SOAL DAN SOLUSI PENYISIHAN

KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011

(90 menit)

1. Misalkan 39

9)(

x

x

xf . Maka nilai dari ...1996

1995...

1996

2

1996

1fff

a. 2

1995 b.

3

1995 c.

4

1995 d.

3

1996 e.

4

1996

Solusi :

39

9)(

x

x

xf

xx

x

xf93

3

39

9)1(

1

1

11)( xfxf

1996

998

1996

999

1996

997...

1996

1995

1996

1

1996

1995...

1996

2

1996

1ffffffff

2

1995

33

3997

2

1997.1

1996

1995...

1996

2

1996

1ffff

Jawaban : A

2. 5 ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam 5 hari. Maka hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola adalah ... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

Solusi :

5 ekor ~ 5 lapangan bola dalam 5 hari

1 ekor ~ 1 lapangan bola dalam 5 hari

Jadi , 3 ekor kambing dapat menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola dalam 5 hari. Jawaban : D

3. Pada kubus ABCD.EFGH , P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah EH. Jika Ѳ adalah sudut antara bidang ABGH dan bidang ABPQ , maka tan Ѳ adalah ...

a. b. c. d. e.

Solusi :

Misalkan AB = 2 , maka BP = dan BG = 2 Aturan kosinus (PG)2 = (PB)2 + (BG)2 – 2.PB.BG. cosѲ

1 = 5 + 8 - 2 . 2 cos Ѳ

1 = 13 - 4 cos Ѳ

Cos Ѳ =

1

3

Jadi , tan Ѳ =

Jawaban : C

4. Jika 111 1

2x , maka nilai

5 4 3 2004(2 2 53 57 54)x x x x adalah ...

a. -10 b.10 c.0 d.-1 e.1

F

Ѳ

P Q

Ѳ

Solusi :

111 1

2x 2 111 1x 2 1 111x ( Kuadratkan kedua ruas)

2

2

2

2

(2 1) 111

4 4 1 111

4 4 110 0

2 2 55 0...(1)

x

x x

x x

x x

Kalikan (1) dengan 3x ……. 5 4 3

2 2 55 0x x x …(2)

Kalikan (1) dengan x ……… 3 22 2 55 0x x x …(3)

Kalikan (1) dengan 1 …….. 22 2 55 0x x …(4)

Jumlahkan (2)(3)(4), maka diperoleh: 5 4 3

2 2 53 57 55 0x x x x 5 4 3 2004

(2 2 53 57 54)x x x x =5 4 3 2004

(2 2 53 57 55 1)x x x x

2004

2004

(0 1)

( 1)

1

Jawaban : E

5. Tentukan jumlah semua angka hasil penjabaran :

777.777.777.777.7772 – 222.222.222.222.2232

a. 148 b. 84 c. 74 d. 69 e. 79

Solusi :

prinsip: ))(()(22

bababa

000.000.000.000.000.554.555.555.555.555

)554.555.555.555.555)(000.000.000.000.000.1(

223.222.222.222.222777.777.777.777.77722

Maka, jumlah semua angkanya adalah (5x14)+(4x1) = 74 Jawaban : C

6. Segitiga ABC siku-siku di C. Garis bagi dalam sudut BAC dan ABC memotong sisi BC dan CA

berturut-turut di titik P dan Q. Titik M dan N masing-masing terletak pada sisi AB sehingga PM dan QN tegak lurus AB. Tentukan besar ∠MCN. a. 150 b.300 c.450 d.600 e.750

Solusi :

Dibuat CL dengan L terletak pada AB sehingga CL tegak lurus AB. Segitiga-segitiga ΔACB, ΔANQ, ΔALC, ΔCLB dan ΔPMB semuanya sebangun. Misalkan ∠MCL = x Karena PM sejajar CL maka ∠MCL = ∠PMC = x Pada ΔAPC dan APM, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta AP merupakan hipotenusa kedua segitiga sehingga ΔAPM dan ΔAPC kongruen (sama dan sebangun). � PC = PM Karena PC = PM maka ΔCPM sama kaki. � ∠PCM = ∠PMC = ∠MCL = x Misalkan ∠NCL = y Karena QN sejajar CL maka ∠NCL = ∠QNC = y Pada ΔBQC dan BQN, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta BQ merupakan hipotenusa kedua segitiga sehingga ΔBQN dan ΔBQC kongruen (sama dan sebangun). � QC = QN Karena QC = QN maka ΔCQN sama kaki. � ∠QCN = ∠QNC = ∠NCL = y ∠MCN = ∠MCL + ∠NCL ∠MCN = ½ (∠BCL + ∠ACL) ∠MCN = ½ ∠ACB

