SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018 · SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018 ... 1. Suku keempat, suku ketujuh,...

Sukamto, S.Pd.,Gr. SMPN 1 Kambata Mapambuhang – Sumba Timur

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018

KABUPATEN SUMBA TIMUR – NUSA TENGGARA TIMUR

Oleh : SUKAMTO, S.Pd.,Gr Guru Matematika SMPN 1 Kambata Mapambuhang

1. Suku keempat, suku ketujuh, suku kesepuluh, dan suku ke-1010 suatu barisan aritmatika berturut-

turut adalah 𝑡, 𝑡2, 𝑡 + 𝑡2, dan 2018. Suku ke-100 dikurangi suku ke-10 barisan tersebut adalah ….

A. 102

B. 150

C. 175

D. 180

JAWAB

𝑈4 = 𝑡

𝑈7 = 𝑡2

𝑈10 = 𝑡 + 𝑡2

Dari bentuk di atas dapat dilihat bahwa

𝑈4 + 𝑈7 = 𝑈10

(𝑎 + 3𝑏) + (𝑎 + 6𝑏) = 𝑎 + 9𝑏

𝑎 = 0

𝑈1010 = 2018

𝑎 + 1009𝑏 = 2018

0 + 1009𝑏 = 2018

1009𝑏 = 2018

𝑏 =2018

1009= 2

𝑈100 − 𝑈10 = (𝑎 + 99𝑏) − (𝑎 + 9𝑏)

𝑈100 − 𝑈10 = 𝑎 + 99𝑏 − 𝑎 − 9𝑏

𝑈100 − 𝑈10 = 90𝑏

𝑈100 − 𝑈10 = 90 × 2 = 𝟏𝟖𝟎 Jawaban : D


2. Jika 1

𝑛−

1

3𝑛+𝑛

3−

1

2𝑛=

3

2𝑛, maka jumlah nilai 𝑛 yang mungkin adalah ….

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

JAWAB

1

𝑛−1

3𝑛+𝑛

3−1

2𝑛=3

2𝑛

6

6𝑛−2

6𝑛+2𝑛2

6𝑛−3

6𝑛=9

6𝑛

2𝑛2 + 1

6𝑛=9

6𝑛

2𝑛2 + 1 = 9

2𝑛2 − 8 = 0

𝑛2 − 4 = 0

(𝑛 + 2)(𝑛 − 2) = 0

𝑛 = −2 atau 𝑛 = 2

Jumlah nilai 𝒏 = −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 Jawaban : C

3. Dari gambar berikut ini diketahui 𝐴𝑃 = 11 cm, 𝑂𝐴 = 2 cm

Pernyataan yang salah adalah ….

A. Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 adalah 22 cm

B. 𝑂𝑃 = 5√5 cm

C. 𝐸𝑃 = 5√5 − 2 cm

D. 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸

JAWAB

𝐴𝑃 merupakan garis singgung lingkaran, sehingga 𝐴𝑃 ⊥ 𝐴𝑂. Oleh karena itu,

𝑂𝑃 = √𝐴𝑃2 + 𝐴𝑂2

𝑂𝑃 = √112 + 22

𝑂𝑃 = √121 + 4

𝑂𝑃 = √125

𝑂𝑃 = 5√5 cm (jawaban B benar)

Diketahui 𝐴𝑃 = 𝐵𝑃 = 11 𝑐𝑚

𝐴𝑂 dan 𝑂𝐸 merupakan jari-jari lingkaran. 𝐴𝐷 dan 𝐷𝐸 merupakan garis singgung lingkaran. Oleh

karena itu, 𝑂𝐴𝐷𝐸 merupakan layang-layang. Akibatnya, 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸. (jawaban D benar)

A

B

O

D

E

F

P


Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 𝐷𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝑃 + 𝐷𝑃 ~ karena 𝐷𝐸 = 𝐴𝐷 dan 𝐸𝐹 = 𝐵𝐹

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐹 + 𝐹𝑃 + 𝐷𝑃

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = (𝐴𝐷 + 𝐷𝑃) + (𝐵𝐹 + 𝐹𝑃)

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝐵𝑃

Keliling 𝐷𝐸𝐹𝑃𝐷 = 11 + 11 = 22 𝑐𝑚 (jawaban A benar)

Jawaban : C

4. Bilangan prima 𝑝 dan 𝑞 masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan 𝑝 dan 𝑞 merupakan bilangan

dua digit yag digitnya sama. Jika bilangan tiga digit 𝑟 merupakan perkalian 𝑝 dan 𝑞, maka dua nilai

𝑟 yang mungkin adalah ….

