Latihan soal halaman 71-72 Latihan soal halaman 73 Latihan soal halamn 77-78

Latihan soal halaman

Dosen pengasuh :1. Dra. Nyimas Aisyah, M.Pd.

2. Scristia, M.Pd.

Latihan Soal Halaman 71-72

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH

Tentukan jarak titik D ke bidang ACH !

Penyelesaian :

Diketahui : Panjang rusuk kubus = a cm

Ditanya : DK …?

Jawab :

Perhatikan Sketsa jarak titik D ke bidang ACH, maka jarak D ke bidang ACH adalah panjang

DK

Langkah mencari DK , adalah

Mencari panjang HO, sebagai berikut :

HO=√HD2+DO2

HO=√a2+ 12

a2

HO=√ 32

a2

A B CD

E FGH

A BCD

E FGH

KD

O D B

FH

O●K?

HO=a√ 32

HO=a √3√2

× √2√2

HO=12

a√6

Mencari panjang DO, yaitu :

DO=12

DB

DO=12 √AB2+ AD2

DO=12 √a2+a2

DO=12 √2a2

DO=12

a√2

Mencari luas segitiga HDO, yaitu :

L∆ HDO=12

×alas× tinggi

L∆ HDO=12

×DO× HD

L∆ HDO=12

× 12

a √2 ×a

L∆ HDO=14

a2√2

Berdasarkan hasil luas tersebut, maka panjang DK adalah

12

×alas×tinggi=L∆ HDO

12

×HO× DK=L∆HDO

12

× 12

a√6× DK=14

a2

√2

14

a√6× DK=14

a2

√2

DK=

14

a2 √2

14

a√6

DK=a √2√6

× √6√6

DK=13

a√3

Jadi, jarak dari titik D ke bidang ACH adalah 13

a√3cm.

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C ke

bidang AFH , maka jarak titik A ke S adalah ...

Penyelesaian :

Diketahui : Panjang rusuk = a cm

Sketsa jarak titik A ke titik S pada kubus ABCD.EFGH

Ditanya : AS …?

Jawab :

pandanglah segitiga APC, maka

A BCD

E FGH

Mencari panjang AC, yaitu :

AC=√AB2+BC 2

AC=√a2+a2

AC=√2a2

AC=a√2

AC=EG=a√2

Maka EP=12

EG=¿ 12

a√2 ¿

Mencari panjang AP, yaitu :

AP=√ AE2+EP2

AP=√a2+(12

a√2)2

AP=√a2+ 12

a2

AP=a√ 32

AP=a √3√2

× √2√2

AP=12

a√6

AP=PC=12

a√6

Perhatikan ∆ APC , maka

cos α= AP2+ AC 2−PC2

2 ( AP )(AC )

cos α=( 12

a√6)2

+¿¿¿

P

CA

S

Oα

cos α= 2a2

2a2 √3

cos α= 1√3

× √3√3

cos α=13 √3

Perhatikan ∆ ASC yaitu segitiga siku-siku, maka berlaku :

cos α= ASAC

13 √3 ¿

ASa√2

AS=13

a√6

Jadi, jarak titik A ke titik S adalah 13

a√6 cm.

Latihan Soal Halaman 73

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan penjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak AF ke bidang

CDHG!

Penyelesaian :

Garis AF dan bidang CDHG adalah sebuah garis dan bidang yang saling sejajar, maka jarak

antara garis AF dan bidang CDHG dapat diwakilkan oleh ruas garis AD atau FG , sehingga

jarak yang dimaksud adalah 6 cm.

2. T.ABC adalah bidang empat beraturan dengan AB = 16. Jika P dan Q masing-masing

pertengahan TA dan BC, maka tentukan PQ !

Penyelesaian :

A BCD

E FGH

Sketsa soal :

Diketahui :

AB=16cm

TA=PA=BQ=QC=8cm

Ditanya : PQ …?

Jawab :

Langkah mencari panjang PQ, adalah

Mencari panjang AQ

Perhatikan ∆ ABC merupakan segitiga samasisi, maka sudut tiap titik sudutnya adalah 60 °.

Adapun garis AQ adalah garis bagi , karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama

jauh dari AB dan AC, maka sketsa gambarnya adalah sebagai berikut :

Karena garis AQ tegak lurus terhadap garis BC, maka pada ∆ AQC berlaku:

AQ=√AC 2−QC2

AQ=√162−82

AQ=√256−64

AQ=√192

Mencari panjang TQ

T

AB

CP

Q

A C

B

Q

16

60ᴼ

Garis bagi

Perhatikan ∆ BCT merupakan segitiga samasisi, maka sudut tiap titik sudutnya adalah 60 °.