∠MCN = 45o

Jawaban : C

7. B-1 adalah invers matriks B . Jika B = ( ) dan AB-1 = ( ). Determinan matriks

A adalah …. a. 1 b. 8 c. 27 d.32 e. 64

Solusi :

|B| = 1 3 -1 1 3 2 1 0 2 1

1 0 2 1 0 = ( 2 + 0 + 0 ) – ( -1 + 0 (2)) = -9 |AB-1| = 2 -1 1 2 -1 -1 1 0 -1 1 0 1 -2 0 1 = (-4 + 0 -1 ) – ( 0 + 0 – 2 ) = -3 |AB-1| = |A| |B-1|

|AB-1| = |A| . maka |A| = |AB-1| . |B|

= (-3) x (-9) = 27 Jawaban : C

8. Tentukan nilai minimum dari 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 dengan tiap – tiap “0” artinya “+” atau “kali” . a. 36 b. 40 c. 44 d. 45 e. 84

Solusi :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 1 x 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 Maka nilai minimum yang didapat 44 Jawaban : C

9. Suatu segitiga sisi-sisinya 4, 6, . Luas segitiga itu adalah..

a. b. c. d. e.

Solusi :

S = (a+b+c) = (4+6+4 ) = 5 +

L =

=

=

=

= Jawaban : B

10. Jika diketahui f(x)=2x+1 dan g(f(x))=x2+3x+1, berapakah g(3)? a. 71 b. 19 c. 11 d. 5 e. 0

Solusi :

g(f(x)) = x2+3x+1 g(2x+1) = x2+3x+1 g(3) = 12 + 3 . 1 + 1 = 5 Jawaban : D

11. ( 1- ) ( 1- ) ( 1- ) … ( 1- ) = …

a. b. c. d. e.

Solusi :

. . … . =

Jawaban : C

12. Jika S = 1! + 2! + 3! + … + 99!, maka angka satuan dari S adalah … a. 9 b. 8 c. 5 d. 3 e. 0

Solusi :

1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 .1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Maka angka satuan dari S adalah 1 + 2 + 6 + 4 = 13

Jawaban : D

13. = …

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

Solusi :

. = = = 1

Jawaban : A

14. Jika 3log4 = a dan 3log5 = b, maka 8log20 = …

a. b. c. d. e.

Solusi :

8log20 = (3log20) / (3log8) = (3log4 + 3log5) / (3log2 + 3log4)

=

= =

Jawaban : E

15. Uang Pecahan 1000-an sebanyak 500 lembar dibagi ke lima orang sebanyak a1, a2, a3, a4, a5, dimana

a1 > a2 > a3 > a4 > a5.

(2a2 – a1)(2a3 – a2)(2a4 – a3)(2a5 – a4)(2a5 – a1) adalah prima. Sisa uangnya ditabung. Ternyata,

sisa uangnya yang ditabung juga prima. Berapakah banyak uangnya yang ditabung?

a. Rp 127.000,00 c.Rp 373.000,00 e.Rp 311.000,00

b.Rp 187.000,00 d. Rp 137.000,00

Solusi :

Misal :

a1 = X

Maka

a2 = 2X - 1

a3 = 4X – 3

a4 = 8X – 7

a5 = 16X – 15

karena 2a5 – a1 = prima (diketahui)

Maka

32X – 30 – X = prima

31X – 30 = prima

X ≠ 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

X terkecil = 7

Tapi 31X – 30 = 187 = 11 x 17

X selanjutnya = 11

341 – 30 = 311 prima

Namun sisanya 189 bukan prima

X selanjutnya = 13

403 – 30 = 373 prima

Sisanya = 127 prima

Jadi, yang ditabung : Rp 127.000,00

Jawaban : A

16. Berdasarkan deret bilangan berikut, tentukan urutan selanjutnya!

3, 1, 1, 9, 31, 73, …

a. 121 c.141 e.161

b. 131 d.151

Solusi :

3 1 1 9 31 73

(-1)3 (0)3 13 23 33 43 -1 0 1 8 27 64 125

(-2)2 (-1)2 02 12 22 32 4 1 0 1 4 9 16 +

3 1 1 9 31 73 141

n3 + (n – 1)2

Jawaban : C

17. Jika lim aX + b – X1/2 = 3 X 4 X – 4 4

Nilai a + b sama dengan …

a. 3 c. 1 e. -1

b. 2 d. 0

Solusi :

(1). aX + b - X1/2 bernilai 0 untuk X = 4.