A. 121 dan 143

B. 169 dan 689

C. 403 dan 989

D. 481 dan 121

JAWAB

Bilangan prima dua digit : 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,

dan 97.

Bilangan prima yang jika dijumlahkan menghasilkan bilangan dengan digit sama adalah 13 dan 31,

23 dan 43.

Sehingga,

13 + 31 = 44 → 13 × 31 = 𝟒𝟎𝟑 23 + 43 = 66 → 23 × 43 = 𝟗𝟖𝟗 Jawaban : C

5. Sebuah wajah memuat 5 bola merah dan 3 bola putih. Seseorang mengambil bola-bola tersebut

sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa

pada setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah ….

A. 1

448

B. 7

280

C. 1

56

D. 1

7

JAWAB

Peluang terambilnya bola berbeda warna:

=𝐶1. 𝐶135

𝐶28

×𝐶1. 𝐶124

𝐶26

×𝐶1. 𝐶113

𝐶24

=5 × 3

8.71.2

×4 × 2

6.51.2

×3 × 1

4.31.2

=5 × 3 × 4 × 2 × 3 × 1

4 × 7 × 3 × 5 × 2 × 3

=1

7

Jawaban : D


6. Diketahui 𝐹 = {5, 6, 7, 8,… . ,44, 45} dan 𝐺 adalah himpunan yang anggota-anggotanya dapat

dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan.

Anggota 𝐹 ∩ 𝐺 sebanyak ….

A. 14

B. 20

C. 25

D. 26

JAWAB

𝐹 = {5, 6, 7, 8,… . ,44, 45}

𝐹 ∩ 𝐺 adalah anggota 𝐹 yang merupakan anggota 𝐺

𝐹 ∩ 𝐺 hasil penjumlahan 3 bilangan berurutan

𝐹 ∩ 𝐺 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) = 3𝑎 + 3 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3,….

𝐹 ∩ 𝐺 = {𝟔, 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟏, 𝟐𝟒, 𝟐𝟕, 𝟑𝟎, 𝟑𝟑, 𝟑𝟔, 𝟑𝟗, 𝟒𝟐, 𝟒𝟓 }


𝐹 ∩ 𝐺 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) + (𝑎 + 3) = 4𝑎 + 6 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, ….

𝐹 ∩ 𝐺 = {𝟏𝟎, 𝟏𝟒, 18, 𝟐𝟐, 𝟐𝟔, 30, 𝟑𝟒, 𝟑𝟖, 42 }


𝐹 ∩ 𝐺 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) + (𝑎 + 3) + (𝑎 + 4) = 5𝑎 + 10 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3,….

𝐹 ∩ 𝐺 = {15, 𝟐𝟎, 𝟐𝟓, 30, 𝟑𝟓, 𝟒𝟎, 45 }


𝐹 ∩ 𝐺 = 6𝑎 + 15 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3, ….

𝐹 ∩ 𝐺 = {21, 27, 33, 39, 45 }


𝐹 ∩ 𝐺 = 7𝑎 + 21 ~ untuk 𝑎 = 1, 2, 3

𝐹 ∩ 𝐺 = {𝟐𝟖, 35, 42 }


𝐹 ∩ 𝐺 = 8𝑎 + 28 ~ untuk 𝑎 = 1, 2

𝐹 ∩ 𝐺 = {36, 𝟒𝟒 }


𝐹 ∩ 𝐺 = 9𝑎 + 36 ~ untuk 𝑎 = 1

𝐹 ∩ 𝐺 = {45}

Jadi 𝐹 ∩ 𝐺 =

{𝟔, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖, 𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟐, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓, 𝟐𝟔, 𝟐𝟕, 𝟐𝟖, 𝟑𝟎, 𝟑𝟑, 𝟑𝟒, 𝟑𝟓, 𝟑𝟔, 𝟑𝟖, 𝟑𝟗, 𝟒𝟎, 𝟒𝟐, 𝟒𝟓}