Adapun garis TQ adalah garis bagi, karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama

jauh dari AB dan AC, maka sketsa gambarnya adalah sebagai berikut :

Karena garis AQ tegak lurus terhadap garis BC, maka pada ∆ AQC berlaku:

TQ=√TB2−BQ2

TQ=√162−82

TQ=√256−64

TQ=√192

Perhatikan ∆ ATQ, karena AQ=TQ maka ∆ ATQ adalah segitiga samakaki. Adapun karena

garis PQ membagi garis TA menjadi dua sama panjang maka garis PQ pasti tegak lurus

terhadap garis TA, sehingga sketsanya sebagai berikut :

Berdasarkan sketsa gambar di atas, maka jelas panjang PQ adalah

PQ=√TQ2−TP2

PQ=√√1922−82

PQ=√192−64

PQ=√128

B Q

= =

8

16

60ᴼ

30ᴼ

30ᴼ

90ᴼ

90ᴼ

T

C

Garis Bagi

T P

= =

8Xᴼ

Xᴼ

90ᴼ-X

90ᴼ-X

90ᴼ

90ᴼ

Q

A

Garis Bagi

192

PQ=8√2

Jadi, jarak antara titik P dan titik Q adalah 8√2 cm.

3. Diketahui bidang empat D.ABC beraturan dengan panjang AB =10 dengan titik P dan Q

masing-masing merupakan titik tengah dari BA dan DC. Hitunglah jarak AB ke CD !

Penyelesaian :

Diketahui :

AB=10

BP=AP=DQ=SQ=5

Ditanya : Jarak garis AB ke garis CD?

Jawab :

Sketsa :

Berdasarkan sketsa di atas maka jelas bahwa garis AB dan garis DC adalah dua garis yang

bersilangan. Adapun jarak dari dua garis bersilangan adalah jarak terpendek dari salah-satu

titik yang terdapat pada masing-masing garis tersebut, dimana titik tersebut saling tegak lurus

terhadap garis penyilangnya. Sebagaimana telah diketahui pada soal no 2 bahwa pada bidang

empat beraturan berlaku titik tengah suatu garis pelukisnya (pada soal garis DC) tegak lurus

dengan garis pembentuk alas di depannya (pada soalgaris AB) pada titik tengah garis tersebut.

Maka dapat kita simpulkan bahwa jarak antara garis DC dan garis AB adalah jarak antara titik

tengah DC yaitu titik P dengan titik tengah AB yaitu titik Q.

Langkah mencari panjang PQ, yaitu :

Perhatikan ∆CPQ adalah seditiga siku-siku di titik P.

D

CB

A

P

Q

Mencari panjang CQ

Perhatikan ∆ A CB merupakan segitiga samasisi, maka sudut tiap titik sudutnya adalah 60 °.

Adapun garis CQ adalah garis bagi, karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama

jauh dari BC dan AC, maka sketsa gambarnya adalah sebagai berikut :

Karena garis CQ tegak lurus terhadap garis AB, maka pada ∆ AQC berlaku:

CQ=√ AC2−QC2

CQ=√102−52

CQ=√100−25

CQ=√75

CQ=5√3

Maka panjang PQ adalah

PQ=√CQ2−CP2

PQ=√(5√3)2−52

PQ=√75−25

PQ=√50

PQ=5√2

Jadi, jarak antara garis AB ke garis CD adalah 5√2 cm.

Latihan Soal Halaman 77-78

Q

CP

A Q= =

5

10

60ᴼ

30ᴼ

30ᴼ

90ᴼ

90ᴼ

C

B

Garis Bagi

1.

2. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm.

a. Carilah jarak antara garis PU dengan bidang RSWP

b. Carilah jarak antara garis UW dengan bidang PQRS

Penyelesaian :

a) Jarak antara PU dengan bidang RSWP

Sketsa garis PU pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm

Berdasarkan gambar di atas, maka Garis PU dan bidang RSWP adalah sebuah garis dan

bidang yang saling sejajar, maka jarak antara garis PU dan bidang RSWP dapat diwakilkan

oleh ruas garis PS atau UV , sehingga jarak yang dimaksud adalah 6 cm.

b) Jarak antara garis UW dengan bidang PQRS

Sketsa garis UW pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm

Berdasarkan gambar di atas, maka Garis UW dan bidang PQRS adalah sebuah garis dan

bidang yang saling sejajar, maka jarak antara garis UW dan bidang PQRS dapat diwakilkan

oleh ruas garis SW atau QU , sehingga jarak yang dimaksud adalah 6 cm.

3. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik P dan Q berturut-turut adalah titik

tengah FG dan HG. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang BDHF !

P QRS

T UVW

P QRS

T UVW

Penyelesaian :

Diketahui :

Panjang rusuk kubus = 10

Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah FG dan HG.

Ditanya : jarak garis PQ ke bidang BDHF ?

Jawab :

Sketsa soal :

Berdasarkan sketsa di atas maka jarak dari garis PQ ke bidang BDHF adalah panjang garis

PK atau garis QL.

Mencari panjang PQ, yaitu :

PQ=√PG2+GQ2

PQ=√52+52

P Q=√25+25

PQ=√50

PQ=5√2

Mencari panjang HF , yaitu :

HF=√EH 2+EF2

HF=√102+102

HF=√100+100

HF=√200

HF=10√2

Mencari panjang HK, panjang KL, dan panjang LF,yaitu :

perhatikan trafesium PQHF berdasarkan gambar maka, trafesium PQHF adalah trafesium

beraturan sama kaki, sehingga sketsanya adalah

A BCD

E FGH == 5P

QK L

Sehingga PQ=KL=5√ 2

HK=LF=12(HF−KL)

HK=LF=12(10√2−5√2)

HK=LF=12

(5√2 )

HK=LF=52 √2

Mencari panjang garis PK atau garis QL,

PK=QL=√HP2−HK2

PK=QL=√52−(52 √2)

2

PK=QL=√25−252

PK=QL=√ 252

PK=QL= 5√2

× √2√2

PK=QL=52 √2

Jadi jarak garis PQ ke bidang BDHF adalah 52 √2 cm

4. Sebuah kubus dengan rusuk a cm. Bidang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF,

CG dan DH.

a. Carilah jarak antara bidang ACH dan bidang BEG

b. Carilah jarak antara bidang BDE dan bidang CFH

Penyelesaian :

P

LK F

Q

H

5

25

vv

a. Sketsa bidang ACH dan bidang BEG pada kubus ABCD.EFGH.

Adapun untuk mencari jarak antara bidang ACH dan bidang BEG dapat diketahui dengan

memfokuskan perhatian pada bidang diagonal DBFH. Adapun sketsa pola pada bidang

diagonal DBFH adalah

Berdasarkan sketsa di atas jelas bahwa jarak antara bidang ACH dan bidang BEG adalah

panjang garis KM dalam hal ini adalah tinggi dari suatu jajargendang dengan alas HO.

Mencari panjang garis KM, langkahnya :

Mencari panjang OB

OB=12

DB

OB=12

DB=12 √ AB2+ AD2

OB=12

DB=12 √a2+a2

OB=12

DB=12 √2 a2

A BCD

E FGH K

O

MK FH

O BD

OB=12

DB=a2 √2

Mencari panjang HO

HO=√HD2+DO2

HO=√a2+( a2 √2)

2

HO=√a2+ a2

2

HO=a√ 32

HO=a √3√2

× √2√2

HO=12

a√6

Mencari Luas jajargenjang HOBK

Ljajargenjang HOBK=alas ×tinggi

Ljajargenjang HOBK=OB× OK

Ljajargenjang HOBK=OB× OK

L jajargenjang HOBK=a2 √2×a

Ljajargenjang HOBK=a2

2 √2

Berdasarkan Luas jajargenjang HOBK , maka dapat dicari panjang garis KM, yaitu :

Ljajargenjang HOBK=alas ×tinggi

Ljajargenjang HOBK=HO× KM

a2

2 √2=12

a √6×KM

KM=

a2√22

a√62

KM=a√2√6

KM=a√2√6

× √6√6

KM=13

a√3

Jadi, jarak antara bidang ACH dan bidang BEG adalah 13

a√3 cm

b. Sketsa bidang BDE dan bidang CFH pada kubus ABCD.EFGH

Adapun untuk mencari jarak antara bidang BDE dan bidang CFH dapat diketahui dengan

memfokuskan perhatian pada bidang diagonal ACGE. Adapun sketsa pola pada bidang

diagonal ACGE adalah

Berdasarkan sketsa di atas jelas bahwa jarak antara bidang BDE dan bidang CFH adalah

panjang garis KM dalam hal ini adalah tinggi dari suatu jajar gendang dengan alas HO.