Jadi : 4a + b – 2 = 0 b = 2 – 4a

(2). lim aX + b – X1/2 = 3 X 4 X – 4 4

lim aX- 4a + 2 – X1/2 = 3 X 4 X – 4 4

lim a(X – 4) (X1/2 – 2) 3 X 4 X – 4 (X1/2 – 2) (X1/2 + 2) = 4

a = ¼ + ¾ maka a = 1

b = 2 – 4.1 = -2

Jadi, a + b =1 + (-2) = -1

Jawaban : E

18. Hitunglah nilai x jika :

X =

a. 14 atau 24 c. 0 atau 14 e. 0 atau 34

b. 0 atau 24 d. 14 atau 34

Solusi :

+ =

=

=

. =

= 2

= 2

(2 )2 + 4(3x + 4) = 4 (3x - 4) + 4 ( 3x + 4 )

= 4 (6x)

= 24 x

X =

X2 = 24 x

Jadi x = 24 atau x = 0

Jawaban = B

19. Nilai cos 22.50 – sin 22.50 cot 11.250 sama dengan …..

a. √2 + 1 b. √2 - 1 c. 0 d. 1 e. -1

Jawaban = E

Solusi :

cos 22.50 – sin 22.50 cot 11.250 = 22.50 – sin 22.50 cos 11.250

sin 11.250

= sin 11.250 cos 22.50 – cos 11.250 sin 22.250

sin 11.250

= sin (11.250 – 22.50) = - sin11.250 = -1

Sin 11.250 sin 11.250

20. Matriks B adalah invers matriks A, matriks D adalah invers matriks C dan A . B . C = D, maka yang merupakan matriks identitas adalah… a. A2 b. B2 c. C2 d. D2 e. A . C2

Solusi :

B = A-1 maka AB = I D = C-1 maka CD = I ABCD = I. Karena ABC =D, maka (ABC) D = I D2 = I

Jawaban : D

21. Daftar distribusi frekuensi di bawah ini menunjukkan hasil tes matematika pada 30 siswa. Yang berhasil adalah siswa yang memperoleh nilai kebih dari 52,5 maka banyaknya siswa yang berhasil …..

a. 20 orang b. 21 orang c. 23 orang d. 24 orang e. 25 orang

Nilai Frekuensi

21-30 1

31-40 1

41-50 3

51-60 10

61-70 8

71-80 5

81-90 2

Solusi :

Langkah 1 : Xk = 52,5 terletak pada kelas 51-60

Dengan demikian :

Tb – 51 – 0,5 = 50,5 ; ∑fs = 1 + 1 + 3 = 5

f(Xk) = 10 ; dan C = (60 – 51) + 1 = 10

Langkah 2 : Xk = Tb + k - ∑fs . C f(Xk)

52,5 = 50,5 + k – 5 . 10 10

52,5 = 50,5 + k – 5 maka k = 7

Kesimpulan : Yang mendapat nilai < 52,5 sebanyak 7 orang (tidak lulus). Berarti yang lulus sebanyak

(30 – 7) = 23 orang.

Jawaban : C

22. Misalkan m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi

Berapakah m2 + n2 ? a. 100 b. 200 c. 300 d. 400 e. 500

Solusi :

Didapat m = 2, n = 14 jadi m2 + n2 = 22 + 142 = 4 + 196 = 200

Jawaban : B

23. . = … a. 0 b. 1 c. 2 d. x e. x2

Solusi :

. . =

. . =

=

=

= 1

Jawaban : B

24. Jika a = 0,111111.… dan b = 0,333333.… ,maka nilai dari (a log b) adalah…

a. b. c. 1 d. 2 e. 3

Solusi :

a = 0,111111…. = = 3-2

b = 0,333333…. = = 3-1

a log b = = ½

Jawaban : B

25. Persegi panjang ABCD, AB = 4 dan BC = 6. Persegi panjang tersebut dilipat sepanjang diagonal BD. Titik P pada AD di mana AD dan lipatan BC berpotongan (lihat gambar di bawah), maka tentukan luas ΔBPD !!