Ada sebanyak 25. Jawaban : C


7. Kubus ABCD.PQRS memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika E titik tengah 𝑃𝑄 dan 𝐹 titik tengah

𝑄𝑅, maka luas daerah 𝐴𝐶𝐹𝐸 adalah …. cm2

A. 16

B. 18

C. 32

D. 64

JAWAB

𝐴𝐶 diagonal sisi sehingga 𝐴𝐶 = 4√2 cm

𝐿𝐾 = 𝑄𝐵 = 4 cm

𝑂𝐾 =1

4× 4√2 = √2 cm

Segitiga 𝑂𝐿𝐾 siku-siku di 𝐾, sehingga

𝑂𝐿 = √𝐿𝐾2 + 𝑂𝐾2

𝑂𝐿 = √42 + (√2)2

𝑂𝐿 = √16 + 2

𝑂𝐿 = √18 = 3√2 cm

Segitiga 𝐸𝑄𝐹 siku-siku di 𝑄, sehingga

𝐸𝐹 = √𝐸𝑄2 + 𝑄𝐹2

𝐸𝐹 = √22 + 22

𝑂𝐿 = √4 + 4

𝑂𝐿 = √8 = 2√2 cm

Luas trapezium 𝐴𝐶𝐹𝐸

=1

2× (𝐴𝐶 + 𝐸𝐹) × 𝑂𝐿

=1

2× (4√2 + √2) × 3√2

=1

2× (4√2 + 2√2) × 3√2

= 3√2 × 3√2

= 18 cm2

Jawaban : B

A B

C D

P Q

R S

E

F

O

T

4 4√2

4

K

L

2 2

A C

F E L

O 4√2

√2

3√2


8. Grafik di bawah ini menggambarkan gerakan dua kendaraan bermotor.

Pernyataan yang salah adalah ….

A. Kecepatan terendah kedua untuk kendaraan

A yaitu pada detik ke-4 hingga detik ke-10

B. Kecepatan tertinggi kendaraan B dicapai pada

detik ke-18 hingga detik ke-23

C. Pada detik ke-10 hingga detik ke-15

kendaraan A dan B berhenti

D. Sampai dengan km 1 rata-rata kecepatan A

lebih besar daripada kecepatan kendaraan B

JAWAB

Perhatikan grafik.

Pada detik ke-10 sampai ke-15 grafik kendaraan A horizontal, artinya tidak pertambahan jarak

sehingga bisa dikatakan berhenti. Jawaban C benar.

Pada detik ke-10 sampai ke-15 grafik kendaraan A berhenti sehingga kecepatannya 0,

sedangkan pada detik ke-4 sampai ke-10, grafik tidak mengalami banyak kenaikan disbanding

dengan yang lain, sehingga dapat dikatakan pada detik ke-4 sampai ke-10 merupakan

kecepatan terendah kedua. Jawaban A benar.

Untuk jarak 1 km, kendaan A memerlukan waktu 20 detik, sedangkan kendaraan B memerukan

waktu 23 detik, sehingga bias dikatakan kecepatan rata-rata A lebih besar dari B. Jawaban D

benar.

Grafik kendaraan B pada detik ke-2 sampai ke-8 lebih tegak daripada pada detik ke-18 sampai

ke-23. Sehingga dapat dikatakan kecepatan tertinggi terjadi pada detik ke-2 sampai ke-8.

Jawaban B salah.

Jawaban : B

9. Perhatikan gambar berikut.

Persamaan garis hasil transformasi rotasi R[O,180] dilanjutkan dengan pencerminan 𝑦 = −𝑥

terhadap garis 𝐴𝐵 adalah ….

A. 𝑦 = 2𝑥 + 4

B. 𝑦 = 2𝑥 − 4

C. 𝑦 = −2𝑥 + 4

D. 𝑦 = −2𝑥 − 4

JAWAB

𝑨(𝒙, 𝒚)𝑹[𝑶,𝟏𝟖𝟎°]→ 𝑨′(−𝒙,−𝒚)

𝑴𝒚=−𝒙→ 𝑨′′(𝒚, 𝒙)

𝐴(0,2)𝑅[𝑂,180°]→ 𝐴′(0,−2)

𝑀𝑦=−𝑥→ 𝐴′′(2,0)

𝐵(4,4)𝑅[𝑂,180°]→ 𝐴′(−4,−4)

𝑀𝑦=−𝑥→ 𝐴′′(4,4)

A

B

(0,2)

(4,4)


Persamaan gari yang melalui A” dan B” adalah

𝑦 − 𝑦1𝑦2 − 𝑦1

=𝑥 − 𝑥1𝑥2 − 𝑥1

𝑦 − 0

4 − 0=𝑥 − 2

4 − 2

𝑦

4=𝑥 − 2

2

𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒 Jawaban : B

10. Jika 0 < 𝑎 < 1 dan grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)2 + 2𝑎 berada di bawah grafik fungsi

𝑦 = (𝑎2 + 2𝑎)(𝑥 + 1) − 2𝑎(2𝑎 + 1), maka nilai 𝑥 yang memenuhi adalah ….

