sin2

1

50. dxxx

3

1

2 32 =…..

Penyelesaian

dxxx

3

1

2 32 =

3

1

3

1

3

1

2 32 dxxdxdxx

= 3

3

1x 2x x3

= 13331313

13

3

1 2233

= 39193

19

= 683

26

= 3

210

3

32

dx

dx

3

1

3

1

3

1

SOAL-SOAL MATEMATIKA SMA

Education

Transcript of SOAL-SOAL MATEMATIKA SMA