Solusi :

A P D

B C

Maka, luas ΔBPD = luas ΔBAD – luas ΔBAP

=

Maka luas ΔBPD = luas ΔBAD – luas ΔBAP

=

=

A P D

B C

a.

b.

c.

d.

e.

β

β

α

α

θ

θ

β = tan-1 ( ) = 56,31o

α = tan-1 ( ) = 33,69o

θ = β – α = 56,31o - 33,69o = 22,62o

γ = 180o – 90o – θ = 180o – 90o – 22,62o = 67,38o

Menggunakan Aturan Sin :

P D

X = 1,6667 = 1

γ θ

γ γ

Jawaban : B

26. - = 3

+ = 1

Tentukan penyelesaian dari persamaan diatas:

a. x=2, y=1 b. x=-2, y=1 c. x=2, y=-1 d.x=-1, y=-2 e. x=1, y=2

Solusi :

mis : a =

b =

52a – 4b = 3

4a + 2b = 1 a = , b =

2x-3y+5 = 12

3x+2y-1 = 1 x = 2, y = -1

Jawaban : C

27. + x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke -…

a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 13

Solusi :

+ = . + .

Andaikan x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke k + 1, maka :

. . . = . . . = .

21

21 21

21 - k k

Pangkat x = Pangkat y

=

63 = 7k

Maka, k = 9

Jadi, k + 1 = 9 + 1 = 10

Jawaban : B

28. Sisa 31990 jika dibagi 41 adalah ….

b. 31 b. 32 c. 21 d. 22 d. 11

31990 34 x 497 + 2 mod (41)

(34)497 x 32 mod (41)

(2 x 41 – 1)497 x 9 mod (41)

(-1)497 x 9 mod (41)

-9 mod (41)

(41 – 9) mod (41)

32 mod (41)

Jadi, sisa 31990 jika dibagi 41 adalah 32.

Jawaban : B

29. Sebuah bola tennis dijatuhkan dari ketinggian 7,5 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5

kali tinggi semula.Pemantulan terjadi terus-menerus sampai bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan

bola yang terjadi adalah ….

a. 45 m b. 47,5 m c. 67,5 m d. 75 m e. 55 m

Solusi :

S = 7,5 + 2 6 + 24/5 + 96/25 + …

= 7,5 + 2 6 = 7,5 + 2 . 30 = 67,5 m

1 – 4/5

Jawaban : C

30. Suatu bilangan X terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, didapat bilangan yang

terdiri dari dua angka itu juga dalam urutan terbalik. Jika diantara angka puluhan dan satuan

disisipkan angka 0 maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 2/3 kali nilai bilangan X . Bilangan X itu

adalah ….

a. 16 b. 27 c. 38 d. 75 e. 55

Solusi :

Misalkan bilangan itu ab, maka :

ab + 45 = ba a0b = 7 2/3 x ab

10a + b + 45 = 10b + a 100a + b = 23/3 (10a + b)

a = b -5 300a + 3b = 230a + 23b

70a = 20b

7a = 2b

7 (b-5) = 2b

7b – 35 = 2b, maka b = 7

a = 2

jadi bilangan X itu adalah 27

Jawaban : B

31. Pada dasar sebuah tong terdapat 3 buah kran. Dari keadaan penuh, dengan membuka keran

pertama dan kedua saja, tong itu dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit ; jika yang dibuka keran

pertama dan keran ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 84 menit ; jika yang dibuka keran kedua

dan ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 140 menit. Jika ketiga keran dibuka secara bersamaan,

tong dapat dikosongkan dalam waktu ….menit

a. 45 b. 50 c. 55 d. 60 e. 65

Solusi :

v1 + v2 = x/70

v1 + v3 = x/84

v2 + v3 = x/140

+

2 (v1 + v2 +v3) = x/70 + x/84 + x/140

2 (v1 + v2 +v3) = 6x/420 + 5x/420 + 3x/420 = 14x/420 = x/30

v1 + v2 +v3 = x/60

jadi jika ketiga keran itu dibuka bersama, maka tong dapat dikosongkan dalam waktu 60 menit.