A. 0 < 𝑥 < 3

B. 𝑎 < 𝑥 < 3

C. 𝑎 + 1 < 𝑥 < 3

D. 3 < 𝑥 < 3 + 𝑎

JAWAB

𝑎(𝑥 − 1)2 + 2𝑎 < (𝑎2 + 2𝑎)(𝑥 + 1) − 2𝑎(2𝑎 + 1)

𝑎(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 2𝑎 < (𝑎2 + 2𝑎)𝑥 + (𝑎2 + 2𝑎) − 4𝑎2 − 2𝑎

𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 2𝑎 < (𝑎2 + 2𝑎)𝑥 − 3𝑎2

𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥 − (𝑎2 + 2𝑎)𝑥 + 3𝑎2 + 3𝑎 < 0

𝑎𝑥2 − (𝑎2 + 4𝑎)𝑥 + 3(𝑎2 + 𝑎) < 0 dibagi 𝑎

𝑥2 − (𝑎 + 4)𝑥 + 3(𝑎 + 1) < 0

(𝑥 − (𝑎 + 1))(𝑥 − 3) < 0

Pembuat nol 𝑥 = 𝑎 + 1 atau 𝑥 = 3

Karena 0 < 𝑎 < 1 maka 𝑎 + 1 < 3

𝒂 + 𝟏 < 𝒙 < 𝟑 Jawaban : C

11. Nilai 𝑥 dan 𝑦 pada gambar berikut adalah ….

A. 𝑥 = 74°; 𝑦 = 104°

B. 𝑥 = 37°; 𝑦 = 104°

C. 𝑥 = 74°; 𝑦 = 114°

D. 𝑥 = 37°; 𝑦 = 106°

JAWAB

∠𝐴𝐶𝐷 = 180° − 61° = 119°

∠𝐴𝐶𝐷 + ∠𝐴𝐶𝐹 + ∠𝐹𝐶𝐷 = 360°

119° + 135° + 𝑦 = 360°

254° + 𝑦 = 360°

𝑦 = 360° − 254°

𝑦 = 106°

∠𝐸𝐶𝐹 = 180° − 135° = 45°

∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐸𝐶𝐹

119° − 2𝑥 = 45°

2𝑥 = 119° − 45°

2𝑥 = 74°

𝑥 = 37° Jawaban : D

135° 𝑦

61° 2𝑥

135°

𝑦

61° 2𝑥

119° − 2𝑥

A

B

C

D

E F

𝑎 + 1 3


12. Grafik berikut menunjukkan persentase peserta berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk

sekolah tinggi dari tahun 2013 sampai 2017. Sedangkan tabel di bawahnya menunjukkan jumlah

peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin.

Tahun Jumlah Peserta Ujian

Jumlah lulusan Persentase lulusan laki-laki

Persentase lulusan perempuan

2013 1400 800 60 40

2014 800 660 50 50

2015 1000 500 45 55

2016 500 400 48 52

2017 1100 800 64 36

Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahuan adalah …. orang.

A. 454

B. 476

C. 494

D. 536

JAWAB

Tahun Jumlah Peserta Ujian

Jumlah peserta perempuan

Jumlah lulusan

lulusan perempuan Perempuan yang tidak lulus

2013 1400 40

100× 1400 = 560 800

40

100× 800 = 320

560 − 320 = 240

2014 800 50

100× 800 = 400 660

50

100× 660 = 330

400 − 330 = 70

2015 1000 36

100× 1000 = 360 500

55

100× 500 = 275

360 − 275 = 85

2016 500 45

100× 500 = 225 400

52

100× 400 = 208

225 − 208 = 17

2017 1100 30

100× 1100 = 330 800

36

100× 800 = 288

330 − 288 = 42

JUMLAH 𝟒𝟓𝟒

Jawaban : A


13. Menjelang tahun baru, harga sejenis pakaian olahraga dipotong (didiskon) dua kali seperti

dinyatakan pada gambar di samping. Jika harga mula-mula suatu pakaian Rp 400.000,00, maka

seseorang yang membeli pakaian tersebut harus membayar sebesar ….