Mencari panjang garis KM, langkahnya :

Mencari panjang OC

OC=12

AC

OC=12

AC=12 √AB2+BC 2

OC=12

AC=12 √a2+a2

OC=12

AC=12 √2a2

MK GE

O CA

OC=12

AC=a2 √2

Mencari panjang EO

EO=√ EA2+ AO2

E O=√a2+( a2 √2)

2

E O=√a2+ a2

2

E O=a√ 32

E O=a √3√2

× √2√2

E O=12

a√6

Mencari Luas jajargenjang OCKE

Ljajargenjang OCKE=alas ×tinggi

Ljajargenjang OCKE=OC ×OK

Ljajargenjang OCKE=OC ×OK

Ljajargenjang OCKE=a2 √2 ×a

Ljajargenjang OCKE=a2

2 √2

Berdasarkan Luas jajargenjang OCKE , maka dapat dicari panjang garis KM, yaitu :

Ljajargenjang OCKE=alas ×tinggi

Ljajargenjang OCKE=EO× KM

a2

2 √2=12

a √6×KM

KM=

a2√22

a√62

KM=a√2√6

KM=a√2√6

× √6√6

KM=13

a√3

Jadi, jarak antara bidang BDE dan bidang CFH adalah 13

a√3 cm

5. Sebuah kubus yang bidang alasnya PQRS dan rusuk-rusuk tegaknya PT,QU, RV dan SW.

Panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm. Hitunglah jarak antara rusuk VW dan bidang

diagonal RSTU!

Penyelesaian :

Diketahui : panjang rusuk kubus = 12 cm

Ditanya : jarak antara rusuk VW dan bidang diagonal RSTU?

Jawab :

Sketsa kubus PQRS.TUVW

Berdasarkan sketsa di atas, maka dapat disimpulkan bahwa jarak antara garis VW dan bidang

RSTU dapat diwakilkan oleh panjang garis VM, adapun langkah mencari panjang garis VM

adalah sebagai berikut:

Perhatikan ∆ RUV

Berdasarkan gambar segitiga tersebut, kita ketahui bahwa ∆ RUV adalah segitiga siku-siku

samakaki, sedangkan garis VM merupakan tinggi dari segitiga tersebut, sehingga langkah

mencari panjang garis VM, adalah :

Mencari panjang UR

P QRS

T VW12

UM

UM

RV

12

12

UR=√UV +VR2

UR=√122+122

UR=√2×122

UR=12√2

Mencari luas ∆ RUV , yaitu

L∆ RUV=12

×alas× tinggi

L∆ RUV=12

×VR×UV

L∆ RUV=12

× 12× 12

L∆ RUV=12

× 12× 12

L∆ RUV=72

Mencari panjang VM

L∆ RUV=12

×alas× tinggi

72=12

× 12√2×VM

72=6 √2×VM

VM= 726√2

VM= 12√2

× √2√2

VM=6√2

Jadi, jarak antara garis VW dan bidang diagonal RSTU adalah 6√2 cm .

6. Perhatikan gambar di bawah ini ! AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Hitunglah jarak A

ke bidang TBC!

Penyelesaian:

TABC

5

Diketahui :

AT, AB dan AC saling tegak lurus di A

AT=5

AB=5

AC=5

Ditanya : jarak titik A ke bidang TBC?

Jawab :

Berdasarkan gambar tersebut maka dapat diketahui bahwa jarak titik A ke bidang TBC adalah

panjang AD. Adapun langkah mencari panjang AD adalah sebagai berikut :

Mencari panjang BC

Pandang ∆ ABC , karena segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku di titik A, maka

BC=√ AB2+ AC 2

BC=√52+52

BC=√2×52

BC=5√2

BE=EC=12

BC

BE=EC=5√22

Mencari panjang AE

AE=√ AB2−BE2

AE=√52−(5√22

)2

AE=√25−(252

)

AE=√ 252

T

A

B

C5 D

E

AE=¿ 5√22

Mencari panjang TE

TE=√AT 2+ AE2

AE=√52+( 5√22

)2

TE=√25+(252

)

TE=√ 752

TE=√ 752

TE=5√ 32

TE=5 √3√2

× √2√2

TE=52 √6

Perhatikan ∆TAE

Mencari luas ∆TAE, yaitu

L∆TAE=12

×alas ×tinggi

L∆TAE=12

× AE×TA

L∆TAE=12

× 5√22

× 5

L∆TAE=254 √2

D

AE

T5

2 25

2 65

Mencari panjang garis AD

L∆TAE=12

×alas ×tinggi

254 √2=1

2×TE × AD

254 √2=1

2× 5

2 √6× AD

254 √2=5

4 √6× AD

AD=

25√24

5√64

AD=5 √2√6

× √6√6

AD=5 √126

AD=5 √33

Jadi, jarak titik A ke bidang TBC adalah 5√33

cm.