Jawaban : D

32. Suatu garis dengan kedua titik ujungnya pada ellips disebut tali busur ellips. Salah satu tali busur

ellips 25x2 + 4y2 = 100 mempunyai titik tengah (1,-4). Persamaan tali busur tersebut adalah ….

a. 3x - 2y -11 = 0

b. 5x - 4y - 21 = 0

c. 8x - 5y - 28 = 0

d. 25x - 4y - 41 = 0

e. 25x - 16y - 89 = 0

Solusi :

25x2 + 4y2 = 100

50x + 8y y’ = 0

50. 1 + 8 . -4 . y’ = 0 maka m = y’ = 25/16

Persamaan tali busur : y –y1 = m (x – x1)

y + 4 = 25/16 (x - 1)

16y + 64 = 25x – 25

25x – 16y -89 = 0

Jawaban : E

33. Diketahui segitiga ABC dengan sin A : sin B : sin C = 7 : 8 : 9, maka tentukanlah nilai dari

cos A : cos B : cos C !!

a. 7:8:9 b. 9:8:7 c. 14:11:6 d. 6:11:14 e. 18:16:14

Solusi :

Karena = = , maka sin A : sin B : sin C = a : b : c a=7, b=8, c=9

cos A = = 14

cos B = = 11

cos C = = 6

cos A : cos B : cos C = 14 : 11 : 6

Jawaban : C

34. Jika tan 15o = p. Nilai dari = …

a.

b.

c.

d.

e.

Solusi :

= = =

Jawaban : E

35. Nilai (sin . sin . sin . sin ) sama dengan..

a.

b.

c.

d.

e.

Solusi :

, maka

sin . sin . sin . sin = sin . sin . sin

= . . sin

= .

= .

=

=

Jawaban : B

36. Ingkaran dari ”Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 yang tidak suka belajar

Matematika” adalah…

a. Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 yang suka belajar Matematika

b. Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 suka belajar Matematika

c. Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 tidak suka belajar

Matematika

d. Beberapa peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 suka belajar Matematika

e. Beberapa peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 tidak suka belajar

Matematika

Solusi :

Ingkaran dari ada semua

Ingkaran dari tidak suka suka

Jadi,

Ingkaran dari ”Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 yang tidak suka belajar

Matematika” adalah :

Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 suka belajar Matematika

Jawaban : B

37. Batasan nilai h agar titik R (h, -1) yang terletak di luar lingkaran

x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 adalah…

f. -1 < h < 5

g. -5 < h < 1

h. h < -5 atau h>1

i. h < -1 atau h > 5

j. h < -1 atau h < 5

Solusi :

Persamaan Lingkaran

x2 + y2 - 4x + 2y – 4 = 0

Titik R (h, -1) terletak di luar lingkaran

h2 + (-1)2 – 4(h) + 2(-1) – 4 > 0

h2 + 1 – 4h – 2 – 4 > 0

h2 – 4h – 5 > 0

(h – 5)(h + 1) > 0

h < -1 atau h > 5

Jadi, batasan nilai h adalah h < -1 atau h > 5

Jawaban : D

-1 5

38. Berapakah koordinat titik pada garis penghubung A(2, 0, 6) dan B(2, 4, 6) di dalam dengan

perbandingan 3 : 1 ?

a. (2, 6, 3) b. (6, 2, 3) c. (3, 6, 2) d. (2, 3, 6) e. (3, 2, 6)

Solusi :

Misalkan titik tersebut adalah C, maka

AC : CB = 3 : 1

Koordinat titik C adalah

39. Jika y = | cos x | maka dy/dx = ….

a. - | sin x | b. – sin x c. d. e. |sin x |

Solusi :

y = | cos x | maka y2 = cos2 x

2y y’ = 2 cos x . (-sin x)

y’ = =

Jawaban : D

2

4

6

2

0

6

3 1 +

3 + 1

C = =

2

3

6

Jadi, koordinat titik C = (2, 3, 6)

Jawaban : D

40. x dan y bilangan nyata, x > 1999 dan y > 2000. Jika 1999 +

2000 = ½ (x2 + y2), maka nilai x + y = ….

a. 3999

b. 3999

c. 7998

d. 7998

e. 3999

Solusi :

1999 + 2000 = ½ (x2 + y2)

2. 1999 + 2.2000 = (x2 + y2)

Misalkan x2 – 19992 = a2 dan y2 – 20002 = b2

Maka 2.1999a + 2.2000b = a2 + 19992 + b2 + 20002

a2 - 2.1999a + 19992 + b2 - 2.2000b + 20002 = 0

(a - 19992) + (b - 20002) = 0, haruslah :

a = 1999 dan b = 2000

x2 – 19992 = 19992 maka x = 1999

y2 – 20002 = 20002 maka y = 2000

jadi, x + y = 1999 + 2000 = 3999

Jawaban : A