A. Rp 124.000,00

B. Rp 136.000,00

C. Rp 276.000,00

D. Rp 300.000,00

JAWAB

Harga setelah diskon pertama

=100 − 60

100× 𝑅𝑝 400.000,00

=40

100× 𝑅𝑝 400.000,00

= 𝑅𝑝 160.000,00 Harga setelah diskon kedua

=100 − 15

100× 𝑅𝑝 160.000,00

=85

100× 𝑅𝑝 160.000,00

= 𝑹𝒑 𝟏𝟑𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 Jawaban : B

14. Pada suatu data terdapat 21 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 16.

Median dari data adalah 10. Rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah ….

A. 5,0

B. 5,5

C. 6,0

D. 6,5

JAWAB

Kemungkinan bilangan : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 16

Rata-rata =10×1+10×10+16

21

Rata-rata =10+100+16

21

Rata-rata =126

21= 𝟔 Jawaban : C

15. Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima

dan bersisa 5 jika dibagi 7 adalah ….

A. 1

45

B. 1

30

C. 1

8

D. 1

4

JAWAB

Bilangan dua digit dari 10 – 99 = 90 bilangan

Bilangan dua digit penyusun prima = 22, 23, 25, 27, 32, 33, 35, 37, 52, 53, 55, 57, 72, 73, 75, 77

Bilangan dua digit penyusun prima bersisa 5 jika dibagi 7 = 33 dan 75 (ada 2 bilangan)

Peluang = 2

90=

𝟏

𝟒𝟓 Jawaban : A


16. Semua bilangan real 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan 2(𝑥+3)−5√𝑥+2

𝑥+2≥ 0 adalah ….

A. 𝑥 ≤ −7

4 atau 𝑥 ≥ 2

B. −2 < 𝑥 ≤ −7

4 atau 𝑥 ≥ 2

C. 0 ≤ 𝑥 ≤ −7

4 atau 𝑥 ≥ 12

D. −7

4≤ 𝑥 ≤ 2

JAWAB

Agar 2(𝑥+3)−5√𝑥+2

𝑥+2≥ 0 maka ada dua kemungkinan

𝑥 + 2 positif dan 2(𝑥 + 3) − 5√𝑥 + 2 non negatif

𝑥 + 2 > 0 maka 𝑥 > −2 pertidaksamaan (i)

Misal 𝑥 + 2 = 𝑦 maka 2(𝑥 + 3) − 5√𝑥 + 2 = 2(𝑦 + 1) − 5√𝑦

2(𝑦 + 1) − 5√𝑦 ≥ 0

2𝑦 + 2 ≥ 5√𝑦 kuadratkan kedua ruas

(2𝑦 + 2)2 ≥ (5√𝑦)2

4𝑦2 + 8𝑦 + 4 ≥ 25𝑦

4𝑦2 + 8𝑦 − 25𝑦 + 4 ≥ 0

4𝑦2 − 17𝑦 + 4 ≥ 0 (4𝑦 − 1)(𝑦 − 4) ≥ 0

4𝑦 − 1 = 0 atau 𝑦 = 4

𝑦 =1

4 atau 𝑦 = 4

𝑦 ≤1

4 atau 𝑦 ≥ 4

𝑥 + 2 ≤1

4 atau 𝑥 + 2 ≥ 4

𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ 4 − 2

𝑥 ≤ −7

4 atau 𝑥 ≥ 2 pertidaksamaan (ii)

Gabungan (i) dan (ii)

−2 < 𝑥 ≤ −7

4 atau 𝑥 ≥ 2

𝑥 + 2 negatif dan 2(𝑥 + 3) − 5√𝑥 + 2 non positif

Karena 𝑥 + 2 < 0 maka √𝑥 + 2 merupakan bilangan imajiner (tidak memenuhi)

Jawaban : B

14ൗ 4

−7

4

2 −2


17. Diketahui 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi

(𝑥 + 2𝑦)𝑧 = 64 ada sebanyak ….

A. 4

B. 32

C. 35

D. 36

JAWAB

(𝑥 + 2𝑦)𝑧 = 64 = 641 = 82 = 43 = 26

Untuk 𝑧 = 1 maka 𝑥 + 2𝑦 = 64

𝑥 = 64 − 2𝑦 Untuk 𝑦 = 1 maka 𝑥 = 62

Untuk 𝑦 = 2 maka 𝑥 = 60


.

.

.

Untuk 𝑦 = 31 maka 𝑥 = 2 (ada 31 triple)


𝑥 = 8 − 2𝑦





𝑥 = 4 − 2𝑦



𝑥 = 2 − 2𝑦 ( tidak ada triple)

Jadi ada 35 triple Jawaban : C

18. Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah 25 tahun. Rata-rata usia

keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat

anak kedua lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga lahir (kembar)

adalah 12 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka usia anak pertama

adalah …. tahun.

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

JAWAB

Misal usia suami saat menikah adalah 𝒔, dan usia istri saat menikah adalah 𝒊. 𝑠 + 𝑖

2= 25 → 𝑠 + 𝑖 = 50

Misal anak pertama lahir setelah usia pernikahan 𝑎 tahun, dan anak baru lahir dianggap berusia

1 tahun. (𝑠 + 𝑎) + (𝑖 + 𝑎) + 1

3= 18 → 𝑠 + 𝑖 + 2𝑎 + 1 = 54

→ 50 + 2𝑎 + 1 = 54

→ 2𝑎 = 3

→ 𝑎 = 1,5

Pada saat ini, jumlah usia suami dan istri = 50 + 2 × 1,5 = 53 tahun


Misal anak kedua lahir setelah anak pertama berusia 𝑏 tahun, dan anak baru lahir dianggap

berusia 1 tahun. (𝑠 + 𝑏) + (𝑖 + 𝑏) + 𝑏 + 1

4= 15 → 𝑠 + 𝑖 + 3𝑏 + 1 = 60

→ 53 + 3𝑏 + 1 = 60

→ 3𝑏 = 6

→ 𝑏 = 2

Pada saat ini, jumlah usia suami dan istri = 53 + 2 × 4 = 57 tahun dan anak pertama berusia

2 tahun

Misal anak ketiga kembar lahir setelah anak kedua berusia 𝑐 tahun, dan anak baru lahir

dianggap berusia 1 tahun. (𝑠 + 𝑐) + (𝑖 + 𝑐) + (2 + 𝑐) + 𝑐 + 2

6= 12 → 𝑠 + 𝑖 + 4𝑐 + 4 = 72

→ 57 + 4𝑐 + 4 = 72

→ 4𝑐 = 11 → 𝑐 = 2,75 ~ 3

Pada saat ini, jumlah usia suami dan istri = 57 + 2 × 3 = 63 tahun dan anak pertama berusia

5 tahun dan anak kedua berusia 3 tahun.

Misal pada saat ini, anak ketiga berusia 𝑥 tahun, maka anak kedua berusia 3 + 𝑥, anak pertama

berusia 5 + 𝑥, dan jumlah usia suami istri 63 + 2𝑥. (63 + 𝑥) + (5 + 𝑥) + (3 + 𝑥) + 2𝑥

6= 16 → 71 + 5𝑥 = 96

→ 5𝑥 = 25

→ 𝑥 = 5 Pada saat ini, anak pertama berusia = 5 + 5 = 10 tahun.

Jawaban : D

19. Perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶 dan lingkaran dalam pada gambar di bawah.

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 samasisi dengan 𝐶𝐷 = 6 𝑐𝑚, maka luas daerah lingkaran dalam adalah …. cm2.

A. 16𝜋

B. 12𝜋

C. 9𝜋

D. 4𝜋

JAWAB

𝐴𝐷 = √122 − 62

𝐴𝐷 = √144 − 36

𝐴𝐷 = √108 = 6√3

Karena pusat O merupakan perpotongan garis tinggi maka

Jari-jari 𝑂𝐷 =1

3× 6√3 = 2√3 cm

Luas lingkaran = 𝜋 × (2√3)2= 𝟏𝟐𝝅 cm2 Jawaban : B

A

B CD

EF

A

B CD

EF

6 cm

12 cm

O

2

1


20. Diberikan ∆𝐴𝐵𝐶. Jika 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 1 𝑐𝑚 dan 𝐵𝐶 = √3 cm, maka luas ∆𝐴𝐵𝐶 adalah …. cm2.

A. 1

2√2

B. 1

2√3

C. 1

4√3

D. 1

4

JAWAB

𝐴𝐷 = √12 − (1

2√3)

2

𝐴𝐷 = √1 −3

4

𝐴𝐷 = √1

4=1

2

Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =1

2× 𝐴𝐷 × 𝐵𝐶

Luas ∆𝐴𝐵𝐶 =1

2×1

2× √3 =

𝟏

𝟒√𝟑 Jawaban : C

21. Dealer sepeda motor menjual empat jenis sepeda motor yaitu 𝑃,𝑄, 𝑅, 𝑆. Persentase pajak dan

ongkos kirim sepeda motor dihitung berdasarkan harga pokok. Persentase laba dihitung

berdasarkan hasil penjumlahan dari harga pokok, pajak, dan ongkos kirim sebagaimana tabel

berikut.

Jenis motor 𝑷 𝑸 𝑹 𝑺

Harga pokok 11.000.000 10.400.0000 10.700.000 11.300.000

Pajak 5% 6% 7% 5%

Ongkos kirim 7% 10% 9% 6%

laba 12% 12% 12% 10%

Jika harga beli adalah penjumlahan dari harga pokok beserta pajak dan ongkos kirim, maka harga

jual sepeda motor paling mahal adalah jenis ….

A. 𝑃

B. 𝑄

C. 𝑅

D. 𝑆

JAWAB

Jenis motor

𝑷 𝑸 𝑹 𝑺

Harga pokok

11.000.000 10.400.0000 10.700.000 11.300.000

Pajak 5

100× 11.000.000

= 550.000

6

100× 10.400.000

= 624.000

7

100× 10.700.000

= 749.000

5

100× 11.300.000

= 565.000 Ongkos kirim

7

100× 11.000.000

= 770.000

10

100× 10.400.000

= 1.040.000

9

100× 10.700.000

= 963.000

6

100× 11.300.000

= 678.000 Jumlah 12.320.000 12.064.000 12.412.000 12.543.000

laba 12

100× 12.320.000

= 1.478.400

12

100× 12.064.000

= 1.447.680

12

100× 12.412.000

= 1.489.440

10

100× 12.543.000

= 1.254.300 Jumlah + laba

13.798.400 13.511.680 13.901.440 13.797.300

A

B C

1

√3

1

2√3

D


Pada soal dinyatakan bahwa harga beli adalah penjumlahan dari harga pokok beserta pajak dan

ongkos kirim. Jika mengacu pada pernyataan ini maka motor yang paling mahal adalah jenis S.

Jawaban : D

Komentar:

Pada soal dicantumkan persentase laba, tetapi tidak digunakan dalam perhitungan harga. Lalu

buat apa? Harusnya agar lebih realistis dan memanfaat pencantuman laba, harga beli adalah

penjumlahan dari harga pokok beserta pajak, ongkos kirim, dan laba. Sehingga di dapat motor yang

paling mahal adalah jenis R.

22. Diketahui 𝑥4𝑦5𝑧2 < 0 dan 𝑥𝑧 < 0. Pernyataan berikut yang benar adalah ….

A. 𝑥𝑦𝑧 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0

B. 𝑦𝑧

𝑥< 0, jika 𝑥𝑦 < 0

C. 𝑥𝑦 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0

D. 𝑥𝑦 > 0, jika 𝑦𝑧 > 0

JAWAB

𝑥𝑧 < 0 berarti ada 2 kemungkinan.

𝑥 positif dan 𝑧 negatif

Karena 𝑥4𝑦5𝑧2 < 0 maka 𝑦 negative.

Cek jawaban satu persatu. Didapat jawaban C benar:

𝑥𝑦 < 0 → 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 × 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓

𝑦𝑧 > 0 → 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 × 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓

𝑥 negatif dan 𝑧 positif

Karena 𝑥4𝑦5𝑧2 < 0 maka 𝑦 negative.

Cek jawaban satu persatu. Tidak ada jawaban benar. Jawaban : C

23. Pada sebuah laci terdapat beberapa kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos

kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah 1

2. Jika

banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih adalah

….

A. 12

B. 15

C. 18

D. 21

JAWAB

Misalkan ℎ = banyak kaos kaki hitam

𝑝 = banyak kaos kaki putih

𝐶2𝑝

𝐶2ℎ+𝑝

=1

2

𝑝!(𝑝 − 2)! .2!(ℎ + 𝑝)!

(ℎ + 𝑝 − 2)! .2!

=1

2

2 ×𝑝!

(𝑝 − 2)! .2!=

(ℎ + 𝑝)!

(ℎ + 𝑝 − 2)! .2!


2 ×𝑝. (𝑝 − 1). (𝑝 − 2)!

(𝑝 − 2)! .2!=(ℎ + 𝑝). (ℎ + 𝑝 − 1)(ℎ + 𝑝 − 2)!

(ℎ + 𝑝 − 2)! .2!

2. 𝑝. (𝑝 − 1) = (ℎ + 𝑝). (ℎ + 𝑝 − 1)

2𝑝2 − 2𝑝 = ℎ2 + 2ℎ𝑝 + 𝑝2 − ℎ − 𝑝

𝑝2 − 𝑝 = ℎ2 + 2ℎ𝑝 − ℎ

𝑝2 − 𝑝 = ℎ2 + (2𝑝 − 1)ℎ

ℎ2 + (2𝑝 − 1)ℎ − (𝑝2 − 𝑝) = 0

Untuk 𝑝 = 12 maka ℎ2 + 23ℎ − 132 = 0

Dengan menggunakan rumus ℎ =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 didapat ℎ =4,7557… dan ℎ =-27,7558… (bukan

bilangan genap). Jawaban A salah.

Untuk 𝑝 = 15 maka ℎ2 + 29ℎ − 210 = 0


2𝑎 didapat ℎ = −35 dan 𝒉 = 𝟔 (bilangan genap).

Jawaban B benar.

Untuk 𝑝 = 18 maka ℎ2 + 35ℎ − 324 = 0


2𝑎 didapat ℎ = 7,6047… dan ℎ = - 42,6048…(bukan

bilangan genap). Jawaban C salah.

Untuk 𝑝 = 21 maka ℎ2 + 41ℎ − 420 = 0


2𝑎 didapat ℎ = 8,4870… dan ℎ = -49.4871… (bukan

bilangan genap). Jawaban D salah.

Jawaban : B

24. Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan bulat positif dengan 𝑦 > 1, sehingga 𝑥𝑦 = 318530, maka nilai 𝑥 − 𝑦

yang mungkin adalah ….

A. 84375

B. 84369

C. 84363

D. 84357

JAWAB

𝑥𝑦 = 318. 530

𝑥𝑦 = (33)6. (55)6

𝑥𝑦 = 276. 31256

𝑥𝑦 = 843756

Dari bentuk terakhir dapat dilihat bahwa

𝑥 = 84375 dan 𝑦 = 6, sehingga

𝑥 − 𝑦 = 84375 − 6 = 𝟖𝟒𝟑𝟔𝟗 Jawaban : B


25. Salah satu contoh situasi untuk system persamaan 𝑥 + 2𝑦 = 6000 dan 3𝑥 + 𝑦 = 6000 adalah ….

A. Dua orang siswa membeli pensil dan penghapus seharga Rp 6.000,00. Salah satu siswa tersebut

membeli pensil dan tiga penghapus seharga Rp 6.000,00. Berapakah harga masing-masing

sebuah pensil dan penghapus?

B. Dua orang siswa membeli pensil dan tiga buah penghapus seharga Rp 6.000,00. Selain itu, dia

juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp 6.000,00.

Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

C. Seorang siswa akan membeli dua buah pensil dan tiga buah penghapus. Siswa tersebut memiliki

uang Rp 12.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

D. Seorang siswa membeli sebuah pensil dan tiga penghapus seharga Rp 6.000,00. Selain itu, dia

juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp 6.000,00.

Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

JAWAB

Jelas jawaban D benar

misalkan banyak penghapus = 𝑥 dan banyak pensil = 𝑦

Seorang siswa membeli sebuah pensil dan tiga penghapus seharga Rp 6.000,00.

Bentuk matematika : 3𝑥 + 𝑦 = 6000

Dia juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp 6.000,00.

Bentuk matematika : 𝑥 + 2𝑦 = 6000

SEMOGA BERMANFAAT!!!

MOHON DIKOREKSI JIKA ADA KESALAHAN.

TRIMA KASIH

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018 · SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018 ... 1. Suku keempat, suku ketujuh,...

Documents

Transcript of SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018 · SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2018 ... 1. Suku keempat, suku ketujuh,...